Зі школи всім нам відомо правило про зведення в ступінь: будь-яке число з показником N дорівнює результату перемноження даного числа на себе N-ну кількість разів. Іншими словами, 7 в ступені 3 - це 7, помножене на себе три рази, тобто 343. Ще одне правило - зведення будь-якої величини в ступінь 0 дає одиницю, а зведення негативної величини є результатом звичайного зведення в ступінь, якщо вона парна, і такий самий результат зі знаком «мінус», якщо вона непарна.
Правила ж дають і відповідь, як зводити число в негативний ступінь. Для цього необхідно звести звичайним методом необхідну величину на модуль показника, а потім одиницю поділити на результат.
З цих правил стає зрозуміло, що виконання реальних завданьз оперуванням великими величинами вимагатиме наявності технічних засобів. Вручну вдасться перемножити на себе максимум діапазон чисел до двадцяти-тридцяти, і то не більше трьох-чотирьох разів. Не кажучи вже про те, щоб потім ще й одиницю розділити на результат. Тому тим, хто не має під рукою спеціального інженерного калькулятора, ми розповімо, як звести число в негативний ступінь в Excel.
Вирішення задач в Excel
Для вирішення завдань зі зведенням до ступеня Excel дозволяє користуватися одним із двох варіантів.
Перше – це використання формули зі стандартним знаком «кришечка». Введіть у комірки робочого листа такі дані:
Так само можна звести потрібну величину в будь-який ступінь - негативну, дробову. Виконаємо наступні діїі відповімо на питання про те, як звести число в негативний ступінь. Приклад:
Можна у формулі підправити =B2^-C2.
Другий варіант - використання готової функції "Ступінь", що приймає два обов'язкові аргументи - число і показник. Щоб приступити до її використання, достатньо в будь-якому вільному осередку поставити знак "рівно" (=), що вказує на початок формули, і ввести вищенаведені слова. Залишилося вибрати два осередки, які братимуть участь в операції (або вказати конкретні числа вручну), і натиснути клавішу Enter. Подивимося на кілька простих прикладів.
Формула | Результат |
||||
СТУПЕНЬ(B2;C2) | |||||
СТУПЕНЬ(B3;C3) |
|
Як бачимо, немає нічого складного в тому, як зводити число в негативний ступінь і звичайний за допомогою Excel. Адже для вирішення цієї задачі можна користуватися як звичним всім символом «кришечка», так і зручною для запам'ятовування вбудованою функцією програми. Це безперечний плюс!
Перейдемо до більш складним прикладам. Згадаймо правило про те, як зводити число негативний ступінь дробового характеру, і побачимо, що це завдання дуже просто вирішується в Excel.
Дробові показники
Якщо коротко, то алгоритм обчислення числа з дрібним показником наступний.
- Перетворити дробовий показник на правильний або неправильний дріб.
- Звести наше число в чисельник отриманого перетвореного дробу.
- З отриманого попередньому пункті числа обчислити корінь, з умовою, що показником кореня буде знаменник дробу, отриманої першому етапі.
Погодьтеся, що навіть при оперуванні малими числами і правильними дробамиподібні обчислення можуть забрати чимало часу. Добре, що табличного процесора Excel не має значення, яке число і в який ступінь зводити. Спробуйте вирішити на робочому аркуші Excel наступний приклад:
Скориставшись наведеними вище правилами, ви можете перевірити і переконатися, що обчислення здійснено правильно.
Наприкінці нашої статті наведемо у формі таблиці з формулами та результатами кілька прикладів, як зводити число в негативний ступінь, а також кілька прикладів з оперуванням дробовими числами та ступенями.
Таблиця прикладів
Перевірте на робочому аркуші книги Excel такі приклади. Щоб усе запрацювало коректно, вам необхідно використовувати змішане посилання під час копіювання формули. Закріпіть номер стовпця, що містить число, що зводиться, і номер рядка, що містить показник. Ваша формула повинна мати приблизно такий вигляд: «=$B4^C$3».
Число / Ступінь | |||||
Зверніть увагу, що позитивні числа (навіть нецілі) без проблем обчислюються за будь-яких показників. Не виникає проблем і зі зведенням будь-яких чисел у цілі показники. А ось зведення негативного числав дрібну міру обернеться вам помилкою, оскільки неможливо виконати правило, вказане на початку нашої статті про зведення негативних чисел, адже парність - це характеристика виключно ЦІЛОГО числа.
Протягом розмови про рівень числа логічно дати раду знаходженням значення ступеня. Цей процес отримав назву зведення в ступінь. У цій статті ми вивчимо, як виконується зведення в ступінь, при цьому торкнемося все можливі показникиступеня – натуральний, цілий, раціональний та ірраціональний. І за традицією докладно розглянемо рішення прикладів зведення чисел у різні ступені.
Навігація на сторінці.
Що означає «зведення у ступінь»?
Почати слід із пояснення, що називають зведенням у ступінь. Ось відповідне визначення.
Визначення.
Зведення в ступінь- Це знаходження значення ступеня числа.
Таким чином, знаходження значення ступеня числа a з показником r і зведення числа a у ступінь r – це те саме. Наприклад, якщо поставлено завдання «обчисліть значення ступеня (0,5) 5», то його можна переформулювати так: «Зведіть число 0,5 до ступеня 5».
Тепер можна переходити безпосередньо до правил, за якими виконується зведення у ступінь.
Зведення числа до натурального ступеня
Насправді рівність виходячи з звичайно застосовується як . Тобто, при зведенні числа a в дрібний ступінь m/n спочатку витягується корінь n-ого ступеня з числа a, після чого отриманий результат зводиться в цілий ступінь m.
Розглянемо рішення прикладів зведення на дробовий ступінь.
приклад.
Обчисліть значення ступеня.
Рішення.
Покажемо два способи розв'язання.
Перший метод. За визначенням ступеня з дробовим показником. Обчислюємо значення ступеня під знаком кореня, після чого отримуємо кубічний корінь: 
.
Другий спосіб. За визначенням ступеня з дробовим показником та на підставі властивостей коренів справедливі рівністі 
. Тепер витягаємо корінь 
, нарешті, зводимо в цілий ступінь 
.
Очевидно, що отримані результати зведення в дрібний ступінь збігаються.
Відповідь:
Зазначимо, що дробовий показник ступеня може бути записаний у вигляді десяткового дробу або змішаного числа, у цих випадках його слід замінити відповідним звичайним дробом, після чого виконувати зведення в ступінь.
приклад.
Обчисліть (44,89) 2,5.
Рішення.
Запишемо показник ступеня у вигляді звичайного дробу(при необхідності дивіться статтю): 
. Тепер виконуємо зведення в дробовий ступінь: 
Відповідь:
(44,89) 2,5 =13 501,25107 .
Слід також сказати, що зведення чисел у раціональні ступені є досить трудомістким процесом (особливо коли в чисельнику та знаменнику дробового показника ступеня знаходяться достатньо великі числа), який зазвичай проводиться з використанням обчислювальної техніки.
На закінчення цього пункту зупинимося на зведенні числа нуль у дрібний ступінь. Дробного ступеня нуля виду ми надали наступного змісту: якщо маємо 
, а за нуль у ступені m/n не визначено. Отже, нуль у дробовому позитивному ступені дорівнює нулю, наприклад, 
. А нуль у дробовій негативною мірою немає сенсу, наприклад, немає сенсу висловлювання і 0 -4,3 .
Зведення в ірраціональний ступінь
Іноді виникає необхідність дізнатися значення ступеня числа з ірраціональним показником. При цьому в практичних цілях зазвичай достатньо отримати значення ступеня з точністю деякого знака. Відразу відзначимо, що це значення на практиці обчислюється за допомогою електронної обчислювальної техніки, тому що зведення в ірраціональний ступінь вручну вимагає великої кількостігроміздких обчислень. Але все ж опишемо в загальних рисахсуть дій.
Щоб отримати наближене значення ступеня числа a з ірраціональним показником, береться деяке десяткове наближення показника ступеня і обчислюється значення ступеня. Це значення є наближеним значенням ступеня числа a з ірраціональним показником . Чим точніше десяткове наближення числа буде взято спочатку, тим більше точне значенняступеня буде отримано у результаті.
Як приклад обчислимо наближене значення ступеня 2 1,174367. Візьмемо наступне десяткове наближення ірраціонального показника: . Тепер зведемо 2 раціональний ступінь 1,17 (суть цього процесу ми описали в попередньому пункті), отримуємо 2 1,17 ≈2,250116 . Таким чином, 2 1,174367... ≈2 1,17 ≈2,250116 . Якщо взяти точніше десяткове наближення ірраціонального показника ступеня, наприклад, то отримаємо точніше значення вихідного ступеня: 2 1,174367... ≈2 1,1743 ≈2,256833 .
Список літератури.
- Віленкін Н.Я., Жохов В.І., Чесноков А.С., Шварцбурд С.І. МатематикаЖ підручник для 5 кл. загальноосвітніх установ.
- Макарічев Ю.М., Міндюк Н.Г., Нешков К.І., Суворова С.Б. Алгебра: підручник для 7 кл. загальноосвітніх установ.
- Макарічев Ю.М., Міндюк Н.Г., Нешков К.І., Суворова С.Б. Алгебра: підручник для 8 кл. загальноосвітніх установ.
- Макарічев Ю.М., Міндюк Н.Г., Нешков К.І., Суворова С.Б. Алгебра: підручник для 9 кл. загальноосвітніх установ.
- Колмогоров А.М., Абрамов А.М., Дудніцин Ю.П. та ін Алгебра та початку аналізу: Підручник для 10 - 11 класів загальноосвітніх установ.
- Гусєв В.А., Мордкович А.Г. Математика (посібник для вступників до технікумів).
Зведення в негативний ступінь – один із основних елементів математики, який часто зустрічається при вирішенні завдань алгебри. Нижче наведено докладну інструкцію.
Як зводити в негативний ступінь – теорія
Коли ми числом у звичайний ступінь, ми множимо його значення кілька разів. Наприклад, 3 3 = 3×3×3 = 27. З негативним дробом усе навпаки. Загальний вигляд за формулою матиме такий вигляд: a -n = 1/a n . Таким чином, щоб звести число в негативний ступінь, потрібно одиницю поділити на це число, але вже позитивно.
Як зводити в негативний ступінь – приклади на звичайних числах
Тримаючи вищенаведене правило розумі, вирішимо кілька прикладів.
4 -2 = 1/4 2 = 1/16
Відповідь: 4 -2 = 1/16
4 -2 = 1/-4 2 = 1/16.
Відповідь -4 -2 = 1/16.
Але чому відповідь у першому та другому прикладах однакова? Справа в тому, що при зведенні негативного числа в парний ступінь (2, 4, 6 і т.д.) знак стає позитивним. Якби ступінь був парним, то мінус зберігся:
4 -3 = 1/(-4) 3 = 1/(-64)
Як зводити у негативний ступінь – числа від 0 до 1
Згадаймо, що при зведенні числа в проміжку від 0 до 1 у позитивний ступінь значення зменшується зі зростанням ступеня. Так, наприклад, 0,5 2 = 0,25. 0,25< 0,5. В случае с отрицательной степенью все обстоит наоборот. При возведении десятичного (дробного) числа в отрицательную степень, значение увеличивается.
Приклад 3: Обчислити 0,5 -2
Рішення: 0,5 -2 = 1/1/2 -2 = 1/1/4 = 1×4/1 = 4.
Відповідь: 0,5 -2 = 4
Розбір (послідовність дій):
- Перекладаємо десятковий дріб 0,5 в дрібну 1/2. Так легше.
Зводимо 1/2 в негативний ступінь. 1/(2) -2. Ділимо 1 на 1/(2) 2 , отримуємо 1/(1/2) 2 => 1/1/4 = 4
Приклад 4: Обчислити 0,5 -3
Рішення: 0,5 -3 = (1/2) -3 = 1/(1/2) 3 = 1/(1/8) = 8
Приклад 5: Обчислити -0,5 -3
Рішення: -0,5 -3 = (-1/2) -3 = 1/(-1/2) 3 = 1/(-1/8) = -8
Відповідь: -0,5 -3 = -8
Виходячи з 4-го та 5-го прикладів, зробимо кілька висновків:
- Для позитивного числа в проміжку від 0 до 1 (приклад 4), що зводиться в негативний ступінь, парність чи непарність ступеня не важлива, значення виразу буде позитивним. При цьому чим більше ступінь, тим більше значення.
- Для негативного числа в проміжку від 0 до 1 (приклад 5), що зводиться в негативний ступінь, парність або непарність ступеня не має значення значення виразу буде негативним. При цьому чим більше ступінь, тим менше значення.
Як зводити у негативний ступінь – ступінь у вигляді дробового числа
Вирази даного типумають такий вигляд: a -m/n , де a – звичайне число, m – чисельник ступеня, n – знаменник ступеня.
Розглянемо приклад:
Обчислити: 8 -1/3
Рішення (послідовність дій):
- Згадуємо правило зведення числа у негативний ступінь. Отримаємо: 8 -1/3 = 1/(8) 1/3.
- Зауважте, у знаменнику число 8 в дрібній мірі. Загальний вид обчислення дробового ступеня такий: a m/n = n √8 m.
- Таким чином, 1/(8) 1/3 = 1/(3 √8 1). Отримуємо кубічний корінь із восьми, який дорівнює 2. Виходячи звідси, 1/(8) 1/3 = 1/(1/2) = 2.
- Відповідь: 8 -1/3 = 2
В одній із попередніх статей ми вже згадували про ступінь числа. Сьогодні ми намагатимемося зорієнтуватися у процесі знаходження її значення. Науково кажучи, ми з'ясовуватимемо, як правильно зводити в ступінь. Ми розберемося, як виробляється цей процес, одночасно торкнемося всі ймовірні показники ступеня: натуральний, ірраціональний, раціональний, цілий.
Отже, давайте докладно розглянемо рішення прикладів і з'ясуємо, що означає:
- Визначення поняття.
- Зведення у негативну ст.
- Цілий показник.
- Зведення числа до ірраціонального ступеня.
Ось точно відбиває значення визначення: «Зведенням у ступінь називають визначення значення ступеня числа».
Відповідно, зведення числа a у ст. r та процес знаходження значення ступеня a з показником r – це ідентичні поняття. Наприклад, якщо стоїть завдання обчислити значення ступеня (0,6)6″, її можна спростити до висловлювання «Повести число 0,6 в ступінь 6».
Після цього можна приступати безпосередньо до правил будівництва.
Зведення у негативний ступінь
Для наочності слід звернути увагу на такий ланцюжок виразів:
110 = 0,1 = 1 * 10 мінус 1 ст.,
1100 = 0,01 = 1 * 10 мінус 2 степ.,
11000 = 0,0001 = 1 * 10 мінус 3 ст.,
110000 = 0,00001 = 1 * 10 в мінус 4 ступені.
Завдяки даним прикладам можна чітко переглянути можливість моментально обчислити 10 у будь-якому мінусовому ступені. Для цього досить банально зрушувати десяткову складову:
- 10 -1 ступеня - перед одиницею 1 нуль;
- в -3 - три нулі перед одиницею;
- в -9 - це 9 нулів та ін.
Так само легко зрозуміти за даною схемою, скільки становитиме 10 мінус 5 ст. -
1100000=0,000001=(1*10)-5.
Як звести число в натуральний ступінь
Згадуючи визначення, враховуємо, що натуральне число a у ст. n дорівнює добутку з n множників, причому кожен із них дорівнює a. Проілюструємо: (а * а * ... а) n, де n - це кількість чисел, які множаться. Відповідно, щоб a звести до n, необхідно розрахувати твір наступного виду: а * а * ... а розділити на n разів.
Звідси стає очевидним, що зведення у натуральну ст. спирається на вміння здійснювати множення(Цей матеріал висвітлений у розділі для збільшення дійсних чисел). Давайте розглянемо завдання:
Зведіть -2 в 4 ст.
Ми маємо справу із натуральним показником. Відповідно, хід рішення буде наступним: (-2) у ст. 4 = (-2) * (-2) * (-2) * (-2). Тепер залишилося тільки здійснити множення цілих чисельностей: (-2) * (-2) * (-2) * (-2). Отримуємо 16.
Відповідь на завдання:
(-2) у ст. 4=16.
Приклад:
Обчисліть значення: три цілих дві сьомі у квадраті.
Даний приклад дорівнює наступному твору: три цілих дві сьомих помножити на три цілих дві сьомі. Пригадавши, як здійснюється множення змішаних чисел, завершуємо зведення:
- 3 цілих 2 сьомих помножити на себе;
- і 23 сьомих помножити на 23 сьомих;
- дорівнює 529 сорок дев'ятих;
- скорочуємо та отримуємо 10 тридцять дев'ять сорок дев'ятих.
Відповідь: 10 39/49
Щодо питання зведення в ірраціональний показник, слід зазначити, що розрахунки починають проводити після завершення попереднього округлення основи ступеня до будь-якого розряду, який дозволив би отримати величину із заданою точністю. Наприклад, нам потрібно звести число П (пі) у квадрат.
Починаємо з того, що округляємо П до сотих і отримуємо:
П у квадраті = (3,14) 2 = 9,8596. Однак, якщо скоротити П до десятитисячних, отримаємо П=3,14159. Тоді зведення в квадрат отримує зовсім інше число: 9,8695877281.
Тут слід зазначити, що у багатьох завданнях немає потреби зводити ірраціональні числав ступінь. Як правило, відповідь вписується або у вигляді, власне, ступеня, наприклад, корінь з 6 до ступеня 3, або, якщо дозволить вираз, проводиться його перетворення: корінь з 5 в 7 ступені = 125 корінь з 5.
Як звести число в цілий ступінь
Цю маніпуляцію алгебри доречно брати до уваги для наступних випадків:
- для цілих чисел;
- для нульового показника;
- для позитивного показника.
Оскільки практично всі цілі позитивні числа збігаються з масою чисел натуральних, то постановка в позитивну ступінь цілий - це той же процес, що і постановка в ст. натуральну. Цей процес ми описали у попередньому пункті.
Тепер поговоримо про обчислення ст. нульовий. Ми вже з'ясували вище, що нульовий рівень числа a можна визначити для будь-якого відмінного від нуля a (дійсного), при цьому a в ст. 0 дорівнюватиме 1.
Відповідно, зведення будь-якого дійсного числа в нульову ст. даватиме одиницю.
Наприклад, 10 ст.0=1, (-3,65)0=1, а 0 в ст. 0 не можна визначити.
Щоб завершити зведення в цілу ступінь, залишається визначитися з варіантами цілих негативних значень. Ми пам'ятаємо, що ст. від a з цілим показником -z визначатиметься як дріб. У знаменнику дробу розташовується ст. з цілим позитивним значенням, значення якої ми вже навчилися шукати. Тепер залишається лише розглянути приклад зведення.
Приклад:
Обчислити значення числа 2 у кубі з негативним показником.
Процес вирішення:
Відповідно до визначення ступеня з негативним показником позначаємо: два мінус 3 ст. дорівнює один до двох у третій ступені.
Знаменник розраховується просто: два у кубі;
3 = 2*2*2=8.
Відповідь: два в мінус 3 ст. = одна восьма.
можна знайти за допомогою множення. Наприклад: 5+5+5+5+5+5=5х6. Про такий вислів говорять, що суму рівних доданків згорнули у твір. І навпаки, якщо читати цю рівність справа наліво, отримуємо, що ми розгорнули суму рівних доданків. Аналогічно можна згортати добуток кількох рівних множників 5х5х5х5х5х5=5 6 .
Тобто замість множення шести однакових множників 5х5х5х5х5х5 пишуть 56 і кажуть «п'ять шостою мірою».
Вираз 56 - це ступенем числа, де:
5 - основа ступеня;
6 - показник ступеня.
Дії, за допомогою яких добуток рівних множників згортають у ступінь, називають зведенням у ступінь.
У загальному виглядіступінь з основою "a" та показником "n" записується так
Звести число a до ступеня n - означає знайти добуток n множників, кожен із яких дорівнює а
Якщо основа ступеня «а» дорівнює 1, то значення ступеня за будь-якого натурального n дорівнює 1. Наприклад, 1 5 =1, 1 256 =1
Якщо звести число «а» звести до перший ступінь, то отримаємо саме число a: a 1 = a
Якщо звести будь-яке число в нульовий ступінь, то результаті обчислень отримаємо один. a 0 = 1
Особливими вважають другий та третій ступінь числа. Для них вигадали назви: другий ступінь називають квадратом числа, третю - кубомцього числа.
У ступінь можна зводити будь-яке число – позитивне, негативне чи нуль. При цьому не користуються такими правилами:
При знаходженні ступеня позитивного числа виходить позитивне число.
При обчисленнях нуля в натуральному ступені одержуємо нуль.
х m · Х n = х m + n
наприклад: 7 1.7 · 7 - 0.9 = 7 1.7 + (- 0.9) = 7 1.7 - 0.9 = 7 0.8
Щоб розділити ступеня з однаковими підставамиоснову не міняємо, а показники ступенів віднімаємо :
х m /х n = х m - n , де, m > n,
наприклад: 13 3.8/13 -0.2 = 13 (3.8 -0.2) = 13 3.6
При розрахунках зведення ступеня в ступіньоснову не міняємо, а показники ступенів множимо один на одного.
(У m ) n = у m · n
наприклад: (2 3) 2 = 2 3 · 2 = 2 6
(х · у) n = х n · у m ,
наприклад:(2·3) 3 = 2 n · 3 m ,
При виконанні розрахунків з зведенню у ступінь дробуми на цей ступінь зводимо чисельник і знаменник дробу
(х/у) n = х n / у n
наприклад: (2/5) 3 = (2/5) · (2/5) · (2/5) = 2 3/5 3 .
Послідовність виконання розрахунків при роботі з виразами, що містять ступінь.
При виконанні розрахунків виразів без дужок, але що містять ступеня, в першу чергу виробляють зведення в ступінь, потім дії множення та поділ, і лише потім операції додавання та віднімання.
Якщо необхідно обчислити вираз дужки, що містять, то спочатку в зазначеному вище порядку робимо обчислення в дужках, а потім дії, що залишилися, в тому ж порядку зліва направо.
Дуже широко у практичних обчисленнях для спрощення розрахунків використовують готові таблиці ступенів.
Loading...