Як треба округляти числа. Математика. Правила округлення числових значень

Програма Microsoft Excel працює, зокрема, і з числовими даними. При виконанні поділу або роботі з дробовими числами програма робить округлення. Це пов'язано, перш за все, з тим, що абсолютно точні дробові числарідко коли бувають потрібні, але оперувати громіздким виразом із кількома знаками після коми не дуже зручно. Крім того, є числа, які в принципі точно не округляються. Але в той же час недостатньо точне округлення може призвести до грубих помилок у ситуаціях, де потрібна саме точність. На щастя, у Microsoft Excel є можливість самим користувачам встановлювати, як округлятимуться числа.

Усі числа, з якими працює програма Microsoft Excel, поділяються на точні та наближені. У пам'яті зберігаються числа до 15 розряду, а відображаються до розряду, який вкаже сам користувач. Але, при цьому, всі розрахунки виконуються відповідно до даних, що зберігаються в пам'яті, а не відображаються на моніторі.

За допомогою операції округлення, Microsoft Excel відкидає кілька знаків після коми. В Excel застосовується загальноприйнятий спосіб округлення, коли число менше 5 округляється в меншу сторону, а більше або 5 - у більшу сторону.

Округлення за допомогою кнопок на стрічці

Самим простим способомзмінити заокруглення числа — це виділити осередок або групу осередків, і перебуваючи у вкладці «Головна», натиснути на стрічці на кнопку «Збільшити розрядність» або «Зменшити розрядність». Обидві кнопки розміщуються у блоці інструментів «Число». При цьому, буде округлятися тільки число, що відображається, але для обчислень, при необхідності будуть задіяні до 15 розрядів чисел.

При натисканні на кнопку «Збільшити розрядність» кількість внесених знаків після коми збільшується на один.

При натисканні на кнопку "Зменшити розрядність" кількість цифр після коми зменшується на одну.

Округлення через формат осередків

Також можна виставити округлення за допомогою параметрів формату осередків. Для цього, потрібно виділити діапазон осередків на аркуші, клікнути правою кнопкою миші, і в меню вибрати пункт «Формат осередків».

У вікні налаштувань формату осередків потрібно перейти у вкладку «Число». Якщо формат даних вказаний не числовий, потрібно вибрати саме числовий формат, інакше ви не зможете регулювати округлення. У центральній частині вікна біля напису «Кількість десяткових знаків» просто вказуємо цифрою число знаків, яке бажаємо бачити при округленні. Після цього виконуємо клік за кнопкою «OK».

Встановлення точності розрахунків

Якщо попередніх випадках, встановлювані параметри впливали лише зовнішнє відображення даних, а при розрахунках використовувалися точніші показники (до 15 знака), нині ми розповімо, як змінити саму точність розрахунків.

Відкриється вікно параметрів Excel. У цьому вікні переходимо до підрозділу «Додатково». Шукаємо блок налаштувань під назвою "При перерахунку цієї книги". Налаштування в цьому боці застосовуються до жодного аркуша, а до всієї книги в цілому, тобто до всього файлу. Ставимо галочку навпроти параметра "Задати точність як на екрані". Тиснемо на кнопку «OK», розташовану в нижньому лівому кутку вікна.

Тепер при розрахунку даних враховуватиметься відображувана величина числа на екрані, а не та, яка зберігається в пам'яті Excel. Налаштування ж відображуваного числа можна провести будь-яким із двох способів, про які ми говорили вище.

Застосування функцій

Якщо ж ви хочете змінити величину округлення при розрахунку щодо одного або кількох осередків, але не хочете знижувати точність розрахунків в цілому для документа, то в цьому випадку найкраще скористатися можливостями, які надає функція «ОКРУГЛ», та різні її варіації, а також деякі інші функції.

Серед основних функцій, що регулюють округлення, слід виділити такі:

ОКРУГЛ – округлює до зазначеної кількості десяткових знаків, згідно з загальноприйнятими правилами округлення;
ОКРУГЛВВЕРХ - округлює до найближчого числа вгору по модулю;
ОКРУГЛВНИЗ - округлює до найближчого числа вниз по модулю;
ОКРУГЛТ – округлює число із заданою точністю;
ОКРВВЕРХ – округлює число із заданою точністю вгору по модулю;
ОКРВНИЗ – округлює число вниз по модулю із заданою точністю;
ВІДБР - округлює дані до цілого числа;
ЧЕТН - округляє дані до найближчого парного числа;
НЕЧЕТН – заокруглює дані до найближчого непарного числа.

Для функцій ОКРУГЛ, ОКРУГЛВВЕРХ та ОКРУГЛВНИЗ наступний формат введення: «Найменування функції (число; число_розрядів). Тобто якщо ви, наприклад, хочете округлити число 2,56896 до трьох розрядів, то застосовуєте функцію ОКРУГЛ(2,56896;3). На виході виходить число 2569.

Для функцій ОКРУГЛТ, ОКРВВЕРХ і ОКРВНЗ застосовується така формула округлення: «Найменування функції (число; точність)». Наприклад, щоб округлити число 11 до найближчого кратного 2, вводимо функцію ОКРУГЛТ(11;2). На виході виходить число 12.

Функції ВІДБР, ЧЕТН і НЕЧЕТ використовують наступний формат: «Найменування функції (число)». Для того, щоб округлити число 17 до найближчого парного, застосовуємо функцію ЧЕТН(17). Отримуємо число 18.

Функцію можна вводити, як у комірку, так і в рядок функцій, попередньо виділивши ту комірку, в якій вона перебуватиме. Перед кожною функцією слід ставити знак «=».

Існує і дещо інший спосіб запровадження функцій округлення. Його особливо зручно використовувати, коли є таблиця зі значеннями, які потрібно перетворити на заокруглені числа в окремому стовпчику.

Для цього переходимо у вкладку «Формули». Клікаємо по копці "Математичні". Далі, у списку, що відкрився, вибираємо необхідну функцію, наприклад ОКРУГЛ.

Після цього відкривається вікно аргументів функції. У полі «Число» можна ввести число вручну, але якщо ми хочемо автоматично округлити дані всієї таблиці, тоді клацаємо по кнопці праворуч від вікна введення даних.

Вікно аргументів функції згортається. Тепер потрібно клікнути по верхньому осередку стовпця, дані якого ми збираємося округлити. Після того, як значення занесено у вікно, клацаємо по кнопці праворуч від цього значення.

Знову відкривається вікно аргументів функції. У полі «Кількість розрядів» записуємо розрядність, до якої нам потрібно скорочувати дроби. Після цього тиснемо на кнопку «OK».

Як бачимо, число округлилося. Для того, щоб таким же чином округлити й інші дані потрібного стовпця, наводимо курсор на нижній правий кут комірки з округленим значенням, тиснемо на ліву кнопку миші, і простягаємо її вниз до кінця таблиці.

Після цього всі значення в потрібному стовпці будуть округлені.

Як бачимо, існують два основні способи округлити видиме відображення числа: за допомогою кнопки на стрічці, та шляхом зміни параметрів формату осередків. Крім того, можна змінити і округлення даних, що реально розраховуються. Це також можна зробити двома способами: зміною налаштувань книги в цілому або шляхом застосування спеціальних функцій. Вибір конкретного способу залежить від того, чи збираєтеся ви застосовувати подібний виглядокруглення для всіх даних у файлі, або лише для певного діапазону осередків.

Припустимо, що ви хочете заокруглити число до найближчого цілого, тому що десяткові значення вам не важливі, або представити число у вигляді ступеня 10, щоб спростити приблизні обчислення. Існує кілька способів округлення чисел.

Зміна кількості знаків після коми без зміни значення

На аркуші

У вбудованому числовому форматі

Округлення числа нагору

Округлення числа до найближчого значення

Округлення числа до найближчого дробового значення

Округлення числа до вказаної кількості значних розрядів

Значні розряди – це розряди, що впливають на точність числа.

У прикладах цього розділу використовуються функції ОКРУГЛ, ОКРУГЛВЕРХі ОКРУГЛВНИЗ. Вони показують способи округлення позитивних, негативних, цілих і дробових чисел, але наведені приклади охоплюють лише невелику частину можливих ситуацій.

У наведеному нижче списку містяться загальні правила, які необхідно враховувати при заокругленні чисел до вказаної кількості значних розрядів. Ви можете поекспериментувати з функціями округлення та підставити власні числа та параметри, щоб отримати число з необхідною кількістю значних розрядів.

Округлювані негативні числапередусім перетворюються на абсолютні значення (значення без знака " мінус " ). Після заокруглення знак "мінус" застосовується повторно. Хоча це може бути нелогічним, саме так виконується округлення. Наприклад, при використанні функції ОКРУГЛВНИЗдля округлення числа -889 двох значних розрядів результатом є число -880. Спочатку -889 перетворюється на абсолютне значення (889). Потім це значення округляється до двох значних розрядів (880). Після цього повторно застосовується знак мінус, що дає в результаті -880.

При застосуванні до позитивного числа функції ОКРУГЛВНИЗвоно завжди округляється вниз, а при застосуванні функції ОКРУГЛВЕРХ- Вгору.

Функція ОКРУГЛокругляє дробові числа наступним чином: якщо дробова частина більша або дорівнює 0,5, число округляється вгору. Якщо дробова частина менша за 0,5, число округляється вниз.

Функція ОКРУГЛокругляє цілі числа вгору або вниз аналогічним чином, замість дільника 0,5 використовується 5.

Загалом при округленні числа без дробової частини (цілого числа) необхідно відняти довжину числа з необхідної кількості значних розрядів. Наприклад, щоб округлити 2345678 вниз до 3 значних розрядів, використовується функція ОКРУГЛВНИЗз параметром -4: = ОКРУГЛВНИЗ(2345678,-4). При цьому число округляється до значення 2340000 де частина "234" являє собою значні розряди.

Округлення числа до заданого кратного

Іноді може знадобитися округлити значення до кратного заданого числа. Наприклад, припустимо, що компанія постачає товари в ящиках по 18 одиниць. За допомогою функції ОКРУГЛТ можна визначити, скільки ящиків потрібно для постачання 204 одиниць товару. У даному випадкувідповіддю є 12, тому що число 204 при розподілі на 18 дає значення 11333, яке необхідно округлити вгору. У 12-му ящику буде лише 6 одиниць товару.

Може також знадобитися округлити негативне значення до кратного негативного або дробове - до кратного дробового. Для цього також можна використовувати функцію ОКРУГЛТ.

Числа заокруглюють і до інших розрядів - десятих, сотих, десятків, сотень і т.д.

Якщо число округляють до якогось розряду, всі наступні за цим розрядом цифри замінюють нулями, і якщо вони стоять після коми, їх відкидають.

Правило №1. Якщо перша з цифр, що відкидаються, більше або дорівнює 5, то остання з збережених цифр посилюється, тобто збільшується на одиницю.

Приклад 1. Дано число 45769, яке потрібно округлити до десятих. Перша цифра, що відкидається - 6 ˃ 5. Отже, остання зі збережених цифр (7) посилюється, тобто збільшується на одиницю. І таким чином округлене число буде - 45,8.

Приклад 2. Дано число 5165, яке потрібно округлити до сотих. Перша цифра, що відкидається, – 5 = 5. Отже, остання зі збережених цифр (6) посилюється, тобто збільшується на одиницю. І таким чином округлене число буде - 5,17.

Правило №2. Якщо перша з цифр, що відкидаються менше, ніж 5, то посилення не робиться.

Приклад: Дано число 45749, яке потрібно округлити до десятих. Перша цифра, що відкидається - 4

Правило №3. Якщо цифра 5, що відкидається, а за нею немає значущих цифр, то округлення виробляється на найближче парне число. Т. е. остання цифра залишається незмінною, якщо вона парна і посилюється, якщо - непарна.

Приклад 1: Округляючи число 0,0465 до третього десяткового знака, пишемо - 0,046. Посилення не робимо, тому що остання цифра, що зберігається (6) - парна.

Приклад 2. Округляючи число 0,0415 до третього десяткового знака, пишемо - 0,042. Посилення робимо, тому що остання цифра, що зберігається (1) - непарна.

Дробові числа в електронних таблицях Excel можна виводити на екран різним ступенем точності:

самий простийспосіб – на вкладці « Головна» натискаємо кнопки « Збільшити розрядність» або « Зменшити розрядність»;
клацаємо правою кнопкою мишіпо комірці, в меню вибираємо « Формат осередків.», далі вкладка « Число», вибираємо формат « Числовий», визначаємо, скільки буде десяткових знаків після коми (за замовчуванням пропонується 2 знаки);
клацаємо комірку, на вкладці « Головна» вибираємо « Числовий», або йдемо на « Інші числові формати…» і там налаштовуємо.

Ось як виглядає дріб 0,129, якщо змінювати кількість десяткових знаків після коми у форматі комірки:

Зверніть увагу, в A1, A2, A3 записано те саме значення, Змінюється тільки форма уявлення. При подальших розрахунках використовуватиметься не величина, видима на екрані, а вихідна. Початківця користувача електронних таблиць це може трохи заплутати. Щоб реально змінити значення, необхідно використати спеціальні функції, їх у Excel кілька.

Формула округлення

Одна з часто застосовуваних функцій округлення – ОКРУГЛ. Вона працює за стандартними математичним правилам. Вибираємо комірку, клацаємо значок « Вставити функцію», категорія « Математичні», знаходимо ОКРУГЛ

Визначаємо аргументи, їх два – сама дрібі кількістьрозрядів. Клацаємо « ОКі дивимося, що вийшло.

Наприклад, вираз =ОКРУГЛ(0,129;1)дасть результат 0,1. Нульова кількість розрядів дозволяє позбавлятися дробової частини. Вибір негативної кількості розрядів дозволяє округляти цілу частину до десятків, сотень тощо. Наприклад, вираз =ОКРУГЛ(5,129;-1)дасть 10.

Округлюємо у більший чи менший бік

В Excel представлені й інші засоби, що дозволяють працювати з десятковими дробами. Одне з них - ОКРУГЛВЕРХ, видає найближче число, більшеза модулем. Наприклад, вираз =ОКРУГЛВВЕРХ(-10,2;0) дасть -11. Кількість розрядів тут 0, отже, отримаємо ціле значення. Найближче ціле, Більше за модулем, - саме -11. Приклад використання:

ОКРУГЛВНИЗаналогічна до попередньої функції, але видає найближче значення, менше за модулем. Відмінність у роботі вищеописаних коштів видно з прикладів:

=ОКРУГЛ(7,384;0)	7
=ОКРУГЛВЕРХ(7,384;0)	8
=ОКРУГЛВНИЗ(7,384;0)	7
=ОКРУГЛ(7,384;1)	7,4
=ОКРУГЛВВЕРХ(7,384;1)	7,4
=ОКРУГЛВНИЗ(7,384;1)	7,3

При округленні залишають лише вірні знаки, інші відкидають.

Правило 1. Округлення досягається простим відкиданням цифр, якщо перша з цифр, що відкидаються менше, ніж 5.

Правило 2. Якщо перша з цифр, що відкидаються більше, ніж 5, то остання цифра збільшується на одиницю. Остання цифразбільшується також і в тому випадку, коли перша з цифр, що відкидаються 5, а за нею є одна або кілька цифр, відмінних від нуля. Наприклад, різні округлення числа 35856 будуть 3586; 35,9; 36.

Правило 3. Якщо цифра, що відкидається, дорівнює 5, а за нею немає значущих цифр, то округлення проводиться на найближче парне число, тобто. остання цифра залишається незмінною, якщо вона парна і збільшується на одиницю, якщо вона непарна. Наприклад, 0,435 округляємо до 0,44; 0,465 округляємо до 0,46.

8. ПРИКЛАД ОБРОБКИ РЕЗУЛЬТАТІВ ВИМІРЮВАНЬ

Визначення густини твердих тіл. Припустимо, тверде тіломає форму циліндра. Тоді густина ρ може бути визначена за формулою:

де D – діаметр циліндра, h – його висота, m – маса.

Нехай в результаті вимірювань m, D, h отримані такі дані:

№ п/п	m, г	Δm, г	D, мм	ΔD, мм	h, мм	Δh, мм	, г/см 3	Δ , г/см 3
	51,2	0,1	12,68	0,07	80,3	0,15	5,11	0,07	0,013
	12,63	80,2
	12,52	80,3
	12,59	80,2
	12,61	80,1
середня			12,61		80,2		5,11

Визначимо середнє значення D:

Знайдемо похибки окремих вимірів та їх квадрати

Визначимо середню квадратичну похибку серії вимірів:

Задаємо значення надійності α = 0,95 і по таблиці знаходимо коефіцієнт Стьюдента t α. n = 2,8 (для n = 5). Визначаємо межі довірчого інтервалу:

Оскільки обчислене значення ΔD = 0,07 мм значно перевищує абсолютну помилку мікрометра, що дорівнює 0,01 мм (вимірювання виробляється мікрометром), то отримане значення може бути оцінкою межі довірчого інтервалу:

D = D̃ ± Δ D; D= (12,61±0,07) мм.

Визначимо значення h̃:

Отже:

Для α = 0,95 і n = 5 коефіцієнт Стьюдента t α, n = 2,8.

Визначаємо межі довірчого інтервалу

Так як отримане значення Δh = 0,11 мм того ж порядку, що і помилка штангенциркуля, що дорівнює 0,1 мм (вимірювання h проводиться штангенциркулем), то межі довірчого інтервалу слід визначити за формулою: