Як знайти координати вершини параболи квадратичної функції? Парабола - властивості та графік квадратичної функції

Функція виду, де називається квадратичною функцією.

Графік квадратичної функції – парабола.


Розглянемо випадки:

I ВИПАДК, КЛАСИЧНА ПАРАБОЛА

Тобто , ,

Для побудови заповнюємо таблицю, підставляючи значення x формулу:


Зазначаємо точки (0; 0); (1; 1); (-1; 1) і т.д. на координатній площині (чим із меншим кроком ми беремо значення х (у даному випадкукрок 1), і що більше беремо значень х, тим плавніше буде крива), отримуємо параболу:


Неважко помітити, що й ми візьмемо випадок , , , тобто , ми отримаємо параболу, симетричну щодо осі (ох). Переконатись у цьому нескладно, заповнивши аналогічну таблицю:


II ВИПАД, «a» ВІДМІННО ВІД ОДИНИЦІ

Що ж буде, якщо ми братимемо , , ? Як зміниться поведінка параболи? При title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="20" width="55" style="vertical-align: -5px;"> парабола изменит форму, она “похудеет” по сравнению с параболой (не верите – заполните соответствующую таблицу – и убедитесь сами):!}


На першій картинці (див. вище) добре видно, що точки з таблиці для параболи (1; 1), (-1; 1) трансформувалися в точки (1; 4), (1; -4), тобто при тих же значення ординату кожної точки помножилася на 4. Це станеться з усіма ключовими точками вихідної таблиці. Аналогічно міркуємо у випадках картинок 2 та 3.

А при параболі «стане ширше» параболи:


Давайте підсумуємо:

1)Знак коефіцієнта відповідає за напрямок гілок. При title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="14" width="47" style="vertical-align: 0px;"> ветви направлены вверх, при - вниз. !}

2) Абсолютна величинакоефіцієнта (модуля) відповідає за “розширення”, “стиснення” параболи. Чим більше , тим уже парабола, чим менше |a|, тим ширше парабола.

ІІІ ВИПАД, З'ЯВЛЯЄТЬСЯ «С»

Тепер давайте введемо в гру (тобто розглядаємо випадок, коли), розглядатимемо параболи виду. Неважко здогадатися (ви завжди можете звернутися до таблиці), що відбуватиметься зміщення параболи вздовж осі вгору або вниз залежно від знака:



IV ВИПАД, З'ЯВЛЯЄТЬСЯ «b»

Коли ж парабола "відірветься" від осі і, нарешті, "гулятиме" по всій координатній площині? Коли перестане бути рівним.

Тут для побудови параболи нам знадобиться формула для обчислення вершини: , .

Так ось у цій точці (як у точці (0; 0) нової системи координат) ми будуватимемо параболу, що вже нам під силу. Якщо маємо справу з нагодою , то від вершини відкладаємо один одиничний відрізок вправо, один вгору, - отримана точка - наша (аналогічно крок вліво, крок вгору - наша точка); якщо маємо справу з , наприклад, то від вершини відкладаємо один одиничний відрізок праворуч, два - вгору і т.д.

Наприклад, вершина параболи:

Тепер головне усвідомити, що в цій вершині ми будуватимемо параболу за шаблоном параболи, адже в нашому випадку.

При побудові параболи після знаходження координат вершини дужезручно враховувати такі моменти:

1) парабола обов'язково пройде через точку . Справді, підставивши формулу x=0, отримаємо, що . Тобто ордината точки перетину параболи з віссю (оу) це . У прикладі (вище), парабола перетинає вісь ординат у точці , оскільки .

2) віссю симетрії параболи є пряма , тому всі точки параболи будуть симетричні щодо неї. У нашому прикладі ми відразу беремо точку (0; -2) і будуємо їй симетричну щодо осі симетрії параболи, отримаємо точку (4; -2), через яку буде проходити парабола.

3) Прирівнюючи до ми дізнаємося точки перетину параболи з віссю (ох). Для цього вирішуємо рівняння. Залежно від дискримінанта, отримуватимемо одну (, ), дві (title="Rendered by QuickLaTeX.com)" height="14" width="54" style="vertical-align: 0px;">, ) или нИсколько () точек пересечения с осью (ох) !} . У попередньому прикладі у нас корінь з дискримінанта - не ціле число, при побудові нам особливо немає сенсу знаходити коріння, але ми бачимо чітко, що дві точки перетину з віссю (ох) у нас будуть (бо title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="14" width="54" style="vertical-align: 0px;">), хотя, в общем, это видно и без дискриминанта.!}

Отже, давайте виробимо

Алгоритм для побудови параболи, якщо вона задана у вигляді

1) визначаємо напрямок гілок (а>0 – вгору, a<0 – вниз)

2) знаходимо координати вершини параболи за формулою , .

3) знаходимо точку перетину параболи з віссю (оу) по вільному члену , будуємо точку, симетричну даної щодо осі симетрії параболи (треба зауважити, буває, що цю точку невигідно відзначати, наприклад, тому, що значення велике ... пропускаємо цей пункт ...)

4) У знайденій точці – вершині параболи (як і точці (0;0) нової системи координат) будуємо параболу . Якщо title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="20" width="55" style="vertical-align: -5px;">, то парабола становится у’же по сравнению с , если , то парабола расширяется по сравнению с !}

5) Знаходимо точки перетину параболи з віссю (оу) (якщо вони самі “не спливли”), вирішуючи рівняння

Приклад 1


Приклад 2


Зауваження 1.Якщо ж парабола спочатку нам задана у вигляді де - деякі числа (наприклад, ), то побудувати її буде ще легше, тому що нам вже задані координати вершини . Чому?

Візьмемо квадратний тричлен і виділимо в ньому повний квадрат: Подивіться, ось ми отримали, що , . Ми з вами раніше називали вершину параболи, тобто тепер.

Наприклад, . Зазначаємо на площині вершину параболи, розуміємо, що гілки спрямовані вниз, парабола розширена (відносно). Тобто виконуємо пункти 1; 3; 4; 5 з алгоритму побудови параболи (див. вище).

Примітка 2.Якщо парабола задана у вигляді, подібному до цього (тобто представлений у вигляді добутку двох лінійних множників), то відразу видно точки перетину параболи з віссю (ох). У разі – (0;0) і (4;0). В іншому ж діємо згідно з алгоритмом, розкривши дужки.

Що таке парабола знають, мабуть, усі. А ось як її правильно, грамотно використовувати під час вирішення різних практичних завдань, розберемося нижче.

Спочатку позначимо основні поняття, що дає цьому терміну алгебра та геометрія. Розглянемо все можливі видицього графіка.

Дізнаємося всі основні характеристики цієї функції. Зрозуміємо основи побудови кривої (геометрія). Навчимося знаходити вершину, інші основні величини графіка цього типу.

Дізнаємося: як правильно будується крива за рівнянням, на що треба звернути увагу. Подивимося головне практичне застосуванняцієї унікальної величини у житті людини.

Що таке парабола і як вона виглядає

Алгебра: під цим терміном розуміється графік квадратичної функції.

Геометрія: це крива другого порядку, що має низку певних особливостей:

Канонічне рівняння параболи

На малюнку зображено прямокутну систему координат (XOY), екстремум, напрямок гілок креслення функції вздовж осі абсцис.

Канонічне рівняння має вигляд:

y 2 = 2 * p * x,

де коефіцієнт p – фокальний параметр параболи (AF).

В алгебрі воно запишеться інакше:

y = a x 2 + b x + c (відомий шаблон: y = x 2).

Властивості та графік квадратичної функції

Функція має віссю симетрії та центром (екстремум). Область визначення – всі значення осі абсцис.

Область значень функції – (-∞, М) або (М, +∞) залежить від напрямку гілок кривої. Параметр М тут означає величину функції вершині лінії.

Як визначити, куди спрямовані гілки параболи

Щоб знайти напрямок кривої такого типу з виразу, потрібно визначити знак перед першим параметром виразу алгебри. Якщо а 0 0, то вони спрямовані вгору. Якщо навпаки – вниз.

Як знайти вершину параболи за формулою

Знаходження екстремуму є основним етапом під час вирішення безлічі практичних завдань. Звичайно, можна відкрити спеціальні онлайн калькуляториАле краще це вміти робити самому.

Як її визначити? Є спеціальна формула. Коли b дорівнює 0, треба шукати координати цієї точки.

Формули знаходження вершини:

  • x 0 = -b/(2*a);
  • y0 = y(x0).

приклад.

Є функція у = 4 * x 2 + 16 * x - 25. Знайдемо вершини цієї функції.

Для такої лінії:

  • х = -16/(2*4) = -2;
  • y = 4 * 4 - 16 * 2 - 25 = 16 - 32 - 25 = -41.

Отримуємо координати вершини (-2, -41).

Зміщення параболи

Класичний випадок, коли у квадратичній функції y = a x 2 + b x + c, другий та третій параметри дорівнюють 0, а = 1 – вершина знаходиться в точці (0; 0).

Рух осями абсцис або ординат обумовлено зміною параметрів b і c відповідно.Зсув лінії на площині буде здійснюватися рівно на кількість одиниць, чому дорівнює значення параметра.

приклад.

Маємо: b=2, c=3.

Це означає, що класичний виглядкривою зрушиться на 2 одиничні відрізки по осі абсцис і на 3 - по осі ординат.

Як будувати параболу за квадратним рівнянням

Школярам важливо засвоїти, як правильно накреслити параболу за заданими параметрами.

Аналізуючи вирази та рівняння, можна побачити наступне:

  1. Точка перетину шуканої лінії з вектором ординат матиме значення, що дорівнює величині с.
  2. Всі точки графіка (осі абсцис) будуть симетричні щодо основного екстремуму функції.

Крім того, місця перетину з ОХ можна знайти, знаючи дискримінант (D) такої функції:

D = (b 2 - 4 * a * c).

Для цього потрібно прирівняти вираз до нуля.

Наявність коренів параболи залежить від результату:

  • D 0 , то х 1,2 = (-b ± D 0,5) / (2 * a);
  • D = 0, то х 1, 2 = -b/(2*a);
  • D 0 0, то немає точок перетину з вектором ОХ.

Отримуємо алгоритм побудови параболи:

  • визначити напрямок гілок;
  • знайти координати вершини;
  • знайти перетин з віссю ординат;
  • знайти перетин з віссю абсцис.

приклад 1.

Дана функція у = х 2 - 5 * х + 4. Необхідно побудувати параболу. Діємо за алгоритмом:

  1. а = 1, отже, гілки спрямовані нагору;
  2. координати екстремуму: х = - (-5) / 2 = 5/2; y = (5/2) 2 - 5 * (5/2) + 4 = -15/4;
  3. з віссю ординат перетинається у значенні у = 4;
  4. знайдемо дискримінант: D = 25 – 16 = 9;
  5. шукаємо коріння:
  • Х 1 = (5 + 3)/2 = 4; (4, 0);
  • Х 2 = (5 – 3) / 2 = 1; (1, 0).

приклад 2.

Для функції у = 3 * х 2 - 2 * х - 1 потрібно побудувати параболу. Діємо за наведеним алгоритмом:

  1. а = 3, отже, гілки спрямовані нагору;
  2. координати екстремуму: х = - (-2) / 2 * 3 = 1/3; y = 3 * (1/3) 2 - 2 * (1/3) - 1 = -4/3;
  3. з віссю у перетинатиметься у значенні у = -1;
  4. знайдемо дискримінант: D = 4 + 12 = 16. Значить коріння:
  • Х 1 = (2 + 4)/6 = 1; (1; 0);
  • Х 2 = (2 – 4) / 6 = -1/3; (-1/3; 0).

За отриманими точками можна побудувати параболу.

Директриса, ексцентриситет, фокус параболи

З канонічного рівняння, фокус F має координати (p/2, 0).

Пряма АВ - директриса (свого роду хорда параболи певної довжини). Її рівняння: х = -р/2.

Ексцентриситет (константа) = 1.

Висновок

Ми розглянули тему, яку вивчають школярі у середній школі. Тепер ви знаєте, дивлячись на квадратичну функцію параболи, як знайти її вершину, в яку сторону будуть направлені гілки, чи є зміщення по осях, і, маючи алгоритм побудови, зможете накреслити її графік.

Графік квадратичної функції називають параболою. Ця лінія має вагоме фізичне значення. Параболами рухаються деякі небесні тіла. Антена у формі параболи фокусує промені, що йдуть паралельно до осі симетрії параболи. Тіла, кинуті вгору під кутом, долітають до верхньої точкиі падають донизу, також описуючи параболу. Мабуть, що завжди придатно знати координати вершини цього руху.

Інструкція

1. Квадратична функція у всі загальному виглядізаписується рівнянням: y = ax? + bx + c. Графіком цього рівняння є парабола, гілки якої спрямовані вгору (при a > 0) або вниз (при a< 0). Школьникам предлагается легко запомнить формулу вычисления координат вершины параболы. Вершина параболы лежит в точке x0 = -b/2a. Подставив это значение в квадратне рівнянняотримаєте y0: y0 = a(-b/2a)? - b?/2a + c = - b?/4a + c.

2. Людям, приятелем з поданням похідної, легко виявити вершину параболи. Самостійно від розташування гілок параболи її вершина є точкою екстремуму (мінімуму, якщо гілки спрямовані вгору, або максимуму, коли гілки спрямовані вниз). Щоб виявити точки екстремуму будь-якої функції, потрібно обчислити її першу похідну і прирівняти її до нуля. У загальному вигляді похідна квадратичної функції дорівнює f"(x) = (ax? + bx + c)' = 2ax + b. Прирівнявши до нуля, ви отримаєте 0 = 2ax0 + b => x0 = -b/2a.

3. Парабола – симетрична лінія. Вісь симетрії проходить через вершину параболи. Знаючи точки перетину параболи з віссю координат X, можна легко виявити абсцису вершини x0. Нехай x1 і x2 – коріння параболи (так називають точки перетину параболи з віссю абсцис, тому що ці значення обертають квадратне рівняння ax? + bx + c на нуль). У цьому нехай |x2| > |x1|, тоді вершина параболи лежить посередині з-поміж них і може бути з подальшого виразу: x0 = ?(|x2| – |x1|).

Парабола – це графік квадратичної функції, у загальному вигляді рівняння параболи записується y=aх^2+bх+с, де а?0. Це універсальна крива другого порядку, яка описує багато явищ у житті, скажімо, рух підкидається і після цього падаючого тіла, форму веселки, тому знання виявити параболуможе дуже пригодитися у житті.

Вам знадобиться

  • - Формула квадратичного рівняння;
  • – аркуш паперу з координатною сіткою;
  • - олівець, гумка;
  • – комп'ютер та програма Excel.

Інструкція

1. Насамперед виявіть вершину параболи. Щоб виявити абсцис цієї точки, візьміть показник перед х, поділіть його на подвоєний показник перед х^2 і помножте на -1 (формула х=-b/2a). Ординату виявіть, підставивши отримане значення рівняння чи за формулою у=(b^2-4ac)/4a. Ви отримали координати точки вершини параболи.

2. Вершину параболи можна знайти й іншим способом. Оскільки вершина є екстремумом функції, то її обчислення обчисліть першу похідну і прирівняйте її до нуля. У загальному вигляді ви отримаєте формулу f(x)' = (ax? + bx + c)' = 2ax + b. А прирівнявши її до нуля, ви прийдете до тієї самої формули – х=-b/2a.

3. Дізнайтеся, чи спрямовані гілки параболи вгору чи вниз. Для цього подивіться на показник перед х2, тобто на а. Якщо а>0, то гілки спрямовані нагору, якщо а

4. Побудуйте вісь симетрії параболи, вона перетинає вершину параболи і паралельна осі оу. Всі точки параболи будуть рівновіддалені від неї, тому можна звести лише одну частину, а потім симетрично відобразити її щодо осі параболи.

5. Побудуйте лінію параболи. Для цього виявіть кілька точок, підставляючи різні значеннях у рівняння та вирішуючи рівність. Комфортно виявити перетин з осями, для цього підставляйте на рівність х=0 і у=0. Звівши одну сторону, відобразіть її симетрично щодо осі.

6. Можна звести параболуза допомогою програми Excel. Для цього відкрийте новий документ і виділіть у ньому два стовпчики, х та у = f (х). У першому стовпчику запишіть значення х на обраному відрізку, тоді як у другому стовпці запишіть формулу, скажімо, =2В3*В3-4В3+1 чи =2В3^2-4В3+1. Щоб не писати цю формулу щоразу, «розтягніть» її на кожен стовпець, натиснувши мишкою на невеликий хрестик у правому нижньому кутку і потягнувши вниз.

7. Отримавши таблицю, натисніть меню "Вставка" - "Діаграма". Виберіть точкову діаграму, натисніть "Далі". У вікні додайте ряд, натиснувши кнопку «Додати». Щоб віддати перевагу необхідним осередкам, клацніть по черзі по кнопках, обведених червоним овалом нижче, після цього виділіть ваші стовпчики зі значеннями. Натиснувши кнопку «Готово», оцініть результат – готову параболу .

Відео на тему

При пошуку квадратичної функції, графіком якої є парабола, в одному з пунктів потрібно виявити координати вершинипараболи. Як це зробити аналітично, застосовуючи задане для параболи рівняння?

Інструкція

1. Квадратична функція – це функція виду y=ax^2+bx+c, де a – старший показник (він обов'язково має бути ненульовим), b – молодший показник, з – вільний член. Ця функція дає своїм графіком параболу, гілки якої спрямовані або вгору (якщо а>0), або вниз (якщо а<0). При a=0 квадратичная функция вырождается в линейную функцию.

2. Виявимо координату x0 вершинипараболи. Вона знаходиться за формулою x0=-b/a.

3. y0 = y (x0). Щоб виявити координату y0 вершинипараболи, потрібно в функцію замість x підставити виявлене значення x0. Порахуйте, чому дорівнює y0.

4. Координати вершинипараболи виявлено. Запишіть їх як координат однієї точки (x0,y0).

5. При побудові параболи пам'ятайте, що вона симетрична щодо осі симетрії параболи, що проходить вертикально через вершину параболи, т.к. квадратична функція є парною. Тому досить по точках звести тільки одну гілку параболи, а іншу добудувати симетрично.

Відео на тему

Для функцій (вірніше їх графіків) застосовується уявлення максимального значення, зокрема і локального максимуму. Подання ж «вершина» швидше пов'язане з геометричними фігурами. Точки максимумів гладких функцій (мають похідну) легко визначити за допомогою нулів першої похідної.

Інструкція

1. Для точок, у яких функція не диференційована, але постійна, найбільше на інтервалі значення може мати вигляд вістря (наприклад y=-|x|). У таких точках до графіка функціїМожна провести як бажано багато дотичних і похідна для неї просто не існує. Самі функціїтакого типу зазвичай задаються на відрізках. Крапки, в яких похідна функціїдорівнює нулю чи немає, називаються скептичними.

2. Виходить, для знаходження точок максимумів функції y=f(x) слід:- виявити скептичні точки;- для того щоб віддати перевагу точці максимуму, слід виявити знак похідної на околиці скептичної точки. Якщо під час проходження точки відбувається чергування знака з «+» на «-», має місце максимум.

3. приклад. Виявити найбільші значення функції(див. рис.1). y=x+3 при x?-1 та y=((x^2)^(1/3)) –х при x>-1.

4. Рієння. y=x+3 при x?-1 та y=((x^2)^(1/3)) –х при x>-1. Функція задана на відрізках навмисне, тому що в даному випадку має на меті відобразити все в одному прикладі. Легко перевірити, що при х = -1 функція залишається постійною. y' = 1 при x? ^(1/3))/(x^(1/3)) при x>-1. y'=0 при x=8/27.y' не існує при x=-1 і x=0. y'>0 якщо x

Відео на тему

Парабола – одна з кривих другого порядку, її точки зведені відповідно до квадратного рівняння. Основне у побудові цієї косої – виявити вершину параболи. Це можна зробити кількома способами.

Інструкція

1. Щоб виявити координати вершини параболи, скористайтеся подальшою формулою: х=-b/2а, де а показник перед х у квадраті, а b показник перед х. Підставте ваші значення та розрахуйте його значення. Після цього підставте отримане значення замість х у рівняння і порахуйте ординату вершини. Скажімо, якщо вам дано рівняння у = 2х ^ 2-4х + 5, то абсцис виявіть подальшим чином: х = - (-4) / 2 * 2 = 1. Підставивши х=1 у рівняння, розрахуйте значення для вершини параболи: у=2*1^2-4*1+5=3. Таким чином, вершина параболимає координати (1; 3).

2. Значення ординати параболиМожна виявити і без заздалегідь розрахунку абсциси. Для цього скористайтеся формулою =-b^2/4ас+с.

3. Якщо ви знайомі з уявленням похідної, виявіть вершину параболиза допомогою похідних, скориставшись подальшою властивістю будь-якої функції: перша похідна функції, прирівняна до нуля, вказує на точки екстремуму. Тому що вершина параболи, Самостійно від того, спрямовані її гілки вгору або вниз, є точкою екстремуму, обчисліть похідну для вашої функції. У загальному вигляді вона матиме вигляд f(х) = 2ах + b. Прирівняйте її до нуля та отримайте координати вершини параболи, що відповідає вашій функції.

4. Спробуйте виявити вершину параболи, скориставшись такою її властивістю, як симетричність Для цього знайдіть точки перетину параболиз віссю ох, прирівнявши функцію до нуля (підставивши у = 0). Вирішивши квадратне рівняння, ви виявите х1 та х2. Тому що парабола симетрична щодо директриси, що проходить через вершинуці точки будуть рівновіддалені від абсциси вершини. Щоб її виявити, поділимо відстань між точками навпіл: х=(Iх1-х2I)/2.

5. Якщо якийсь із показників дорівнює нулю (крім а), розрахуйте координати вершини параболиза полегшеними формулами. Скажімо, якщо b=0, тобто рівняння має вигляд у=ах^2+с, то вершина лежатиме на осі оу та її координати дорівнюватимуть (0;с). Якщо ж показник b=0, а й с=0, то вершина параболизнаходиться на початку координат, точці (0; 0).

Відео на тему

З однієї точки, прямі утворюють кут, де загальна їм крапка є вершиною. У розділі теоретичної алгебри часто зустрічаються завдання, коли необхідно виявити координати цієї вершини, щоб після цього визначити рівняння прямої, що проходить через вершину.

Інструкція

1. Перед тим, як розпочати процес знаходження координат вершиниВизначте початкові дані. Прийміть, що бажана вершина належить трикутнику ABC, у якому вестими координати 2-х інших вершин, і навіть числові значення кутів, рівні "e" та "k" по стороні AB.

2. Поєднайте нову системукоординат з однієї із сторін трикутника AB таким чином, щоб передмова системи координат збігалася з точкою A, координати якої вам відомі. Друга вершина B лежатиме на осі OX, і її координати вам також відомі. Визначте по осі ОХ значення довжини сторони AB згідно з координатами та прийміть її рівною «m».

3. Опустіть перпендикуляр із незнайомої вершини C на вісь ОХ і сторону трикутника AB відповідно. Висота «y», що вийшла, і визначає значення однієї з координат вершини C по осі OY. Зауважте, що висота «y» ділить сторону AB на два відрізки, рівні «x» і «m – x».

4. Від того що вам відомі значення всіх кутівтрикутника, отже, знамениті значення їх тангенсов. Прийміть значення тангенсів для кутів, що примикають до сторони трикутника AB, рівними tan(e) та tan(k).

5. Введіть рівняння для 2-х прямих, що проходять по сторонах AC та BC відповідно: y = tan(e) * x та y = tan(k) * (m – x). Після цього виявіть перетин цих прямих, застосовуючи перетворені рівняння прямих: tan(e) = y/x і tan(k) = y/(m – x).

6. Якщо прийняти, що tan(e)/tan(k) дорівнює (y/x) /(y/ (m – x)) чи пізніше скорочення «y» – (m – x) / x , у результаті ви отримаєте бажані значення координат, рівні x = m/(tan(e)/tan(k) + e) ​​та y = x * tan(e).

7. Підставте значення кутів(e) та (k), а також виявлене значення сторони AB = m у рівняння x = m / (tan(e)/tan(k) + e) ​​та y = x * tan(e).

8. Перетворіть нову систему координат на початкову систему координат, від того що між ними встановлено взаємно-однозначну відповідність, і отримайте бажані координати вершинитрикутник ABC.

Відео на тему

Відео на тему

Нагаєва Світлана Миколаївна, вчитель математики МАОУ "Ліцей №1" міста Березники.

Проект уроку з алгебри у 9 класі(Гуманітарний профіль).

«Найглибший слід залишає те, що людина відкрив сам». (Д. Пойя.)

Тема урока:"Виведення формул для обчислення координат вершини параболи".

Цілі уроку: пізнавальні :

Очікуваний результат:

- усвідомлення, прийняття та вирішення проблеми учнями;

Формування способів отримання нових знань через порівняння та зіставлення фактів, способу від частки до загального;

Дізнаються формули знаходження координат вершини та осі симетрії параболи для функцій виду y = ax 2 +bx+c.

Тип уроку:урок постановки навчального завдання. Методи навчання– наочно-ілюстративний, словесний, навчання у співпраці, проблемний елементи технології критичного мислення.

Обладнання:комп'ютер, мультимедійний проектор, демонстраційний екран, слайди презентації на тему: «Формули для знаходження координат вершини параболи»; аркуші формату А3; кольорові маркери.

Технологія- Системно-діяльнісний підхід.

Етапи уроку:

    Психологічний настрій (мотивація).

    Актуалізація опорних знань(Створення ситуації успіху).

    Постановка проблеми.

    Формулювання теми та мети уроку.

    Рішення проблеми.

    Аналіз ходу вирішення проблеми.

    Застосування результатів вирішення проблеми у подальшій діяльності.

    Підбиття підсумків уроку (підсумок «очима» учня, підсумок «очима» вчителя.).

    Домашнє завдання.

Хід уроку:

    Психологічний настрой.

Завдання: Вчиться вирішувати загальне завданнята працювати у колективі (робота у групах по 5 чол.).

Хлопці, протягом останніх чотирьох уроків ми займалися вивченням квадратичної функції, але наші знання поки що не зовсім повні, тому ми продовжуємо вивчати квадратичну функцію з метою дізнатися щось нове про цю функцію.

Мотивація учнів до самостійної постановки теми та мети уроку.

Функція
та її графік.

;
;

Чи не виконуючи побудови графіка функцій, чи можемо ми відповісти на запитання:

    Що графік функцій?

    Яка пряма є віссю симетрії (якщо існує)?

3. Чи є вершина, які її координати?

Хочу знати

Таблиця заповнюється під час проведення уроку.

    Актуалізація опорних знань та вмінь учнів.Розминка. 1. Винести за дужки старший коефіцієнт: 5x2+25x-5; ax 2 + bx + c. 2.Виділити подвоєне твір: ab; ax; b/a. 3. Звести в квадрат: b/2; c 2 /a; 2a/3b. 4.Уявити як алгебраїчної суми: а – в; x –(- b/2a).

Поясніть, як, знаючи вигляд графіка функціїy =ƒ( x ) , побудувати графіки функцій:

а ) y =ƒ(x - a) , - за допомогою паралельного перенесення на одиниць вправо вздовж осі х;

б) y =ƒ(x) + b, - за допомогою паралельного перенесення на одиниць b вгору вздовж осі y;

в) y =ƒ(x- а) +b, ↔ на аодиниць, ↕ на bодиниць;

г) Як побудувати графік функції y = (x - 2) 2 + 3 ? Що є її графіком?

Назвіть вершину параболи.
Графіком є ​​парабола y = x 2 з вершиною в точці (2; 3 ).

Назвіть координати вершини параболи: y =x - 4x + 5 ( проблема). Чому не можна визначити координати вершини параболи на вигляд функції?(інший вид має квадратичну функцію).

Діяльність учнів:

Будують мовні конструкції із використанням функціональної термінології.

Обговорення відповідей. Порівнюють, зіставляють із раніше вивченими функціями, вибирають та записують на дошці знання та вміння, які їм можуть знадобитися для вирішення проблеми у стовпчик «ЗНАЮ»:

2.

3.

4.

У стовпчик «Хочу дізнатися»: вершину, вісь симетрії параболи
.

Учні можуть записувати в стовпчики «ЗНАЮ» та «ХОЧУ ЗНАТИ» функції як у загальному вигляді, так і окремі випадки. Постановка навчальної задачі: знайти координати вершини параболи, якщо квадратична функція задана у загальному вигляді y = ax + bx + c. Учні формулюють та записують у зошит тему та мету уроку.(Виведення формул для обчислення координат вершини параболи. Навчитися знаходити координати вершини параболи новим способом – за формулами).

Рішення проблеми.

Діяльність учнів: Порівнюючи «старі» знання з новими знаннями, учні пропонують виділити повний квадрат. на конкретні приклади
;
і отримують відповідно
;
. Знаходять координати вершини і рівняння осі симетрії, розуміють, що із завданням впоралися, т.к. привели нову функціюдо знайомого вигляду.

Учні виділяють повний квадрат для функції
; , Порівнюють отриманий результат, роблять висновок щодо цієї функції. Знаходять координати вершини та вісь симетрії.

Чи зможете ви назвати вершину та вісь параболи, якщо функція задана у загальному вигляді
не виділяючи повного квадрата? Як ви діятимете в цьому випадку? І як застосувати ваш попередній досвід з знаходження вершини та осі параболи?

Діяльність учнів:

Спираючись на вже існуючі знання, досвід учні починають розуміти, що треба йти далі, від приватного до загального, проводять докази у загальному вигляді.

З'являються нові труднощі. У групах виникає рішення: . Аналіз ходу вирішення проблеми.Заслуховується один представник кожної групи.

Порівнюють, аналізують записи
і
записується в зошит одне загальне рішення поставленої задачі - формули координат вершини параболи
.

Учні роблять висновок: координати вершини та вісь параболи для функції
можна знайти раціональним способом.

Застосування результатів щодо вирішення проблеми у подальшій діяльності.

Діяльність учнів:

Розв'язання завдань із підручника №121; 123. Знайдіть координати вершини параболи новим раціональним способом. Запишіть рівняння прямої, яка є віссю симетрії параболи.

Підбиття підсумків (рефлексія навчальної діяльностіна уроці).

Повернемося до таблиці та заповнимо стовпчик «ДІЗНАВСЯ».

Підсумок уроку «очима» учнів:

ХОЧУ ЗНАТИ

2.

3.

4.

5. знаю, як побудувати графіки цих функций

6. знаю, як знайти координати вершини цих парабол і вісь параболи

7. Метод виділення повного квадрата

8. як знаходити координати вершин, вісь параболи.


2. рівняння осі симетрії параболи

1. координати вершини параболи

2. як вивести формулу

3. раціональний спосіб знаходження осі параболи та координат вершини параболи

Підсумок «очима вчителя»:

    Мета уроку досягнуто.

    Учні усвідомили, прийняли і вирішили проблему.

    У процесі вирішення навчально-проблемного завдання учні не лише набули нових знань: залежність коефіцієнтів квадратного тричлена та координат вершини параболи, рівняння осі симетрії, але найголовніше на уроці – формування узагальнених способів набуття нових знань, самостійного аналізу проблеми та знаходження невідомого.

Домашнє завдання: п.7 №122 ;127(б) ;128.

P.S. Представлений урок проведено 15 жовтня 2014 року у рамках міського семінару вчителів математики на тему «Формування УУД на уроках математики».

На етапі «Застосування результатів…» під час вирішення завдань із підручника деякі учні почали розуміти цінність свого «відкриття»: більше простого способузнаходження координат вершини та рівняння осі симетрії, а інші не приховували радості, адже не треба «мучитися» з виділенням повного квадрата. Але найголовніше – зробили все самі!

Парабола є у світі математики, фізики та інших наук. По траєкторії параболи пересуваються штучні супутники, які прагнуть покинути межі Сонячна система, м'яч під час гри у волейбол теж описує її траєкторію. Потрібно вміти будувати параболу. А щоб це не складало труднощів, треба знати, як знайти вершину параболи.

Графік функції y = ax 2 + bx + c де a - перший коефіцієнт, b - другий коефіцієнт, c - вільний член, називається параболою. Але зверніть увагу на те, що a ≠0.

Кожна точка параболи маєсиметрична їй, крім однієї точки, ця точка називається вершиною. Щоб знайти точку, яка є вершиною, потрібно визначитися, що таке точка на графіці. Крапка на графіці – це певна координата по осі абсцис та по осі ординат. Вона позначається як (x; y). Давайте розбиратися, як знайти заповітні числа.

Перший спосіб

Якщо ви хочете знати, як необхідно правильно обчислювати координати вершини, потрібно лише вивчити формулу x0 = -b/2a. Підставляючи отримане число у функцію, отримаємо y0.

Наприклад, y = x 2 -8 x +15;

знаходимо перший, другий коефіцієнти та вільний член;

  • a = 1, b = -8, c = 15;

підставляємо значення a та b у формулу;

  • x0 = 8/2 = 4;

обчислюємо значення y;

  • y0 = 16-32 +15 = -1;

Отже, вершина перебуває у точці (4;-1).

Гілки параболи симетричні щодо осі симетрії, яка йде через вершину параболи. Знаючи коріння рівняння, можна без особливих труднощів порахувати абсцис вершини параболи. Припустимо, що k і n – коріння квадратичного рівняння. Тоді точка x0 рівновіддалена від точок k і n, її можна обчислити за формулою: x0 = (k + n)/2.

Розглянемо з прикладу y =x 2 –6x+5

1) Прирівнюємо до нуля:

  • x 2 -6x +5 = 0.

2) Знаходимо дискримінант, використовуючи формулу: D = b 2 -4 ac:

  • D = 36-20 = 16.

3) Знаходимо коріння рівняння за формулою (-b±√D)/2a:

  • 1 - перший корінь;
  • 5 - другий корінь.

4) Обчислюємо:

  • x0 = (5 +1) / 2 = 3

Другий спосіб

Доповнення до повного квадрата - чудовий спосіб дізнатися, де розташовується вершина. Використовуючи цей спосіб, ви зможете обчислити точки x і y одночасно, без потреби підставляти x початковий приклад. Розглянемо цей метод з прикладу функції: y=x 2 +8 x +10.

1. Спочатку потрібно прирівняти вираз зі змінною до 0. Потім перенести c в правий бікз протилежним знакомтобто у нас виходить вираз x 2 + 8x = -10.

2. Тепер у лівій частині потрібно зробити повний квадрат. Для цього порахуйте (b/2) 2 і збільшіть обидві частини рівняння результату. У цьому випадку потрібно підставити 8 замість b.

У нас виходить 16. Тепер додайте це число до обох частин рівняння:

x 2 + 8x +16 = 6.

3. Видно, що отриманий вираз – повний квадрат. Його можна подати у формі: (x + 4) 2 = 6.

4. Використовуйте цей вираз для пошуку координат вершини параболи. Щоб порахувати x потрібно прирівняти його до 0. Отримуємо, x =-4. Координата y дорівнює тому, що у правій частині, тобто y =6. Вершина параболи цього рівняння (-4, 6).

Третій спосіб

Якщо ви знаєте, що таке похідна, то вам є інша формула. Незважаючи на те, куди дивляться «роги» параболи, її вершина – точка екстремуму. Для цього способу треба застосувати наступний алгоритм:

1. Знаходження першої похідної за формулою f"(x) = (ax² + bx + c)' = 2ax + b.

2. Прирівнювання похідної до 0. У результаті ви отримаєте 0 = 2ax + b, звідси можна знайти те, що нас цікавить.

Розглянемо цей спосіб докладніше.

Дано функцію y = 4x²+16x-17;

  • Записуємо похідну та прирівнюємо до нуля.

f"(x) = (4x²+16x-17)' = 8x+16 =0

Найважче при побудові - це правильно визначити точки функції. Для детальної побудови потрібно прорахувати 5–7 точок (для шкільного курсу цього вистачить). Для цього вибираємо якесь значення x і підставляємо його на цю функцію. Результатом підрахунків буде число точки по осі ординат. Після цього ставимо на координатну площину одержані нами точки. У результаті у нас виходить парабола.

Розглянемо докладніше питання про знаходження точок, які слід зазначити. Наприклад візьмемо функцію y = -x 2 +11 x -24 з вершиною в точці (5,5; -6,25).

1) Будуємо таблицю

Правильно знаходите коефіцієнти.

Напишіть проміжні обчислення на папері. Це не лише полегшить знаходження вершини, а й допоможе знайти свої помилки.

Робіть все поетапно. Дотримуйтесь алгоритму.

Зверніть вашу увагу на те, що:

  • Потрібно перевіряти чи правильно ваше рішення.
  • Потрібно заспокоїтися. Вирішення будь-яких завдань з математики потребує досвіду. Просто потрібно відпрацювати цю тему, І тоді неодмінно у вас все вийде.

Відео

Це відео допоможе вам навчитися знаходити вершину параболи

Чи не отримали відповідь на своє запитання? Запропонуйте авторам тему.

Loading...Loading...