Дотримання Вашої конфіденційності є важливим для нас. З цієї причини ми розробили Політику конфіденційності, яка описує, як ми використовуємо та зберігаємо Вашу інформацію. Будь ласка, ознайомтеся з нашими правилами дотримання конфіденційності та повідомте нам, якщо у вас виникнуть будь-які питання.
Збір та використання персональної інформації
Під персональної інформацією розуміються дані, які можна використовувати для ідентифікації певного особи чи зв'язку з ним.
Від вас може бути запрошено надання вашої персональної інформації у будь-який момент, коли ви зв'язуєтесь з нами.
Нижче наведено приклади типів персональної інформації, яку ми можемо збирати, і як ми можемо використовувати таку інформацію.
Яку персональну інформацію ми збираємо:
- Коли ви залишаєте заявку на сайті, ми можемо збирати різноманітну інформацію, включаючи ваше ім'я, номер телефону, адресу електронної поштиі т.д.
Як ми використовуємо вашу персональну інформацію:
- Збирається нами Персональна інформаціядозволяє нам зв'язуватися з вами та повідомляти про унікальні пропозиції, акції та інші заходи та найближчі події.
- Час від часу ми можемо використовувати вашу персональну інформацію для надсилання важливих повідомлень та повідомлень.
- Ми також можемо використовувати персональну інформацію для внутрішніх цілей, таких як проведення аудиту, аналізу даних та різних досліджень з метою покращення послуг, що надаються нами, та надання Вам рекомендацій щодо наших послуг.
- Якщо ви берете участь у розіграші призів, конкурсі або подібному стимулювальному заході, ми можемо використовувати інформацію, що надається, для управління такими програмами.
Розкриття інформації третім особам
Ми не розкриваємо отриману від Вас інформацію третім особам.
Винятки:
- Якщо необхідно - відповідно до закону, судовим порядком, у судовому розгляді, та/або на підставі публічних запитів або запитів від державних органівна території РФ – розкрити вашу персональну інформацію. Ми також можемо розкривати інформацію про вас, якщо ми визначимо, що таке розкриття необхідно або доречно з метою безпеки, підтримання правопорядку або інших суспільно важливих випадків.
- У разі реорганізації, злиття або продажу ми можемо передати персональну інформацію, що збирається нами, відповідній третій особі – правонаступнику.
Захист персональної інформації
Ми вживаємо запобіжних заходів - включаючи адміністративні, технічні та фізичні - для захисту вашої персональної інформації від втрати, крадіжки та недобросовісного використання, а також від несанкціонованого доступу, розкриття, зміни та знищення.
Дотримання вашої конфіденційності на рівні компанії
Для того, щоб переконатися, що ваша персональна інформація знаходиться в безпеці, ми доводимо норми дотримання конфіденційності та безпеки до наших співробітників і суворо стежимо за дотриманням заходів дотримання конфіденційності.
У співвідношенні
може бути завдання знайти будь-якого з трьох чисел за двома іншими, заданим. Якщо дані а то N знаходять дією зведення в ступінь. Якщо дані N і то а знаходять вилученням кореня ступеня х (або зведенням у ступінь). Тепер розглянемо випадок, коли з заданим а і N потрібно знайти х.
Нехай число N позитивно: число а позитивно і дорівнює одиниці: .
Визначення. Логарифмом числа N на підставі а називається показник ступеня, в який потрібно звести а, щоб отримати число N; логарифм позначається через
Таким чином, у рівності (26.1) показник ступеня знаходять як логарифм N на підставі а. Записи
мають однаковий зміст. Рівність (26.1) іноді називають основною тотожністю теорії логарифмів; насправді воно висловлює визначення поняття логарифму. за даному визначеннюоснова логарифму завжди позитивно і від одиниці; логарифмується N позитивно. Негативні числа та нуль логарифмів не мають. Можна довести, що всяке число при даній підставі має певний логарифм. Тому рівність тягне за собою. Зауважимо, що тут істотно умова інакше висновок було б обгрунтований, оскільки рівність вірно за будь-яких значеннях х і у.
Приклад 1. Знайти
Рішення. Для отримання числа слід звести основу 2 у ступінь Тому.
Можна проводити записи при вирішенні таких прикладів у такій формі:
Приклад 2. Знайти.
Рішення. Маємо
У прикладах 1 і 2 ми легко знаходили шуканий логарифм, представляючи число, що логарифмується, як ступінь підстави з раціональним показником. У загальному випадкунаприклад для і т. д., цього зробити не вдасться, так як логарифм має ірраціональне значення. Звернімо увагу на одне пов'язане з цим твердженням питання. У п. 12 ми дали поняття про можливість визначення будь-якого дійсного ступеня цього позитивного числа. Це було необхідне запровадження логарифмів, які, взагалі кажучи, може бути ірраціональними числами.
Розглянемо деякі властивості логарифмів.
Властивість 1. Якщо число і основа рівні, то логарифм дорівнює одиниці, і, якщо логарифм дорівнює одиниці, то число і основа рівні.
Доведення. Нехай За визначенням логарифму маємо а звідки
Назад, нехай Тоді за визначенням
Властивість 2. Логарифм одиниці з будь-якої основи дорівнює нулю.
Доведення. За визначенням логарифму (нульовий ступінь будь-якої позитивної основи дорівнює одиниці, див. (10.1)). Звідси
що й потрібно було довести.
Правильне і зворотне твердження: якщо , то N = 1. Дійсно, маємо .
Перш ніж сформулювати таку властивість логарифмів, умовимося говорити, що два числа а і b лежать по одну сторону від третього числа с, якщо вони обидва або більше, або менше с. Якщо одне з цих чисел більше с, а інше менше с, то говоритимемо, що вони лежать по різні сторонивід с.
Властивість 3. Якщо число і основа лежать з одного боку від одиниці, то логарифм позитивний; якщо число та основа лежать по різні боки від одиниці, то логарифм негативний.
Доказ властивості 3 заснований на тому, що ступінь а більше одиниці, якщо основа більше одиниці і показник позитивний або основа менше одиниці і показник негативний. Ступінь менше одиниці, якщо основа більша за одиницю і показник від'ємний або основа менша за одиницю і показник позитивний.
Потрібно розглянути чотири випадки:
Обмежимося розбором першого їх, інші читач розгляне самостійно.
Нехай тоді рівності показник ступеня може бути ні негативним, ні рівним нулю, отже, він позитивний, т. е. що потрібно було довести.
Приклад 3. З'ясувати, які із наведених нижче логарифмів позитивні, які негативні:
Рішення, а) оскільки число 15 і основа 12 розташовані по один бік від одиниці;
б) , оскільки 1000 та 2 розташовані по один бік від одиниці; при цьому несуттєво, що підстава більша за число, що логарифмується;
в) , оскільки 3,1 та 0,8 лежать по різні боки від одиниці;
г); чому?
д); чому?
Наступні властивості 4-6 часто називають правилами логарифмування: вони дозволяють, знаючи логарифми деяких чисел, знайти логарифми їхнього твору, приватного, ступеня кожного з них.
Властивість 4 (правило логарифмування твору). Логарифм добутку кількох позитивних чисел з цієї підстави дорівнює сумі логарифмів цих чисел з тієї ж підстави.
Доведення. Нехай дані позитивні числа.
Для логарифму їхнього твору напишемо визначальну логарифм рівність (26.1):
Звідси знайдемо
Порівнявши показники ступеня першого та останнього виразів, отримаємо необхідну рівність:
Зауважимо, що умова суттєво; логарифм твору двох негативних чиселмає сенс, але в цьому випадку отримаємо
У випадку, якщо добуток кількох співмножників позитивно, його логарифм дорівнює сумі логарифмів модулів цих співмножників.
Властивість 5 (правило логарифмування приватного). Логарифм приватного позитивних чисел дорівнює різниці логарифмів діленого і дільника, взятих з тієї ж підстави. Доведення. Послідовно знаходимо
що й потрібно було довести.
Властивість 6 (правило логарифмування ступеня). Логарифм ступеня якогось позитивного числа дорівнює логарифму цього числа, помноженого на показник ступеня.
Доведення. Запишемо знову основну тотожність (26.1) для числа:
що й потрібно було довести.
Слідство. Логарифм кореня з позитивного числа дорівнює логарифму підкореного числа, поділеному на показник кореня:
Довести справедливість цього слідства можна, представивши, як і скориставшись властивістю 6.
Приклад 4. Прологарифмувати на підставі а:
а) (передбачається, що всі величини b, с, d, е позитивні);
б) (передбачається, що).
Рішення, а) Зручно перейти в даному виразі до дробових ступенів:
На підставі рівностей (26.5)-(26.7) тепер можна записати:
Ми зауважуємо, що над логарифмами чисел виконуються дії простіші, ніж над самими числами: при множенні чисел їх логарифми складаються, при розподілі - віднімаються і т.д.
Саме тому логарифми набули застосування у обчислювальній практиці (див. п. 29).
Дія, зворотне логарифмування, називається потенціюванням, а саме: потенціюванням називається дія, за допомогою якого за даним логарифмом числа знаходиться саме це число. По суті потенціювання не є якоюсь особливою дією: воно зводиться до зведення підстави в ступінь (рівну логарифму числа). Термін "потенціювання" можна вважати синонімом терміна "зведення в ступінь".
При потенціювання треба користуватися правилами, зворотними по відношенню до правил логарифмування: суму логарифмів замінити логарифмом твору, різниця логарифмів - логарифмом приватного і т. д. Зокрема, якщо перед знаком логарифму знаходиться якийсь множник, то його при потенці ступінь під знак логарифму.
Приклад 5. Знайти N, якщо відомо, що
Рішення. У зв'язку з щойно висловленим правилом потенціювання множники 2/3 і 1/3, які стоять перед знаками логарифмів у правій частині цієї рівності, перенесемо до показників ступеня під знаками цих логарифмів; отримаємо
Тепер різницю логарифмів замінимо логарифмом приватного:
для отримання останнього дробу у цьому ланцюжку рівностей ми попередній дріб звільнили від ірраціональності у знаменнику (п. 25).
Властивість 7. Якщо основа більше одиниці, то більша кількістьмає більший логарифм (а менше - менший), якщо основа менше одиниці, то більше число має менший логарифм (а менше - більший).
Цю властивість формулюють також як правило логарифмування нерівностей, обидві частини яких позитивні:
При логарифмуванні нерівностей з основи, більшої одиниці, знак нерівності зберігається, а при логарифмуванні з основи, меншої одиниці, знак нерівності змінюється на протилежний (див. також п. 80).
Доказ заснований на властивості 5 і 3. Розглянемо випадок, коли Якщо , то і, логарифмуючи, отримаємо
(а та N/М лежать по один бік від одиниці). Звідси
Випадок отже, читач розбере самостійно.
У центрі уваги цієї статті – логарифм. Тут ми дамо визначення логарифму, покажемо прийняте позначення, наведемо приклади логарифмів, і скажемо про натуральні та десяткові логарифми. Після цього розглянемо головне логарифмічне тотожність.
Навігація на сторінці.
Визначення логарифму
Поняття логарифма виникає при вирішенні задачі у певному сенсі зворотної, коли потрібно знайти показник ступеня по відомого значенняступеня та відомої основи.
Але вистачить передмов, настав час відповісти на запитання «що таке логарифм»? Дамо відповідне визначення.
Визначення.
Логарифм числа b на підставі a, де a>0 , a≠1 і b>0 – це показник ступеня, який потрібно звести число a , щоб у результаті отримати b .
На цьому етапі зауважимо, що вимовлене слово «логарифм» має відразу викликати два питання: «якого числа» і «з якої підстави». Інакше кажучи, просто логарифма немає, а є лише логарифм числа з деякому підставі.
Відразу введемо позначення логарифму: логарифм числа b на основі a прийнято позначати як log a b . Логарифм числа b на підставі e і логарифм на підставі 10 мають свої спеціальні позначення lnb і lgb відповідно, тобто, пишуть не log e b , а lnb і не log 10 b , а lgb .
Тепер можна навести: .
А записи 
немає сенсу, оскільки у першій їх під знаком логарифма перебуває негативне число, у другій – негативне число у підставі, а третій – і негативне число під знаком логарифму і одиниця у підставі.
Тепер скажемо про правила читання логарифмів. Запис log a b читається як «логарифм b на основі a ». Наприклад, log 2 3 - це логарифм трьох з основи 2 , а - це логарифм двох цілих двох третіх з основи квадратний коріньіз п'яти. Логарифм на основі e називають натуральним логарифмома запис lnb читається як «натуральний логарифм b». Наприклад, ln7 – це натуральний логарифм семи, а ми прочитаємо як натуральний логарифм пі. Логарифм на підставі 10 також має спеціальну назву – десятковий логарифм, а запис lgb читається як «десятковий логарифм b». Наприклад, lg1 – це десятковий логарифм одиниці, а lg2,75 – десятковий логарифм двох цілих сімдесяти п'яти сотих.
Варто окремо зупинитися на умовах a>0, a≠1 і b>0, за яких дається визначення логарифму. Пояснимо, звідки беруться ці обмеження. Зробити це допоможе рівності виду , зване , яке безпосередньо випливає з цього вище визначення логарифму.
Почнемо з a≠1. Так як одиниця в будь-якій мірі дорівнює одиниці, то рівність може бути справедливою лише при b = 1, але при цьому log 1 може бути будь-яким дійсним числом. Щоб уникнути цієї багатозначності і приймається a≠1.
Обгрунтуємо доцільність умови a>0. При a = 0 за визначенням логарифму ми мали рівність , яке можливе лише за b = 0 . Але тоді log 0 0 може бути будь-яким відмінним від нуля дійсним числом, так як нуль у будь-якому відмінному від нуля ступені є нуль. Уникнути цієї багатозначності дозволяє умова a≠0. А при a<0 нам бы пришлось отказаться от рассмотрения рациональных и иррациональных значений логарифма, так как степень с рациональным и иррациональным показателем определена лишь для неотрицательных оснований. Поэтому и принимается условие a>0 .
Нарешті, умова b>0 випливає з нерівності a>0 , оскільки , а значення ступеня з позитивною основою завжди позитивно.
На закінчення цього пункту скажемо, що озвучене визначення логарифму дозволяє відразу вказати значення логарифму, коли під знаком логарифму є певний ступінь підстави. Дійсно, визначення логарифму дозволяє стверджувати, що якщо b=a p , то логарифм числа b на підставі a дорівнює p . Тобто справедливо рівність log a a p = p . Наприклад, знаємо, що 2 3 =8 , тоді log 2 8=3 . Докладніше про це ми поговоримо у статті
Визначення логарифму
Логарифмом числа b на підставі а називається показник ступеня, в який потрібно звести а щоб отримати b .
Числом ев математиці прийнято позначати межу, якої прагнути вираз
Число еє ірраціональним числом - Числом, несумірним з одиницею, воно не може бути точно вираженим ні цілим ні дробовим раціональнимчислом.
Літера е- перша літера латинського слова exponere- виставляти напоказ, звідси в математиці назва експоненційна- Показова функція.
Число ешироко застосовується в математиці, і в усіх науках, які так чи інакше застосовують для своїх потреб математичні розрахунки.
Логарифми. Властивості логарифмів
Визначення: Логарифмом позитивного числа b на підставі називається показник ступеня с, в який треба звести число а щоб отримати число b.
Основна логарифмічна тотожність:
7) Формула переходу до нової основи:
lna = log e a, e ≈ 2,718…
Завдання та тести на тему «Логорифми. Властивості логарифмів»
- Логарифми - Важливі теми для повторення ЄДІ з математики
Для успішного виконання завдань на цю тему Ви повинні знати визначення логарифму, властивості логарифмів, основну логарифмічну тотожність, визначення десяткового та натурального логарифмів. Основні типи завдань з цієї теми — це завдання на обчислення та перетворення логарифмічних виразів. Розглянемо їхнє рішення на наступних прикладах.
Рішення:Використовуючи властивості логарифмів, отримаємо
Рішення:використовуючи властивості ступеня, отримаємо
1) (2 2) log 2 5 = (2 log 2 5) 2 = 5 2 = 25
Властивості логарифмів, формулювання та докази.
Логарифми мають низку характерних властивостей. У цій статті ми розберемо основні властивості логарифмів. Тут ми дамо їх формулювання, запишемо властивості логарифмів як формул, покажемо приклади їх застосування, і навіть наведемо докази властивостей логарифмів.
Навігація на сторінці.
Основні властивості логарифмів, формули
Для зручності запам'ятовування та використання уявимо основні властивості логарифмівяк списку формул. У наступному пункті дамо їх формулювання, докази, приклади використання та необхідні пояснення.
і властивість логарифму добутку n позитивних чисел: log a (x 1 · x 2 · ... · x n) = log a x 1 +log a x 2 + ... >0, …, x n >0 .
, де a>0, a≠1, x>0, y>0.
, де a>0, a≠1, n – натуральне число, Більше одиниці, b>0.
, a>0, a≠1, b>0, b≠1.
, a>0 , a≠1 , b>0 , p і q – дійсні числа, q≠0 , зокрема при b=a маємо 
.Формулювання та докази властивостей
Переходимо до формулювання та доказу записаних властивостей логарифмів. Всі властивості логарифмів доводяться на основі визначення логарифму і основного логарифмічного тотожності, що випливає з нього, а також властивостей ступеня.
Почнемо зі властивості логарифму одиниці. Його формулювання таке: логарифм одиниці дорівнює нулю, тобто, log a 1=0для будь-якого a>0, a≠1. Доказ не викликає складнощів: оскільки a 0 =1 для будь-якого a , що задовольняє зазначеним вище умовам a>0 і a≠1 , то рівність log a 1=0 відразу випливає з визначення логарифму.
Наведемо приклади застосування розглянутої якості: log 3 1=0 , lg1=0 і .
Переходимо до наступної властивості: логарифм числа, рівного підставі, дорівнює одиниці, тобто, log a a=1при a>0, a≠1. Справді, оскільки a 1 =a для будь-якого a , то визначення логарифму log a a=1 .
Прикладами використання цієї властивості логарифмів є рівності log 5 5 = 1, log 5,6 5,6 і lne = 1 .
Логарифм ступеня числа, що дорівнює підставі логарифму, дорівнює показнику ступеня. Цій властивості логарифму відповідає формула виду log a a p = p, де a>0, a≠1 і p – будь-яке дійсне число. Ця властивість безпосередньо випливає з визначення логарифму. Зауважимо, що воно дозволяє одразу вказати значення логарифму, якщо є можливість уявити число під знаком логарифму у вигляді ступеня підстави, детальніше про це ми поговоримо у статті обчислення логарифмів.
Наприклад, log 2 2 7 =7 , lg10 -4 =-4 і 
.
Логарифм твору двох позитивних чисел x і y дорівнює добутку логарифмів цих чисел: log a (x · y) = log a x + log a y, a>0, a≠1. Доведемо властивість логарифму твору. У силу властивостей ступеня a log a x + log a y = a log a x a log a y , а так як по основному логарифмічної тотожності a log a x = x і a log a y = y , то a log a x log a y = x y. Таким чином, a log a x + log a y = x · y, звідки за визначенням логарифму випливає рівність, що доводиться.
Покажемо приклади використання властивості логарифму добутку: log 5 (2·3)=log 5 2+log 5 3 
.
Властивість логарифму твору можна узагальнити добуток кінцевого числа n позитивних чисел x 1 , x 2 , …, x n як log a (x 1 · x 2 · ... · x n) = log a x 1 + log a x 2 + ... + log a x n. Ця рівність без проблем доводиться методом математичної індукції.
Наприклад, натуральний логарифм твору можна замінити сумою трьох натуральних логарифмів чисел 4 , e , і .
Логарифм приватного двох позитивних чисел x і y дорівнює різниці логарифмів цих чисел. Властивості приватного логарифму відповідає формула виду , де a>0, a≠1, x та y – деякі позитивні числа. Справедливість цієї формули доводиться як і формула логарифму твору: оскільки 
, то за визначенням логарифму .
Наведемо приклад використання цієї властивості логарифму: 
.
Переходимо до властивості логарифму ступеня. Логарифм ступеня дорівнює добутку показника ступеня на логарифм модуля основи цього ступеня. Запишемо цю властивість логарифму ступеня у вигляді формули: log a b p = log a | b |, де a>0 , a≠1 , b та p такі числа, що ступінь b p має сенс і b p >0 .
Спочатку доведемо цю властивість для позитивних b. Основне логарифмічне тотожність дозволяє нам уявити число b як a log a b тоді b p = (a log a b) p , а отримане вираз в силу властивість ступеня дорівнює a p · log a b . Так ми приходимо до рівності b p = a p · log a b , з якого за визначенням логарифму укладаємо, що log a b p = p · log a b .
Залишилося довести цю властивість для негативних b. Тут зауважуємо, що вираз log a b p при негативних b має сенс лише при парних показниках ступеня p (оскільки значення ступеня b p має бути більшим за нуль, в іншому випадку логарифм не матиме сенсу), а в цьому випадку b p =|b| p. Тоді b p = | b | p = (a log a | b |) p = a p · log a | b | , Звідки log a b p = p log a | b | .
Наприклад, 
і ln(-3) 4 =4·ln|-3|=4·ln3 .
Із попередньої властивості випливає властивість логарифму з кореня: логарифм кореня n-ого ступеня дорівнює добутку дробу 1/n на логарифм підкореного виразу, тобто, , де a>0, a≠1,n - натуральне число, більше одиниці, b>0.
Доказ базується на рівністі (дивіться визначення ступеня з дробовим показником), яке справедливе для будь-яких позитивних b , та властивості логарифму ступеня: 
.
Ось приклад використання цієї властивості: 
.
Тепер доведемо формулу переходу до нової основи логарифмувиду 
. Для цього достатньо довести справедливість рівності log c b = log a b log c a . Основне логарифмічне тотожність дозволяє нам число b уявити як a log a b тоді log c b = log c a log a b . Залишилося скористатися властивістю логарифму ступеня: log ca log ab = log ab log ca . Так доведено рівність log c b = log a b log c a , а значить, доведено і формулу переходу до нової основи логарифму .
Покажемо кілька прикладів застосування цієї властивості логарифмів: і 
.
Формула переходу до нової основи дозволяє переходити до роботи з логарифмами, що мають «зручну» основу. Наприклад, з її допомогою можна перейти до натуральних або десяткових логарифмів, щоб можна було обчислити значення логарифму таблиці логарифмів. Формула переходу до нової основи логарифму також дозволяє в деяких випадках знаходити значення логарифму, коли відомі значення деяких логарифмів з іншими основами.
Часто використовується окремий випадокформули початку нової основи логарифма при c=b виду . Звідси видно, що log ab і log ba – взаємно зворотні числа. Наприклад, 
.
Також часто використовується формула, яка зручна при знаходженні значень логарифмів. Для підтвердження своїх слів покажемо, як з її допомогою обчислюється значення логарифму . Маємо 
. Для доказу формули достатньо скористатися формулою переходу до нової основи логарифму: 
.
Залишилося довести властивості порівняння логарифмів.
Скористаємося методом від неприємного. Припустимо, що за a 1 >1 , a 2 >1 і a 1 2 і за 0 1 справедливо log a 1 b≤log a 2 b . За властивостями логарифмів ці нерівності можна переписати як 
і 
відповідно, а з них випливає, що log b a 1 ≤ log b a 2 і log b a 1 ≥ log b a 2 відповідно. Тоді за властивостями ступенів з однаковими основами повинні виконуватися рівності b log b a 1 b log b a 2 і b log b a 1 b log b a 2 , тобто, a 1 a 2 . Так ми дійшли суперечності умові a 1 2 . На цьому доказ завершено.
Основні властивості логарифмів
- Матеріали до уроку
- Завантажити всі формули
- log a x n = n · log a x;
Логарифми, як і будь-які числа, можна складати, віднімати та всіляко перетворювати. Але оскільки логарифми – це не зовсім звичайні числа, тут є свої правила, які називаються основними властивостями.
Ці правила обов'язково треба знати – без них не вирішується жодне серйозне логарифмічне завдання. До того ж їх зовсім небагато - все можна вивчити за один день. Отже, почнемо.
Додавання та віднімання логарифмів
Розглянемо два логарифми з однаковими основами: log a x та log a y . Тоді їх можна складати і віднімати, причому:
Отже, сума логарифмів дорівнює логарифму добутку, а різниця - приватного логарифму. Зверніть увагу: ключовий момент тут - однакові підстави. Якщо підстави різні, ці правила не працюють!
Ці формули допоможуть обчислити логарифмічний вираз навіть тоді, коли окремі його частини не рахуються (див. урок «Що таке логарифм»). Погляньте на приклади – і переконайтесь:
Завдання. Знайдіть значення виразу: log 6 4 + log 6 9.
Оскільки підстави у логарифмів однакові, використовуємо формулу суми:
log 6 4 + log 6 9 = log 6 (4 · 9) = log 6 36 = 2.
Завдання. Знайдіть значення виразу: log 2 48 − log 2 3.
Підстави однакові, використовуємо формулу різниці:
log 2 48 − log 2 3 = log 2 (48: 3) = log 2 16 = 4.
Завдання. Знайдіть значення виразу: log 3 135 − log 3 5.
Знову підстави однакові, тому маємо:
log 3 135 − log 3 5 = log 3 (135: 5) = log 3 27 = 3.
Як бачите, вихідні вирази складені з поганих логарифмів, які окремо не вважаються. Але після перетворень виходять цілком нормальні числа. На цьому факті побудовано багато контрольні роботи. Так що контрольні – подібні висловлювання на повному серйозі (іноді – практично без змін) пропонуються на ЄДІ.
Винесення показника ступеня з логарифму
Тепер трохи ускладнимо завдання. Що, якщо у підставі чи аргументі логарифма стоїть ступінь? Тоді показник цього ступеня можна винести за знак логарифму за такими правилами:
Неважко помітити, що останнє правило слідує їх перших двох. Але краще його все ж таки пам'ятати - в деяких випадках це значно скоротить обсяг обчислень.
Зрозуміло, всі ці правила мають сенс за дотримання ОДЗ логарифму: a > 0, a ≠ 1, x > 0. І ще: вчитеся застосовувати всі формули як зліва направо, а й навпаки, тобто. можна вносити числа, що стоять перед знаком логарифму, до самого логарифму. Саме це найчастіше й потрібне.
Завдання. Знайдіть значення виразу: log 7 49 6 .
Позбавимося ступеня в аргументі за першою формулою:
log 7 49 6 = 6 · log 7 49 = 6 · 2 = 12
Завдання. Знайдіть значення виразу:
[Підпис до малюнка]
Зауважимо, що у знаменнику стоїть логарифм, основа та аргумент якого є точними ступенями: 16 = 2 4 ; 49 = 7 2 . Маємо:
[Підпис до малюнка]
Думаю, до останнього прикладу потрібні пояснення. Куди зникли логарифми? До останнього моменту ми працюємо лише зі знаменником. Представили підставу і аргумент логарифму, що там стоїть, у вигляді ступенів і винесли показники - отримали «триповерховий» дріб.
Тепер подивимося на основний дріб. У чисельнику і знаменнику стоїть те саме число: log 2 7. Оскільки log 2 7 ≠ 0, можемо скоротити дріб - у знаменнику залишиться 2/4. За правилами арифметики, четвірку можна перенести в чисельник, що було зроблено. В результаті вийшла відповідь: 2.
Перехід до нової основи
Говорячи про правила складання та віднімання логарифмів, я спеціально підкреслював, що вони працюють лише за однакових підстав. А що, коли підстави різні? Що, якщо вони не є точними ступенями того самого числа?
На допомогу приходять формули переходу до нової основи. Сформулюємо їх як теореми:
Нехай даний логарифм log a x . Тоді для будь-якого числа c такого, що c > 0 і c ≠ 1, правильна рівність:
[Підпис до малюнка]
Зокрема, якщо покласти c = x, отримаємо:
[Підпис до малюнка]
З другої формули випливає, що можна міняти місцями основу та аргумент логарифму, але при цьому весь вислів «перевертається», тобто. логарифм опиняється у знаменнику.
Ці формули рідко зустрічається у звичайних числових виразах. Оцінити, наскільки вони зручні, можна лише при розв'язанні логарифмічних рівнянь та нерівностей.
Втім, існують завдання, які взагалі не вирішуються інакше як переходом до нової основи. Розглянемо пару таких:
Завдання. Знайдіть значення виразу: log 5 16 · log 2 25.
Зауважимо, що в аргументах обох логарифмів стоять точні ступені. Винесемо показники: log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2; log 2 25 = log 2 5 2 = 2log 2 5;
А тепер «перевернемо» другий логарифм:
[Підпис до малюнка]
Оскільки від перестановки множників твір не змінюється, ми спокійно перемножили четвірку та двійку, а потім розібралися з логарифмами.
Завдання. Знайдіть значення виразу: log 9 100 · lg 3.
Підстава та аргумент першого логарифму – точні ступені. Запишемо це і позбудемося показників:
[Підпис до малюнка]
Тепер позбудемося десяткового логарифму, перейшовши до нової основи:
[Підпис до малюнка]
Основне логарифмічне тотожність
Часто в процесі рішення потрібно представити число як логарифм на задану основу. У цьому випадку нам допоможуть формули:
- n = log a a n
-
У першому випадку число n стає показником ступеня, що стоїть у аргументі. Число n може бути абсолютно будь-яким, адже це просто значення логарифму.
Друга формула – це фактично перефразоване визначення. Вона так і називається: основна логарифмічна тотожність.
Справді, що буде, якщо число b звести на такий ступінь, що число b у цій мірі дає число a ? Правильно: вийде це число a . Уважно прочитайте цей абзац ще раз – багато хто на ньому «зависає».
Подібно до формул переходу до нової основи, основна логарифмічна тотожність іноді буває єдино можливим рішенням.
[Підпис до малюнка]
Зауважимо, що log 25 64 = log 5 8 - просто винесли квадрат із підстави та аргументу логарифму. Враховуючи правила множення ступенів з однаковою основою, отримуємо:
[Підпис до малюнка]
Якщо хтось не в курсі, це було справжнє завдання з ЄДІ 🙂
Логарифмічна одиниця та логарифмічний нуль
Насамкінець наведу дві тотожності, які складно назвати властивостями - швидше, це наслідки з визначення логарифму. Вони постійно зустрічаються у завданнях і, що дивно, створюють проблеми навіть для «просунутих» учнів.
- log a a = 1 – це логарифмічна одиниця. Запам'ятайте раз і назавжди: логарифм з будь-якої основи a від самої цієї основи дорівнює одиниці.
- log a 1 = 0 – це логарифмічний нуль. Підстава a може бути будь-яким, але якщо в аргументі стоїть одиниця - логарифм дорівнює нулю! Тому що a 0 = 1 - це прямий наслідок визначення.
Ось і всі властивості. Обов'язково потренуйтеся застосовувати їх на практиці! Завантажте шпаргалку на початку уроку, роздрукуйте її – і вирішуйте завдання.
Логарифм. Властивості логарифму (складання та віднімання).
Властивості логарифмувипливають із його визначення. І так логарифм числа bна підставі авизначається як показник ступеня, в який треба звести число a, щоб отримати число b(Логарифм існує тільки у позитивних чисел).
З цього формулювання випливає, що обчислення x=log a b, рівнозначне рішенню рівняння a x = b.Наприклад, log 2 8 = 3тому що 8 = 2 3 . Формулювання логарифму дає можливість довести, що якщо b=a з, то логарифм числа bна підставі aдорівнює з. Також ясно, що тема логарифмування тісно пов'язана з темою ступеня числа.
З логарифмами, як і з будь-якими числами, можна виконувати операції складання, відніманняі всіляко трансформувати. Але через те, що логарифми — це не зовсім ординарні числа, тут застосовні свої особливі правила, які називаються основними властивостями.
Складання та віднімання логарифмів.
Візьмемо два логарифми з однаковими підставами: log a xі log a y. Тоді зними можна виконувати операції складання та віднімання:
Як бачимо, сума логарифмівдорівнює логарифму твору, а різниця логарифмів- Логарифму приватного. Причому це правильно якщо числа ахі упозитивні та а ≠ 1.
Важливо звертати увагу, що основним аспектом даних формулах виступають одні й самі підстави. Якщо підстави відрізняються одна від одної, ці правила не застосовуються!
Правила складання та віднімання логарифмів з однаковими підставами читаються не тільки зліва на право, а й на оборот. В результаті ми маємо теореми логарифму твору та логарифму приватного.
Логарифм творудвох позитивних чисел дорівнює сумі їх логарифмів ; перефразовуючи цю теорему отримаємо наступне, якщо числа а, xі упозитивні та а ≠ 1, то:
Логарифм приватногодвох позитивних чисел дорівнює різниці логарифмів ділимого та дільника. Говорячи інакше, якщо числа а, хі упозитивні та а ≠ 1, то:
Застосуємо вищевикладені теореми на вирішення прикладів:
Якщо числа xі унегативні, то формула логарифму творустає безглуздою. Так, заборонено писати:
оскільки вирази log 2 (-8) та log 2 (-4) взагалі не визначені (логарифмічна функція у= log 2 хвизначено лише для позитивних значень аргументу х).
Теорема творузастосовна як для двох, але й необмеженого числа сомножителей. Це означає, що для будь-якого натурального kта будь-яких позитивних чисел x 1 , x 2 , . . . ,x nіснує тотожність:
З теореми логарифму приватногоможна отримати ще одну властивість логарифму. Загальновідомо, що log a 1= 0, отже,
А значить має місце рівність:
Логарифми двох взаємно зворотних чиселпо тому самому підставі будуть різні друг від друга виключно знаком. Так:
Логарифм. Властивості логарифмів
Логарифм. Властивості логарифмів
Розглянемо рівність. Нехай нам відомі значення і ми хочемо знайти значення.
Тобто ми шукаємо показник ступеня, в який потрібно звести, щоб отримати .
Нехай
змінна може приймати будь-яке дійсне значення, тоді на змінні та накладаються такі обмеження: o» title=»a>o»/> , 1»Якщо нам відомі значення і , і перед нами стоїть завдання знайти невідоме , то для цього вводиться математична дія, Яке називається логарифмування.
Щоб знайти значення, ми беремо логарифм числапо підставі :
Логарифмом числа на підставі називається показник ступеня, в який треба звести, щоб отримати .
Тобто основне логарифмічне тотожність:
o» title=»a>o»/> , 1″ title=»a1″/>, 0″ title=»b>0″/>
є по суті математичним записом визначення логарифму.
Математична операція логарифмування є зворотною по відношенню до операції зведення в ступінь, тому властивості логарифмівтісно пов'язані з властивостями ступеня.
Перерахуємо основні властивості логарифмів:
(o» title=»a>o»/> , 1″ title=»a1″/>, 0″ title=»b>0″/>, 0,
d>0″/>, 1″ title=”d1″/>
4.
5.
Наступна група властивостей дозволяє представити показник ступеня виразу, що стоїть під знаком логарифму, або стоїть на підставі логарифму як коефіцієнт перед знаком логарифму:
6.
7.
8.
9.
Наступна група формул дозволяє перейти від логарифму з цією основою до логарифму з довільною основою, і називається формулами переходу до нової основи:
10.
12. (наслідок з якості 11)
Наступні три властивості не дуже відомі, однак вони часто використовуються при вирішенні логарифмічних рівнянь або при спрощенні виразів, що містять логарифми:
13.
14.
15.
Приватні випадки:
— десятковий логарифм
— натуральний логарифмПри спрощенні виразів, що містять логарифми, застосовується загальний підхід:
1. Представляємо десяткові дробияк звичайних.
2. Змішані числа подаємо у вигляді неправильних дробів.
3. Числа, що стоять на підставі логарифму та під знаком логарифму розкладаємо на прості множники.
4. Намагаємось привести всі логарифми до однієї основи.
5. Застосовуємо властивості логарифмів.
Давайте розглянемо приклади спрощення виразів, що містять логарифми.
приклад 1.
Обчислити:
Спростимо всі показники ступенів: наше завдання привести їх до логарифмів, в основі яких стоїть те ж число, що й у підставі ступеня.
==(за якістю 7)=(за якістю 6) =
Підставимо показники, які у нас вийшли у вихідний вираз. Отримаємо:
Відповідь: 5,25
Приклад 2. Обчислити:
Приведемо всі логарифми до основи 6 (при цьому логарифми зі знаменника дробу «перекочують» до чисельника):
Розкладемо числа, що стоять під знаком логарифму на прості множники:
Застосуємо властивості 4 та 6:
Введемо заміну
Отримаємо:
Відповідь: 1
Логарифм . Основна логарифмічна тотожність.
Властивості логарифмів. Десятковий логарифм. Натуральний логарифм.
Логарифмом позитивного числа N на підставі (b > 0, b 1) називається показник ступеня x , в яку потрібно звести b щоб отримати N .
Цей запис рівнозначний наступному: b x = N .
Приміри: log 3 81 = 4 , так як 3 4 = 81 ;
log 1/3 27 = – 3, оскільки (1/3) - 3 = 3 3 = 27.
Наведене вище визначення логарифму можна записати у вигляді тотожності:
Основні властивості логарифмів.
2) log 1 = 0, так як b 0 = 1 .
3) Логарифм твору дорівнює сумі логарифмів співмножників:
4) Логарифм приватного дорівнює різниці логарифмів діленого та дільника:
5) Логарифм ступеня дорівнює добутку показника ступеня на логарифм її основи:
Наслідком цієї властивості є таке: логарифм кореня дорівнює логарифму підкореного числа, поділеному на ступінь кореня:
6) Якщо на підставі логарифму знаходиться ступінь, то величину, зворотний показник ступеня, можна винести за знак лога риму:
Два останні властивості можна поєднати в одне:
7) Формула модуля переходу (т. e. переходу від однієї основи логарифму до іншої основи):
В окремому випадку при N = aмаємо:
Десятичним логарифмом називається логарифм з основи 10. Він позначається lg, тобто. log 10 N= lg N. Логарифми чисел 10, 100, 1000, . p авни відповідно 1, 2, 3, …, тобто. мають стільки позитивних
одиниць, скільки нулів стоїть у логарифмованій кількості після одиниці. Логарифми чисел 0.1, 0.01, 0.001, . p авни відповідно –1, –2, –3, …, тобто. мають стільки негативних одиниць, скільки нулів стоїть в логарифмується перед одиницею (вважаючи і нуль цілих). Логарифми інших чисел мають дрібну частину, звану мантисою. Ціла частиналогарифма називається характеристикою. Для практичного застосування десяткові логарифми найбільш зручні.
Натуральним логарифмом називається логарифм з основи е. Він позначається ln, тобто. log e N= ln N. Число еє ірраціональним, його наближене значення 2.718281828. Воно є межею, якої прагне число (1 + 1 / n) nпри необмеженому зростанні n(Див. перша чудова межана сторінці "Межі числових послідовностей").
Як це здасться дивним, натуральні логарифми виявилися дуже зручними при проведенні різноманітних операцій, пов'язаних з аналізом функцій. Обчислення логарифмів на підставі ездійснюється набагато швидше, ніж з будь-якої іншої основи.
- Що потрібно сьогодні для усиновлення дитини у Росії? Усиновлення у Росії, крім відповідального особистого рішення, передбачає низку процедур державної перевірки кандидатів. Жорсткий відбір на підготовчому етапісприяє більше […]
- Відомості безкоштовно по ІПН або ОГРН з реєстру податкової по всій Росії - онлайн На Єдиному порталі Податкових послуг можуть бути отримані відомості про реєстрацію юридичних осіб, індивідуальних підприємців, […]
- Покарання за їзду без документів ( водійські права, страховка, СТС) Іноді за забудькуватістю водії сідають за кермо без ВУ та отримують штраф за їзду без документів. Нагадаємо, що автоаматор за кермом при собі в обов'язковому порядку […]
- Квіти чоловіків. Які квіти можна подарувати чоловікові? Які квіти можна подарувати чоловікові? "Чоловічих" квітів не так багато, але є такі, які дарують чоловікам. Маленький список квітів перед вами: Хризантеми. Троянди. Гвоздики. […]
- Службова записка – це спеціальна форма документа, яка використовується в внутрішньому середовищіпідприємства та служить для швидкого вирішенняпоточні виробничі проблеми. Зазвичай цей документ складається з метою внесення будь-якого […]
- Коли і як отримати накопичувальну частину пенсії у Ощадбанку? Ощадбанк є банк-партнер державного пенсійного фонду. На підставі цього громадяни, які оформили накопичувальну пенсію, могли переводити до нього накопичувальну частину […]
- Дитяча допомога в Ульяновську та Ульяновській області у 2018 році Крім того, у всіх суб'єктах працюють програми, затверджені федеральним законодавством. Розберемо, хто та на які пільги може розраховувати. Як регіональна влада […]
- Детальний посібник, як скласти довіреність на подання інтересів фізичної особи в суді У цивільному чи арбітражному позові, в адміністративній чи кримінальній справі інтереси і позивача, і відповідача можуть бути повіреним: […]
Цим відео я починаю довгу серію уроків про логарифмічні рівняння. Зараз перед вами одразу три приклади, на основі яких ми вчитимемося вирішувати найпростіші завдання, які так і називаються. найпростіші.
log 0,5 (3x − 1) = −3
lg (x + 3) = 3 + 2 lg 5
Нагадаю, що найпростішим логарифмічним рівнянням називається таке:
log a f(x) = b
При цьому важливо, щоб змінна х присутня тільки всередині аргументу, тобто тільки функції f (x ). А числа а і b є саме числами, а в жодному разі не функціями, що містять змінну х.
Основні методи вирішення
Існує безліч способів розв'язання таких конструкцій. Наприклад, більшість вчителів у школі пропонують такий спосіб: Відразу висловити функцію f(x) за формулою f ( x) = a b. Т. е. коли ви зустрічаєте найпростішу конструкцію, відразу без додаткових дійта побудов можете перейти до рішення.
Так, безумовно, рішення вийде правильним. Однак проблема цієї формули полягає в тому, що більшість учнів не розуміютьзвідки вона береться і чому саме букву а ми зводимо в букву b.
В результаті я часто спостерігаю дуже образливі помилки, коли, наприклад, ці літери змінюються місцями. Дану формулу потрібно або зрозуміти, або зубрити, причому другий спосіб призводить до помилок у найневідповідніші і найвідповідальніші моменти: на іспитах, контрольних і т. д.
Саме тому всім своїм учням я пропоную відмовитися від стандартної шкільної формули та використати для вирішення логарифмічних рівнянь другий підхід, який, як ви вже напевно здогадалися з назви, називається канонічною формою.
Ідея канонічної форми проста. Давайте ще раз подивимося на наше завдання: ліворуч у нас є log a, при цьому під буквою a мається на увазі саме число, а в жодному разі не функція, що містить змінну х. Отже, на цю літеру поширюються всі обмеження, що накладаються на основу логарифму. а саме:
1 ≠ a > 0
З іншого боку, з того ж рівняння ми бачимо, що логарифм повинен дорівнювати числу b, і ось на цю літеру жодних обмежень не накладається, тому що він може набувати будь-яких значень — як позитивних, так і негативних. Все залежить від того, які значення набуває функція f(x).
І ось тут ми згадуємо наше чудове правило, що будь-яке число b може бути представлене у вигляді логарифму на підставі а від ступеня b :
b = log a a b
Як запам'ятати цю формулу? Так, дуже просто. Давайте запишемо таку конструкцію:
b = b · 1 = b · log a a
Вочевидь, що у своїй виникають усі обмеження, які ми записали спочатку. А тепер давайте скористаємося основною властивістю логарифму, і внесемо множник b як ступінь а. Отримаємо:
b = b · 1 = b · log a a = log a a b
У результаті вихідне рівняння перепишеться у такому вигляді:
log a f (x) = log a a b → f (x) = a b
От і все. Нова функціявже не містить логарифму і вирішується стандартними прийомами алгебри.
Звичайно, хтось зараз заперечить: а навіщо взагалі було вигадувати якусь канонічну формулу, навіщо виконувати два додаткові непотрібні кроки, якщо можна було одразу перейти від вихідної конструкції до підсумкової формули? Та вже хоча б тому, що більшість учнів не розуміють, звідки береться ця формула і, як наслідок, регулярно припускаються помилок при її застосуванні.
А ось така послідовність дій, що складається з трьох кроків, дозволяє вам вирішити вихідне логарифмічне рівняння, навіть якщо ви не розумієте, звідки береться та сама підсумкова формула. До речі, канонічною формулою називається саме цей запис:
log a f(x) = log a a b
Зручність канонічної форми полягає ще й у тому, що її можна застосовувати для вирішення дуже широкого класу логарифмічних рівнянь, а не лише найпростіших, які ми сьогодні розглядаємо.
Приклади рішення
А тепер давайте розглянемо реальні приклади. Отже, вирішуємо:
log 0,5 (3x − 1) = −3
Давайте перепишемо його так:
log 0,5 (3x − 1) = log 0,5 0,5 −3
Багато учнів поспішають і намагаються одразу звести число 0,5 у ступінь, який прийшов до нас із вихідного завдання. І справді, коли ви вже добре натренуєтеся у вирішенні подібних завдань, ви можете одразу виконувати цей крок.
Однак якщо зараз ви тільки приступаєте до вивчення цієї теми, краще нікуди не поспішати, щоб не допускати образливих помилок. Отже, маємо канонічна форма. Маємо:
3x − 1 = 0,5 −3
Це вже не логарифмічне рівняння, а лінійне щодо змінної x. Щоб розв'язати його, давайте спочатку розберемося з числом 0,5 у ступені −3. Зауважимо, що 0,5 – це 1/2.
(1/2) −3 = (2/1) 3 = 8
Усі десяткові дроби переводите у звичайні, коли ви вирішуєте логарифмічне рівняння.
Переписуємо та отримуємо:
3x − 1 = 8
3x = 9
x = 3
Все, ми отримали відповідь. Перше завдання вирішено.
Друге завдання
Переходимо до другого завдання:
Як бачимо, це рівняння вже не є найпростішим. Вже хоча б тому, що ліворуч стоїть різниця, а не один-єдиний логарифм з однієї основи.
Отже, потрібно якимось чином позбутися цієї різниці. У даному випадкувсе дуже просто. Давайте уважно подивимося на підстави: зліва стоїть число під коренем:
Загальна рекомендація: у всіх логарифмічних рівняннях намагайтеся позбавитися радикалів, тобто від записів з корінням і переходити до статечних функцій, просто тому що показники цих ступенів легко виносяться за знак логарифму і в кінцевому рахунку такий запис істотно спрощує і прискорює обчислення. Ось давайте так і запишемо:
Тепер згадуємо чудову властивість логарифму: з аргументу, а також з основи можна виносити ступеня. У разі підстави відбувається таке:
log a k b = 1/k loga b
Інакше кажучи, число, яке стояло ступеня підстави, виноситься вперед і навіть перевертається, т. е. стає зворотним числом. У нашому випадку стояла ступінь основи з показником 1/2. Отже, ми можемо винести її як 2/1. Отримаємо:
5 · 2 log 5 x − log 5 x = 18
10 log 5 x − log 5 x = 18
Зверніть увагу: у жодному разі не можна позбавлятися логарифмів на цьому кроці. Згадайте математику 4—5 класу та порядок дій: спочатку виконується множення, а лише потім — додавання та віднімання. В даному випадку ми з 10 елементів віднімаємо один такий:
9 log 5 x = 18
log 5 x = 2
Тепер наше рівняння виглядає як слід. Це найпростіша конструкція, і ми вирішуємо її за допомогою канонічної форми:
log 5 x = log 5 5 2
x = 5 2
x = 25
От і все. Друге завдання вирішено.
Третій приклад
Переходимо до третього завдання:
lg (x + 3) = 3 + 2 lg 5
Нагадаю таку формулу:
lg b = log 10 b
Якщо вас з якихось причин бентежить запис lg b, то при виконанні всіх обчислень ви можете записати просто log 10 b. З десятковими логарифмами можна працювати так само, як і з іншими: виносити ступеня, складати та подавати будь-які числа у вигляді lg 10.
Ось саме цими властивостями ми зараз і скористаємося для вирішення завдання, оскільки вона не є найпростішою, яку ми записали на початку нашого уроку.
Для початку зауважимо, що множник 2, що стоїть перед lg 5, може бути внесений і стане ступенем основи 5. Крім того, вільний доданок 3 також представимо у вигляді логарифму - це дуже легко спостерігати з нашого запису.
Судіть самі: будь-яке число можна подати у вигляді log на підставі 10:
3 = log 10 10 3 = lg 10 3
Перепишемо вихідне завдання з урахуванням отриманих змін:
lg (x − 3) = lg 1000 + lg 25
lg (x − 3) = lg 1000 · 25
lg (x − 3) = lg 25 000
Перед нами знову канонічна форма, причому ми отримали її, минаючи стадію перетворень, тобто найпростіше логарифмічне рівняння ми ніде не спливало.
Саме про це я й говорив на початку уроку. Канонічна форма дозволяє вирішувати ширший клас завдань, ніж стандартна шкільна формула, яку пропонують більшість шкільних вчителів.
Ну і все, позбавляємося знаку десяткового логарифму, і отримуємо просту лінійну конструкцію:
x + 3 = 25000
x = 24997
Всі! Завдання вирішено.
Зауваження щодо області визначення
Тут би хотілося навести важливе зауваження щодо області визначення. Напевно зараз знайдуться учні та вчителі, які скажуть: «Коли ми вирішуємо висловлювання з логарифмами, необхідно обов'язково пам'ятати, що аргумент f(x) має бути більшим за нуль!» У зв'язку з цим виникає логічне питання: чому в жодному з розглянутих завдань ми не вимагали, щоб ця нерівність виконувалася?
Не хвилюйтесь. Жодного зайвого коріння в цих випадках не виникне. І це ще одна чудова хитрість, що дозволяє прискорити рішення. Просто знайте, що якщо в задачі змінна х зустрічається лише в одному місці (а точніше - в одному-єдиному аргументі одного-єдиного логарифму), і більше ніде в нашому випадку немає змінної х, то записувати область визначення не потрібнотому, що вона буде виконуватися автоматично.
Судіть самі: у першому рівнянні ми отримали, що 3х - 1, тобто аргумент має дорівнювати 8. Це автоматично означає, що 3х - 1 буде більше нуля.
З тим самим успіхом ми можемо записати, що в другому випадку х повинен дорівнювати 5 2 , тобто він свідомо більше за нуль. А в третьому випадку, де х + 3 = 25 000, тобто знову ж таки свідомо більше нуля. Іншими словами, область визначення виконується автоматично, але лише за умови, що х зустрічається лише в аргументі лише одного логарифму.
Ось і все, що потрібно знати для вирішення найпростіших завдань. Вже одне це правило разом із правилами перетворення дозволить вам вирішувати дуже широкий клас завдань.
Але будьмо чесними: для того, щоб остаточно розібратися з цим прийомом, щоб навчитися застосовувати канонічну форму логарифмічного рівняння, недостатньо просто подивитися один відеоурок. Тому прямо зараз завантажте варіанти для самостійного рішення, які додаються до цього відеоуроку та почніть вирішувати хоча б одну з цих двох самостійних робіт.
Часу у вас піде буквально кілька хвилин. А ось ефект від такого навчання буде набагато вищим у порівнянні з тим, якби ви просто переглянули даний відеоурок.
Сподіваюся, цей урок допоможе вам розібратися з логарифмічними рівняннями. Застосовуйте канонічну форму, спрощуйте висловлювання за допомогою правил роботи з логарифмами — і жодні завдання вам не будуть страшні. А в мене сьогодні все.
Облік області визначення
Тепер поговоримо про область визначення логарифмічної функції, а також про те, як це впливає на розв'язання логарифмічних рівнянь. Розглянемо конструкцію виду
log a f(x) = b
Такий вираз називається найпростішим - у ньому лише одна функція, а числа а і b - це саме числа, а в жодному разі не функція, яка залежить від змінної х. Вирішується воно дуже просто. Достатньо лише використати формулу:
b = log a a b
Дана формула є однією з ключових властивостей логарифму, і при підстановці в наш вихідний вираз ми отримаємо наступне:
log a f(x) = log a a b
f(x) = a b
Це вже знайома формула зі шкільних підручників. У багатьох учнів напевно виникне питання: оскільки у вихідному вираженні функція f (x ) стоїть під знаком log, на неї накладаються такі обмеження:
f(х) > 0
Це обмеження діє оскільки логарифм від негативних чисел немає. То, можливо, внаслідок цього обмеження слід запровадити перевірку на відповіді? Можливо, їх треба підставляти у вихідник?
Ні, у найпростіших логарифмічних рівняннях додаткова перевірка зайва. І ось чому. Погляньте на нашу підсумкову формулу:
f(x) = a b
Справа в тому, що число а в будь-якому випадку більше 0 - ця вимога також накладається логарифмом. Число а є основою. При цьому кількість b ніяких обмежень не накладається. Але це й неважливо, тому що в який би ступінь ми не зводили б позитивне число, на виході ми все одно отримаємо позитивне число. Таким чином, вимога f(х) > 0 виконується автоматично.
Що дійсно варто перевіряти, то це область визначення функції, що стоїть під знаком log. Там можуть зустрічатися досить складні конструкції, і в процесі вирішення за ними обов'язково потрібно стежити. Давайте подивимося.
Перше завдання:
Перший крок: перетворимо дріб справа. Отримаємо:
Позбавляємося знаку логарифму та отримуємо звичайне ірраціональне рівняння:
З отриманого коріння нас влаштовує лише перший, тому що другий корінь менше нуля. Єдиною відповіддю буде число 9. Все, завдання вирішено. Жодних додаткових перевіроктого, що вираз під знаком логарифму більше 0, не потрібно, тому що воно не просто більше 0, а за умовою рівняння воно дорівнює 2. Отже, вимога «більше нуля» виконується автоматично.
Переходимо до другого завдання:
Тут все те саме. Переписуємо конструкцію, замінюючи трійку:
Позбавляємося знаків логарифму та отримуємо ірраціональне рівняння:
Зводимо обидві частини в квадрат з урахуванням обмежень та отримуємо:
4 − 6x − x 2 = (x − 4) 2
4 − 6x − x 2 = x 2 + 8x + 16
x 2 + 8x + 16 −4 + 6x + x 2 = 0
2x 2 + 14x + 12 = 0 |:2
x 2 + 7x + 6 = 0
Вирішуємо отримане рівняння через дискримінант:
D = 49 − 24 = 25
x 1 = −1
x 2 = −6
Але x = −6 нас не влаштовує, тому що якщо ми підставимо це число до нашої нерівності, то отримаємо:
−6 + 4 = −2 < 0
У нашому випадку потрібно, щоб було більше, ніж 0 або в крайньому випадкуодно. А ось x = −1 нам підходить:
−1 + 4 = 3 > 0
Єдиною відповіддю у нашому випадку буде x = −1. Ось і все рішення. Давайте повернемося до самого початку наших обчислень.
Основний висновок із цього уроку: перевіряти обмеження для функції у найпростіших логарифмічних рівняннях не потрібно. Тому що в процесі вирішення всі обмеження виконуються автоматично.
Однак це в жодному разі не означає, що про перевірку можна взагалі забути. У процесі роботи над логарифмічним рівнянням цілком може перейти в ірраціональне, в якому будуть свої обмеження та вимоги до правої частини, в чому ми сьогодні переконалися на двох різних прикладах.
Сміливо вирішуйте такі завдання та будьте особливо уважні, якщо в аргументі стоїть корінь.
Логарифмічні рівняння з різними підставами
Продовжуємо вивчати логарифмічні рівняння та розберемо ще два досить цікаві прийоми, за допомогою яких модно вирішувати складніші конструкції. Але для початку згадаємо, як вирішуються найпростіші завдання:
log a f(x) = b
У цьому записі а і b є саме числами, а функції f (x ) повинна бути змінна х, і тільки там, тобто х повинен знаходитися тільки в аргументі. Перетворювати такі логарифмічні рівняння ми за допомогою канонічної форми. Для цього зауважимо, що
b = log a a b
Причому a b це саме аргумент. Давайте перепишемо цей вислів так:
log a f(x) = log a a b
Ми саме цього і домагаємося, щоб і ліворуч, і праворуч стояв логарифм на підставі а. У цьому випадку ми можемо, образно кажучи, закреслити знаки log, а з точки зору математики ми можемо сказати, що ми прирівнюємо аргументи:
f(x) = a b
В результаті ми отримаємо новий вираз, який вирішуватиметься набагато простіше. Давайте застосуємо це правило до наших сьогоднішніх завдань.
Отже, перша конструкція:
Насамперед, зазначу, що справа стоїть дріб, у знаменнику якого знаходиться log. Коли ви бачите такий вираз, не зайвим буде згадати чудову властивість логарифмів:
Перекладаючи російською мовою, це означає, що будь-який логарифм може бути представлений у вигляді приватного двох логарифмів з будь-якою основою с. Зрозуміло, 0< с ≠ 1.
Так ось: у цієї формули є один чудовий окремий випадок, коли змінна з дорівнює змінній b. У цьому випадку ми отримаємо конструкцію виду:
Саме таку конструкцію ми спостерігаємо від знаку праворуч у нашому рівнянні. Давайте замінимо цю конструкцію на log a b, отримаємо:
Іншими словами, у порівнянні з вихідним завданням, ми поміняли місцями аргумент та основу логарифму. Натомість нам довелося перевернути дріб.
Згадуємо, що будь-який ступінь можна виносити з основи за таким правилом:
Іншими словами, коефіцієнт k, який є ступенем основи, виноситься як перевернутий дріб. Давайте винесемо її як перевернутий дріб:
Дробний множник не можна залишати спереду, тому що в цьому випадку ми не зможемо представити цей запис як канонічну форму (адже в канонічній формі перед другим логарифмом додатковий множник не варто). Отже, давайте внесемо дріб 1/4 у аргумент у вигляді ступеня:
Тепер ми прирівнюємо аргументи, підстави яких однакові (а підстави у нас дійсно однакові), та записуємо:
x + 5 = 1
x = −4
От і все. Ми отримали відповідь до першого логарифмічного рівняння. Зверніть увагу: у вихідному завданні змінна х зустрічається лише в одному log, причому стоїть у його аргументі. Отже, перевіряти область визначення не потрібно, і наше число х = −4 є дійсно відповіддю.
Тепер переходимо до другого виразу:
lg 56 = lg 2 log 2 7 − 3lg (x + 4)
Тут крім звичайних логарифмів нам доведеться працювати з lg f (x ). Як розв'язувати таке рівняння? Непідготовленому учневі може здатися, що це якась бляха, але насправді все вирішується елементарно.
Уважно подивіться на доданок lg 2 log 2 7. Що ми можемо про нього сказати? Підстави та аргументи log і lg збігаються, і це має наводити на деякі думки. Давайте ще раз пригадаємо, як виносяться ступені з-під знака логарифму:
log a b n = nlog a b
Іншими словами, те, що було ступенем при числі b в аргументі, стає множником перед самим log. Давайте застосуємо цю формулу для вираження lg 2 log 2 7. Нехай вас не лякає lg 2 - це звичайнісінький вираз. Можна переписати його так:
Для нього справедливі всі правила, які діють будь-якого іншого логарифму. Зокрема, множник, що стоїть попереду, можна внести до міри аргументу. Давайте запишемо:
Дуже часто учні впритул не бачать цієї дії, тому що погано вносити один log під знак іншого. Насправді нічого кримінального у цьому немає. Більш того, ми отримуємо формулу, яка легко вважається, якщо пам'ятати важливе правило:
Цю формулу можна розглядати і як визначення, і як одну з його властивостей. У будь-якому випадку, якщо ви перетворюєте логарифмічне рівняння, цю формулу ви повинні знати так само, як і уявлення будь-якого числа у вигляді log.
Повертаємось до нашого завдання. Переписуємо його з урахуванням того факту, що перший доданок праворуч від знака рівності буде дорівнює просто lg 7. Маємо:
lg 56 = lg 7 − 3lg (x + 4)
Давайте перенесемо lg 7 вліво, отримаємо:
lg 56 − lg 7 = −3lg (x + 4)
Віднімаємо вирази зліва, тому що вони мають одну й ту саму основу:
lg (56/7) = −3lg (x + 4)
Тепер уважно подивимося на рівняння, яке ми отримали. Воно практично є канонічною формою, проте справа є множник −3. Давайте внесемо його до аргументу правого lg:
lg 8 = lg (x + 4) −3
Перед нами канонічна форма логарифмічного рівняння, тому викреслюємо знаки lg і прирівнюємо аргументи:
(x + 4) −3 = 8
x + 4 = 0,5
От і все! Ми вирішили друге логарифмічне рівняння. При цьому жодних додаткових перевірок не потрібно, тому що у вихідному завданні х був присутній лише в одному аргументі.
Перелічу ще раз ключові моменти цього уроку.
Головна формула, яка вивчається у всіх уроках на цій сторінці, присвяченій розв'язанню логарифмічних рівнянь, – це канонічна форма. І нехай вас не лякає те, що у більшості шкільних підручників вас вчать вирішувати подібні завдання по-іншому. Даний інструмент працює дуже ефективно і дозволяє вирішувати набагато ширший клас завдань, ніж найпростіші, які ми вивчали на початку нашого уроку.
Крім того, для вирішення логарифмічних рівнянь корисно знатиме основні властивості. А саме:
- Формулу переходу до однієї основи та окремий випадок, коли ми перевертаємо log (це дуже знадобилося нам у першому завданні);
- Формулу внесення та винесення ступенів з-під знака логарифму. Тут багато учнів зависають і впритул не бачать, що ступінь, що виноситься і вноситься, сам може містити log f (x ). Нічого страшного у цьому немає. Ми можемо вносити один log на знак іншого і при цьому суттєво спрощувати розв'язання задачі, що ми й спостерігаємо у другому випадку.
У висновку хотів би додати, що перевіряти область визначення у кожному з цих випадках не потрібно, тому що скрізь змінна х є тільки в одному знаку log, і при цьому знаходиться в його аргументі. Як наслідок, всі вимоги області визначення виконуються автоматично.
Завдання зі змінною основою
Сьогодні ми розглянемо логарифмічні рівняння, які для багатьох учнів здаються нестандартними, а то й зовсім нерозв'язними. Йдеться про висловлювання, на основі яких стоять не числа, а змінні і навіть функції. Вирішувати такі конструкції ми за допомогою нашого стандартного прийому, а саме через канонічну форму.
Для початку пригадаємо, як вирішуються найпростіші завдання, на основі яких стоять звичайні числа. Отже, найпростішою називається конструкція виду
log a f(x) = b
Для вирішення таких завдань ми можемо використати таку формулу:
b = log a a b
Переписуємо наш вихідний вираз і отримуємо:
log a f(x) = log a a b
Потім ми прирівнюємо аргументи, тобто записуємо:
f(x) = a b
Таким чином, ми позбавляємося знаку log і вирішуємо вже звичайне завдання. При цьому одержані при вирішенні корені і будуть корінням вихідного логарифмічного рівняння. Крім того, запис, коли і ліворуч, і праворуч стоїть по тому самому логарифму з однією і тією ж підставою, якраз і називається канонічною формою. Саме до такого запису ми намагатимемося звести сьогоднішні конструкції. Тож поїхали.
Перше завдання:
log x − 2 (2x 2 − 13x + 18) = 1
Замінюємо 1 на log x − 2 (x − 2) 1 . Той ступінь, який ми спостерігаємо в аргументу, це, насправді, то число b, яке стояло праворуч від знака рівності. Таким чином, перепишемо наш вираз. Отримаємо:
log x − 2 (2x 2 − 13x + 18) = log x − 2 (x − 2)
Що ми бачимо? Перед нами канонічна форма логарифмічного рівняння, тому ми можемо сміливо прирівняти аргументи. Отримаємо:
2x 2 − 13x + 18 = x − 2
Але на цьому рішення не закінчується, тому що дане рівняння не рівнозначне вихідному. Адже отримана конструкція складається з функцій, які визначені по всій числовій прямій, а наші вихідні логарифми визначені не скрізь і не завжди.
Тому ми маємо окремо записати область визначення. Давайте не мудруватимемо і для початку запишемо всі вимоги:
По-перше, аргумент кожного з логарифмів повинен бути більшим за 0:
2x 2 − 13x + 18 > 0
x − 2 > 0
По-друге, основа має бути не тільки більше 0, але і відмінно від 1:
x − 2 ≠ 1
У результаті отримаємо систему:
Але ви не лякайтеся: при обробці логарифмічних рівнянь таку систему можна значно спростити.
Судіть самі: з одного боку, від нас потрібно, щоб квадратична функція була більша за нуль, а з іншого боку — ця квадратична функція прирівнюється до якогось лінійного виразу, від якого також потрібно, щоб воно було більше за нуль.
У такому разі, якщо ми вимагаємо, щоб x − 2 > 0, то автоматично буде виконуватись і вимога 2x 2 − 13x + 18 > 0. Тому ми можемо сміливо закреслити нерівність, що містить квадратичну функцію. Таким чином, кількість виразів, що міститься у нашій системі, зменшиться до трьох.
Зрозуміло, з тим самим успіхом ми могли б закреслити і лінійну нерівність, тобто викреслити x − 2 > 0 і вимагати, щоб 2x 2 − 13x + 18 > 0. Але погодьтеся, що вирішити найпростішу лінійну нерівність набагато швидше та простіше, ніж квадратичне, нехай навіть за умови, що в результаті вирішення всієї цієї системи ми отримаємо одне і те ж коріння.
Загалом, наскільки можна намагайтеся оптимізувати обчислення. І у випадку з логарифмічними рівняннями викреслюйте найскладніші нерівності.
Давайте перепишемо нашу систему:
Ось така система із трьох висловів, із двома з яких ми, по суті, вже розібралися. Давайте окремо випишемо квадратне рівнянняі вирішимо його:
2x 2 − 14x + 20 = 0
x 2 − 7x + 10 = 0
Перед нами наведений квадратний тричлен і ми можемо скористатися формулами Вієта. Отримаємо:
(х - 5) (х - 2) = 0
x 1 = 5
x 2 = 2
А тепер повертаємося до нашої системи і виявляємо, що х = 2 нас не влаштовує, тому що від нас вимагається, щоб х був більшим, ніж 2.
А ось х = 5 нас цілком влаштовує: число 5 більше, ніж 2, і при цьому 5 не дорівнює 3. Отже, єдиним рішенням даної системи буде х = 5.
Все завдання вирішено, в т. ч. з урахуванням ОДЗ. Переходимо до другого рівняння. Тут на нас чекають більш цікаві та змістовні викладки:
Перший крок: як і минулого разу, наводимо всю цю справу до канонічної форми. Для цього число 9 ми можемо записати так:
Підставу з коренем можна не чіпати, а ось аргумент краще перетворити. Давайте перейдемо від кореня до рівня з раціональним показником. Запишемо:
Давайте я не переписуватиму все наше велике логарифмічне рівняння, а просто відразу прирівняю аргументи:
x 3 + 10x 2 + 31x + 30 = x 3 + 9x 2 + 27x + 27
x 2 + 4x + 3 = 0
Перед нами знову наведений квадратний тричлен, скористаємося формулами Вієта і запишемо:
(х + 3) (х + 1) = 0
x 1 = −3
x 2 = −1
Отже, ми одержали коріння, але ніхто нам не гарантував, що вони підійдуть до початкового логарифмічного рівняння. Адже знаки log накладають додаткові обмеження (тут ми мали б записати систему, але через громіздкість всієї конструкції я вирішив порахувати область визначення окремо).
Насамперед згадуємо, що аргументи мають бути більше 0, а саме:
Це і є вимоги, що накладаються областю визначення.
Відразу зауважимо, що оскільки ми прирівнюємо перші два вирази системи один до одного, то будь-яке з них ми можемо викреслити. Давайте викреслимо першу, тому що вона виглядає більш загрозливо, ніж друга.
Крім того, зауважимо, що рішенням другої та третьої нерівності будуть одні й ті множини (куб якогось числа більше нуля, якщо саме це число більше нуля; аналогічно і з коренем третього ступеня — ці нерівності повністю аналогічні, тому одну з них ми можемо викреслити).
А ось із третьою нерівністю таке не пройде. Позбавимося знака радикала, що стоїть зліва, для чого зведемо обидві частини в куб. Отримаємо:
Отже, ми отримуємо такі вимоги:
− 2 ≠ x > −3
Яке з наших коренів: x 1 = −3 або x 2 = −1 відповідає цим вимогам? Очевидно, що тільки х = −1, тому що х = −3 не задовольняє першу нерівність (бо нерівність у нас сувора). Отже, повертаючись до нашого завдання, ми отримуємо один корінь: х = −1. Ось і все, завдання вирішено.
Ще раз ключові моменти цієї задачі:
- Не соромтеся застосовувати та вирішувати логарифмічні рівняння за допомогою канонічної форми. Учні, які роблять такий запис, а не переходять безпосередньо від вихідного завдання до конструкції типу log a f (x ) = b допускають набагато менше помилок, ніж ті, які кудись поспішають, пропускаючи проміжні кроки обчислень;
- Як тільки в логарифмі з'являється змінна основа, завдання перестає бути найпростішим. Отже, при його вирішенні необхідно враховувати область визначення: аргументи повинні бути більшими за нуль, а підстави — не тільки більше 0, але ще вони не повинні дорівнювати 1.
Накладати останні вимоги на підсумкові відповіді можна по-різному. Наприклад, можна вирішувати цілу систему, що містить усі вимоги до області визначення. З іншого боку, можна спочатку вирішити саме завдання, а потім згадати область визначення, окремо пропрацювати її у вигляді системи і накласти на отримані корені.
Який спосіб вибирати при вирішенні конкретного логарифмічного рівняння вирішувати тільки вам. У будь-якому випадку відповідь вийде та сама.
Loading...