Як знайти корінь десяткового дробу. Вилучення квадратного кореня з багатозначного числа

Соколов Лев Володимирович, учень 8 класу МКОУ «Тугулимська В(С)ОШ»

Мета роботи:знайти та показати ті способи вилучення квадратного коріння, якими можна буде скористатися, не маючи калькулятора під рукою.

Завантажити:

Попередній перегляд:

Районна науково-практична конференція

учнів Тугулимського міського округу

Вилучення квадратного коріння з великих чисел без калькулятора

Виконавець: Лев Соколов,

МКОУ «Тугулимська В(С)ОШ»,

8 клас

Керівник: Сидорова Тетяна

Миколаївна

р.п. Тугулим, 2016 р.

Вступ 3

Розділ 1. Спосіб розкладання на прості множники 4

Глава 2. Вилучення квадратного кореня куточком 4

Глава 3. Спосіб використання таблиці квадратів двоцифрових чисел 6

Розділ 4. Формула Стародавнього Вавилону 6

Глава 6. Канадський метод 7

Глава 7. Метод підбору вгадуванням 8

Розділ 8 . Метод відрахувань непарного числа 8

Висновок 10

Список литературы 11

Додаток 12

Вступ

Актуальність дослідження,коли я вивчав тему квадратного коріння цього навчального року, то мене зацікавило питання, як можна витягти квадратний корінь з великих чисел без калькулятора.

Я зацікавився і вирішив вивчити це питання глибше, ніж він викладений у шкільній програмі, а також приготувати міні-книжечку з найбільш простими способамивилучення квадратного коріння з великих чисел без калькулятора.

Мета роботи: знайти та показати ті способи вилучення квадратних коренів, якими можна буде скористатися, не маючи під рукою калькулятора.

Завдання:

Вивчити літературу з цього питання.
Розглянути особливості кожного знайденого способу та його алгоритм.
Показати практичне застосуванняотриманих знань та оцінити

Ступінь складності у використанні різних способів та алгоритмів.

Створити міні-книжечку за найцікавішими алгоритмами.

Об'єкт дослідження:математичні символи – квадратне коріння.

Предмет дослідження:особливості способів вилучення квадратних коренів без калькулятора

Методи дослідження:

Пошук способів та алгоритмів вилучення квадратних коренів із великих чисел без калькулятора.
Порівняння знайдених методів.
Аналіз одержаних способів.

Всі знають, що витягти квадратний корінь без калькулятора – це дуже складна

завдання. Коли немає під рукою калькулятора, то починаємо шляхом підбору намагатися згадати дані з таблиці квадратів цілих чисел, але це не завжди допомагає. Наприклад, таблиця квадратів цілих чисел не дає відповіді такі питання, як, наприклад, витягти корінь з 75, 37,885,108,18061 та інші навіть приблизно.

Також часто на іспитах ОГЕ та ЄДІ користування калькулятором заборонено і немає

таблиці квадратів цілих чисел, а треба витягти корінь із 3136 чи 7056 тощо.

Але вивчаючи літературу на цю тему, я дізнався, що видобувати коріння з таких чисел

можливо і без таблиці та калькулятора, люди навчилися задовго до винаходу мікрокалькулятора. Досліджуючи цю тему, я знайшов кілька способів вирішення цієї проблеми.

Розділ 1. Спосіб розкладання на прості множники

Для отримання квадратного кореня можна розкласти число на прості множники і витягти квадратний корінь з твору.

У такий спосіб прийнято користуватися при вирішенні завдань із корінням у школі.

3136│2 7056│2

1568│2 3528│2

784│2 1764│2

392│2 882│2

196│2 441│3

98│2 147│3

49│7 49│7

7│7 7│7

√3136 = √2²∙2²∙2²∙7² = 2∙2∙2∙7 = 56 √3136 = √2²∙2²∙3²∙7² = 2∙2∙3∙7 = 84

Багато хто застосовують його успішно і вважають єдиним. Вилучення кореня розкладанням на множники - трудомістка задача, яка теж не завжди призводить до бажаного результату. Спробуйте витягти квадратний корінь із числа 209764? Розкладання на прості множники дає добуток 2∙2∙52441. А як бути далі? З цим завданням стикаються всі, і спокійно записують залишок від розкладання під знак кореня. Методом спроб і помилок, підбором розкладання, звичайно, можна зробити, якщо бути впевненим у тому, що вийде гарна відповідь, але практика показує, що дуже рідко пропонують завдання з повним розкладанням. Найчастіше бачимо, що корінь остаточно не витягти.

Тому цей спосіб лише частково вирішує проблему вилучення без калькулятора.

Глава 2. Вилучення квадратного кореня куточком

Для вилучення квадратного кореня куточком ірозглянемо алгоритм:
1-й крок. Число 8649 розбиваємо на межі праворуч наліво; кожна з яких має містити дві цифри. Отримуємо дві грані:.
2 крок. Вилучаємо квадратний корінь з першої грані 86, отримуємоз нестачею. Цифра 9 - це перша цифра кореня.
3 крок. Число 9 зводимо у квадрат (9 2 = 81) і число 81 віднімаємо з першої грані, отримуємо 86-81 = 5. Число 5 – перший залишок.
4 крок. До залишку 5 приписуємо другу грань 49 отримуємо число 549.

5-й крок . Подвоює першу цифру кореня 9 і, записуючи зліва, отримуємо-18

До потрібно приписати таку найбільшу цифру, щоб добуток числа, яке ми отримаємо, на цю цифру було б дорівнює 549, або менше, ніж 549. Це цифра 3. Вона знаходиться шляхом підбору: кількість десятків числа 549, тобто число 54 ділиться на 18, отримуємо 3, тому що 183 ∙ 3 = 549. Цифра 3 – це друга цифра кореня.

6 крок. Знаходимо залишок 549 – 549 = 0. Оскільки залишок дорівнює нулю, ми отримали точне значення кореня – 93.

Наведу ще приклад: витягти √212521

Кроки алгоритму	приклад	Коментарі
Розбити число на групи по 2 цифри у кожній праворуч наліво	21’ 25’ 21	Загальна кількість груп, що утворилися, визначає кількість цифр у відповіді
Для першої групи цифр підібрати цифру, квадрат якої буде найбільшим, але не перевершує числа першої групи	1 група – 21 4 2 =16 цифра - 4	Знайдена цифра записується у відповіді першому місці
Від першої групи цифр відняти знайдений на кроці 2 квадрат першої цифри відповіді	21’ 25’ 21
До залишку, знайденого на кроці 3, приписати праворуч (знести) другу групу цифр	21’ 25’ 21 16__
До подвоєної першої цифри відповіді приписати праворуч таку цифру, щоб добуток отриманого в результаті числа на цю цифру був найбільшим, але не перевищував числа, знайденого на кроці 4	42=8 цифра – 6 866=516	Знайдена цифра записується у відповіді на другому місці
З числа, отриманого на кроці 4 відняти число, отримане на кроці 5. Знести до залишку третю групу	21’ 25’ 21
До подвоєного числа, що складається з перших двох цифр відповіді, приписати праворуч таку цифру, щоб добуток отриманого в результаті числа на цю цифру був найбільшим, але не перевищував числа, отриманого на кроці 6	462=92 цифра 1 9211=921	Знайдена цифра записується у відповіді третьому місці
Записати відповідь	√212521=461

Розділ 3. Спосіб використання таблиці квадратів двоцифрових чисел

Про цей спосіб я дізнався з Інтернету. Спосіб дуже простий і дає миттєве вилучення квадратного кореня з будь-яких цілих чисел від 1 до 100 з точністю до десяти без калькулятора. Одна умова для цього – наявність таблиці квадратів чисел до 99.

(Вона є у всіх підручниках алгебри 8 класу, і на екзамені ОДЕпропонується як довідковий матеріал.)

Відкрийте таблицю та перевірте швидкість знаходження відповіді. Але спочатку кілька рекомендацій: найлівіший стовпчик – це будуть у відповіді цілі, найвищий рядок – це десяти в відповіді. А далі все просто: закрийте останні дві цифри числа в таблиці і знайдіть потрібне вам, не перевищує підкорене число, і далі дійте за правилами цієї таблиці.

Розглянемо з прикладу. Знайдемо значення √87.

Закриваємо дві останні цифри у всіх чисел у таблиці та знаходимо близькі для 87 – таких лише два 86 49 та 88 37. Але 88 – це вже багато.

Отже, залишається лише одне – 8649.

Лівий стовпчик дає відповідь 9 (це цілих), а верхній рядок 3 (це десятих). Значить √87 ≈ 9,3. Перевіримо на МК √87 ≈ 9,327379.

Швидко просто доступно на іспиті. Але відразу зрозуміло, що коріння, велике 100 вже цим способом витягти неможливо. Спосіб зручний для завдань з маленьким корінням і за наявності таблиці.

Розділ 4. Формула Стародавнього Вавилону

Стародавні вавилоняни користувалися наступним способом знаходження наближеного значення квадратного кореня їхнього числа х. Число х вони представляли у вигляді суми а 2 +b де а 2 найближчий до х точний квадрат натурального числаа (а 2 . (1)

Витягнемо за допомогою формули (1) корінь квадратний, наприклад з числа 28:

Результат вилучення кореня з 28 з допомогою МК 5,2915026.

Як бачимо спосіб вавилонян дає гарне наближення до точного значеннякореня.

Розділ 5. Спосіб відкидання повного квадрата

(тільки у чотиризначних чисел)

Відразу варто уточнити, що цей спосіб застосовується тільки для отримання квадратного кореня з точного квадрата, а алгоритм знаходження залежить від величини підкореного числа.

Вилучення коренів до числа 75 2 = 5625

Наприклад: √¯3844 = √¯ 37 00 + 144 = 37 + 25 = 62.

Число 3844 представимо у вигляді суми, виділивши з цього числа квадрат 144, потім виділений квадрат відкидаємо,числу сотень першого доданку(37) додаємо завжди 25 . Отримаємо відповідь 62.

Так можна витягувати тільки квадратне коріння до числа 75 2 =5625!

2) Вилучення коренів після числа 75 2 = 5625

Як же усно витягти квадратне коріння з чисел більше 75 2 =5625?

Наприклад: √7225 = √ 70 00 + 225 = 70 + √225 = 70 + 15 = 85.

Пояснимо,7225 представимо у вигляді суми 7000 і виділеного квадрата 225. Потімдо сотень додати квадратний коріньз 225, що дорівнює 15.

Отримаємо відповідь 85.

Цей спосіб знаходження дуже цікавий і певною мірою оригінальний, але в ході мого дослідження зустрівся лише один раз у роботі пермського викладача.

Можливо, він мало вивчений або має якісь винятки.

Він досить складний у запам'ятовуванні через – за двоїстість алгоритму і застосуємо тільки для чотиризначних чисел точних коренів, але я пропрацював безліч прикладів і переконався в його правильності. Крім того, цей спосіб доступний тим, хто вже запам'ятав напам'ять квадрати чисел від 11 до 29, адже без їх знання він буде марним.

Глава 6. Канадський метод

√ X = √ S + (X - S) / (2 √ S), де X - число, з якого необхідно витягти квадратний корінь, а S - число найближчого точного квадрата.

Давайте спробуємо витягти квадратний корінь з 75

√ 75 = 9 + (- 6/18) = 9 - 0,333 = 8,667

При детальному вивченні цього методу легко можна довести його подібність до вавилонського і посперечатися за авторські права винаходу цієї формули, якщо такі є насправді. Метод нескладний та зручний.

Глава 7. Метод підбору вгадуванням

Цей метод пропонують англійські студенти математичного коледжу Лондона, але кожен у своєму житті хоч раз мимоволі користувався цим методом. Він заснований на підборі різних значеньквадратів близьких чисел шляхом звуження області пошуку. Оволодіти цим способом може кожен, але користуватися навряд чи, тому що він вимагає багаторазового обчислення твору стовпчиком не завжди правильно вгаданих чисел. Цей спосіб програє і в красі рішення, і за часом. Алгоритм простий:

Припустимо, ви хочете витягти квадратний корінь із 75.

Оскільки 8 2 = 64 і 9 2 = 81, знаєте, відповідь десь між ними.

Спробуйте звести 8,5 2 і ви отримаєте 72,25 (занадто мало)

Тепер спробуйте 8,6 2 і ви отримаєте 73,96 (занадто невеликий, але все ближче)

Тепер спробуйте 8,7 2 і ви отримаєте 75,69 (занадто велика)

Тепер ви знаєте, відповідь знаходиться між 8,6 та 8,7

Спробуйте звести 8,65 2 і ви отримаєте 74,8225 (занадто мало)

Тепер спробуйте 8,66 2 ... і так далі.

Продовжуйте, доки не отримаєте відповідь досить точну для вас.

Розділ 8. Метод відрахувань непарного числа

Багато хто знає метод вилучення квадратного кореня розкладанням числа на прості множники. У своїй роботі представлю ще один спосіб, за допомогою якого можна дізнатися цілу частину квадратного кореня числа. Спосіб дуже простий. Зауважимо, що з квадратів чисел вірні такі рівності:

1=1 2

1+3=2 2

1+3+5=3 2

1+3+5+7=4 2 тощо.

Правило: дізнатися цілу частину квадратного кореня числа можна віднімаючи з нього всі непарні числа по порядку, поки залишок не стане менше наступного числа, що віднімається або дорівнює нулю, і вирахувавши кількість виконаних дій.

Наприклад, щоб отримати квадратний корінь з 36 та 121 це:

Загальна кількістьвіднімань = 6, тому квадратний корінь із 36 = 6.

Загальна кількість віднімань = 11, тому √121 = 11.

Ще приклад: знайдемо √529

Рішення: 1)_529

2)_528

3)_525

4)_520

5)_513

6)_504

7)_493

8)_480

9)_465

10)_448

11)_429

12)_408

13)_385

14)_360

15)_333

16)_304

17)_273

18)_240

19)_205

20)_168

21)_129

22)_88

23)_45

Відповідь: √529 = 23

Вчені називають цей метод арифметичним вилученням квадратного кореня, а за очі «методом черепахи» через його повільність.
Недоліком такого способу є те, що якщо видобутий корінь не є цілим числом, можна дізнатися тільки його цілу частину, але не точніше. У той же час такий спосіб цілком доступний дітям, які вирішують найпростіші математичні завдання, що вимагають отримання квадратного кореня. Спробуйте витягти квадратний корінь з числа, наприклад, 5963364 цим способом і ви зрозумієте, що він «працює», безумовно, без похибок для точних коренів, але дуже довгий у рішенні.

Висновок

Описані у роботі методи вилучення коренів зустрічаються у багатьох джерелах. Тим не менш, розібратися в них виявилося для мене непростим завданням, що викликало чималий інтерес. Представлені алгоритми дозволять усім, хто зацікавиться цією темою, швидше опанувати навички обчислення квадратного кореня, їх можна використовувати при перевірці свого рішення і не залежати від калькулятора.

В результаті проведеного дослідження я дійшов висновку: різні способивилучення квадратного кореня без калькулятора необхідні у шкільному курсі математики, щоб розвивати навички обчислень.

Теоретична значущість дослідження – систематизовані основні методи вилучення квадратних коренів.

Практична значимість:у створенні міні-книжечки, що містить опорну схему вилучення квадратних коренів різними способами (Додаток1).

Література та сайти Інтернету:

І.М. Сергєєв, С.М. Олехник, С.Б.Гашков «Застосуй математику». - М.: Наука, 1990
Керімов З., «Як знайти ціле коріння?» Науково-популярний фізико-математичний журнал "Квант" №2, 1980
Петраков І.С. «математичні гуртки у 8-10 класах»; Книжка для вчителя.

-М.: Просвітництво, 1987

Тихонов О.М., Костомаров Д.П. «Оповідання прикладної математики».- М.: Наука. Головна редакція фізико-математичної літератури, 1979
Ткачова М.В. Домашня математика Книга для учнів 8 класу навчальних закладів. - Москва, Просвітництво, 1994р.
Жохов В.І., Погодін В.М. Довідкові таблиці з математики.-М.: ТОВ «Видавництво «РОСМЕН-ПРЕС», 2004.-120 с.
http://translate.google.ru/translate
http://www.murderousmaths.co.uk/books/sqroot.htm
http://ua.wikipedia.ord /wiki /teorema/

Доброго дня, шановні гості!

Мене звуть Лев Соколов, я навчаюсь у 8 класі у вечірній школі.

Представляю вашій увазі роботу на тему: «Вилучення квадратного коріння з великих чисел без калькулятора».

При вивченні темиквадратне коріння цього навчального року, мене зацікавило питання, як можна витягти квадратний корінь з великих чисел без калькулятора і я вирішив вивчити його глибше, оскільки наступного року мені доведеться складати іспит з математики.

Мета моєї роботи:знайти та показати способи вилучення квадратних коренів без калькулятора

Для досягнення мети я вирішував наступнізавдання:

1. Вивчити літературу з цього питання.

2. Розглянути особливості кожного знайденого способу та його алгоритм.

3. Показати практичне застосування отриманих знань та оцінити ступінь складності у використанні різних способів та алгоритмів.

4.Створити міні-книжечку за найцікавішими алгоритмами.

Об'єктом мого дослідження сталиквадратне коріння.

Предмет дослідження:способи вилучення квадратного коріння без калькулятора.

Методи дослідження:

1. Пошук способів та алгоритмів вилучення квадратних коренів із великих чисел без калькулятора.

2. Порівняння та аналіз знайдених способів.

Я знайшов і вивчив 8 способів вилучення квадратних коренів без калькулятора і відпрацював їх на практиці. Назва знайдених способів наведено на слайді.

Я зупинюся на тих, які мені сподобалися.

Покажу на прикладі, як можна способом розкладання на прості множники витягти квадратний корінь із числа 3025.

Основний недолік цього способу– він займає багато часу.

За допомогою формули Стародавнього Вавилону я витягну квадратний корінь із цього ж числа 3025.

Спосіб зручний лише для малих чисел.

З цього числа 3025 витягаємо квадратний корінь куточком.

На мій погляд, це найуніверсальніший спосіб, він застосовний до будь-яких чисел.

У сучасній науцівідомо багато способів вилучення квадратного кореня без калькулятора, але я вивчив не все.

Практична значущість моєї роботи:у створенні міні-книжечки, що містить опорну схему вилучення квадратних коренів різними способами.

Результати моєї роботи можуть успішно застосовуватися на уроках математики, фізики та інших предметів, де потрібне вилучення коренів без калькулятора.

Дякую за увагу!

Попередній перегляд:

Щоб користуватися попереднім переглядом презентацій, створіть собі обліковий запис ( обліковий запис) Google і увійдіть до нього: https://accounts.google.com

Підписи до слайдів:

Витяг квадратного коріння з великих чисел без калькулятора Виконавець: Лев Соколов, МКОУ «Тугулимська В(С)ОШ»,8 клас Керівник: Сидорова Тетяна Миколаївна I категорія, вчитель математики р.п. Тугулим

Правильному застосуванню методів можна навчитися, застосовуючи і різноманітних прикладах. Г. Цейтен Мета роботи: знайти та показати ті способи вилучення квадратних коренів, якими можна буде скористатися, не маючи під рукою калькулятора. Завдання: - Вивчити літературу з цього питання. - Розглянути особливості кожного знайденого способу та його алгоритм. - Показати практичне застосування отриманих знань та оцінити ступінь складності у використанні різних способів та алгоритмів. - Створити міні-книжечку за найцікавішими алгоритмами.

Об'єкт дослідження: квадратне коріння Предмет дослідження: способи вилучення квадратного коріння без калькулятора. Методи дослідження: Пошук способів та алгоритмів вилучення квадратного коріння з великих чисел без калькулятора. Порівняння знайдених методів. Аналіз одержаних способів.

Способи вилучення квадратного кореня: 1. Спосіб розкладання на прості множники 2. Вилучення квадратного кореня куточком 3. Спосіб використання таблиці квадратів двоцифрових чисел 4. Формула Стародавнього Вавилону 5. Спосіб відкидання повного квадрата 6. Канадський метод 7. Метод підбору вгадуванням8. непарного числа

Спосіб розкладання на прості множники Для отримання квадратного кореня можна розкласти число на прості множники і витягти квадратний корінь з твору. 3136│2 7056│2 209764│2 1568│2 3528│2 104882│2 784│2 1764│2 52441│229 392│2 28 1│3 98│2 147│3 √209764 = √2∙2∙52441 = 49│7 49│7 = √2²∙229² = 458. 7│7 7│7 √3136 = √2²∙2²∙2²∙7² = 2∙2∙2∙7 = 56. √7056 = √2²∙2²∙3²∙7² = 2∙2∙3∙7 = 84. Не завжди легко можна розкласти, частіше до кінця не витягується, займає багато часу.

Алгоритм вилучення квадратного кореня давньовавилонським способом. 1 . Подати число з у вигляді суми а ² + b , де а ² найближчий до точний квадрат натурального числа а (а ² ≈ с); 2. Наближене значення кореня обчислюється за такою формулою: Результат вилучення кореня з допомогою калькулятора дорівнює 5,292.

Вилучення квадратного кореня куточком Спосіб майже універсальний, тому що застосовується до будь-яких чисел, але складання ребуса (вгадування цифри на кінці числа) вимагає логіки та хороших обчислювальних навичок стовпчиком.

Алгоритм вилучення квадратного кореня куточком 1. Розбиваємо число (5963364) на пари праворуч наліво (5'96'33'64) 2. Виймаємо квадратний корінь із першої зліва групи (- число 2). Так ми одержуємо першу цифру числа. 3. Знаходимо квадрат першої цифри (2 2 = 4). 4. Знаходимо різницю першої групи та квадрата першої цифри (5-4=1). 5. Зносимо наступні дві цифри (отримали число 196). 6. Подвоюємо першу, знайдену нами цифру, записуємо зліва за межею (2*2=4). 7. Тепер необхідно знайти другу цифру числа: подвоєна перша цифра, знайдена нами, стає цифрою десятків числа, при множенні якого на число одиниць необхідно отримати число менше 196 (це цифра 4, 44*4=176). 4 – друга цифра числа &. 8. Знаходимо різницю (196-176=20). 9. Зносимо наступну групу (отримуємо число 2033). 10. Подвоює число 24, отримуємо 48. 11. 48 десятків у числі, при множенні якого на число одиниць, ми повинні отримати число менше 2033 (484*4=1936). Знайдена нами цифра одиниць (4) і є третьою цифрою числа. Далі процес повторюється.

Метод відрахувань непарного числа ( арифметичний спосіб) Алгоритм вилучення квадратного кореня: Віднімати непарні числа по порядку, поки залишок не стане менше наступного числа, що віднімається або дорівнює нулю. Підрахувати кількість виконаних дій - це число є ціла частина числа квадратного кореня, що видобувається. Приклад 1: обчислити 1. 9 − 1 = 8; 8 − 3 = 5; 5 − 5 = 0. 2. Виконано 3 дії

36 - 1 = 35 - 3 = 32 - 5 = 27 - 7 = 20 - 9 = 11 - 11 = 0 загальна кількість віднімань = 6, тому квадратний корінь з 36 = 6. 121 - 1 = 120 - 3 = 117-5 = 112 - 7 = 105 - 9 = 96 - 11 = 85 - 13 = 72 - 15 = 57 - 17 = 40 - 19 = 21 - 21 = 0 Загальна кількість віднімань = 11, тому квадратний корінь з 121 = 11.5 ??? Російські вчені «за очі» називають його «методом черепахи» через його повільність. Він незручний для великих чисел.

Теоретична значущість дослідження – систематизовані основні методи вилучення квадратних коренів. Практична значимість: у створенні міні-книжечки, що містить опорну схему вилучення квадратних коренів у різний спосіб.

Дякую за увагу!

Попередній перегляд:

При вирішенні деяких завдань потрібно витягти квадратний корінь із великої кількості. Як це зробити?

Метод відрахувань непарного числа.

Спосіб дуже простий. Зауважимо, що з квадратів чисел вірні такі рівності:

1=1 2

1+3=2 2

1+3+5=3 2

1+3+5+7=4 2 тощо.

Наприклад, щоб отримати квадратний корінь з 36 і 121 це:

36 - 1 = 35 - 3 = 32 - 5 = 27 - 7 = 20 - 9 = 11 - 11 = 0

Загальна кількість віднімань = 6, тому квадратний корінь з 36 = 6.

121 - 1 = 120 - 3 = 117- 5 = 112 - 7 = 105 - 9 = 96 - 11 = 85 – 13 = 72 - 15 = 57 – 17 = 40 - 19 = 21 - 21 = 0

Загальна кількість віднімань = 11, тому√121 = 11.

Канадський метод.

Цей швидкий методбув відкритий молодими вченими одного з провідних університетів Канади у 20 столітті. Його точність – не більше двох – трьох знаків після коми. Ось їхня формула:

приклад. Вийняти квадратний корінь із 75.

X = 75, S = 81. Це означає, що √ S = 9.

Прорахуємо за цією формулою √75: √75 = 9 + (75 - 81) / (2∙9)
√ 75 = 9 + (- 6/18) = 9 - 0,333 = 8,667

Спосіб вилучення квадратного кореня куточком.

1. Розбиваємо число (5963364) на пари праворуч наліво (5`96`33`64)

2. Виймаємо квадратний корінь із першої зліва групи (- Число 2). Так ми одержуємо першу цифру числа.

3. Знаходимо квадрат першої цифри (2 2 =4).

4. Знаходимо різницю першої групи та квадрата першої цифри (5-4=1).

5. Зносимо наступні дві цифри (отримали число 196).

6. Подвоюємо першу, знайдену нами цифру, записуємо зліва за межею (2*2=4).

7.Тепер необхідно знайти другу цифру числа: подвоєна перша цифра, знайдена нами, стає цифрою десятків числа, при множенні якого число одиниць, необхідно отримати число менше 196 (це цифра 4, 44*4=176). 4 – друга цифра числа &.

8. Знаходимо різницю (196-176=20).

9. Зносимо наступну групу (отримуємо число 2033).

10. Подвоює число 24, отримуємо 48.

11.48 десятків у числі, при множенні якого на число одиниць, ми маємо одержати число менше 2033 (484*4=1936). Знайдена нами цифра одиниць (4) і є третьою цифрою числа.

Дія вилучення кореня квадратногоназад дії зведення у квадрат.

√81= 9 9 2 =81.

Метод підбору.

Приклад: Витягти корінь із числа 676.

Помічаємо, що 20 2 = 400, а 30 2 = 900, отже 20

Точні квадрати натуральних чисел закінчуються цифрами 0; 1; 4; 5; 6; 9.
Цифру 6 дають 4 2 та 6 2 .
Значить, якщо з 676 вилучається корінь, це або 24, або 26.

Залишилось перевірити: 24 2 = 576, 26 2 = 676.

Відповідь: √676 = 26.

Ще приклад: √6889.

Оскільки 80 2 = 6400, а 90 2 = 8100, то 80 Цифру 9 дають 3 2 та 7 2 , то √6889 дорівнює або 83, або 87.

Перевіряємо: 832 = 6889.

Відповідь: √6889 = 83 .

Якщо важко вирішувати методом підбору, то можна підкорене вираз розкласти на множники.

Наприклад, знайти √893025.

Розкладемо число 893025 на множники, згадайте, ви робили це у шостому класі.

Отримуємо: √893025 = √3 6 ∙5 2 ∙7 2 = 3 3 ∙5 ∙7 = 945.

Вавилонський метод.

Крок №1. Уявити число х як суми: х=а 2 + b де а 2 найближчий до х точний квадрат натурального числа а.

Крок №2. Використовувати формулу:

приклад. Обчислити.

Арифметичний метод.

Віднімаємо з числа всі непарні числа по порядку, поки залишок не стане менше наступного числа, що віднімається або дорівнює нулю. Підрахувавши кількість виконаних дій, визначаємо цілу частину квадратного кореня з числа.

приклад. Обчислити цілу частину числа.

Рішення. 12 - 1 = 11; 11 - 3 = 8; 8 - 5 = 3; 3 3 - ціла частиначисла. Отже, .

Метод (відомий як метод Ньютона)полягає в наступному.

Нехай а 1 - перше наближення числа(як а 1 можна брати значення квадратного кореня з натурального числа - точного квадрата, що не перевищує .

Зазначений спосіб дозволяє витягувати квадратний корінь з великої кількості з будь-якою точністю, правда з істотним недоліком: громіздкість обчислень.

Метод оцінки.

Крок №1. З'ясувати діапазон, в якому лежить вихідний корінь (100; 400; 900; 1600; 2500; 3600; 4900; 6400; 8100; 10000).

Крок №2. за останній цифрівизначити яку цифру закінчується шукане число.

Цифра одиниць числа х
Цифра одиниць числа х 2

Крок №3. Звести в квадрат передбачувані числа і визначити їх шукане число.

Приклад 1. Обчислити.

Рішення. 2500 50 2 2 50

= *2 або = *8.

52 2 = (50 +2) 2 = 2500 + 2 · 50 · 2 + 4 = 2704;
58 2 = (60 − 2) 2 = 3600 − 2 · 60 · 2 + 4 = 3364.

Отже = 58.

До появи калькуляторів студенти та викладачі обчислювали квадратне коріння вручну. Існує кілька способів обчислення квадратного кореня числа вручну. Деякі з них пропонують лише приблизне рішення, інші дають точну відповідь.

Кроки

Розкладання на прості множники

Розкладіть підкорене число на множники, які є квадратними числами.Залежно від підкореного числа, ви отримаєте приблизну чи точну відповідь. Квадратні числа - числа, з яких можна витягти цілий квадратний корінь. Множники – числа, які за перемноженні дають вихідне число. Наприклад, множниками числа 8 є 2 і 4, оскільки 2 х 4 = 8, числа 25, 36, 49 є квадратними числами, оскільки √25 = 5, √36 = 6, √49 = 7. Квадратні множники – це множники які є квадратними числами. Спочатку спробуйте розкласти підкорене число на квадратні множники.

Наприклад, обчисліть квадратний корінь із 400 (вручну). Спочатку спробуйте розкласти 400 на квадратні множники. 400 разів 100, тобто ділиться на 25 - це квадратне число. Розділивши 400 на 25, ви отримаєте 16. Число 16 є квадратним числом. Таким чином, 400 можна розкласти на квадратні множники 25 та 16, тобто 25 х 16 = 400.
Записати це можна так: √400 = √(25 х 16).

Квадратний корінь із твору деяких членів дорівнює добутку квадратного коріння з кожного члена, тобто √(а х b) = √a x √b. Скористайтеся цим правилом та вийміть квадратний корінь з кожного квадратного множника та перемножте отримані результати, щоб знайти відповідь.
- У нашому прикладі вийміть корінь із 25 та з 16.
  - √(25 х 16)
  - √25 х √16
  - 5 х 4 = 20
Якщо підкорене число не розкладається на два квадратні множники (а так відбувається в більшості випадків), ви не зможете знайти точну відповідь у вигляді цілого числа. Але ви можете спростити завдання, розклавши підкорене число на квадратний множник та звичайний множник (число, з якого цілий квадратний корінь витягти не можна). Потім ви витягнете квадратний корінь із квадратного множника і витягуватимете корінь зі звичайного множника.
- Наприклад, обчисліть квадратний корінь із числа 147. Число 147 не можна розкласти на два квадратні множники, але його можна розкласти на наступні множники: 49 і 3. Розв'яжіть задачу таким чином:
  - = √(49 х 3)
  - = √49 х √3
  - = 7√3
Якщо необхідно, оцініть значення кореня.Тепер можна оцінити значення кореня (знайти приблизне значення), порівнявши його зі значеннями коренів квадратних чисел, що знаходяться найближче (з обох сторін на числовій прямій) до підкореного числа. Ви отримаєте значення кореня у вигляді десяткового дробу, яку необхідно помножити на число, що стоїть за знаком кореня.
- Повернемося до нашого прикладу. Підкорене число 3. Найближчими до нього квадратними числами будуть числа 1 (√1 = 1) та 4 (√4 = 2). Таким чином, значення √3 розташоване між 1 і 2. Так як значення √3, ймовірно, ближче до 2, ніж до 1, то наша оцінка: √3 = 1,7. Помножуємо це значення на число біля знака кореня: 7 х 1,7 = 11,9. Якщо ви зробите розрахунки на калькуляторі, то отримаєте 12,13, що досить близько до нашої відповіді.
  - Цей метод також працює з великими числами. Наприклад, розглянемо √35. Підкорене число 35. Найближчими до нього квадратними числами будуть числа 25 (25 = 5) і 36 (36 = 6). Таким чином, значення √35 розташоване між 5 і 6. Так як значення √35 набагато ближче до 6, ніж до 5 (бо 35 всього на 1 менше 36), то можна заявити, що √35 трохи менше 6. Перевірка на калькуляторі дає нам відповідь 5,92 - ми мали рацію.
Ще один спосіб - розкладіть підкорене число на прості множники.Прості множники – числа, які діляться лише з 1 і себе. Запишіть прості множники до ряду і знайдіть пари однакових множників. Такі множники можна винести за знак кореня.
- Наприклад, обчисліть квадратний корінь із 45. Розкладаємо підкорене число на прості множники: 45 = 9 х 5, а 9 = 3 х 3. Таким чином, √45 = √(3 х 3 х 5). 3 можна винести за знак кореня: √45 = 3√5. Тепер можна оцінити √5.
- Розглянемо інший приклад: √88.
  - = √(2 х 44)
  - = √ (2 х 4 х 11)
  - = √ (2 х 2 х 2 х 11). Ви отримали три множники 2; Візьміть пару з них і винесіть за знак кореня.
  - = 2√(2 х 11) = 2√2 х √11. Тепер можна оцінити √2 та √11 та знайти приблизну відповідь.
Обчислення квадратного кореня вручну

За допомогою поділу в стовпчик
1. Цей метод включає процес, аналогічний поділу в стовпчик, і дає точну відповідь.Спочатку проведіть вертикальну лінію, що ділить лист на дві половини, а потім праворуч і трохи нижче верхнього краю листа до вертикальної лінії намалюйте горизонтальну лінію. Тепер поділіть підкорене число на пари чисел, починаючи з дробової частини після коми. Так, число 79520789182,47897 записується як "7 95 20 78 91 82, 47 89 70".
  - Наприклад обчислимо квадратний корінь числа 780,14. Намалюйте дві лінії (як показано на малюнку) і зліва зверху напишіть це число у вигляді "7 80, 14". Це нормально, що перша цифра зліва є непарною цифрою. Відповідь (корінь з даного числа) записуватимете праворуч зверху.
2. Для першої зліва пари чисел (або одного числа) знайдіть найбільше ціле число n, квадрат якого менший або дорівнює парі чисел (або одного числа), що розглядається. Іншими словами, знайдіть квадратне число, яке розташоване ближче всього до першої зліва пари чисел (або одного числа), але менше її, і вийміть квадратний корінь з цього квадратного числа; ви отримаєте число n. Напишіть знайдене n зверху праворуч, а квадрат n запишіть знизу праворуч.
  - У нашому випадку, першим зліва числом буде число 7. Далі, 4< 7, то есть 2 2 < 7 и n = 2. Напишите 2 сверху справа - это первая цифра в искомом квадратном корне. Напишите 2×2=4 справа снизу; вам понадобится это число для последующих вычислений.
3. Відніміть квадрат числа n, яке ви щойно знайшли, з першої зліва пари чисел (або одного числа).Результат обчислення запишіть під віднімається (квадратом числа n).
  - У нашому прикладі відніміть 4 з 7 і отримайте 3.
4. Знесіть другу пару чисел і запишіть її біля значення, отриманого на попередньому кроці.Потім подвайте число зверху праворуч і запишіть отриманий результат знизу праворуч з додаванням "_×_=".
  - У прикладі другий парою чисел є " 80 " . Запишіть "80" після 3. Потім подвоєне число зверху праворуч дає 4. Запишіть "4_×_=" знизу праворуч.
5. Заповніть прочерки праворуч.
  - У нашому випадку, якщо замість прочерків поставити число 8, то 48 х 8 = 384, що більше за 380. Тому 8 - занадто велике число, а ось 7 підійде. Напишіть 7 замість прочерків і отримайте: 47 х 7 = 329. Запишіть 7 зверху праворуч - це друга цифра в квадратному корені числа 780,14.
6. Відніміть отримане число з поточного числа зліва.Запишіть результат з попереднього кроку під поточним числом зліва, знайдіть різницю та запишіть її під віднімається.
  - У нашому прикладі відніміть 329 з 380, що дорівнює 51.
7. Повторіть крок 4.Якщо парою чисел, що зноситься, є дробова частина вихідного числа, то поставте роздільник (кому) цілою і дробовою частин у шуканому квадратному корені зверху праворуч. Зліва знесіть наступну пару чисел. Подвійте число зверху праворуч та запишіть отриманий результат знизу праворуч з додаванням "_×_=".
  - У нашому прикладі наступною парою чисел, що зноситься, буде дробова частина числа 780.14, тому поставте роздільник цілої і дробової частин у шуканому квадратному корені зверху праворуч. Знесіть 14 і запишіть знизу ліворуч. Подвоєним числом зверху праворуч (27) буде 54, тому напишіть "54_×_=" знизу праворуч.
8. Повторіть кроки 5 та 6.Знайдіть таке найбільша кількістьна місце прочерків праворуч (замість прочерків потрібно підставити одне й те саме число), щоб результат множення був меншим або дорівнює поточному числу зліва.
  - У прикладі 549 x 9 = 4941, що менше поточного числа зліва (5114). Напишіть 9 зверху праворуч та відніміть результат множення з поточного числа зліва: 5114 - 4941 = 173.
9. Якщо для квадратного кореня вам необхідно знайти більше знаків після коми, напишіть пару нулів у поточного числа зліва і повторюйте кроки 4, 5 і 6. Повторюйте кроки, доки не отримаєте потрібну вам точність відповіді (число знаків після коми).
Розуміння процесу
1. Розглянемо першу пару цифр Sa числа S (Sa = 7 у прикладі) і знайдемо її квадратний корінь.У цьому випадку першою цифрою A значення квадратного кореня, що шукається, буде така цифра, квадрат якої менший або дорівнює S a (тобто шукаємо таке A, при якому виконується нерівність A² ≤ Sa< (A+1)²). В нашем примере, S1 = 7, и 2² ≤ 7 < 3²; таким образом A = 2.
  - Припустимо, що потрібно розділити 88 962 на 7; тут перший крок буде аналогічним: розглядаємо першу цифру діленого числа 88962 (8) і підбираємо таке найбільше число, яке при множенні на 7 дає значення менше або дорівнює 8. Тобто, шукаємо таке число d, при якому вірна нерівність: 7×d ≤ 8< 7×(d+1). В этом случае d будет равно 1.
2. Подумки уявіть квадрат, площу якого вам потрібно обчислити.Ви шукайте L, тобто довжину сторони квадрата, площа якого дорівнює S. A, B, C - цифри в числі L. Записати можна інакше: 10А + B = L (для двозначного числа) або 100А + 10В + С = L (для тризначного числа) і таке інше.
  - Нехай (10A+B)² = L² = S = 100A² + 2×10A×B + B². Запам'ятайте, що 10A+B - це число, у якого цифра B означає одиниці, а цифра A - десятки. Наприклад, якщо A=1 і B=2, то 10A+B дорівнює числу 12. (10A+B)²- Це площа всього квадрата, 100A²- Площа великого внутрішнього квадрата, B²- Площа малого внутрішнього квадрата, 10A×B- Площа кожного із двох прямокутників. Склавши площі описаних фігур, ви знайдете площу вихідного квадрата.

Розглянемо цей алгоритм з прикладу. Знайдемо

1-й крок. Число під коренем розбиваємо на межі по дві цифри (справа наліво):

2 крок. Витягаємо квадратний корінь з першої грані, тобто з числа 65, отримуємо число 8. Під першою гранню пишемо квадрат числа 8 і віднімаємо. До залишку приписуємо другу грань (59):

(число 159 – перший залишок).

3 крок. Двічі знайдений корінь і пишемо результат зліва:

4 крок. Відокремлюємо в залишку (159) одну цифру праворуч, зліва отримуємо число десятків (воно 15). Потім ділимо 15 на подвоєну першу цифру кореня, тобто на 16, тому що 15 на 16 не ділиться, то в приватному виходить нуль, який записуємо як другу цифру кореня. Отже, у приватному отримали число 80, яке знову подвоюємо, та зносимо наступну грань

(число 15901 - другий залишок).

5 крок. Відділяємо в другому залишку одну цифру праворуч і отримане число 1590 ділимо на 160. Результат (цифру 9) записуємо як третю цифру кореня і приписуємо до 160. Отримане число 1609 множимо на 9 і знаходимо наступний залишок (1420):

Надалі дії виконуються в тій послідовності, яка вказана в алгоритмі (корінь можна видобувати з потрібним ступенем точності).

Зауваження. Якщо підкорене вираз - десятковий - дріб, то її цілу частину розбивають на межі по дві цифри праворуч наліво, дробову частину - по дві цифри зліва направо і витягують корінь за вказаним алгоритмом.

ДИДАКТИЧНИЙ МАТЕРІАЛ

1. Вийміть квадратний корінь із числа: а) 32; б) 32,45; в) 249,5; г) 0,9511.

Бібліографічний опис:Прямостанов С. М., Лисогорова Л. В. Методи вилучення квадратного кореня // Юний вчений. 2017. №2.2. С. 76-77..02.2019).

Ключові слова : квадратний корінь, вилучення квадратного кореня.

На уроках математики я познайомився з поняттям квадратного кореня та операцією вилучення квадратного кореня. Мені стало цікаво вилучення квадратного кореня можливе лише за таблицею квадратів, за допомогою калькулятора або є спосіб вилучення вручну. Я знайшов кілька способів: формула Стародавнього Вавилону, через розв'язання рівнянь, спосіб відкидання повного квадрата, метод Ньютона, геометричний метод, графічний метод (, ), метод підбору вгадуванням, метод відрахувань непарного числа.

Розглянемо такі методи:

Розкладемо на прості множники, використовуючи ознаки подільності 27225 = 5 * 5 * 3 * 3 * 11 * 11. Таким чином

До Анадський метод.Цей швидкий метод був відкритий молодими вченими одного з провідних університетів Канади у 20 столітті. Його точність – не більше двох – трьох знаків після коми.

де х-число, з якого треба витягти корінь, з-число найближчого квадрата), наприклад:

=5,92

Стовпчиком.Цей спосіб дозволяє знайти наближене значення кореня з будь-якого дійсного числа з будь-якою заданою точністю. До недоліків способу можна віднести збільшення складності обчислення зі збільшенням кількості знайдених цифр. Для ручного вилучення кореня застосовується запис, схожий на поділ стовпчиком

Алгоритм вилучення квадратного кореня

1.Від коми окремо дробову та окремо цілу частини ділимо на межі по дві цифриу кожній грані ( цілуючастина – справа наліво; дробову- зліва направо). Можливо, що в цілій частині може бути одна цифра, а в дробовій - нулі.

2.Витяг починається зліва направо, і підбираємо число, квадрат якого не перевищує числа, що стоїть у першій грані. Це число зводимо до квадрата і записує під числом, що стоїть у першій грані.

3. Знаходимо різницю між числом, що стоїть у першій грані, і квадратом підібраного першого числа.

4. До різниці, що вийшла, зносимо наступну грань, отримане число буде ділимим. Утворюємо дільник. Першу підібрану цифру відповіді подвоїємо (множимо на 2), отримуємо число десятків дільника, а число одиниць має бути таким, щоб його добуток на весь дільник не перевищував діленого. Підібрану цифру записуємо у відповідь.

5. До різниці, що вийшла, зносимо наступну грань і виконуємо дії за алгоритмом. Якщо дана грань виявиться гранню дробової частини, то у відповіді ставимо кому. (Мал. 1.)

Даним способом можна отримувати числа з різною точністю, наприклад, з точністю до тисячних. (Мал.2)

Розглядаючи різні способи отримання квадратного кореня, можна зробити висновок: у кожному конкретному випадку потрібно визначитися з вибором найбільш ефективного для того, щоб менше витратити часу для вирішення

Література:

Кисельов А. Елементи алгебри та аналізу. Частина перша.-М.-1928 р

Ключові слова: квадратний корінь, вилучення квадратного кореня.

Анотація: У статті описуються способи вилучення квадратного кореня, та наведено приклади вилучення коренів.

Завантажити:

Попередній перегляд:

Попередній перегляд:

Підписи до слайдів:

Попередній перегляд:

Кроки

Розкладання на прості множники

Обчислення квадратного кореня вручну

За допомогою поділу в стовпчик

Розуміння процесу

ДИДАКТИЧНИЙ МАТЕРІАЛ