Десятковий дріб використовується, коли потрібно виконувати дії з нецілими числами. Це може здатися нераціональним. Але такий вид чисел значно полегшує математичні операції, які з ними необхідно виконувати. Це розуміння приходить з часом, коли їх запис стає звичним, а прочитання не викликає труднощів, і освоєно правила десяткових дробів. Тим більше, що всі дії повторюють вже відомі, які засвоєні з натуральними числами. Тільки слід запам'ятати деякі особливості.
Визначення десяткового дробу
Десятковий дріб - це особливе уявлення нецілого числа зі знаменником, який ділиться на 10, а відповідь виходить у вигляді одиниці і, можливо, нулів. Іншими словами, якщо у знаменнику 10, 100, 1000 і так далі, то зручніше переписати число з використанням коми. Тоді до неї буде розташована ціла частина, а потім – дрібна. Причому запис другої половини числа залежатиме від знаменника. Кількість цифр, що знаходяться в дробовій частині, повинна дорівнювати розряду знаменника.
Проілюструвати вищесказане можна цими числами:
9/10=0,9; 178/10000=0,0178; 3,05; 56 003,7006.
Причини, через які знадобилося застосування десяткових дробів
Математикам знадобилися десяткові дроби з кількох підстав:
Спрощення запису. Такий дріб розташований уздовж однієї лінії без рисочки між знаменником і чисельником, при цьому наочність не страждає.
Простота у порівнянні. Досить просто співвіднести цифри, що у однакових позиціях, тоді як із звичайними дробами довелося б приводити до загального знаменника.
Спрощення обчислень.
Калькулятори не розраховані на введення звичайних дробів, вони для всіх операцій використовують десятковий запис чисел.
Як правильно прочитати такі цифри?
Відповідь проста: так само, як звичайне змішане число зі знаменником, кратним 10. Виняток становлять лише дроби без цілого значення, тоді при читанні потрібно вимовляти «нуль цілих».
Наприклад, 45/1000 потрібно вимовити як сорок п'ять тисячних, в той же час 0,045 звучатиме як нуль цілих сорок п'ять тисячних.
Змішане число з цілою частиноюрівним 7 і дробом 17/100, що запишеться як 7,17, в обох випадках буде прочитано як сім цілих сімнадцять сотих.
Роль розрядів у записі дробів
Правильно відзначити розряд - те, що вимагає математика. Десяткові дроби та їх значення можуть суттєво змінитись, якщо записати цифру не там. Втім, це було справедливо й раніше.
Для прочитання розрядів цілої частини десяткового дробуНеобхідно просто користуватися правилами, відомими для натуральних чисел. А у правій частині вони дзеркально відбиваються і по-іншому читаються. Якщо у цілій частині звучало "десятки", то після коми це будуть уже "десяті".
Наочно це можна побачити у цій таблиці.
| клас | тисячі | одиниці | , | дробова частина | |||||||
| розряд | сот. | дес. | од. | сот. | дес. | од. | десята | сота | тисячна | десятитисячна | |
Як правильно записати змішане число десятковим дробом?
Якщо в знаменнику стоїть число, що дорівнює 10 або 100, та інші, то питання про те, як дріб перевести в десятковий, нескладне. Для цього досить по-іншому переписати усі її складові. У цьому допоможуть такі пункти:
трохи осторонь написати чисельник дробу, у цей момент десяткова кома розташовується праворуч, після останньої цифри;
перемістити кому вліво, тут найголовніше - правильно порахувати цифри - пересунути її потрібно на стільки позицій, скільки нулів у знаменнику;
якщо їх не вистачає, то на порожніх позиціях мають опинитися нулі;
нулі, які були наприкінці числа, тепер не потрібні, і їх можна закреслити;
перед комою приписати цілу частину, якщо її не було, то тут також виявиться нуль.
Увага. Не можна закреслювати нулі, які були оточені іншими цифрами.
Про те, як бути в ситуації, коли в знаменнику число не тільки з одиниці та нулів, як дріб переводити в десятковий, можна прочитати трохи нижче. Це важлива інформація, з якою обов'язково варто ознайомитись.
Як дріб перевести в десятковий, якщо знаменник – довільне число?
Тут можливі два варіанти:
Коли знаменник можна представити у вигляді числа, яке дорівнює десяти будь-якою мірою.
Якщо таку операцію виконати не можна.
Як це перевірити? Потрібно розкласти знаменник на множники. Якщо у творі присутні лише 2 і 5, то все добре, і дріб легко перетворюється на кінцеву десяткову. В іншому випадку, якщо з'являються 3, 7 та інші прості числа, результат буде нескінченним. Такий десятковий дріб для зручності використання в математичних операціях прийнято округляти. Про це буде трохи нижче.
Вивчає, як виходять такі десяткові дроби, 5 клас. Приклади тут будуть дуже доречними.
Нехай у знаменниках знаходяться числа: 40, 24 та 75. Розкладання на прості множники для них буде таке:
- 40 = 2 · 2 · 2 · 5;
- 24 = 2 · 2 · 2 · 3;
- 75 = 5 · 5 · 3.
У цих прикладах тільки перший дріб може бути представлений у вигляді кінцевого.
Алгоритм переведення звичайного дробу в кінцевий десятковий
Перевірити розкладання знаменника на прості множники та переконатися в тому, що воно складатиметься з 2 та 5.
Додати до цих чисел стільки 2 і 5, щоб їх стала рівна кількість. Вони нададуть значення додаткового множника.
Здійснити множення знаменника та чисельника на це число. В результаті вийде звичайний дріб, під межею у якої стоїть десять певною мірою.
Якщо завдання ці дії виконуються зі змішаним числом, його спочатку треба подати як неправильної дроби. А вже потім діяти за описаним сценарієм.
Подання звичайного дробу у вигляді заокругленого десяткового
Цей спосіб того, як дріб переводити в десятковий, комусь здасться навіть простіше. Тому що в ньому немає великої кількостідій. Потрібно лише розділити значення чисельника на знаменник.
До будь-якого числа з десятковою частиною праворуч від коми можна приписати нескінченну кількість нулів. Цією властивістю і потрібно скористатися.
Спочатку записати цілу частину і поставити після неї кому. Якщо дріб правильний, то написати нуль.
Потім потрібно виконати розподіл чисельника на знаменник. Так, щоб кількість цифр у них була однакова. Тобто приписати праворуч у чисельника потрібну кількість нулів.
Виконувати розподіл у стовпчик доти, доки не буде набрано потрібну кількість цифр. Наприклад, якщо округлити потрібно буде до сотих, то у відповіді їх має бути 3. Загалом цифр має бути на одну більше, ніж потрібно отримати в результаті.
Записати проміжну відповідь після коми та округлити за правилами. Якщо остання цифра- від 0 до 4, її потрібно просто відкинути. А коли вона дорівнює 5-9, то варту перед нею потрібно збільшити на одиницю, відкинувши останню.
Повернення від десяткового дробу до звичайного
У математиці зустрічаються завдання, коли десяткові дроби зручніше у вигляді звичайних, у яких є чисельник із знаменником. Можна зітхнути із полегшенням: ця операція можлива завжди.
Для цієї процедури потрібно зробити таке:
записати цілу частину, якщо вона дорівнює нулю, нічого писати не треба;
провести дробову межу;
над нею записати цифри з правої частини, якщо першими йдуть нулі, їх треба закреслити;
під рисою написати одиницю з такою кількістю нулів, скільки цифр стоїть після коми в початковому дробі.
Це все, що потрібно зробити, щоб перевести десятковий дріб у звичайний.
Що можна робити із десятковими дробами?
У математиці це будуть певні дії з десятковими дробами, які раніше виконувалися для інших чисел.
Ними є:
порівняння;
додавання та віднімання;
множення та розподіл.
Перша дія, порівняння, схожа на те, як це робилося для натуральних чисел. Щоб визначити, яке більше потрібно порівнювати розряди цілої частини. Якщо вони виявляться рівними, то переходять до дробової і так само за розрядами їх порівнюють. Те число, де виявиться велика цифра у старшому розряді, буде відповіддю.
Додавання та віднімання десяткових дробів
Це, мабуть, найпростіші дії. Тому що виконуються за правилами для натуральних чисел.
Так, щоб виконати додавання десяткових дробів, їх потрібно записати один під одним, розмістивши коми в стовпчик. При такому записі ліворуч від ком виявляються цілі частини, а справа - дробові. І тепер потрібно скласти цифри порозрядно, як це робиться з натуральними числами, знісши вниз кому. Починати додавання потрібно з найменшого розряду дробової частини числа. Якщо у правій половині бракує цифр, то дописують нулі.
При відніманні діють так само. І тут діє правило, що визначає можливість зайняти одиницю у старшого розряду. Якщо в дробі, що зменшується після коми менше цифр, ніж у віднімається, то в ній просто приписують нулі.
Трохи складніше йде справа із завданнями, де потрібно виконати множення та розподіл десяткових дробів.
Як помножити десятковий дріб у різних прикладах?
Правило, за яким проводиться множення десяткових дробів на натуральне число, таке:
записати їх у стовпчик, не звертаючи уваги на кому;
перемножити, якби вони були натуральними;
відокремити комою стільки цифр, скільки їх було в дрібній частині вихідного числа.
Приватним випадком є приклад, у якому натуральне число дорівнює 10 будь-якою мірою. Тоді для отримання відповіді потрібно просто пересунути кому вправо на стільки позицій, скільки нулів в іншому множнику. Іншими словами, при множенні на 10 кома зрушується на одну цифру, на 100 - їх буде вже дві, і таке інше. Якщо цифр у дрібній частині не вистачає, то потрібно записати на порожніх позиціях нулі.
Правило, яким користуються, коли в завданні потрібно зробити множення десяткових дробів на інше таке число:
записати їх один під одним, не звертаючи уваги на коми;
помножити, якби вони були натуральними;
відокремити комою стільки цифр, скільки їх було в дробових частинах обох вихідних дробів разом.
Окремим випадком виділяються приклади, у яких один із множників дорівнює 0,1 або 0,01 і далі. Вони потрібно виконати переміщення коми вліво кількість цифр у представлених множниках. Тобто якщо множиться на 0,1, то кома зсувається на одну позицію.
Як поділити десятковий дріб у різних завданнях?
Розподіл десяткових дробів на натуральне число виконується за таким правилом:
записати їх для поділу в стовпчик, наче вони були б натуральними;
ділити за звичним правилом до того часу, доки закінчиться ціла частина;
поставити у відповідь кому;
продовжити поділ дробової складової до отримання залишку нуля;
якщо потрібно, можна приписати потрібну кількість нулів.
Якщо ціла частина дорівнює нулю, то й відповіді її теж не буде.
Окремо стоїть поділ на числа, що рівні десятку, сотні і так далі. У таких завданнях потрібно пересунути кому вліво на кількість нулів у дільнику. Буває, що цифр у цілій частині не вистачає, тоді замість них використовують нулі. Можна помітити, що ця операція подібна до множення на 0,1 і подібним їй числам.
Щоб виконати розподіл десяткових дробів, потрібно скористатися цим правилом:
перетворити дільник на натуральне число, а для цього перенести в ньому кому вправо до кінця;
виконати переміщення коми та в поділеному на таке ж число цифр;
діяти за попереднім сценарієм.
Виділяється розподіл на 0,1; 0,01 та інші подібні числа. У таких прикладах кома зсувається праворуч на число цифр у дрібній частині. Якщо вони закінчилися, то потрібно приписати недостатню кількість нулів. Слід зазначити, що ця дія повторює розподіл на 10 і подібні до нього числа.
Висновок: вся справа у практиці
Ніщо у навчанні не дається легко та без зусиль. Для надійного освоєння нового матеріалу потрібні час та тренування. Математика не є винятком.
Щоб тема про десяткові дроби не викликала труднощів, потрібно вирішувати з ними прикладів якнайбільше. Адже був час, коли і додавання натуральних чисел ставило в глухий кут. А тепер усе гаразд.
Тому, перефразовуючи відому фразу: вирішувати, вирішувати та ще раз вирішувати Тоді й завдання з такими числами виконуватимуться легко та невимушено, як чергова головоломка.
До речі, і головоломки спочатку вирішуються складно, а потім треба робити звичні рухи. Так само і в математичних прикладах: пройшовши одним шляхом кілька разів, потім уже не замислюватимешся над тим, куди повернути.
Назад вперед
Увага! Попередній перегляд слайдів використовується виключно для ознайомлення та може не давати уявлення про всі можливості презентації. Якщо вас зацікавила дана робота, будь ласка, завантажте повну версію.
Мета уроку:
- У захоплюючій формі ввести учням правило множення десяткового дробу на натуральне число, на розрядну одиницю і правило вираження десяткового дробу у відсотках. Виробити вміння застосування отриманих знань під час вирішення прикладів і завдань.
- Розвивати та активізувати логічне мисленняучнів, вміння виявляти закономірності та узагальнювати їх, зміцнювати пам'ять, вміння співпрацювати, надавати допомогу, оцінювати свою роботу та роботу один одного.
- Виховувати інтерес до математики, активність, мобільність, уміння спілкуватися.
Обладнання: Інтерактивна дошка, плакат із цифрограмою, плакати з висловлюваннями математиків.
Хід уроку
- Організаційний момент.
- Усний рахунок – узагальнення раніше вивченого матеріалу, підготовка до вивчення нового матеріалу.
- Пояснення нового матеріалу.
- Завдання додому.
- Математична фізкультхвилинка.
- Узагальнення та систематизація отриманих знань у ігровій форміза допомогою комп'ютера.
- Виставлення оцінок.
2. Хлопці, сьогодні у нас урок буде дещо незвичайним, тому що я проводитиму його не одна, а зі своїм другом. І друг у мене теж незвичайний, зараз ви його побачите. (На екрані з'являється комп'ютер-мультяшка). Мій друг має ім'я і він вміє розмовляти. Як тебе звуть, друже? Компоша відповідає: "Мене звуть Компоша". Ти готовий сьогодні допомагати мені? ТАК! Ну, тоді давай почнемо урок.
Мені сьогодні прийшла зашифрована цифрограма, хлопці, яку ми маємо разом вирішити та розшифрувати. (На дошці вивішується плакат з усним рахунком на додавання та віднімання десяткових дробів, в результаті рішення якого хлопці отримують наступний код 523914687. )
| 5 | 2 | 3 | 9 | 1 | 4 | 6 | 8 | 7 |
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
Розшифрувати отриманий код допомагає Компоша. В результаті розшифровки виходить слово УМНОЖЕНИЕ. Множення – це ключове словотеми сьогодення. На моніторі висвітлюється тема уроку: “Умноження десяткового дробу на натуральне число”
Діти, ми знаємо, як виконується множення натуральних чисел. Сьогодні ми з вами розглянемо множення десяткових чиселнатуральне число. Множення десяткового дробу на натуральне число можна розглядати як суму доданків, кожне з яких дорівнює цьому десятковому дробу, а кількість доданків дорівнює цьому натуральному числу. Наприклад: 5,21 · 3 = 5,21 + 5, 21 + 5,21 = 15,63Значить, 5,21 · 3 = 15,63. Представивши 5,21 у вигляді звичайного дробу на натуральне число, отримаємо
І в цьому випадку отримали той самий результат 15,63. Тепер, не звертаючи уваги на кому, візьмемо замість числа 5,21 число 521 і перемножимо на це натуральне число. Тут ми повинні пам'ятати, що в одному з множників кома перенесена на два розряди праворуч. При множенні чисел 5, 21 та 3 отримаємо добуток рівний 15,63. Тепер у цьому прикладі кому перенесемо вліво на два розряди. Таким чином, скільки разів один з множників збільшили, у стільки разів зменшили твір. З подібних моментів цих методів, зробимо висновок.
Щоб помножити десятковий дріб на натуральне число, треба:
1) не звертаючи уваги на кому, виконати множення натуральних чисел;
2) в отриманому творі відокремити комою праворуч стільки знаків, скільки їх у десятковому дробі.
На моніторі висвічуються наступні приклади, які ми розуміємо разом з Компошею та хлопцями: 5,21 · 3 = 15,63 та 7,624 · 15 = 114,34. Після показую множення на кругле число 12,6 · 50 = 630 . Далі переходжу на множення десяткового дробу на розрядну одиницю. Показую такі приклади: 7,423 · 100 = 742,3 і 5,2 · 1000 = 5200. Отже, вводжу правило множення десяткового дробу на розрядну одиницю:
Щоб помножити десятковий дріб на розрядні одиниці 10, 100, 1000 і т.д., треба в цьому дробі перенести кому вправо на стільки знаків, скільки нулів у записі розрядної одиниці.
Закінчую пояснення виразом десяткового дробу у відсотках. Вводжу правило:
Щоб виразити десятковий дріб у відсотках, його треба помножити на 100 і приписати знак %.
Наводжу приклад на комп'ютері 0,5 · 100 = 50 або 0,5 = 50%.
4. Після закінчення пояснення даю хлопцям домашнє завдання, що також висвічується на моніторі комп'ютера: № 1030, № 1034, № 1032.
5. Щоб хлопці трохи відпочили, на закріплення теми робимо разом із Компошею математичну фізкультхвилинку. Всі встають, показую класу наведені приклади і вони повинні відповісти, правильно чи не правильно вирішений приклад. Якщо приклад вирішено правильно, то вони піднімають руки над головою і роблять бавовну долонями. Якщо ж приклад вирішено не правильно, хлопці витягають руки в сторони і розминають пальчики.
6. А тепер ви трохи відпочили, можна вирішити завдання. Відкрийте підручник на сторінці 205, № 1029. у цьому завданні треба обчислити значення виразів:
Завдання відображаються на комп'ютері. У міру їх вирішення з'являється картинка із зображенням кораблика, який при повному складанні спливає.
№ 1031 Обчисли:
Вирішуючи це завдання комп'ютері, поступово складається ракета, вирішивши останній приклад, ракета відлітає. Вчитель робить невелику інформацію учням: Щороку з казахстанської землі з космодрому Байконур злітають до зірок космічні кораблі. Поруч із Байконуром Казахстан будує свій новий космодром "Байтерек".
№ 1035. Завдання.
Яка відстань пройде легкова машина за 4 години, якщо швидкість легковика 74,8 км/год.
Це завдання супроводжується звуковим оформленням та винесенням на монітор короткої умови завдання. Якщо завдання вирішено, вірно, машина починає рухатися вперед до фінішного прапорця.
№ 1033. Запиши десяткові дроби у відсотках.
0,2 = 20%; 0,5 = 50%; 0,75 = 75%; 0,92 = 92%; 1,24 =1 24%; 3,5 = 350%; 5,61= 561%.
Вирішуючи кожен приклад, з появою відповіді з'являється буква, у результаті з'являється слово Молодці.
Вчитель запитує Компошу, до чого з'явилося б це слово? Компоша відповідає: "Молодці, хлопці!" і прощається з усіма.
Вчитель підбиває підсумки уроку та виставляє оцінки.
Розмноження десяткових дробіввідбувається у три етапи.
Десяткові дроби записують у стовпчик і множать як прості числа.
Вважаємо кількість знаків після коми у першого десяткового дробу та у другому. Їхню кількість складаємо.
В отриманому результаті відраховуємо праворуч наліво стільки ж цифр, скільки вийшло їх у пункті вище і ставимо кому.
Як множити десяткові дроби
Записуємо десяткові дроби в стовпчик і множимо їх як натуральні числа, не звертаючи уваги на коми. Тобто 3,11 ми розглядаємо як 311, а 0,01 як 1.
Отримали 311 . Тепер вважаємо кількість знаків (цифр) після коми обох дробів. У першому десятковому дробі два знаки і в другому - два. Загальна кількість цифр після ком:
Відраховуємо праворуч ліворуч 4 знаки (цифри) у отриманого числа. В отриманому результаті цифр менше, ніж потрібно відокремити комою. У такому разі потрібно зліваприписати недостатнє число нулів.
У нас не вистачає однієї цифри, тому приписуємо ліворуч один нуль.
При множенні будь-якого десяткового дробуна 10; 100; 1000 і т.д. кома в десятковому дробі переміщається вправо на стільки знаків, скільки нулів коштує після одиниці.
Щоб помножити десятковий дріб на 0,1; 0,01; 0,001 і т.д., треба в цьому дробі перенести кому вліво на стільки знаків, скільки нулів стоїть перед одиницею.
Вважаємо і нуль цілих!
- 12 · 0,1 = 1,2
- 0,05 · 0,1 = 0,005
- 1,256 · 0,01 = 0,012 56
- не звертаючи уваги на коми, виконати множення за всіма правилами множення стовпчиком натуральних чисел;
- в отриманому числі відокремити десятковою комою стільки цифр праворуч, скільки десяткових знаків в обох множниках разом, при цьому якщо у творі не вистачає цифр, то ліворуч потрібно дописати потрібну кількість нулів.
Щоб зрозуміти, як множити десяткові дроби, розглянемо конкретні приклади.
Правило множення десяткових дробів
1) Примножуємо, не звертаючи уваги на кому.
2) У результаті відокремлюємо після коми стільки цифр, скільки їх після ком в обох множниках разом.
Знайти добуток десяткових дробів:
Щоб помножити десяткові дроби, множимо, не звертаючи уваги на коми. Тобто ми множимо не 6,8 і 3,4, а 68 і 34. У результаті відокремлюємо після коми стільки цифр, скільки їх після ком в обох множниках разом. У першому множнику після коми одна цифра, у другому – теж одна. Отже, відокремлюємо після коми дві цифри. Отже, отримали остаточну відповідь: 6,8∙3,4=23,12.
Примножуємо десяткові дроби, не беручи до уваги кому. Тобто фактично замість множення 36,85 на 1,14 ми множимо 3685 на 14. Отримуємо 51590. Тепер у цьому результаті треба відокремити комою стільки цифр, скільки їх в обох множниках разом. У першому числі після коми дві цифри, у другому – одна. Отже, відокремлюємо комою три цифри. Оскільки в кінці запису після коми стоїть нуль, у відповідь ми його не пишемо: 36,85 1,4 = 51,59.
Щоб помножити ці десяткові дроби, помножимо числа, не звертаючи уваги на коми. Тобто множимо натуральні числа 2315 та 7. Отримуємо 16205. У цьому числі потрібно відокремити після коми чотири цифри – стільки, скільки їх в обох множниках разом (у кожному – по два). Остаточна відповідь: 23,15∙0,07=1,6205.
Примноження десяткового дробу на натуральне число виконується аналогічно. Множимо числа, не звертаючи уваги на кому, тобто 75 множимо на 16. В отриманому результаті після коми має стояти стільки ж знаків, скільки їх в обох множниках разом – один. Таким чином, 75∙1,6=120,0=120.
Множення десяткових дробів починаємо з того, що множимо натуральні числа, тому що на коми не звертаємо уваги. Після цього відокремлюємо після коми стільки цифр, скільки в обох множниках разом. У першому числі після коми два знаки, у другому – теж два. Отже, в результаті після коми має стояти чотири цифри: 4,72 ∙ 5,04 = 23,7888.
І ще пара прикладів на множення десяткових дробів:
www.for6cl.uznateshe.ru
Розмноження десяткових дробів, правила, приклади, рішення.
Переходимо до вивчення наступної діїз десятковими дробами, зараз ми всебічно розглянемо множення десяткових дробів. Спочатку обговоримо загальні принципимноження десяткових дробів. Після цього перейдемо до множення десяткового дробу на десятковий дріб, покажемо, як виконується множення десяткових дробів стовпчиком, розглянемо рішення прикладів. Далі розберемо множення десяткових дробів на натуральні числа, зокрема 10, 100 тощо. На закінчення поговоримо про множення десяткових дробів на звичайні дроби та змішані числа.
Відразу скажемо, що в цій статті ми говоритимемо лише про множення позитивних десяткових дробів (див. негативні числа). Інші випадки розібрані у статтях множення раціональних чисел та множення дійсних чисел.
Навігація на сторінці.
Загальні принципи множення десяткових дробів
Обговоримо загальні принципи, яких слід дотримуватись під час проведення множення з десятковими дробами.
Оскільки кінцеві десяткові дроби та нескінченні періодичні дроби є десятковою формою запису звичайних дробів, то множення таких десяткових дробів насправді є множенням звичайних дробів. Іншими словами, множення кінцевих десяткових дробів, множення кінцевого та періодичного десяткових дробів, а також множення періодичних десяткових дробівзводиться до множення звичайних дробів після переведення десяткових дробів у звичайні.
Розглянемо приклади застосування озвученого принципу множення десяткових дробів.
Виконайте множення десяткових дробів 1,5 та 0,75.
Замінимо десяткові дроби, що множаться, відповідними звичайними дробами. Так як 1,5 = 15/10 і 0,75 = 75/100, то. Можна провести скорочення дробу, після чого виділити цілу частину неправильного дробу, а зручніше отриманий звичайний дріб 1125/1000 записати у вигляді десяткового дробу 1,125 .
Слід зазначити, що кінцеві десяткові дроби зручно множити стовпчиком, про спосіб множення десяткових дробів ми поговоримо у наступному пункті.
Розглянемо приклад множення періодичних десяткових дробів.
Обчисліть добуток періодичних десяткових дробів 0,(3) та 2,(36) .
Виконаємо переведення періодичних десяткових дробів у звичайні дроби:
Тоді. Можна отриманий звичайний дріб перевести в десятковий дріб: 
Якщо серед десяткових дробів, що множаться, присутні нескінченні неперіодичні, то всі множені дроби, у тому числі кінцеві і періодичні, слід округлити до деякого розряду (дивіться округлення чисел), після чого виконувати множення отриманих після округлення кінцевих десяткових дробів.
Виконайте множення десяткових дробів 5,382 і 0,2.
Спочатку округлимо нескінченну неперіодичну десяткову дріб, округлення можна провести до сотих, маємо 5,382 ... 5,38. Кінцевий десятковий дріб 0,2 округляти до сотих немає потреби. Таким чином, 5,382 ... 0,2 5,38 0,2 . Залишилося обчислити добуток кінцевих десяткових дробів: 5,38 · 0,2 = 538 / 100 · 2 / 10 = 1076 / 1000 = 1,076.
Розмноження десяткових дробів стовпчиком
Множення кінцевих десяткових дробів можна виконувати стовпчиком, аналогічно до множення стовпчиком натуральних чисел.
Сформулюємо правило множення десяткових дробів стовпчиком. Щоб помножити десяткові дроби стовпчиком, треба:
Розглянемо приклади множення десяткових дробів стовпчиком.
Виконайте множення десяткових дробів 63,37 та 0,12.
Проведемо множення десяткових дробів стовпчиком. Спочатку множимо числа, не звертаючи уваги на коми: 
Залишилося в отриманому творі поставити кому. Їй потрібно відокремити 4 цифри праворуч, тому що в множниках у сумі чотири десяткові знаки (два в дробі 3,37 і два в дробі 0,12). Цифр там вистачає, тож нулів зліва дописувати не доведеться. Закінчимо запис: 
У результаті маємо 3,37 · 0,12 = 7,6044.
Обчисліть добуток десяткових дробів 3,2601 і 0,0254.
Виконавши множення стовпчиком без урахування ком, отримуємо наступну картину: 
Тепер у творі потрібно відокремити комою 8 цифр праворуч, оскільки Загальна кількістьдесяткових знаків дробів, що множаться, дорівнює восьми. Але у творі лише 7 цифр, тому потрібно зліва приписати стільки нулів, щоб можна було відокремити комою 8 цифр. У нашому випадку потрібно приписати два нулі: 
На цьому множення десяткових дробів стовпчиком закінчено.
Розмноження десяткових дробів на 0,1, 0,01, і т.д.
Досить часто доводиться множити десяткові дроби на 0,1, 0,01 тощо. Тому доцільно сформулювати правило множення десяткового дробу на ці числа, яке випливає із розглянутих вище принципів множення десяткових дробів.
Отже, множення цього десяткового дробу на 0,1, 0,01, 0,001 і так далідає дріб, яка виходить з вихідної, якщо в її записі перенести кому вліво на 1, 2, 3 і так далі цифр відповідно, при цьому якщо не вистачає цифр для перенесення коми, то потрібно зліва дописати необхідну кількість нулів.
Наприклад, щоб помножити десятковий дріб 54,34 на 0,1, треба в дроби 54,34 перенести кому вліво на 1 цифру, при цьому вийде дріб 5,434, тобто, 54,34 · 0,1 = 5,434. Наведемо ще один приклад. Помножимо десятковий дріб 9,3 на 0,0001. Для цього нам потрібно в десятковому дробі 9,3, що множиться, перенести кому на 4 цифри вліво, але запис дробу 9,3 не містить такої кількості знаків. Тому нам потрібно в записі дробу 9,3 зліва приписати стільки нулів, щоб можна було безперешкодно здійснити перенесення коми на 4 цифри, маємо 9,3 · 0,0001 = 0,00093.
Зауважимо, що озвучене правило множення десяткового дробу на 0,1, 0,01... справедливе і для нескінченних десяткових дробів. Наприклад, 0,(18)·0,01=0,00(18) чи 93,938…·0,1=9,3938… .
Розмноження десяткового дробу на натуральне число
За своєю суттю множення десяткових дробів на натуральні числанічим не відрізняється від множення десяткового дробу на десятковий дріб.
Кінцевий десятковий дріб множити на натуральне число найзручніше стовпчиком, при цьому слід дотримуватися правил множення стовпчиком десяткових дробів, розглянутих в одному з попередніх пунктів.
Обчисліть добуток 15·2,27.
Проведемо множення натурального числа на десятковий дріб стовпчиком: 
При множенні періодичного десяткового дробу на натуральне число періодичний дріб слід замінити звичайним дробом.
Помножте десятковий дріб 0,(42) на натуральне число 22 .
Спочатку переведемо періодичний десятковий дріб у звичайний дріб:
Тепер виконаємо множення: . Цей результат у вигляді десяткового дробу має вигляд 9(3) .
А при множенні нескінченного неперіодичного десяткового дробу на натуральне число потрібно попередньо провести заокруглення.
Виконайте множення 4·2,145… .
Округливши до сотих вихідний нескінченний десятковий дріб, ми прийдемо до множення натурального числа та кінцевого десяткового дробу. Маємо 4 · 2,145 ... - 4 · 2,15 = 8,60.
Розмноження десяткового дробу на 10, 100, …
Досить часто доводиться множити десяткові дроби на 10, 100... Тому доцільно докладно зупинитися на цих випадках.
Озвучимо правило множення десяткового дробу на 10, 100, 1000 і т.д.При множенні десяткового дробу на 10, 100, … у його записи потрібно перенести кому вправо на 1, 2, 3, … цифри відповідно і відкинути зайві нулі зліва; якщо в записі дробу, що множиться, не вистачає цифр для перенесення коми, то потрібно дописати необхідну кількість нулів праворуч.
Помножте десятковий дріб 0,0783 на 100 .
Перенесемо в записі дробу 0,0783 на дві цифри праворуч, при цьому отримаємо 007,83. Відкинувши два нулі зліва, отримуємо десятковий дріб 7,38 . Таким чином, 0,0783 · 100 = 7,83.
Виконайте множення десяткового дробу 0,02 на 10 000 .
Щоб помножити 0,02 на 10 000, нам потрібно перенести кому на 4 цифри праворуч. Очевидно, в записі дробу 0,02 не вистачає цифр для перенесення коми на 4 цифри, тому допишемо кілька нулів праворуч, щоб можна було здійснити перенесення коми. У нашому прикладі достатньо дописати три нулі, маємо 0,02000. Після перенесення коми отримаємо запис 00200,0. Відкинувши нулі зліва, маємо число 200,0 , яке дорівнює натуральному числу 200 воно і є результатом множення десяткового дробу 0,02 на 10 000 .
Озвучене правило справедливе й у множення нескінченних десяткових дробів на 10, 100, … При множенні періодичних десяткових дробів треба бути обережними з періодом дробу, що є результатом множення.
Помножте періодичний десятковий дріб 5,32(672) на 1000 .
Перед множенням розпишемо періодичний десятковий дріб як 5,32672672672… це нам дозволить не допустити помилки. Тепер перенесемо кому вправо на 3 знаки, маємо 5326,726726 ... . Таким чином, після множення виходить періодичний десятковий дріб 5326, (726) .
5,32 (672) · 1000 = 5326, (726) .
При множенні нескінченних неперіодичних дробів на 10, 100, … потрібно заздалегідь провести округлення нескінченного дробудо деякого розряду, після чого проводити множення.
Розмноження десяткового дробу на звичайний дріб або змішане число
Для множення кінцевого десяткового дробу або нескінченного періодичного десяткового дробу на звичайний дріб або змішане число потрібно десятковий дріб представити у вигляді звичайного дробу, після чого провести множення.
Проведіть множення десяткового дробу 0,4 на змішане число.
Так як 0,4 = 4/10 = 2/5 і, то. Отримане число можна записати у вигляді періодичного десяткового дробу 1,5 (3).
При множенні нескінченного неперіодичного десяткового дробу на звичайний дріб або змішане число, звичайний дріб або змішане число слід замінити десятковим дробом, після чого провести округлення дробів, що множаться, і закінчити обчислення.
Оскільки 2/3=0,6666… , то. Після округлення дробів, що множаться до тисячних, приходимо до добутку двох кінцевих десяткових дробів 3,568 і 0,667 . Виконаємо множення у стовпчик: 
Отриманий результат слід округлити до тисячних, так як дроби, що множилися, були взяті з точністю до тисячних, маємо 2,379856-2,380 .
www.cleverstudents.ru
29. Примноження десяткових дробів. Правила
Знайдемо площу прямокутника зі сторонами рівними
1,4 дм та 0,3 дм. Переведемо дециметри до сантиметрів:
1,4 дм = 14 см; 0,3 дм = 3 див.
Тепер обчислимо площу в сантиметрах.
S = 143 = 42 см 2 .
Перекладемо квадратні сантиметри у квадратні
дециметри:
д м2 = 0,42 дм2.
Значить, S = 1,4 дм 0,3 дм = 0,42 дм2.
Розмноження двох десяткових дробів виконується так:
1) числа перемножуються без урахування ком.
2) кома у творі ставиться так, щоб відокремити праворуч
стільки ж знаків, скільки відокремлено в обох множниках
разом узятих. Наприклад:
1,1 0,2 = 0,22 ; 1,1 1,1 = 1,21 ; 2,2 0,1 = 0,22 .
Приклади множення десяткових дробів у стовпчик:
Замість множення будь-якого числа на 0,1; 0,01; 0,001,
можна розділити це число на 10; 100; чи 1000 відповідно.
Наприклад:
22 0,1 = 2,2 ; 22: 10 = 2,2 .
При множенні десяткового дробу на натуральне число ми повинні:
1) перемножити числа, не звертаючи уваги на кому;
2) в отриманому творі поставити кому так, щоб праворуч
від неї було стільки ж цифр, скільки в десятковому дробі.
Знайдемо твір 3,12 10 . За вказаним вище правилом
спочатку множимо 312 на 10 . Отримаємо: 312 10 = 3120 .
А тепер відокремлюємо комою дві цифри праворуч і отримуємо:
3,12 10 = 31,20 = 31,2 .
Отже, при множенні 3,12 на 10 ми перенесли кому на одну
цифру праворуч. Якщо помножити 3,12 на 100, то отримаємо 312, тобто
кому перенесли на дві цифри праворуч.
3,12 100 = 312,00 = 312 .
При множенні десяткового дробу на 10 100 1000 і т. д. треба
у цьому дробі перенести кому вправо на стільки знаків, скільки нулів
стоїть у множнику. Наприклад:
0,065 1000 = 0065, = 65 ;
2,9 1000 = 2,900 1000 = 2900, = 2900 .
Завдання на тему «Умноження десяткових дробів»
school-assistant.ru
Додавання, віднімання, множення та розподіл десяткових дробів
Складання та віднімання десяткових дробів аналогічно до складання та віднімання натуральних чисел, але з певними умовами.
Правило. проводиться за розрядами цілої та дробової частини як натуральних чисел.
При письмовому складання та віднімання десяткових дробівкома, що відокремлює цілу частину від дробової, повинна знаходитися у доданків і суми або у зменшуваного, віднімається і різниці в одному стовпці (кома під комою від запису умови до кінця обчислення).
Додавання та віднімання десяткових дробіву рядок:
243,625 + 24,026 = 200 + 40 + 3 + 0,6 + 0,02 + 0,005 + 20 + 4 + 0,02 + 0,006 = 200 + (40 + 20) + (3 + 4)+ 0,6 + (0,02 + 0,02) + (0,005 + 0,006) = 200 + 60 + 7 + 0,6 + 0,04 + 0,011 = 200 + 60 + 7 + 0,6 + (0,04 + 0,01) + 0,001 = 200 + 60 + 7 + 0,6 + 0,05 + 0,001 = 267,651
843,217 - 700,628 = (800 - 700) + 40 + 3 + (0,2 - 0,6) + (0,01 - 0,02) + (0,007 - 0,008) = 100 + 40 + 2 + (1,2 - 0,6) + (0,01 - 0,02) + (0,007 - 0,008) = 100 + 40 + 2 + 0,5 + (0,11 - 0,02) + (0,007 - 0,008) = 100 + 40 + 2 + 0,5 + 0,09 + (0,007 - 0,008) = 100 + 40 + 2 + 0,5 + 0,08 + (0,017 - 0,008) = 100 + 40 + 2 + 0,5 + 0,08 + 0,009 = 142,589
Додавання та віднімання десяткових дробіву стовпчик:
Додавання десяткових дробів вимагає верхнього додаткового рядка для запису чисел, коли сума розряду переходить через десяток. Віднімання десяткових дробів вимагає верхнього додаткового рядка для того, щоб відзначити розряд, в якому позичається 1.
Якщо праворуч від доданку або зменшуваного не вистачає розрядів дробової частини, то праворуч у дробовій частині можна дописувати стільки нулів (збільшувати розрядність дробової частини), скільки розрядів в іншому доданку або зменшуваному.
Розмноження десяткових дробівпроводиться так само, як і множення натуральних чисел, за тими ж правилами, але у творі ставиться кома за сумою розрядів множників у дробовій частині, рахуючи праворуч наліво (сума розрядів множників - це кількість розрядів після коми у множників, разом узятих).
При множення десяткових дробіву стовпчик перша справа значна цифрапідписується під першою праворуч цифрою, як і в натуральних числах:
Запис множення десяткових дробіву стовпчик:
Запис поділу десяткових дробіву стовпчик:
Підкреслені знаки - це знаки, за які переноситься кома, тому що дільник має бути цілим числом.
Правило. При розподілу дробівдільник десяткового дробу збільшується на стільки розрядів, скільки розрядів у його дробовій частині. Щоб дріб не змінилася, на стільки ж розрядів збільшується і подільне (у поділеному і дільнику кома переноситься на те саме число знаків). Кома ставиться у приватному тому етапі поділу, коли ціла частина дробу розділена.
Для десяткових дробів, як і для натуральних чисел, зберігається правило: на нуль десятковий дріб ділити не можна!
На минулому уроці ми навчилися складати та віднімати десяткові дроби (див. урок «Складання та віднімання десяткових дробів»). Заодно оцінили, наскільки спрощуються обчислення порівняно із звичайними двоповерховими дробами.
На жаль, з множенням та розподілом десяткових дробів подібного ефекту не виникає. У деяких випадках десятковий запис числа навіть ускладнює ці операції.
Спочатку введемо нове визначення. Ми зустрічатимемося з ним досить часто, і не лише на цьому уроці.
Значна частина числа - це все, що знаходиться між першою та останньою ненульовою цифрою, включаючи кінці. Йдеться лише про цифри, десяткова точка не враховується.
Цифри, що входять до значущої частини числа, називаються значущими цифрами. Вони можуть повторюватися і навіть дорівнювати нулю.
Наприклад, розглянемо кілька десяткових дробів та випишемо відповідні їм значущі частини:
- 91,25 → 9125 (значні цифри: 9; 1; 2; 5);
- 0,008241 → 8241 (значні цифри: 8; 2; 4; 1);
- 15,0075 → 150075 (значні цифри: 1; 5; 0; 0; 7; 5);
- 0,0304 → 304 (значні цифри: 3; 0; 4);
- 3000 → 3 (значна цифра лише одна: 3).
Зверніть увагу: нулі, що стоять усередині значущої частини числа, нікуди не подіються. Ми вже стикалися з чимось подібним, коли вчилися переводити десяткові дроби у звичайні (див. урок «Десятичні дроби»).
Цей момент настільки важливий, а помилки тут припускаються так часто, що найближчим часом я опублікую тест на цю тему. Обов'язково потренуйтесь! А ми, озброївшись поняттям значущої частини, почнемо, власне, тему уроку.
Розмноження десяткових дробів
Операція множення складається із трьох послідовних кроків:
- Для кожного дробу виписати значну частину. Вийдуть два звичайних цілих числа - без усіляких знаменників та десяткових точок;
- Помножити ці числа будь-яким зручним способом. Безпосередньо, якщо числа невеликі, або стовпчиком. Отримаємо значну частину шуканого дробу;
- З'ясувати, куди і скільки розрядів зрушується десяткова точка у вихідних дробах щоб одержати відповідної значущої частини. Виконати зворотні зрушення для частини, отриманої на попередньому кроці.
Ще раз нагадаю, що нулі, що стоять з обох боків від значущої частини, ніколи не враховуються. Ігнорування цього правила призводить до помилок.
- 0,28 · 12,5;
- 6,3 · 1,08;
- 132,5 · 0,0034;
- 0,0108 · 1600,5;
- 5,25 · 10 000.
Працюємо з першим виразом: 0,28 · 12,5.
- Випишемо значущі частини для чисел із цього виразу: 28 і 125;
- Їх добуток: 28 · 125 = 3500;
- У першому множнику десяткову точку зсунуто на 2 цифри вправо (0,28 → 28), а в другій - ще на 1 цифру. Усього потрібен зрушення вліво на три цифри: 3500 → 3,500 = 3,5.
Тепер розберемося з виразом 6,3 · 1,08.
- Випишемо значущі частини: 63 та 108;
- Їх добуток: 63 · 108 = 6804;
- Знову два зсуви вправо: на 2 та 1 цифру відповідно. Усього – знову 3 цифри вправо, тому зворотний зсув буде на 3 цифри вліво: 6804 → 6,804. На цей раз нулів на кінці немає.
Дісталися третього виразу: 132,5 · 0,0034.
- Значні частини: 1325 та 34;
- Їх добуток: 1325 · 34 = 45050;
- У першому дробі десяткова точка йде вправо на 1 цифру, а в другому - на цілих 4. Разом: 5 вправо. Виконуємо зсув на 5 вліво: 45050 → ,45050 = 0,4505. Наприкінці прибрали нуль, а спереду дописали, щоб не залишати «голу» десяткову точку.
Наступний вираз: 0,0108 · 1600,5.
- Пишемо значущі частини: 108 та 16 005;
- Примножуємо їх: 108 · 16005 = 1728540;
- Вважаємо цифри після десяткової точки: у першому числі їх 4, у другому – 1. Усього – знову 5. Маємо: 1 728 540 → 17,28540 = 17,2854. Наприкінці забрали «зайвий» нуль.
Нарешті, останній вираз: 5,25 · 10 000.
- Значні частини: 525 та 1;
- Примножуємо їх: 525 · 1 = 525;
- У першому дробі виконано зрушення на 2 цифри праворуч, а у другому - на 4 цифри ліворуч (10 000 → 1,0000 = 1). Разом 4 − 2 = 2 цифри вліво. Виконуємо зворотний зсув на 2 цифри вправо: 525 → 52 500 (довелося дописати нулі).
Зверніть увагу на останній приклад: оскільки десяткова точка переміщається у різних напрямках, сумарний зсув перебуває через різницю. Це дуже важливий момент! Ось ще приклад:
Розглянемо числа 1,5 та 12 500. Маємо: 1,5 → 15 (зрушення на 1 вправо); 12500 → 125 (зсув на 2 вліво). Ми крокуємо на 1 розряд праворуч, а потім - на 2 ліворуч. У результаті, ми зробили крок на 2 − 1 = 1 розряд вліво.
Розподіл десяткових дробів
Поділ - це, мабуть, найскладніша операція. Звичайно, тут можна діяти за аналогією з множенням: ділити значні частини, а потім рухати десяткову точку. Але в цьому випадку виникає багато тонкощів, які зводять нанівець потенційну економію.
Тому давайте розглянемо універсальний алгоритм, який трохи довший, але набагато надійніший:
- Перекласти всі десяткові дроби на звичайні. Якщо трохи потренуватися, на цей крок у вас будуть йти лічені секунди;
- Розділити отримані дроби класичним способом. Іншими словами, помножити перший дріб на «перевернутий» другий (див. урок «Множення та розподіл числових дробів»);
- Якщо можливо, результат знову подати у вигляді десяткового дробу. Цей крок теж виконується швидко, оскільки найчастіше у знаменнику вже стоїть ступінь десятки.
Завдання. Знайдіть значення виразу:
- 3,51: 3,9;
- 1,47: 2,1;
- 6,4: 25,6:
- 0,0425: 2,5;
- 0,25: 0,002.
Вважаємо перший вираз. Для початку переведемо обидва дроби в десяткові:
Аналогічно надійдемо з другим виразом. Чисельник першого дробу знову розкладеться на множники:
У третьому та четвертому прикладах є важливий момент: після позбавлення від десяткового запису виникають скорочені дроби. Однак ми не будемо виконувати це скорочення.
Останній приклад цікавий тим, що у чисельнику другого дробу стоїть просте число. Тут просто нема чого розкладати на множники, тому вважаємо «напролом»:
Іноді в результаті поділу виходить ціле число (це про останній приклад). У такому разі третій крок взагалі не виконується.
Крім того, при розподілі часто виникають «некрасиві» дроби, які не можна перевести в десяткові. Цим розподіл відрізняється від множення, де результати завжди представні у десятковій формі. Зрозуміло, у такому разі останній крок знову ж таки не виконується.
Зверніть також увагу на 3-й та 4-й приклади. У них ми навмисно не скорочуємо звичайні дробиотримані з десяткових. Інакше це ускладнить обернену задачу - подання кінцевої відповіді знову у десятковому вигляді.
Запам'ятайте: основна властивість дробу (як і будь-яке інше правило в математиці) саме по собі ще не означає, що його треба застосовувати скрізь і завжди, за будь-якої зручної нагоди.
Loading...