Дроби - це звичайні числа, їх теж можна складати та віднімати. Але через те, що в них є знаменник, тут потрібні складніші правила, ніж для цілих чисел.
Розглянемо найпростіший випадок, коли є два дроби з однаковими знаменниками. Тоді:
Щоб скласти дроби з однаковими знаменниками, треба скласти їх числа, а знаменник залишити без змін.
Щоб відняти дроби з однаковими знаменниками, треба від чисельника першого дробу відняти чисельник другий, а знаменник знову ж таки залишити без змін.
Усередині кожного виразу знаменники дробів рівні. За визначенням додавання та віднімання дробів отримуємо:
Як бачите, нічого складного: просто складаємо чи віднімаємо чисельники — і все.
Але навіть у таких простих діях люди примудряються припускатися помилок. Найчастіше забувають, що знаменник не змінюється. Наприклад, при складанні їх теж починають складати, а це докорінно неправильно.
Позбутися шкідливої звичкискладати знаменники досить легко. Спробуйте зробити те саме при відніманні. У результаті знаменнику вийде нуль, і дріб (раптово!) втратить сенс.
Тому запам'ятайте раз і назавжди: при складанні та відніманні знаменник не змінюється!
Також багато хто припускається помилок при складанні кількох негативних дробів. Виникає плутанина зі знаками: де ставити мінус, а де плюс.
Ця проблема також вирішується дуже просто. Досить, що мінус перед знаком дробу завжди можна перенести в чисельник — і навпаки. Ну і звичайно, не забувайте два простих правила:
- Плюс мінус дає мінус;
- Мінус на мінус дає плюс.
Розберемо все це на конкретних прикладах:
Завдання. Знайдіть значення виразу:
У першому випадку все просто, а в другому внесемо мінуси до чисельників дробів:
Що робити, якщо знаменники різні
Безпосередньо складати дроби з різними знаменникамине можна. за принаймнімені такий спосіб невідомий. Проте вихідні дроби можна переписати так, щоб знаменники стали однаковими.
Існує багато способів перетворення дробів. Три з них розглянуті в уроці «Приведення дробів до спільного знаменника», тому тут ми не зупинятимемося на них. Краще подивимося на приклади:
Завдання. Знайдіть значення виразу:
У першому випадку наведемо дроби до спільного знаменника методом «хрест-навхрест». У другому шукатимемо НОК. Зауважимо, що 6 = 2 · 3; 9 = 3 · 3. Останні множники у цих розкладаннях рівні, а перші взаємно прості. Отже, НОК(6; 9) = 2 · 3 · 3 = 18.
Що робити, якщо у дробу є ціла частина
Можу вас порадувати: різні знаменники у дробів – це ще не найбільше зло. Набагато більше помилок виникає тоді, коли в дробах-доданків виділено ціла частина.
Безперечно, для таких дробів існують власні алгоритмидодавання та віднімання, але вони досить складні і вимагають тривалого вивчення. Краще використовуйте просту схему, наведену нижче:
- Перевести всі дроби, що містять цілу частину, неправильні. Отримаємо нормальні доданки (нехай навіть із різними знаменниками), які вважаються за правилами, розглянутими вище;
- Власне, обчислити суму чи різницю отриманих дробів. В результаті ми практично знайдемо відповідь;
- Якщо це все, що потрібно завдання, виконуємо зворотне перетворення, тобто. позбавляємося неправильного дробу, виділяючи в ньому цілу частину.
Правила переходу до неправильним дробамта виділення цілої частини докладно описані в уроці «Що таке числове дріб». Якщо не пам'ятаєте, обов'язково повторіть. Приклади:
Завдання. Знайдіть значення виразу:
Тут усе просто. Знаменники всередині кожного виразу рівні, тому залишається перевести всі дроби в неправильні та порахувати. Маємо:
Щоб спростити викладки, я пропустив деякі очевидні кроки в останніх прикладах.
Невелике зауваження до двох останніх прикладів, де віднімаються дроби з цілою частиною. Мінус перед другим дробом означає, що віднімається саме весь дріб, а не тільки його ціла частина.
Перечитайте цю пропозицію ще раз, погляньте на приклади і задумайтеся. Саме тут початківці допускають величезна кількістьпомилок. Такі завдання люблять давати на контрольні роботи. Ви також неодноразово зустрінетеся з ними у тестах до цього уроку, які будуть опубліковані найближчим часом.
Резюме: загальна схема обчислень
На закінчення наведу загальний алгоритм, Який допоможе знайти суму або різницю двох і більше дробів:
- Якщо в одному або кількох дробах виділено цілу частину, переведіть ці дроби в неправильні;
- Приведіть всі дроби до спільного знаменника будь-яким зручним для вас способом (якщо, звичайно, цього не зробили упорядники завдань);
- Складіть або відніміть отримані числа за правилами складання та віднімання дробів з однаковими знаменниками;
- Якщо можливо, зменшіть отриманий результат. Якщо дріб виявився неправильним, виділіть цілу частину.
Пам'ятайте, що виділяти цілу частину краще в кінці завдання, безпосередньо перед записом відповіді.
На цьому уроці ми дізнаємося, що таке негативне число та які числа називаються протилежними. Також навчимося складати негативні та позитивні числа (числа з різними знаками) і розберемо кілька прикладів складання чисел із різними знаками.
Подивіться на цю шестерню (див. рис. 1).
Мал. 1. Шестеренка годинника
Це не стрілка, яка показує час і не циферблат (див. рис. 2). Але без цієї деталі годинник не працює.
Мал. 2. Шестеренка всередині годинника
А що означає буква Ы? Нічого, окрім звуку Ы. Але без неї не «працюватимуть» багато слів. Наприклад, слово «МИШ». Так і негативні числа: вони не показують жодної кількості, але без них механізм обчислень був би суттєво важчим.
Ми знаємо, що додавання та віднімання рівноправні операції, і їх можна виконувати в будь-якому порядку. У записи у порядку ми можемо порахувати: , а розпочати з віднімання немає, оскільки ми домовилися ще, що ж таке .
Відомо, що збільшити число на , та був зменшити означає в результаті зменшення на три. Чому б так і не позначити цей об'єкт і так і вважати: додати - значить відняти. Тоді.
Число може означати, наприклад, яблука. Нове число не означає жодної реальної кількості. Саме собою воно нічого не означає, як буква Ы. Це просто новий інструмент для спрощення обчислень.
Назвемо нові числа негативними. Тепер ми можемо віднімати з меншого числа більше. Технічно все одно треба відняти від більшого числа меншого, але у відповіді поставити знак мінус: .
Розглянемо ще один приклад: 
. Можна зробити всі події поспіль: .
Однак з першого числа легше відняти третє, а потім додати друге число:
Негативні числа можна визначити по-іншому.
Для кожного натурального числа, наприклад, введемо нове число, яке позначимо, і визначимо, що воно має наступною властивістю: сума числа і дорівнює: .
Число називатимемо негативним, а числа і - протилежними. Таким чином, ми отримали безліч нових чисел, наприклад:
Протилежне для числа;
Протилежне числу;
Протилежне числу; 
Протилежне числу;
Віднімемо з меншого числа більше: . Додамо до цього виразу: . Здобули нуль. Однак згідно з властивістю: число, яке у сумі з п'ятьма дає нуль, позначається мінус п'ять: . Отже, вираз можна позначити як .
У кожного позитивного числа існує число-близнюк, яке відрізняється лише тим, що перед ним стоїть знак мінус. протилежними(Див. рис. 3).
Мал. 3. Приклади протилежних чисел
Властивості протилежних чисел
1. Сума протилежних чисел дорівнює нулю: .
2. Якщо з нуля відняти позитивне число, то результатом буде протилежне від'ємне число: .
1. Обидва числа може бути позитивними, і їх ми вже вміємо: .
2. Обидва числа може бути негативними.
Ми вже пройшли додавання таких чисел на попередньому уроці, але переконаємося, що розуміємо, що з ними робити. Наприклад: .
Щоб цю суму знайти, складаємо протилежні позитивні числа та й ставимо знак мінус.
3. Одне число може бути позитивним, а інше – негативним.
Додавання негативного числа ми, якщо це зручно, можемо замінювати на віднімання позитивного: .
Ще один приклад: . Знову суму записуємо як різницю. Відняти від меншого більша кількістьможна, віднімаючи від більшого менше, але поставивши знак мінус.
Доданки можемо міняти місцями: .
Ще один аналогічний приклад: .
У всіх випадках у результаті виходить віднімання.
Щоб коротко сформулювати ці правила, згадаймо ще один термін. Протилежні числа, звісно, не рівні одне одному. Але дивно не помітити в них спільного. Це спільне ми назвали модулем числа. Модуль у протилежних чисел однаковий: у позитивного числа він дорівнює самому числу, а у негативного – протилежному, позитивному. Наприклад: , .
Щоб скласти два негативні числа, потрібно скласти їх модулі та поставити знак мінус:
Щоб скласти негативне і позитивне число, потрібно від більшого модуля відняти менший модуль і поставити знак числа з великим модулем:
Обидва числа негативні, отже, складаємо їх модулі та ставимо знак мінус:
Два числа з різними знаками, отже, з модуля числа (більший модуль) віднімаємо модуль числа та ставимо знак мінус (знак числа з великим модулем):
Два числа з різними знаками, отже, з модуля числа (більший модуль) віднімаємо модуль числа та ставимо знак мінус (знак числа з великим модулем): .
Два числа з різними знаками, отже, з модуля числа (більший модуль) віднімаємо модуль числа та ставимо знак плюс (знак числа з великим модулем): .
У позитивних і негативних чиселісторично різна роль.
Спочатку ми ввели натуральні числадля рахунку предметів:
Потім ми запровадили інші позитивні числа - дроби, для рахунку нецілих кількостей, елементів: .
Негативні числа з'явилися як інструмент для спрощення розрахунків. Не було такого, щоб у житті були якісь кількості, які нам не порахувати, і ми винайшли негативні числа.
Тобто, негативні числа не виникли з реального світу. Просто вони виявилися настільки зручними, що подекуди їм знайшлося застосування й у житті. Наприклад, ми часто чуємо про негативну температуру. При цьому ми ніколи не стикаємось із негативною кількістю яблук. У чому різниця?
Різниця у цьому, що у житті негативні величини використовують лише порівняння, але з кількостей. Якщо в готелі обладнали підвал і туди пустили ліфт, то щоб залишити звичну нумерацію звичайних поверхів, може з'явитися мінус перший поверх. Цей мінус перший означає лише поверх нижче рівня землі (див. рис. 1).
Мал. 4. Мінус перший та мінус другий поверхи
Негативна температура є негативною лише в порівнянні з нулем, який вибрав автор шкали Андерс Цельсій. Є інші шкали, і та сама температура вже може не бути там негативною.
При цьому ми розуміємо, що неможливо змінити точку відліку так, щоб яблук стало не п'ять, а шість. Отже, у житті позитивні числа застосовуються визначення кількостей ( яблук, торта).
Ще ми використовуємо їх замість імен. Кожному телефону можна було б назвати своє ім'я, але кількість імен обмежена, а чисел немає. Тому ми використовуємо телефонні номери. Також для упорядкування (століття йде за століттям).
Негативні числа в житті використовуються в останньому сенсі (мінус перший поверх нижче нульового та першого поверхів)
- Віленкін Н.Я., Жохов В.І., Чесноков А.С., Шварцбурд С.І. Математика 6. М: Мнемозіна, 2012.
- Мерзляк А.Г., Полонський В.В., Якір М.С. Математика 6 клас. "Гімназія", 2006.
- Депман І.Я., Віленкін Н.Я. За сторінками підручника з математики. М.: Просвітництво, 1989.
- Рурукін О.М., Чайковський І.В. Завдання з курсу математики 5-6 клас. М: ЗШ МІФІ, 2011.
- Рурукін О.М., Сочілов С.В., Чайковський К.Г. Математика 5-6. Посібник для учнів 6 класів заочної школи МІФІ. М: ЗШ МІФІ, 2011.
- Шеврін Л.М., Гейн А.Г., Коряков І.О., Волков М.В. Математика: Підручник-співрозмовник для 5-6 класів середньої школи. М: Просвітництво, Бібліотека вчителя математики, 1989.
- Math-prosto.ru ().
- Youtube().
- School-assistant.ru ().
- Allforchildren.ru ().
формування знань про правило додавання чисел з різними знаками, умінь застосовувати його у найпростіших випадках;
розвиток умінь порівнювати, виявляти закономірності, узагальнювати;
виховання відповідального ставлення до навчальної праці.
Обладнання:мультимедійний проектор, екран.
Тип уроку:урок вивчення нового матеріалу
ХІД УРОКУ
1.Організаційний момент.
Рівно встали,
Тихо сіли.
Продзвенів зараз дзвінок,
Починаємо наш урок.
Хлопці! Сьогодні до нас на урок прийшли гості. Повернемося до них і посміхнемося один одному. Отже, ми розпочинаємо наш урок.
Слайд 2- Епіграф уроку: Хто нічого не помічає, той нічого не вивчає.
Хто нічого не вивчає, той вічно пхикає і нудьгує.
Роман Сеф (дитячий письменник)
Солод 3 -Пропоную пограти у гру «Навпаки». Правила гри: потрібно розділити слова на дві групи: виграш, брехня, тепло, віддав, щоправда, добро, програш, взяв, зло, холодно, позитивне, негативне.
Протиріч у житті багато. З їхньою допомогою ми визначаємо навколишню дійсність. Для нашого заняття мені потрібне останнє: позитивне – негативне.
Про що ми говоримо у математиці, коли вживаємо ці слова? (Про числа.)
Великий Піфагор стверджував: «Числа правлять світом». Я пропоную поговорити про найзагадковіші числа в науці – про числа з різними знаками. - Негативні числа з'явилися у науці, як протилежність до позитивних. Їхній шлях у науку був важкий, тому що навіть багато вчених не підтримували ідей про їхнє існування.
Які поняття та величини люди вимірюють позитивними та негативними числами? (заряди елементарних частинок, температуру, збитки, висоту та глибину тощо)
Слайд 4-Слова протилежні за значенням – антоніми (таблиця).
2. Постановка теми уроку.
Слайд 5 (робота з таблицею)- Які числа вивчали на попередніх уроках?
– Які завдання, пов'язані з позитивними та негативними числами, ви вмієте виконувати?
– Увага на екрані. (Слайд 5)
– Які числа представлені у таблиці?
– Назвіть модулі чисел, записаних по горизонталі.
– Вкажіть найбільша кількість, вкажіть число з найбільшим модулем.
– Дайте відповідь на ті ж питання для чисел, записаних по вертикалі.
– Чи завжди найбільше число та число з найбільшим модулем збігаються?
- Знайдіть суму позитивних чисел, суму негативних чисел.
– Сформулюйте правило додавання позитивних чисел і правило додавання негативних чисел.
- Які числа залишилося скласти?
- Чи вмієте ви їх складати?
– Чи знаєте ви правило складання чисел із різними знаками?
– Сформулюйте тему уроку.
- Яку мету ви перед собою поставите? .Подумайте, що ми робитимемо сьогодні? (Відповіді дітей). Сьогодні ми продовжуємо знайомитися з позитивними та негативними числами. Тема нашого уроку “Складання чисел із різними знаками.” А наша мета: навчитися без помилок, складати числа із різними знаками. Записали в зошит число та тему уроку.
3.Робота на тему уроку.
Слайд 6.– Застосовуючи дані поняття, знайдіть результати додавання чисел з різними знаками на екрані.
– Які числа є результатом додавання позитивних чисел, негативних чисел?
– Які числа є результатом складання чисел із різними знаками?
– Від чого залежить знак суми чисел із різними знаками? (Слайд 5)
– Від доданку з найбільшим модулем.
– Це як за перетягування каната. Перемагає найсильніший.
Слайд 7– Пограємось. Уявіть, що ви перетягуєте канат. . Вчитель. Суперники зазвичай трапляються на змаганнях. І ми сьогодні побуваємо з вами на кількох турнірах. Перше, що на нас чекає – це фінал конкурсу з перетягування каната. Зустрічаються Іван Мінусов за номером -7 та Петро Плюсов за номером +5. Як ви вважаєте, хто переможе? Чому? Отже, переміг Іван Мінусов, він справді виявився сильнішим за суперника, і зміг перетягнути його на свою негативний бікрівно на два кроки.
Слайд 8. . А тепер побуваємо на інших змаганнях. Перед вами фінал змагання зі стрільби. Найкращими в цьому виді виявилися Мінус Тройкін із трьома. повітряними кулямиі Плюс Четвериків, що має в запасі чотири повітряні кульки. А тут хлопці, як ви вважаєте, хто стане переможцем?
Слайд 9- Змагання показали, що у них перемагає найсильніший. Так і при додаванні чисел з різними знаками: -7 + 5 = -2 і -3 + 4 = +1. Хлопці, як складаються числа з різними знаками?Учні пропонують свої варіанти.
Вчитель формулює правило, наводить приклади.
10 + 12 = +(12 – 10) = +2
4 + 3,6 = -(4 – 3,6) = -0,4
Учні у процесі демонстрації можуть коментувати рішення, що з'являється на слайді.
Слайд 10- Вчитель-пограємо ще в одну гру « Морський бій». До нашого узбережжя наближається ворожий корабель, його необхідно підбити та потопити. Для цього ми маємо гармату. Але щоб потрапити в ціль необхідно зробити точні розрахунки. Які ви зараз побачите. Чи готові? Тоді вперед! Прошу не відволікатися, приклади змінюються через 3 сек. Усі готові?
Учні по черзі виходять до дошки та обчислюють приклади, що з'являються на слайді. – Назвіть етапи виконання завдання.
Слайд 11-Робота за підручником: стр.180 п.33, прочитати правило додавання чисел з різними знаками. Коментує правило.
– У чому відмінність правила, запропонованого у підручнику, від складеного вами алгоритму? Розглянути приклади у підручнику з коментарем.
Слайд 12-Вчитель-А тепер хлопці давайте проведемо експеримент.Але не хімічна, а математична! Візьмемо числа 6 і 8, знаки плюс і мінус і все добре перемішаємо. Отримаємо чотири приклади-досвіди. Виконайте їх у себе в зошиті. (Двоє учнів вирішують на крилах дошки, потім відповіді перевіряються). Які висновки можна зробити із цього експерименту?(Роль знаків). Проведемо ще 2 експерименти , але з вашими числами (виходять по 1 людині до дошки). Придумаємо один одному числа та перевіримо результати експерименту (взаємоперевірка).
Слайд 13 .- На екран виводиться правило у віршованій формі .
4. Закріплення теми уроку.
Слайд 14 –Вчитель-«Знаки всякі потрібні, знаки всякі важливі!» Нині, хлопці, ми поділимося з вами на дві команди. Хлопчики будуть у команді Діда Мороза, а дівчатка – Сонечко. Ваше завдання, не обчислюючи приклади, визначити в яких з них вийдуть негативні відповіді, а в яких - позитивні та виписати у зошит літери цих прикладів. Хлопчики відповідно - негативні, а дівчатка - позитивні (видаються картки з додатку). Проводиться самоперевірка.
Молодці! Чуття на знаки у вас чудове. Це допоможе вам виконати наступне завдання
Слайд 15 -Фізкульхвилинка. -10, 0,15,18,-5,14,0,-8,-5 і т. д.(негативні числа-присідають, позитивні числа-підтягуються вгору, підстрибують)
Слайд 16-Вирішити 9 прикладів самостійно (завдання на картках у додатку). 1 людина біля дошки. Зробити самоперевірку. Відповіді виводяться на екран, помилки учні виправляють у зошиті. Підніміть руки, у кого правильно. (Позначки виставляються тільки за добрий та відмінний результат)
Слайд 17– Правильно вирішувати приклади нам допомагають правила. Давайте їх повторимо На екрані алгоритм складання чисел із різними знаками.
5. Організація самостійної роботи.
Слайд 18-Фронтальна робота через гру «Відгадай слово»(Завдання на картках у додатку) .
Слайд 19 -Повинна вийти оцінка за гру – «п'ятірочка»
Слайд 20-Атепер, увага. Домашнє завдання. Домашнє завдання не повинно викликати у вас труднощів.
Слайд 21 -Закони складання в фізичних явищ. Придумайте приклади на додавання чисел з різними знаками та задайте їх один одному. Що нового ви дізналися? Чи ми досягли поставленої мети?
Слайд 22 -Ось і скінчився урок, підіб'ємо зараз підсумок. Рефлексія. Вчитель коментує та виставляє оцінки за урок.
Слайд 23 -Дякую за увагу!
Бажаю вам, щоб у вашому житті було більше позитивного і менше негативного, Хочу сказати вам, хлопці, дякую за ваше активну роботу. Я думаю, що ви легко зможете застосувати отримані знання на наступних уроках. Урок закінчено. Всім дякую. До побачення!
Завдання 1.Гравець записував виграш знаком + і програш знаком -. Знайти результат кожного з наступних записів: a) +7 руб. +4 руб.; b) -3 руб. -6 руб.; c) -4 р. +4 р.; d) +8 р. -6 Р.; e) -11 р. +7 р.; f) +2 р. +3 р. -5 р.; g) +6 р. -4 Р. +3 р. -5 р. +2 р. -6 Р.
Запис a) показує, що гравець спочатку виграв 7 руб. і потім ще виграв 4 р., - разом виграв 11 р.; запис c) вказує, що спочатку гравець програв 4 р. і потім виграв 4 р., тому загальний результат= 0 (гравець нічого не зробив); запис e) вказує, що гравець спочатку програв 11 руб., потім виграв 7 руб. - програш пересилує виграш на 4 руб.; отже, загалом, гравець програв 4 руб. Отже, маємо право для цих записів записати, що
a) +7 р. +4 р. = +11 р.; c) -4 р. +4 р. = 0; e) -11 р. + 7 р. = -4 руб.
Також легко розуміються й інші записи.
За своїм змістом ці завдання подібні до тих, які в арифметиці вирішуються за допомогою дії додавання, тому і тут ми вважатимемо, що скрізь доводиться для знаходження загального результату гри складати відносні числа, що виражають результати окремих ігор, наприклад, у прикладі c) відносне число -11 руб. складається з відносним числом 7 руб.
Завдання 2.Касир записував прихід каси знаком +, а витрата знаком -. Знайти загальний результат кожного з наступних записів: a) +16 р. +24 р.; b) -17 р. -48 Р.; c) +26 грн. -26 Р.; d) -24 р. +56 р.; e) –24 грн. +6 р.; f) -3 р. +25 нар. -20 Р. +35 р.; g) +17 грн. -11 Р. +14 нар. -9 Р. -18 Р. +7 р.; h) -9 р -7 р. +15 нар. -11 Р. +4 р.
Розберемо, напр., запис f): порахуємо спочатку весь прихід каси: за цим записом було 25 руб. приходу, та ще 35 руб. приходь, разом приходу було 60 руб., а витраті було 3 руб., та ще 20 руб., разом було 23 руб. витрати; прихід перевищує витрати на 37 руб. Слід.,
- 3 руб. + 25 руб. - 20 руб. + 35 руб. = 37 руб.
Завдання 3.Крапка коливається по прямій, починаючи від точки A (чорт. 2).
Чорт. 2.
Переміщення її вправо позначаємо знаком + та переміщення її вліво знаком –. Де буде точка після кількох коливань, записаних одним із наступних записів: a) +2 дм. -3 Дм. +4 дм.; b) -1 дм. +2 дм. +3 дм. +4 дм. -5 Дм. +3 дм.; c) +10 дм. -1 Дм. +8 дм. -2 Дм. +6 дм. -3 Дм. +4 дм. -5 Дм.; d) -4 дм. +1 дм. -6 Дм. +3 дм. -8 Дм. +5 дм.; e) +5 дм. -6 Дм. +8 дм. -11 Дм. На кресленні дюйми позначені відрізками, меншими за справжні.
Останній запис (e) розберемо: спочатку точка, що коливається, пересунулася вправо від A на 5 дм., потім пересунулася вліво на 6 дм., - загалом, вона повинна виявитися знаходиться вліво від A на 1 дм., потім посунулася вправо на 8 дюйм. , слід., тепер вона знаходиться вправо від A на 7 дм., а потім посунулася вліво на 11 дм., отже вона знаходиться вліво від A на 4 дм.
Інші приклади надаємо розібрати самим учням.
Ми прийняли, що у всіх розібраних записах доводиться складати записані відносні числа. Тому умовимося:
Якщо кілька відносних чисел написані поруч (з їхніми знаками), ці цифри треба скласти.
Розберемо тепер головні випадки, що зустрічаються при додаванні, причому візьмемо відносні числа без назв (тобто замість того, щоб говорити, напр., 5 руб. виграшу, та ще 3 руб. програшу, або точка перемістилася на 5 дм. вправо від A, та згодом ще на 3 дм.
Тут треба скласти числа, що складаються з 8 полож. одиниць, та ще з 5 полож. одиниць, отримаємо число, що складається з 13 полож. одиниць.
Отже, + 8 + 5 = 13
Тут треба скласти число, що складається з 6 заперечень. одиниць із числом, що складається з 9 заперечень. одиниць, отримаємо 15 заперечень. одиниць (порівняти: 6 рублів програшу та 9 руб. програшу – становитимуть 15 руб. програшу). Отже,
– 6 – 9 = – 15.
4 рублі виграшу і потім 4 руб. програшу, загалом, дадуть нуль (взаємно знищується); також, якщо точка просунулась від A спочатку вправо на 4 дм., а потім вліво на 4 дм., то вона виявиться знову в точці A і, отже, остаточна відстань від A дорівнює нулю, і взагалі ми повинні вважати, що 4 полож. одиниці, та ще 4 негативні одиниці, загалом, дадуть нуль, або взаємно знищаться. Отже,
4 – 4 = 0, також – 6 + 6 = 0 тощо.
Два відносні числа, що мають однакову абсолютну величину, але різні знаки, взаємно знищуються.
6 заперечують. одиниць знищаться з 6 покладе. одиницями, та ще залишиться 3 полож. одиниці. Отже,
– 6 + 9 = + 3.
7 полож. одиниць знищаться з 7 заперечень. одиницями, та ще залишиться 4 заперечень. одиниці. Отже,
7 – 11 = – 4.
Розглядаючи 1), 2), 4) та 5) випадки, маємо
8+5=+13; - 6 - 9 = - 15; - 6 + 9 = + 3 і
+ 7 – 11 = – 4.
Звідси бачимо, що треба розрізняти два випадки складання алгебраїчних чисел: випадок, коли доданки мають однакові знаки (1-й та 2-й) та випадок складання чисел з різними знаками (4-й та 5-й).
Не важко тепер побачити, що
при додаванні чисел з однаковими знаками слід скласти їх абсолютні величини та написати їх загальний знак, а при додаванні двох чисел з різними знаками треба відняти арифметично їх абсолютні величини (з більшою меншою) і написати знак того числа, у якого абсолютна величина більша.
Нехай потрібно знайти суму
6 – 7 – 3 + 5 – 4 – 8 + 7 + 9.
Ми можемо спочатку скласти всі позитивні числа + 6 + 5 + 7 + 9 = + 27, потім усі заперечать. - 7 - 3 - 4 - 8 = - 22 і потім отримані результати між собою + 27 - 22 = + 5.
Можемо також скористатися тим, що числа + 5 – 4 – 8 + 7 взаємно знищуються і тоді залишається скласти лише числа + 6 – 7 – 3 + 9 = + 5.
Інший спосіб позначення додавання
Можна кожне доданок укладати у дужки та між дужками написати знак додавання. Напр.
(+7) + (+9); (–3) + (–8); (+7) + (–11); (–4) + (+5);
(–3) + (+5) + (–7) + (+9) + (–11) тощо.
Ми можемо, згідно з попереднім, одразу написати суму, напр. (–4) + (+5) = +1 (випадок складання чисел з різними знаками: треба з більшої абсолютної величини відняти меншу і написати знак того числа, у якого абсолютна величина більша), але можемо також переписати спочатку те саме без дужок , користуючись нашою умовою, якщо числа написані поруч зі своїми знаками, ці цифри треба скласти; слід.,
щоб розкрити дужки при додаванні позитивних і негативних чисел, треба доданки написати поруч із їх знаками (знак додавання і дужки опустити).
Напр.: (+ 7) + (+ 9) = + 7 + 9; (-3) + (-8) = - 3 - 8; (+ 7) + (-11) = + 7 - 11; (-4) + (+ 5) = - 4 + 5; (-3) + (+5) + (-7) + (+9) + (-11) = - 3 + 5 - 7 + 9 - 11.
Після цього можна одержані числа скласти.
У курсі алгебри слід звернути особливу увагу на вміння розкривати дужки.
Вправи.
1) (– 7) + (+ 11) + (– 15) + (+ 8) + (– 1);
ДОДАТОК І ВІДЧИТАННЯ
чисел із різними знаками
Досягти того, щоб учень за менший, ніж раніше, час опанував великий обсяг знань, ґрунтовних і дієвих - таке одне з головних завдань сучасної педагогіки. У цьому виникає необхідність починати вивчення нового через повторення старого, вже вивченого, відомого з цієї теми матеріалу. Щоб повторення проходило швидко і для того, щоб був наочнішим зв'язок нового зі старим, треба при поясненні організувати запис досліджуваного матеріалу спеціальним чином.
Як приклад розповім про те, як я навчаю учнів додавання та віднімання чисел з різними знаками за допомогою координатної прямої. Перед вивченням теми безпосередньо і протягом уроків у 5-му та 6-му класах приділяю багато уваги пристрою координатної прямої. До початку вивчення теми «Складання та віднімання чисел з різними знаками» необхідно, щоб кожен учень твердо знав і вмів відповісти на такі питання:
1) Як улаштована координатна пряма?
2) Як розташовуються на ній числа?
3) Чому дорівнює відстань від числа 0 до будь-якого числа?
Учні повинні розуміти, що рух вздовж прямої вправо призводить до збільшення числа, тобто. виконується дію додавання, а вліво - для його зменшення, тобто. виконується дія віднімання чисел. Щоб робота з координатною прямою не викликала нудьги, є багато ігрових нестандартних завдань. Наприклад, така.
Уздовж шосе накреслено пряму. Довжина одного одиничного відрізка дорівнює 2 м. всі рухаються лише вздовж прямої. На числі 3 стоять Гена та Чебурашка. Вони одночасно пішли в різні сторониі водночас зупинилися. Гена пройшов у 2 рази більшу відстань, ніж Чебурашка, і опинився на числі 11. На якому числі опинився Чебурашка? Скільки Чебурашка пройшов метрів? Хто з них йшов повільніше і скільки разів?(Нестандартна математика в школі. – М., Лайда, 1993, № 62).
Коли я твердо впевнена, що всі учні справляються з рухами вздовж прямої, а це дуже важливо, переходжу безпосередньо до навчання додавання та віднімання чисел одночасно.
Кожному учню видається опорний конспект. Розбираючи положення конспекту і спираючись на геометричні наочні картинки координатної прямої, що вже є, учні отримують нові знання. (Конспект наведено малюнку). Вивчення теми починається із запису у зошиті питань, які будуть розглянуті.
1 . Як виконати додавання за допомогою координатної прямої? Як знайти невідомий доданок? Розглядаємо відповідну частину конспекту??. Згадуємо, що до aдодати b- це означає збільшити aна bі рух уздовж координатної прямої відбувається праворуч. Згадуємо, як називаються і обчислюються компоненти при додаванні та закони додавання, а також властивості нуля при додаванні. Це частини? і?? конспекту. Тому такі питання, записані у зошиті, такі:
1). Додавання - це рух праворуч.
СЛ. + СЛ. = З; СЛ. = З - СЛ.
2). Закони складання:
1) переміщувальний закон: a+ b= b+ a;
2) сполучний закон: (a+ b) + c= a+ (b+ c) = (a+ c) + b
3). Властивості нуля при складанні: a+ 0= a; 0+ a= a; a+ (- a) = 0.
4). Віднімання - це рух вліво.
У. - Ст = Р.; У. = Ст + Р.; В. = У. – Р.
5). Додавання можна замінити відніманням, а віднімання - додаванням.
4 + 3 = - 1 3 - 4 = -1
4 + 3 = 3 + (- 4) = 3 - 4 = - 1
по переміщувальному законудодавання
6). Так розкривають дужки:
+ (a+ b+ c) = + a+ b+ c
«Джентельмен»
- (a + b + c) = - a - b - c
«розбійник»
2 . Закони складання.
3 . Перерахуйте властивості нуля під час додавання.
4 . Як виконати за допомогою координатної прямої віднімання чисел? Правила знаходження невідомих віднімається, зменшується.
5 . Як здійснюється перехід від відкладання до віднімання та від віднімання до додавання?
6 . Як розкрити дужки, перед якими стоїть: знак плюс; б) знак мінус?
Теоретичний матеріал досить об'ємний, але оскільки кожна його частина пов'язана і як би «витікає» одна з одної, запам'ятовування відбувається успішно. Робота з конспектом на цьому не закінчується. З кожною частиною конспекту співвідноситься текст підручника, який прочитується у класі. Якщо після цього учень вважає, що частина, що розбирається, йому цілком зрозуміла, то він злегка зафарбовує текст конспекту у відповідну рамочку, як би кажучи: «Це я зрозумів». Якщо є щось незрозуміле, то рамочка не зафарбовується до тих пір, поки не стане все ясно. Біла частинаконспекту - сигнал «Розберись!»
Мета вчителя, яку слід досягти до кінця уроку, така: учні, йдучи з уроку, повинні пам'ятати, що додавання - це рух уздовж координатної прямої вправо, а віднімання - вліво. Усі учні навчилися розкривати дужки. Розкриттю дужок приділяється весь час уроку, що залишився. Усно та письмово розкриваємо дужки у завданнях типу:
|
); - 20 + (- 7 + (- 5)). |
||||
Завдання додому. Дайте відповідь на записані в зошиті питання, читаючи пункти підручника, зазначені в конспекті.
На наступному уроці відпрацьовуємо алгоритм складання та віднімання чисел. У кожного учня на столі картка з інструкціями:
1) Запишіть приклад.
2) Розкрийте, якщо вони є, дужки.
3) Намалюйте координатну пряму.
4) Позначте на ній без масштабу перше число.
5) Якщо за числом стоїть знак "+", то рухайтеся вправо, а якщо знак "-" - то вліво на стільки одиничних відрізків, скільки їх містить другий доданок. Намалюйте це схематично і біля числа, яке шукаєте, поставте знак?
6) Поставте питання "Де нуль?".
7) Визначте знак числа, у якого стоїть знак питання, що є рішенням, так: якщо? стоїть праворуч від 0, то відповідь має знак +, а якщо? стоїть ліворуч від 0, то у відповіді знак - . Запишіть у відповіді приклад після знака = знайдений знак.
8) Позначте на кресленні три відрізки.
9) Знайдіть довжину відрізка від нуля до знака?
приклад 1.- 35 + (- 9) = - 35 - 9 = - 44.
1. Списую приклад та розкриваю дужки.
2. Малюю картинку і розмірковую так:
а) наголошую - 35 і рухаюся вліво на 9 одиничних відрізків; у шуканого числа ставлю знак?;
б) питаю себе: «Де нуль?». Відповідаю: «Нуль правіше – 35 на 35 одиничних відрізків, значить, знак у відповіді – так як? ліворуч від нуля»;
в) шукаю відстань від 0 до знака? Для цього обчислюю 35 + 9 = 44 і приписую отримане число у відповідь до знаку -.
приклад 2.- 35 + 9.
приклад 3. 9 - 35.
Ці приклади вирішуємо, проводячи аналогічні прикладу 1 міркування. Інших випадків розташування чисел бути не може, і кожна картинка відповідає одному з правил, наведених у підручнику, які потребують запам'ятовування. Перевірено (і неодноразово), що цей спосіб додавання більш раціональний. Крім того, він дозволяє складати числа навіть тоді, коли учень думає, що жодного правила не пам'ятає. Цей спосібпрацює і при діях із дробами, потрібно лише привести їх до спільного знаменника, а потім малювати картинку. Наприклад,
«Інструктивною» карткою кожен користується доти, доки вона потребує.
Така робота замінює нудну та одноманітну дію рахунку за правилами живої та активно працюючої думки. Переваг безліч: не треба зубрити і гарячково розуміти, яке правило застосовувати; легко запам'ятовується пристрій координатної прямої, а це і в алгебрі, і геометрії при обчисленні величини відрізка, коли точка на прямій лежить між двома іншими точками. Ця методика ефективна як у класах з поглибленим вивченням математики, так і в класах вікової нормиі навіть у класах корекції.
Loading...