Примітка. Це частина уроку із завданнями з геометрії (розділ паралелограм). Якщо Вам необхідно вирішити задачу геометрії, якої тут немає - пишіть про це у форумі. Для позначення дії вилучення квадратного кореняу розв'язках задач використовується символ √ або sqrt(), причому у дужках зазначено підкорене вираз.
Теоретичний матеріал
Пояснення до формул знаходження площі паралелограма:
- Площа паралелограма дорівнює добутку довжини однієї з його сторін на висоту, опущену на цей бік
- Площа паралелограма дорівнює добутку двох його суміжних сторін на синус кута між ними
- Площа паралелограма дорівнює половині твору його діагоналей на синус кута між ними
Завдання на перебування площі паралелограма
Завдання.У паралелограмі менша висота і менша сторона дорівнюють 9 см і кореню з 82 відповідно. Велика діагональ 15 см. Знайти площу паралелограма.
Рішення.
Позначимо меншу висоту паралелограма ABCD, опущену з точки B більшу основу AD як BK.
Знайдемо значення катета прямокутного трикутника ABK, утвореного меншою висотою, меншою стороною та частиною більшої основи. За теоремою Піфагора:
AB 2 = BK 2 + AK 2
82 = 9 2 + AK 2
AK 2 = 82 - 81
AK = 1
Продовжимо верхню основу паралелограма BC і опустимо на неї висоту AN з його нижньої основи. AN = BK як сторони прямокутника ANBK. У прямокутного трикутника ANC, що вийшов, знайдемо катет NC.
AN 2 + NC 2 = AC 2
9 2 + NC 2 = 15 2
NC 2 = 225 – 81
NC 2 = √144
NC = 12
Тепер знайдемо більшу основу BC паралелограма ABCD.
BC = NC - NB
Врахуємо, що NB = AK як сторони прямокутника, тоді
BC = 12 - 1 = 11
Площа паралелограма дорівнює добутку основи на висоту до цієї основи.
S = ah
S = BC * BK
S = 11 * 9 = 99
Відповідь: 99 см 2 .
Завдання
У паралелограмі АВСД на діагональ АС опущений перпендикуляр ВО. Знайдіть площу паралелограма, якщо АО=8, ОС=6 і ВО=4.
Рішення.
Опустимо на діагональ АС додатково ще один перпендикуляр DK.
Відповідно, трикутники AOB і DKC, COB та AKD попарно рівні. Одна зі сторін є протилежною стороною паралелограма, один з кутів - прямий, так як є перпендикуляром до діагоналі, а один із кутів, що залишилися, є внутрішнім навхрест лежачим для паралельних сторін паралелограма і січної діагоналі.
Таким чином, площа паралелограма дорівнює площі вказаних трикутників. Тобто
Sпарал = 2S AOB +2S BOC
Площа прямокутного трикутника дорівнює половині добутку катетів. Звідки
S = 2 (1/2 8 * 4) + 2 (1/2 6 * 4) = 56 см 2
Відповідь: 56 см 2 .
Відеокурс «Отримай п'ятірку» включає всі теми, необхідні для успішної здачі ЄДІз математики на 60-65 балів. Цілком всі завдання 1-13 Профільного ЄДІз математики. Підходить також для здачі Базового ЄДІ з математики. Якщо ви хочете здати ЄДІ на 90-100 балів, вам треба вирішувати частину 1 за 30 хвилин і без помилок!
Курс підготовки до ЄДІ для 10-11 класів, а також для викладачів. Все необхідне, щоб вирішити частину 1 ЄДІ з математики (перші 12 завдань) та задачу 13 (тригонометрія). А це понад 70 балів на ЄДІ, і без них не обійтись ні стобальнику, ні гуманітарію.
Уся необхідна теорія. Швидкі способирішення, пастки та секрети ЄДІ. Розібрано всі актуальні завдання частини 1 із Банку завдань ФІПД. Курс повністю відповідає вимогам ЄДІ-2018.
Курс містить 5 великих тем, по 2,5 години кожна. Кожна тема дається з нуля, це просто і зрозуміло.
Сотні завдань ЄДІ. Текстові завдання та теорія ймовірностей. Прості і легко запам'ятовуються алгоритми розв'язання задач. Геометрія. Теорія, довідковий матеріал, аналіз всіх типів завдань ЄДІ. Стереометрія. Хитрі прийоми розв'язання, корисні шпаргалки, розвиток просторової уяви. Тригонометрія з нуля - до завдання 13. Розуміння замість зубріння. Наочне пояснення складних понять. Алгебра. Коріння, ступеня та логарифми, функція та похідна. База на вирішення складних завдань 2 частини ЄДІ.
При вирішенні завдань на цю тему крім основних властивостей паралелограмата відповідних формул можна запам'ятати та застосовувати наступне:
- Бісектриса внутрішнього кута паралелограма відсікає від нього рівнобедрений трикутник
- Бісектриси внутрішніх кутів прилеглі до однієї із сторін паралелограма взаємно перпендикулярні
- Бісектриси, що виходять із протилежних внутрішніх кутів паралелограма, паралельні між собою або лежать на одній прямій
- Сума квадратів діагоналей паралелограма дорівнює сумі квадратів його сторін
- Площа паралелограма дорівнює половині твору діагоналей на синус кута між ними.
Розглянемо завдання, під час вирішення яких використовуються дані властивості.
Завдання 1.
Бісектриса кута С паралелограма АВСD перетинає сторону АD у точці М та продовження сторони АВ за точку А у точці Е. Знайдіть периметр паралелограма, якщо АЕ = 4, DМ = 3.
Рішення.
1. Трикутник СМD рівнобедрений. (Властивість 1). Отже, CD = МD = 3 см.
2. Трикутник ЕАМ рівнобедрений.
Отже, АЕ = АМ = 4 див.
3. АD = АМ + МD = 7 див.
4. Периметр АВСD = 20 див.
Відповідь. 20 див.
Завдання 2.
У опуклому чотирикутнику АВСD проведено діагоналі. Відомо, що площі трикутників АВD, АСD, ВСD дорівнюють. Доведіть, що цей чотирикутник є паралелограмом.
Рішення.
1. Нехай ВЕ – висота трикутника АВD, СF – висота трикутника АCD. Так як за умовою завдання площі трикутників рівні і вони мають загальну основу АD, то висоти цих трикутників рівні. ВЕ = СF.
2. ВЕ, СF перпендикулярні до АD. Точки В і С розташовані по одну сторону щодо прямої АD. ВЕ = СF. Отже, пряма ЗС || AD. (*)
3. Нехай АL – висота трикутника АСD, BK – висота трикутника BCD. Так як за умовою завдання площі трикутників рівні і вони мають загальну основу СD, то висоти цих трикутників рівні. АL = BK.
4. АL та BK перпендикулярні СD. Точки В і А розташовані по одну сторону щодо прямої CD. АL = BK. Отже, пряма АВ|| СD (**)
5. З умов (*), (**) випливає – АВСD паралелограм.
Відповідь. Доведено. АВСD – паралелограм.
Завдання 3.
На сторонах ВС і CD паралелограма АВСD відзначені точки М і Н відповідно так, що відрізки ВМ і НD перетинаються в точці О;<ВМD = 95 о,
Рішення.
1. У трикутнику DОМ<МОD = 25 о (Он смежный с <ВОD = 155 о); <ОМD = 95 о. Тогда <ОDМ = 60 о.
2. У прямокутному трикутнику DНС Тоді<НСD = 30 о. СD: НD = 2: 1 Але CD = АВ. Тоді АВ: НD = 2:1. 3. <С = 30 о, 4. <А = <С = 30 о, <В = Відповідь: АВ: НD = 2: 1,<А = <С = 30 о, <В = Завдання 4. Одна з діагоналей паралелограма довжиною 4√6 становить з основою кут 60 про, а друга діагональ становить з тією ж основою кут 45 про. Знайти другу діагональ. Рішення.
1. АТ = 2√6. 2. До трикутника АОD застосуємо теорему синусів. АТ/sin D = OD/sin А. 2√6/sin 45 про = OD/sin 60 про. ОD = (2√6sin 60 про) / sin 45 про = (2√6 · √3/2) / (√2/2) = 2√18/√2 = 6. Відповідь: 12.
Завдання 5. У паралелограма зі сторонами 5√2 та 7√2 менший кут між діагоналями дорівнює меншому куту паралелограма. Знайдіть суму довжин діагоналей. Рішення.
Нехай d 1 , d 2 – діагоналі паралелограма, а кут між діагоналями та менший кут паралелограма дорівнює ф. 1. Порахуємо двома різними S ABCD = AB · AD · sin A = 5√2 · 7√2 · sin ф, S ABCD = 1/2 AС · ВD · sin AОВ = 1/2 · d 1 d 2 sin ф. Отримаємо рівність 5√2 · 7√2 · sin ф = 1/2d 1 d 2 sin ф або 2 · 5√2 · 7√2 = d 1 d 2 ; 2. Використовуючи співвідношення між сторонами та діагоналями паралелограма запишемо рівність (АВ 2 + АD 2) · 2 = АС 2 + ВD 2. ((5√2) 2 + (7√2) 2) · 2 = d 1 2 + d 2 2 . d 1 2 + d 2 2 = 296. 3. Складемо систему: (d 1 2 + d 2 2 = 296, Помножимо друге рівняння системи на 2 та складемо з першим. Отримаємо (d 1 + d 2) 2 = 576. Звідси Id 1 + d 2 I = 24. Так як d 1 , d 2 - Довжини діагоналей паралелограма, то d 1 + d 2 = 24. Відповідь: 24.
Завдання 6. Сторони паралелограма 4 та 6. Гострий кут між діагоналями дорівнює 45 о. Знайдіть площу паралелограма. Рішення.
1. З трикутника АОВ, використовуючи теорему косінусів, запишемо співвідношення між стороною паралелограма та діагоналями. АВ 2 = АТ 2 + ВО 2 2 · АТ · ВО · cos АОВ. 4 2 = (d 1 /2) 2 + (d 2 / 2) 2 - 2 · (d 1 / 2) · (d 2 / 2) cos 45 про; d 1 2 /4 + d 2 2 /4 – 2 · (d 1 /2) · (d 2 /2)√2/2 = 16. d 1 2 + d 2 2 – d 1 · d 2 √2 = 64. 2. Аналогічно запишемо співвідношення трикутника АОD. Врахуємо, що<АОD = 135 о и cos 135 о = -cos 45 о = -√2/2. Отримаємо рівняння d 1 2 + d 2 2 + d 1 · d 2 √2 = 144. 3. Маємо систему Віднімаючи з другого рівняння перше, отримаємо 2d 1 · d 2 √2 = 80 або d 1 · d 2 = 80/(2√2) = 20√2 4. S ABCD = 1/2 AС · ВD · sin AОВ = 1/2 · d 1 d 2 sin α = 1/2 · 20√2 · √2/2 = 10. Примітка:У цьому й попередньому завданні немає потреби, вирішувати повністю систему, передбачаючи те, що у цій задачі для обчислення площі нам необхідний твір діагоналей. Відповідь: 10. Завдання 7. Площа паралелограма дорівнює 96, а його сторони дорівнюють 8 і 15. Знайдіть квадрат меншої діагоналі. Рішення.
1. S ABCD = AВ · АD · sin ВAD. Зробимо підстановку у формулу. Отримаємо 96 = 8 · 15 · sin ВAD. Звідси sin ВAD = 4/5. 2. Знайдемо cos ВАD. sin 2 ВAD + cos 2 ВАD = 1. (4/5) 2 + cos 2 ВАD = 1. cos 2 ВАD = 9 / 25 . За умовою завдання ми знаходимо довжину меншої діагоналі. Діагональ ВD буде меншою, якщо кут ВАD гострий. Тоді cos ВАD = 3/5. 3. З трикутника АВD за теоремою косінусів знайдемо квадрат діагоналі ВD. ВD 2 = АВ 2 + АD 2 - 2 · АВ · ВD · cos ВАD. ВD 2 = 8 2 + 15 2 - 2 · 8 · 15 · 3 / 5 = 145. Відповідь: 145.
Залишились питання? Не знаєте, як розв'язати геометричне завдання? сайт, при повному або частковому копіюванні матеріалу посилання на першоджерело обов'язкове. Площа геометричної фігури- чисельна характеристика геометричної фігури, що показує розмір цієї фігури (частини поверхні, обмеженої замкнутим контуром цієї фігури). Розмір площі виражається числом які у неї квадратних одиниць. a · b · sin α Де S - Площа трапеції, Паралелограм є чотирикутною фігурою, у якої протилежні сторони попарно паралельні і попарно рівні. Рівні в нього також і протилежні кути, а точка перетину діагоналей паралелограма ділить їх навпіл, будучи центром симетрії фігури. Приватними випадками паралелограм є такі геометричні фігури як квадрат, прямокутник і ромб. Площа паралелограма може бути знайдена у різний спосіб, залежно від того, якими вихідними даними супроводжується постановка задачі. S = DC ∙ h де S – площа паралелограма; Цю формулу дуже легко зрозуміти та запам'ятати, якщо поглянути на наступний малюнок. Як видно з цього зображення, якщо ліворуч від паралелограма відрізати уявний трикутник і приєднати його праворуч, то в результаті ми отримаємо прямокутник. Як відомо, площа прямокутника перебуває перемноженням його довжини на висоту. Тільки у випадку паралелограма довжина буде основою, а висота прямокутника - висотою паралелограма, опущеною на цю сторону. S = AD∙AB∙sinα де AD, AB - суміжні основи, що утворюють точку перетину та кут між собою; S = ½∙AC∙BD∙sinβ де AC, BD - діагоналі паралелограма;
(
(Оскільки в прямокутному трикутнику катет, що лежить проти кута в 30 о, дорівнює половині гіпотенузи).
способами його площу.
(d 1 + d 2 = 140).
(d 1 2 + d 2 2 – d 1 · d 2 √2 = 64,
(d 1 2 + d 2 2 + d 1 · d 2 √2 = 144).
Щоб отримати допомогу репетитора – зареєструйтесь.
Перший урок – безкоштовно!
Формули площі трикутника
Площа трикутникадорівнює половині добутку довжини сторони трикутника на довжину проведеної до цієї сторони висоти
Площа трикутникадорівнює добутку напівпериметра трикутника на радіус вписаного кола.
- Довжини сторін трикутника,
- Висота трикутника,
- кут між сторонами та,
- радіус вписаного кола,
R - радіус описаного кола, Формули площі квадрата
Площа квадратадорівнює квадрату довжини його сторони.
Площа квадратадорівнює половині квадрата довжини його діагоналі. S = 1
2
2
- Довжина сторони квадрата,
- Довжина діагоналі квадрата.Формула площі прямокутника
Площа прямокутникадорівнює добутку довжин двох його суміжних сторін
де S - Площа прямокутника,
- Довжини сторін прямокутника. Формули площі паралелограма
Площа паралелограма
Площа паралелограмадорівнює добутку довжин його сторін, помноженому на синус кута між ними.
- Довжини сторін паралелограма,
- Довжина висоти паралелограма,
- Кут між сторонами паралелограма.Формули площі ромба
Площа ромбудорівнює добутку довжини його сторони та довжини опущеної на цей бік висоти.
Площа ромбудорівнює добутку квадрата довжини його сторони та синуса кута між сторонами ромба.
Площа ромбудорівнює половині добутку довжин його діагоналей.
- Довжина сторони ромба,
- Довжина висоти ромба,
- Кут між сторонами ромба,
1 2 - довжини діагоналей.Формули площі трапеції
- Довжини основ трапеції,
- Довжини бічних сторін трапеції,
Ключовою характеристикою паралелограма, що дуже часто використовується при знаходженні його площі, є висота. Висотою паралелограма прийнято називати перпендикуляр, опущений з довільної точки протилежної сторони до відрізка прямої, що утворює цю сторону.
a - основа;
h - висота, проведена до цієї основи.
α - кут між основами AD та AB.
β – кут між діагоналями.
Loading...