У цій статті ми поговоримо про універсальній тригонометричній підстановці. Вона має на увазі вираз синуса, косинуса, тангенса та котангенса будь-якого кута через тангенс половинного кута. Більше того, така заміна проводиться раціонально, тобто без коріння.
Спочатку ми запишемо формули, що виражають синус, косинус, тангенс та котангенс через тангенс половинного кута. Далі покажемо виведення цих формул. На закінчення розглянемо кілька прикладів використання універсальної тригонометричної підстановки.
Навігація на сторінці.
Синус, косинус, тангенс та котангенс через тангенс половинного кута.
Спочатку запишемо чотири формули, що виражають синус, косинус, тангенс і котангенс кута через тангенс половинного кута .
Зазначені формули справедливі для всіх кутів , при яких визначені тангенси та котангенси, що входять до них:
Висновок формул
Розберемо висновок формул, що виражають синус, косинус, тангенс та котангенс кута через тангенс половинного кута. Почнемо з формул для синуса та косинуса.
Представимо синус та косинус за формулами подвійного кута як 
і 
відповідно. Тепер вирази 
і 
запишемо у вигляді дробів зі знаменником 1 як 
і 
. Далі на базі основного тригонометричного тотожності замінюємо одиниці в знаменнику на суму квадратів синуса та косинуса, після чого отримуємо 
і 
. Нарешті, чисельник і знаменник отриманих дробів поділяємо на його значення від нуля за умови 
). У результаті, весь ланцюжок дій виглядає так: 
і 
На цьому висновок формул, що виражають синус та косинус через тангенс половинного кута, закінчено.
Залишилося вивести формули для тангенсу та котангенсу. Тепер, враховуючи отримані вище формули, і формули 
відразу отримуємо формули, що виражають тангенс і котангенс через тангенс половинного кута: 
Отже, ми вивели всі формули для універсальної тригонометричної підстановки.
Приклади використання універсальної тригонометричної підстановки
Спочатку розглянемо приклад застосування універсальної тригонометричної підстановки при перетворенні виразів.
приклад.
Наведіть вираз 
до виразу, що містить лише одну тригонометричну функцію .
Рішення.
Відповідь:
.
Список літератури.
- Алгебра:Навч. для 9 кл. середовищ. шк./Ю. Н. Макарічев, Н. Г. Міндюк, К. І. Нешков, С. Б. Суворова; За ред. С. А. Теляковського.- М.: Просвітництво, 1990.- 272 с.: іл.- isbn 5-09-002727-7
- Башмаков М. І.Алгебра та початку аналізу: Навч. для 10-11 кл. середовищ. шк. - 3-тє вид. - М: Просвітництво, 1993. - 351 с.: іл. - ISBN 5-09-004617-4.
- Алгебрата початку аналізу: Навч. для 10-11 кл. загальноосвіт. установ / А. Н. Колмогоров, А. М. Абрамов, Ю. П. Дудніцин та ін; За ред. А. Н. Колмогорова. - 14-те вид. - М.: Просвітництво, 2004. - 384 с.: Іл. - ISBN 5-09-013651-3.
- Гусєв В. А., Мордкович А. Г.Математика (посібник для вступників до технікумів): Навч. посібник.- М.; Вищ. шк., 1984.-351 с., іл.
Косинус суми та різниці двох кутів
У цьому параграфі буде доведено такі дві формули:
cos (α + β) = cos α cos β - sin α sin β, (1)
cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β. (2)
Косинус суми (різниці) двох кутів дорівнює добутку косінусів цих кутів мінус (плюс) добуток синусів цих кутів.
Нам зручніше розпочатиме з доказу формули (2). Для простоти викладу припустимо спочатку, що кути α і β задовольняють наступним умовам:
1) кожен з цих кутів невід'ємний і менший 2π:
0 < α <2π, 0< β < 2π;
2) α > β .
Нехай позитивна частина осі 0х є загальною початковою стороною кутів α і β .
Кінцеві сторони цих кутів позначимо через 0А і 0В. Очевидно, що кут α - β можна розглядати як такий кут, який потрібно повернути промінь 0В навколо точки 0 проти годинникової стрілки, щоб його напрямок збіглося з напрямком променя 0А.
На променях 0А і 0В відзначимо точки М і N, віддалені від початку координат 0 з відривом 1, отже 0М = 0N = 1.
У системі координат х0у точка М має координати ( cos α, sin α), а точка N - координати ( cos β , sin β). Тому квадрат відстані між ними дорівнює:
d 1 2 = (cos α - cos β) 2 + (sin α - sin β) 2 = cos 2 α - 2 cos α cos β +
+ cos 2 β + sin 2 α - 2sin α sin β + sin 2 β = .
Під час обчислень ми скористалися тотожністю
sin 2 φ + cos 2 φ = 1.
Тепер розглянемо іншу систему координат В0С, яка виходить шляхом повороту осей 0х та 0у навколо точки 0 проти годинникової стрілки на кут β .
У цій системі координат точка М має координати (cos ( α - β ), sin ( α - β )), а точка N-координати (1,0). Тому квадрат відстані між ними дорівнює:
d 2 2 = 2 + 2 = cos 2 (α - β) - 2 cos (α - β) + 1 +
+ sin 2 (α-β) = 2 .
Але відстань між точками М та N не залежить від того, щодо якої системи координат ми розглядаємо ці точки. Тому
d 1 2 = d 2 2
2 (1 - cos α cos β - sin α sin β) = 2 .
Звідси випливає формула (2).
Тепер слід згадати про ті два обмеження, які ми наклали для простоти викладу на кути α і β .
Вимога, щоб кожен з кутів α і β був невід'ємний, насправді не суттєво. Адже до будь-якого з цих кутів можна додати кут, кратний 2я, що ніяк не позначиться на справедливості формули (2). Так само від кожного з цих кутів можна відняти кут, кратний 2π. Тому можна вважати, що 0 < α < 2π, 0 < β < 2π.
Не суттєвою виявляється і умова α > β . Справді, якщо α < β , то β >α ; тому, враховуючи парність функції cos х , отримуємо:
cos (α - β) = cos (β - α) = cos β cos α + sin β sin α,
що з суті збігається з формулою (2). Таким чином, формула
cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β
вірна для будь-яких кутів α і β . Зокрема, замінюючи у ній β на - β та враховуючи, що функція cosх є парною, а функція sinх непарною, отримуємо:
cos (α + β) = cos [α - (-β)] = cos α cos (-β) + sin α sin (-β) =
= cos α cos β - sin α sin β,
що доводить формулу (1).
Отже, формули (1) та (2) доведені.
приклади.
1) cos 75° = cos (30° + 45°) = cos 30° cos 45°-sin 30°-sin 45° =
2) cos 15 ° = cos (45 ° - 30 °) = cos 45 ° cos 30 ° + sin 45 ° sin 30 ° =
Вправи
1 . Обчислити, не користуючись тригонометричними таблицями:
a) cos 17° cos 43° - sin 17° sin 43°;
б) sin 3° sin 42° - cos 39° cos 42°;
в) cos 29 ° cos 74 ° + sin 29 ° sin 74 °;
г) sin 97° sin 37° + cos 37° cos 97°;
д) cos 3π / 8 cos π / 8 + sin 3π / 8 sin π / 8;
e) sin 3π / 5 sin 7π / 5 - cos 3π / 5 cos 7π / 5 .
2. Спростити вирази:
a). cos ( α + π / 3 ) + cos (π/3 - α ) .
б). cos (36° + α ) cos (24 ° - α ) + sin (36° + α ) sin ( α - 24 °).
в). sin (π/4 - α ) sin (π / 4 + α ) - cos (π / 4 + α ) cos (π / 4 - α )
г) cos 2 α + tg α sin 2 α .
3 . Обчислити :
a) cos (α - β), якщо
cos α = - 2 / 5 , sin β = - 5 / 13 ;
90°< α < 180°, 180° < β < 270°;
б) cos ( α + π / 6), якщо cos α = 0,6;
3π / 2< α < 2π.
4 . Знайти cos (α+β)та cos (α - β) ,якщо відомо, що sin α = 7 / 25 , cos β = - 5 / 13 і обидва кути ( α і β ) Закінчуються в одній і тій же чверті.
5 .Обчислити:
а). cos [ arcsin 1 / 3 + arccos 2 / 3 ]
б). cos [arcsin 1/3 - arccos (-2/3)].
в). cos [ arctg 1 / 2 + arccos (-2) ]
Поняття синуса (), косинуса (), тангенса (), котангенса () нерозривно пов'язані з поняттям кута. Щоб добре розібратися в цих, на перший погляд, складних поняттях(які викликають у багатьох школярів стан жаху), і переконатися, що «не такий страшний чорт, як його малюють», почнемо від початку і розберемося в понятті кута.
Поняття кута: радіан, градус
Давай подивимося малюнку. Вектор «повернувся» щодо точки на певну величину. Так ось мірою цього повороту щодо початкового положення і виступатиме кут.
Що ще необхідно знати про поняття кута? Ну, звичайно ж, одиниці виміру кута!
Кут, як і геометрії, і у тригонометрії, може вимірюватися у градусах і радіанах.
Кутом в (один градус) називають центральний кутв колі, що спирається на кругову дугу, що дорівнює частині кола. Таким чином, все коло складається з «шматочків» кругових дуг, або кут, що описується колом, дорівнює.
Тобто малюнку вище зображений кут, рівний, тобто цей кут спирається на кругову дугу розміром довжини кола.
Кутом у радіан називають центральний кут в колі, що спирається на кругову дугу, довжина якої дорівнює радіусу кола. Ну що, розібрався? Якщо ні, то давай розумітися на малюнку.
Отже, малюнку зображений кут, рівний радіану, тобто цей кут спирається на кругову дугу, довжина якої дорівнює радіусу кола (довжина дорівнює довжині або радіус дорівнює довжині дуги). Таким чином, довжина дуги обчислюється за такою формулою:
Де – центральний кут у радіанах.
Ну що, можеш, знаючи це, відповісти, скільки радіан містить кут, який описує коло? Так, для цього треба згадати формулу довжини кола. Ось вона:
Ну ось, тепер співвіднесемо ці дві формули і отримаємо, що кут, що описується коло дорівнює. Тобто, співвіднісши величину у градусах та радіанах, отримуємо, що. Відповідно, . Як можна побачити, на відміну «градусів», слово «радіан» опускається, оскільки одиниця виміру зазвичай зрозуміла з контексту.
А скільки радіан складають? Все вірно!
Вловив? Тоді вперед закріплювати:
Виникли проблеми? Тоді дивись відповіді:
Прямокутний трикутник: синус, косинус, тангенс, котангенс кута
Отже, з поняттям кута розібралися. А що ж таке синус, косинус, тангенс, котангенс кута? Давай розбиратись. Для цього нам допоможе прямокутний трикутник.
Як називаються сторони прямокутного трикутника? Все вірно, гіпотенуза і катети: гіпотенуза - це сторона, що лежить навпроти прямого кута (у прикладі це сторона); катети - це дві сторони, що залишилися і (ті, що прилягають до прямого кута), причому, якщо розглядати катети щодо кута, то катет - це прилеглий катет, а катет - протилежний. Отже, тепер дамо відповідь на запитання: що таке синус, косинус, тангенс і котангенс кута?
Синус кута- Це ставлення протилежного (далекого) катета до гіпотенузи.
У нашому трикутнику.
Косинус кута- Це ставлення прилеглого (близького) катета до гіпотенузи.
У нашому трикутнику.
Тангенс кута- Це ставлення протилежного (далекого) катета до прилеглого (близького).
У нашому трикутнику.
Котангенс кута- Це ставлення прилеглого (близького) катета до протилежного (дальнього).
У нашому трикутнику.
Ці визначення необхідні запам'ятати! Щоб було простіше запам'ятати який катет на що ділити, необхідно чітко усвідомити, що в тангенсеі котангенсісидять тільки катети, а гіпотенуза з'являється тільки в синусіі косинус. А далі можна придумати ланцюжок асоціацій. Наприклад, ось таку:
Косинус→торкатися→доторкнутися→прилежний;
Котангенс→торкатися→доторкнутися→прилежний.
Насамперед, необхідно запам'ятати, що синус, косинус, тангенс і котангенс як відносини сторін трикутника не залежить від довжин цих сторін (при одному вугіллі). Не віриш? Тоді переконайся, подивившись на малюнок:
Розглянемо, наприклад, косинус кута. За визначенням, з трикутника: , але ми можемо обчислити косинус кута і з трикутника: . Бачиш, довжини у сторін різні, а значення косинуса одного кута одне й те саме. Таким чином, значення синуса, косинуса, тангенсу та котангенсу залежать виключно від величини кута.
Якщо розібрався у визначеннях, то вперед закріплюйте їх!
Для трикутника, зображеного нижче малюнку, знайдемо.
Ну що, вловив? Тоді пробуй сам: порахуй те саме для кута.
Одиничне (тригонометричне) коло
Розбираючись у поняттях градуса і радіана, ми розглядали коло з рівним радіусом. Таке коло називається одиничною. Вона дуже знадобиться щодо тригонометрії. Тому зупинимося на ній трохи докладніше.
Як можна помітити, це коло побудовано в декартовій системі координат. Радіус кола дорівнює одиниці, при цьому центр кола лежить на початку координат, початкове положення радіус-вектора зафіксовано вздовж позитивного напрямку осі (у нашому прикладі, це радіус).
Кожній точці кола відповідають два числа: координата по осі та координата по осі. А що це за числа-координати? І взагалі, яке відношення вони мають до цієї теми? Для цього треба згадати розглянутий прямокутний трикутник. На малюнку, наведеному вище, можна помітити цілих два прямокутні трикутники. Розглянемо трикутник. Він прямокутний, оскільки є перпендикуляром до осі.
Чому дорівнює трикутнику? Все вірно. Крім того, нам відомо, що - це радіус одиничного кола, а значить, . Підставимо це значення на нашу формулу для косинуса. Ось що виходить:
А чому дорівнює трикутнику? Ну звичайно, ! Підставимо значення радіуса в цю формулу та отримаємо:
Так, а можеш сказати, які координати має точка, що належить колу? Ну що, аж ніяк? А якщо збагнути, що й – це просто числа? Який координаті відповідає? Ну, звісно, координати! А якій координаті відповідає? Все правильно, координаті! Таким чином, точка.
А чому тоді рівні? Все вірно, скористаємося відповідними визначеннями тангенсу та котангенсу і отримаємо, що, а.
А що, якщо кут буде більшим? Ось, наприклад, як у цьому рисунку:
Що ж змінилося у цьому прикладі? Давай розбиратись. Для цього знову звернемося до прямокутного трикутника. Розглянемо прямокутний трикутник: кут (як прилеглий до кута). Чому дорівнює значення синуса, косинуса, тангенсу та котангенсу для кута? Все вірно, дотримуємося відповідних визначень тригонометричних функцій:
Ну от, як бачиш, значення синуса кута так само відповідає координаті; значення косинуса кута – координаті; а значення тангенсу та котангенсу відповідним співвідношенням. Таким чином, ці співвідношення можна застосовувати до будь-яких поворотів радіус-вектора.
Вже згадувалося, що початкове становище радіус-вектора - вздовж позитивного спрямування осі. Досі ми обертали цей вектор проти годинникової стрілки, а що буде, якщо повернути його за годинниковою стрілкою? Нічого екстраординарного, вийде так само кут певної величини, але він буде негативним. Таким чином, при обертанні радіус-вектора проти годинникової стрілки виходять позитивні кути, а при обертанні за годинниковою стрілкою - негативні.
Отже, ми знаємо, що цілий оберт радіус-вектора по колу становить або. А чи можна повернути радіус-вектор на чи на? Ну звісно, можна! У першому випадку, таким чином, радіус-вектор зробить один повний оборот і зупиниться в положенні.
У другому випадку, тобто радіус-вектор зробить три повні обороти і зупиниться в положенні або.
Таким чином, з наведених прикладів можемо зробити висновок, що кути, що відрізняються на або (де - будь-яке ціле число), відповідають одному положенню радіус-вектора.
Нижче на малюнку зображено кут. Це зображення відповідає куту тощо. Цей список можна продовжити до безкінечності. Всі ці кути можна записати загальною формулою або (де – будь-яке ціле число)
Тепер, знаючи визначення основних тригонометричних функцій та використовуючи одиничне коло, спробуй відповісти, чому рівні значення:
Ось тобі на допомогу одиничне коло:
Виникли проблеми? Тоді давай розбиратись. Отже, ми знаємо, що:
Звідси ми визначаємо координати точок, що відповідають певним заходам кута. Ну що ж, почнемо по порядку: кутку відповідає точка з координатами, отже:
Не існує;
Далі, дотримуючись тієї ж логіки, з'ясовуємо, що кутам відповідають точки з координатами, відповідно. Знаючи це, легко визначити значення тригонометричних функцій у відповідних точках. Спочатку спробуй сам, а потім звіряйся з відповідями.
Відповіді:
Не існує
Не існує
Не існує
Не існує
Таким чином, ми можемо скласти таку табличку:
Немає потреби пам'ятати всі ці значення. Достатньо пам'ятати відповідність координат точок на одиничному колі та значень тригонометричних функцій:
А ось значення тригонометричних функцій кутів і, наведених нижче в таблиці, необхідно запам'ятати:
Не треба лякатися, зараз покажемо один із прикладів досить простого запам'ятовування відповідних значень:
Для користування цим методом життєво необхідно запам'ятати значення синуса для всіх трьох заходів кута (), а також значення тангенсу кута. Знаючи ці значення, досить просто відновити всю таблицю цілком - значення косинуса переносяться відповідно до стрілочок, тобто:
Знаючи це можна відновити значення. Чисельник « » буде відповідати, а знаменник « » відповідає. Значення котангенсу переносяться відповідно до стрілок, вказаних на малюнку. Якщо це усвідомити і запам'ятати схему зі стрілочками, достатньо пам'ятати всього значення з таблиці.
Координати точки на колі
А чи можна знайти точку (її координати) на колі, знаючи координати центру кола, його радіус та кут повороту?
Ну, звісно, можна! Давай виведемо загальну формулудля знаходження координат точки.
Ось, наприклад, перед нами таке коло:
Нам дано, що точка – центр кола. Радіус кола дорівнює. Необхідно знайти координати точки, одержаної поворотом точки на градусів.
Як очевидно з малюнка, координаті точки відповідає довжина відрізка. Довжина відрізка відповідає координаті центру кола, тобто дорівнює. Довжину відрізка можна виразити, використовуючи визначення косинуса:
Тоді маємо, що для точки координат.
За тією ж логікою знаходимо значення координати для точки. Таким чином,
Отже, у загальному виглядікоординати точок визначаються за формулами:
Координати центру кола,
Радіус кола,
Кут повороту вектор радіуса.
Як можна помітити, для одиничного кола, що розглядається нами, ці формули значно скорочуються, оскільки координати центру дорівнюють нулю, а радіус дорівнює одиниці:
Ну що, спробуємо ці формули на смак, повправляючись у знаходженні крапок на колі?
1. Знайти координати точки на одиничному колі, отриманому поворотом точки на.
2. Знайти координати точки на одиничному колі, отриманому поворотом точки на.
3. Знайти координати точки на одиничному колі, отриманому поворотом точки на.
4. Крапка - центр кола. Радіус кола дорівнює. Необхідно знайти координати точки, отриманої поворотом початкового радіус-вектора.
5. Крапка - центр кола. Радіус кола дорівнює. Необхідно знайти координати точки, отриманої поворотом початкового радіус-вектора.
Виникли проблеми у знаходженні координот точки на колі?
Розв'яжи ці п'ять прикладів (або добре розберись у рішенні) і ти навчишся їх знаходити!
1.
Можна зауважити, що. Адже ми знаємо, що відповідає повному обороту початкової точки. Таким чином, точка, що шукається, буде знаходитися в тому ж положенні, що і при повороті на. Знаючи це, знайдемо шукані координати точки:
2. Окружність одинична з центром у точці, отже, ми можемо скористатися спрощеними формулами:
Можна зауважити, що. Ми знаємо, що відповідає двом повним оборотам початкової точки. Таким чином, точка, що шукається, буде знаходитися в тому ж положенні, що і при повороті на. Знаючи це, знайдемо шукані координати точки:
Синус та косинус – це табличні значення. Згадуємо їх значення та отримуємо:
Таким чином, потрібна точка має координати.
3. Окружність одинична з центром у точці, отже, ми можемо скористатися спрощеними формулами:
Можна зауважити, що. Зобразимо приклад на малюнку:
Радіус утворює з віссю кути, рівні та. Знаючи, що табличні значення косинуса та синуса рівні, і визначивши, що косинус тут набуває негативного значення, а синус позитивне, маємо:
Докладніше такі приклади розбираються щодо формул приведення тригонометричних функцій у темі .
Таким чином, потрібна точка має координати.
4.
Кут повороту радіуса вектора (за умовою)
Для визначення відповідних знаків синуса та косинуса побудуємо одиничне коло та кут:
Як можна побачити, значення, тобто позитивно, а значення, тобто – негативно. Знаючи табличні значення відповідних тригонометричних функцій, отримуємо, що:
Підставимо отримані значення в нашу формулу і знайдемо координати:
Таким чином, потрібна точка має координати.
5. Для вирішення цього завдання скористаємося формулами у загальному вигляді, де
Координати центру кола (у нашому прикладі,
Радіус кола (за умовою,)
Кут повороту векторного радіуса (за умовою,).
Підставимо всі значення у формулу та отримаємо:
та - табличні значення. Згадуємо та підставляємо їх у формулу:
Таким чином, потрібна точка має координати.
КОРОТКИЙ ВИКЛАД І ОСНОВНІ ФОРМУЛИ
Синус кута - це відношення протилежного (далекого) катета до гіпотенузи.
Косинус кута - це ставлення прилеглого (близького) катета до гіпотенузи.
Тангенс кута - це відношення протилежного (далекого) катета до прилеглого (близького).
Котангенс кута - це відношення прилеглого (близького) катета до протилежного (далекого).
Співвідношення між основними тригонометричними функціями – синусом, косінусом, тангенсом та котангенсом – задаються тригонометричними формулами. Оскільки зв'язків між тригонометричними функціями досить багато, цим пояснюється і розмаїття тригонометричних формул. Одні формули пов'язують тригонометричні функції однакового кута, інші функції кратного кута, треті дозволяють знизити ступінь, четверті виразити всі функції через тангенс половинного кута, і т.д.
У цій статті ми по порядку перерахуємо всі основні тригонометричні формули, Яких достатньо для вирішення переважної більшості задач тригонометрії. Для зручності запам'ятовування та використання групуватимемо їх за призначенням і заноситимемо в таблиці.
Навігація на сторінці.
Основні тригонометричні тотожності
Основні тригонометричні тотожності задають зв'язок між синусом, косинусом, тангенсом та котангенсом одного кута. Вони випливають із визначення синуса, косинуса, тангенсу та котангенсу, а також поняття одиничного кола. Вони дозволяють виразити одну тригонометричну функцію через будь-яку іншу.
Детальний опис цих формул тригонометрії, їх висновок та приклади застосування дивіться у статті .
Формули наведення
Формули наведеннявипливають із властивостей синуса, косинуса, тангенсу і котангенсу, тобто, вони відображають властивість періодичності тригонометричних функцій, властивість симетричності, а також властивість зсуву на даний кут. Ці тригонометричні формули дозволяють від роботи з довільними кутами переходити до роботи з кутами в межах від нуля до 90 градусів.
Обгрунтування цих формул, мнемонічне правило їх запам'ятовування і приклади їх застосування можна вивчити у статті .
Формули додавання
Тригонометричні формули складанняпоказують, як тригонометричні функції суми чи різниці двох кутів виражаються через тригонометричні функції цих кутів. Ці формули є базою для виведення наступних нижче тригонометричних формул.
Формули подвійного, потрійного тощо. кута
Формули подвійного, потрійного тощо. кута (їх ще називають формулами кратного кута) показують, як тригонометричні функції подвійних, потрійних і т.д. кутів () виражаються через тригонометричні функції одинарного кута. Їх висновок виходить з формулах складання.
Більш детальна інформація зібрана у статті формули подвійного, потрійного тощо. кута.
Формули половинного кута
Формули половинного кутапоказують, як тригонометричні функції половинного кута виражаються через косинус цілого кута. Ці тригонометричні формули випливають із формул подвійного кута.
Їх висновок та приклади застосування можна переглянути у статті.
Формули зниження ступеня
Тригонометричні формули зниження ступеняпокликані сприяти переходу від натуральних ступенів тригонометричних функцій до синусів і косинусів у першому ступені, але кратних кутів. Іншими словами, вони дозволяють знижувати ступеня тригонометричних функцій до першої.
Формули суми та різниці тригонометричних функцій
Основне призначення формул суми та різниці тригонометричних функційполягає у переході до твору функцій, що дуже корисно при спрощенні тригонометричних виразів. Зазначені формули також широко використовуються при вирішенні тригонометричних рівнянь, оскільки дозволяють розкладати на множники суму та різницю синусів і косінусів.
Формули твору синусів, косінусів та синуса на косинус
Перехід від твору тригонометричних функцій до суми чи різниці здійснюється за допомогою формул твору синусів, косінусів та синусу на косинус.
Copyright by cleverstudents
Всі права захищені.
Охороняється законом про авторське право. Жодну частину сайту www.сайт, включаючи внутрішні матеріали та зовнішнє оформлення, не можна відтворювати у будь-якій формі або використовувати без попереднього письмового дозволу правовласника.
Тригонометричні тотожності— це рівності, які встановлюють зв'язок між синусом, косінусом, тангенсом і котангенсом одного кута, що дозволяє знаходити будь-яку з даних функцій за умови, що буде відома будь-яка інша.
tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha), \enspace ctg \alpha = \frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)
tg \alpha \cdot ctg \alpha = 1
Ця тотожність говорить про те, що сума квадрата синуса одного кута і квадрата косинуса одного кута дорівнює одиниці, що на практиці дає можливість обчислити синус одного кута, коли відомий його косинус і навпаки.
При перетворенні тригонометричних виразів дуже часто використовують дану тотожність, яка дозволяє замінювати одиницею суму квадратів косинуса і синуса одного кута і проводити операцію заміни у зворотному порядку.
Знаходження тангенсу та котангенсу через синус та косинус
tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha),\enspace
Дані тотожності утворюються з визначень синуса, косинуса, тангенсу та котангенсу. Адже якщо розібратися, то визначення ординатою y є синус, а абсцисою x — косинус. Тоді тангенс дорівнюватиме \frac(y)(x)=\frac(\sin \alpha)(\cos \alpha), а відношення \frac(x)(y)=\frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)— буде котангенсом.
Додамо, що тільки для таких кутів \alpha , при яких тригонометричні функції, що входять до них, мають сенс, матимуть місце тотожності , ctg \alpha=\frac(\cos \alpha)(\sin \alpha).
Наприклад: tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha)є справедливою для кутів \alpha , які відмінні від \frac(\pi)(2)+\pi z, а ctg \alpha=\frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)- Для кута \alpha, відмінного від \pi z, z - є цілим числом.
Залежність між тангенсом та котангенсом
tg \alpha \cdot ctg \alpha=1
Ця тотожність справедлива тільки для таких кутів \alpha , які відмінні від \frac(\pi)(2) z. Інакше чи котангенс чи тангенс не будуть визначені.
Маючи вищевикладені пункти, отримуємо, що tg \alpha = \frac(y)(x), а ctg \alpha=\frac(x)(y). Звідси слідує що tg \alpha \cdot ctg \alpha = \frac(y)(x) \cdot \frac(x)(y)=1. Таким чином, тангенс та котангенс одного кута, при якому вони мають сенс, є взаємно зворотними числами.
Залежності між тангенсом та косинусом, котангенсом та синусом
tg^(2) \alpha + 1=\frac(1)(\cos^(2) \alpha)— сума квадрата тангенса кута \alpha і 1 дорівнює зворотному квадрату косинуса цього кута. Ця тотожність справедлива для всіх \alpha , відмінних від \frac(\pi)(2)+ \pi z.
1+ctg^(2) \alpha=\frac(1)(\sin^(2)\alpha)— сума 1 і квадрат котангенсу кута \alpha дорівнює зворотному квадрату синуса даного кута. Ця тотожність справедлива для будь-якого \alpha , відмінного від \pi z .
Приклади з розв'язуванням задач на використання тригонометричних тотожностей
Приклад 1
Знайдіть \sin \alpha і tg \alpha якщо \cos \alpha=-\frac12і \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi ;
Показати рішення
Рішення
Функції \sin \alpha та \cos \alpha пов'язує формула \sin^(2)\alpha + \cos^(2) \alpha = 1. Підставивши до цієї формули \cos \alpha = -\frac12, Отримаємо:
\sin^(2)\alpha + \left (-\frac12 \right)^2 = 1
Це рівняння має 2 розв'язки:
\sin \alpha = \pm \sqrt(1-\frac14) = \pm \frac(\sqrt 3)(2)
За умовою \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi . У другій чверті синус позитивний, тому \sin \alpha = \frac(\sqrt 3)(2).
Для того щоб знайти tg \alpha , скористаємося формулою tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha)
tg \alpha = \frac(\sqrt 3)(2) : \frac12 = \sqrt 3
Приклад 2
Знайдіть \cos \alpha і ctg \alpha , якщо і \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi .
Показати рішення
Рішення
Підставивши у формулу \sin^(2)\alpha + \cos^(2) \alpha = 1це за умовою число \sin \alpha=\frac(\sqrt3)(2), отримуємо \left (\frac(\sqrt3)(2)\right)^(2) + \cos^(2) \alpha = 1. Це рівняння має два рішення \cos \alpha = \pm \sqrt(1-\frac34)=\pm\sqrt\frac14.
За умовою \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi . У другій чверті косинус негативний, тому \cos \alpha = -\sqrt\frac14=-\frac12.
Щоб знайти ctg \alpha , скористаємося формулою ctg \alpha = \frac(\cos \alpha)(\sin \alpha). Відповідні величини нам відомі.
ctg \alpha = -\frac12: \frac(\sqrt3)(2) = -\frac(1)(\sqrt 3).
Loading...