Яку постать ми називаємо пірамідою? По-перше, це багатогранник. По-друге, в основі цього багатогранника розташований довільний багатокутник, а сторони піраміди (бічні грані) обов'язково мають форму трикутників, що сходяться в одній спільній вершині. Ось тепер, розібравшись із терміном, з'ясуємо, як знайти площу поверхні піраміди.
Зрозуміло, що площа поверхні такого геометричного тіла складеться із суми площ основи та всієї її бічної поверхні.
Обчислення площі основи піраміди
Вибір розрахункової формули залежить від форми багатокутника, що лежить в основі нашої піраміди. Він може бути правильним, тобто зі сторонами однакової довжини або неправильним. Розглянемо обидва варіанти.
В основі – правильний багатокутник
Зі шкільного курсу відомо:
- площа квадрата дорівнюватиме довжині його сторони, зведеній у квадрат;
- площа рівностороннього трикутника дорівнює квадрату його сторони, поділеному на 4 і помноженому на квадратний коріньіз трьох.
Але існує і загальна формуладля розрахунку площі будь-якого правильного багатокутника (Sn): треба помножити значення периметра цього багатокутника (Р) на радіус вписаного в нього кола (r), а потім розділити отриманий результат на два: Sn=1/2P*r.
В основі – неправильний багатокутник
Схема знаходження його площі полягає в тому, щоб спочатку розбити весь багатокутник на трикутники, обчислити площу кожного з них за формулою: 1/2a * h (де а - основа трикутника, h - опущена на цю основу висота), скласти всі результати.
Площа бічної поверхні піраміди
Тепер розрахуємо площу бічної поверхні піраміди, тобто. суму площ усіх її бокових сторін. Тут також можливі 2 варіанти.
- Нехай ми маємо довільну піраміду, тобто. така, на основі якої – неправильний багатокутник. Тоді слід обчислити окремо площу кожної грані та скласти результати. Так як бічними сторонами піраміди за визначенням можуть бути тільки трикутники, то розрахунок йде за згаданою вище формулою: S = 1/2a * h.
- Нехай наша піраміда – правильна, тобто. у її основі лежить правильний багатокутник, і проекція вершини піраміди виявляється у його центрі. Тоді для обчислення площі бічної поверхні (Sб) достатньо знайти половину добутку периметра багатокутника-основи (Р) на висоту (h) бічної сторони (однакову для всіх граней): Sб = 1/2 Р * h. Периметр багатокутника визначається додаванням довжин всіх його сторін.
Повна площа поверхні правильної пірамідизнайдеться підсумовуванням площі її основи з площею всієї бічної поверхні.
Приклади
Для прикладу обчислимо алгебраїчну площу поверхні декількох пірамід.
Площа поверхні трикутної піраміди
В основі такої піраміди – трикутник. За формулою Sо=1/2a*h знаходимо площу основи. Цю ж формулу застосовуємо для знаходження площі кожної грані піраміди, що також має трикутну форму, і отримуємо 3 площі: S1, S2 та S3. Площа бічної поверхні піраміди є сумою всіх площ: Sб = S1 + S2 + S3. Склавши площі бічних сторін і основи, отримаємо повну площу поверхні шуканої піраміди: Sп = Sо + Sб.
Площа поверхні чотирикутної піраміди
Площа бічної поверхні - це сума 4-х доданків: Sб = S1 + S2 + S3 + S4, кожне з яких обчислено за формулою площі трикутника. А площу основи доведеться шукати, залежно від форми чотирикутника – правильного чи неправильного. Площа повної поверхні піраміди знову вийде шляхом складання площі основи та повної площі поверхні заданої піраміди.
Перед вивченням питань про дану геометричну фігуру та її властивості слід розібратися в деяких термінах. Коли людина чує про піраміду, йому видаються величезні споруди в Єгипті. Так виглядають найпростіші з них. Але вони бувають різних видіві форм, отже, і формула обчислення для геометричних фігур буде різною.
Піраміда – геометрична фігура , Що позначає і є кілька граней. По суті - це той же багатогранник, в основі якого лежить багатокутник, а з боків розташовані трикутники, що з'єднуються в одній точці - вершині. Фігура буває двох основних видів:
- правильна;
- усічена.
У першому випадку, в основі лежить правильний багатокутник. Тут усі бічні поверхні рівніміж собою і сама постать порадує око перфекціоніста.
У другому випадку, підстав дві - велика в самому низу і мала між вершиною, що повторює форму основного. Іншими словами – усічена піраміда є багатогранником з перетином, утвореним паралельно підставі.
Терміни та позначення
Основні терміни:
- Правильний (рівносторонній) трикутник– фігура з трьома однаковими кутами та рівними сторонами. І тут всі кути мають 60 градусів. Фігура є найпростішою із правильних багатогранників. Якщо ця фігура лежить в основі, то такий багатогранник називатиметься правильною трикутною. Якщо в основі лежить квадрат, піраміда називатиметься правильною чотирикутною пірамідою.
- Вершина- Сама верхня точкаде сходяться грані. Висота вершини утворюється прямою лінією, що виходить від вершини до основи піраміди.
- Грань- Одна з площин багатокутника. Вона може бути у вигляді трикутника у випадку з трикутною пірамідою або у вигляді трапеції для усіченої піраміди.
- Переріз- Плоска фігура, що утворюється в результаті розсічення. Не варто плутати з розрізом, тому що розріз показує і те, що знаходиться за перетином.
- Апофема- Відрізок, проведений з вершини піраміди до її основи. Він також є висотою тієї межі, де знаходиться друга точка висоти. Дане визначеннясправедливо лише стосовно правильного багатогранника. Наприклад – якщо це не усічена піраміда, то грань буде трикутником. У даному випадкувисота цього трикутника і стане апофемою.
Формули площі
Знаходити площу бічної поверхні пірамідибудь-якого типу можна кількома способами. Якщо фігура не симетрична і є багатокутником з різними сторонами, то в даному випадку легше вирахувати загальну площуповерхні через сукупність усіх поверхонь. Іншими словами – треба порахувати площу кожної грані та скласти їх разом.
Залежно від того, які параметри відомі, можуть бути потрібні формули обчислення квадрата, трапеції, довільного чотирикутника і т.д. Самі формули в різних випадках теж матимуть відмінності.
У випадку з правильною фігуроюзнаходити площу набагато простіше. Достатньо знати лише кілька ключових параметрів. У більшості випадків потрібні обчислення саме для таких фігур. Тому надалі будуть наведені відповідні формули. В іншому випадку довелося б розписати все на кілька сторінок, що тільки заплутає і зіб'є з пантелику.
Основна формула для обчисленняплощі бічної поверхні правильної піраміди матиме наступний вигляд:
S=½ Pa (P – периметр основи, а – апофема)
Розглянемо один із прикладів. Багатогранник має основу з відрізками A1, А2, А3, А4, А5, і всі вони дорівнюють 10 см. Апофема нехай дорівнюватиме 5 см. Для початку треба знайти периметр. Так як всі п'ять граней основи однакові, можна знаходити так: Р = 5 * 10 = 50 см. Далі застосовуємо основну формулу: S = ½ * 50 * 5 = 125 см в квадраті.
Площа бічної поверхні правильною трикутної піраміди обчислити найлегше. Формула має такий вигляд:
S =½* ab *3, де а – апофема, b – межа основи. Множина трійки тут означає кількість граней основи, а перша частина – площа бічної поверхні. Розглянемо приклад. Дана фігура з апофемою 5 см і гранню основи 8 см. Обчислюємо: S = 1/2 * 5 * 8 * 3 = 60 см у квадраті.
Площа бічної поверхні усіченої пірамідиобчислювати трохи складніше. Формула має такий вигляд: S =1/2*(p _01+ p _02)*a , де р_01 і р_02 є периметрами основ, а – апофема. Розглянемо приклад. Допустимо, для чотирикутної фігури дано розміри сторін основ і 6 см, апофема дорівнює 4 см.
Тут для початку слід визначити периметри основ: р_01 = 3 * 4 = 12 см; р_02=6*4=24 див. Залишилося підставити значення основну формулу і отримаємо: S =1/2*(12+24)*4=0,5*36*4=72 див у квадраті.
Таким чином, можна знайти площу бічної поверхні правильної піраміди будь-якої складності. Слід бути уважним і не плутатиці обчислення з повною площею всього багатогранника. А якщо це все ж таки знадобиться зробити - досить обчислити площу найбільшої основи багатогранника і додати її до площі бічної поверхні багатогранника.
Відео
Закріпити інформацію про те, як знайти площу бічної поверхні різних пірамід, вам допоможе це відео.
Чи не отримали відповідь на своє запитання? Запропонуйте авторам тему.
Типовими геометричними завданнями на площині та у тривимірному просторі є проблеми визначення площ поверхонь різних фігур. У цій статті наведемо формулу площі бічної поверхні правильної чотирикутної піраміди.
Що являє собою піраміда?
Наведемо суворе геометричне визначення піраміди. Припустимо, є деякий багатокутник з n сторонами і з n кутами. Виберемо довільну точку простору, яка не перебуватиме в площині зазначеного n-кутника, і з'єднаємо її з кожною вершиною багатокутника. Ми отримаємо фігуру, яка має певний обсяг, яка називається n-вугільною пірамідою. Наприклад покажемо на малюнку нижче, як виглядає п'ятикутна піраміда.
Два важливих елементівбудь-яка піраміда - це її основа (n-кутник) і вершина. Ці елементи з'єднані один з одним n трикутниками, які в загальному випадкуне рівні один одному. Перпендикуляр, опущений з вершини до основи, називається висотою фігури. Якщо він перетинає основу в геометричному центрі (збігається із центром мас багатокутника), то таку піраміду називають прямою. Якщо крім цієї умови основа є правильним багатокутником, то вся піраміда називається правильною. Малюнок нижче показує, як виглядають правильні піраміди з трикутною, чотирикутною, п'ятикутною та шестикутною основами.
Поверхня піраміди
Перш ніж переходити до питання про площу бічної поверхні правильної чотирикутної піраміди, слід докладніше зупинитися на понятті самої поверхні.
Як було сказано вище та показано на малюнках, будь-яка піраміда утворена набором граней або сторін. Одна сторона є основою, і n сторін є трикутниками. Поверхня всієї фігури – це сума площ кожної її сторони.
Поверхню зручно вивчати з прикладу розгортки фігури. Розгортка для правильної чотирикутної піраміди наведена нижче.
Бачимо, що площа поверхні дорівнює сумі чотирьох площ однакових рівнобедрених трикутників і площі квадрата.
Загальну площу всіх трикутників, які утворюють бічні сторони фігури, прийнято називати площею бічної поверхні. Далі покажемо, як її розрахувати для чотирикутної правильної піраміди.
Площа бічної поверхні чотирикутної правильної піраміди
Щоб обчислити площу бічної поверхні вказаної фігури, знову звернемося до наведеної вище розгортки. Припустимо, що нам відома сторона квадратної основи. Позначимо її символом a. Видно, що кожен із чотирьох однакових трикутників має основу довжиною a. Щоб обчислити їхню сумарну площу, необхідно знати цю величину для одного трикутника. З курсу геометрії відомо, що трикутника площа S t дорівнює добутку основи на висоту, яку слід поділити навпіл. Тобто:
Де h b – висота рівнобедреного трикутника, Проведена до основи a. Для піраміди ця висота є апотемою. Тепер залишається помножити отриманий вираз на 4, щоб отримати площу S b бічної поверхні для аналізованої піраміди:
S b = 4 * S t = 2 * h b * a.
Ця формула містить два параметри: апотему та бік основи. Якщо остання у більшості умов задач відома, то першу доводиться обчислювати, знаючи інші величини. Наведемо формули для розрахунку апотеми h b для двох випадків:
- коли відома довжина бічного ребра;
- коли відома висота піраміди.
Якщо позначити довжину ребра бокового (сторона рівнобедреного трикутника) символом L, тоді апотема h b визначитися за формулою:
h b = √ (L 2 - a 2/4).
Це вираз є результатом застосування теореми Піфагора для трикутника бічної поверхні.
Якщо відома висота h піраміди, тоді апотему h b можна розрахувати так:
h b = √(h 2 + a 2/4).
Здобути цей вислів також не складно, якщо розглянути всередині піраміди прямокутний трикутник, утворений катетами h і a/2 та гіпотенузою h b .
Покажемо, як застосовувати ці формули, вирішивши дві цікаві завдання.
Завдання з відомою площею поверхні
Відомо, що площа бічної чотирикутної поверхні дорівнює 108 см 2 . Необхідно обчислити значення довжини її апотеми h b якщо висота піраміди дорівнює 7 см.
Запишемо формулу площі S b бічної поверхні через висоту. Маємо:
S b = 2 * √ (h 2 + a 2 / 4) * a.
Тут ми просто підставили відповідну формулу апотеми у вираз для Sb. Зведемо обидві частини рівності квадрат:
S b 2 = 4 * a 2 * h 2 + a 4 .
Щоб знайти значення a, зробимо заміну змінних:
t 2 + 4 * h 2 * t - S b 2 = 0.
Підставляємо тепер відомі значенняі вирішуємо квадратне рівняння:
t 2 + 196 * t - 11 664 = 0.
Ми виписали лише позитивний корінь цього рівняння. Тоді сторони основи піраміди дорівнюватимуть:
a = √t = √47,8355 ≈ 6,916 см.
Щоб отримати довжину апотеми, достатньо скористатися формулою:
h b = √(h 2 + a 2 /4) = √(7 2 + 6,916 2 /4) ≈ 7,808 см.
Бічна поверхня піраміди Хеопса
Визначимо значення площі бічної поверхні для найбільшої єгипетської піраміди. Відомо, що в її основі лежить квадрат із довжиною сторони 230,363 метра. Висота споруди спочатку становила 146,5 метра. Підставимо ці цифри у відповідну формулу для S b отримаємо:
S b = 2*√(h 2 + a 2 /4) *a = 2*√(146,5 2 +230,363 2 /4)*230,363 ≈ 85860 м 2 .
Знайдене значення трохи більше за площу 17 футбольних полів.
Loading...