Matematik çalışırken öğrenciler farklı geometrik şekil türlerine aşina olmaya başlarlar. Bugün farklı üçgen türlerine odaklanacağız.
Tanım
Aynı doğru üzerinde olmayan üç noktadan oluşan geometrik şekillere üçgen denir.
Noktaları birleştiren çizgilere kenarlar, noktalara köşeler denir. Köşeler büyük Latin harfleriyle gösterilir, örneğin: A, B, C.
Kenarlar, oluşturdukları iki noktanın adlarıyla belirtilir - AB, BC, AC. Geçiş, kenarlar köşeleri oluşturur. Alt taraf şeklin tabanı olarak kabul edilir.
Pirinç. 1. ABC Üçgeni.
üçgen türleri
Üçgenler açılarına ve kenarlarına göre sınıflandırılır. Her üçgen türünün kendine has özellikleri vardır.
Üç tür köşe üçgeni vardır:
- dar açılı;
- dikdörtgen;
- geniş.
tüm açılar dar açılıüçgenler keskindir, yani her birinin derece ölçüsü 90 0'dan fazla değildir.
dikdörtgenüçgen bir dik açı içerir. Diğer iki açı her zaman keskin olacaktır, aksi takdirde üçgenin açılarının toplamı 180 dereceyi aşacaktır ki bu imkansızdır. Dik açının karşısındaki kenara hipotenüs, diğer iki bacağa denir. Hipotenüs her zaman bacaktan daha büyüktür.
Geniş bir üçgen geniş bir açı içerir. Yani, 90 dereceden büyük bir açı. Böyle bir üçgendeki diğer iki köşe keskin olacaktır.
Pirinç. 2. Köşelerde üçgen çeşitleri.
Pisagor üçgeni, kenarları 3, 4, 5'e eşit olan bir dikdörtgendir.
Ayrıca, büyük taraf hipotenüstür.
Bu tür üçgenler genellikle geometride basit problemler oluşturmak için kullanılır. Bu nedenle, unutmayın: Üçgenin iki tarafı 3'e eşitse, üçüncüsü mutlaka 5 olacaktır. Bu, hesaplamaları basitleştirecektir.
Kenarlardaki üçgen türleri:
- eşkenar;
- ikizkenar;
- çok yönlü.
Eşkenarüçgen, tüm kenarların eşit olduğu bir üçgendir. Böyle bir üçgenin tüm açıları 60 0'a eşittir, yani her zaman dar açılıdır.
İkizkenarüçgen - sadece iki tarafın eşit olduğu bir üçgen. Bu kenarlara kenar, üçüncü kenar ise taban olarak adlandırılır. Ek olarak, bir ikizkenar üçgenin tabanındaki açılar eşittir ve her zaman keskindir.
Çok yönlü veya keyfi bir üçgen, tüm uzunlukların ve tüm açıların birbirine eşit olmadığı bir üçgendir.
Problemde şekil hakkında herhangi bir açıklama yoksa, keyfi bir üçgenden bahsettiğimiz kabul edilir.
Pirinç. 3. Kenarlardaki üçgen çeşitleri.
Türü ne olursa olsun bir üçgenin tüm açılarının toplamı 1800'dür.
Daha büyük köşenin karşısında daha büyük taraf bulunur. Ayrıca herhangi bir kenarın uzunluğu her zaman diğer iki kenarının toplamından küçüktür. Bu özellikler üçgen eşitsizliği teoremi ile doğrulanır.
Altın üçgen kavramı var. Bu, iki kenarın tabanla orantılı ve belirli bir sayıya eşit olduğu bir ikizkenar üçgendir. Böyle bir şekilde, açılar 2: 2: 1 oranıyla orantılıdır.
Görev:
Kenarları 6 cm, 3 cm, 4 cm olan bir üçgen var mı?
Çözüm:
Bu sorunu çözmek için a eşitsizliğini kullanmanız gerekir.
Ne öğrendik?
5. sınıf matematik dersindeki bu materyalden üçgenlerin kenarlara ve açılara göre sınıflandırıldığını öğrendik. Üçgenler, problemleri çözmek için kullanılabilecek belirli özelliklere sahiptir.
Üçgen 3 kenarı (veya 3 köşesi) olan bir çokgendir. Bir üçgenin kenarları genellikle arka köşeleri gösteren büyük harflere karşılık gelen küçük harflerle gösterilir.
Dar üçgenüç köşesinin de dar olduğu üçgen denir.
Geniş açılı üçgen açılarından birinin geniş olduğu üçgen denir.
dikdörtgen üçgen açılardan birinin düz bir çizgi olduğu, başka bir deyişle 90 ° 'ye eşit olduğu bir üçgen denir; dik açı oluşturan a,b kenarlarına denir bacaklar; dik açının karşısındaki c kenarına denir hipotenüs.
İkizkenar üçgen iki tarafının eşit olduğu bir üçgen (a = c); bu eşit partilere denir yanal, 3. taraf denir üçgenin tabanı.
Eşkenar üçgen tüm kenarlarının eşit olduğu (a = b = c) bir üçgen denir. Bir üçgende kenarlarından hiçbiri (abc) eşit değilse, bu kenarsız üçgen.
Üçgenlerin temel özellikleri
Herhangi bir üçgende:
Üçgenler için eşitlik testleri
Üçgenler, sırasıyla eşit olmaları durumunda eşittir:
Dik açılı üçgenler için eşitlik testleri
İki dik açılı üçgen eşittir, bu durumda aşağıdaki kriterlerden biri yerine getirilir:
Boy uzunluğuüçgen herhangi bir tepe noktasından karşı tarafa (veya devamına) bırakılan bir dikeydir. Bu taraf denir üçgenin tabanı... Üçgenin üç yüksekliği her zaman bir noktada kesişir. üçgenin ortomerkezi.
Dar açılı bir üçgenin ortomerkezi üçgenin içinde bulunur ve geniş bir üçgenin ortomerkezi dışarıdadır; dik açılı bir üçgenin ortomerkezi, dik açının tepe noktasıyla çakışır.
Medyanüçgenin herhangi bir ucunu arka tarafın ortasına bağlayan bir çizgi parçası. Bir üçgenin üç medyanı, her zaman üçgenin içinde kalan ve kütle merkezi olan bir noktada kesişir. Bu nokta, her medyanı üstten 2: 1 oranında böler.
Açıortay tepe noktasından arka tarafla kesişme noktasına kadar olan açının açıortayının bir parçasıdır. Bir üçgenin üç bisektörü, her zaman üçgenin içinde yer alan ve yazılı dairenin merkezi olan bir noktada kesişir. Bisektör, arka tarafı bitişik taraflarla orantılı olarak böler.
medyan dik bir doğru parçasının (yan) orta noktasından çizilen bir diktir. Üçgenin üç ortanca dikmesi, çevrelenmiş dairenin merkezi olan bir noktada kesişir.
Dar açılı bir üçgende, bu nokta üçgenin içinde, geniş bir üçgende - dışarıda, dikdörtgende - hipotenüsün ortasında yer alır. Ortomerkez, kütle merkezi, açıklananın merkezi ve yazılı dairenin merkezi, yalnızca bir eşkenar üçgende çakışır.
Pisagor aksiyomu
Dik açılı bir üçgende hipotenüsün uzunluğunun karesi, bacakların uzunluklarının karelerinin toplamına eşittir.
Pisagor aksiyomunun doğrulanması
AB hipotenüsünü kenar olarak kullanarak bir AKMB karesi oluşturun. Sonra, kenarı a + b'ye eşit olan CDEF karesini elde etmek için ABC dik üçgeninin kenarlarını uzatıyoruz. Artık CDEF karesinin alanının (a + b) 2'ye eşit olduğu açıktır. ,
c 2 + 4 (ab / 2) = c 2 + 2 ab,
c 2 + 2 ab = (a + b) 2,
ve biz kesinlikle:
c 2 = a 2 + b 2.
Rastgele bir üçgende en boy oranı
Genel durumda (rastgele bir üçgen için):
c 2 = a 2 + b 2 - 2 ab * cos C,
burada C, a ve b kenarları arasındaki açıdır.
Siteye ek olarak:
Bugün farklı üçgen türleriyle tanışacağımız Geometri ülkesine gidiyoruz.
Geometrik şekilleri düşünün ve aralarında "gereksiz" bulun (Şekil 1).
Pirinç. 1. Örnek resim
1, 2, 3, 5 numaralı rakamların dörtgen olduğunu görüyoruz. Her birinin kendi adı vardır (Şekil 2).
Pirinç. 2. Dörtgenler
Bu, "ekstra" rakamın bir üçgen olduğu anlamına gelir (Şekil 3).
Pirinç. 3. Örneğin çizim
Üçgen, bir doğru üzerinde olmayan üç noktadan ve bu noktaları çiftler halinde birleştiren üç parçadan oluşan bir şekildir.
noktalar denir üçgenin köşeleri, segmentler - o partiler... Üçgenin kenarları oluşur üçgenin köşelerinde üç köşe vardır.
Bir üçgenin ana işaretleri şunlardır: üç kenar ve üç köşe. Açı açısından, üçgenler dar açılı, dikdörtgen ve geniş açılı.
Üç köşesi de akutsa, yani 90 ° 'den azsa, bir üçgene dar açılı denir (Şekil 4).
Pirinç. 4. Dar açılı üçgen
Köşelerinden biri 90 ° ise üçgene dikdörtgen denir (Şekil 5).
Pirinç. 5. Dik açılı üçgen
Köşelerinden biri genişse, yani 90 ° 'den fazlaysa bir üçgene geniş denir (Şekil 6).
Pirinç. 6. Geniş üçgen
Eşit kenar sayısına göre üçgenler eşkenar, ikizkenar, çok yönlüdür.
İkizkenar üçgen, iki kenarı eşit olan bir üçgendir (Şekil 7).
Pirinç. 7. İkizkenar üçgen
Bu partilere denir yanal, Üçüncü taraf - temel. İkizkenar üçgende taban açıları eşittir.
ikizkenar üçgenler dar açılı ve geniş açılı(şek. 8) .
Pirinç. 8. Akut ve geniş ikizkenar üçgenler
Eşkenar üçgen, üç tarafı da eşit olan bir üçgendir (Şekil 9).
Pirinç. 9. Eşkenar üçgen
bir eşkenar üçgende tüm açılar eşittir. eşkenar üçgenler her zaman dar açılı.
Üç kenarın hepsinin farklı uzunluklara sahip olduğu bir üçgene çok yönlü denir (Şekil 10).
Pirinç. 10. Çok yönlü üçgen
Görevi tamamla. Bu üçgenleri üç gruba ayırın (şekil 11).
Pirinç. 11. Görev için çizim
İlk olarak, açıların büyüklüğüne göre dağıtıyoruz.
Akut üçgenler: No. 1, No. 3.
Dikdörtgen üçgenler: No. 2, No. 6.
Geniş üçgenler: No. 4, No. 5.
Aynı üçgenleri eşit kenar sayılarına göre gruplara ayıracağız.
Çok yönlü üçgenler: No. 4, No. 6.
İkizkenar üçgenler: No. 2, No. 3, No. 5.
Eşkenar üçgen: No. 1.
Çizimleri düşünün.
Her üçgeni hangi tel parçasından yaptığınızı düşünün (şek. 12).
Pirinç. 12. Görev için çizim
Böyle akıl yürütebilirsin.
İlk tel parçası üç eşit parçaya bölünür, böylece ondan bir eşkenar üçgen yapılabilir. Şekilde üçüncü olarak gösterilmiştir.
İkinci tel parçası üç farklı parçaya bölünmüştür, böylece ondan çok yönlü bir üçgen yapabilirsiniz. Şekilde ilk olarak gösterilmiştir.
Üçüncü tel parçası, iki parçanın aynı uzunlukta olduğu, yani ondan bir ikizkenar üçgen yapılabileceği anlamına gelen üç parçaya bölünmüştür. Şekilde ikinci olarak gösterilmiştir.
Bugün derste farklı üçgen türleri ile tanıştık.
bibliyografya
- Mİ. Moreau, M.A. Bantova ve diğerleri Matematik: Ders Kitabı. 3. Sınıf: 2 parça, bölüm 1. - M.: "Eğitim", 2012.
- Mİ. Moreau, M.A. Bantova ve diğerleri Matematik: Ders Kitabı. 3. Sınıf: 2 parça, bölüm 2. - M.: "Eğitim", 2012.
- Mİ. Moreau. Matematik Dersleri: Öğretmenler için Yönergeler. 3. sınıf - M.: Eğitim, 2012.
- Normatif yasal belge. Öğrenme çıktılarının izlenmesi ve değerlendirilmesi. - M.: "Eğitim", 2011.
- "Rusya Okulu": İlkokul programları. - M.: "Eğitim", 2011.
- Sİ. Volkova. Matematik: Doğrulama çalışması. 3. sınıf - M.: Eğitim, 2012.
- V.N. Rudnitskaya. Testler. - M.: "Sınav", 2012.
- Nsportal.ru ().
- Prosv.ru ().
- Do.gendocs.ru ().
Ödev
1. İfadeleri tamamlayın.
a) Üçgen, tek bir doğru üzerinde durmayan ve bu noktaları çiftler halinde birleştiren ...'den oluşan bir şekildir.
b) Puan denir … , segmentler - o … ... Üçgenin kenarları üçgenin köşelerinde oluşur ….
c) Açı açısından üçgenler…,…,….
d) Eşit kenar sayısına göre üçgenler…,…,….
2. Beraberlik
a) dik açılı bir üçgen;
b) dar açılı üçgen;
c) geniş üçgen;
d) bir eşkenar üçgen;
e) çok yönlü üçgen;
f) ikizkenar üçgen.
3. Akranlarınız için dersin konusu hakkında bir ödev yapın.
Geometrideki belki de en temel, basit ve ilginç figür üçgendir. Bir lise dersinde temel özellikleri incelenir, ancak bazen bu konudaki bilgiler eksik oluşur. Üçgen türleri başlangıçta özelliklerini belirler. Ancak bu görüş karışık kalır. Bu nedenle, şimdi bu konuyu biraz daha ayrıntılı olarak analiz edeceğiz.
Üçgen türleri, açıların derece ölçüsüne bağlıdır. Bu rakamlar akut, dikdörtgen ve geniştir. Tüm açılar 90 dereceyi geçmezse, şekil güvenle dar açılı olarak adlandırılabilir. Üçgenin en az bir açısı 90 derece ise, dikdörtgen bir alt türle uğraşıyorsunuz demektir. Buna göre, diğer tüm durumlarda, dikkate alınana geniş denir.
Akut açılı alt türler için birçok sorun vardır. Ayırt edici bir özellik, açıortayların, medyanların ve yüksekliklerin kesişme noktalarının iç konumudur. Diğer durumlarda, bu koşul karşılanmayabilir. "Üçgen" şeklinin türünü belirlemek zor değildir. Örneğin, her bir açının kosinüsünü bilmek yeterlidir. Değerlerden herhangi biri sıfırdan küçükse, üçgen yine de geniştir. Üs sıfırsa, şekil dik açıya sahiptir. Tüm pozitif değerlerin size bunun dar açılı bir görünüm olduğunu söylemesi garantilidir.
Düzenli üçgen hakkında söylememek imkansız. Bu, medyanların, açıortayların ve yüksekliklerin tüm kesişme noktalarının çakıştığı en ideal görünümdür. Yazılı ve çevrelenmiş dairenin merkezi de aynı yerdedir. Problemleri çözmek için sadece bir tarafı bilmeniz gerekir, çünkü açılar başlangıçta size verilir ve diğer iki taraf bilinir. Yani şekil sadece bir parametre ile belirtilir. Ana özelliği, tabandaki iki tarafın ve açıların eşitliğidir.
Bazen soru, belirli kenarları olan bir üçgen olup olmadığıdır. Aslında bu tanımlamanın ana tiplere uyup uymadığı sorulur. Örneğin, iki tarafın toplamı üçüncüden küçükse, gerçekte böyle bir rakam yoktur. Görevden, kenarları 3,5,9 olan bir üçgenin açılarının kosinüslerini bulması istenirse, burada açık olan, karmaşık matematiksel hileler olmadan açıklanabilir. A noktasından B noktasına gitmek istediğinizi varsayalım. Düz bir çizgide mesafe 9 kilometredir. Ancak mağazada C noktasına gitmeniz gerektiğini hatırladınız. A'dan C'ye olan mesafe 3 kilometre ve C'den B'ye - 5. Böylece, mağazadan geçerken bir kilometre daha az yürüyeceğiniz ortaya çıkıyor. Ancak C noktası AB doğrusu üzerinde bulunmadığı için fazladan bir mesafe kat etmeniz gerekecektir. İşte bu noktada bir çelişki ortaya çıkıyor. Bu, elbette, şartlı bir açıklamadır. Matematik, her tür üçgenin temel özdeşliğe uyduğunu kanıtlamanın birden fazla yolunu bilir. İki kenarın toplamının üçüncü kenarın uzunluğundan büyük olduğunu söylüyor.
Herhangi bir tür aşağıdaki özelliklere sahiptir:
1) Tüm açıların toplamı 180 derecedir.
2) Her zaman bir ortomerkez vardır - üç yüksekliğin hepsinin kesişme noktası.
3) İç köşelerin köşelerinden çizilen üç medyanın tümü tek bir yerde kesişir.
4) Herhangi bir üçgenin etrafında bir daire tanımlayabilirsiniz. Daireyi, yalnızca üç temas noktasına sahip olacak ve dış kenarların ötesine geçmeyecek şekilde yazmak da mümkündür.
Artık farklı üçgen türlerinin sahip olduğu temel özelliklere aşinasınız. Gelecekte, bir sorunu çözerken neyle uğraştığınızı anlamak önemlidir.
üçgenler
Üçgen Bir doğru üzerinde yer almayan üç noktadan ve bu noktaları çiftler halinde birleştiren üç parçadan oluşan bir şekil denir. noktalar denir zirveler bir üçgen ve çizgi parçaları onun partiler.
üçgen türleri
üçgen denir ikizkenar, eğer iki tarafı eşitse. Bu eşit kenarlara denir yan taraflar, ve üçüncü taraf denir temelüçgen.
Tüm kenarları eşit olan üçgene denir eşkenar veya doğru.
üçgen denir dikdörtgen, dik açısı varsa, yani 90 ° 'lik bir açı varsa. Bir dik üçgenin bir dik açının karşısındaki kenarına denir hipotenüs, diğer iki taraf denir bacaklar.
üçgen denir dar açılı köşelerinin üçü de keskinse, yani 90 ° 'den azsa.
üçgen denir geniş açılarından biri genişse, yani 90 ° 'den fazlaysa.
Üçgenin ana hatları
Medyan
Medyan Bir üçgen, bir üçgenin tepe noktasını bu üçgenin karşı tarafının ortasına bağlayan bir doğru parçasıdır. 
Bir üçgenin medyanlarının özellikleri
Medyan, bir üçgeni eşit alana sahip iki üçgene böler.
Üçgenin medyanları, her birini tepe noktasından sayarak 2: 1 oranında bölen bir noktada kesişir. Bu nokta denir ağırlık merkeziüçgen.
Tüm üçgen, medyanları tarafından altı eşit üçgene bölünür.
Açıortay
açıortay- bu, tepesinden çıkan, kenarlarının arasından geçen ve bu açıyı ikiye bölen bir ışındır. Bir üçgenin açıortayı köşeyi bu üçgenin karşı tarafındaki bir nokta ile birleştiren bir üçgenin açıortayının parçası. 
Bir üçgenin bisektörlerinin özellikleri
Boy uzunluğu
Boy uzunluğuüçgenin tepe noktasından bu üçgenin karşı tarafını içeren doğruya çizilen dikmeye üçgen denir. 
Üçgen yükseklik özellikleri
V sağ üçgen dik açının tepe noktasından çizilen yükseklik onu iki üçgene böler, benzer orijinal.
V dar açılı üçgen iki yüksekliği ondan kesildi benzerüçgenler.
medyan dik
Bir doğru parçasının ortasından kendisine dik olarak geçen doğruya denir. orta dik segmente .
Bir üçgenin orta nokta diklerinin özellikleri
Parçaya dik olan orta noktanın her noktası, bu parçanın uçlarından eşit uzaklıktadır. Bunun tersi de doğrudur: segmentin uçlarından eşit uzaklıkta olan her nokta, segmentin dik noktasında yer alır.
Üçgenin kenarlarına diklerin kesişme noktası merkezdir. bu üçgenin etrafında çevrelenmiş bir daire.
orta hat
Üçgenin orta çizgisi iki kenarının orta noktalarını birleştiren doğru parçasına denir.
Bir üçgenin orta hat özelliği
Bir üçgenin orta çizgisi, kenarlarından birine paraleldir ve bu kenarın yarısına eşittir.
Formüller ve oranlar
Üçgenler için eşitlik testleri
Sırasıyla eşitse iki üçgen eşittir:
iki taraf ve aralarındaki açı;
iki köşe ve onlara bitişik taraf;
üç taraf.
Dik açılı üçgenler için eşitlik testleri
2 sağ üçgen sırasıyla eşitlerse eşittirler: 
hipotenüs ve bir dar açı;
bacak ve karşı köşe;
bacak ve bitişik açı;
2 bacak;
hipotenüs ve bacak.
üçgenlerin benzerliği
iki üçgen benzerdir, aşağıdaki koşullardan biri varsa, benzerlik belirtileri:
bir üçgenin iki köşesi, başka bir üçgenin iki köşesine eşittir;
bir üçgenin iki kenarı diğer üçgenin iki kenarıyla orantılıdır ve bu kenarların oluşturduğu açılar eşittir;
bir üçgenin üç kenarı diğer üçgenin üç kenarıyla sırasıyla orantılıdır.
Bu tür üçgenlerde, karşılık gelen çizgiler ( yükseklikler, medyanlar, bisektörler vb) orantılıdır.
sinüs teoremi
Üçgenin kenarları karşıt açıların sinüsleriyle orantılıdır ve en boy oranı çap
bir üçgen etrafında çevrelenmiş bir daire:
kosinüs teoremi
Bir üçgenin bir kenarının karesi, diğer iki kenarın karelerinin toplamından, bu kenarların çarpımının iki katına, aralarındaki açının kosinüsüne eşittir:
a 2 = B 2 + C 2 - 2M.Öçünkü
Bir üçgen için alan formülleri
keyfi üçgen
a, b, c - partiler; - kenarlar arasındaki açı a ve B; - yarı çevre; R -çevrelenmiş dairenin yarıçapı; r - yazılı dairenin yarıçapı; S - Meydan; H a - yan yükseklik a.
Yükleniyor ...