Попрацюємо з квадратними рівняннями. Це дуже популярні рівняння! У найзагальнішому вигляді квадратне рівняння виглядає так:
Наприклад:
Тут а =1; b = 3; c = -4
Тут а =2; b = -0,5; c = 2,2
Тут а =-3; b = 6; c = -18
Ну ви зрозуміли…
Як розв'язувати квадратні рівняння?Якщо перед вами квадратне рівняння саме у такому вигляді, далі все просто. Згадуємо чарівне слово дискримінант . Рідкісний старшокласник не чув цього слова! Фраза «вирішуємо через дискримінант» вселяє впевненість та обнадіює. Тому що чекати каверз від дискримінанта не доводиться! Він простий і безвідмовний у зверненні. Отже, формула для знаходження коріння квадратного рівняння виглядає так:
Вираз під знаком кореня – і є той самий дискримінант. Як бачимо, для знаходження ікса ми використовуємо тільки a, b і с. Тобто. коефіцієнти із квадратного рівняння. Просто акуратно підставляємо значення a, b і су це формулу і рахуємо. Підставляємо зі своїми знаками! Наприклад, для першого рівняння а =1; b = 3; c= -4. Ось і записуємо:
Приклад практично вирішено:
От і все.
Які випадки можливі під час використання цієї формули? Усього три випадки.
1. Дискримінант позитивний. Це означає, що з нього можна витягти корінь. Добре корінь витягується, або погано – питання інше. Важливо, що в принципі. Тоді у вашого квадратного рівняння – два корені. Два різних рішень.
2. Дискримінант дорівнює нулю. Тоді у вас є одне рішення. Строго кажучи, це не один корінь, а два однакові. Але це відіграє роль у нерівностях, там ми докладніше вивчимо питання.
3. Дискримінант негативний. З негативного числа квадратний коріньне вилучається. Ну і добре. Це означає, що рішень немає.
Все дуже просто. І що, думаєте, помилитись не можна? Ну так, як же…
Найпоширеніші помилки – плутанина зі знаками значень a, b і с. Точніше, не з їхніми знаками (де там плутатися?), а з підстановкою негативних значень у формулу для обчислення коріння. Тут рятує докладний запис формули із конкретними числами. Якщо є проблеми з обчисленнями, так і робіть!
Припустимо, треба ось такий приклад вирішити:
Тут a = -6; b = -5; c = -1
Допустимо, ви знаєте, що відповіді у вас рідко з першого разу виходять.
Ну і не лінуйтеся. Написати зайву строчку займе секунд 30. А кількість помилок різко скоротиться. Ось і пишемо докладно, з усіма дужками та знаками:
Це здається неймовірно важким, так старанно розписувати. Але це лише здається. Спробуйте. Ну, чи вибирайте. Що краще, швидко, чи правильно? Крім того, я вас порадую. Через деякий час зникне потреба так ретельно все розписувати. Саме правильно виходитиме. Особливо, якщо застосовуватимете практичні прийоми, що описані трохи нижче. Цей злий приклад з купою мінусів вирішиться просто і без помилок!
Отже, як вирішувати квадратні рівняннячерез дискримінант ми згадали. Або навчилися, що теж непогано. Вмієте правильно визначати a, b і с. Вмієте уважнопідставляти їх у формулу коренів та уважнорахувати результат. Ви зрозуміли, що ключове словотут – уважно?
Однак часто квадратні рівняння виглядають трохи інакше. Наприклад, ось так:
Це неповні квадратні рівняння . Їх також можна вирішувати через дискримінант. Треба тільки правильно збагнути, чого тут дорівнюють a, b і с.
Зрозуміли? У першому прикладі a = 1; b = -4;а c? Його взагалі нема! Так, правильно. У математиці це означає, що c = 0 ! От і все. Підставляємо у формулу нуль замість c,і все в нас вийде. Аналогічно і з другим прикладом. Тільки нуль у нас тут не з, а b !
Але неповні квадратні рівняння можна вирішувати набагато простіше. Без будь-якого дискримінанта. Розглянемо перше неповне рівняння. Що там можна зробити у лівій частині? Можна ікс винести за дужки! Давайте винесемо.
І що з цього? А те, що твір дорівнює нулю тоді, і тільки тоді, коли якийсь із множників дорівнює нулю! Не вірите? Добре, придумайте тоді два ненульові числа, які при перемноженні нуль дадуть!
Не виходить? Отож…
Отже, можна впевнено записати: х = 0, або х = 4
Всі. Це і буде коріння нашого рівняння. Обидва підходять. При підстановці кожного з них у вихідне рівняння, ми отримаємо правильну тотожність 0 = 0. Як бачите, рішення набагато простіше, ніж через дискримінант.
Друге рівняння також можна вирішити просто. Переносимо 9 у праву частину. Отримаємо:
Залишається корінь витягти з 9, і все. Вийде:
Теж два корені . х = +3 та х = -3.
Так вирішуються усі неповні квадратні рівняння. Або з допомогою винесення икса за дужки, чи простим перенесенням числа вправо з наступним вилученням кореня.
Зплутати ці прийоми дуже складно. Просто тому, що в першому випадку вам доведеться корінь із іксу витягувати, що якось незрозуміло, а в другому випадку виносити за дужки нема чого…
А тепер прийміть до уваги практичні прийоми, які різко знижують кількість помилок. Тих самих, що через неуважність. За які потім буває боляче і прикро.
Прийом перший. Не лінуйтеся перед вирішенням квадратного рівняння привести його до стандартного вигляду. Що це означає?
Припустимо, після будь-яких перетворень ви отримали таке рівняння:
Не кидайтеся писати формулу коріння! Майже напевно, ви переплутаєте коефіцієнти a, b та с.Побудуйте приклад правильно. Спочатку ікс у квадраті, потім без квадрата, потім вільний член. Ось так:
І знову не кидайтесь! Мінус перед іксом у квадраті може дуже вас засмутити. Забути його легко… Позбавтеся мінуса. Як? Та як навчали у попередній темі! Потрібно помножити все рівняння на -1. Отримаємо:
А ось тепер можна сміливо записувати формулу для коріння, рахувати дискримінант і дорішувати приклад. Дорішайте самостійно. У вас має вийти коріння 2 і -1.
Прийом другий.Перевіряйте коріння! За теоремою Вієта. Не лякайтеся, я все поясню! Перевіряємо останнєрівняння. Тобто. те, яким ми записували формулу коренів. Якщо (як у цьому прикладі) коефіцієнт а = 1, перевірити коріння легко. Достатньо їх перемножити. Має вийти вільний член, тобто. у разі -2. Зверніть увагу не 2, а -2! Вільний член зі своїм знаком
. Якщо не вийшло – значить уже десь накосячили. Шукайте помилку. Якщо вийшло – треба скласти коріння. Остання та остаточна перевірка. Повинен вийти коефіцієнт bз протилежним
знаком. У разі -1+2 = +1. А коефіцієнт b, що перед іксом, дорівнює -1. Значить, все правильно!
Жаль, що це так просто тільки для прикладів, де ікс у квадраті чистий, з коефіцієнтом а = 1.Але хоч у таких рівняннях перевіряйте! Дедалі менше помилок буде.
Прийом третій. Якщо у вашому рівнянні є дробові коефіцієнти, - позбавтеся дробів! Помножте рівняння на загальний знаменник, як описано у попередньому розділі. При роботі з дробами помилки чомусь так і лізуть.
До речі, я обіцяв злий приклад із купою мінусів спростити. Будь ласка! Ось він.
Щоб не плутатися в мінусах, примножуємо рівняння на -1. Отримуємо:
От і все! Вирішувати – одне задоволення!
Отже, підсумуємо тему.
1. Перед рішенням наводимо квадратне рівняння до стандартного вигляду, вибудовуємо його правильно.
2. Якщо перед іксом у квадраті стоїть негативний коефіцієнт, ліквідуємо його множенням всього рівняння на -1.
3. Якщо коефіцієнти дробові – ліквідуємо дроби множенням всього рівняння на відповідний множник.
4. Якщо ікс у квадраті – чистий, коефіцієнт при ньому дорівнює одиниці, рішення можна легко перевірити за теоремою Вієта. Робіть це!
Дробові рівняння. ОДЗ.
Продовжуємо освоювати рівняння. Ми вже в курсі, як працювати з лінійними рівняннями та квадратними. Залишився останній вигляд - дробові рівняння. Або їх ще називають набагато солідніше - дробові раціональні рівняння. Це одне і теж.
Дробові рівняння.
Як зрозуміло з назви, у цих рівняннях обов'язково присутні дроби. Але не просто дроби, а дроби, які мають невідоме у знаменнику. Хоч би в одному. Наприклад:
Нагадаю, якщо у знаменниках лише числа, це лінійні рівняння
Як вирішувати дробові рівняння? Насамперед – позбутися дробів! Після цього рівняння, найчастіше, перетворюється на лінійне чи квадратне. А далі ми знаємо, що робити… У деяких випадках воно може перетворитися на тотожність типу 5=5 або невірний вираз типу 7=2. Але це рідко трапляється. Нижче я про це згадаю.
Але як позбутися дробів! Дуже просто. Застосовуючи ті самі тотожні перетворення.
Нам треба помножити все рівняння на те саме вираз. Так, щоб усі знаменники скорочувалися! Все одразу стане простіше. Пояснюю на прикладі. Нехай нам потрібно вирішити рівняння:
Як навчали у молодших класах? Переносимо все в один бік, ведемо до спільного знаменника і т.д. Забудьте, як страшний сон! Так потрібно робити, коли ви складаєте або віднімаєте дробові вирази. Або працюєте з нерівностями. А в рівняннях ми відразу множимо обидві частини на вираз, який дасть нам змогу скоротити всі знаменники (тобто, по суті, на спільний знаменник). І який же це вираз?
У лівій частині для скорочення знаменника потрібно множення на х+2. А у правій потрібно множення на 2. Значить, рівняння треба множити на 2(х+2). Примножуємо:
Це звичайне множення дробів, але докладно розпишу:
Зверніть увагу, я поки що не розкриваю дужку (х + 2)! Так, цілком, її й пишу:
У лівій частині скорочується повністю (х+2), А в правій 2. Що і потрібно! Після скорочення отримуємо лінійнерівняння:
А це рівняння вже вирішить кожен! х = 2.
Вирішимо ще один приклад, трохи складніше:
Якщо згадати, що 3 = 3/1, а 2х = 2х/ 1, можна записати:
І знову позбавляємося того, що нам не дуже подобається – дробів.
Бачимо, що для скорочення знаменника з іксом, треба помножити дріб на (х – 2). А одиниці нам не завада. Ну і множимо. Всю ліву частинуі всюправу частину:
Знову дужки (х – 2)я не розкриваю. Працюю зі дужкою в цілому, наче це одне число! Так треба робити завжди, бо інакше нічого не скоротиться.
З почуттям глибокого задоволення скорочуємо (х – 2)і отримуємо рівняння без будь-яких дробів, в лінійку!
А ось тепер уже розкриваємо дужки:
Наводимо подібні, переносимо все в ліву частину та отримуємо:
Класичне квадратне рівняння. Але мінус попереду – поганий. Його можна завжди позбутися, множенням або розподілом на -1. Але якщо придивитися до прикладу, можна помітити, що найкраще це рівняння поділити на -2! Одним махом і мінус зникне, і коефіцієнти симпатичніші стануть! Ділимо на -2. У лівій частині - почленно, а в правій - просто нуль ділимо на -2, нуль і отримаємо:
Вирішуємо через дискримінант та перевіряємо за теоремою Вієта. Отримуємо х = 1 та х = 3. Два корені.
Як бачимо, у першому випадку рівняння після перетворення стало лінійним, а тут – квадратним. Буває так, що після позбавлення від дробів всі ікси скорочуються. Залишається щось, типу 5=5. Це означає, що ікс може бути будь-яким. Яким би він не був, все одно скоротиться. І вийде чиста щоправда, 5=5. Але, після позбавлення від дробів, може вийти зовсім неправда, типу 2=7. А це означає, що рішень немає! За будь-якого ікса виходить неправда.
Усвідомили головний спосібрішення дробових рівнянь? Він простий та логічний. Ми змінюємо вихідний вираз так, щоб зникло все те, що нам не подобається. Або заважає. У даному випадкуце – дроби. Так само ми будемо чинити і з кожними складними прикладамиз логарифмами, синусами та іншими жахами. Ми завждибудемо всього цього позбуватися.
Однак міняти вихідний вираз у потрібний нам бік треба за правилами, так ... Освоєння яких і є підготовка до ЄДІ з математики. От і освоюємо.
Зараз ми з вами навчимося обходити одну з головних засідок на ЄДІ! Але для початку подивимося, чи потрапляєте ви в неї, чи ні?
Розберемо простий приклад:
Справа вже знайома, множимо обидві частини на (х – 2), отримуємо:
Нагадую, із дужками (х – 2)працюємо як з одним, цілісним виразом!
Тут я вже не писав одиначку в знаменниках, несолидно ... І дужки в знаменниках малювати не став, там крім х – 2нічого немає, можна й малювати. Скорочуємо:
Розкриваємо дужки, переносимо все вліво, наводимо такі:
Вирішуємо, перевіряємо, отримуємо два корені. х = 2і х = 3. Чудово.
Припустимо в завданні сказано записати корінь, або їх суму, якщо коріння більше одного. Що будемо писати?
Якщо вирішите, що відповідь 5 – ви потрапили в засідку. І завдання вам не зарахують. Даремно працювали… Правильна відповідь 3.
В чому справа?! А ви спробуйте перевірку зробити. Підставити значення невідомого в початковийприклад. І якщо при х = 3у нас все чудово зросте, отримаємо 9 = 9, то при х = 2вийде поділ на нуль! Що робити не можна категорично. Значить х = 2рішенням не є, і у відповіді не враховується. Це так званий сторонній чи зайвий корінь. Ми його просто відкидаємо. Остаточний корінь один. х = 3.
Як так?! – чую обурені вигуки. Нас вчили, що рівняння можна множити вираз! Це тотожне перетворення!
Так, тотожний. При маленькій умові- Вираз, на яке множимо (ділимо) - відмінно від нуля. А х – 2при х = 2одно нулю! Отже, все чесно.
І що тепер робити?! Чи не множити на вираз? Щоразу перевірку робити? Знову незрозуміло!
Спокійно! Без паніки!
У цій тяжкій ситуації нас врятують три магічні літери. Я знаю, що ви подумали. Правильно! Це ОДЗ . Область допустимих значень.
За допомогою цієї математичної програми ви можете розв'язати квадратне рівняння.
Програма не тільки дає відповідь задачі, а й відображає процес розв'язання двома способами:
- за допомогою дискримінанта
- за допомогою теореми Вієта (якщо можливо).
Причому відповідь виводиться точна, а не наближена.
Наприклад, для рівняння \(81x^2-16x-1=0\) відповідь виводиться у такій формі:
Ця програма може бути корисною учням старших класів загальноосвітніх шкілпри підготовці до контрольним роботамта іспитів, під час перевірки знань перед ЄДІ, батькам для контролю вирішення багатьох завдань з математики та алгебри. А може вам занадто накладно наймати репетитора чи купувати нові підручники? Або ви просто хочете якнайшвидше зробити домашнє завданняз математики чи алгебри? У цьому випадку ви можете скористатися нашими програмами з докладним рішенням.
Таким чином ви можете проводити своє власне навчаннята/або навчання своїх молодших братів або сестер, при цьому рівень освіти в галузі розв'язуваних завдань підвищується.
Якщо ви не знайомі з правилами введення квадратного багаточлена, рекомендуємо ознайомитися з ними.
Правила введення квадратного багаточлена
Як змінна може виступати будь-яка латинська буква.
Наприклад: (x, y, z, a, b, c, o, p, q \) і т.д.
Числа можна вводити цілі або дрібні.
Причому, дробові числа можна вводити у вигляді десяткового, а й у вигляді звичайного дробу.
Правила введення десяткових дробів.
У десяткових дробах частина від цілої може відокремлюватися як точкою так і комою.
Наприклад, можна вводити десяткові дробитак: 2.5x - 3,5x^2
Правила введення звичайних дробів.
Як чисельник, знаменник і цілої частини дробу може виступати тільки ціле число.
Знаменник може бути негативним.
При введенні числового дробу чисельник відокремлюється від знаменника знаком розподілу: /
Ціла частинавідокремлюється від дробу знаком амперсанд: &
Введення: 3&1/3 - 5&6/5z +1/7z^2
Результат: \(3\frac(1)(3) - 5\frac(6)(5) z + \frac(1)(7)z^2 \)
При введенні виразу можна використовувати дужки. У цьому випадку при розв'язанні квадратного рівняння введений вираз спочатку спрощується.
Наприклад: 1/2(y-1)(y+1)-(5y-10&1/2)
Вирішити
Виявлено, що не завантажилися деякі скрипти, необхідні для вирішення цього завдання, і програма може не працювати.
Можливо у вас увімкнено AdBlock.
У цьому випадку вимкніть його та оновіть сторінку.
Щоб рішення з'явилося, потрібно включити JavaScript.
Ось інструкції, як включити JavaScript у вашому браузері.
Т.к. охочих вирішити завдання дуже багато, ваш запит поставлено в чергу.
За кілька секунд рішення з'явиться нижче.
Будь ласка зачекайте сік...
Якщо ви помітили помилку у рішенні, то про це ви можете написати у Формі зворотного зв'язку.
Не забудьте вказати яке завданняви вирішуєте і що вводьте у поля.
Наші ігри, головоломки, емулятори:
Трохи теорії.
Квадратне рівняння та його коріння. Неповні квадратні рівняння
Кожне із рівнянь
\(-x^2+6x+1,4=0, \quad 8x^2-7x=0, \quad x^2-\frac(4)(9)=0 \)
має вигляд
\(ax^2+bx+c=0, \)
де x – змінна, a, b та c – числа.
У першому рівнянні a = -1, b = 6 та c = 1,4, у другому a = 8, b = -7 та c = 0, у третьому a = 1, b = 0 та c = 4/9. Такі рівняння називають квадратними рівняннями.
Визначення.
Квадратним рівняннямназивається рівняння виду ax 2 +bx+c=0, де x - змінна, a, b і c - деякі числа, причому (a \neq 0 \).
Числа a, b та c - коефіцієнти квадратного рівняння. Число a називають першим коефіцієнтом, число b – другим коефіцієнтом та число c – вільним членом.
У кожному із рівнянь виду ax 2 +bx+c=0, де (a \neq 0 \), найбільша ступінь змінної x - квадрат. Звідси й назва квадратне рівняння.
Зауважимо, що квадратне рівняння називають ще рівнянням другого ступеня, оскільки його ліва частина є багаточленом другого ступеня.
Квадратне рівняння, у якому коефіцієнт при x 2 дорівнює 1, називають наведеним квадратним рівнянням. Наприклад, наведеними квадратними рівняннями є рівняння
\(x^2-11x+30=0, \quad x^2-6x=0, \quad x^2-8=0 \)
Якщо у квадратному рівнянні ax 2 +bx+c=0 хоча б один із коефіцієнтів b або c дорівнює нулю, то таке рівняння називають неповним квадратним рівнянням. Так, рівняння -2x2+7=0, 3x2-10x=0, -4x2=0 - неповні квадратні рівняння. У першому їх b=0, у другому c=0, у третьому b=0 і c=0.
Неповні квадратні рівняння бувають трьох видів:
1) ax 2 +c=0, де (c \neq 0 \);
2) ax 2 +bx=0, де (b \neq 0 \);
3) ax 2 = 0.
Розглянемо рішення рівнянь кожного із цих видів.
Для вирішення неповного квадратного рівняння виду ax 2 +c=0 при (c \neq 0 \) переносять його вільний член у праву частину і ділять обидві частини рівняння на a:
\(x^2 = -\frac(c)(a) \Rightarrow x_(1,2) = \pm \sqrt( -\frac(c)(a)) \)
Оскільки \(c \neq 0 \), то \(-\frac(c)(a) \neq 0 \)
Якщо \(-\frac(c)(a)>0 \), то рівняння має два корені.
Якщо \(-\frac(c)(a) Для розв'язання неповного квадратного рівняння виду ax 2 +bx=0 при \(b \neq 0 \) розкладають його ліву частину на множники і одержують рівняння
\(x(ax+b)=0 \Rightarrow \left\( \begin(array)(l) x=0 \\ ax+b=0 \end(array) \right. \Rightarrow \left\( \begin (array)(l) x=0 \\ x=-\frac(b)(a) \end(array) \right. \)
Отже, неповне квадратне рівняння виду ax 2 +bx=0 при (b \neq 0 \) завжди має два корені.
Неповне квадратне рівняння виду ax 2 = 0 рівносильне рівнянню x 2 = 0 і тому має єдиний корінь 0.
Формула коренів квадратного рівняння
Розглянемо тепер, як вирішують квадратні рівняння, в яких обидва коефіцієнти за невідомих і вільний член відмінні від нуля.
Вирішимо квадратне рівняння в загальному вигляді і в результаті отримаємо формулу коренів. Потім цю формулу можна буде застосовувати під час вирішення будь-якого квадратного рівняння.
Розв'яжемо квадратне рівняння ax 2 +bx+c=0
Розділивши обидві його частини на a, отримаємо рівносильне йому наведене квадратне рівняння
\(x^2+\frac(b)(a)x +\frac(c)(a)=0 \)
Перетворимо це рівняння, виділивши квадрат двочлена:
\(x^2+2x \cdot \frac(b)(2a)+\left(\frac(b)(2a)\right)^2- \left(\frac(b)(2a)\right)^ 2 + \frac(c)(a) = 0 \Rightarrow \)
Підкорене вираз називають дискримінантом квадратного рівняння ax 2 +bx+c=0 («дискримінант» латиною - розрізняльник). Його позначають буквою D, тобто.
\(D = b^2-4ac \)
Тепер, використовуючи позначення дискримінанта, перепишемо формулу для коріння квадратного рівняння:
\(x_(1,2) = \frac( -b \pm \sqrt(D) )(2a) \), де \(D= b^2-4ac \)
Очевидно, що:
1) Якщо D>0, то квадратне рівняння має два корені.
2) Якщо D=0, то квадратне рівняння має один корінь \(x=-\frac(b)(2a) \).
3) Якщо D Таким чином, залежно від значення дискримінанта квадратне рівняння може мати два корені (при D > 0), один корінь (при D = 0) або не мати коріння (при D При вирішенні квадратного рівняння за даною формулою доцільно чинити наступним чином:
1) обчислити дискримінант та порівняти його з нулем;
2) якщо дискримінант позитивний або дорівнює нулю, то скористатися формулою коренів, якщо дискримінант негативний, то записати, що коріння немає.
Теорема Вієта
Наведене квадратне рівняння ax 2 -7x+10=0 має коріння 2 і 5. Сума коренів дорівнює 7, а добуток дорівнює 10. Ми бачимо, що сума коренів дорівнює другому коефіцієнту, взятому з протилежним знаком, А добуток коренів дорівнює вільному члену. Такою властивістю має будь-яке наведене квадратне рівняння, що має коріння.
Сума коренів наведеного квадратного рівняння дорівнює другому коефіцієнту, взятому з протилежним знаком, а добуток коренів дорівнює вільному члену.
Тобто. теорема Вієта стверджує, що коріння x 1 і x 2 наведеного квадратного рівняння x 2 +px+q=0 мають властивість:
\(\left\( \begin(array)(l) x_1+x_2=-p \\ x_1 \cdot x_2=q \end(array) \right. \)
Квадратні рівняння часто з'являються під час вирішення різних завдань фізики та математики. У цій статті ми розглянемо, як вирішувати ці рівності універсальним способом через дискримінант. Приклади використання здобутих знань також даються у статті.
Про які рівняння йтиметься?
На малюнку нижче зображено формулу, в якій x - невідома змінна, а латинські символи a, b, c є деякими відомими числами.
Кожен із цих символів називається коефіцієнтом. Як можна помітити, число "a" стоїть перед змінною x, зведеною квадрат. Це максимальна міра представленого виразу, тому воно називається квадратним рівнянням. Часто використовують іншу назву: рівняння другого порядку. Саме значення a – це квадратний коефіцієнт (який стоїть при змінній у квадраті), b – це лінійний коефіцієнт (він знаходиться поруч із змінною, зведеною в перший ступінь), нарешті, число c – вільний член.
Зазначимо, що вид рівняння, зображений на малюнку вище, є загальним класичним квадратним виразом. Крім нього, існують інші рівняння другого порядку, в яких коефіцієнти b, c можуть бути нульовими.
Коли ставлять завдання вирішити розглянуту рівність, це означає, що такі значення змінної x потрібно знайти, які б йому задовольняли. Тут насамперед потрібно запам'ятати наступну річ: оскільки максимальний ступінь ікса - це 2, то даний типвиразів не може мати більше, ніж 2 рішення. Це означає, що якщо при вирішенні рівняння було знайдено 2 значення x, які йому задовольняють, то можна бути впевненим, що не існує ніякого 3-го числа, підставляючи яке замість x, рівність також була б істиною. Рішення рівняння в математиці називають його корінням.
Способи розв'язання рівнянь другого порядку
Рішення рівнянь цього потребує знання деякої теорії про них. У шкільному курсі алгебри розглядають 4 різних методурішення. Перерахуємо їх:
- за допомогою факторизації;
- використовуючи формулу для повного квадрата;
- застосовуючи графік відповідної квадратичної функції;
- Використовуючи рівняння дискримінанта.
Плюс першого методу полягає в його простоті, однак він не для всіх рівнянь може застосовуватися. Другий спосіб є універсальним, проте дещо громіздким. Третій метод відрізняється своєю наочністю, але він не завжди зручний і застосовний. І, нарешті, використання рівняння дискримінанта - це універсальний і досить простий спосіб знаходження коріння будь-якого рівняння другого порядку. Тож у статті розглянемо лише його.
Формула для отримання коренів рівняння
Звернемося до загального виглядуквадратного рівняння. Запишемо його: a*x²+ b*x + c =0. Перед тим, як користуватися способом його вирішення "через дискримінант", слід наводити рівність завжди до записаного вигляду. Тобто воно має складатися із трьох доданків (або менше, якщо b або c дорівнює 0).
Наприклад, якщо є вираз: x²-9*x+8 = -5*x+7*x², спочатку слід перенести всі його члени в один бік рівності і скласти доданки, що містять змінну x в однакових ступенях.
У цьому випадку ця операція призведе до наступного виразу: -6*x²-4*x+8=0, яке еквівалентне рівнянню 6*x²+4*x-8=0 (тут ліву та праву частини рівності ми помножили на -1) .
У прикладі вище a = 6, b = 4, c = -8. Зауважимо, що це члени аналізованої рівності завжди підсумовуються між собою, тому якщо з'являється знак "-", це означає, що негативним є відповідний коефіцієнт, як число c у разі.
Розібравши цей момент, перейдемо тепер до самої формули, яка дає змогу одержати коріння квадратного рівняння. Вона має вигляд, представлений на фото нижче.
Як видно з цього виразу, воно дозволяє отримувати два корені (слід звернути увагу на знак "±"). Для цього в нього достатньо підставити коефіцієнти b, c та a.
Поняття про дискримінанта
У попередньому пункті було наведено формулу, яка дозволяє швидко вирішити будь-яке рівняння другого порядку. У ній підкорене вираз називають дискримінантом, тобто D = b?-4 * a * c.
Чому цю частину формули виділяють і вона навіть має власну назву? Справа в тому, що дискримінант пов'язує в єдиний вираз усі три коефіцієнти рівняння. Останній фактозначає, що він повністю несе інформацію про коріння, яку можна виразити таким списком:
- D>0: рівність має 2 різних рішення, причому обидва вони є дійсними числами.
- D=0: у рівняння лише один корінь, і він є дійсним числом.
Завдання визначення дискримінанта
Наведемо простий приклад, як знайти дискримінант. Нехай дано таку рівність: 2*x² – 4+5*x-9*x² = 3*x-5*x²+7.
Наведемо його до стандартного вигляду, отримуємо: (2*x²-9*x²+5*x²) + (5*x-3*x) + (- 4-7) = 0, звідки приходимо до рівності: -2*x² +2 * x-11 = 0. Тут a = -2, b = 2, c = -11.
Тепер можна скористатися названою формулою для дискримінанта: D = 2 ² - 4 * (-2) * (-11) = -84. Отримане число є відповіддю на поставлене завдання. Оскільки в прикладі дискримінант менше нуля, можна сказати, що це квадратне рівняння немає дійсних коренів. Його рішенням будуть лише числа комплексного типу.
Приклад нерівності через дискримінант
Розв'яжемо задачі дещо іншого типу: дано рівність -3*x²-6*x+c = 0. Необхідно знайти такі значення c, для яких D>0.
В даному випадку відомо лише 2 з 3 коефіцієнтів, тому розрахувати точне значення дискримінанта не вийде, проте відомо, що він є позитивним. Останній факт використовуємо під час упорядкування нерівності: D= (-6)²-4*(-3)*c>0 => 36+12*c>0. Вирішення отриманої нерівності призводить до результату: c>-3.
Перевіримо отримане число. Для цього обчислимо D для 2 випадків: c=-2 та c=-4. Число -2 задовольняє отриманий результат (-2>-3), відповідний дискримінант матиме значення: D = 12>0. У свою чергу, число -4 не задовольняє нерівності (-4Таким чином, будь-які числа c, які більші за -3, будуть задовольняти умові.
Приклад вирішення рівняння
Наведемо завдання, яке полягає у знаходженні дискримінанта, а й у вирішенні рівняння. Потрібно знайти коріння для рівності -2*x²+7-9*x = 0.
У цьому прикладі дискримінант дорівнює наступному значенню: D = 81-4*(-2)*7= 137. Тоді коріння рівняння визначиться так: x = (9±√137)/(-4). Це точні значеннякоріння, якщо обчислити приблизно корінь, тоді вийдуть числа: x = -5,176 і x = 0,676.
Геометричне завдання
Вирішимо завдання, яке вимагатиме не тільки вміння обчислювати дискримінант, але й застосування навичок абстрактного мислення та знання, як складати квадратні рівняння.
У Боба була пухова ковдра розміром 5 x 4 метри. Хлопчик захотів пришити до нього по всьому периметру суцільну смугу із гарної тканини. Якої товщини буде ця смуга, якщо відомо, що Боб має 10 м² тканини.
Нехай смуга матиме товщину x м, тоді площа тканини по довгій стороні ковдри становитиме (5+2*x)*x, а оскільки довгих сторін 2, маємо: 2*x*(5+2*x). По короткій стороні площа пришитої тканини складе 4x, тому що цих сторін 2, то отримуємо значення 8x. Зазначимо, що до довгої сторони було додано значення 2x, оскільки довжина ковдри збільшилася на це число. Загальна пришита до ковдри площа тканини дорівнює 10 м ². Тому одержуємо рівність: 2*x*(5+2*x) + 8*x = 10 => 4*x²+18*x-10 = 0.
Для цього прикладу дискримінант дорівнює: D = 18²-4*4*(-10) = 484. Його корінь дорівнює 22. Скориставшись формулою, знаходимо коріння: x = (-18±22)/(2*4) = ( 5; 0,5). Очевидно, що з двох коренів підходить за умовою завдання лише число 0,5.
Таким чином, смуга з тканини, яку пришиє Боб до своєї ковдри, матиме ширину 50 см.
Більше простим способом. Для цього винесіть z за дужки. Ви отримаєте : z(аz + b) = 0. Множники можна розписати: z = 0 і аz + b = 0, тому що обидва можуть давати в результаті нуль. У записі аz + b = 0 перенесемо другий праворуч з іншим знаком. Звідси одержуємо z1 = 0 і z2 = -b/а. Це і є коріння вихідного.
Якщо є неповне рівняння виду аz² + з = 0, у разі перебувають простим перенесенням вільного члена праву частину рівняння. Також поміняйте у своїй його знак. Вийде запис аz² = -с. Виразіть z² = -с/а. Візьміть корінь і запишіть два рішення – позитивне та негативне значення кореня квадратного.
Зверніть увагу
За наявності в рівнянні дробових коефіцієнтів помножте все рівняння на відповідний множник так, щоб позбавитися дробів.
Знання про те, як розв'язувати квадратні рівняння, потрібне і школярам, і студентам, іноді це може допомогти і дорослій людині у звичайному житті. Є кілька певних методів рішень.
Розв'язання квадратних рівнянь
Квадратне рівняння виду a*x^2+b*x+c=0. Коефіцієнт х є шуканою змінною, a, b, c - числові коефіцієнти. Пам'ятайте, що знак "+" може змінюватися на знак "-".Для того, щоб вирішити дане рівняння, необхідно скористатися теоремою Вієта або знайти дискримінант. Найпоширенішим способом є знаходження дискримінанта, тому що при деяких значеннях a, b, c скористатися теоремою Вієта неможливо.
Щоб знайти дискримінант (D) необхідно записати формулу D=b^2 - 4*a*c. Значення D може бути більшим, меншим або дорівнює нулю. Якщо D більше або менше нуля, то кореня буде два, якщо D = 0, то залишається лише один корінь, більш точно можна сказати, що D у цьому випадку має два рівнозначні корені. Підставте відомі коефіцієнти a, b, c формулу і обчисліть значення.
Після того, як ви знайшли дискримінант, для знаходження х скористайтеся формулами: x(1) = (- b+sqrt(D))/2*a; x(2) = (- b-sqrt(D))/2*a, де sqrt - це функція, що означає вилучення квадратного кореня з даного числа. Порахувавши ці вирази, ви знайдете два корені вашого рівняння, після чого рівняння вважається вирішеним.
Якщо D менше нуля, він все одно має коріння. В школі даний розділпрактично не вивчається. Студенти вузів повинні знати, що з'являється негативне число під коренем. Від нього позбавляються виділяючи уявну частину, тобто -1 під коренем завжди дорівнює уявному елементу «i», який множиться на корінь з таким самим позитивним числом. Наприклад, якщо D=sqrt(-20), після перетворення виходить D=sqrt(20)*i. Після цього перетворення рішення рівняння зводиться до такого ж знаходження коренів, як було описано вище.
Теорема Вієта полягає у підборі значень x(1) та x(2). Використовується два тотожні рівняння: x(1) + x(2)=-b; x(1)*x(2)=с. Причому дуже важливим моментомє знак перед коефіцієнтом b, пам'ятайте, що цей знак протилежний тому, що стоїть у рівнянні. З першого погляду здається, що порахувати x(1) і x(2) дуже просто, але при вирішенні ви зіткнетеся з тим, що числа доведеться саме підбирати.
Елементи розв'язання квадратних рівнянь
За правилами математики деякі можна розкласти на множники: (a+x(1))*(b-x(2))=0, якщо за допомогою формул математики вдалося перетворити подібним чиномце квадратне рівняння, то сміливо записуйте відповідь. x(1) і x(2) дорівнюватимуть поряд стоять коефіцієнтам у дужках, але з протилежним знаком.Також не варто забувати про неповні квадратні рівняння. У вас може бути якийсь із доданків, якщо це так, то всі його коефіцієнти просто дорівнюють нулю. Якщо перед x^2 або x нічого не варте, то коефіцієнти а і b дорівнюють 1.
Ця тема спочатку може здатися складною через безліч не найпростіших формул. Мало того, що самі квадратні рівняння мають довгі записи, ще й коріння знаходиться через дискримінант. Усього виходить три нові формули. Не дуже просто запам'ятати. Це вдається лише після частого розв'язання таких рівнянь. Тоді всі формули будуть згадуватися самі собою.
Загальний вигляд квадратного рівняння
Тут запропоновано їх явний запис, коли найбільша ступінь записана першою, і далі - за спаданням. Часто бувають ситуації, коли доданки стоять врозріз. Тоді краще переписати рівняння в порядку зменшення ступеня у змінної.
Введемо позначення. Вони представлені у таблиці нижче.
Якщо прийняти ці позначення, то всі квадратні рівняння зводяться до наступного запису.
Причому коефіцієнт а ≠ 0. Нехай цю формулу буде позначено номером один.
Коли рівняння задано, то незрозуміло, скільки коренів буде у відповіді. Тому що завжди можливий один із трьох варіантів:
- у рішенні буде два корені;
- відповіддю буде одне число;
- коріння рівняння не буде зовсім.
І поки рішення не доведено до кінця, складно зрозуміти, який варіант випаде в конкретному випадку.
Види записів квадратних рівнянь
У завданнях можуть зустрічатися різні записи. Не завжди вони будуть виглядати як загальна формулаквадратного рівняння. Іноді в ній не вистачатиме деяких доданків. Те, що було записано вище, — це повне рівняння. Якщо в ньому прибрати другий або третій доданок, то вийде щось інше. Ці записи теж називаються квадратними рівняннями, лише неповними.
Причому зникнути можуть тільки доданки, у яких коефіцієнти «в» і «с». Число «а» не може бути рівним нулю ні за яких умов. Тому що в цьому випадку формула перетворюється на лінійне рівняння. Формули для неповного виду рівнянь будуть такими:
Отже, видів лише два, крім повних, є ще й неповні квадратні рівняння. Нехай перша формула матиме номер два, а друга – три.
Дискримінант та залежність кількості коренів від його значення
Це число потрібно знати у тому, щоб обчислити коріння рівняння. Воно може бути пораховано завжди, якою б не була формула квадратного рівняння. Для того щоб обчислити дискримінант, потрібно скористатися рівністю, записаною нижче, яка матиме номер чотири.
Після підстановки в цю формулу значень коефіцієнтів можна отримати числа з різними знаками. Якщо відповідь позитивна, то відповіддю рівняння будуть два різні корені. При негативному числікоріння квадратного рівняння не буде. У разі рівності нулю відповідь буде одна.
Як розв'язується квадратне рівняння повного вигляду?
По суті, розгляд цього питання вже розпочався. Тому що спочатку потрібно знайти дискримінант. Після того, як з'ясовано, що є коріння квадратного рівняння, і відомо їх число, потрібно скористатися формулами для змінних. Якщо коріння два, потрібно застосувати таку формулу.
Оскільки в ній стоїть знак "±", то значень буде два. Вираз під знаком квадратного кореня – це дискримінант. Тому формулу можна переписати інакше.
Формула номер п'ять. З цього ж запису видно, що якщо дискримінант дорівнює нулю, то обидва корені набудуть однакових значень.
Якщо рішення квадратних рівняньще не відпрацьовано, краще до того, як застосовувати формули дискримінанта і змінної, записати значення всіх коефіцієнтів. Пізніше цей момент не викликатиме труднощів. Але на початку буває плутанина.
Як розв'язується квадратне рівняння неповного вигляду?
Тут все набагато простіше. Навіть немає потреби у додаткових формулах. І не знадобляться ті, що вже були записані для дискримінанта та невідомої.
Спершу розглянемо неповне рівняння під номером два. У цій рівності слід винести невідому величину за дужку і вирішити лінійне рівняння, яке залишиться в дужках. У відповіді буде два корені. Перший - обов'язково дорівнює нулю, тому що є множник, що складається із самої змінної. Другий вийде під час вирішення лінійного рівняння.
Неповне рівняння під номером три вирішується перенесенням числа з лівої частини рівності до правої. Потім треба розділити на коефіцієнт, що стоїть перед невідомою. Залишиться лише витягти квадратний корінь і не забути записати його двічі з протилежними знаками.
Далі записані деякі дії, які допомагають навчитися вирішувати всілякі види рівностей, які перетворюються на квадратні рівняння. Вони сприятимуть тому, що учень зможе уникнути помилок через неуважність. Ці недоліки бувають причиною поганих оцінок щодо великої тематики «Квадратні рівняння (8 клас)». Згодом ці дії не потрібно постійно виконувати. Тому що з'явиться стійка навичка.
- Спочатку потрібно записати рівняння у стандартному вигляді. Тобто спочатку доданок із найбільшим ступенем змінним, а потім - без ступеня і останнім - просто число.
- Якщо перед коефіцієнтом «а» з'являється мінус, він може ускладнити роботу для початківця вивчати квадратні рівняння. Його краще позбутися. Для цього всі рівність потрібно помножити на «-1». Це означає, що у всіх доданків зміниться знак протилежний.
- Так само рекомендується позбавлятися дробів. Просто помножити рівняння на відповідний множник, щоб знаменники скоротилися.
Приклади
Потрібно вирішити такі квадратні рівняння:
х 2 − 7х = 0;
15 − 2х − х 2 = 0;
х 2 + 8 + 3х = 0;
12х + х 2 + 36 = 0;
(x + 1) 2 + x + 1 = (x + 1) (x + 2).
Перше рівняння: х 2 − 7х = 0. Воно неповне, тому вирішується так, як описано для формули під номером два.
Після винесення за дужки виходить: х (х – 7) = 0.
Перший корінь набуває значення: х 1 = 0. Другий буде знайдено з лінійного рівняння: х - 7 = 0. Легко помітити, що х 2 = 7.
Друге рівняння: 5х2 + 30 = 0. Знову неповне. Тільки вирішується так, як описано для третьої формули.
Після перенесення 30 у праву частину рівності: 5х 2 = 30. Тепер потрібно виконати поділ на 5. Виходить: х 2 = 6. Відповідями будуть числа: х 1 = √6, х 2 = - √6.
Третє рівняння: 15 − 2х − х 2 = 0. Тут і далі розв'язання квадратних рівнянь буде починатися з їх переписування у стандартний вигляд: − х 2 − 2х + 15 = 0. Тепер настав час скористатися другим корисною порадоюта помножити все на мінус одиницю. Виходить х 2 + 2х - 15 = 0. За четвертою формулою потрібно обчислити дискримінант: Д = 2 2 - 4 * (- 15) = 4 + 60 = 64. Він є позитивним числом. З того, що сказано вище, виходить, що рівняння має два корені. Їх треба вирахувати за п'ятою формулою. По ній виходить, що х = (-2±64) / 2 = (-2 ± 8) / 2. Тоді х 1 = 3, х 2 = - 5.
Четверте рівняння х 2 + 8 + 3х = 0 перетворюється на таке: х 2 + 3х + 8 = 0. Його дискримінант дорівнює такому значенню: -23. Оскільки це число негативне, то відповіддю до цього завдання буде наступний запис: «Корнів немає».
П'яте рівняння 12х + х 2 + 36 = 0 слід переписати так: х 2 + 12х + 36 = 0. Після застосування формули для дискримінанта виходить число нуль. Це означає, що він матиме один корінь, саме: х = -12/ (2 * 1) = -6.
Шосте рівняння (х+1) 2 + х + 1 = (х+1)(х+2) вимагає провести перетворення, які полягають у тому, що потрібно навести подібні доданки, до того розкривши дужки. На місці першої виявиться такий вираз: х 2 + 2х + 1. Після рівності з'явиться цей запис: х 2 + 3х + 2. Після того як подібні доданки будуть пораховані, рівняння набуде вигляду: х 2 - х = 0. Воно перетворилося на неповне . Подібне йому вже розглядалося трохи вище. Корінням цього будуть числа 0 та 1.
Loading...