Під час вивчення математики учні починаються знайомитися з різними видами геометричних постатей. Сьогодні мова йтиме про різні види трикутників.
Визначення
Геометричні фігури, які складаються з трьох точок, що не знаходяться на одній прямій, називаються трикутниками.
Відрізки, що з'єднують точки, називаються сторонами, а точки – вершинами. Вершини позначаються великими латинськими літераминаприклад, A, B, C.
Сторони позначаються назвами двох точок, у тому числі вони складаються – AB, BC, AC. Перетинаючи, сторони утворюють кути. Нижня сторона вважається основою постаті.
Мал. 1. Трикутник ABC.
Види трикутників
Трикутники класифікують по кутах та сторонам. Кожен із видів трикутника має свої властивості.
Існує три види трикутників по кутах:
- гострокутні;
- прямокутні;
- тупокутні.
Усі кути гострокутноготрикутника гострі, тобто градусний захід кожного становить трохи більше 90 0 .
Прямокутнийтрикутник містить прямий кут. Два інші кути завжди будуть гострими, тому що інакше сума кутів трикутника перевищить 180 градусів, а це неможливо. Сторона, яка знаходиться навпроти прямого кута, називається гіпотенузою, а дві інші катетами. Гіпотенуза завжди більша за катет.
Тупокутнийтрикутник містить тупий кут. Тобто кут, завбільшки більше 90 градусів. Два інші кути в такому трикутнику будуть гострими.
Мал. 2. Види трикутників за кутами.
Піфагоровим трикутником називається прямокутник, сторони якого дорівнюють 3, 4, 5.
Причому велика сторона є гіпотенузою.
Такі трикутники часто використовуються для складання простих задач у геометрії. Тому, запам'ятайте: якщо дві сторони трикутника дорівнюють 3, то третя обов'язково буде 5. Це спростить розрахунки.
Види трикутників на всі боки:
- рівносторонні;
- рівнобедрені;
- різнобічні.
РівностороннійТрикутник - це трикутник, у якого всі сторони рівні. Всі кути такого трикутника дорівнюють 600, тобто він завжди є гострокутним.
Рівностегновийтрикутник – трикутник, що має лише дві сторони рівні. Ці сторони називаються бічними, а третя – основою. Крім того, кути при основі рівнобедреного трикутника рівні і завжди є гострими.
Різностороннімабо довільним трикутником називається трикутник, у якого всі довжини та всі кути не рівні між собою.
Якщо задачі немає жодних уточнень з приводу фігури, прийнято вважати, що йдеться про довільному трикутнику.
Мал. 3. Види трикутників на всі боки.
Сума всіх кутів трикутника незалежно від його виду дорівнює 1800.
Навпроти більшого кута є велика сторона. А також довжина будь-якої сторони завжди менша від суми двох інших його сторін. Ці властивості підтверджуються теоремою про нерівність трикутника.
Існує поняття золотого трикутника. Це рівнобедрений трикутник, У якого дві бічні сторони пропорційні основі і дорівнюють певному числу. У такій фігурі кути пропорційні співвідношенню 2:2:1.
Завдання:
Чи існує трикутник, сторони якого дорівнюють 6 см., 3 см., 4 см.?
Рішення:
Для вирішення цього завдання потрібно використовувати нерівність a
Що ми дізналися?
З даного матеріалу з курсу математики 5 класу, ми довідалися, що трикутники класифікуються за сторонами та величиною кутів. Трикутники мають певні властивості, які можна використовувати під час вирішення завдань.
Трикутник- це багатокутник з трьома сторонами (або трьома кутами). Сторони трикутника часто позначаються маленькими літерами, які відповідають великим буквам, що означає зворотні вершини.
Гострокутним трикутникомназивається трикутник, у якого всі три кути гострі.
Тупокутним трикутникомназивається трикутник, у якого один з кутів тупий.
Прямокутним трикутникомназивається трикутник, у якого один з кутів прямий, тобто дорівнює 90 °; сторони a, b, що утворюють прямий кут, іменуються катетами; сторона c, зворотна прямому куту, називається гіпотенузою.
Рівностегновим трикутникомназивається трикутник, у якого дві його сторони рівні (a = c); ці рівні сторони називаються бічними, третя сторона називається основою трикутника.
Рівностороннім трикутникомназивається трикутник, у якого всі його сторони рівні (a = b = c). У тому випадку в трикутнику не дорівнює жодна з його сторін (abc), то це нерівносторонній трикутник.
Основні характеристики трикутників
У будь-якому трикутнику:
Ознаки рівності трикутників
Трикутники рівні, тоді вони відповідно рівні:
Ознаки рівності прямокутних трикутників
Два прямокутні трикутники рівні, у тому випадку виробляється один з наступних критеріїв:
Висотатрикутника- це перпендикуляр, опущений з будь-якої вершини на зворотний бік(чи її продовження). Ця сторона називається основою трикутника. Три висоти трикутника завжди перетинаються в одній точці, що називається ортоцентром трикутника.
Ортоцентр гострокутного трикутника розташований усередині трикутника, а ортоцентр тупокутного трикутника - зовні; Ортоцентр прямокутного трикутника збігається з верхівкою прямого кута.
Медіана- Це відрізок, що з'єднує будь-яку верхівку трикутника із серединою зворотного боку. Три медіани трикутника перетинаються в одній точці, що завжди лежить усередині трикутника і є його центром мас. Ця точка поділяє кожну медіану щодо 2:1, рахуючи від вершини.
Бісектриса- Це відрізок бісектриси кута від вершини до точки схрещення зі зворотним боком. Три бісектриси трикутника перетинаються в одній точці, що завжди лежить усередині трикутника і є центром вписаного кола. Бісектриса поділяє зворотний бік на частини, пропорційні прилеглим сторонам.
Середній перпендикуляр- Це перпендикуляр, проведений із середньої точки відрізка (сторони). Три серединні перпендикуляри трикутника перетинаються в одній точці, що є центром описаного кола.
У гострокутному трикутникуця точка лежить усередині трикутника, у тупокутному - зовні, у прямокутному - серед гіпотенузи. Ортоцентр, центр мас, описаний центр і центр вписаного кола збігаються виключно в рівносторонньому трикутнику.
Аксіома Піфагора
У прямокутному трикутникуКвадрат довжини гіпотенузи дорівнює сумі квадратів довжин катетів.
Підтвердження аксіоми Піфагора
Побудуємо квадрат AKMB, використовуючи гіпотенузу AB як бік. Потім продовжимо сторони прямокутного трикутника ABC те щоб отримати квадрат CDEF, сторона якого дорівнює a + b. Тепер ясно, що площа квадрата CDEF дорівнює (a + b) 2. З іншого боку, ця площа дорівнює сумі площ чотирьох прямокутних трикутників і квадрата AKMB, іншими словами,
c 2 + 4 (ab/2) = c 2 + 2 ab,
c 2 + 2 ab = (a + b) 2,
і маємо:
c 2 = a 2 + b 2.
Співвідношення сторін у випадковому трикутнику
У загальному випадку(Для випадкового трикутника) маємо:
c 2 = a 2 + b 2 - 2 ab * cos C,
де З - кут між сторонами а та b.
Додатково на сайт:
Сьогодні ми вирушаємо до країни Геометрія, де познайомимося із різними видами трикутників.
Розгляньте геометричні фігуриі знайдіть у тому числі «зайву» (рис. 1).
Мал. 1. Ілюстрація наприклад
Ми бачимо, що фігури № 1, 2, 3, 5 – чотирикутники. Кожна їх має свою назву (рис. 2).
Мал. 2. Чотирикутники
Значить, зайвою фігурою є трикутник (рис. 3).
Мал. 3. Ілюстрація наприклад
Трикутником називається фігура, яка складається з трьох точок, що не лежать на одній прямій, і трьох відрізків, які попарно з'єднують ці точки.
Крапки називаються вершинами трикутника, відрізки - його сторонами. Сторони трикутника утворюють у вершинах трикутника три кути.
Основними ознаками трикутника є три сторони та три кути.За величиною кута трикутники бувають гострокутні, прямокутні та тупокутні.
Трикутник називається гострокутним, якщо всі три кути його гострі, тобто менше 90° (рис. 4).
Мал. 4. Гострокутний трикутник
Трикутник називається прямокутним, якщо один із його кутів дорівнює 90° (рис. 5).
Мал. 5. Прямокутний трикутник
Трикутник називається тупокутним, якщо один із його кутів тупий, тобто більше 90° (рис. 6).
Мал. 6. Тупокутний трикутник
За кількістю рівних сторін трикутники бувають рівносторонні, рівностегнові, різнобічні.
Рівностегновим називається трикутник, у якого дві сторони рівні (рис. 7).
Мал. 7. Рівностегновий трикутник
Ці сторони називаються бічними, третя сторона - основою. У рівнобедреному трикутнику кути при основі рівні.
Рівностегнові трикутники бувають гострокутними та тупокутними(Рис. 8) .
Мал. 8. Гострокутний та тупокутний рівнобедрені трикутники
Рівностороннім називається трикутник, у якого всі три сторони рівні (рис. 9).
Мал. 9. Рівносторонній трикутник
У рівносторонньому трикутнику всі кути рівні. Рівносторонні трикутникизавжди гострокутні.
Різностороннім називається трикутник, у якого всі три сторони мають різну довжину (рис. 10).
Мал. 10. Різносторонній трикутник
Виконайте завдання. Розподіліть дані трикутники на три групи (рис. 11).
Мал. 11. Ілюстрація до завдання
Спочатку розподілимо за величиною кутів.
Гострокутні трикутники: №1, №3.
Прямокутні трикутники: №2, №6.
Тупокутні трикутники: №4, №5.
Ці трикутники розподілимо на групи за кількістю рівних сторін.
Різносторонні трикутники: №4, №6.
Рівностегнові трикутники: №2, №3, №5.
Рівносторонній трикутник: №1.
Розгляньте малюнки.
Подумайте, з якого шматка дроту зробили кожен трикутник (рис. 12).
Мал. 12. Ілюстрація до завдання
Можна міркувати так.
Перший шматок дроту розділений три рівні частини, тому з нього можна зробити рівносторонній трикутник. На малюнку він зображений третім.
Другий шматок дроту розділений три різні частини, тому з нього можна зробити різнобічний трикутник. На малюнку він зображений першим.
Третій шматок дроту розділений три частини, де дві частини мають однакову довжину, отже, з нього можна зробити рівнобедрений трикутник. На малюнку він зображений другим.
Сьогодні на уроці ми познайомилися із різними видами трикутників.
Список літератури
- М.І. Моро, М.А. Бантова та ін. Математика: Підручник. 3 клас: у 2-х частинах, частина 1. – М.: «Освіта», 2012.
- М.І. Моро, М.А. Бантова та ін. Математика: Підручник. 3 клас: у 2-х частинах, частина 2. – М.: «Освіта», 2012.
- М.І. Море. Уроки математики: Методичні рекомендаціїдля вчителя. 3 клас. - М: Просвітництво, 2012.
- Нормативно-правовий документ. Контроль та оцінка результатів навчання. – К.: «Освіта», 2011.
- «Школа Росії»: Програми для початкової школи. – К.: «Освіта», 2011.
- С.І. Волкова. Математика: Перевірочні роботи. 3 клас. - М: Просвітництво, 2012.
- В.М. Рудницька. Тести. – К.: «Іспит», 2012.
- Nsportal.ru ().
- Prosv.ru ().
- Do.gendocs.ru ().
Домашнє завдання
1. Закінчіть фрази.
а) Трикутником називається фігура, яка складається з …, що не лежать на одній прямій, та …, які попарно з'єднують ці точки.
б) Точки називаються … , відрізки - його … . Сторони трикутника утворюють у вершинах трикутника ….
в) За величиною кута трикутники бувають …, …, ….
г) За кількістю рівних сторін трикутники бувають …, …, ….
2. Накресліть
а) прямокутний трикутник;
б) гострокутний трикутник;
в) тупокутний трикутник;
г) рівносторонній трикутник;
д) різносторонній трикутник;
е) рівнобедрений трикутник.
3. Складіть завдання на тему уроку для своїх товаришів.
Мабуть, найголовнішою, найпростішою і найцікавішою фігурою в геометрії є трикутник. В курсі середньої школививчаються його основні властивості, проте іноді знання з цієї теми формуються неповними. Види трикутників спочатку визначають їх властивості. Але така вистава залишається змішаною. Тому зараз розберемо трохи докладніше цю тему.
Види трикутників залежить від градусної міри кутів. Ці постаті бувають гостро-, прямо-і тупокутні. Якщо всі кути не перевищують значення 90 градусів, то фігуру сміливо можна назвати гострокутною. Якщо хоча б один кут трикутника дорівнює 90 градусів, то ви маєте справу з прямокутним підвидом. Відповідно, у решті випадків розглянуту називають тупокутною.
Існує безліч завдань для гострокутних підвидів. відмінною рисоює внутрішнє місцезнаходження точок перетину бісектрис, медіан та висот. В інших випадках ця умова може не виконуватись. Визначити тип фігури "трикутник" неважко. Достатньо знати, наприклад, косинус кожного кута. Якщо якісь значення менше нуляОтже, трикутник у будь-якому випадку є тупокутним. У разі нульового показника фігура має прямим кутом. Усі позитивні значення гарантовано підкажуть вам, що перед вами гострокутний вигляд.
Не можна не сказати про правильному трикутнику. Це найідеальніший вид, де збігаються всі точки перетину медіан, бісектрис та висот. Центр вписаного та описаного кола лежить також в одному місці. Для вирішення завдань необхідно знати лише одну сторону, тому що вам кути спочатку задані, а дві інші сторони відомої. Тобто фігура задається лише одним параметром. Існують їх Головна особливість- рівність двох сторін та кутів при підставі.
Іноді зустрічається питання, чи існує трикутник із заданими сторонами. Насправді вас запитують, чи цей опис підходить під основні види. Наприклад, якщо сума двох сторін менша за третю, то в реальності такої фігури не існує взагалі. Якщо завдання просять знайти косинуси кутів трикутника зі сторонами 3,5,9, то тут очевидний можна пояснити без складних математичних прийомів. Припустимо, ви хочете з пункту A потрапити до пункту B. Відстань по прямій дорівнює 9 кілометрам. Однак ви згадали, що необхідно зайти до пункту C у магазин. Відстань від А до С дорівнює 3 кілометрам, а від С до В - 5. Таким чином виходить, що, рухаючись через магазин, ви пройдете на один кілометр менше. Але оскільки пункт C не розташований на прямій AB, то вам доведеться пройти зайву відстань. Тут виникає суперечність. Це, звісно, умовне пояснення. Математика знає не один спосіб доказу того, що всі види трикутників підпорядковуються основному тотожності. Воно говорить про те, що сума двох сторін більша за довжину третьої.
Будь-який вид має такі властивості:
1) Сума всіх кутів дорівнює 180 градусів.
2) Завжди існує ортоцентр – точка перетину всіх трьох висот.
3) Усі три медіани, проведені з вершин внутрішніх кутів, перетинаються в одному місці.
4) Навколо будь-якого трикутника можна описати коло. Також можна вписати коло так, щоб воно мало лише три точки дотику і не виходило за зовнішні сторони.
Тепер ви познайомилися з основними властивостями, які мають різні видитрикутників. У майбутньому важливо розуміти, з чим ви маєте справу під час вирішення завдання.
Трикутники
Трикутникомназивається фігура, яка складається з трьох точок, що не лежать на одній прямій, і трьох відрізків, що попарно з'єднують ці точки. Крапки називаються вершинамитрикутника, а відрізки - його сторонами.
Види трикутників
Трикутник називається рівнобедреним,якщо в нього дві сторони рівні. Ці рівні сторони називаються бічними сторонами,а третя сторона називається основоютрикутник.
Трикутник, у якого всі сторни рівні, називається рівностороннімабо правильним.
Трикутник називається прямокутним,якщо він має прямий кут, тобто кут 90°. Сторона прямокутного трикутника, що протилежить прямому куту, називається гіпотенузою,дві інші сторони називаються катетами.
Трикутник називається гострокутним,якщо всі три його кути - гострі, тобто менше 90 °.
Трикутник називається тупокутним,якщо один із його кутів - тупий, тобто більше 90°.
Основні лінії трикутника
Медіана
Медіанатрикутника - це відрізок, що з'єднує вершину трикутника із серединою протилежної сторони цього трикутника. 
Властивості медіан трикутника
Медіана розбиває трикутник на два трикутники однакової площі.
Медіани трикутника перетинаються в одній точці, яка ділить кожну з них щодо 2:1, рахуючи від вершини. Ця точка називається центром тяжіннятрикутник.
Весь трикутник ділиться своїми медіанами на шість рівновеликих трикутників.
Бісектриса
Бісектриса кута- це промінь, що виходить з його вершини, проходить між його сторонами і ділить цей кут навпіл. Бісектриса трикутниканазивається відрізок бісектриси кута трикутника, що з'єднує вершину з точкою на протилежній стороні цього трикутника. 
Властивості бісектрис трикутника
Висота
ВисотоюТрикутник називається перпендикуляр, проведений з вершини трикутника до прямої, що містить протилежну сторону цього трикутника. 
Властивості висот трикутника
У прямокутному трикутникувисота, проведена з вершини прямого кута, розбиває його на два трикутники, подібнівихідному.
У гострокутному трикутникудві його висоти відсікають від нього подібнітрикутники.
Середній перпендикуляр
Пряму, що проходить через середину відрізка перпендикулярно до нього, називають серединним перпендикуляромдо відрізка .
Властивості серединних перпендикулярів трикутника
Кожна точка серединного перпендикуляра до відрізка рівновіддалена від кінців цього відрізка. Правильне і зворотне твердження: кожна точка, рівновіддалена від кінців відрізка, лежить на серединному перпендикулярі щодо нього.
Крапка перетину серединних перпендикулярів, проведених до сторін трикутника, є центром кола, описаного біля цього трикутника.
Середня лінія
Середньою лінією трикутниканазивається відрізок, що з'єднує середини двох сторін.
Властивість середньої лінії трикутника
Середня лінія трикутника паралельна до однієї з його сторін і дорівнює половині цієї сторони.
Формули та співвідношення
Ознаки рівності трикутників
Два трикутники рівні, якщо вони відповідно рівні:
дві сторони та кут між ними;
два кути та прилегла до них сторона;
три сторони.
Ознаки рівності прямокутних трикутників
Два прямокутний трикутникрівні, якщо вони відповідно рівні: 
гіпотенузата гострий кут;
катетта протилежний кут;
катетта прилеглий кут;
два катета;
гіпотенузаі катет.
Подібність трикутників
Два трикутники подібні,якщо виконується одна з наступних умов, ознаками подібності:
два кути одного трикутника дорівнюють двом кутам іншого трикутника;
дві сторони одного трикутника пропорційні двом сторонам іншого трикутника, а кути, утворені цими сторонами, дорівнюють;
три сторони одного трикутника відповідно пропорційні трьом сторонам іншого трикутника.
У подібних трикутниках відповідні лінії ( висоти, медіани, бісектриситощо) пропорційні.
Теорема синусів
Сторони трикутника пропорційні синусам протилежних кутів, причому коефіцієнт пропорційності дорівнює діаметру
описаного біля трикутника кола:
Теорема косінусів
Квадрат сторони трикутника дорівнює сумі квадратів двох інших сторін мінус подвоєний добуток цих сторін на косинус кута між ними:
a 2 = b 2 + c 2 - 2bc cos
Формули площі трикутника
Довільний трикутник
a, b, c -сторони; - кут між сторонами aі b;- напівпериметр; R -радіус описаного кола; r -радіус вписаного кола; S -площа; h a - висота, проведена до сторони a.
Loading...