Деякі завдання математики вимагають вміння обчислювати значення кореня квадратного. До таких завдань належить вирішення рівнянь другого порядку. У цій статті наведемо ефективний методобчислення квадратного корінняі використовуємо його під час роботи з формулами коренів квадратного рівняння.
Що таке квадратний корінь?
У математиці цьому поняттю відповідає символ √. Історичні дані кажуть, що він почав використовуватися вперше приблизно у першій половині XVI століття у Німеччині (перша німецька праця з алгебри Крістофа Рудольфа). Вчені вважають, що цей символ є трансформованою латинською літерою r (radix означає "корінь" латиною).
Корінь із якогось числа дорівнює такому значенню, квадрат якого відповідає підкореному виразу. На мові математики це визначення виглядатиме так: x = y, якщо y 2 = x.
Корінь із позитивного числа (x > 0) є також числом позитивним (y > 0), проте якщо беруть корінь із негативного числа (x< 0), то его результатом уже будет комплексное число, включающее мнимую единицу i.
Наведемо два простих приклади:
√9 = 3, оскільки 32 = 9; √(-9) = 3i, оскільки i 2 = -1.
Ітераційна формула Герона для знаходження значень коріння квадратного
Наведені вище приклади є дуже простими, і обчислення коренів у них не становить жодних труднощів. Складнощі починають з'являтися вже при знаходженні значень кореня для будь-якого значення, яке не може бути представлене у вигляді квадрата натурального числанаприклад, √10, √11, √12, √13, не кажучи вже про те, що на практиці необхідно знаходити коріння для нецілих чисел: наприклад √(12,15), √(8,5) тощо.
У всіх вищезгаданих випадках слід застосовувати спеціальний метод обчислення квадратного кореня. В даний час таких методів відомо кілька: наприклад, розкладання в ряд Тейлора, поділ стовпчиком і деякі інші. З усіх відомих методів, мабуть, найбільш простим та ефективним є використання ітераційної формули Герона, яка також відома як вавилонський спосіб визначення квадратного коріння (існують свідчення, що давні вавилоняни застосовували її у своїх практичних обчисленнях).
Нехай необхідно визначити значення x. Формула знаходження квадратного кореня має наступний вигляд:
a n+1 = 1/2(a n +x/a n), де lim n->∞ (a n) => x.
Розшифруємо цей математичний запис. Для обчислення √x слід взяти деяке число a 0 (воно може бути довільним, проте для швидкого отримання результату слід вибирати його таким, щоб (a 0) 2 було максимально близько до x. Потім підставити його у вказану формулу обчислення квадратного кореня і отримати нове число a 1 , яке вже буде ближчим до шуканого значення, після чого необхідно вже a 1 підставити у вираз і отримати a 2. Цю процедуру слід повторювати до отримання необхідної точності.
Приклад застосування ітераційної формули Герона
Описаний вище алгоритм отримання кореня квадратного з деякого заданого числа для багатьох може звучати досить складно і заплутано, насправді ж все набагато простіше, оскільки ця формула сходиться дуже швидко (особливо якщо вибрано вдале число a 0).
Наведемо простий приклад: необхідно обчислити √11. Виберемо a 0 = 3, тому що 3 2 = 9, що ближче до 11, ніж 4 2 = 16. Підставляючи у формулу, отримаємо:
a 1 = 1/2 (3 + 11/3) = 3,333333;
a 2 = 1/2 (3,33333 + 11/3,33333) = 3,316668;
a 3 = 1/2 (3,316668 + 11/3,316668) = 3,31662.
Далі немає сенсу продовжувати обчислення, оскільки ми отримали, що a 2 і a 3 починають відрізнятись лише у 5-му знаку після коми. Таким чином, достатньо було застосувати лише 2 рази формулу, щоб обчислити √11 з точністю до 0,0001.
В даний час широко використовуються калькулятори та комп'ютери для обчислення коренів, проте зазначену формулу корисно запам'ятати, щоб мати можливість вручну обчислювати їх точне значення.
Рівняння другого порядку
Розуміння того, що таке квадратний корінь, і вміння його обчислювати використовується при вирішенні квадратних рівнянь. Цими рівняннями називають рівності з однією невідомою, загальний вигляд яких наведено на малюнку нижче.
Тут c, b і a є деякі числа, причому a не повинно дорівнювати нулю, а значення c і b можуть бути абсолютно довільними, в тому числі і рівними нулю.
Будь-які значення ікса, що задовольняють вказаній на малюнку рівність, називаються його корінням (слід не плутати це поняття з квадратним коренем √). Оскільки аналізоване рівняння має 2-й порядок (x 2), то коріння йому може бути більше, ніж дві числа. Розглянемо далі у статті, як знаходити це коріння.
Знаходження коріння квадратного рівняння (формула)
Цей спосіб розв'язання типу рівностей також називається універсальним, або методом через дискримінант. Його можна використовувати для будь-яких квадратних рівнянь. Формула дискримінанта і коріння квадратного рівняння має такий вигляд:
З неї видно, що коріння залежить від значення кожного з трьох коефіцієнтів рівняння. Більше того, обчислення x 1 відрізняється від розрахунку x 2 лише знаком перед коренем квадратним. Підкорене вираз, що дорівнює b 2 - 4ac, є чим іншим, як дискримінантом аналізованої рівності. Дискримінант у формулі коренів квадратного рівняння відіграє важливу роль, оскільки визначає число і тип рішень. Так, якщо він дорівнює нулю, то рішення буде всього одне, якщо він позитивний, то рівняння має два дійсні коріння, нарешті, негативний дискримінант призводить до двох комплексних коренів x 1 і x 2 .
Теорема Вієта або деякі властивості коренів рівнянь другого порядку
Наприкінці XVI століття один із основоположників сучасної алгебри француз вивчаючи рівняння другого порядку, зміг отримати властивості його коріння. Математично їх можна записати так:
x 1 + x 2 = -b/a та x 1 * x 2 = c/a.
Обидві рівності легко може отримати кожен, для цього необхідно лише виконати відповідні математичні операції з корінням, отриманим через формулу з дискримінантом.
Сукупність цих двох виразів можна по праву назвати другою формулою коренів квадратного рівняння, що дає можливість вгадувати його рішення, не використовуючи у своїй дискримінант. Тут слід зазначити, що хоча обидва вирази справедливі завжди, застосовувати їх для вирішення рівняння зручно тільки в тому випадку, якщо воно може бути розкладене на множники.
Завдання на закріплення здобутих знань
Розв'яжемо математичне завдання, в якому продемонструємо всі прийоми, що обговорюються у статті. Умови завдання такі: необхідно знайти два числа, котрим твір дорівнює -13, а сума становить 4.
Ця умова відразу нагадує про теорему Вієта, застосовуючи формули суми квадратного коріння та їх твори, записуємо:
x 1 + x 2 = -b/a = 4;
x 1 * x 2 = c/a = -13.
Якщо припустити, що a = 1, тоді b = -4 та c = -13. Ці коефіцієнти дозволяють скласти рівняння другого порядку:
x 2 – 4x – 13 = 0.
Скористаємося формулою з дискримінантом, отримаємо наступне коріння:
x 1,2 = (4±√D)/2, D = 16 - 4 * 1 * (-13) = 68.
Тобто завдання звелося до знаходження числа √68. Зауважимо, що 68 = 4 * 17, тоді, використовуючи властивість квадратного кореня, отримаємо: √68 = 2√17.
Тепер скористаємося розглянутою формулою квадратного кореня: a 0 = 4 тоді:
a 1 = 1/2 (4 + 17/4) = 4,125;
a 2 = 1/2 (4,125 + 17/4,125) = 4,1231.
У обчисленні a 3 немає необхідності, оскільки знайдені значення відрізняються лише на 0,02. Таким чином, √68 = 8,246. Підставляючи його у формулу для x 1,2 отримаємо:
x 1 = (4 + 8,246) / 2 = 6,123 і x 2 = (4 - 8,246) / 2 = -2,123.
Як бачимо, сума знайдених чисел дійсно дорівнює 4, якщо ж знайти їх добуток, то він дорівнює -12,999, що задовольняє умові завдання з точністю до 0,001.
Продовжуємо вивчення теми « вирішення рівнянь». Ми вже познайомилися з лінійними рівняннями та переходимо до знайомства з квадратними рівняннями.
Спочатку ми розберемо, що таке квадратне рівняння, як воно записується у загальному вигляді, і дамо пов'язані визначення. Після цього на прикладах докладно розберемо, як вирішуються неповні квадратні рівняння. Далі перейдемо до розв'язання повних рівнянь, отримаємо формулу коренів, познайомимося з дискримінантом квадратного рівняння та розглянемо розв'язання характерних прикладів. Нарешті, простежимо зв'язок між корінням і коефіцієнтами.
Навігація на сторінці.
Що таке квадратне рівняння? Їхні види
Спочатку треба чітко розуміти, що таке квадратне рівняння. Тому розмову про квадратні рівняння логічно розпочати з визначення квадратного рівняння, а також пов'язаних із ним визначень. Після цього можна розглянути основні види квадратних рівнянь: наведені та ненаведені, а також повні та неповні рівняння.
Визначення та приклади квадратних рівнянь
Визначення.
Квадратне рівняння– це рівняння виду a x 2 + b x + c = 0, де x - змінна, a, b і c - деякі числа, причому a відмінно від нуля.
Відразу скажемо, що квадратні рівняння часто називають рівняннями другого ступеня. Це пов'язано з тим, що квадратне рівняння є алгебраїчним рівняннямдругого ступеня.
Озвучене визначення дозволяє навести приклади квадратних рівнянь. Так 2 x 2 +6 x 1 = 0, 0,2 x 2 +2,5 x +0,03 = 0 і т.п. - Це квадратні рівняння.
Визначення.
Числа a, b і c називають коефіцієнтами квадратного рівняння a x 2 +b x + c = 0 , причому коефіцієнт a називають першим, або старшим, або коефіцієнтом при x 2 b - другим коефіцієнтом, або коефіцієнтом при x , а c - вільним членом.
Наприклад візьмемо квадратне рівняння виду 5·x 2 −2·x−3=0 тут старший коефіцієнт є 5 , другий коефіцієнт дорівнює −2 , а вільний член дорівнює −3 . Зверніть увагу, коли коефіцієнти b та/або c негативні, як у щойно наведеному прикладі, використовується коротка форма запису квадратного рівняння виду 5·x 2 −2·x−3=0 , а не 5·x 2 +(−2 ) · x + (-3) = 0 .
Варто зазначити, що коли коефіцієнти a та/або b дорівнюють 1 або −1 , то вони в записі квадратного рівняння зазвичай не присутні явно, що пов'язано з особливостями запису таких . Наприклад, у квадратному рівнянні y 2 −y+3=0 старший коефіцієнт є одиниця, а коефіцієнт при y дорівнює −1 .
Наведені та ненаведені квадратні рівняння
Залежно від значення старшого коефіцієнта розрізняють наведені та ненаведені квадратні рівняння. Дамо відповідні визначення.
Визначення.
Квадратне рівняння, в якому старший коефіцієнт дорівнює 1 називають наведеним квадратним рівнянням. В іншому випадку квадратне рівняння є ненаведеним.
Згідно даному визначеннюквадратні рівняння x 2 −3·x+1=0 , x 2 −x−2/3=0 тощо. – наведені, у кожному їх перший коефіцієнт дорівнює одиниці. А 5·x 2 −x−1=0 і т.п. - Ненаведені квадратні рівняння, їх старші коефіцієнти відмінні від 1 .
Від будь-якого ненаведеного квадратного рівняння за допомогою поділу обох частин на старший коефіцієнт можна перейти до наведеного. Ця дія є рівносильним перетворенням , тобто отримане таким способом наведене квадратне рівняння має те ж коріння, що і вихідне ненаведене квадратне рівняння, або так само як воно, не має коренів.
Розберемо з прикладу, як виконується перехід від ненаведеного квадратного рівняння до наведеного.
приклад.
Від рівняння 3 x 2 +12 x 7 = 0 перейдіть до відповідного наведеного квадратного рівняння.
Рішення.
Нам достатньо виконати розподіл обох частин вихідного рівняння на старший коефіцієнт 3 він відрізняється від нуля, тому ми можемо виконати цю дію. Маємо (3·x 2 +12·x−7):3=0:3 , що те саме, (3·x 2):3+(12·x):3−7:3=0 , і далі (3:3) · x 2 + (12:3) · x-7: 3 = 0, звідки. Так ми отримали наведене квадратне рівняння, рівносильне вихідному.
Відповідь:
Повні та неповні квадратні рівняння
У визначенні квадратного рівняння є умова a≠0 . Ця умова потрібна для того, щоб рівняння a x 2 + b x + c = 0 було саме квадратним, так як при a = 0 воно фактично стає лінійним рівнянням виду b x + c = 0 .
Що стосується коефіцієнтів b і c, то вони можуть дорівнювати нулю, причому як окремо, так і разом. У таких випадках квадратне рівняння називають неповним.
Визначення.
Квадратне рівняння a x 2 + b x + c = 0 називають неповнимякщо хоча б один з коефіцієнтів b , c дорівнює нулю.
В свою чергу
Визначення.
Повне квадратне рівняння- Це рівняння, у якого всі коефіцієнти відмінні від нуля.
Такі назви дано не випадково. З наступних міркувань це стане зрозумілим.
Якщо коефіцієнт b дорівнює нулю, то квадратне рівняння набуває вигляду a x 2 +0 x + c = 0 і воно рівносильне рівнянню a x 2 + c = 0 . Якщо c = 0, тобто, квадратне рівняння має вигляд a x 2 + b x + 0 = 0, то його можна переписати як a x 2 + b x = 0 . А при b = 0 і c = 0 ми отримаємо квадратне рівняння a x 2 = 0 . Отримані рівняння відрізняються від повного квадратного рівняння тим, що їх ліві частини не містять або доданку зі змінною x, або вільного члена, або того й іншого. Звідси та його назва – неповні квадратні рівняння.
Так рівняння x 2 +x+1=0 і −2·x 2 −5·x+0,2=0 – це приклади повних квадратних рівнянь, а x 2 =0 , −2·x 2 =0 , 5·x 2 +3=0 , −x 2 −5·x=0 – це неповні квадратні рівняння.
Розв'язання неповних квадратних рівнянь
З інформації попереднього пункту випливає, що існує три види неповних квадратних рівнянь:
- a x 2 = 0, йому відповідають коефіцієнти b = 0 і c = 0;
- a x 2 + c = 0, коли b = 0;
- і a x 2 + b x = 0 , коли c = 0 .
Розберемо по порядку, як вирішуються неповні квадратні рівняння кожного з цих видів.
a x 2 = 0
Почнемо з розв'язання неповних квадратних рівнянь, у яких коефіцієнти b і c дорівнюють нулю, тобто з рівнянь виду a x 2 =0 . Рівнянню a x 2 = 0 рівносильне рівняння x 2 = 0, яке виходить з вихідного розподілом його обох частин на відмінне від нуля число a. Вочевидь, коренем рівняння x 2 =0 є нуль, оскільки 0 2 =0 . Іншого коріння це рівняння немає, що пояснюється , дійсно, для будь-якого відмінного від нуля числа p має місце нерівність p 2 >0 , звідки випливає, що при p≠0 рівність p 2 =0 ніколи не досягається.
Отже, неповне квадратне рівняння a x 2 = 0 має єдиний корінь x = 0 .
Як приклад наведемо розв'язок неповного квадратного рівняння −4·x 2 =0 . Йому рівносильне рівняння x 2 =0 його єдиним коренем є x=0 , отже, і вихідне рівняння має єдиний корінь нуль.
Коротке рішення в цьому випадку можна оформити так:
−4·x 2 =0 ,
x 2 = 0,
x=0.
a x 2 +c=0
Тепер розглянемо, як розв'язуються неповні квадратні рівняння, в яких коефіцієнт b дорівнює нулю, а c 0 , тобто рівняння виду a x 2 + c = 0 . Ми знаємо, що перенесення доданку з однієї частини рівняння до іншої протилежним знаком, і навіть розподіл обох частин рівняння на відмінне від нуля число дають рівносильне рівняння. Тому можна провести наступні рівносильні перетворення неповного квадратного рівняння a x 2 + c = 0 :
- перенести c у праву частину, що дає рівняння a x 2 = -c ,
- і розділити обидві його частини на a, отримуємо.
Отримане рівняння дозволяє зробити висновки про його коріння. Залежно від значень a і c значення виразу може бути негативним (наприклад, якщо a=1 і c=2 , то ) або позитивним, (наприклад, якщо a=−2 і c=6 , то ), воно не дорівнює нулю , оскільки за умовою c≠0. Окремо розберемо випадки та .
Якщо , то рівняння немає коріння. Це твердження випливає з того, що квадрат будь-якого числа є невід'ємним числом. З цього випливає, що коли , то ні для якого числа p рівність не може бути вірною.
Якщо , то справа з корінням рівняння йде інакше. У цьому випадку, якщо згадати про , то відразу стає очевидним корінь рівняння , ним є число , оскільки . Неважко здогадатися, як і число теж є коренем рівняння , дійсно, . Іншого коріння це рівняння не має, що можна показати, наприклад, методом від протилежного. Зробимо це.
Позначимо щойно озвучені коріння рівняння як x 1 і −x 1 . Припустимо, що рівняння має ще один корінь x 2 відмінний від зазначених коренів x 1 і −x 1 . Відомо, що підстановка рівняння замість x його коренів звертає рівняння вірну числову рівність . Для x 1 і −x 1 маємо, а для x 2 маємо. Властивості числових рівностей нам дозволяють виконувати почленное віднімання вірних числових рівностей, так віднімання відповідних частин рівностей і дає x 1 2 −x 2 2 =0 . Властивості дій з числами дозволяють переписати отриману рівність як (x 1 -x 2) · (x 1 + x 2) = 0 . Ми знаємо, що добуток двох чисел дорівнює нулю тоді і тільки тоді, коли хоча б одне з них дорівнює нулю. Отже, з отриманої рівності випливає, що x 1 −x 2 =0 та/або x 1 +x 2 =0 , що те саме, x 2 =x 1 та/або x 2 =−x 1 . Так ми дійшли протиріччя, оскільки спочатку сказали, що корінь рівняння x 2 відмінний від x 1 і −x 1 . Цим доведено, що рівняння не має іншого коріння, окрім і .
Узагальним інформацію цього пункту. Неповне квадратне рівняння a x 2 +c=0 рівносильне рівнянню , яке
- не має коріння, якщо ,
- має два корені і, якщо.
Розглянемо приклади розв'язання неповних квадратних рівнянь виду a x 2 + c = 0 .
Почнемо з квадратного рівняння 9 x 2 +7 = 0 . Після перенесення вільного члена в праву частину рівняння, воно набуде вигляду 9·x 2 =−7 . Розділивши обидві частини отриманого рівняння на 9, прийдемо до. Так як у правій частині вийшло від'ємне число, Це рівняння немає коренів, отже, і вихідне неповне квадратне рівняння 9·x 2 +7=0 немає коренів.
Розв'яжемо ще одне неповне квадратне рівняння −x 2 +9=0 . Переносимо дев'ятку до правої частини: −x 2 =−9 . Тепер ділимо обидві частини на −1, отримуємо х 2 =9. У правій частині є позитивне число, звідки укладаємо, що або . Після цього записуємо остаточну відповідь: неповне квадратне рівняння −x 2 +9=0 має два корені x=3 або x=−3 .
a x 2 + b x = 0
Залишилося розібратися з рішенням останнього виду неповних квадратних рівнянь при c=0. Неповні квадратні рівняння виду a x 2 + b x = 0 дозволяє вирішити метод розкладання на множники. Очевидно, ми можемо , що знаходиться в лівій частині рівняння, для чого достатньо винести за дужки загальний множник x . Це дозволяє перейти від вихідного неповного квадратного рівняння до рівносильного рівняння виду x · (a x + b) = 0 . І це рівняння рівносильно сукупності двох рівнянь x=0 і a·x+b=0 , останнє є лінійним і має корінь x=−b/a .
Отже, неповне квадратне рівняння a x 2 + b x = 0 має два корені x = 0 і x = - b / a .
Для закріплення матеріалу розберемо рішення конкретного прикладу.
приклад.
Розв'яжіть рівняння.
Рішення.
Виносимо x за дужки, це дає рівняння. Воно рівносильне двом рівнянням x = 0 і . Вирішуємо отримане лінійне рівняння: , і виконавши поділ змішаного числа на звичайний дріб, знаходимо. Отже, корінням вихідного рівняння є x = 0 і .
Після отримання необхідної практики рішення таких рівнянь можна записувати коротко:
Відповідь:
x = 0 .
Дискримінант, формула коренів квадратного рівняння
Для розв'язання квадратних рівнянь існує формула коренів. Запишемо формулу коренів квадратного рівняння: , де D=b 2 −4·a·c- так званий дискримінант квадратного рівняння. Запис по суті означає, що .
Корисно знати, як було отримано формула коренів, і як вона застосовується під час знаходження коренів квадратних рівнянь. Розберемося із цим.
Висновок формули коріння квадратного рівняння
Нехай нам потрібно вирішити квадратне рівняння a x 2 + b x + c = 0 . Виконаємо деякі рівносильні перетворення:
- Обидві частини цього рівняння ми можемо розділити на відмінне від нуля число a, в результаті отримаємо квадратне рівняння.
- Тепер виділимо повний квадрату його лівій частині: . Після цього рівняння набуде вигляду.
- На цьому етапі можна здійснити перенесення двох останніх доданків у праву частину із протилежним знаком, маємо .
- І ще перетворимо вираз, що опинилося у правій частині: .
У результаті ми приходимо до рівняння, яке рівносильне вихідному квадратному рівнянню a x 2 + b x + c = 0 .
Аналогічні за формою рівняння ми вирішували в попередніх пунктах, коли розбирали . Це дозволяє зробити наступні висновки, що стосуються коренів рівняння :
- якщо , то рівняння немає дійсних рішень;
- якщо , то рівняння має вигляд , отже , звідки видно його єдиний корінь ;
- якщо , те чи , що те саме чи , тобто, рівняння має два корені.
Отже, наявність чи відсутність коренів рівняння , отже, і вихідного квадратного рівняння, залежить від знака виразу , що стоїть правої частини. У свою чергу знак цього виразу визначається знаком чисельника, оскільки знаменник 4·a 2 завжди позитивний, тобто, знаком виразу b 2 −4·a·c . Цей вираз b 2 −4·a·c назвали дискримінантом квадратного рівнянняі позначили буквою D. Звідси зрозуміла суть дискримінанта - за його значенням і знаком роблять висновок, чи має квадратне рівняння дійсне коріння, і якщо має, то яке їх кількість - один або два.
Повертаємося до рівняння , перепишемо з використанням позначення дискримінанта: . І робимо висновки:
- якщо D<0 , то это уравнение не имеет действительных корней;
- якщо D=0 , це рівняння має єдиний корінь ;
- нарешті, якщо D>0 , то рівняння має два корені або , які можна переписати у вигляді або , а після розкриття і приведення дробів до спільного знаменника отримуємо .
Так ми вивели формули коренів квадратного рівняння, вони мають вигляд де дискримінант D обчислюється за формулою D=b 2 −4·a·c .
З їх допомогою при позитивному дискримінанті можна обчислити обидва дійсні корені квадратного рівняння. При рівному нулю дискримінанті обидві формули дають те саме значення кореня, що відповідає єдиному рішенню квадратного рівняння. А при негативному дискримінанті при спробі скористатися формулою коренів квадратного рівняння ми стикаємося із вилученням квадратного кореня з негативного числа, що виводить нас за рамки і шкільної програми. При негативному дискримінанті квадратне рівняння не має дійсних коренів, але має пару комплексно пов'язанихкоренів, які можна знайти за тими самими отриманими нами формулами коренів .
Алгоритм розв'язання квадратних рівнянь за формулами коренів
Насправді при розв'язанні квадратних рівняння можна одночасно використовувати формулу коренів, з допомогою якої обчислити їх значення. Але це більше ставиться до знаходження комплексного коріння.
Однак у шкільному курсі алгебри зазвичай йдеться не про комплексне, а про дійсне коріння квадратного рівняння. У цьому випадку доцільно перед використанням формул коренів квадратного рівняння попередньо знайти дискримінант, переконатися, що він невід'ємний (інакше можна робити висновок, що рівняння не має дійсних коренів), і вже після цього обчислювати значення коренів.
Наведені міркування дозволяють записати алгоритм розв'язання квадратного рівняння. Щоб розв'язати квадратне рівняння a x 2 + b x + c = 0, треба:
- за формулою дискримінанта D=b 2 −4·a·c обчислити його значення;
- зробити висновок, що квадратне рівняння не має дійсних коренів, якщо дискримінант негативний;
- обчислити єдиний корінь рівняння за такою формулою , якщо D=0 ;
- знайти два дійсних кореня квадратного рівняння за формулою коренів, якщо дискримінант позитивний.
Тут лише зауважимо, що з рівному нулю дискримінанту можна використовувати формулу , вона дасть те значення, як і .
Можна переходити до прикладів застосування алгоритму розв'язання квадратних рівнянь.
Приклади розв'язання квадратних рівнянь
Розглянемо розв'язки трьох квадратних рівнянь із позитивним, негативним та рівним нулю дискримінантом. Розібравшись з їх розв'язанням, за аналогією можна буде вирішити будь-яке інше квадратне рівняння. Почнемо.
приклад.
Знайдіть корені рівняння x 2 +2·x−6=0.
Рішення.
І тут маємо такі коефіцієнти квадратного рівняння: a=1 , b=2 і c=−6 . Відповідно до алгоритму, спочатку треба обчислити дискримінант, для цього підставляємо зазначені a, b і c у формулу дискримінанта, маємо D=b 2 −4·a·c=2 2 −4·1·(−6)=4+24=28. Так як 28>0, тобто, дискримінант більше нуля, то квадратне рівняння має два дійсні корені. Знайдемо їх за формулою коренів, отримуємо, тут можна спростити отримані вирази, виконавши винесення множника за знак кореняз подальшим скороченням дробу:
Відповідь:
Переходимо до такого характерного прикладу.
приклад.
Розв'яжіть квадратне рівняння −4·x 2 +28·x−49=0 .
Рішення.
Починаємо з знаходження дискримінанта: D=28 2 −4·(−4)·(−49)=784−784=0. Отже, це квадратне рівняння має єдиний корінь, який знаходимо як , тобто,
Відповідь:
x = 3,5.
Залишається розглянути розв'язання квадратних рівнянь із негативним дискримінантом.
приклад.
Розв'яжіть рівняння 5·y 2 +6·y+2=0 .
Рішення.
Тут такі коефіцієнти квадратного рівняння: a = 5, b = 6 і c = 2. Підставляємо ці значення у формулу дискримінанта, маємо D=b 2 −4·a·c=6 2 −4·5·2=36−40=−4. Дискримінант негативний, отже, дане квадратне рівняння немає дійсних коренів.
Якщо ж потрібно вказати комплексне коріння, то застосовуємо відому формулукоренів квадратного рівняння , і виконуємо дії з комплексними числами:
Відповідь:
дійсних коренів немає, комплексні коріння такі: .
Ще раз відзначимо, що якщо дискримінант квадратного рівняння негативний, то в школі зазвичай відразу записують відповідь, в якій вказують, що дійсних коренів немає, і не знаходять комплексного коріння.
Формула коренів для парних других коефіцієнтів
Формула коренів квадратного рівняння , де D=b 2 −4·a·c дозволяє отримати формулу більш компактного виду, що дозволяє вирішувати квадратні рівняння з парним коефіцієнтом при x (або просто з коефіцієнтом, що має вигляд 2·n , наприклад , або 14· ln5 = 2 · 7 · ln5). Виведемо її.
Допустимо нам потрібно вирішити квадратне рівняння виду a x 2 +2 x x c = 0 . Знайдемо його коріння з використанням відомої формули. Для цього обчислюємо дискримінант D=(2·n) 2 −4·a·c=4·n 2 −4·a·c=4·(n 2 −a·c), і далі використовуємо формулу коренів:
Позначимо вираз n 2 −a·c як D 1 (іноді його позначають D" ). Тоді формула коренів аналізованого квадратного рівняння з другим коефіцієнтом 2·n набуде вигляду 
де D 1 =n 2 −a·c .
Нескладно помітити, що D=4·D 1 або D 1 =D/4 . Іншими словами, D1 – це четверта частина дискримінанта. Зрозуміло, що знак D 1 такий самий, як знак D . Тобто знак D 1 також є індикатором наявності або відсутності коренів квадратного рівняння.
Отже, щоб розв'язати квадратне рівняння з другим коефіцієнтом 2n, треба
- Обчислити D 1 =n 2 −a·c;
- Якщо D 1<0 , то сделать вывод, что действительных корней нет;
- Якщо D 1 =0, то обчислити єдиний корінь рівняння за формулою;
- Якщо ж D 1 >0, то знайти два дійсних кореня за формулою.
Розглянемо рішення прикладу з використанням отриманої у цьому пункті формули коренів.
приклад.
Розв'яжіть квадратне рівняння 5·x 2 −6·x−32=0 .
Рішення.
Другий коефіцієнт цього рівняння можна як 2·(−3) . Тобто, можна переписати вихідне квадратне рівняння у вигляді 5·x 2 +2·(−3)·x−32=0 , тут a=5 , n=−3 та c=−32 і обчислити четверту частину дискримінанта: D 1 =n 2 −a·c=(−3) 2 −5·(−32)=9+160=169. Так як його значення позитивне, то рівняння має два дійсні корені. Знайдемо їх, використовуючи відповідну формулу коренів:
Зауважимо, що можна було використовувати звичайну формулу коренів квадратного рівняння, але в цьому випадку довелося б виконати більший обсяг обчислювальної роботи.
Відповідь:
Спрощення виду квадратних рівнянь
Деколи, перш ніж пускатися в обчислення коренів квадратного рівняння за формулами, не завадить запитати себе: «А чи не можна спростити вигляд цього рівняння»? Погодьтеся, що в плані обчислень простіше буде вирішити квадратне рівняння 11 x 2 −4 x 6 = 0, ніж 1100 x 2 −400 x 600 = 0 .
Зазвичай спрощення виду квадратного рівняння досягається шляхом множення або розподілу обох частин на деяке число. Наприклад, у попередньому абзаці вдалося досягти спрощення рівняння 1100 x 2 −400 x 600=0 розділивши обидві його частини на 100 .
Подібне перетворення проводять із квадратними рівняннями, коефіцієнти якого не є . При цьому зазвичай ділять обидві частини рівняння абсолютних величин його коефіцієнтів. Наприклад візьмемо квадратне рівняння 12 x 2 −42 x 48 = 0 . абсолютних величин його коефіцієнтів: НОД (12, 42, 48) = НОД (НОД (12, 42), 48) = НОД (6, 48) = 6 . Розділивши обидві частини вихідного квадратного рівняння на 6, ми прийдемо до рівносильного йому квадратного рівняння 2 x 2 -7 x + 8 = 0 .
А множення обох частин квадратного рівняння зазвичай провадиться для позбавлення від дробових коефіцієнтів. У цьому множення проводять на знаменників його коефіцієнтів. Наприклад, якщо обидві частини квадратного рівняння помножити на НОК(6, 3, 1)=6 , воно набуде простіший вигляд x 2 +4·x−18=0 .
На закінчення цього пункту зауважимо, що майже завжди позбавляються мінуса при старшому коефіцієнті квадратного рівняння, змінюючи знаки всіх членів, що відповідає множенню (або поділу) обох частин на −1 . Наприклад, зазвичай від квадратного рівняння −2·x 2 −3·x+7=0 переходять до рішення 2·x 2 +3·x−7=0 .
Зв'язок між корінням та коефіцієнтами квадратного рівняння
Формула коріння квадратного рівняння виражає коріння рівняння через його коефіцієнти. Відштовхуючись від формули коренів, можна отримати інші залежності між корінням та коефіцієнтами.
Найбільш відомі та застосовні формули з теореми Вієта виду та . Зокрема, для наведеного квадратного рівняння сума коренів дорівнює другому коефіцієнту з протилежним знаком, а добуток коріння – вільному члену. Наприклад, у вигляді квадратного рівняння 3·x 2 −7·x+22=0 можна відразу сказати, що його коренів дорівнює 7/3 , а добуток коренів дорівнює 22/3 .
Використовуючи вже записані формули можна отримати і ряд інших зв'язків між корінням та коефіцієнтами квадратного рівняння. Наприклад, можна виразити суму квадратів коренів квадратного рівняння через його коефіцієнти: .
Список літератури.
- Алгебра:навч. для 8 кл. загальноосвіт. установ/[Ю. Н. Макарічев, Н. Г. Міндюк, К. І. Нешков, С. Б. Суворова]; за ред. С. А. Теляковського. - 16-те вид. – М.: Просвітництво, 2008. – 271 с. : іл. - ISBN 978-5-09-019243-9.
- Мордковіч А. Г.Алгебра. 8 клас. У 2 год. Ч. 1. Підручник для учнів загальноосвітніх установ/ А. Г. Мордкович. - 11-те вид., стер. – К.: Мнемозіна, 2009. – 215 с.: іл. ISBN 978-5-346-01155-2.
», тобто рівняння першого ступеня. У цьому уроці ми розберемо, що називають квадратним рівняннямта як його вирішувати.
Що називають квадратним рівнянням
Важливо!
Ступінь рівняння визначають найбільшою мірою, в якій стоїть невідоме.
Якщо максимальний ступінь, у якому стоїть невідоме — «2», то перед вами квадратне рівняння.
Приклади квадратних рівнянь
- 5x 2 − 14x + 17 = 0
- −x 2 + x +
= 01 3 - x 2 + 0,25 x = 0
- x 2 − 8 = 0
Важливо! Загальний вигляд квадратного рівняння виглядає так:
A x 2 + b x + c = 0
"a", "b" і "c" - задані числа.- "a" - перший або старший коефіцієнт;
- "b" - другий коефіцієнт;
- "c" - вільний член.
Щоб знайти «a», «b» та «c» потрібно порівняти своє рівняння із загальним виглядом квадратного рівняння «ax 2 + bx + c = 0».
Давайте потренуємося визначати коефіцієнти «a», «b» та «c» у квадратних рівняннях.
| Рівняння | Коефіцієнти | |||
|---|---|---|---|---|
|
||||
|
||||
| 1 |
| 3 |
- a = −1
- b = 1
- з =
1 3
- a = 1
- b = 0,25
- з = 0
- a = 1
- b = 0
- з = −8
Як вирішувати квадратні рівняння
На відміну від лінійних рівнянь для розв'язання квадратних рівнянь використовується спеціальна формула для знаходження коріння.
Запам'ятайте!
Щоб розв'язати квадратне рівняння потрібно:
- привести квадратне рівняння до загального вигляду"ax 2 + bx + c = 0". Тобто у правій частині має залишитися лише «0»;
- використовувати формулу для коріння:
Давайте на прикладі розберемо, як застосовувати формулу для знаходження коріння квадратного рівняння. Вирішимо квадратне рівняння.
X 2 − 3x − 4 = 0
Рівняння x 2 − 3x − 4 = 0 вже приведено до загального вигляду ax 2 + bx + c = 0 і не вимагає додаткових спрощень. Для його вирішення нам достатньо застосувати формулу знаходження коріння квадратного рівняння.
Визначимо коефіцієнти «a», «b» та «c» для цього рівняння.
x 1; 2 =
x 1; 2 =
x 1; 2 =
x 1; 2 =
З її допомогою вирішується будь-яке квадратне рівняння.
У формулі «x 1;2 = » часто замінюють підкорене вираз
"b 2 - 4ac" на букву "D" і називають дискримінантом. Докладніше поняття дискримінанта у в уроці «Що таке дискримінант ».
Розглянемо інший приклад квадратного рівняння.
x 2 + 9 + x = 7x
У цьому вигляді визначити коефіцієнти «a», «b» і «c» досить складно. Давайте спочатку наведемо рівняння до загального вигляду "ax 2 + bx + c = 0".
X 2 + 9 + x = 7x
x 2 + 9 + x − 7x = 0
x 2 + 9 − 6x = 0
x 2 − 6x + 9 = 0
Тепер можна використати формулу для коріння.
X 1; 2 =
x 1; 2 =
x 1; 2 =
x 1; 2 =
x =
| 6 |
| 2 |
x = 3
Відповідь: x = 3
Трапляються випадки, коли в квадратних рівняннях немає коріння. Така ситуація виникає, як у формулі під коренем виявляється негативне число.
Сподіваюся, вивчивши цю статтю, ви навчитеся знаходити коріння повного квадратного рівняння.
За допомогою дискримінанта вирішуються лише повні квадратні рівняння, для вирішення неповних квадратних рівнянь використовують інші методи, які ви знайдете у статті "Рішення неповних квадратних рівнянь".
Які квадратні рівняння називаються повними? Це рівняння виду ах 2 + b x + c = 0, Де коефіцієнти a, b і з не дорівнюють нулю. Отже, щоб розв'язати повне квадратне рівняння, треба обчислити дискримінант D.
D = b 2 - 4ас.
Залежно від того, яке значення має дискримінант, ми й запишемо відповідь.
Якщо дискримінант є негативним числом (D< 0),то корней нет.
Якщо ж дискримінант дорівнює нулю, то x = (-b)/2a. Коли дискримінант позитивне число (D > 0),
тоді х 1 = (-b - √D) / 2a, і х 2 = (-b + √D) / 2a.
Наприклад. Вирішити рівняння х 2- 4х + 4 = 0.
D = 4 2 - 4 · 4 = 0
x = (- (-4)) / 2 = 2
Відповідь: 2.
Розв'язати рівняння 2 х 2 + x + 3 = 0.
D = 1 2 - 4 · 2 · 3 = - 23
Відповідь: коріння немає.
Розв'язати рівняння 2 х 2 + 5х - 7 = 0.
D = 5 2 - 4 · 2 · (-7) = 81
х 1 = (-5 - √81) / (2 · 2) = (-5 - 9) / 4 = - 3,5
х 2 = (-5 + √81) / (2 · 2) = (-5 + 9) / 4 = 1
Відповідь: - 3,5; 1.
Отже представимо розв'язок повних квадратних рівнянь схемою на рисунку1.
За цими формулами можна вирішувати будь-яке повне квадратне рівняння. Потрібно лише уважно стежити за тим, щоб рівняння було записано багаточленом стандартного вигляду
а х 2 + bx + c,інакше можна припуститися помилки. Наприклад, у записі рівняння х + 3 + 2х 2 = 0 помилково можна вирішити, що
а = 1, b = 3 та с = 2. Тоді
D = 3 2 - 4 · 1 · 2 = 1 і тоді рівняння має два корені. А це не так. (Дивись рішення прикладу 2 вище).
Тому, якщо рівняння записано не багаточлен стандартного виду, спочатку повне квадратне рівняння треба записати багаточлен стандартного виду (на першому місці повинен стояти одночлен з найбільшим показником ступеня, тобто а х 2 , потім з меншим – bx, а потім вільний член с.
При вирішенні наведеного квадратного рівняння і квадратного рівняння з парним коефіцієнтом при другому доданку можна використовувати інші формули. Давайте познайомимося з цими формулами. Якщо у повному квадратному рівнянні при другому доданку коефіцієнт буде парним (b = 2k), можна вирішувати рівняння за формулами наведеними на схемі малюнка 2.
Повне квадратне рівняння називається наведеним, якщо коефіцієнт при х 2 дорівнює одиниці і рівняння набуде вигляду х 2 + px + q = 0. Таке рівняння може бути дано на вирішення, або виходить розподілом всіх коефіцієнтів рівняння коефіцієнт а, що стоїть при х 2 .
На малюнку 3 наведено схему рішення наведених квадратних 
рівнянь. Розглянемо з прикладу застосування розглянутих у цій статті формул.
приклад. Вирішити рівняння
3х 2 + 6х - 6 = 0.
Давайте розв'яжемо це рівняння застосовуючи формули наведені на схемі малюнка 1.
D = 6 2 - 4 · 3 · (- 6) = 36 + 72 = 108
√D = √108 = √(36 · 3) = 6√3
х 1 = (-6 - 6√3)/(2 · 3) = (6 (-1- √(3)))/6 = –1 – √3
х 2 = (-6 + 6√3)/(2 · 3) = (6 (-1+ √(3)))/6 = –1 + √3
Відповідь: -1 - √3; -1 + √3
Можна зауважити, що коефіцієнт при х у цьому рівнянні парне число, тобто b = 6 або b = 2k, звідки k = 3. Тоді спробуємо вирішити рівняння за формулами, наведеними на схемі малюнка D 1 = 3 2 – 3 · (– 6 ) = 9 + 18 = 27
√(D 1) = √27 = √(9 · 3) = 3√3
х 1 = (-3 - 3√3)/3 = (3 (-1 - √(3)))/3 = – 1 – √3
х 2 = (-3 + 3√3)/3 = (3 (-1 + √(3)))/3 = – 1 + √3
Відповідь: -1 - √3; -1 + √3. Помітивши, що всі коефіцієнти у цьому квадратному рівнянні діляться на 3 і виконавши розподіл, отримаємо наведене квадратне рівняння x 2 + 2х – 2 = 0 Розв'яжемо це рівняння, використовуючи формули для наведеного квадратного рівняння 
рівняння рисунок 3.
D 2 = 2 2 - 4 · (- 2) = 4 + 8 = 12
√(D 2) = √12 = √(4 · 3) = 2√3
х 1 = (-2 - 2√3)/2 = (2 (-1 - √(3)))/2 = – 1 – √3
х 2 = (-2 + 2√3)/2 = (2 (-1+ √(3)))/2 = – 1 + √3
Відповідь: –1 – √3; -1 + √3.
Як бачимо, при вирішенні цього рівняння по різним формуламми отримали ту саму відповідь. Тому добре засвоївши формули, наведені на схемі малюнка 1, ви завжди зможете вирішити будь-яке повне квадратне рівняння.
blog.сайт, при повному або частковому копіюванні матеріалу посилання на першоджерело обов'язкове.
Нехай надано квадратне рівняння ах 2 + bх + с = 0.
Застосуємо до квадратного тричлену ах 2 + bх + з ті самі перетворення, які ми виконували в § 13, коли доводили теорему про те, що графік функції у = ах 2 + bх + с є парабола.
Маємо
Зазвичай вираз b 2 - 4ас позначають буквою D і називають дискримінантом квадратного рівняння ах 2 + bх + с = 0 (або дискримінантом квадратного тричлена ах + bх + с).
Таким чином
Значить, квадратне рівняння ах 2 + їх + с = можна переписати у вигляді
Будь-яке квадратне рівняння можна перетворити на вигляд (1), зручному, як ми зараз переконаємося, для того, щоб визначати кількість коренів квадратного рівняння і знаходити це коріння.
Доведення. Якщо D< 0, то правая часть уравнения (1) — отрицательное число; в то же время ліва частинарівняння (1) при будь-яких значеннях приймає невід'ємні значення. Отже, немає жодного значення х, яке б задовольняло рівнянню (1), тому рівняння (1) немає коренів.
приклад 1.Розв'язати рівняння 2x2+4х+7=0.
Рішення. Тут а = 2, b = 4, с = 7,
D = b 2 -4ac = 4 2 .
4.
2.
7 = 16-56 = -40.
Так як D< 0, то по теореме 1 данное квадратное уравнение не имеет корней.
Доведення. Якщо D = 0, то рівняння (1) набуває вигляду
- Єдиний корінь рівняння.
Зауваження 1.
Чи пам'ятаєте ви, що х = - абсциса вершини параболи, яка служить графіком функції у = ах 2 + їх + с? Чому саме це
значення виявилося єдиним коренем квадратного рівняння ах 2 + їх + с - 0? "Ларчик" відкривається просто: якщо D - 0, то, як ми встановили раніше,
Графіком функції 
є парабола з вершиною у точці (див., наприклад, рис. 98). Отже, абсцис вершини параболи і єдиний корінь квадратного рівняння при D = 0 — те саме число.
приклад 2.Розв'язати рівняння 4x2 - 20x + 25 = 0.
Рішення. Тут а = 4, b = -20, с = 25, D = b 2 - 4ас = (-20) 2 - 4 . 4 . 25 = 400 – 400 = 0.
Так як D = 0, то теорема 2 дане квадратне рівняння має один корінь. Цей корінь знаходиться за формулою
Відповідь: 2,5.
Примітка 2.
Зверніть увагу, що 4х 2 – 20х +25 – повний квадрат: 4х 2 – 20х + 25 = (2х – 5) 2 .
Якби ми це помітили відразу, то вирішили б рівняння так: (2х – 5) 2 = 0, отже, 2х – 5 = 0, звідки отримуємо х = 2,5. Взагалі, якщо D = 0, то
ах 2 + bх + с = це ми відзначили раніше в зауваженні 1.
Якщо D > 0, то квадратне рівняння ах 2 + bх + с = 0 має два корені, які перебувають за формулами
Доведення. Перепишемо квадратне рівняння ах 2 + Ь х + с = 0 у вигляді (1)
Покладемо 
За умовою, D > 0, отже, права частина рівняння позитивне число. Тоді з рівняння (2) отримуємо, що
Отже, задане квадратне рівняння має два корені:
Примітка 3.
У математиці досить рідко буває так, щоб введений термін не мав, образно висловлюючись, життєвого підґрунтя. Візьмемо нове
поняття – дискримінант. Згадайте слово «дискримінація». Що воно значить? Воно означає приниження одних і підвищення інших, тобто. різне відношення-
ня до різних пюдь. Обидва слова (і дискримінант, і дискримінація) походять від латинського discriminans - "розрізняє". Дискримінант розрізняє квадратні рівняння за кількістю коренів.
приклад 3.Розв'язати рівняння Зх 2 + 8х – 11 = 0.
Рішення. Тут а = 3, b = 8, з = - 11,
D = b 2 - 4ас = 8 2 - 4. 3 . (-11) = 64 + 132 = 196.
Так як D > 0, то теорема 3 дане квадратне рівняння має два корені. Це коріння знаходиться за формулами (3)
Фактично ми з вами виробили таке правило:
Правило розв'язування рівняння
ах 2 + bх + с = 0
Це правило універсальне, воно застосовується як до повних, так і до неповних квадратних рівнянь. Однак неповні квадратні рівняння зазвичай за цим правилом не вирішують, їх зручніше вирішувати так, як ми це робили у попередньому параграфі.
приклад 4.Розв'язати рівняння:
а) х 2 + Зх – 5 = 0; б) - 9x 2 + 6х - 1 = 0; в) 2х 2-х + 3,5 = 0.
Рішення. а) Тут а = 1, b = 3, с = - 5,
D = b 2 - 4ас = З 2 - 4. 1 . (-5) = 9 + 20 = 29.
Оскільки D > 0, то це квадратне рівняння має два корені. Це коріння знаходимо за формулами (3)
Б) Як показує досвід, зручніше мати справу з квадратними рівняннями, у яких старший коефіцієнт позитивний. Тому спочатку помножимо обидві частини рівняння на -1, отримаємо
9x 2 – 6x + 1 = 0.
Тут а = 9, b = -6, с = 1, D = b 2 - 4ас = 36 - 36 = 0.
Так як D = 0, то це квадратне рівняння має один корінь. Цей корінь знаходиться за формулою х = -. Значить,
Це рівняння можна було вирішити інакше: оскільки
9х 2 - 6x + 1 = (Зх - IJ, то отримуємо рівняння (Зх - I) 2 = 0, звідки знаходимо Зх - 1 = 0, тобто х = .
в) Тут а = 2, b = - 1, с = 3,5, D = b 2 - 4ас = 1 - 4. 2 . 3,5 = 1 - 28 = - 27. Так як D< 0, то данное квадратное уравнение не имеет корней.
Математики – люди практичні, економні. Навіщо, кажуть вони, користуватися таким довгим правилом розв'язання квадратного рівняння, краще одразу написати загальну формулу:
Якщо виявиться, що дискримінант D = b 2 - 4ас - від'ємне число, то записана формула не має сенсу (під знаком квадратного кореня знаходиться від'ємне число), отже, коріння немає. Якщо ж виявиться, що дискримінант дорівнює нулю, то отримуємо
Т. е. один корінь (кажуть також, що квадратне рівняння в цьому випадку має два однакові корені:
Нарешті, якщо виявиться, що b 2 - 4ас > 0, виходять два кореня х 1 і х 2 , які обчислюються за тими ж формулами (3), що вказані вище.
Саме число в цьому випадку позитивне (як кожен квадратний коріньз позитивного числа), а подвійний знак перед ним означає, що в одному випадку (при знайденні х 1) це позитивне число додається до - b, а в іншому випадку (при знайденні х 2) це позитивне число ви-
читається із числа - b.
Ви маєте свободу вибору. Бажаєте - вирішуйте квадратне рівняння докладно, використовуючи сформульоване вище правило; хочете - запишіть відразу формулу (4) і з її допомогою робіть необхідні висновки.
Приклад 5. Розв'язати рівняння:
Рішення, а) Звичайно, можна використовувати формули (4) або (3), враховуючи, що в даному випадку 
Але навіщо виконувати дії з дробами, коли простіше і, головне, приємніше мати справу з цілими числами? Давайте звільнимось від знаменників. І тому треба помножити обидві частини рівняння на 12, т. е. на найменший загальний знаменник дробів, службовців коефіцієнтами рівняння. Отримаємо
звідки 8х 2 + 10x – 7 = 0.
А тепер скористаємося формулою (4)
Б) Ми знову маємо рівняння з дрібними коефіцієнтами: а = 3, b = - 0,2, с = 2,77. Помножимо обидві частини рівняння на 100, тоді отримаємо рівняння з цілими коефіцієнтами:
300x 2 – 20x + 277 = 0.
Далі скористаємося формулою (4):
Проста прикидка свідчить, що дискримінант (підкорене вираз) — негативне число. Отже, рівняння немає коренів.
Приклад 6.Вирішити рівняння 
Рішення. Тут, на відміну від попереднього прикладу, краще діяти за правилом, а не за скороченою формулою (4).
Маємо а = 5, b = -, с = 1, D = b 2 - 4ас = (-) 2 - 4 . 5 . 1 = 60 - 20 = 40. Так як D > 0, то квадратне рівняння має два корені, які шукатимемо за формулами (3)
Приклад 7.Вирішити рівняння
х 2 - (2р + 1) x + (р 2 + р-2) = 0
Рішення. Це квадратне рівняння відрізняється від усіх розглянутих досі квадратних рівнянь тим, що ролі коефіцієнтів виступають не конкретні числа, а буквені выражения. Такі рівняння називають рівняннями з літерними коефіцієнтами чи рівняннями з параметрами. В даному випадку параметр (літера) р входить до складу другого коефіцієнта та вільного члена рівняння.
Знайдемо дискримінант:
Приклад 8. Розв'язати рівняння рx 2 + (1 – р) х – 1 = 0.
Рішення. Це також рівняння з параметром р, але на відміну від попереднього прикладу, його не можна відразу вирішувати за формулами (4) або (3). Справа в тому, що зазначені формули застосовні до квадратних рівнянь, а про задане рівняння ми цього поки що сказати не можемо. Справді, а як р = 0? Тоді
рівняння набуде вигляду 0 . x 2 + (1-0)x- 1 = 0, тобто х - 1 = 0, звідки отримуємо х = 1. Ось якщо точно відомо, що , то можна застосовувати формули коренів квадратного рівняння:
Loading...