Bazı insanlar "ilerleme" sözcüğünü çok ihtiyatlı bir şekilde ele alıyorlar. karmaşık terim bölümlerden yüksek Matematik. Bu arada, en basit aritmetik ilerleme taksi sayacının (hala mevcut oldukları yerde) çalışmasıdır. Ve bir aritmetik dizinin özünü anlamak (ve matematikte "özünü elde etmekten" daha önemli bir şey yoktur), birkaç temel kavramı analiz ettikten sonra o kadar da zor değildir.

Matematiksel sayı dizisi

Sayısal diziye genellikle her biri kendi numarasına sahip olan bir sayı dizisi denir.

a 1 dizinin ilk üyesidir;

ve 2, dizinin ikinci terimidir;

ve 7, dizinin yedinci üyesidir;

ve n, dizinin n'inci üyesidir;

Ancak herhangi bir keyfi sayı ve sayı dizisi bizi ilgilendirmiyor. Dikkatimizi, n'inci terimin değerinin matematiksel olarak açıkça formüle edilebilecek bir ilişki yoluyla sıra numarasıyla ilişkilendirildiği sayısal diziye odaklayacağız. Başka bir deyişle: Sayısal değer N'inci sayı, n'nin bir fonksiyonudur.

a, sayısal bir dizinin bir üyesinin değeridir;

n seri numarasıdır;

f(n), n sayısal dizisindeki sıra numarasının argüman olduğu bir fonksiyondur.

Tanım

Aritmetik ilerlemeye genellikle birbirini takip eden her terimin bir öncekinden aynı sayı kadar büyük (küçük) olduğu sayısal dizi denir. Bir aritmetik dizinin n'inci teriminin formülü aşağıdaki gibidir:

a n - aritmetik ilerlemenin mevcut üyesinin değeri;

bir n+1 - sonraki sayının formülü;

d - fark (belirli bir sayı).

Farkın pozitif olması durumunda (d>0), söz konusu serinin her bir sonraki üyesinin bir öncekinden daha büyük olacağını ve bu tür bir aritmetik ilerlemenin artacağını belirlemek kolaydır.

Aşağıdaki grafikte sayı dizisinin neden “artan” olarak adlandırıldığını görmek kolaydır.

Farkın negatif olduğu durumlarda (d<0), каждый последующий член по понятным причинам будет меньше предыдущего, график прогрессии станет «уходить» вниз, арифметическая прогрессия, соответственно, будет именоваться убывающей.

Belirtilen üye değeri

Bazen bir aritmetik ilerlemenin herhangi bir rastgele teriminin (n) değerini belirlemek gerekir. Bu, ilkinden istenilene kadar aritmetik ilerlemenin tüm üyelerinin değerlerinin sırayla hesaplanmasıyla yapılabilir. Ancak örneğin beş bininci veya sekiz milyonuncu terimin değerini bulmak gerekiyorsa bu yol her zaman kabul edilebilir değildir. Geleneksel hesaplamalar çok zaman alacaktır. Ancak belirli formüller kullanılarak belirli bir aritmetik ilerleme incelenebilir. Ayrıca n'inci terim için de bir formül vardır: Bir aritmetik ilerlemenin herhangi bir teriminin değeri, ilerlemenin ilk teriminin ilerlemenin farkıyla toplamının istenen terimin sayısıyla çarpımı ve eksiltilmesiyle belirlenebilir. bir.

Formül, ilerlemeyi artırmak ve azaltmak için evrenseldir.

Belirli bir terimin değerini hesaplamaya bir örnek

Bir aritmetik ilerlemenin n'inci teriminin değerini bulmayla ilgili aşağıdaki problemi çözelim.

Durum: parametrelerle aritmetik bir ilerleme var:

Dizinin ilk terimi 3'tür;

Sayı serisindeki fark 1,2'dir.

Görev: 214 terimin değerini bulmanız gerekiyor

Çözüm: Belirli bir terimin değerini belirlemek için aşağıdaki formülü kullanırız:

a(n) = a1 + d(n-1)

Sorun ifadesindeki verileri ifadeye koyarsak:

a(214) = a1 + d(n-1)

a(214) = 3 + 1,2 (214-1) = 258,6

Cevap: Dizinin 214. terimi 258,6'ya eşittir.

Bu hesaplama yönteminin avantajları açıktır - çözümün tamamı 2 satırdan fazla sürmez.

Belirli sayıda terimin toplamı

Çoğu zaman, belirli bir aritmetik seride, bazı bölümlerinin değerlerinin toplamını belirlemek gerekir. Bunu yapmak için her terimin değerlerini hesaplayıp daha sonra toplamaya da gerek yoktur. Toplamı bulunması gereken terim sayısının az olması durumunda bu yöntem uygulanabilir. Diğer durumlarda aşağıdaki formülü kullanmak daha uygundur.

1'den n'ye bir aritmetik ilerlemenin terimlerinin toplamı, birinci ve n'inci terimlerin toplamına eşittir, n terimi sayısıyla çarpılır ve ikiye bölünür. Formülde n'inci terimin değeri makalenin önceki paragrafındaki ifadeyle değiştirilirse şunu elde ederiz:

Hesaplama örneği

Örneğin, aşağıdaki koşullarla ilgili bir problemi çözelim:

Dizinin ilk terimi sıfırdır;

Fark 0,5.

Problem 56'dan 101'e kadar olan serinin terimlerinin toplamının belirlenmesini gerektirmektedir.

Çözüm. İlerleme miktarını belirlemek için formülü kullanalım:

s(n) = (2∙a1 + d∙(n-1))∙n/2

Öncelikle problemimizin verilen koşullarını formülde yerine koyarak ilerlemenin 101 teriminin değerlerinin toplamını belirliyoruz:

s 101 = (2∙0 + 0,5∙(101-1))∙101/2 = 2,525

Açıkçası, 56. sıradan 101. sıraya ilerlemenin terimlerinin toplamını bulmak için S 101'den S 55'i çıkarmak gerekir.

s 55 = (2∙0 + 0,5∙(55-1))∙55/2 = 742,5

Dolayısıyla, bu örnek için aritmetik ilerlemenin toplamı şöyledir:

sn 101 - sn 55 = 2.525 - 742,5 = 1.782,5

Aritmetik ilerlemenin pratik uygulamasına örnek

Makalenin sonunda, ilk paragrafta verilen aritmetik dizi örneğine - taksimetreye (taksi araba sayacı) dönelim. Bu örneği ele alalım.

Taksiye binmek (3 km'lik yolculuk dahil) 50 rubleye mal oluyor. Sonraki her kilometre için 22 ruble/km oranında ödeme yapılır. Seyahat mesafesi 30 km'dir. Yolculuğun maliyetini hesaplayın.

1. İniş ücretine dahil olan ilk 3 km’yi bir kenara bırakalım.

30 - 3 = 27 km.

2. Daha fazla hesaplama, bir aritmetik sayı serisinin ayrıştırılmasından başka bir şey değildir.

Üye numarası - kat edilen kilometre sayısı (ilk üç eksi).

Üyenin değeri toplamdır.

Bu problemdeki ilk terim 1 = 50 rubleye eşit olacaktır.

İlerleme farkı d = 22 r.

ilgilendiğimiz sayı aritmetik ilerlemenin (27+1)'inci teriminin değeridir - 27. kilometrenin sonundaki sayaç okuması 27.999... = 28 km.

a 28 = 50 + 22 ∙ (28 - 1) = 644

İsteğe bağlı olarak uzun bir süre için takvim verileri hesaplamaları, belirli sayısal dizileri açıklayan formüllere dayanmaktadır. Astronomide yörüngenin uzunluğu geometrik olarak gök cisminin yıldıza olan uzaklığına bağlıdır. Ayrıca çeşitli sayı serileri istatistikte ve matematiğin diğer uygulamalı alanlarında başarıyla kullanılmaktadır.

Başka bir sayı dizisi türü geometriktir

Geometrik ilerleme, aritmetik ilerlemeye kıyasla daha yüksek değişim oranlarıyla karakterize edilir. Siyasette, sosyolojide ve tıpta belirli bir olgunun, örneğin bir hastalığın salgın sırasındaki yüksek yayılma hızını göstermek için sürecin geometrik ilerlemeyle geliştiğini söylemeleri tesadüf değildir.

Geometrik sayı serisinin N'inci terimi, bazı sabit sayılarla çarpılması bakımından öncekinden farklıdır - payda, örneğin, ilk terim 1'dir, payda buna karşılık olarak 2'ye eşittir, o zaman:

n=1: 1 ∙ 2 = 2

n=2: 2 ∙ 2 = 4

n=3: 4 ∙ 2 = 8

n=4: 8 ∙ 2 = 16

n=5: 16 ∙ 2 = 32,

b n - geometrik ilerlemenin mevcut teriminin değeri;

b n+1 - geometrik ilerlemenin bir sonraki teriminin formülü;

q geometrik ilerlemenin paydasıdır (sabit bir sayı).

Aritmetik ilerlemenin grafiği düz bir çizgi ise, geometrik ilerleme biraz farklı bir tablo çizer:

Aritmetikte olduğu gibi geometrik ilerlemenin de keyfi bir terimin değeri için bir formülü vardır. Geometrik ilerlemenin herhangi bir n'inci terimi, ilk terimin çarpımına ve n'nin kuvvetine doğru ilerlemenin paydasının bir eksiltilmesine eşittir:

Örnek. İlk terimi 3'e ve ilerlemenin paydası 1,5'e eşit olan geometrik bir ilerlememiz var. İlerlemenin 5. terimini bulalım

b 5 = b 1 ∙ q (5-1) = 3 ∙ 1,5 4 = 15,1875

Belirli sayıda terimin toplamı da özel bir formül kullanılarak hesaplanır. Bir geometrik ilerlemenin ilk n teriminin toplamı, ilerlemenin n'inci teriminin çarpımı ile paydası ile ilerlemenin ilk terimi arasındaki farkın paydanın bir eksiltilmesiyle bölünmesine eşittir:

Yukarıda tartışılan formül kullanılarak b n değiştirilirse, söz konusu sayı serisinin ilk n teriminin toplamının değeri şu şekli alacaktır:

Örnek. Geometrik ilerleme ilk terimin 1'e eşit olmasıyla başlar. Payda 3'e eşitlenir. İlk sekiz terimin toplamını bulalım.

s8 = 1 ∙ (3 8 -1) / (3-1) = 3 280

İlk seviye

Aritmetik ilerleme. Ayrıntılı teoriörneklerle (2019)

Numara dizisi

O halde oturup bazı sayıları yazmaya başlayalım. Örneğin:
Herhangi bir sayı yazabilirsiniz ve istediğiniz kadar sayı olabilir (bizim durumumuzda vardır). Ne kadar sayı yazarsak yazalım her zaman hangisinin birinci, hangisinin ikinci olduğunu vb. sonuncuya kadar söyleyebiliriz, yani onları numaralandırabiliriz. Bu bir sayı dizisi örneğidir:

Numara dizisi
Örneğin dizimiz için:

Atanan numara, dizideki yalnızca bir numaraya özeldir. Yani dizide üç saniyelik sayı yok. İkinci sayı (inci sayı gibi) her zaman aynıdır.
Üzerinde sayı bulunan sayıya dizinin inci terimi denir.

Genellikle dizinin tamamını bir harfle (örneğin,) çağırırız ve bu dizinin her üyesi, bu üyenin numarasına eşit bir indeksle aynı harftir: .

Bizim durumumuzda:

Diyelim ki komşu sayılar arasındaki farkın aynı ve eşit olduğu bir sayı dizimiz var.
Örneğin:

vesaire.
Bu sayı dizisine aritmetik ilerleme denir.
"İlerleme" terimi, 6. yüzyılda Romalı yazar Boethius tarafından tanıtıldı ve daha geniş anlamda sonsuz bir sayısal dizi olarak anlaşıldı. "Aritmetik" adı, eski Yunanlılar tarafından incelenen sürekli oranlar teorisinden aktarılmıştır.

Bu, her bir üyesi aynı sayıya eklenen bir öncekine eşit olan bir sayı dizisidir. Bu sayıya aritmetik ilerlemenin farkı denir ve gösterilir.

Hangi sayı dizilerinin aritmetik ilerleme olduğunu, hangilerinin olmadığını belirlemeye çalışın:

A)
B)
C)
D)

Anladım? Cevaplarımızı karşılaştıralım:
Dır-dir aritmetik ilerleme - b, c.
Değil aritmetik ilerleme - a, d.

Verilen ilerlemeye () dönelim ve onun inci teriminin değerini bulmaya çalışalım. Var iki onu bulmanın yolu.

1. Yöntem

İlerlemenin 3. dönemine ulaşana kadar ilerleme sayısını önceki değere ekleyebiliriz. Özetleyecek çok fazla şeyimiz olmaması iyi bir şey; yalnızca üç değer:

Yani açıklanan aritmetik ilerlemenin inci terimi eşittir.

2. Yöntem

İlerlemenin inci teriminin değerini bulmamız gerekirse ne olur? Toplama işlemi bir saatten fazla zaman alır ve sayıları toplarken hata yapmayacağımız da bir gerçek değil.
Elbette matematikçiler, aritmetik ilerlemenin farkını önceki değere eklemenin gerekli olmadığı bir yol bulmuşlardır. Çizilen resme daha yakından bakın... Elbette belli bir modeli zaten fark etmişsinizdir, yani:

Örneğin bu aritmetik ilerlemenin . teriminin değerinin nelerden oluştuğuna bakalım:

Başka bir deyişle:

Belirli bir aritmetik ilerlemenin bir üyesinin değerini bu şekilde kendiniz bulmaya çalışın.

Hesapladın mı? Notlarınızı cevapla karşılaştırın:

Aritmetik ilerlemenin terimlerini sırayla önceki değere eklediğimizde, önceki yöntemdekiyle tamamen aynı sayıyı elde ettiğinizi lütfen unutmayın.
Bu formülü "kişiselleştirmeye" çalışalım - genel forma koyalım ve şunu elde edelim:

Aritmetik ilerleme denklemi.

Aritmetik ilerlemeler artan veya azalan olabilir.

Artan- terimlerin her bir sonraki değerinin bir öncekinden daha büyük olduğu ilerlemeler.
Örneğin:

Azalan- terimlerin her bir sonraki değerinin bir öncekinden daha küçük olduğu ilerlemeler.
Örneğin:

Türetilen formül, bir aritmetik ilerlemenin hem artan hem de azalan terimlerinin hesaplanmasında kullanılır.
Bunu pratikte kontrol edelim.
Bize aşağıdaki sayılardan oluşan bir aritmetik ilerleme veriliyor: Hesaplamak için formülümüzü kullanırsak, bu aritmetik ilerlemenin inci sayısının ne olacağını kontrol edelim:

O zamandan beri:

Dolayısıyla formülün hem azalan hem de artan aritmetik ilerlemede çalıştığına inanıyoruz.
Bu aritmetik ilerlemenin inci ve inci terimlerini kendiniz bulmaya çalışın.

Sonuçları karşılaştıralım:

Aritmetik ilerleme özelliği

Sorunu karmaşıklaştıralım - aritmetik ilerlemenin özelliğini türeteceğiz.
Diyelim ki bize aşağıdaki koşul verildi:
- aritmetik ilerleme, değeri bulun.
Kolay, deyin ve zaten bildiğiniz formüle göre saymaya başlayın:

Haydi o zaman:

Kesinlikle doğru. Önce bulduğumuz, sonra onu ilk sayıya eklediğimiz ve aradığımız şeyi elde ettiğimiz ortaya çıktı. İlerleme küçük değerlerle temsil ediliyorsa, o zaman bunda karmaşık bir şey yoktur, peki ya durumda bize sayılar verilirse? Katılıyorum, hesaplamalarda hata yapma olasılığı var.
Şimdi bu sorunu herhangi bir formülü kullanarak tek adımda çözmenin mümkün olup olmadığını düşünün. Elbette evet ve şimdi bunu ortaya çıkarmaya çalışacağız.

Aritmetik ilerlemenin gerekli terimini, onu bulma formülünü bildiğimiz gibi gösterelim - bu, başlangıçta türettiğimiz formülün aynısıdır:
, Daha sonra:

ilerlemenin önceki dönemi:
ilerlemenin bir sonraki dönemi:

İlerlemenin önceki ve sonraki terimlerini özetleyelim:

İlerlemenin önceki ve sonraki terimlerinin toplamının, aralarında bulunan ilerleme teriminin çift değeri olduğu ortaya çıktı. Yani önceki ve ardışık değerleri bilinen bir ilerleme teriminin değerini bulmak için bunları toplayıp bölmeniz gerekir.

Doğru, aynı numarayı aldık. Malzemeyi güvence altına alalım. İlerlemenin değerini kendiniz hesaplayın, hiç de zor değil.

Tebrikler! İlerleme hakkında neredeyse her şeyi biliyorsunuz! Geriye, efsaneye göre tüm zamanların en büyük matematikçilerinden biri olan "matematikçilerin kralı" Karl Gauss tarafından kolayca çıkarılabilen tek bir formül bulmak kalıyor...

Carl Gauss 9 yaşındayken, diğer sınıflardaki öğrencilerin çalışmalarını kontrol etmekle meşgul olan bir öğretmen sınıfta şu problemi sordu: “Tüm sayıların toplamını hesaplayın. doğal sayılar(diğer kaynaklara göre) kadar dahil.” Öğrencilerinden biri (bu Karl Gauss'tu) bir dakika sonra göreve doğru cevabı verirken, gözü pek sınıf arkadaşlarının çoğu uzun hesaplamalardan sonra yanlış sonucu aldığında öğretmenin ne kadar şaşırdığını bir düşünün...

Genç Carl Gauss, sizin de kolayca fark edebileceğiniz belli bir modeli fark etti.
Diyelim ki -'inci terimlerden oluşan bir aritmetik ilerlememiz var: Aritmetik ilerlemenin bu terimlerinin toplamını bulmamız gerekiyor. Elbette tüm değerleri manuel olarak toplayabiliriz, ancak ya görev Gauss'un aradığı gibi terimlerin toplamını bulmayı gerektiriyorsa?

Bize verilen ilerlemeyi tasvir edelim. Vurgulanan sayılara yakından bakın ve onlarla çeşitli matematiksel işlemler gerçekleştirmeye çalışın.

Bunu denediniz mi? Ne fark ettin? Sağ! Toplamları eşittir

Şimdi söyleyin bana, bize verilen ilerlemede toplamda böyle kaç tane çift var? Tabii ki, tüm sayıların tam yarısı.
Bir aritmetik ilerlemenin iki teriminin toplamının eşit ve benzer çiftlerin eşit olduğu gerçeğine dayanarak, toplam toplamın şuna eşit olduğunu elde ederiz:
.
Dolayısıyla herhangi bir aritmetik ilerlemenin ilk terimlerinin toplamının formülü şu şekilde olacaktır:

Bazı problemlerde n'inci terimi bilmiyoruz ama ilerlemenin farkını biliyoruz. Üçüncü terimin formülünü toplam formülünde değiştirmeye çalışın.
Ne aldın?

Tebrikler! Şimdi Carl Gauss'a sorulan probleme dönelim: th'den başlayan sayıların toplamının ve th'den başlayan sayıların toplamının neye eşit olduğunu kendiniz hesaplayın.

Ne kadar aldın?
Gauss, terimlerin toplamının ve terimlerin toplamının eşit olduğunu buldu. Buna mı karar verdin?

Aslında, bir aritmetik ilerlemenin terimlerinin toplamına ilişkin formül, 3. yüzyılda antik Yunan bilim adamı Diophantus tarafından kanıtlandı ve bu süre boyunca esprili insanlar, aritmetik ilerlemenin özelliklerinden tam olarak yararlandılar.
Örneğin, Eski Mısır'ı ve o zamanın en büyük inşaat projesini hayal edin - bir piramidin inşası... Resimde bunun bir tarafı gösteriliyor.

Buradaki ilerleme nerede diyorsunuz? Dikkatlice bakın ve piramit duvarının her sırasındaki kum bloklarının sayısında bir desen bulun.

Neden aritmetik bir ilerleme olmasın? Tabana blok tuğlalar yerleştirilirse bir duvar inşa etmek için kaç blok gerektiğini hesaplayın. Umarım parmağınızı ekranda hareket ettirirken saymazsınız, son formülü ve aritmetik ilerleme hakkında söylediğimiz her şeyi hatırlıyor musunuz?

Bu durumda ilerleme şu şekilde görünür: .
Aritmetik ilerleme farkı.
Aritmetik ilerlemenin terim sayısı.
Verilerimizi son formüllere yerleştirelim (blok sayısını 2 şekilde hesaplayalım).

Yöntem 1.

Yöntem 2.

Artık monitörde hesaplayabilirsiniz: Elde edilen değerleri piramidimizdeki blok sayısıyla karşılaştırın. Anladım? Tebrikler, aritmetik ilerlemenin n'inci terimlerinin toplamını öğrendiniz.
Elbette tabandaki bloklardan bir piramit inşa edemezsiniz, ama nereden? Bu durumda bir duvar inşa etmek için kaç tane kum tuğlaya ihtiyaç duyulduğunu hesaplamaya çalışın.
Becerebildin mi?
Doğru cevap bloklardır:

Eğitim

Görevler:

Masha yaz için forma giriyor. Her gün squat sayısını artırıyor. Masha ilk antrenmanda squat yaptıysa haftada kaç kez squat yapacak?
İçerisindeki tüm tek sayıların toplamı kaçtır?
Günlükleri saklarken, günlükçüler bunları, her üst katman bir öncekinden bir günlük daha az içerecek şekilde istifler. Duvar işçiliğinin temeli kütüklerden oluşuyorsa, bir duvarda kaç kütük vardır?

Yanıtlar:

Aritmetik ilerlemenin parametrelerini tanımlayalım. Bu durumda
(haftalar = günler).
Cevap:İki hafta içinde Masha'nın günde bir kez ağız kavgası yapması gerekiyor.
İlk tek sayı, son sayı.
Aritmetik ilerleme farkı.
Tek sayıların sayısı yarıdır, ancak aritmetik ilerlemenin inci terimini bulma formülünü kullanarak bu gerçeği kontrol edelim:
Sayılar tek sayılar içerir.
Mevcut verileri formülde değiştirelim:
Cevap:İçerisindeki tüm tek sayıların toplamı eşittir.
Piramitlerle ilgili sorunu hatırlayalım. Bizim durumumuz için a , her üst katman bir log azaltıldığı için toplamda bir grup katman vardır, yani.
Verileri formülde yerine koyalım:
Cevap: Duvarda kütükler var.

Özetleyelim

- Bitişik sayılar arasındaki farkın aynı ve eşit olduğu bir sayı dizisi. Artabilir veya azalabilir.
Formül bulma Aritmetik ilerlemenin inci terimi, ilerlemedeki sayıların sayısı olan - formülüyle yazılır.
Aritmetik ilerlemenin üyelerinin mülkiyeti- - ilerleyen sayıların sayısı nerede.
Bir aritmetik ilerlemenin terimlerinin toplamı iki şekilde bulunabilir:

değerlerin sayısı nerede.

ARİTMETİK İLERLEME. ORTALAMA SEVİYE

Numara dizisi

Oturup bazı sayıları yazmaya başlayalım. Örneğin:

Herhangi bir sayı yazabilirsiniz ve istediğiniz kadar sayı olabilir. Ama hangisinin birinci, hangisinin ikinci olduğunu her zaman söyleyebiliriz, yani onları numaralandırabiliriz. Bu bir sayı dizisi örneğidir.

Numara dizisi her birine benzersiz bir numara atanabilen bir sayı kümesidir.

Başka bir deyişle, her sayı belirli bir doğal sayıyla ve benzersiz bir sayıyla ilişkilendirilebilir. Ve bu sayıyı bu setteki başka bir sayıya atamayacağız.

Üzerinde sayı bulunan sayıya dizinin th üyesi denir.

Genellikle dizinin tamamını bir harfle (örneğin,) çağırırız ve bu dizinin her üyesi, bu üyenin numarasına eşit bir indeksle aynı harftir: .

Dizinin inci teriminin bir formülle belirtilmesi çok uygundur. Örneğin, formül

sırayı ayarlar:

Ve formül aşağıdaki dizidir:

Örneğin, aritmetik ilerleme bir dizidir (burada ilk terim eşittir ve fark eşittir). Veya (, fark).

n'inci terim formülü

Terimi bulmak için önceki veya birkaç önceki terimi bilmeniz gereken bir formüle yinelenen diyoruz:

Örneğin bu formülü kullanarak ilerlemenin inci terimini bulmak için önceki dokuzunu hesaplamamız gerekecek. Mesela izin ver. Daha sonra:

Peki formülün ne olduğu şimdi anlaşıldı mı?

Her satıra eklediğimiz sayıyı bir sayıyla çarpıyoruz. Hangisi? Çok basit: bu mevcut üyenin sayısından eksi:

Artık çok daha uygun, değil mi? Kontrol ediyoruz:

Kendin için karar ver:

Aritmetik ilerlemede n'inci terimin formülünü ve yüzüncü terimi bulun.

Çözüm:

İlk terim eşittir. Fark ne? İşte şu:

(İlerlemenin ardışık terimlerinin farkına eşit olması nedeniyle buna fark denmesinin nedeni budur).

Yani formül:

O zaman yüzüncü terim şuna eşittir:

'den 'e kadar olan tüm doğal sayıların toplamı nedir?

Efsaneye göre büyük matematikçi Carl Gauss, 9 yaşında bir çocukken bu miktarı birkaç dakika içinde hesaplamıştı. İlk ve son sayıların toplamının eşit olduğunu, ikinci ve sondan bir önceki sayıların toplamının aynı olduğunu, sondan üçüncü ve üçüncü sayıların toplamının aynı olduğunu vb. fark etti. Toplamda bu tür çiftlerden kaç tane var? Bu doğru, tüm sayıların tam yarısı kadar. Bu yüzden,

Herhangi bir aritmetik ilerlemenin ilk terimlerinin toplamı için genel formül şöyle olacaktır:

Örnek:
Tüm iki basamaklı katların toplamını bulun.

Çözüm:

Bu türden ilk sayı şudur. Sonraki her sayı, bir önceki sayıya eklenerek elde edilir. Böylece ilgilendiğimiz sayılar ilk terimi ve farkıyla aritmetik bir ilerleme oluşturur.

Bu ilerlemenin inci teriminin formülü:

Hepsinin iki basamaklı olması gerekiyorsa ilerlemede kaç terim vardır?

Çok kolay: .

İlerlemenin son terimi eşit olacaktır. Sonra toplam:

Cevap: .

Şimdi kendiniz karar verin:

Sporcu her gün bir önceki güne göre daha fazla metre koşar. İlk gün m km koşarsa haftada toplam kaç kilometre koşacaktır?
Bir bisikletçi her gün bir önceki güne göre daha fazla kilometre kat eder. İlk gün km yol kat etti. Bir kilometreyi kat etmek için kaç gün yol alması gerekiyor? Yolculuğunun son gününde kaç kilometre yol kat edecek?
Bir mağazadaki buzdolabının fiyatı her yıl aynı miktarda düşüyor. Ruble karşılığında satışa sunulan bir buzdolabının altı yıl sonra ruble karşılığında satılması durumunda, buzdolabının fiyatının her yıl ne kadar düştüğünü belirleyin.

Yanıtlar:

Burada en önemli şey aritmetik ilerlemeyi tanımak ve parametrelerini belirlemektir. Bu durumda (haftalar = günler). Bu ilerlemenin ilk terimlerinin toplamını belirlemeniz gerekir:
.
Cevap:
Burada verilmiştir: , bulunmalıdır.
Açıkçası, önceki problemdekiyle aynı toplam formülünü kullanmanız gerekir:
.
Değerleri değiştirin:
Kök açıkça uymuyor, dolayısıyla cevap şu.
Son gün boyunca kat edilen yolu, inci terimin formülünü kullanarak hesaplayalım:
(km).
Cevap:
Verilen: . Bulmak: .
Daha basit olamazdı:
(ovmak).
Cevap:

ARİTMETİK İLERLEME. ANA ŞEYLER HAKKINDA KISACA

Bu, bitişik sayılar arasındaki farkın aynı ve eşit olduğu bir sayı dizisidir.

Aritmetik ilerleme artan () ve azalan () olabilir.

Örneğin:

Aritmetik ilerlemenin n'inci terimini bulma formülü

artan sayıların sayısı olan formülle yazılır.

Aritmetik ilerlemenin üyelerinin mülkiyeti

Eğer komşu terimleri biliniyorsa, bir ilerlemenin bir terimini kolayca bulmanızı sağlar; ilerlemedeki sayıların sayısı nerededir.

Aritmetik ilerlemenin terimlerinin toplamı

Tutarı bulmanın iki yolu vardır:

Değerlerin sayısı nerede.

İlk seviye

Aritmetik ilerleme. Örneklerle ayrıntılı teori (2019)

Numara dizisi

Numara dizisi
Örneğin dizimiz için:

Genellikle dizinin tamamını bir harfle (örneğin,) çağırırız ve bu dizinin her üyesi, bu üyenin numarasına eşit bir indeksle aynı harftir: .

Bizim durumumuzda:

Diyelim ki komşu sayılar arasındaki farkın aynı ve eşit olduğu bir sayı dizimiz var.
Örneğin:

Bu, her bir üyesi aynı sayıya eklenen bir öncekine eşit olan bir sayı dizisidir. Bu sayıya aritmetik ilerlemenin farkı denir ve gösterilir.

Hangi sayı dizilerinin aritmetik ilerleme olduğunu, hangilerinin olmadığını belirlemeye çalışın:

A)
B)
C)
D)

Anladım? Cevaplarımızı karşılaştıralım:
Dır-dir aritmetik ilerleme - b, c.
Değil aritmetik ilerleme - a, d.

Verilen ilerlemeye () dönelim ve onun inci teriminin değerini bulmaya çalışalım. Var iki onu bulmanın yolu.

1. Yöntem

İlerlemenin 3. dönemine ulaşana kadar ilerleme sayısını önceki değere ekleyebiliriz. Özetleyecek çok fazla şeyimiz olmaması iyi bir şey; yalnızca üç değer:

Yani açıklanan aritmetik ilerlemenin inci terimi eşittir.

2. Yöntem

Örneğin bu aritmetik ilerlemenin . teriminin değerinin nelerden oluştuğuna bakalım:

Başka bir deyişle:

Belirli bir aritmetik ilerlemenin bir üyesinin değerini bu şekilde kendiniz bulmaya çalışın.

Hesapladın mı? Notlarınızı cevapla karşılaştırın:

Aritmetik ilerleme denklemi.

Aritmetik ilerlemeler artan veya azalan olabilir.

Artan- terimlerin her bir sonraki değerinin bir öncekinden daha büyük olduğu ilerlemeler.
Örneğin:

Azalan- terimlerin her bir sonraki değerinin bir öncekinden daha küçük olduğu ilerlemeler.
Örneğin:

O zamandan beri:

Dolayısıyla formülün hem azalan hem de artan aritmetik ilerlemede çalıştığına inanıyoruz.
Bu aritmetik ilerlemenin inci ve inci terimlerini kendiniz bulmaya çalışın.

Sonuçları karşılaştıralım:

Aritmetik ilerleme özelliği

Haydi o zaman:

Aritmetik ilerlemenin gerekli terimini, onu bulma formülünü bildiğimiz gibi gösterelim - bu, başlangıçta türettiğimiz formülün aynısıdır:
, Daha sonra:

ilerlemenin önceki dönemi:
ilerlemenin bir sonraki dönemi:

İlerlemenin önceki ve sonraki terimlerini özetleyelim:

Doğru, aynı numarayı aldık. Malzemeyi güvence altına alalım. İlerlemenin değerini kendiniz hesaplayın, hiç de zor değil.

Carl Gauss 9 yaşındayken, diğer sınıflardaki öğrencilerin çalışmalarını kontrol etmekle meşgul olan bir öğretmen sınıfta şu görevi verdi: "Diğer kaynaklara göre dahil olan tüm doğal sayıların toplamını hesapla." Öğrencilerinden biri (bu Karl Gauss'tu) bir dakika sonra göreve doğru cevabı verirken, gözü pek sınıf arkadaşlarının çoğu uzun hesaplamalardan sonra yanlış sonucu aldığında öğretmenin ne kadar şaşırdığını bir düşünün...

Bazı problemlerde n'inci terimi bilmiyoruz ama ilerlemenin farkını biliyoruz. Üçüncü terimin formülünü toplam formülünde değiştirmeye çalışın.
Ne aldın?

Tebrikler! Şimdi Carl Gauss'a sorulan probleme dönelim: th'den başlayan sayıların toplamının ve th'den başlayan sayıların toplamının neye eşit olduğunu kendiniz hesaplayın.

Ne kadar aldın?
Gauss, terimlerin toplamının ve terimlerin toplamının eşit olduğunu buldu. Buna mı karar verdin?

Yöntem 1.

Yöntem 2.

Eğitim

Görevler:

Masha yaz için forma giriyor. Her gün squat sayısını artırıyor. Masha ilk antrenmanda squat yaptıysa haftada kaç kez squat yapacak?
İçerisindeki tüm tek sayıların toplamı kaçtır?
Günlükleri saklarken, günlükçüler bunları, her üst katman bir öncekinden bir günlük daha az içerecek şekilde istifler. Duvar işçiliğinin temeli kütüklerden oluşuyorsa, bir duvarda kaç kütük vardır?

Yanıtlar:

Aritmetik ilerlemenin parametrelerini tanımlayalım. Bu durumda
(haftalar = günler).
Cevap:İki hafta içinde Masha'nın günde bir kez ağız kavgası yapması gerekiyor.
İlk tek sayı, son sayı.
Aritmetik ilerleme farkı.
Tek sayıların sayısı yarıdır, ancak aritmetik ilerlemenin inci terimini bulma formülünü kullanarak bu gerçeği kontrol edelim:
Sayılar tek sayılar içerir.
Mevcut verileri formülde değiştirelim:
Cevap:İçerisindeki tüm tek sayıların toplamı eşittir.
Piramitlerle ilgili sorunu hatırlayalım. Bizim durumumuz için a , her üst katman bir log azaltıldığı için toplamda bir grup katman vardır, yani.
Verileri formülde yerine koyalım:
Cevap: Duvarda kütükler var.

Özetleyelim

- Bitişik sayılar arasındaki farkın aynı ve eşit olduğu bir sayı dizisi. Artabilir veya azalabilir.
Formül bulma Aritmetik ilerlemenin inci terimi, ilerlemedeki sayıların sayısı olan - formülüyle yazılır.
Aritmetik ilerlemenin üyelerinin mülkiyeti- - ilerleyen sayıların sayısı nerede.
Bir aritmetik ilerlemenin terimlerinin toplamı iki şekilde bulunabilir:

değerlerin sayısı nerede.

ARİTMETİK İLERLEME. ORTALAMA SEVİYE

Numara dizisi

Oturup bazı sayıları yazmaya başlayalım. Örneğin:

Numara dizisi her birine benzersiz bir numara atanabilen bir sayı kümesidir.

Başka bir deyişle, her sayı belirli bir doğal sayıyla ve benzersiz bir sayıyla ilişkilendirilebilir. Ve bu sayıyı bu setteki başka bir sayıya atamayacağız.

Üzerinde sayı bulunan sayıya dizinin th üyesi denir.

Genellikle dizinin tamamını bir harfle (örneğin,) çağırırız ve bu dizinin her üyesi, bu üyenin numarasına eşit bir indeksle aynı harftir: .

Dizinin inci teriminin bir formülle belirtilmesi çok uygundur. Örneğin, formül

sırayı ayarlar:

Ve formül aşağıdaki dizidir:

Örneğin, aritmetik ilerleme bir dizidir (burada ilk terim eşittir ve fark eşittir). Veya (, fark).

n'inci terim formülü

Terimi bulmak için önceki veya birkaç önceki terimi bilmeniz gereken bir formüle yinelenen diyoruz:

Örneğin bu formülü kullanarak ilerlemenin inci terimini bulmak için önceki dokuzunu hesaplamamız gerekecek. Mesela izin ver. Daha sonra:

Peki formülün ne olduğu şimdi anlaşıldı mı?

Her satıra eklediğimiz sayıyı bir sayıyla çarpıyoruz. Hangisi? Çok basit: bu mevcut üyenin sayısından eksi:

Artık çok daha uygun, değil mi? Kontrol ediyoruz:

Kendin için karar ver:

Aritmetik ilerlemede n'inci terimin formülünü ve yüzüncü terimi bulun.

Çözüm:

İlk terim eşittir. Fark ne? İşte şu:

(İlerlemenin ardışık terimlerinin farkına eşit olması nedeniyle buna fark denmesinin nedeni budur).

Yani formül:

O zaman yüzüncü terim şuna eşittir:

'den 'e kadar olan tüm doğal sayıların toplamı nedir?

Herhangi bir aritmetik ilerlemenin ilk terimlerinin toplamı için genel formül şöyle olacaktır:

Örnek:
Tüm iki basamaklı katların toplamını bulun.

Çözüm:

Bu türden ilk sayı şudur. Sonraki her sayı, bir önceki sayıya eklenerek elde edilir. Böylece ilgilendiğimiz sayılar ilk terimi ve farkıyla aritmetik bir ilerleme oluşturur.

Bu ilerlemenin inci teriminin formülü:

Hepsinin iki basamaklı olması gerekiyorsa ilerlemede kaç terim vardır?

Çok kolay: .

İlerlemenin son terimi eşit olacaktır. Sonra toplam:

Cevap: .

Şimdi kendiniz karar verin:

Sporcu her gün bir önceki güne göre daha fazla metre koşar. İlk gün m km koşarsa haftada toplam kaç kilometre koşacaktır?
Bir bisikletçi her gün bir önceki güne göre daha fazla kilometre kat eder. İlk gün km yol kat etti. Bir kilometreyi kat etmek için kaç gün yol alması gerekiyor? Yolculuğunun son gününde kaç kilometre yol kat edecek?
Bir mağazadaki buzdolabının fiyatı her yıl aynı miktarda düşüyor. Ruble karşılığında satışa sunulan bir buzdolabının altı yıl sonra ruble karşılığında satılması durumunda, buzdolabının fiyatının her yıl ne kadar düştüğünü belirleyin.

Yanıtlar:

Burada en önemli şey aritmetik ilerlemeyi tanımak ve parametrelerini belirlemektir. Bu durumda (haftalar = günler). Bu ilerlemenin ilk terimlerinin toplamını belirlemeniz gerekir:
.
Cevap:
Burada verilmiştir: , bulunmalıdır.
Açıkçası, önceki problemdekiyle aynı toplam formülünü kullanmanız gerekir:
.
Değerleri değiştirin:
Kök açıkça uymuyor, dolayısıyla cevap şu.
Son gün boyunca kat edilen yolu, inci terimin formülünü kullanarak hesaplayalım:
(km).
Cevap:
Verilen: . Bulmak: .
Daha basit olamazdı:
(ovmak).
Cevap:

ARİTMETİK İLERLEME. ANA ŞEYLER HAKKINDA KISACA

Bu, bitişik sayılar arasındaki farkın aynı ve eşit olduğu bir sayı dizisidir.

Aritmetik ilerleme artan () ve azalan () olabilir.

Örneğin:

Aritmetik ilerlemenin n'inci terimini bulma formülü

artan sayıların sayısı olan formülle yazılır.

Aritmetik ilerlemenin üyelerinin mülkiyeti

Eğer komşu terimleri biliniyorsa, bir ilerlemenin bir terimini kolayca bulmanızı sağlar; ilerlemedeki sayıların sayısı nerededir.

Aritmetik ilerlemenin terimlerinin toplamı

Tutarı bulmanın iki yolu vardır:

Değerlerin sayısı nerede.

Sayı dizisi kavramı, her doğal sayının bir gerçek değere karşılık geldiğini ima eder. Böyle bir sayı dizisi keyfi olabilir veya belirli özelliklere sahip olabilir - bir ilerleme. İkinci durumda, dizinin her bir sonraki elemanı (üyesi), bir önceki kullanılarak hesaplanabilir.

Aritmetik ilerleme, komşu üyelerinin birbirinden aynı sayıda farklılık gösterdiği bir sayısal değerler dizisidir (2'den başlayarak serinin tüm öğeleri benzer bir özelliğe sahiptir). Bu sayı (önceki ve sonraki terimler arasındaki fark) sabittir ve ilerleme farkı olarak adlandırılır.

İlerleme farkı: tanım

A = a(1), a(2), a(3), a(4) ... a(j), j değerlerinden oluşan bir dizi düşünün, N doğal sayılar kümesine aittir. ilerleme, tanımına göre bir dizidir ve burada a(3) – a(2) = a(4) – a(3) = a(5) – a(4) = … = a(j) – a(j-1) = d. d değeri bu ilerlemenin istenen farkıdır.

d = a(j) – a(j-1).

Vurgulamak:

Artan bir ilerleme, bu durumda d > 0. Örnek: 4, 8, 12, 16, 20, ...
İlerleme azalıyor, sonra d< 0. Пример: 18, 13, 8, 3, -2, …

Fark ilerlemesi ve keyfi unsurları

İlerlemenin 2 rastgele terimi biliniyorsa (i-th, k-th), o zaman belirli bir dizi için fark, ilişkiye dayalı olarak belirlenebilir:

a(i) = a(k) + (i – k)*d, bunun anlamı d = (a(i) – a(k))/(i-k).

İlerleme farkı ve ilk dönemi

Bu ifade, yalnızca dizi öğesinin sayısının bilindiği durumlarda bilinmeyen bir değerin belirlenmesine yardımcı olacaktır.

İlerleme farkı ve toplamı

Bir ilerlemenin toplamı, terimlerinin toplamıdır. İlk j elemanlarının toplam değerini hesaplamak için uygun formülü kullanın:

S(j) =((a(1) + a(j))/2)*j, fakat beri a(j) = a(1) + d(j – 1), sonra S(j) = ((a(1) + a(1) + d(j – 1))/2)*j=(( 2a(1) + d(– 1))/2)*j.

I. V. Yakovlev | Matematik materyalleri | MathUs.ru

Aritmetik ilerleme

Aritmetik ilerleme özel Tip devamı. Bu nedenle, aritmetik (ve ardından geometrik) ilerlemeyi tanımlamadan önce, önemli sayı dizisi kavramını kısaca tartışmamız gerekiyor.

Alt sıra

Ekranında belirli sayıların birbiri ardına görüntülendiği bir cihaz düşünün. 2 diyelim; 7; 13; 1; 6; 0; 3; : : : Bu sayı kümesi tam olarak bir dizi örneğidir.

Tanım. Sayı dizisi, her sayıya benzersiz bir sayının atanabileceği (yani tek bir doğal sayıyla ilişkili)1 bir sayı kümesidir. n numaralı sayıya denir n'inci terim diziler.

Yani yukarıdaki örnekte ilk sayı 2'dir, bu dizinin ilk üyesidir ve a1 ile gösterilebilir; beş rakamı 6 rakamına sahiptir, serinin beşinci terimidir ve a5 ile gösterilebilir. Kesinlikle, n'inci terim diziler bir (veya bn, cn, vb.) ile gösterilir.

Dizinin n'inci teriminin bir formülle belirlenebildiği durum çok uygun bir durumdur. Örneğin, an = 2n 3 formülü şu diziyi belirtir: 1; 1; 3; 5; 7; : : : an = (1)n formülü şu sırayı belirtir: 1; 1; 1; 1; : : :

Her sayı kümesi bir dizi değildir. Dolayısıyla bir parça bir dizi değildir; yeniden numaralandırılamayacak kadar çok sayıda sayı içeriyor. Tüm reel sayıların R kümesi de bir dizi değildir. Bu gerçekler matematiksel analiz sırasında kanıtlanmıştır.

Aritmetik ilerleme: temel tanımlar

Artık aritmetik ilerlemeyi tanımlamaya hazırız.

Tanım. Aritmetik ilerleme, her terimin (ikinciden başlayarak) önceki terimin ve bazı sabit sayıların (aritmetik ilerlemenin farkı olarak adlandırılır) toplamına eşit olduğu bir dizidir.

Örneğin dizi 2; 5; 8; on bir; : : : ilk terimi 2 ve farkı 3 olan bir aritmetik ilerlemedir. Sıra 7; 2; 3; 8; : : : ilk terimi 7 ve farkı 5 olan bir aritmetik ilerlemedir. Sıra 3; 3; 3; : : : farkı sıfıra eşit olan bir aritmetik ilerlemedir.

Eşdeğer tanım: an+1 an farkı sabit bir değerse (n'den bağımsız) an dizisine aritmetik ilerleme denir.

Aritmetik ilerlemeye farkı pozitifse artan, farkı negatifse azalan denir.

1 Ancak burada daha kısa bir tanım var: Bir dizi, doğal sayılar kümesinde tanımlanan bir fonksiyondur. Örneğin, gerçek sayılar dizisi bir f: N fonksiyonudur! R.

Varsayılan olarak dizilerin sonsuz olduğu, yani sonsuz sayıda sayı içerdiği kabul edilir. Ancak hiç kimse bizi sonlu dizileri dikkate alma zahmetine sokmuyor; aslında herhangi bir sonlu sayı kümesine sonlu bir dizi denilebilir. Örneğin bitiş sırası 1'dir; 2; 3; 4; 5 beş sayıdan oluşur.

Aritmetik ilerlemenin n'inci terimi için formül

Aritmetik ilerlemenin tamamen iki sayı tarafından belirlendiğini anlamak kolaydır: ilk terim ve fark. Bu nedenle şu soru ortaya çıkıyor: İlk terimi ve farkı bilerek, aritmetik ilerlemenin keyfi bir terimini nasıl buluruz?

Bir aritmetik ilerlemenin n'inci terimi için gerekli formülü elde etmek zor değildir. izin ver

farkla aritmetik ilerleme d. Sahibiz:
an+1 = an + d (n = 1; 2; : : :):
Özellikle şunu yazıyoruz:
a2 = a1 + d;
a3 = a2 + d = (a1 + d) + d = a1 + 2d;
a4 = a3 + d = (a1 + 2d) + d = a1 + 3d;
ve şimdi a'nın formülünün şu olduğu ortaya çıkıyor:
an = a1 + (n 1)d:

Problem 1. Aritmetik ilerleme 2'de; 5; 8; on bir; : : : n'inci terimin formülünü bulun ve yüzüncü terimi hesaplayın.

Çözüm. Formül (1)'e göre elimizde:

an = 2 + 3(n 1) = 3n 1:

a100 = 3 100 1 = 299:

Aritmetik ilerlemenin özelliği ve işareti

Aritmetik ilerlemenin özelliği. Aritmetik ilerlemede ve herhangi biri için

Başka bir deyişle, bir aritmetik ilerlemenin her üyesi (ikincisinden başlayarak) komşu üyelerinin aritmetik ortalamasıdır.

	Kanıt. Sahibiz:
	bir n 1+ bir n+1		(ve d) + (an + d)

gerekli olan da buydu.

Daha genel olarak, aritmetik ilerleme an eşitliği sağlar

a n = a n k+ a n+k

herhangi bir n > 2 ve herhangi bir doğal k için< n. Попробуйте самостоятельно доказать эту формулу тем же самым приёмом, что и формулу (2 ).

Formül (2)'nin, dizinin aritmetik bir ilerleme olması için yalnızca gerekli değil, aynı zamanda yeterli bir koşul olarak hizmet ettiği ortaya çıktı.

Aritmetik ilerleme işareti. Eşitlik (2) tüm n > 2 için geçerliyse, an dizisi bir aritmetik ilerlemedir.

Kanıt. Formül (2)'yi şu şekilde yeniden yazalım:

a na n 1= a n+1a n:

Buradan an+1 an farkının n'ye bağlı olmadığını görebiliriz ve bu tam olarak an dizisinin aritmetik bir ilerleme olduğu anlamına gelir.

Aritmetik ilerlemenin özelliği ve işareti tek bir ifade biçiminde formüle edilebilir; Kolaylık sağlamak için bunu üç sayı için yapacağız (bu, problemlerde sıklıkla karşılaşılan bir durumdur).

Aritmetik ilerlemenin karakterizasyonu. Üç a, b, c sayısı ancak ve ancak 2b = a + c ise bir aritmetik ilerleme oluşturur.

Problem 2. (MSU, İktisat Fakültesi, 2007) Belirtilen sıraya göre 8x, 3x2 ve 4 numaralı üç sayı azalan bir aritmetik dizi oluşturuyor. X'i bulun ve bu ilerlemenin farkını belirtin.

Çözüm. Aritmetik ilerlemenin özelliği gereği elimizde:

2(3 x2 ) = 8x 4 , 2x2 + 8x 10 = 0 , x2 + 4x 5 = 0 , x = 1; x = 5:

Eğer x = 1 ise 6 farkla 8, 2, 4'lük azalan bir ilerleme elde ederiz. Eğer x = 5 ise 40, 22, 4'lük artan bir ilerleme elde ederiz; bu durum uygun değildir.

Cevap: x = 1, fark 6'dır.

Bir aritmetik ilerlemenin ilk n teriminin toplamı

Efsaneye göre bir gün öğretmen çocuklara 1'den 100'e kadar olan sayıların toplamını bulmalarını söyler ve sessizce oturup gazete okur. Ancak birkaç dakika içinde bir çocuk sorunu çözdüğünü söyledi. Bu kişi, daha sonra tarihteki en büyük matematikçilerden biri olacak olan 9 yaşındaki Carl Friedrich Gauss'du.

Küçük Gauss'un fikri şuydu. İzin vermek

S = 1 + 2 + 3 + : : : + 98 + 99 + 100:

Bu tutarı tersten yazalım:

S = 100 + 99 + 98 + : : : + 3 + 2 + 1;

ve şu iki formülü ekleyin:

2S = (1 + 100) + (2 + 99) + (3 + 98) + : : : + (98 + 3) + (99 + 2) + (100 + 1):

Parantez içindeki her terim 101'e eşittir ve toplamda 100 tane terim vardır.

2S = 101 100 = 10100;

Toplam formülünü türetmek için bu fikri kullanırız

S = a1 + a2 + : : : + an + a n n: (3)

Eğer n'inci terimin formülünü an = a1 + (n 1)d yerine koyarsak, formül (3)'ün faydalı bir modifikasyonu elde edilir:

		2a1 + (n 1)d

Problem 3. 13'e bölünebilen tüm üç basamaklı pozitif sayıların toplamını bulun.

Çözüm. 13'ün katı olan üç basamaklı sayılar, ilk terimi 104 ve farkı 13 olan bir aritmetik dizi oluşturur; Bu ilerlemenin n'inci terimi şu şekildedir:

an = 104 + 13(n 1) = 91 + 13n:

İlerlememizin kaç terim içerdiğini bulalım. Bunu yapmak için eşitsizliği çözüyoruz:

bir 6 999; 91 + 13n 6 999;

n6 90813 = 691113; numara 6 69:

Yani ilerlememizde 69 üye var. Formül (4)'ü kullanarak gerekli miktarı buluruz:

S = 2 104 + 68 13 69 = 37674: 2