Замість слова «викрійка» іноді вживають «розгортка», проте цей термін неоднозначний: наприклад, розгорткою називають інструмент збільшення діаметра отвору, й у електронної техніці існує поняття розгортки. Тому, хоч я і зобов'язаний використати слова «розгортка конуса», щоб пошукові системи і за ними знаходили цю статтю, але користуватися буду словом «викрійка».

Побудова форми для конуса — справа нехитра. Розглянемо два випадки: для повного конуса та для усіченого. На зображенні (Клікніть, щоб збільшити)показані ескізи таких конусів та їх викрійок. (Відразу зауважу, що тут йтиметься лише про прямі конуси з круглою основою. Конуси з овальною основою і похилі конуси розглянемо в наступних статтях).

1. Повний конус

Позначення:

Параметри форми розраховуються за формулами:
;
;
де .

2. Усічений конус

Позначення:

Формули для обчислення параметрів викрійки:
;
;
;
де .
Зауважимо, що ці формули підійдуть і для конуса, якщо ми підставимо в них .

Іноді при побудові конуса важливим є значення кута за його вершині (або за уявної вершині, якщо конус усічений). Найпростіший приклад - коли потрібно, щоб один конус щільно входив до іншого. Позначимо цей кут буквою (див. картинку).
У цьому випадку ми можемо використовувати його замість одного з трьох вхідних значень: , або . Чому про", а не" е«? Тому що для побудови конуса достатньо трьох параметрів, а значення четвертого обчислюється через значення трьох інших. Чому саме трьох, а не двох і не чотирьох — питання, яке виходить за межі цієї статті. Таємничий голос мені підказує, що це пов'язано з тривимірністю об'єкта «конус». (Порівняйте з двома вихідними параметрами двовимірного об'єкта «сегмент кола», за якими ми обчислювали решту його параметрів у статті .)

Нижче наведені формули, якими визначається четвертий параметр конуса, коли задані три.

4. Методи побудови викрійки

• Обчислити значення на калькуляторі та побудувати форму на папері (або відразу на металі) за допомогою циркуля, лінійки та транспортира.
• Занести формули та вихідні дані до електронної таблиці (наприклад, Microsoft Exel). Отриманий результат використовуватиме побудови викройки з допомогою графічного редактора (наприклад, CorelDRAW).
• використовувати мою програму, яка намалює на екрані і виведе на друк викрійку для конуса із заданими параметрами. Цю форму можна зберегти у вигляді векторного файлу і імпортувати в CorelDRAW.

5. Не паралельні підстави

Що стосується усічених конусів, то програма Cones поки що будує викрійки для конусів, що мають лише паралельні основи.
Для тих, хто шукає спосіб побудови викрійки зрізаного конуса з не паралельними підставами, наводжу посилання, надане одним із відвідувачів сайту:
Усічений конус з не паралельними основами.

Розгортка поверхні конуса - це плоска фігура, отримана шляхом поєднання бічної поверхні та підстави конуса з деякою площиною.

Варіанти побудови розгортки:

Розгорнення прямого кругового конуса

Розгортка бічної поверхні прямого кругового конуса є круговим сектором, радіус якого дорівнює довжині утворюючої конічної поверхні l, а центральний кут φ визначається за формулою φ=360*R/l, де R – радіус кола основи конуса.

У ряді завдань накреслювальної геометрії переважним рішенням є апроксимація (заміна) конуса вписаної в нього пірамідою і побудова наближеної розгортки, на яку зручно наносити лінії, що лежать на конічній поверхні.

Алгоритм побудови

1. Вписуємо у конічну поверхню багатокутну піраміду. Чим більше бічних граней у вписаної піраміди, тим точніше відповідність між дійсною та наближеною розгорткою.
2. Будуємо розгорнення бічної поверхні піраміди способом трикутників. Крапки, що належать основі конуса, з'єднуємо плавною кривою.

приклад

На малюнку нижче в прямий круговий конус вписано правильну шестикутну піраміду SABCDEF, і наближена розгортка його бічної поверхні складається з шести рівнобедрених трикутників – граней піраміди.

Розглянемо трикутник S0A0B0. Довжини його сторін S 0 A 0 і S 0 B 0 рівні утворює конічної поверхні. Розмір A 0 B 0 відповідає довжині A'B'. Для побудови трикутника S 0 A 0 B 0 у довільному місці креслення відкладаємо відрізок S 0 A 0 =l, після чого з точок S 0 і A 0 проводимо кола радіусом S 0 B 0 =l і A 0 B 0 = A'B' відповідно. З'єднуємо точку перетину кіл B 0 з точками A 0 і S 0 .

Грані S 0 B 0 C 0 , S 0 C 0 D 0 , S 0 D 0 E 0 , S 0 E 0 F 0 , S 0 F 0 A 0 піраміди SABCDEF будуємо аналогічно трикутнику S 0 A 0 B 0 .

Точки A, B, C, D, E і F, що лежать в основі конуса, з'єднуємо плавною кривою – дугою кола, радіус якого дорівнює l.

Розгорнення похилого конуса

Розглянемо порядок побудови розгортки бічної поверхні похилого конуса шляхом апроксимації (наближення).

Алгоритм

1. Вписуємо в коло основи конуса шестикутник 123456. З'єднуємо точки 1, 2, 3, 4, 5 і 6 з вершиною S. Піраміда S123456, побудована таким чином, з деяким ступенем наближення є заміною конічної поверхні і використовується в цій якості подальших побудовах.
2. Визначаємо натуральні величини ребер піраміди, використовуючи спосіб обертання навколо прямої, що проєкує: у прикладі використовується вісь i, перпендикулярна горизонтальній площині проекцій і проходить через вершину S.
   Так, в результаті обертання ребра S5 його нова горизонтальна проекція S5'1 займає положення, при якому вона паралельна фронтальній площині π 2 . Відповідно, S''5'' 1 - натуральна величина S5.
3. Будуємо розгорнення бічної поверхні піраміди S123456, що складається з шести трикутників: S 0 1 0 6 0 , S 0 6 0 5 0 , S 0 5 0 4 0 , S 0 4 0 3 0 , S 0 3 0 2 0 0 1 0 . Побудова кожного трикутника виконується з трьох сторін. Наприклад, у △S 0 1 0 6 0 довжина S 0 1 0 =S''1'' 0 , S 0 6 0 =S''6'' 1 , 1 0 6 0 =1'6'.

Ступінь відповідності наближеної розгортки дійсної залежить від кількості вписаних граней піраміди. Число граней вибирають, виходячи із зручності читання креслення, вимог до його точності, наявності характерних точок та ліній, які потрібно перенести на розгортку.

Перенесення лінії з поверхні конуса на розгортку

Лінія n, що лежить на поверхні конуса, утворена в результаті перетину з деякою площиною (рисунок нижче). Розглянемо алгоритм побудови лінії n на розгортці.

Алгоритм

1. Знаходимо проекції точок A, B і C, в яких лінія n перетинає ребра, вписаної в конус піраміди S123456.
2. Визначаємо натуральну величину відрізків SA, SB, SC способом обертання навколо прямої, що проеціює. У аналізованому прикладі SA=S''A'', SB=S''B'' 1 , SC=S''C'' 1 .
3. Знаходимо положення точок A 0 , B 0 , C 0 на відповідних їм ребрах піраміди, відкладаючи на розгортці відрізки S 0 A 0 =S''A'', S 0 B 0 =S''B'' 1 , S 0 C 0 =S''C'' 1 .
4. З'єднуємо точки A0, B0, C0 плавною лінією.

Розгорнення усіченого конуса

Описуваний нижче спосіб побудови розгорнення прямого кругового конуса заснований на принципі подоби.

Побудувати розгортку конуса можна двома шляхами:

• Розділити основу конуса на 12 частин (вписуємо правильний багатогранник – піраміду). Можете розділити основу конуса і більшу чи меншу кількість частин, т.к. що менше хорда, то точніше побудова розгортки конуса. Потім на дугу кругового сектора перенести хорди.
• Побудова розгортки конуса, що за формулою визначає кут кругового сектора.

Так як нам необхідно нанести на розгортку конуса лінії перетину конуса та циліндра, то нам все одно доведеться ділити основу конуса на 12 частин і вписувати піраміду, тому ми підемо відразу по 1 шляху побудови розгортки конуса.

Алгоритм побудови розгортки конуса

• Ділимо основу конуса на 12 рівних частин (вписуємо правильну піраміду).
• Будуємо бічну поверхню конуса, яка є круговим сектором. Радіус кругового сектора конуса дорівнює довжині утворює конуса, а довжина дуги сектора дорівнює довжині кола основи конуса. На дугу сектора переносимо 12 хорд, які визначать її довжину, і навіть кут кругового сектора.
• До будь-якої точки дуги сектора прилаштовуємо основу конуса.
• Через характерні точки перетину конуса та циліндра проводимо утворюючі.
• Знаходимо натуральну величину утворюючих.
• Будуємо дані, що утворюють на розгортці конуса.
• З'єднуємо характерні точки перетину конуса та циліндра на розгортці.

Більш докладно у відеоуроці з накреслювальної геометрії Автокад.

Під час побудови розгортки конуса ми використовуватимемо Масив в Автокад - Круговий масив і масив по траєкторії. Рекомендую для перегляду дані відеоуроки Автокад. Відеокурс Автокад 2D на момент написання статті містить класичний спосіб побудови кругового масиву та інтерактивний при побудові масиву траєкторією.

Короткий шлях http://bibt.ru

Розгортки усіченого циліндра та конуса.

Для побудови розгортки усіченого циліндра викреслюють усічений циліндр у двох проекціях (вид спереду і вид зверху), потім ділять коло на рівну кількість частин, наприклад, на 12 (рис. 243). З правого боку від першої проекції проводять пряму лінію АБ, рівну випрямленій довжині кола, і ділять її на таку ж кількість рівних частин, тобто на 12. З точок поділу 1, 2, 3 і т. д. на лінії АБ відновлюють перпендикуляри, та якщо з точок 1, 2, 3 і т. д., що лежать на колі, проводять прямі, паралельні осьовий до перетину їх з похилою лінією перерізу.

Рис. 243. Побудова розгортки усіченого циліндра

Тепер на кожному перпендикулярі відкладають циркулем вгору від лінії АБ відрізки, рівні за висотою відрізкам, позначеним на проекції виду перед номерами відповідних точок. Для ясності два такі відрізки відзначені фігурними дужками. Отримані точки на перпендикулярах з'єднують плавною кривою.

Побудова розгортки бічної поверхні конуса показано на рис. 244 а. Викреслюють у натуральну величину бічну проекцію конуса за заданими розмірами діаметра та висоти. Вимірюють циркулем довжину утворює конуса, позначеної буквою R. Чортять циркулем з встановленим радіусом дугу навколо центру, що є крайньою точкою довільно проведеної прямої ОА.

Від точки А по дузі відкладають (циркулем невеликими відрізками) довжину розгорнутого кола, що дорівнює πD. Отриману крайню точку з'єднують з центром Про дуги. Фігура АОВ буде розгорткою бічної поверхні конуса.

Розгорнення бічної поверхні зрізаного конуса будується, як показано на рис. 244,б. По висоті та діаметрам верхньої та нижньої підстав усіченого конуса в натуральну величину викреслюють профіль усіченого конуса. Утворюючі конуси продовжують до перетину їх у точці О. Ця точка є центром, з неї проводять дуги, рівні довжинам кіл підстави і вершини зрізаного конуса. Для цього ділять основу конуса на сім частин. Кожну таку частину, тобто 1/7 частина діаметра D, відкладають по великій дузі 22 рази і з точки, що утворюється, В проводять пряму до центру дуги О. Після з'єднання точки Про з точками А і В отримують розгортку бічної поверхні усіченого конуса.

Вам знадобиться

• Олівець Лінійка косинець циркуль транспортир Формули обчислення кута по довжині дуги та радіусу Формули обчислення сторін геомтричних фігур

Інструкція

На аркуші паперу побудуйте основу потрібного геометричного тіла. Якщо вам дано паралелепіпед або , виміряйте довжину та ширину основи та накресліть на аркуші паперу прямокутник з відповідними параметрами. Для побудови розгортки а або циліндра вам необхідно радіус кола основи. Якщо вона не задана в умові, виміряйте та обчисліть радіус.

Розгляньте паралелепіпед. Ви побачите, що всі його грані розташовані під кутом до основи, але ці параметри різні. Виміряйте висоту геометричного тіла і за допомогою косинця накресліть два перпендикуляри до довжини основи. Відкладіть на них висоту паралелепіпеда. Кінці відрізків, що вийшли, з'єднайте прямий. Те саме зробіть з протилежного боку вихідного.

Від точок перетину сторін вихідного прямокутника проведіть перпендикуляри та до його ширини. Відкладіть на цих прямих висоту паралелепіпеда і з'єднайте отримані точки прямої. Те саме зробіть і з іншого боку.

Від зовнішнього краю будь-якого з нових прамокутників, довжина якого збігається з довжиною основи, збудуйте верхню грань паралелепіпеда. Для цього з точок перетину ліній довжини та ширини, розташованих на зовнішній стороні, проведіть перпендикуляри. Відкладіть на них ширину основи та з'єднайте точки прямої.

Для побудови розгортки конуса через центр кола основи проведіть радіус через будь-яку точку кола та продовжіть його. Виміряйте відстань від основи до вершини конуса. Відкладіть цю відстань від точки перетину радіусу та кола. Позначте точку вершини бічної поверхні. За радіусом бічної поверхні та довжиною дуги, яка дорівнює довжині кола основи, обчисліть кут розгортки і відкладіть його від вже проведеного через вершину основи прямої. За допомогою циркуля з'єднайте знайдену раніше точку перетину радіуса та кола з цією новою точкою. Розгортка конуса готова.

Для побудови розгортки піраміди виміряйте висоти її сторін. Для цього знайдіть середину кожної сторони основи та виміряйте довжину перпендикуляра, опущеного з вершини піраміди до цієї точки. Накресливши на аркуші основу піраміди, знайдіть середини сторін і проведіть до цих точок перпендикуляри. З'єднайте отримані точки з точками перетину сторін піраміди.

Розгортка циліндра є двома колами і розташований між ними прямокутник, довжина якого дорівнює довжині кола, а висота - висоті циліндра.