- апофема- Висота бічної грані правильної піраміди, яка проведена з її вершини (крім того, апофемою є довжина перпендикуляра, який опущений з середини правильного багатокутника на 1-ну з його сторін);
- бічні грані (ASB, BSC, CSD, DSA) - трикутники, що сходяться у вершині;
- бічні ребра ( AS , BS , CS , DS ) — спільні сторонибічних граней;
- вершина піраміди (т. S) - точка, яка з'єднує бічні ребра і яка не лежить у площині основи;
- висота ( SO ) - відрізок перпендикуляра, який проведений через вершину піраміди до площини її основи (кінцями такого відрізка будуть вершина піраміди та основа перпендикуляра);
- діагональний переріз піраміди- перетин піраміди, який проходить через вершину та діагональ основи;
- заснування (ABCD) багатокутник, якому не належить вершина піраміди.
Властивості піраміди.
1. Коли всі бічні ребра мають однакову величину, тоді:
- біля основи піраміди легко описати коло, при цьому вершина піраміди буде проектуватися в центр цього кола;
- бічні ребра утворюють з площиною основи однакові кути;
- крім того, вірне і протилежне, тобто. коли бічні ребра утворюють з площиною основи рівні кути, або коли біля основи піраміди можна описати коло і вершина піраміди буде проектуватися в центр цього кола, отже, всі бічні ребра піраміди мають однакову величину.
2. Коли бічні грані мають кут нахилу до площини основи однієї величини, тоді:
- біля основи піраміди легко описати коло, при цьому вершина піраміди буде проектуватися в центр цього кола;
- висоти бічних граней мають рівну довжину;
- площа бічної поверхні дорівнює ½ добутку периметра основи на висоту бічної грані.
3. Біля піраміди можна описати сферу в тому випадку, якщо в основі піраміди лежить багатокутник, навколо якого можна описати коло (необхідна та достатня умова). Центром сфери стане точка перетину площин, що проходять через середини ребер піраміди перпендикулярно їм. З цієї теореми робимо висновок, що як у всякої трикутної, так і у всякої правильної пірамідиможна описати сферу.
4. У піраміду можна вписати сферу в тому випадку, якщо бісекторні площини внутрішніх двогранних кутів піраміди перетинаються в 1-ій точці (необхідна та достатня умова). Ця точка стане центром сфери.
Найпростіша піраміда.
За кількістю кутів основи піраміди ділять на трикутні, чотирикутні тощо.
Піраміда буде трикутної, чотирикутний, і так далі, коли основою піраміди буде трикутник, чотирикутник і так далі. Трикутна піраміда є чотиригранником - тетраедр. Чотирикутна - п'ятигранник і так далі.
Трикутна піраміда - це піраміда, основу якої трикутник. Висота цієї піраміди – це перпендикуляр, який опущений з вершини піраміди на її підстави.
Знаходження висоти піраміди
Як знайти висоту піраміди? Дуже просто! Для знаходження висоти будь-який трикутної пірамідиможна скористатися формулою об'єму: V = (1/3) Sh, де S – це площа основи, V – обсяг піраміди, h – її висота. З цієї формули вивести формулу висоти: для знаходження висоти трикутної піраміди, потрібно помножити обсяг піраміди на 3, а потім поділити значення, що вийшло на площу основи, це буде: h = (3V)/S. Оскільки основа трикутної піраміди – це трикутник, можна скористатися формулою підрахунку площі трикутника. Якщо нам відомі: площа трикутника S та його сторона z, то за формулою площі S=(1/2)γh: h = (2S)/γ, де h – це висота піраміди, γ – це ребро трикутника; кут між сторонами трикутника і самі дві сторони, то за такою формулою: S = (1/2)γφsinQ, де γ, φ - це сторони трикутника, знаходимо площу трикутника. Значення синуса кута Q потрібно переглянути в таблиці синусів, яка є в Інтернеті. Далі підставляємо значення площі формулу висоти: h = (2S)/γ. Якщо завдання вирахувати висоту трикутної піраміди, то обсяг піраміди вже відомий.
Правильна трикутна піраміда
Знайдіть висоту правильної трикутної піраміди, тобто піраміди, в якій усі грані – це рівносторонні трикутники, знаючи величину ребра γ. І тут ребра піраміди - це сторони рівносторонніх трикутників. Висота правильної трикутної піраміди буде: h = γ√(2/3), де γ - це ребро рівностороннього трикутника, h – це висота піраміди. Якщо площа основи (S) невідома, а дані лише: довжина ребра (γ) і обсяг (V) багатогранника, то необхідну змінну у формулі з попереднього кроку потрібно замінити її еквівалентом, який виражений через довжину ребра. Площа трикутника (правильного) дорівнює 1/4 від добутку довжини сторони цього трикутника, зведену в квадрат на квадратний корінь із 3. Підставляємо цю формулу замість площі основи в попередню формулу, і отримуємо таку формулу: h = 3V4/(γ 2 √3) = 12V/(γ 2 √3). Об'єм тетраедра можна виразити через довжину його ребра, то з формули для обчислення висоти фігури можна прибрати всі змінні і залишити лише бік трикутної грані фігури. Обсяг такої піраміди можна обчислити, поділивши на 12 з твору зведену в куб довжину його грані квадратний корінь з 2.
Підставляємо цей вираз у попередню формулу, отримуємо таку формулу для обчислення: h = 12(γ 3 √2/12)/(γ 2 √3) = (γ 3 √2)/(γ 2 √3) = γ√(2 /3) = (1/3)γ√6. Також правильну трикутну призмуможна вписувати у сферу, і знаючи лише радіус сфери (R) можна знайти і саму висоту тетраедра. Довжина ребра тетраедра дорівнює: γ = 4R/√6. Замінимо змінну γ цим виразом у попередній формулі та отримуємо формулу: h = (1/3)√6(4R)/√6 = (4R)/3. Таку ж формулу можна мати, знаючи радіус (R) кола, вписаного в тетраедр. У такому випадку довжина ребра трикутника дорівнюватиме 12 співвідношень між квадратним коренемз 6 та радіусом. Підставляємо цей вираз у попередню формулу та маємо: h = (1/3)γ√6 = (1/3)√6(12R)/√6 = 4R.
Як знайти висоту правильної чотирикутної піраміди
Щоб відповісти на питання, як знайти довжину висоти піраміди, необхідно знати, що таке правильна піраміда. Чотирикутна піраміда - це піраміда, в основі якої знаходиться чотирикутник. Якщо в умовах задачі ми маємо: обсяг (V) та площу основи (S) піраміди, то формула для обчислення висоти багатогранника (h) буде така - розділити об'єм, помножений на 3 на площу S: h = (3V)/S. При квадратній основі піраміди з відомими: заданим об'ємом (V) та довжиною сторони γ, замініть площу (S) у попередній формулі на квадрат довжини сторони: S = γ 2 ; H = 3V/γ 2 . Висота правильної піраміди h = SO проходить саме через центр кола, яке описане біля основи. Оскільки основа даної піраміди - це квадрат, то точка - це точка перетину діагоналей AD і BC. Ми маємо: OC = (1/2)BC = (1/2)AB√6. Далі, ми в прямокутному трикутнику SOC знаходимо (за теоремою Піфагора): SO = √(SC 2 -OC 2). Тепер ви знаєте, як знайти висоту правильної піраміди.
З поняттям піраміда учні стикаються задовго до вивчення геометрії. Виною всьому знамениті великі єгипетські чудеса світу. Тому, починаючи вивчення цього чудового багатогранника, більшість учнів вже наочно уявляють її собі. Всі вищезгадані пам'ятки мають правильну форму. Що таке правильна піраміда, і які властивості вона має і йтиметься далі.
Визначення
Визначень піраміди можна зустріти чимало. Починаючи ще з давніх часів, вона мала популярність.
Наприклад, Евклід визначав її як тілесну фігуру, що складається з площин, які, починаючи від однієї, сходяться у певній точці.
Герон подав більш точне формулювання. Він наполягав на тому, що це постать, яка має основу та площини у вигляді трикутників,що сходяться в одній точці.
Спираючись на сучасне тлумачення, піраміду представляють, як просторовий багатогранник, що складається з певного k-кутника і k плоских фігур трикутної форми, що має одну загальну точку.
Розберемося докладніше, з яких елементів вона складається:
- k-кутник вважають основою фігури;
- фігури 3-кутової форми виступають гранями бічної частини;
- верхня частина, з якої беруть початок бічні елементи, називають вершиною;
- всі відрізки, що з'єднують вершину, називають ребрами;
- якщо з вершини на площину фігури опустити пряму під кутом 90 градусів, то її частина, укладена у внутрішньому просторі - висота піраміди;
- в будь-якому бічному елементі до нашого багатогранника можна провести перпендикуляр, званий апофемою.
Число ребер обчислюється за формулою 2*k де k – кількість сторін k-кутника. Скільки граней такого багатогранника, як піраміда, можна визначити за допомогою виразу k+1.
Важливо!Пірамідою правильної форми називають стереометричну фігуру, площину основи якої є k-кутник з рівними сторонами.
Основні властивості
Правильна піраміда має безліч властивостей,які властиві лише їй. Перерахуємо їх:
- Основа – фігура правильної форми.
- Ребра піраміди, що обмежують бічні елементи, мають рівні числові значення.
- Бічні елементи – рівнобедрені трикутники.
- Основа висоти фігури потрапляє в центр багатокутника, при цьому він одночасно є центральною точкою, вписаною та описаною .
- Усі бічні ребра нахилені до площини основи під однаковим кутом.
- Усі бічні поверхні мають однаковий кут нахилу по відношенню до основи.
Завдяки всім перерахованим властивостям виконання обчислень елементів набагато спрощується. Виходячи з наведених властивостей, звертаємо увагу на дві ознаки:
- У тому випадку, коли багатокутник вписується в коло, бічні грані матимуть з основою рівні кути.
- При описі кола біля багатокутника всі ребра піраміди, що виходять з вершини, матимуть рівну довжину і рівні кути з основою.
В основі лежить квадрат
Правильна чотирикутна піраміда – багатогранник, у якого в основі лежить квадрат.
У неї чотири бічні грані, які за своїм виглядом є рівностегновими.
На площині квадрат зображають , але ґрунтуються на всіх властивостях правильного чотирикутника.
Наприклад, якщо потрібно зв'язати сторону квадрата з його діагоналлю, то застосовують таку формулу: діагональ дорівнює добутку сторони квадрата на квадратний корінь з двох.
В основі лежить правильний трикутник
Правильна трикутна піраміда – багатогранник, в основі якого лежить правильний трикутник.
Якщо основа є правильним трикутником, а бічні ребра рівні ребрам основи, то така фігура називається тетраедром.
Усі грані тетраедра є рівносторонніми 3-кутниками. У даному випадкунеобхідно знати деякі моменти та не витрачати на них час при обчисленнях:
- кут нахилу ребер до будь-якої основи дорівнює 60 градусів;
- величина всіх внутрішніх граней також становить 60 градусів;
- будь-яка грань може виступити основою;
- , проведені усередині фігури, це рівні елементи
Переріз багатогранника
У будь-якому багатограннику розрізняють кілька видів перерізуплощиною. Найчастіше у шкільному курсі геометрії працюють із двома:
- осьове;
- паралельне основі.
Осьовий переріз отримують при перетині площиною багатогранника, яка проходить через вершину, бічні ребра та вісь. У разі віссю є висота, проведена з вершини. Поверхня площина обмежується лініями перетину з усіма гранями, в результаті отримуємо трикутник.
Увага!У правильній піраміді осьовим перетином є рівнобедрений трикутник.
Якщо січна площина проходить паралельно до основи, то в результаті отримуємо другий варіант. У цьому випадку маємо в розрізі фігуру, подібну до основи.
Наприклад, якщо в основі лежить квадрат, то перетин паралельно основі також буде квадратом, тільки менших розмірів.
При вирішенні завдань за такої умови використовують ознаки та властивості подібності фігур, засновані на теоремі Фалеса. Насамперед необхідно визначити коефіцієнт подібності.
Якщо площина проведена паралельно основі, і вона відсікає верхню частинубагатогранника, то в нижній частині одержують правильну усічену піраміду. Тоді кажуть, що основи багатогранника є подібними багатокутниками. І тут бічні грані є рівнобокими трапеціями. Осьовим перетином також є рівнобока.
Для того щоб визначити висоту зрізаного багатогранника, необхідно провести висоту в осьовому перерізі, тобто в трапеції.
Площі поверхонь
Основні геометричні завдання, які доводиться вирішувати у шкільному курсі геометрії, це знаходження площ поверхні та обсягу у піраміди.
Значення площі поверхні розрізняють двох видів:
- площі бічних елементів;
- площі всієї поверхні.
Із самої назви зрозуміло, про що йдеться. Бічна поверхня включає лише бічні елементи. З цього випливає, що для її знаходження необхідно просто скласти площі бічних площин, тобто площі рівнобедрених трикутників. Спробуємо вивести формулу площі бічних елементів:
- Площа рівнобедреного трикутника дорівнює Sтр=1/2(aL), де а – сторона основи, L – апофема.
- Кількість бічних площин залежить від виду k-го косинця в основі. Наприклад, правильна чотирикутна піраміда має чотири бічні поверхні. Отже, необхідно скласти площі чотирьох фігур Sбок=1/2(aL)+1/2(aL)+1/2(aL)+1/2(aL)=1/2*4а*L. Вираз спрощено у такий спосіб оскільки значення 4а=Росн, де Росн – периметр основи. А вираз 1/2*Росн є її напівпериметром.
- Отже, робимо висновок, що площа бічних елементів правильної піраміди дорівнює добутку напівпериметра основи апофему: Sбок = Росн * L.
Площа повної поверхні піраміди складається з суми площ бічних площин і основи: Sп.п. = Sбок + Sосн.
Що стосується площі основи, то тут формула використовується відповідно до виду багатокутника.
Об'єм правильної пірамідидорівнює добутку площі площини підстави на висоту, розділену на три: V = 1/3 * Sосн * Н, де Н - висота багатогранника.
Що таке правильна піраміди в геометрії
Властивості правильної чотирикутної піраміди
Визначення
Піраміда– це багатогранник, складений із багатокутника \(A_1A_2...A_n\) і \(n\) трикутників із загальною вершиною \(P\) (що не лежить у площині багатокутника) і протилежними їй сторонами, що збігаються зі сторонами багатокутника.
Позначення: \(PA_1A_2...A_n\) .
Приклад: п'ятикутна піраміда \(PA_1A_2A_3A_4A_5\).
Трикутники \(PA_1A_2, \PA_2A_3\) і т.д. називаються бічними гранямипіраміди, відрізки (PA_1, PA_2) і т.д. - бічними ребрами, багатокутник \(A_1A_2A_3A_4A_5\) – основою, точка \ (P \) - вершиною.
Висотапіраміди – це перпендикуляр, опущений із вершини піраміди на площину основи.
Піраміда, в основі якої лежить трикутник, називається тетраедром.
Піраміда називається правильною, якщо в її основі лежить правильний багатокутник і виконано одну з умов:
\((a)\) бічні ребра піраміди рівні;
\((b)\) висота піраміди проходить через центр описаного біля основи кола;
\((c)\) бічні ребра нахилені до площини основи під однаковим кутом.
\((d)\) бічні грані нахилені до площини основи під однаковим кутом.
Правильний тетраедр– це трикутна піраміда, усі грані якої – рівні рівносторонні трикутники.
Теорема
Умови ((a), (b), (c), (d)) еквівалентні.
Доведення
Проведемо висоту піраміди (PH). Нехай \(\alpha\) - площина основи піраміди.
1) Доведемо, що з ((a)) слід ((b)). Нехай \(PA_1=PA_2=PA_3=...=PA_n\) .
Т.к. \(PH\perp \alpha\) , то \(PH\) перпендикулярна будь-якій прямій, що лежить у цій площині, отже, трикутники - прямокутні. Значить, ці трикутники рівні за загальним катетом \(PH\) і гіпотенуз \(PA_1=PA_2=PA_3=...=PA_n\) . Отже, \(A_1H=A_2H=...=A_nH\) . Отже, точки \(A_1, A_2, ..., A_n\) знаходяться на однаковій відстані від точки \(H\), отже, лежать на одному колі з радіусом \(A_1H\). Це коло за визначенням і є описане біля багатокутника \(A_1A_2...A_n\) .
2) Доведемо, що з \((b)\) випливає \((c)\).
\(PA_1H, PA_2H, PA_3H,..., PA_nH\)прямокутні та рівні за двома катетами. Отже, рівні та їхні кути, отже, \(\angle PA_1H=\angle PA_2H=...=\angle PA_nH\).
3) Доведемо, що з ((c)) слід ((a)).
Аналогічно першому пункту трикутники \(PA_1H, PA_2H, PA_3H,..., PA_nH\)прямокутні і по катету та гострому куту. Отже, рівні та його гіпотенузи, тобто \(PA_1=PA_2=PA_3=...=PA_n\) .
4) Доведемо, що з ((b)) слід ((d)).
Т.к. у правильному багатокутнику збігаються центри описаного та вписаного кола (взагалі кажучи, ця точка називається центром правильного багатокутника), то \(H\) – центр вписаного кола. Проведемо перпендикуляри з точки \(H\) на сторони основи: \(HK_1, HK_2\) і т.д. Це – радіуси вписаного кола (за визначенням). Тоді по ТТП (\(PH\) - перпендикуляр на площину, \(HK_1, HK_2\) і т.д. - проекції, перпендикулярні сторонам) похилі (PK_1, PK_2\) і т.д. перпендикулярні сторонам (A_1A_2, A_2A_3) і т.д. відповідно. Отже, за визначенням \(\angle PK_1H, \angle PK_2H\)рівні кутам між бічними гранями та основою. Т.к. трикутники \(PK_1H, PK_2H, ...\) рівні (як прямокутні за двома катетами), то й кути \(\angle PK_1H, \angle PK_2H, ...\)рівні.
5) Доведемо, що з ((d)) слід ((b)).
Аналогічно четвертому пункту трикутники \(PK_1H, PK_2H, ...\) рівні (як прямокутні за катетом і гострим кутом), отже, рівні відрізки \(HK_1=HK_2=...=HK_n\) . Значить, за визначенням, (H) – центр вписаної в основу кола. Але т.к. у правильних багатокутників центри вписаного та описаного кола збігаються, то \(H\) – центр описаного кола. Чтд.
Слідство
Бічні грані правильної піраміди – рівні рівнобедрені трикутники.
Визначення
Висота бічної грані правильної піраміди, проведена з її вершини, називається апофемою.
Апофеми всіх бічних граней правильної піраміди рівні між собою і є також медіанами та бісектрисами.
Важливі зауваження
1. Висота правильної трикутної піраміди падає в точку перетину висот (або бісектрис, або медіан) основи (основа – правильний трикутник).
2. Висота правильної чотирикутної піраміди падає в точку перетину діагоналей основи (основа – квадрат).
3. Висота правильної шестикутної піраміди падає в точку перетину діагоналей основи (основа – правильний шестикутник).
4. Висота піраміди перпендикулярна будь-якій прямій, що лежить в основі.
Визначення
Піраміда називається прямокутноїякщо одне її бічне ребро перпендикулярно площині основи.
Важливі зауваження
1. У прямокутної піраміди ребро, перпендикулярне до основи, є висотою піраміди. Тобто (SR) - висота.
2. Т.к. \(SR\) перпендикулярно будь-якій прямій з основи, то \(\triangle SRM, \triangle SRP\)- Прямокутні трикутники.
3. Трикутники \(\triangle SRN, \triangle SRK\)- теж прямокутні.
Тобто будь-який трикутник, утворений цим ребром та діагоналлю, що виходить з вершини цього ребра, що лежить у підставі, буде прямокутним.
\[(\Large(\text(Обсяг та площа поверхні піраміди)))\]
Теорема
Обсяг піраміди дорівнює третині твору площі основи на висоту піраміди: \
Наслідки
Нехай \(a\) - сторона основи, \(h\) - висота піраміди.
1. Об'єм правильної трикутної піраміди дорівнює \(V_(\text(прав.треуг.пір.))=\dfrac(\sqrt3)(12)a^2h\),
2. Об'єм правильної чотирикутної піраміди дорівнює \(V_(\text(прав.чотир.пір.))=\dfrac13a^2h\).
3. Об'єм правильної шестикутної піраміди дорівнює \(V_(\text(прав.шест.пір.))=\dfrac(\sqrt3)(2)a^2h\).
4. Об'єм правильного тетраедра дорівнює \(V_(\text(прав.тетр.))=\dfrac(\sqrt3)(12)a^3\).
Теорема
Площа бічної поверхні правильної піраміди дорівнює напівтвору периметра основи на апофему.
\[(\Large(\text(Усічена піраміда)))\]
Визначення
Розглянемо довільну піраміду \(PA_1A_2A_3...A_n\). Проведемо через деяку точку, що лежить на бічному ребрі піраміди, площину паралельно до основи піраміди. Ця площина розіб'є піраміду на два багатогранники, один з яких – піраміда (\(PB_1B_2...B_n\) ), а інший називається усічена піраміда(\(A_1A_2...A_nB_1B_2...B_n\) ).
Усічена піраміда має дві підстави – багатокутники \(A_1A_2...A_n\) і \(B_1B_2...B_n\) , які подібні один до одного.
Висота усіченої піраміди – це перпендикуляр, проведений з якоїсь точки верхньої основи до площини нижньої основи.
Важливі зауваження
1. Усі бічні грані усіченої піраміди – трапеції.
2. Відрізок, що з'єднує центри основ правильної зрізаної піраміди (тобто піраміди, отриманої перерізом правильної піраміди), є висотою.
Тут зібрані основні відомості про піраміди і пов'язані з нею формули та поняття. Усі вони вивчаються з репетитором з математики під час підготовки до ЄДІ.
Розглянемо площину, багатокутник 
, що лежить у ній і точку S, що не лежить у ній. З'єднаємо S з усіма вершинами багатокутника. Отриманий багатогранник називається пірамідою. Відрізки називаються бічними ребрами. Багатокутник називається основою, а точка S вершиною піраміди. Залежно від числа n піраміда називається трикутною (n=3), чотирикутною (n=4), п'ятикутною (n=5) тощо. Альтернативна назва трикутної піраміди – тетраедр. Висотою піраміди називається перпендикуляр, опущений із її вершини до площини основи. 
Піраміда називається правильною, якщо правильний багатокутник, а основа висоти піраміди (основа перпендикуляра) є його центром.
Коментар репетитора:
Не плутайте поняття «правильна піраміда» та «правильний тетраедр». У правильної піраміди бічні ребра не обов'язково рівні ребрам основи, а правильному тетраедрі все 6 ребер ребра рівні. Це його визначення. Легко довести, що з рівності слід збіг центру багатокутника P з основою висоти, тому правильний тетраедр є правильною пірамідою.
Що таке апофема?
Апофема піраміди називається висота її бічної грані. Якщо піраміда правильна, всі її апофеми рівні. Назад неправильно. 
Репетитор з математики про свою термінологію: робота з пірамідами на 80% будується через два види трикутників:
1) Що містить апофему SK і висоту SP
2) Містить бічне ребро SA та його проекцію PA 
Щоб спростити посилання на ці трикутники, репетитору з математики зручніше називати перший з них. апофемним, а другий реберним. На жаль, цієї термінології ви не зустрінете в жодному з підручників, і викладачеві доводиться вводити її в односторонньому порядку.
Формула об'єму піраміди:
1) 
, де - площа основи піраміди, а -висота піраміди
2) , де – радіус вписаної кулі, а – площа повної поверхні піраміди.
3) 
, де MN - відстань будь-якими двома схрещуються ребрами, а - площа паралелограма, утвореного серединами чотирьох ребер, що залишилися.
Властивість основи висоти піраміди:
Точка P (дивися малюнок) збігається з центром вписаного кола в основу піраміди, якщо виконується одна з наступних умов:
1) Усі апофеми рівні
2) Усі бічні грані однаково нахилені до основи
3) Усі апофеми однаково нахилені до висоти піраміди
4) Висота піраміди однаково нахилена до всіх бокових граней
Коментар репетитора з математики: зверніть увагу, що всі пункти поєднує одне загальна властивість: так чи інакше скрізь беруть участь бічні грані (апофеми - це їх елементи). Тому репетитор може запропонувати менш точну, але зручнішу для заучування формулювання: точка P збігається з центром вписаного кола основу піраміди, якщо є будь-яка рівна інформація про її бічні грані. Для доказу досить показати, що це апофемні трикутники рівні.
Точка P збігається з центром описаної біля основи піраміди колом, якщо правильна одна з трьох умов:
1) Усі бічні ребра рівні
2) Усі бічні ребра однаково нахилені до основи
3) Усі бічні ребра однаково нахилені до висоти
Loading...