Böylece sayı 12'ye bölünebilir. Bilimle başlayın. Sayı aralığı

Doğal sayıların bölünmesini basitleştirmek için, bölümde birleştirilen ilk on ve 11, 25 sayılarına bölme kuralları türetilmiştir. doğal sayıların bölünebilme işaretleri. Bir sayıyı başka bir doğal sayıya bölmeden analiz etmenin, 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 11, 25 ve 25 sayılarının katı bir doğal sayı olup olmadığı sorusunu cevaplayacak kurallar aşağıdadır. rakam birimi?

İlk rakamı 2,4,6,8,0 ile biten doğal sayılara çift sayı denir.

Sayıların 2'ye bölünebilme testi

Tüm çift doğal sayılar 2'ye bölünebilir, örneğin: 172, 94,67, 838, 1670.

Sayıların 3'e bölünebilme testi

Rakamları toplamı 3'e bölünebilen tüm doğal sayılar 3'e bölünebilir. Örneğin:
39 (3 + 9 = 12; 12: 3 = 4);

16 734 (1 + 6 + 7 + 3 + 4 = 21; 21:3 = 7).

Sayıların 4'e bölünebilme testi

Tüm doğal sayılar 4'e bölünebilir; bu sayının son iki basamağı sıfır veya 4'ün katıdır. Örneğin:
124 (24: 4 = 6);
103 456 (56: 4 = 14).

Sayıların 5'e bölünebilme testi

Sayıların 6'ya bölünebilme testi

2 ve 3'e aynı anda bölünebilen doğal sayılar 6'ya da bölünebilir (3'e bölünebilen tüm çift sayılar). Örneğin: 126 (b - çift, 1 + 2 + 6 = 9, 9: 3 = 3).

Sayıların 9'a bölünebilme testi

Rakamları toplamı 9'un katı olan doğal sayılar 9'a bölünür. Örneğin:
1179 (1 + 1 + 7 + 9 = 18, 18: 9 = 2).

Sayıların 10'a bölünebilme testi

Sayıların 11'e bölünebilme testi

Yalnızca çift basamaklardaki rakamların toplamı tek basamaklardaki rakamların toplamına veya tek basamaklardaki rakamların toplamı ile çift basamaklardaki rakamların toplamı arasındaki farka eşit olan doğal sayılar 11'e bölünebilir. yerler 11'in katıdır. Örneğin:
105787 (1 + 5 + 8 = 14 ve 0 + 7 + 7 = 14);
9,163,627 (9 + 6 + b + 7 = 28 ve 1 + 3 + 2 = 6);
28 — 6 = 22; 22: 11 = 2).

Sayıların 25'e bölünebilme testi

25'e bölünen, son iki rakamı sıfır olan veya 25'in katı olan doğal sayılardır. Örneğin:
2 300; 650 (50: 25 = 2);

1 475 (75: 25 = 3).

Sayıların basamak birimine göre bölünebilme işareti

Sıfır sayısı, basamak biriminin sıfır sayısından büyük veya ona eşit olan doğal sayılar, basamak birimine bölünür. Örneğin: 12.000, 10, 100 ve 1000'e bölünebilir.

Bölünebilme kriterleri ile ilgili makale serisi devam ediyor 3'e bölünebilme testi. Bu makalede öncelikle 3'e bölünebilme testinin bir formülasyonu verilmekte ve verilen tam sayılardan hangilerinin 3'e bölünebildiğini ve hangilerinin bölünmediğini bulmak için bu testin nasıl kullanıldığına dair örnekler verilmektedir. Aşağıda 3'e bölünebilme testinin bir kanıtı bulunmaktadır. Ayrıca, bazı ifadelerin değeri olarak verilen sayıların 3'üne bölünebilirliğini belirlemeye yönelik yaklaşımlar da dikkate alınmaktadır.

Sayfada gezinme.

3'e bölünebilme testi, örnekler

İle başlayalım 3'e bölünebilme testinin formülasyonları: Bir tamsayı, rakamlarının toplamı 3'e bölünüyorsa 3'e bölünür; ancak belirli bir sayının rakamlarının toplamı 3'e bölünemiyorsa sayının kendisi 3'e bölünemez.

Yukarıdaki formülasyondan, 3'e bölünebilirlik testinin, doğal sayıların toplama işlemi gerçekleştirilmeden kullanılamayacağı açıktır. Ayrıca, 3'e bölünebilme testini başarılı bir şekilde uygulamak için, tüm tek basamaklı doğal sayılar arasında 3, 6 ve 9 sayılarının 3'e bölünebildiğini, ancak 1, 2, 4, 5, 7 ve 7 sayılarının 3'e bölünebildiğini bilmeniz gerekir. 8, 3'e bölünmez.

Artık en basitini düşünebiliriz. 3'e bölünebilme testinin kullanımına örnekler. Sayının 3?42'ye bölünüp bölünemeyeceğini bulalım. Bunun için 42 sayısının rakamlarının toplamını hesaplıyoruz, 4+2=6 oluyor. 6, 3'e bölünebildiğine göre 3'e bölünebilme testi nedeniyle ?42 sayısının da 3'e bölünebildiğini söyleyebiliriz. Ancak 71 pozitif tamsayısı rakamlarının toplamı 7+1=8 olduğundan 3'e bölünemez ve 8 de 3'e bölünemez.

0 3'e bölünebilir mi? Bu soruyu cevaplamak için 3'e bölünebilme özelliğine ihtiyacınız yok; burada sıfırın herhangi bir tam sayıya bölünebileceğini belirten karşılık gelen bölünebilirlik özelliğini hatırlamanız gerekir. Yani 0, 3'e bölünür.

Bazı durumlarda, belirli bir sayının 3'e bölünebilme özelliğinin olup olmadığını göstermek için 3'e bölünebilirlik testinin art arda birkaç kez kullanılması gerekir. Bir örnek verelim.

907.444.812 sayısının 3'e bölünebildiğini gösterin.

907 444 812 sayısının rakamları toplamı 9+0+7+4+4+4+8+1+2=39'dur. 39'un 3'e bölünüp bölünmediğini öğrenmek için rakamlarının toplamını hesaplayalım: 3+9=12. 12'nin 3'e bölünüp bölünmediğini bulmak için 12 sayısının rakamlarının toplamını buluruz, 1+2=3 elde ederiz. 3'e bölünebilen 3 sayısını aldığımıza göre, 3'e bölünebilme testi sayesinde 12 sayısı 3'e bölünebilir. Bu nedenle 39, rakamlarının toplamı 12 olduğundan 3'e, 12 ise 3'e bölünebilir. Son olarak 907.333.812 rakamı rakamlarının toplamı 39 olduğundan 3'e, 39 ise 3'e bölünebilir.

Materyali pekiştirmek için çözümü başka bir örnekle analiz edeceğiz.

Sayı 3?543205'e bölünebilir mi?

Bu sayının rakamlarının toplamını hesaplayalım: 5+4+3+2+0+5=19. 19 sayısının rakamları toplamı 1+9=10, 10 sayısının rakamları toplamı ise 1+0=1 olur. 3'e bölünemeyen 1 sayısını 3'e bölünebilme testinden aldığımıza göre 10, 3'e bölünemez. Bu nedenle 19, rakamlarının toplamı 10 olduğundan 3'e bölünemez, 10 da 3'e bölünemez. Dolayısıyla orijinal sayı olan 543205, 19'a eşit olan rakamlarının toplamı 3'e bölünemediği için 3'e tam bölünemez.

Belirli bir sayıyı doğrudan 3'e bölmenin, aynı zamanda belirli bir sayının 3'e bölünüp bölünemeyeceği sonucuna varmamıza da olanak tanıdığını belirtmekte fayda var. Bununla 3'e bölünebilirlik kriteri lehine bölmeyi ihmal etmememiz gerektiğini söylemek istiyoruz. Son örnekte, 543,205'i bir sütunla 3'e bölerek, 543,205'in 3'e tam olarak bölünemediğinden emin oluruz, buradan ?543,205'in 3'e bölünemediğini söyleyebiliriz.

3'e bölünebilme testinin kanıtı

A sayısının aşağıdaki gösterimi 3'e bölünebilirlik testini kanıtlamamıza yardımcı olacaktır. Herhangi bir a doğal sayısını rakamlara genişletebiliriz; bundan sonra 10, 100, 1.000 vb. ile çarpma kuralı a=a n ·10 n +a n?1 ·10 n?1 + formunun bir temsilini elde etmemizi sağlar. …+a 2 ·10 2 +a 1 ·10+a 0, burada a n, a n?1, ..., a 0 a sayısının gösteriminde soldan sağa doğru olan sayılardır. Açıklık sağlamak için böyle bir temsilin örneğini veriyoruz: 528=500+20+8=5·100+2·10+8.

Şimdi oldukça açık olan birkaç eşitliği yazalım: 10=9+1=3·3+1, 100=99+1=33·3+1, 1 000=999+1=333·3+1 vb. .

Eşitlikte a=a n ·10 n +a n?1 ·10 n?1 +…+a 2 ·10 2 +a 1 ·10+a 10, 100, 1 000 yerine 0 ve benzeri ifadeler 3· 3+1 , 33·3+1 , 999+1=333·3+1 ve benzeri şekilde şunu elde ederiz:
.

Doğal sayıların toplama özellikleri ve doğal sayıların çarpma özellikleri, elde edilen eşitliğin aşağıdaki şekilde yeniden yazılmasına olanak tanır:

İfade a sayısının rakamlarının toplamıdır. Kısalık ve kolaylık olması açısından A harfiyle belirtelim yani kabul ediyoruz. Daha sonra 3'e bölünebilirlik testini kanıtlamak için kullanacağımız formun a sayısının bir temsilini elde ederiz.

Ayrıca 3'e bölünebilme testini kanıtlamak için aşağıdaki bölünebilirlik özelliklerine ihtiyacımız var:

Bir a tam sayısının bir b tam sayısına bölünebilmesi için a sayısının modülünün b sayısının modülüne bölünebilir olması gerekli ve yeterlidir;
a=s+t eşitliğinde, biri hariç tüm terimler bir b tamsayısı ile bölünüyorsa, bu durumda bu terim de b'ye bölünebilir.

Artık tamamen hazırız ve gerçekleştirebiliriz 3'e bölünebilme kanıtı kolaylık sağlamak için bu kriteri 3'e bölünebilmenin gerekli ve yeterli koşulu şeklinde formüle ediyoruz.

Bir a tam sayısının 3'e bölünebilmesi için rakamları toplamının 3'e bölünebilmesi gerekli ve yeterlidir.

a=0 için teorem açıktır.

Eğer a sıfır değilse, o zaman a sayısının modülü bir doğal sayıdır, o zaman temsil mümkündür, burada a sayısının rakamlarının toplamı bulunur.

Tam sayıların toplamı ve çarpımı bir tam sayı olduğundan, o zaman bir tam sayıdır, bu durumda bölünebilirlik tanımına göre çarpım herhangi bir 0, a 1, ..., a n için 3'e bölünebilir.

Bir a sayısının rakamları toplamı 3'e bölünüyorsa, yani A 3'e bölünüyorsa, teoremden önce belirtilen bölünebilme özelliği nedeniyle 3'e bölünebilir, dolayısıyla a 3'e bölünebilir. Yani yeterliliği kanıtlanmıştır.

Eğer a 3'e bölünebiliyorsa, o zaman 3'e de bölünebilir, o zaman aynı bölünebilme özelliğinden dolayı A sayısı 3'e bölünebilir, yani a sayısının rakamlarının toplamı 3'e bölünebilir. Gerekliliği kanıtlandı.

3'e bölünebilmenin diğer durumları

Bazen tamsayılar açıkça belirtilmez, ancak değişkenin değeri verilen bir değişkenle bazı ifadelerin değeri olarak belirtilir. Örneğin, bir n doğal sayısı için bir ifadenin değeri bir doğal sayıdır. Sayıları bu şekilde belirtirken doğrudan 3'e bölünmenin 3'e bölünebilirliğini sağlamaya yardımcı olmayacağı ve 3'e bölünebilirlik testinin her zaman uygulanamayacağı açıktır. Şimdi bu tür sorunları çözmek için çeşitli yaklaşımlara bakacağız.

Bu yaklaşımların özü, orijinal ifadeyi birkaç faktörün ürünü olarak temsil etmektir ve eğer faktörlerden en az biri 3'e bölünebiliyorsa, karşılık gelen bölünebilirlik özelliği nedeniyle tüm çarpımın olduğu sonucuna varmak mümkün olacaktır. 3'e bölünebilir.

Bazen Newton'un binom'u bu yaklaşımın uygulanmasına izin verir. Örnek çözüme bakalım.

İfadenin değeri herhangi bir n doğal sayısı için 3'e bölünebilir mi?

Eşitlik açıktır. Newton'un binom formülünü kullanalım:

Son ifadede parantez içinden 3'ü çıkarırsak elde ederiz. Ortaya çıkan çarpım 3 faktörünü içerdiğinden ve doğal n için parantez içindeki ifadenin değeri bir doğal sayıyı temsil ettiğinden 3'e bölünür. Bu nedenle herhangi bir n doğal sayısı için 3'e bölünebilir.

Çoğu durumda, matematiksel tümevarım yöntemi, kişinin 3'e bölünebilirliğini kanıtlamasına olanak tanır. Bir örnek çözerken uygulamasına bakalım.

Herhangi bir n doğal sayısı için ifadenin değerinin 3'e bölünebileceğini kanıtlayın.

Bunu kanıtlamak için matematiksel tümevarım yöntemini kullanacağız.

n=1 olduğunda ifadenin değeri olur ve 6, 3'e bölünür.

İfadenin değerinin n=k olduğunda 3'e bölünebildiğini, yani 3'e bölünebildiğini varsayalım.

3'e bölünebildiğini göz önünde bulundurarak n=k+1 ifadesinin değerinin 3'e bölünebileceğini göstereceğiz. 3'e bölünebilir.

Bazı dönüşümler yapalım:

İfade 3'e bölünebilir ve ifade 3'e bölünebildiği için toplamları da 3'e bölünür.

Böylece matematiksel tümevarım yöntemini kullanarak herhangi bir n doğal sayısı için 3'e bölünebilirliği kanıtlandı.

3'e bölünebilmeyi kanıtlamak için başka bir yaklaşım gösterelim. m'nin keyfi bir tamsayı olduğu n=3 m, n=3 m+1 ve n=3 m+2 için bazı ifadelerin (n değişkenli) değerinin 3'e bölünebildiğini gösterirsek, bu şunu kanıtlar: Herhangi bir n tamsayısı için bir ifadenin 3'e bölünebilirliği. Önceki örneği çözerken bu yaklaşımı ele alalım.

Herhangi bir n doğal sayısı için neyin 3'e bölünebileceğini gösterin.

n=3·m için elimizde. Ortaya çıkan ürün, 3'e bölünebilen 3 faktörünü içerdiğinden 3'e bölünebilir.

Ortaya çıkan ürün de 3'e bölünebilir.

Ve bu çarpım 3'e bölünebilir.

Bu nedenle herhangi bir n doğal sayısı için 3'e bölünebilir.

Sonuç olarak başka bir örneğin çözümünü sunuyoruz.

İfadenin değeri 3'e bölünebilir mi? bazı doğal sayılar için n.

n=1 için elimizde. Ortaya çıkan sayının rakamları toplamı 3 olduğundan 3'e bölünebilme testi bu sayının 3'e bölünebileceğini söylememizi sağlar.

n=2 için elimizde. Bu sayının rakamları ile bu sayının toplamı 3 olduğundan 3'e bölünür.

Diğer herhangi bir n doğal sayısı için rakamlarının toplamı 3 olan sayılara sahip olacağımız açıktır, dolayısıyla bu sayılar 3'e bölünebilir.

Böylece, herhangi bir doğal sayı için n, 3'e bölünebilir.

www.cleverstudents.ru

Matematik, 6. sınıf, genel eğitim kurumlarının öğrencileri için ders kitabı, Zubareva I.I., Mordkovich A.G., 2014

Matematik, 6. sınıf, genel eğitim kurumlarının öğrencileri için ders kitabı, Zubareva I.I., Mordkovich A.G., 2014.

Ders kitabındaki teorik materyal, öğretmenin probleme dayalı öğretim yaklaşımını uygulayabileceği şekilde sunulmaktadır. Bir notasyon sistemi kullanılarak dört zorluk seviyesindeki alıştırmalar ayırt edilir. Her paragrafta, öğrencilerin matematik eğitiminin standart seviyesine ulaşması için bilmeleri ve yapabilmeleri gerekenler temel alınarak kontrol görevleri formüle edilmiştir. Ders kitabının sonunda ev testleri ve cevapları bulunmaktadır. Renkli resimler (çizimler ve diyagramlar), eğitim materyalinin yüksek düzeyde netliğini sağlar.
Federal State Educational Standard LLC'nin gerekliliklerine uygundur.

Görevler.

4. Bir ABC üçgeni çizin ve onun dışına O noktasını işaretleyin (Şekil 11'deki gibi). O noktasına göre ABC üçgenine simetrik bir şekil oluşturun.

5. Bir KMN üçgeni çizin ve bu üçgene aşağıdakilere göre simetrik bir şekil oluşturun:
a) köşeleri M noktalarıdır;
b) O noktası - MN tarafının ortası.

6. Simetrik bir şekil oluşturun:
a) O noktasına göre OM ışını; hangi noktanın O noktasına simetrik olduğunu yazın;
b) bu ışına ait olmayan rastgele bir A noktasına göre OM ışını;
c) bu doğruya ait olmayan O noktasına göre AB çizgisi;
d) bu doğruya ait olan O noktasına göre AB çizgisi; Hangi noktanın O noktasına simetrik olduğunu yazın.
Her durumda, merkezi simetrik şekillerin göreceli konumunu karakterize edin.

İçindekiler
Bölüm I. Pozitif ve negatif sayılar. Koordinatlar
§ 1. Dönme ve merkezi simetri
§ 2. Pozitif ve negatif sayılar. Koordinat çizgisi
§ 3. Bir sayının modülü. Zıt sayılar
§ 4. Sayıların karşılaştırılması
§ 5. Çizgilerin paralelliği
§ 6. “+”, “-” işaretlerini içeren sayısal ifadeler
§ 7. Cebirsel toplam ve özellikleri
§ 8. İki sayının cebirsel toplamının değerini hesaplama kuralı
§ 9. Koordinat çizgisinin noktaları arasındaki mesafe
§ 10. Eksenel simetri
§ 11. Sayısal aralıklar
§ 12. Pozitif ve negatif sayıların çarpımı ve bölünmesi
§ 13. Koordinatlar
§ 14. Koordinat düzlemi
§ 15. Sıradan kesirlerin çarpımı ve bölünmesi
§ 16. Kombinatoryal problemler için çarpma kuralı
Bölüm II. Gerçek ifadeleri dönüştürme
§ 17. Genişleyen parantez
§ 18. İfadelerin basitleştirilmesi
§ 19. Denklemlerin çözümü
§ 20. Denklem oluşturmayı içeren problemleri çözme
§ 21. Kesirlerle ilgili iki ana problem
§ 22. Daire. Çevre
§ 23. Daire. Bir dairenin alanı
§ 24. Top. Küre
Bölüm III. Doğal sayıların bölünebilirliği
§ 25. Bölenler ve katlar
§ 26. Bir ürünün bölünebilirliği
§ 27. Sayıların toplamının ve farkının bölünebilirliği
§ 28. 2, 5, 10, 4 ve 25'e bölünebilirlik testleri
§ 29. 3 ve 9'a bölünebilirlik testleri
§ 30. Asal sayılar. Bir sayıyı asal çarpanlarına ayırma
§ 31. En büyük ortak bölen
§ 32. Eş asal sayılar. Bir ürün için bölünebilirlik testi. En küçük ortak Kat
Bölüm IV. Çevremizdeki matematik
§ 33. İki sayının oranı
§ 34. Diyagramlar
§ 35. Miktarların orantılılığı
§ 36. Oranları kullanarak problemleri çözme
§ 37. Çeşitli görevler
§ 38. “Olasılık” kavramıyla ilk tanışma
§ 39. Olasılığın hesaplanmasıyla ilk tanışma
Ev testleri
Proje faaliyetleri için konular
Yanıtlar

E-kitabı uygun bir formatta ücretsiz olarak indirin ve okuyun:

Matematik

1-6. SINIFLAR İÇİN MATEMATİK HAKKINDA REFERANS MATERYAL.

Sevgili ebeveynler!Çocuğunuza matematik öğretmeni arıyorsanız bu ilan tam size göre. Skype dersi veriyorum: Birleşik Devlet Sınavına hazırlık, Birleşik Devlet Sınavı, bilgi boşluklarını kapatma. Avantajlarınız açıktır:

1) Çocuğunuz evde ve onun hakkında sakin olabilirsiniz;

2) Dersler çocuğun uygun olduğu bir zamanda yapılır, hatta bu derslere katılabilirsiniz. Bunu her zamanki okul yönetim kurulunda basit ve net bir şekilde anlatıyorum.

3) Skype derslerinin diğer önemli avantajlarını kendiniz de düşünebilirsiniz!

Bana şu adresten yazın: veya beni hemen Skype'a ekleyin, her konuda anlaşalım. Fiyatlar uygun.

Not: Dersler 2-4 kişilik gruplar halinde yapılabilir.

Saygılarımla, Tatyana Yakovlevna Andryushchenko bu sitenin yazarıdır.

Sevgili arkadaşlar!

Sizi ücretsiz matematik referans materyallerini indirmeye davet etmekten mutluluk duyuyorum. 5. sınıf. Buradan indirin!

Sevgili arkadaşlar!

Bazı çocukların çarpma ve uzun bölme işlemlerinde zorluk yaşadıkları bir sır değil. Çoğu zaman bunun nedeni çarpım tablosuna ilişkin yetersiz bilgidir. Çarpım tablosunu loto kullanarak öğrenmenizi öneririm. Daha fazla ayrıntıya buradan bakın. Lotoyu buradan indirin.

Sevgili arkadaşlar! Yakında karar verme ihtiyacıyla karşı karşıya kalacaksınız (ya da zaten karşılaşmışsınızdır) yüzde sorunları. Bu tür problemler 5. sınıftan itibaren çözülmeye başlanır ve tamamlanır. ancak yüzdelerle ilgili problemleri çözmeyi bitirmiyorlar! Bu görevler hem testlerde hem de sınavlarda bulunur: hem transfer hem de Birleşik Devlet Sınavı ve Birleşik Devlet Sınavı. Ne yapalım? Bu tür sorunları çözmeyi öğrenmemiz gerekiyor. “Yüzde Problemleri Nasıl Çözülür” kitabım bu konuda size yardımcı olacaktır. Ayrıntılar burada!

Sayı ekleme.

a+b=c a ve b'nin terim olduğu durumlarda c toplamdır.
Bilinmeyen terimi bulmak için bilinen terimi toplamdan çıkarmanız gerekir.

Sayıları çıkarma.

a-b=c a eksi, b çıkan, c farktır.
Bilinmeyen eksiyi bulmak için çıkanı farka eklemeniz gerekir.
Bilinmeyen çıkanı bulmak için farkı eksiden çıkarmanız gerekir.

Sayıların çarpılması.

a·b=c a ve b'nin faktörler olduğu durumlarda c üründür.
Bilinmeyen bir faktörü bulmak için ürünü bilinen faktöre bölmeniz gerekir.

Sayıları bölme.

a:b=c burada a bölen, b bölen, c bölümdür.
Bilinmeyen böleni bulmak için böleni bölümle çarpmanız gerekir.
Bilinmeyen bir böleni bulmak için, böleni bölüme bölmeniz gerekir.

Toplama kanunları.

a+b=b+a(değişmeli: terimlerin yeniden düzenlenmesi toplamı değiştirmez).
(a+b)+c=a+(b+c)(birleşik: iki terimin toplamına üçüncü bir sayı eklemek için ikinci ve üçüncünün toplamını birinci sayıya ekleyebilirsiniz).

Ekleme tablosu.

1+9=10; 2+8=10; 3+7=10; 4+6=10; 5+5=10; 6+4=10; 7+3=10; 8+2=10; 9+1=10.
1+19=20; 2+18=20; 3+17=20; 4+16=20; 5+15=20; 6+14=20; 7+13=20; 8+12=20; 9+11=20; 10+10=20; 11+9=20; 12+8=20; 13+7=20; 14+6=20; 15+5=20; 16+4=20; 17+3=20; 18+2=20; 19+1=20.

Çarpma yasaları.

a·b=b·a(değişmeli: faktörlerin yeniden düzenlenmesi çarpımı değiştirmez).
(a b) c=a (b c)(birleşik: iki sayının çarpımını üçüncü bir sayıyla çarpmak için, ilk sayıyı ikinci ve üçüncünün çarpımı ile çarpabilirsiniz).
(a+b)c=ac+bc(toplamaya göre çarpmanın dağılım yasası: iki sayının toplamını üçüncü bir sayıyla çarpmak için, her terimi bu sayıyla çarpabilir ve elde edilen sonuçları toplayabilirsiniz).
(a-b) c=a c-b c(Çarpmanın çıkarma işlemine göre dağılım yasası: iki sayının farkını üçüncü bir sayıyla çarpmak için, eksiyi bu sayıyla ayrı ayrı çarpabilir ve çıkarabilirsiniz ve ikinciyi ilk sonuçtan çıkarabilirsiniz).

Çarpım tablosu.

2·1=2; 3·1=3; 4.1=4; 5.1=5; 6·1=6; 7·1=7; 8·1=8; 9·1=9.

2.2=4; 3.2=6; 4.2=8; 5.2=10; 6.2=12; 7.2=14; 8.2=16; 9.2=18.

2.3=6; 3.3=9; 4.3=12; 5.3=15; 6.3=18; 7.3=21; 8.3=24; 9.3=27.

2.4=8; 3.4=12; 4.4=16; 5.4=20; 6.4=24; 7.4=28; 8.4=32; 9.4=36.

2.5=10; 3.5=15; 4.5=20; 5.5=25; 6.5=30; 7.5=35; 8.5=40; 9.5=45.

2.6=12; 3.6=18; 4.6=24; 5.6=30; 6.6=36; 7.6=42; 8.6=48; 9.6=54.

2.7=14; 3.7=21; 4.7=28; 5.7=35; 6.7=42; 7.7=49; 8.7=56; 9.7=63.

2.8=16; 3.8=24; 4.8=32; 5.8=40; 6.8=48; 7.8=56; 8.8=64; 9.8=72.

2.9=18; 3.9=27; 4.9=36; 5.9=45; 6.9=54; 7.9=63; 8.9=72; 9.9=81.

2·10=20; 3·10=30; 4.10=40; 5.10=50; 6·10=60; 7.10=70; 8·10=80; 9.10=90.

Bölenler ve katlar.

Bölücü doğal sayı A hangi doğal sayıya karşılık gelir A kalansız bölünür. (1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 sayıları 24 sayısının bölenleridir, çünkü 24 sayıları her birine kalansız bölünebilir.) 1, herhangi bir doğal sayının bölenidir. Herhangi bir sayının en büyük böleni sayının kendisidir.
Katlar doğal sayı B bölünebilen bir doğal sayıdır B. (24, 48, 72,... sayıları 24'e kalansız bölünebildiği için 24 sayısının katıdır). Herhangi bir sayının en küçük katı sayının kendisidir.

Doğal sayılarda bölünebilme kriterleri.

Nesneleri sayarken kullanılan sayılara (1, 2, 3, 4,...) doğal sayılar denir. Doğal sayılar kümesi harfle gösterilir N.
Sayılar 0, 2, 4, 6, 8 isminde eşit sayılarla. Sonu çift rakamla biten sayılara çift sayı denir.
Sayılar 1, 3, 5, 7, 9 isminde garip sayılarla. Sonu tek rakamla biten sayılara tek sayı denir.
2 sayısına bölünebilme testi. Sonu çift rakamla biten tüm doğal sayılar 2'ye bölünür.
5 sayısına bölünebilme testi. Sonu 0 veya 5 ile biten tüm doğal sayılar 5'e bölünür.
10 sayısına bölünebilme testi. Sonu 0 ile biten tüm doğal sayılar 10'a bölünür.
3 sayısına bölünebilme testi. Bir sayının rakamları toplamı 3'e bölünüyorsa sayının kendisi de 3'e bölünür.
9 sayısına bölünebilme testi. Bir sayının rakamları toplamı 9'a bölünüyorsa sayının kendisi de 9'a bölünür.
4 sayısına bölünebilme testi. Belirli bir sayının son iki rakamından oluşan bir sayı 4'e bölünüyorsa, o sayının kendisi de 4'e bölünür.
11 sayısına bölünebilme testi Tek basamaklardaki rakamların toplamı ile çift basamaklardaki rakamların toplamı arasındaki fark 11'e bölünüyorsa sayının kendisi de 11'e bölünür.

Asal sayı, yalnızca iki böleni olan bir sayıdır: biri ve sayının kendisi.
İkiden fazla böleni olan sayılara bileşik sayı denir.
1 sayısı ne asal sayı ne de bileşik sayıdır.
Bileşik sayıyı yalnızca asal sayıların çarpımı olarak yazmaya, bileşik sayıyı asal çarpanlarına ayırma denir. Herhangi bir bileşik sayı, asal faktörlerin bir ürünü olarak benzersiz bir şekilde temsil edilebilir.

Verilen doğal sayıların en büyük ortak böleni, bu sayıların her birinin bölündüğü en büyük doğal sayıdır.
Bu sayıların en büyük ortak böleni, bu sayıların açılımlarındaki ortak asal çarpanların çarpımına eşittir. Örnek. OBEB(24, 42)=2·3=6, 24=2·2·2·3, 42=2·3·7 olduğundan ortak asal çarpanları 2 ve 3'tür.
Doğal sayıların yalnızca bir ortak böleni varsa - bir, bu sayılara nispeten asal denir.

Verilen doğal sayıların en küçük ortak katı, verilen sayıların her birinin katı olan en küçük doğal sayıdır. Örnek. LCM(24, 42)=168. Hem 24'e hem de 42'ye bölünebilen en küçük sayıdır.
Verilen birkaç doğal sayının LCM'sini bulmak için şunları yapmanız gerekir: 1) verilen sayıların her birini asal çarpanlara ayırmanız; 2) Daha büyük sayının ayrıştırılmasını yazın ve bunu diğer sayıların ayrıştırılmasındaki eksik faktörlerle çarpın.
Aralarında asal olan iki sayının en küçük katı, bu sayıların çarpımına eşittir.

B- kesrin paydası, kesrin kaç eşit parçaya bölündüğünü gösterir;

A-kesrin payı bu parçalardan kaç tanesinin alındığını gösterir. Kesir çubuğu bölme işareti anlamına gelir.

Bazen yatay bir kesirli çizgi yerine eğik bir çizgi koyarlar ve sıradan bir kesir şu şekilde yazılır: a/b.

sen uygun kesir pay paydadan küçüktür.
sen uygunsuz kesir pay paydadan büyüktür veya paydaya eşittir.

Bir kesrin payı ve paydası aynı doğal sayıyla çarpılır veya bölünürse eşit kesir elde edilir.

Bir kesrin hem payını hem de paydasını birden dışındaki ortak bölenlerine bölmeye kesrin azaltılması denir.

Bir tam sayı ve bir kesirli kısımdan oluşan sayıya karışık sayı denir.
Uygun olmayan bir kesri karışık sayı olarak temsil etmek için, kesrin payını paydaya bölmeniz gerekir, ardından eksik bölüm karma sayının tamsayı kısmı olacak, geri kalan kesirli kısmın payı olacak ve kalan kısım kesirli kısmın payı olacaktır. payda aynı kalacaktır.
Karışık bir sayıyı uygunsuz bir kesir olarak temsil etmek için, karışık sayının tamsayı kısmını payda ile çarpmanız, kesirli kısmın payını elde edilen sonuca eklemeniz ve bunu paydayı bırakarak yanlış kesrin payına yazmanız gerekir. aynısı.

ışın Ah noktada başlangıç noktası ile HAKKINDA, üzerinde belirtilen tek kesim ve yön, isminde koordinat ışını.
Koordinat ışınının noktasına karşılık gelen sayıya denir koordinat bu nokta. Örneğin , A(3). Okuyun: koordinat 3 ile A noktası.

En düşük ortak payda ( BOH) bu indirgenemez kesirlerin en küçük ortak katıdır ( NOC) bu kesirlerin paydaları.
Kesirleri en küçük ortak paydaya indirmek için şunları yapmanız gerekir: 1) verilen kesirlerin paydalarının en küçük ortak katını bulun, bu en küçük ortak payda olacaktır. 2) yeni paydayı her kesrin paydasına bölerek her kesir için ek bir faktör bulun. 3) her kesrin payını ve paydasını ek faktörüyle çarpın.

Paydası aynı olan iki kesirden payı büyük olan daha büyük, payı küçük olan daha küçüktür.
Payları aynı olan iki kesirden paydası küçük olan daha büyük, paydası daha büyük olan daha küçüktür.
Payları farklı ve paydaları farklı olan kesirleri karşılaştırmak için kesirleri en küçük ortak paydalarına indirgemeniz ve ardından aynı paydalara sahip kesirleri karşılaştırmanız gerekir.

Adi kesirler üzerinde işlemler.

Paydaları aynı olan kesirleri toplamak için paylarını toplayıp paydayı aynı bırakmanız gerekir.
Paydaları farklı olan kesirleri toplamanız gerekiyorsa, önce kesirleri en küçük ortak paydaya düşürün ve ardından aynı paydaya sahip kesirleri ekleyin.
Paydaları aynı olan kesirleri çıkarmak için, paydayı aynı bırakarak ikinci kesrin payını birinci kesrin payından çıkarın.
Farklı paydalara sahip kesirleri çıkarmanız gerekiyorsa, önce bunlar ortak bir paydaya getirilir ve ardından aynı paydaya sahip kesirler çıkarılır.
Tam sayılı sayılar üzerinde toplama veya çıkarma işlemleri yapılırken bu işlemler tam kısımlar ve kesirli kısımlar için ayrı ayrı yapılır ve daha sonra sonuç tam sayılı kısım olarak yazılır.

İki sıradan kesirin çarpımı, payı payların çarpımına eşit olan bir kesire eşittir ve payda bu kesirlerin paydalarının çarpımına eşittir.
Ortak bir kesri bir doğal sayıyla çarpmak için kesrin payını bu sayıyla çarpmanız, ancak paydayı aynı bırakmanız gerekir.
Çarpımları bire eşit olan iki sayıya karşılıklı sayılar denir.
Tam sayılı sayılar çarpılırken öncelikle bileşik kesirlere dönüştürülür.
Bir sayının kesirini bulmak için sayıyı o kesirle çarpmanız gerekir.

Ortak bir kesri ortak bir kesire bölmek için, bölüneni bölenin tersi ile çarpmanız gerekir.
Tam sayılı sayılar bölünürken öncelikle bileşik kesirlere dönüştürülür.
Ortak bir kesri bir doğal sayıya bölmek için kesrin paydasını bu doğal sayıyla çarpmanız ve payı aynı bırakmanız gerekir. ((2/7):5=2/(7·5)=2/35).
Bir sayıyı kesrine göre bulmak için, ona karşılık gelen sayıyı bu kesre bölmeniz gerekir.

Ondalık kesir, ondalık sistemde yazılan ve rakamları birden küçük olan bir sayıdır. (3,25; 0,1457, vb.)
Ondalık kesirlerde virgülden sonraki yerlere ondalık basamaklar denir.
Ondalık sayının sonuna sıfır eklerseniz veya çıkarırsanız, ondalık sayı değişmeyecektir.

Ondalık kesirleri eklemek için şunları yapmanız gerekir: 1) bu kesirlerdeki ondalık basamakların sayısını eşitleyin; 2) virgülün altına yazılması için bunları birbiri ardına yazın; 3) virgüllere dikkat etmeden toplama işlemini yapın ve eklenen kesirlerde virgülün altına toplamın üzerine virgül koyun.

Ondalık kesirleri çıkarmak için şunları yapmanız gerekir: 1) eksilen ve çıkandaki ondalık basamakların sayısını eşitleyin; 2) virgülün virgülün altında olması için eksilen kısmın altındaki çıkanı imzalayın; 3) virgüllere dikkat etmeden çıkarma işlemini yapın ve sonuçta eksi ve çıkan virgüllerinin altına virgül koyun.

Ondalık kesri doğal bir sayı ile çarpmak için, virgül göz ardı edilerek bu sayı ile çarpmanız ve ortaya çıkan üründe, bu kesirdeki ondalık noktadan sonra olduğu kadar sağdaki basamakları virgülle ayırmanız gerekir.
Bir ondalık kesri diğeriyle çarpmak için, virgüllere dikkat etmeden çarpma işlemini yapmanız ve sonuçta, her iki faktörde de ondalık noktadan sonra olduğu kadar sağdaki rakamı virgülle ayırmanız gerekir.
Ondalık kesri 10, 100, 1000 vb. ile çarpmak için virgülünü 1, 2, 3 vb. basamak sağa kaydırmanız gerekir.
Bir ondalık sayıyı 0,1 ile çarpmak için; 0,01; 0,001 vb. virgülünü 1, 2, 3 vb. basamak sola kaydırmanız gerekir.

Ondalık kesri bir doğal sayıya bölmek için, kesri doğal sayılar bölündüğü gibi bu sayıya bölmeniz ve tam parçanın bölünmesi tamamlandığında bölüme virgül koymanız gerekir.
Ondalık kesri 10, 100, 1000 vb.'ye bölmek için virgülünü 1, 2, 3 vb. basamak sola kaydırmanız gerekir.

Bir sayıyı ondalık kesirle bölmek için, bölen ve bölendeki virgülleri, bölendeki ondalık noktadan sonraki basamak sayısı kadar sağa kaydırmanız ve ardından doğal sayıya bölmeniz gerekir.
Bir ondalık sayıyı 0,1'e bölmek için; 0,01; 0,001 vb. ise virgülünü 1, 2, 3 vb. basamak sağa kaydırmanız gerekir. (Ondalık sayıyı 0,1, 0,01, 0,001 vb. ile bölmek, o ondalık sayıyı 10, 100, 1000 vb. ile çarpmakla aynıdır.)

Bir sayıyı herhangi bir rakama yuvarlamak için bu rakamın bir rakamının altını çizeriz, altı çizili rakamdan sonraki tüm rakamları sıfır ile değiştiririz, virgülden sonra ise onları atarız. Sıfırla değiştirilen veya atılan ilk rakam 0, 1, 2, 3 veya 4 ise, altı çizili rakam değişmeden kalır. Sıfırla değiştirilen veya atılan ilk rakam 5, 6, 7, 8 veya 9 ise altı çizili rakam 1 artırılır.

Birkaç sayının aritmetik ortalaması.

Birkaç sayının aritmetik ortalaması, bu sayıların toplamının terim sayısına bölünmesiyle elde edilen bölümdür.

Bir dizi sayının aralığı.

Bir veri serisinin en büyük ve en küçük değerleri arasındaki farka sayı serisinin aralığı denir.

Sayı serisinin modu.

Bir seride verilen sayılar arasında frekansı en yüksek olan sayıya sayı serisinin modu denir.

Yüzde bire yüzde denir. “Yüzde Problemlerinin Nasıl Çözüleceğini” öğreten bir kitap satın alın.
Yüzdeleri kesir veya doğal sayı olarak ifade etmek için yüzdeyi %100'e bölmeniz gerekir. (%4=0,04; %32=0,32).
Bir sayıyı yüzde olarak ifade etmek için onu %100 ile çarpmanız gerekir. (%0,65=0,65·100=%65; 1,5=1,5·100%=%150).
Bir sayının yüzdesini bulmak için yüzdeyi ortak veya ondalık kesir olarak ifade etmeniz ve elde edilen kesri verilen sayıyla çarpmanız gerekir.
Bir sayıyı yüzdesine göre bulmak için yüzdeyi adi veya ondalık kesir olarak ifade etmeniz ve verilen sayıyı bu kesire bölmeniz gerekir.
İlk sayının ikinciye göre yüzde kaçını bulmak için ilk sayıyı ikinciye bölüp sonucu %100 ile çarpmanız gerekir.

İki sayının bölümüne bu sayıların oranı denir. a:b veya a/b– a ve b sayılarının oranı ve a önceki terim, b ise sonraki terimdir.
Belirli bir ilişkinin üyeleri yeniden düzenlenirse ortaya çıkan ilişkiye verilen ilişkinin tersi denir. b/a ve a/b ilişkileri karşılıklı olarak terstir.
Oranın her iki terimi de sıfır dışında aynı sayıyla çarpılır veya bölünürse oran değişmeyecektir.

İki oranın eşitliğine orantı denir.
a:b=c:d. Bu bir orantıdır. Okumak: A Bu .... için geçerlidir B, Nasıl C kastediyor D. A ve d sayılarına oranın uç terimleri, b ve c sayılarına ise orta terimleri denir.

Bir oranın aşırı terimlerinin çarpımı orta terimlerinin çarpımına eşittir. Oran için a:b=c:d veya a/b=c/d ana özellik şu şekilde yazılmıştır: a·d=b·c.
Bir oranın bilinmeyen ekstrem terimini bulmak için, oranın orta terimlerinin çarpımını bilinen ekstrem terime bölmeniz gerekir.
Bir oranın bilinmeyen orta terimini bulmak için oranın ekstrem terimlerinin çarpımını bilinen orta terime bölmeniz gerekir. Oran problemleri.

Değere izin ver sen boyutuna bağlıdır X. Eğer artarken X birkaç kat daha büyük en aynı miktarda artarsa bu değerler X Ve en doğru orantılı denir.

İki miktar doğrudan orantılı ise, o zaman birinci miktarın keyfi olarak alınan iki değerinin oranı, ikinci miktarın karşılık gelen iki değerinin oranına eşittir.

Harita üzerindeki bir parçanın uzunluğunun yerdeki karşılık gelen mesafenin uzunluğuna oranına harita ölçeği denir.

Değere izin ver en boyutuna bağlıdır X. Eğer artarken X birkaç kat daha büyük en aynı miktarda azalırsa bu değerler X Ve en ters orantılı denir.

İki miktar ters orantılı ise, o zaman bir miktarın keyfi olarak alınan iki değerinin oranı, diğer miktarın karşılık gelen değerlerinin ters oranına eşittir.

Küme, bazı genel özelliklere veya yasalara (bir sayfada birçok harf, paydası 5 olan birçok uygun kesir, gökyüzünde birçok yıldız vb.) göre oluşturulmuş bazı nesne veya sayıların bir koleksiyonudur.
Kümeler elemanlardan oluşur ve sonlu veya sonsuz olabilir. Tek bir elemanı olmayan kümeye boş küme denir ve ile gösterilir. Ö.
Bir demet İÇİNDE bir kümenin alt kümesi denir A kümenin tüm elemanları ise İÇİNDE kümenin elemanlarıdır A.
Kümelerin kesişimi A Ve İÇİNDE elemanları kümeye ait olan bir kümedir A ve birçok İÇİNDE.
Setlerin birliği A Ve İÇİNDE elemanları bu kümelerden en az birine ait olan bir kümedir A Ve İÇİNDE.

Çok sayıda sayı.

N– doğal sayılar kümesi: 1, 2, 3, 4,…
Z– bir tam sayı kümesi: …, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4,…
Q– kesir olarak temsil edilebilen bir dizi rasyonel sayı a/n, Nerede M- tüm, N– doğal (-2; 3/5; v9; v25, vb.)

Koordinat çizgisi, üzerinde pozitif bir yön, bir referans noktası (O noktası) ve bir birim parçanın verildiği düz bir çizgidir.
Koordinat doğrusu üzerindeki her nokta, bu noktanın koordinatı adı verilen belirli bir sayıya karşılık gelir. Örneğin, bir(5). Şunu okurlar: koordinat beş olan A noktası. 3'TE). Şunu okurlar: koordinat eksi üç olan B noktası.

a sayısının modülü (yaz |bir|) başlangıç noktasından belirli bir sayıya karşılık gelen noktaya kadar olan mesafeyi çağırın A. Herhangi bir sayının modülü negatif değildir. |3|=3; |-3|=3, çünkü orijinden -3 sayısına ve 3 sayısına olan mesafe üç birim parçaya eşittir. |0|=0 .
Bir sayının modülünün tanımı gereği: |a|=a, Eğer bir?0 Ve |a|=-a, Eğer bir b.
A ve b sayılarını karşılaştırırken fark a-b negatif bir sayıdır, o halde a ise bunlara katı eşitsizlikler denir.
Eşitsizlikler işaretlerle yazılıyorsa? veya?, o zaman bunlara katı olmayan eşitsizlikler denir.

Sayısal eşitsizliklerin özellikleri.

G) x?a formunun eşitsizliği. Cevap:

Gönüllü (gönüllü) faaliyetlerin düzenlenmesi için gerekli temel fikirler ve kavramlar. 1. Gönüllü (gönüllü) faaliyetlerin düzenlenmesine yönelik genel yaklaşımlar. 1.1.Gönüllü (gönüllü) faaliyetlerin düzenlenmesi için gerekli temel fikir ve kavramlar. 1.2. Gönüllüler için yasal çerçeve […]

Muna Yasası Manu Yasaları, aynı zamanda "Aryanların yasası" veya "Aryanların şeref kuralları" olarak da adlandırılan, dini, ahlaki ve sosyal görevlere (dharma) ilişkin eski bir Hint talimatları koleksiyonudur. Manavadharmasastra yirmi Dharmasastra'dan biridir. İşte seçilmiş parçalar (Georgy Fedorovich'in çevirisi […]

“Bir Üretim İşletmesinin Yönetimi ve Optimizasyonu” ÖZET İş görgü kurallarının temel kavramları verilmektedir. Günümüzde yerli işletmelerin ve kuruluşların gezegenin çeşitli bölgelerinin ekonomik yaşamına entegre olduğu günümüzde, iş iletişimi kurallarının özel dikkat gerektirdiği gösterilmiştir. Testler veriliyor […]

M Ve N böyle bir tamsayı var k Ve nk= M, ardından sayı M bölü N

Bölünebilme becerilerinin kullanılması hesaplamaları basitleştirir ve orantılı olarak bunların uygulanma hızını artırır. Ana özelliği ayrıntılı olarak inceleyelim bölünebilme özellikleri.

En basit bölünebilme testi birimler: tüm sayılar bire bölünür. Bölünebilme işaretleri de aynı derecede basit iki, beş, on. Çift sayıyı veya son rakamı 0 olan bir sayıyı ikiye, son rakamı 5 veya 0 olan beşe bölebilirsiniz. Yalnızca son rakamı 0 olan sayılar ona bölünebilir. 100 - yalnızca son iki rakamı sıfır olan sayılar 1000 - yalnızca sonunda üç sıfır olanlar.

Örneğin:

79516 sayısı 6 ile bittiği için 2'ye bölünebilir; bu sayı çift sayıdır; 9651, 1 tek sayı olduğundan 2'ye bölünemez; 1790 rakamının son rakamı sıfır olduğundan 2'ye bölünür. 3470, 5'e bölünebilir (son rakam 0'dır); 1054, 5'e bölünemez (son rakamı 4'tür). 7800, 10 ve 100'e bölünebilir; 542000, 10, 100, 1000'e bölünebilir.

Daha az bilinen, ancak kullanımı çok uygun olan karakteristiktir bölünebilme özellikleri Açık 3 Ve 9 , 4 , 6 Ve 8, 25 . Ayrıca bölünebilmenin karakteristik özellikleri de vardır. 7, 11, 13, 17, 19 vb. Ancak pratikte çok daha az sıklıkla kullanılırlar.

3 ve 9'a bölmenin karakteristik bir özelliği.

Açık üç ve/veya üzerinde dokuz Rakamlarının toplamı üçün ve/veya dokuzun katı olan sayılar kalansız olarak bölünür.

Örneğin:

1 + 5 + 6 + 3 + 2 + 1 = 18 toplamının sonucu olan 156321 sayısı sırasıyla 3'e ve 9'a bölünebilir, sayının kendisi 3 ve 9'a bölünebilir. 79123 sayısı ile bölünemez ya 3 ya da 9, yani nasıl oluyor da rakamlarının toplamı (22) bu sayılara bölünemiyor.

4, 8, 16 vb. sayılara bölmenin karakteristik özelliği.

Bu rakam kalansız olarak bölünebilir dört Son iki rakamı sıfır veya 4'e bölünebilen bir sayı ise. Diğer tüm seçeneklerde kalansız bölme işlemi yapılamaz.

Örneğin:

75300 sayısı son iki rakamı sıfır olduğundan 4'e bölünebilir; 48834, 4'e bölünmez, çünkü son iki rakamı 34 sayısını verir; sayı 4'e bölünmez; 35908 4'e bölünebilir çünkü 08'in son iki rakamı 4'e bölünebilen 8 sayısını verir.

Benzer bir prensip bölünebilirlik testi için de uygundur. sekiz. Bir sayının son üç rakamı sıfır ise veya 8'e bölünebilen bir sayı oluşturuyorsa sekize bölünebilir. Diğer durumlarda bölme işleminden elde edilen bölüm tam sayı olmayacaktır.

Bölme için aynı özellikler 16, 32, 64 vb. ancak günlük hesaplamalarda kullanılmazlar.

6'ya bölünebilmenin karakteristik bir özelliği.

Sayı bölünebilir altı Hem ikiye hem de üçe bölünebiliyorsa diğer tüm seçeneklerle kalansız bölme mümkün değildir.

Örneğin:

126 6'ya bölünür çünkü hem 2'ye (son çift sayı 6'dır) hem de 3'e (1 + 2 + 6 = 9 rakamlarının toplamı üçe bölünür) bölünebilir.

7'ye bölünebilmenin karakteristik bir özelliği.

Sayı bölünebilir Yedi iki katına çıkan son sayısı ile "son rakamı olmayan sayı" arasındaki fark yediye bölünüyorsa sayının kendisi de yediye bölünür.

Örneğin:

Sayı 296492. Son rakam olan “2”yi alın, ikiye katlayın, 4 olur. 29649 - 4 = 29645 çıkarın. 7'ye bölünebilir olup olmadığını bulmak sorunlu olduğundan tekrar analiz edin. Daha sonra son rakam olan “5”i ikiye katlıyoruz, sonuç 10 oluyor. 2964 – 10 = 2954’ü çıkarıyoruz. Sonuç aynı, 7’ye bölünebilir mi belli değil o yüzden analize devam ediyoruz. Son rakam olan "4" ile analiz yapıyoruz, ikiye katlıyoruz, 8 çıkıyor. 295 - 8 = 287'yi çıkarıyoruz. İki yüz seksen yediyi kontrol ediyoruz - 7'ye bölünemiyor, bu nedenle aramaya devam ediyoruz. Benzetme yapmak gerekirse, son rakam olan “7”yi ikiye katlıyoruz, 14 oluyor. 28 - 14 = 14 çıkarıyoruz. 14 sayısı 7'ye bölündüğü için orijinal sayı 7'ye bölünüyor.

11'e bölünebilmenin karakteristik özelliği.

Açık on bir Yalnızca tek yerlerdeki rakamların toplamının sonucu çift yerlerdeki rakamların toplamına eşit veya on bire bölünebilen bir sayıdan farklı olan sayılar bölünür.

Örneğin:

103,785 sayısı 11'e bölünebilir çünkü tek basamaklardaki rakamların toplamı (1 + 3 + 8 = 12), çift basamaklardaki rakamların toplamı (0 + 7 + 5 = 12) eşittir. 9,163,627 sayısı: tek yerlere yerleştirilen rakamların toplamı 9 + 6 + 6 + 7 = 28, çift yerlere yerleştirilen rakamların toplamı 1 + 3 + 2 = 6 olduğundan 11'e bölünebilir; 28 ile 6 sayıları arasındaki fark 22 olup bu sayı 11'e tam bölünür. 461,025 sayısı 4+1+2=7 ve 6+0+5=11 sayıları eşit olmadığı için 11'e tam bölünemez. ancak aralarındaki fark 11 - 7 = 4, 11'e bölünemez.

25'e bölünebilmenin karakteristik özelliği.

Açık yirmi beş son iki rakamı sıfır olan veya yirmi beşe bölünebilen sayılar (yani sonu 00, 25, 50, 75 ile biten sayılar) bölünecektir. Diğer durumlarda sayı 25'e tamamen bölünemez.

Örneğin:

9450, 25'e (50 ile biten) bölünebilir; 5085 25'e bölünemez.

Bölünebilme testi

Bölünebilme işareti- Bir sayının önceden belirlenmiş bir sayının katı olup olmadığını, gerçek bölme işlemine gerek kalmadan nispeten hızlı bir şekilde belirlemenize olanak tanıyan bir kural. Kural olarak, konumsal sayı sisteminde (genellikle ondalık sayı) yazılan sayıdaki rakamların bir kısmını içeren eylemlere dayanır.

Ondalık sayı sisteminde bir sayının küçük bölenlerini bulmanızı sağlayan birkaç basit kural vardır:

2'ye bölünebilme testi

3'e bölünebilme testi

4'e bölünebilme testi

5'e bölünebilme testi

6'ya bölünebilme testi

7'ye bölünebilme testi

8'e bölünebilme testi

9'a bölünebilme testi

10'a bölünebilme testi

11'e bölünebilme testi

12'ye bölünebilme testi

13'e bölünebilme testi

14'e bölünebilme testi

15'e bölünebilme testi

17'ye bölünebilme testi

19'a bölünebilme testi

23'e bölünebilme testi

25'e bölünebilme testi

99'a bölünebilme testi

Sayıyı sağdan sola doğru 2 basamaklı gruplara ayıralım (en soldaki grup tek basamaklı olabilir) ve bu grupların toplamını iki basamaklı sayı olarak kabul ederek bulalım. Bu toplam 99'a bölünebilir ancak ve ancak sayının kendisi 99'a bölünebilirse.

101'e bölünebilme testi

Sayıyı sağdan sola doğru 2 basamaklı gruplara ayıralım (en soldaki grup tek basamaklı olabilir) ve bu grupların toplamını iki basamaklı sayılar olarak dikkate alarak alternatif işaretli olarak bulalım. Bu toplam 101'e bölünebilir ancak ve ancak sayının kendisi 101'e bölünebilir. Örneğin 590547 101'e bölünebilir, çünkü 59-05+47=101 101'e bölünebilir.

2'ye bölünebilme testi N

Bir sayı, ancak ve ancak son n rakamının oluşturduğu sayının aynı kuvvete bölünebilmesi durumunda ikinin n'inci kuvvetine bölünebilir.

5'e bölünebilme testi N

Bir sayı, ancak ve ancak son n rakamının oluşturduğu sayının aynı kuvvete bölünebilmesi durumunda beşin n'inci kuvvetine bölünebilir.

10'a bölünebilme testi N − 1

Sayıyı sağdan sola doğru n basamaklı gruplara bölelim (en soldaki grup 1'den n'ye kadar basamaklı olabilir) ve n basamaklı sayıları dikkate alarak bu grupların toplamını bulalım. Bu miktar 10'a bölünür N− 1 ancak ve ancak sayının kendisi 10'a bölünebilirse N − 1 .

10'a bölünebilme testi N

Bir sayının on'un n'inci kuvvetine bölünmesi ancak ve ancak son n rakamının aynı olması durumunda mümkündür.