Спільно з видавництвом «» ми публікуємо уривок із книги професора прикладної математики Едварда Шейнермана «Путівник для закоханих у математику», присвяченої нестандартним питанням захоплюючої математики, головоломкам, Всесвіту чисел та фігур. Переклад з англійської Олексія Огнєва.
Цей розділ оповідає про знамениті числа Фібоначчі: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21 і т. д. Цей ряд був названий на честь Леонардо Пізанського, більше відомого як Фібоначчі. Леонардо Пізанський (1170-1250) - один із перших великих математиків середньовічної Європи. Прізвисько Фібоначчі означає «син Боначчі». Автор "Книги абака", що викладає десяткову систему числення.
Квадрати та доміно
Почнемо з укладання квадратів та доміно. Уявимо довгу горизонтальну рамку розмірами 1×10. Ми хочемо повністю заповнити її квадратами 1×1 та кісточками доміно 1×2, не залишивши жодної щілини. Ось картинка:
Запитання: Скільки способами це можна зробити?
Для зручності позначимо кількість варіантів F10. Перебирати їх усе і потім перераховувати - важка праця, що загрожує помилками. Набагато краще спростити завдання. Не будемо з місця у кар'єр шукати F10, почнемо з F1. Це найпростіше! Нам потрібно заповнити рамку 1×1 квадратами 1×1 та кісточками доміно 1×2. Доміно не поміститься, залишається єдине рішення: взяти один квадрат. Інакше кажучи, F1 = 1.
Тепер розберемося із F2. Розмір рамки 1×2. Можна заповнити її двома квадратами або однією кісточкою доміно. Таким чином, є два варіанти і F2 = 2.
Далі: Скільки способами можна заповнити рамку 1 × 3? Перший варіант: три квадрати. Два інших варіанти: одна кісточка доміно (дві не влізуть) і квадрат ліворуч чи праворуч. Отже, F3 = 3. Ще один крок: візьмемо рамку 1×4. На малюнку показані всі варіанти заповнення:
Ми знайшли п'ять можливостей, але де гарантія, що ми нічого не проґавили? Є спосіб перевірити себе. У лівому кінці рамки може бути або квадрат, або кісточка доміно. У верхньому ряду малюнку - варіанти, коли ліворуч квадрат, у нижньому ряду - коли ліворуч доміно.
Припустимо, зліва квадрат. Решту потрібно заповнити квадратами і доміно. Іншими словами, потрібно заповнити рамку 1 × 3. Це дає 3 варіанти, оскільки F3 = 3. Якщо зліва доміно, розмір частини 1 × 2, що залишилася, і заповнити її можна двома варіантами, так як F2 = 2.
Таким чином, у нас є 3 + 2 = 5 варіантів і ми переконалися, що F4 = 5.
Тепер ваша черга. Подумайте пару хвилин і знайдіть усі варіанти заповнення для рамки 1×5. Їх небагато. Рішення – наприкінці глави. Можете відволіктися та подумати.
Повернемося до наших квадратів. Хочеться вірити, що ви знайшли 8 варіантів, тому що є 5 способів укладання, де ліворуч квадрат, і ще 3 способи, де ліворуч доміно. Отже, F5 = 8.
Підсумуємо. Ми позначили FN кількість способів заповнення рамки 1×n квадратами та кісточками доміно. Нам потрібно знайти F10. Ось що ми вже знаємо:
Рухаємось далі. Чому дорівнює F6? Можна намалювати всі варіанти, але це нудно. Краще розіб'ємо питання на дві частини. Скільки способами можна заповнити рамку 1 × 6, якщо ліворуч (a) квадрат і (b) кісточка доміно? Хороша новина: ми вже знаємо відповідь! У першому випадку нам залишається п'ять квадратів, а ми знаємо, що F5 = 8. У другому випадку потрібно заповнити чотири квадрати; нам відомо, що F4 = 5. Отже, F5 + F4 = 13.
Чому дорівнює F7? З тих самих міркувань, F7 =F6+F5=13+8=21. А як щодо F8? Очевидно, F8 = F7 + F6 = 21 + 13 = 34. І так далі. Ми виявили наступний взаємозв'язок: Fn = Fn-1 + Fn-2.
Ще кілька кроків – і ми знайдемо шукане число F10. Правильна відповідь – наприкінці глави.
Числа Фібоначчі
Числа Фібоначчі – це послідовність:
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, …
Вона вибудовується за такими правилами:
― перші два числа 1 та 1;
― кожне наступне число отримуємо додаванням двох попередніх.
Позначатимемо n-ний елемент послідовності Fn, починаючи з нуля: F0 = 1, F1 = 1, F2 = 2, F3 = 3, F4 = 5, … Черговий елемент ми обчислюємо за формулою: Fn = Fn-1 + Fn-2 .
Як бачимо, завдання укладання квадратів і доміно призвела нас до послідовності чисел Фібоначчі [ 1 ]У задачі про квадрати та доміно ми з'ясували: F1 = 1, а F2 = 2. Але числа Фібоначчі починаються з F0 = 1. Як це узгоджується з умовами задачі? Скільки існує способів заповнити на тих самих умовах рамку 0 × 1? Довжина квадрата і довжина кісточки доміно, як не крути, більше за нуль, тому є спокуса сказати, що відповідь дорівнює нулю, але це не так. Прямокутник 0×1 вже заповнений, там немає щілин; нам не знадобиться ні квадрат, ні кісточка доміно. Таким чином, є лише один спосіб дії: не брати ні квадрата, ні кісточки доміно. Розумієте? У такому разі я вітаю вас. У вас є душа математика!
Сума чисел Фібоначчі
Спробуємо скласти перші кілька чисел Фібоначчі. Що ми можемо сказати про суму F0+F1+…+Fn для будь-якого n? Давайте проробимо деякі обчислення і подивимося, що вийде. Зверніть увагу на результати додавання внизу. Чи бачите ви закономірність? Почекайте трохи, перш ніж рухатися далі: буде краще, якщо ви знайдете відповідь самостійно, а не прочитаєте вже готове рішення.
Хочеться вірити, ви побачили, що результати підсумовування, якщо до них приплюсувати по одиниці, теж вишиковуються в послідовність чисел Фібоначчі. Наприклад, додавання чисел від F0 до F5 дає: F0 + F1 + F2 + F3 + F4 + F5 = 1 + 1 + 2 + 3 + 5 + 8 = 20 = F7 - 1. Додавання чисел від F0 до F6 дає 33, що на одиницю меншу за F8 = 34. Ми можемо записати формулу для невід'ємних цілих чисел n: F0 +F1 +F2 +…+Fn =Fn+2 –1. (*)
Мабуть, особисто вам достатньо буде побачити, що формула [ * ]F0 + F1 + F2 + ... + Fn = Fn +2 -1.. працює в дюжині випадків, щоб ви повірили, що вона вірна, але математики прагнуть доказів. Ми раді надати вам два можливі докази того, що вона вірна для всіх невід'ємних цілих чисел n.
Перше називається доказом індукції, друге - комбінаторним доказом.
Доказ по індукції
Формула [ * ]F0 + F1 + F2 + ... + Fn = Fn +2 -1.є нескінченно багато формул у згорнутому вигляді. Довести, що [ * ]F0 + F1 + F2 + ... + Fn = Fn +2 -1.Правильно конкретного значення n, скажімо для n = 6, - просте арифметична завдання. Достатньо буде записати числа від F0 до F6 і скласти їх: F0 + F2 + ... + F6 = 1 +1 +2 +3 +5 +8 +13 = 33.
Неважко побачити, що F8 = 34 тому формула діє. Перейдемо до F7. Не витрачатимемо час і складатимемо всі числа: ми вже знаємо суму аж до F6. Отже, (F0 +F1 +…+F6)+F7 =33+21=54. Як і раніше, все сходиться: F9 = 55.
Якщо зараз ми почнемо перевіряти, чи формула працює для n = 8, наші сили остаточно вичерпаються. Але все ж таки подивимося, що ми вже знаємо і що хочемо з'ясувати:
F0 + F1 + ... + F7 = F9.
F0 + F1 + ... + F7 + F7 =?
Скористаємося попереднім результатом: (F0 + F1 + ... + F7) + F8 = (F9-1) + F8.
Ми, звісно, можемо обчислити (F9-1) + F8 арифметично. Але так ми втомимося ще більше. У той самий час ми знаємо, що F8 + F9 = F10. Таким чином, нам не потрібно нічого вираховувати чи заглядати до таблиці чисел Фібоначчі:
(F0 + F1 + ... + F7) + F8 = (F9-1) + F8 = (F8 + F9-1) = F10-1.
Ми переконалися, що формула працює для n=8, на основі того, що знали про n=7.
У випадку n = 9 ми так само спираємося на результат для n = 8 (переконайтеся в цьому самостійно). Зрозуміло, довівши вірність [ * ]F0 + F1 + F2 + ... + Fn = Fn +2 -1.для n, ми можемо бути впевнені, що [ * ]F0 + F1 + F2 + ... + Fn = Fn +2 -1.вірно й у n + 1.
Ми готові надати повний доказ. Як було зазначено, [ * ]F0 + F1 + F2 + ... + Fn = Fn +2 -1.є нескінченною кількістю формул для всіх значень n від нуля до нескінченності. Подивимося, як працює доказ.
Спочатку ми доводимо [ * ]F0 + F1 + F2 + ... + Fn = Fn +2 -1.у найпростішому випадку, для n = 0. Ми просто перевіряємо, що F0 = F0+2 - 1. Оскільки F0 = 1, а F2 = 2, очевидно 1 = 2 - 1, а F0 = F2-1.
Далі нам достатньо показати, що вірність формули одного значення n (скажімо, n = k) автоматично означає вірність для n + 1 (у прикладі n = k + 1). Нам треба лише продемонструвати, як влаштовано це «автоматично». Що нам потрібно зробити?
Візьмемо кілька k. Припустимо, ми знаємо, що F0+F1+…+Fk =Fk+2–1. Ми шукаємо величину F0+F1+…+Fk+Fk+1.
Ми вже знаємо суму чисел Фібоначчі аж до Fk, тому ми отримуємо:
(F0+F1+…+Fk)+Fk+1 =(Fk+2–1)+Fk+1.
Права частина дорівнює Fk+2 - 1 + Fk+1, і ми знаємо, чому дорівнює сума наступних один за одним чисел Фібоначчі:
Fk+2–1 + Fk+1 = (Fk+2 + Fk+1) - 1 = Fk+3– 1
Підставимо в нашу рівність:
(F0+F1+…+Fk)+Fk+1 =Fk+3–1
Зараз поясню, що ми зробили. Якщо ми знаємо, що [ * ]F0 + F1 + F2 + ... + Fn = Fn +2 -1.вірно, коли ми підсумовуємо числа до Fk, тоді [ * ]F0 + F1 + F2 + ... + Fn = Fn +2 -1.має бути вірно, якщо ми приплюсуємо Fk+1.
Підсумуємо:
Формула [ * ]F0 + F1 + F2 + ... + Fn = Fn +2 -1.правильна для n = 0.
Якщо формула [ * ]F0 + F1 + F2 + ... + Fn = Fn +2 -1.вірна для n, вона вірна й у n + 1.
Ми можемо впевнено сказати, що [ * ]F0 + F1 + F2 + ... + Fn = Fn +2 -1.Правильно для будь-яких значень n. Чи правильно [ * ]F0 + F1 + F2 + ... + Fn = Fn +2 -1.для n = 4987? Це так, якщо вираз вірний для n = 4986, що ґрунтується на вірності виразу для n = 4985, і так далі до n = 0. Отже, формула [ * ]F0 + F1 + F2 + ... + Fn = Fn +2 -1.вірна всім можливих значень. Цей метод доказу відомий під назвою математична індукція (або доказ щодо індукції). Ми перевіряємо базовий випадок і даємо шаблон, яким кожен наступний випадок може бути доведений на основі попереднього.
Комбінаторний доказ
А ось зовсім інший доказ тотожності * ]F0 + F1 + F2 + ... + Fn = Fn +2 -1.. Основний підхід тут – скористатися тим фактом, що число Fn – це кількість способів облицьовувати прямокутник 1×n квадратами та кісточками доміно.
Нагадаю, що нам потрібно довести:
F0 + F1 + F2 + ... + Fn = Fn +2-1. (*)
Ідея полягає в тому, щоб розглядати обидві частини рівняння як розв'язання задачі з облицюванням. Якщо ми доведемо, що ліва і права частина - рішення для одного і того ж прямокутника, вони збігатимуться між собою. Ця техніка носить назву комбінаторного доказу 2 ]Слово «комбінаторний» утворено від іменника «комбінаторика» - назви розділу математики, предметом якого є підрахунок варіантів у завданнях, схожих на облицювання прямокутника. Слово «комбінаторика» у свою чергу утворене від слова «комбінації»..
На яке питання щодо комбінаторики рівняння [ * ]F0 + F1 + F2 + ... + Fn = Fn +2 -1.дає дві вірні відповіді? Ця головоломка схожа на ті, що зустрічаються у шоу Jeopardy! [ 3 ]Популярна у США телевікторина. Аналоги Jeopardy! виходять у різних країнах; у Росії це – «Своя гра». - Прим. ред., де учасники повинні формулювати питання, знаючи заздалегідь правильну відповідь.
Права частина виглядає простіше, тож почнемо з неї. Відповідь: Fn+2– 1. Яке питання? Якби відповідь дорівнювала просто Fn+2, ми з легкістю сформулювали б питання: скільки способів можна облицьувати прямокутник 1 × (n + 2) за допомогою квадратів і кісточок доміно? Це майже те, що потрібно, але відповідь менша на одиницю. Спробуємо м'яко змінити питання та зменшити відповідь. Приберемо один варіант облицювання і перерахуємо решту. Складність полягає в тому, щоб знайти один варіант, який кардинально відрізняється від решти. Чи є такий?
Кожен спосіб облицювання передбачає використання квадратів або доміно. Тільки квадрати задіяні в одному варіанті, в інших є хоча б одна кістячка доміно. Візьмемо це за основу нового питання.
Запитання:Скільки існує варіантів облицювання квадратами і кісточками доміно прямокутної рамки 1 × (n + 2), що включають щонайменше одну кісточку доміно?
Зараз ми знайдемо дві відповіді на це запитання. Оскільки обидва будуть вірні, ми зможемо впевнено поставити знак рівності.
Одну з відповідей ми вже обговорювали. Є Fn+2 варіантів укладання. Тільки один з них має на увазі використання виключно квадратів, без доміно. Отже, відповідь №1 на запитання така: Fn+2– 1.
Друга відповідь має бути - я сподіваюся - лівою частиною рівняння [ * ]F0 + F1 + F2 + ... + Fn = Fn +2 -1.. Подивимося, як це працює.
Потрібно перерахувати варіанти заповнення рамки, що включають хоча б одну кісточку доміно. Давайте подумаємо, де буде розташована найперша кісточка. Є n + 2 позицій, і перша кісточка може розташовуватись у позиціях від 1 до n + 1.
Розглянемо випадок n = 4. Ми шукаємо варіанти заповнення рамки 1 × 6, що задіють хоча б одну кісточку доміно. Ми знаємо відповідь: F6 – 1 = 13 – 1 = 12, але нам необхідно отримати його іншим шляхом.
Перша кісточка доміно може займати такі позиції:
Перша колонка демонструє випадок, коли кісточка знаходиться на першій позиції, друга - коли кісточка на другій, і т.д.
Скільки варіантів у кожній колонці?
У першій колонці – п'ять варіантів. Якщо відкинути доміно зліва, ми отримаємо рівно F4 = 5 варіантів для прямокутника 1×4. У другій колонці – три варіанти. Відкинемо доміно та квадрат зліва. Ми отримаємо F3 = 3 варіанти для прямокутника 1×3. Аналогічно для інших колонок. Ось що ми виявили:
Таким чином, кількість способів замостити квадратами і доміно (хоча б однією кісточкою) прямокутну рамку 1 × 6 дорівнює F4 + F3 + F2 + F1 + F0 = 12.
Висновок: F0+F1+F2+F3+F4=12=F6–1.
Розглянемо загальний випадок. Нам дана рамка завдовжки n + 2. Скільки є варіантів її заповнення, за яких перша кісточка доміно знаходиться на певній позиції k? І тут перші k - 1 позицій зайняті квадратами. Таким чином, загалом зайнята k + 1 позиція [ 4 ]Число k може набувати значень від 1 до n + 1, але не більше, бо інакше остання кісточка доміно висунеться за межі рамки.. Ті, що залишилися (n + 2) - (k + 1) = n - k + 1 можна заповнити будь-якими способами. Це дає Fn-k+1 варіантів. Побудуємо діаграму:
Якщо k змінюється від 1 до n + 1, то величина n - k + 1 змінюється від 0 до n. Таким чином, кількість варіантів заповнення нашої рамки з використанням хоча б однієї кісточки доміно дорівнює Fn+Fn-1+…+F1+F0.
Якщо поставити доданки у зворотному порядку, ми отримаємо ліву частину виразу (*). Таким чином, ми знайшли другу відповідь на поставлене запитання: F0+F1+…+Fn.
Отже, ми маємо дві відповіді на запитання. Величини, отримані за допомогою двох виведених нами формул, збігаються, і тотожність [ * ]F0 + F1 + F2 + ... + Fn = Fn +2 -1.доведено.
Співвідношення чисел Фібоначчі та золотий переріз
Додавання двох наступних один за одним чисел Фібоначчі дає чергове число Фібоначчі. У цьому розділі ми порушимо питання цікавіше: що буде, якщо ми поділимо число Фібоначчі на попереднє в ряду? Порахуємо співвідношення Fk1. Для значень k.
У таблиці можна бачити співвідношення від F1/F0 до F20/19.
Чим більше стають числа Фібоначчі, тим ближче співвідношення Fk+1/Fk до константи приблизно дорівнює 1,61803. Це число - ви будете здивовані - досить відоме, і якщо ви введете його в пошукову систему, вивалиться безліч сторінок про золотий перетин. Що це таке? Співвідношення сусідніх чисел Фібоначчі однаково. Однак воно майже однаково, якщо цифри досить великі. Давайте знайдемо формулу для числа 1,61803 і цього на час вважатимемо, що це співвідношення однакові. Введемо позначення x:
x=Fk+1/ Fk=/ Fk+2/ Fk+1= Fk+3/ Fk+2=…
Це означає, що Fk+1 = xFk, Fk+2 = xFk+1 і т. д. Можна переформулювати:
Fk+2=xFk+1=x2>Fk.
Але ми знаємо, що Fk+2= Fk+1 + Fk. Отже, x2>FkFk = xFk + Fk.
Якщо поділимо обидві частини на Fk і перегрупуємо доданки, то отримаємо квадратне рівняння: x2-x-1=0. Воно має два рішення:
Співвідношення має бути позитивним. І ось ми отримали знайоме нам число. Зазвичай для позначення золотого перерізу використовують грецьку букву φ (фі):
Ми вже зауважили, що співвідношення сусідніх чисел Фібоначчі наближається (прагне) до φ. Це чудово. Це дає нам ще один спосіб обчислювати приблизні значення чисел Фібоначчі. Послідовність чисел Фібоначчі – це ряд F0 F1, F2, F3, F4, F5… Якщо всі співвідношення Fk+1/Fk будуть однакові, ми отримаємо формулу:
Тут з- Ще одна константа. Порівняємо округлені значення Fn та φn для різних n:
Для великих значень n співвідношення Fn/φn ≈ 0,723607. Це число дорівнює точності φ/корінь5. Іншими словами,
Зверніть увагу: якщо округлити до найближчого цілого числа, ми отримаємо точно Fn.
Якщо ви не хочете турбувати себе округленнями до цілого числа, то формула, названа названа на честь Жака Біне [ 5 ]Жак Біне (1786–1856) – французький математик, механік та астроном. Формула для чисел Фібоначчі названа на честь Біне, хоча майже сто років раніше її вивів Абрахам де Муавр (1667–1754). - Прим. пров., надасть вам точне значення:
Заповнення рамки 1×5
Нашу рамку можна заповнити квадратами та доміно такими способами:
Є F4 = 5 варіантів, коли спочатку стоїть квадрат, і F3 = 3 варіанти, коли спочатку стоїть кісточка доміно. Загалом це дає F5 = F4 + F3 = 8 варіантів.
Величина F10(Відповідь на наступне питання, що стосується укладання) дорівнює 89.
У всесвіті ще багато нерозгаданих таємниць, деякі з яких вчені вже змогли визначити та описати. Числа Фібоначчі та золотий перетин становлять основу розгадки навколишнього світу, побудови його форми та оптимального зорового сприйняття людиною, за допомогою яких вона може відчувати красу та гармонію.
Золотий перетин
Принцип визначення розмірів золотого перерізу лежить в основі досконалості цілого світу та його частин у своїй структурі та функціях, його прояв можна бачити у природі, мистецтві та техніці. Вчення про золоту пропорцію було закладено в результаті досліджень давніми вченими природи чисел.
В основі його лежить теорія про пропорції та співвідношення поділів відрізків, яке було зроблено ще давнім філософом та математиком Піфагором. Він довів, що при розділенні відрізка на дві частини: X (меншу) і Y (велику), відношення більшого до меншого буде рівним відношенню їх суми (всього відрізка):
В результаті виходить рівняння: х 2 - х - 1 = 0,яке вирішується як х=(1±√5)/2.
Якщо розглянути співвідношення 1/х, воно дорівнює 1,618…
Свідчення використання древніми мислителями золотої пропорції наведено у книзі Евкліда «Початку», написаної ще 3 в. до н.е., який застосовував це правило для побудови правильних 5-кутників. У піфагорійців ця фігура вважається священною, оскільки є одночасно симетричною та асиметричною. Пентаграма символізувала життя та здоров'я.
Числа Фібоначчі
Знаменита книга Liber abaci математика з Італії Леонардо Пізанського, який у подальшому став відомий, як Фібоначчі, побачила світ у 1202 р. У ній учений вперше наводить закономірність чисел, серед яких кожне число є сумою 2-х попередніх цифр. Послідовність чисел Фібоначчі полягає в наступному:
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377 і т.д.
Також вчений навів низку закономірностей:
- Будь-яке число з ряду, розділене на наступне, дорівнюватиме значенню, яке прагне 0,618. Причому перші числа Фібоначчі не дають такого числа, але в міру просування від початку послідовності це співвідношення буде дедалі точнішим.
- Якщо ж поділити число із ряду на попереднє, то результат спрямує до 1,618.
- Одне число, поділене наступне через одне, покаже значення, що прагне 0,382.
Застосування зв'язку і закономірностей золотого перерізу, числа Фібоначчі (0,618) можна знайти у математиці, а й у природі, історія, архітектурі та будівництві й у багатьох інших науках.
Спіраль Архімеда та золотий прямокутник
Спіралі, дуже поширені у природі, було досліджено Архімедом, який навіть вивів її рівняння. Форма спіралі ґрунтується на законах про золотий переріз. При її розкручуванні виходить довжина, до якої можна застосувати пропорції та числа Фібоначчі, збільшення кроку відбувається рівномірно.
Паралель між числами Фібоначчі та золотим перетином можна побачити і побудувавши «золотий прямокутник», у якого сторони пропорційні, як 1,618:1. Він будується, переходячи від більшого прямокутника до малих так, що довжини сторін дорівнюватимуть числам з ряду. Побудову його можна зробити і у зворотному порядку, починаючи з квадратика «1». При з'єднанні лініями кутів цього прямокутника у центрі їх перетину виходить спіраль Фібоначчі або логарифмічна.
Історія застосування золотих пропорцій
Багато стародавніх пам'яток архітектури Єгипту зведено з використанням золотих пропорцій: знамениті піраміди Хеопса та ін. Архітектори Стародавньої Греції широко використовували їх при зведенні архітектурних об'єктів, таких як храми, амфітеатри, стадіони. Наприклад, були застосовані такі пропорції при будівництві античного храму Парфенон, (Афіни) та інших об'єктів, які стали шедеврами стародавнього зодчества, що демонструють гармонію на математичній закономірності.
У пізніші століття інтерес до золотого перетину вщух, і закономірності були забуті, проте знову відновився в епоху Ренесансу разом з книгою францисканського ченця Л. Пачолі ді Борго «Божественна пропорція» (1509). У ній було наведено ілюстрації Леонардо да Вінчі, який і закріпив нову назву «золотий перетин». Також було науково доведено 12 властивостей золотої пропорції, причому автор розповідав про те, як проявляється вона у природі, мистецтві та називав її «принципом побудови світу та природи».
Вітрувіанська людина Леонардо
Малюнок, яким Леонардо да Вінчі в 1492 проілюстрував книгу Вітрувія, зображує фігуру людини в 2-х позиціях з руками, розведеними в сторони. Фігура вписана у коло та квадрат. Цей малюнок прийнято вважати канонічними пропорціями людського тіла (чоловічого), описаними Леонардо з урахуванням вивчення в трактатах римського архітектора Вітрувія.
Центром тіла як рівновіддаленою точкою від кінця рук і ніг вважається пупок, довжина рук прирівнюється до зростання людини, максимальна ширина плечей = 1/8 росту, відстань від верху грудей до волосся = 1/7, від верху грудей до верху голови = 1/6 і т.д.
З того часу малюнок використовується у вигляді символу, що показує внутрішню симетрію тіла людини.
Термін "Золотий перетин" Леонардо використовував для позначення пропорційних відносин у фігурі людини. Наприклад, відстань від пояса до ніг співвідноситься до аналогічної відстані від пупка до верхівки так само, як зростання до першої довжини (від пояса вниз). Ці обчислення виробляється аналогічно співвідношенню відрізків при обчисленні золотої пропорції і прагне 1,618.
Всі ці гармонійні пропорції часто використовуються митцями для створення красивих і вражаючих творів.
Дослідження золотого перерізу у 16-19 століттях
Використовуючи золотий перетин та числа Фібоначчі, дослідницьку роботу з питання пропорції продовжують уже не одне століття. Паралельно з Леонардо да Вінчі німецький художник Альбрехт Дюрер займався також розробкою теорії правильних пропорцій тіла людини. Для цього їм навіть було створено спеціальний циркуль.
У 16 ст. питанню про зв'язок числа Фібоначчі та золотого перерізу були присвячені роботи астронома І. Кеплера, який вперше застосував ці правила для ботаніки.
Нове «відкриття» чекало на золотий перетин у 19 ст. з опублікуванням "Естетичного дослідження" німецького вченого професора Цейзіга. Він звів ці пропорції в абсолют і оголосив у тому, що вони універсальні всім природних явищ. Їм були проведені дослідження величезної кількості людей, вірніше їх тілесних пропорцій (близько 2 тис.), за підсумками яких зроблено висновки про статистичні підтверджені закономірності у співвідношеннях різних частин тіла: довжини плечей, передпліч, кистей, пальців і т.д.
Було досліджено також предмети мистецтва (вази, архітектурні споруди), музичні тони, розміри під час написання віршів — усе це Цейзіг відобразив через довжини відрізків і цифри, він запровадив термін «математична естетика». Після отримання результатів з'ясувалося, що виходить низка Фібоначчі.
Число Фібоначчі та золотий перетин у природі
У рослинному та тваринному світі існує тенденція до формоутворення у вигляді симетрії, яка спостерігається у напрямку зростання та руху. Поділ на симетричні частини, в яких дотримуються золоті пропорції, така закономірність властива багатьом рослинам і тваринам.
Природа навколо нас може бути описана за допомогою чисел Фібоначчі, наприклад:
- розташування листя або гілок будь-яких рослин, а також відстані співвідносяться з рядом наведених чисел 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13 і далі;
- насіння соняшника (луска на шишках, осередки ананаса), розташовуючись двома рядами по закручених спіралях у різні боки;
- співвідношення довжини хвоста та всього тіла ящірки;
- форма яйця, якщо провести лінію умовно через його широку частину;
- співвідношення розмірів пальців на руці людини.
І, звичайно, найцікавіші форми представляють раковини равликів, що закручуються по спіралі, візерунки на павутині, рух вітру всередині урагану, подвійна спіраль в ДНК і структура галактик — всі вони включають послідовність чисел Фібоначчі.
Використання золотого перерізу мистецтво
Дослідники, які займаються пошуком у мистецтві прикладів використання золотого перерізу, докладно досліджують різноманітні архітектурні об'єкти та твори живопису. Відомі знамениті скульптурні роботи, творці яких дотримувалися золотих пропорцій, - статуї Зевса Олімпійського, Аполлона Бельведерського та
Один із творів Леонардо да Вінчі — «Портрет Мони Лізи» — вже багато років є предметом досліджень вчених. Ними було виявлено, що композиція роботи повністю складається із «золотих трикутників», об'єднаних разом у правильний п'ятикутник-зірку. Всі роботи да Вінчі є свідченням того, наскільки глибокими були його пізнання в будові та пропорціях тіла людини, завдяки чому він і зміг вловити неймовірно загадкову усмішку Джоконди.
Золотий перетин в архітектурі
Як приклад, вчені досліджували шедеври архітектури, створені за правилами «золотого перерізу»: єгипетські піраміди, Пантеон, Парфенон, Собор Нотр-Дам де Парі, храм Василя Блаженного та ін.
Парфенон — одне з найкрасивіших будівель у Стародавню Грецію (5 в. е.) — має 8 колон і 17 з різних боків, відношення його висоти до довжини сторін дорівнює 0,618. Виступи на його фасадах зроблено за «золотим перерізом» (фото нижче).
Одним із вчених, який придумав та успішно застосовував удосконалення модульної системи пропорцій для архітектурних об'єктів (так званий «модулер»), був французький архітектор Ле Корбюзьє. В основу модулера покладено вимірювальну систему, пов'язану з умовним розподілом на частини людського тіла.
Російський архітектор М. Козаков, який збудував кілька житлових будинків у Москві, а також будівлі сенату в Кремлі та Голицинській лікарні (зараз 1-а Клінічна ім. М. І. Пирогова), був одним з архітекторів, які використовували при проектуванні та будівництві закони про золотий переріз.
Застосування пропорцій у дизайні
У дизайні одягу всі модельєри роблять нові образи та моделі з урахуванням пропорцій людського тіла та правил золотого перетину, хоча від природи не всі люди мають ідеальні пропорції.
При плануванні ландшафтного дизайну та створенні об'ємних паркових композицій за допомогою рослин (дерев та чагарників), фонтанів та малих архітектурних об'єктів також можуть застосовуватися закономірності «божественних пропорцій». Адже композиція парку має бути орієнтована на створення враження на відвідувача, який вільно зможе орієнтуватися у ньому та знаходити композиційний центр.
Всі елементи парку знаходяться в таких співвідношеннях, щоб за допомогою геометричної будови, взаєморозташування, освітлення та світла справити на людину враження гармонії та досконалості.
Застосування золотого перерізу в кібернетиці та техніці
Закономірності золотого перерізу та чисел Фібоначчі виявляються також у переходах енергії, у процесах, що відбуваються з елементарними частинками, що становлять хімічні сполуки, у космічних системах, у генній структурі ДНК.
Аналогічні процеси відбуваються і в організмі людини, виявляючись у біоритмах його життя, у дії органів, наприклад, головного мозку чи зору.
Алгоритми та закономірності золотих пропорцій широко використовуються в сучасній кібернетиці та інформатиці. Одне з нескладних завдань, яке дають вирішувати програмістам-початківцям, — написати формулу і визначити, суму чисел Фібоначчі до певного числа, використовуючи мови програмування.
Сучасні дослідження теорії про золоту пропорцію
Починаючи з середини 20 століття, інтерес до проблем та впливу закономірностей золотих пропорцій на життя людини різко зростає, причому з боку багатьох вчених різних професій: математиків, дослідників етносу, біологів, філософів, медичних працівників, економістів, музикантів та ін.
У США з 1970-х років починає випускатись журнал The Fibonacci Quarterly, де публікуються роботи на цю тему. У пресі з'являються роботи, у яких узагальнені правила золотого перерізу та ряду Фібоначчі використовують у різних галузях знань. Наприклад, для кодування інформації, хімічних досліджень, біологічних та ін.
Усе це підтверджує висновки древніх і сучасних вчених у тому, що золота пропорція багатосторонньо пов'язані з фундаментальними питаннями науку й проявляється у симетрії багатьох творінь і явищ навколишнього світу.
Числа Фібоначчі – елементи числової послідовності.
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, в якій кожне наступне число дорівнює сумі двох попередніх чисел. Назва на ім'я середньовічного математика Леонардо Пізанського (або Фібоначчі), який жив і працював торговцем та математиком в італійському місті Пізі. Він один із найславетніших європейських вчених свого часу. Серед його найбільших досягнень - запровадження арабських цифр, які замінили римські. Fn = Fn-1 + Fn-2
Математичний ряд асимптотично (тобто наближаючись все повільніше і повільніше) прагне постійного відношенню. Однак це ставлення ірраціональне; воно має нескінченну, непередбачувану послідовність десяткових значень, що вишиковуються після нього. Воно ніколи не може бути точно виражене. Якщо кожне число, що є частиною ряду, поділити на попереднє значення (наприклад, 13-^8 або 21 -ІЗ), результат дії висловиться відносно коливається навколо ірраціонального числа 1,61803398875, трохи більше або трохи менше сусідніх відносин ряду. Ставлення ніколи, до нескінченності, не буде точним до останньої цифри (навіть за використання найпотужніших комп'ютерів, створених у наш час). Заради стислості, будемо використовувати як відношення Фібоначчі число 1,618 і просимо читачів не забувати про цю похибку.
Числа Фібоначчі мають важливе значення і під час аналізу Алгоритм Евкліда для визначення найбільшого загального дільника двох чисел. Числа Фібоначчі відбуваються у формулі про діагоналі трикутником Паскаля (біноміальних коефіцієнтів).
Числа Фібоначчі виявилися пов'язаними із «золотим перетином».
Про золотий перетин знали ще у стародавньому Єгипті та Вавилоні, в Індії та Китаї. Що ж таке «золотий перетин»? Відповідь невідома досі. Числа Фібоначчі дійсно є актуальними для теорії практики в наш час. Підйом значущості стався у 20 столітті і продовжується досі. Використання чисел Фібоначчі економіки та інформатики і залучило маси людей до вивчення.
Методика мого дослідження полягала у вивченні спеціалізованої літератури та узагальненні отриманої інформації, а також проведенні власних досліджень та виявлення властивостей чисел та сфери їх використання.
У ході наукових досліджень визначила саме поняття чисел Фібоначчі, їх властивості. Також я з'ясувала цікаві закономірності у живій природі, безпосередньо у будові насіння соняшника.
На соняшнику насіння вибудовується в спіралі, причому кількості спіралей, що йдуть в інший бік, різні - вони є послідовними числами Фібоначчі.
На цьому соняшнику 34 та 55.
Те саме спостерігається і на плодах ананаса, де спіралей буває 8 та 14. З унікальною властивістю чисел Фібоначчі пов'язане листя кукурудзи.
Дроби виду a/b, що відповідають гвинтоподібному розташуванню листя ніг стеблинки рослини, часто є відносинами послідовних чисел Фібоначчі. Для ліщини це відношення дорівнює 2/3, для дуба-3/5, для тополі 5/8, для верби 8/13 і т.д.
Розглядаючи розташування листя на стеблі рослин можна помітити, що між кожною парою листя (А і С) третя розташована в місці золотого перерізу(В)
Ще цікавою властивістю числа Фібоначчі є, що твір і приватне двох будь-яких різних чисел Фібоначчі, відмінних від одиниці, ніколи не є числом Фібоначчі.
В результаті дослідження я дійшла таких висновків: числа Фібоначчі - унікальна арифметична прогресія, що з'явилася в 13 столітті нашої ери. Це прогресія не втрачає своєї актуальності, що й підтвердилося під час моїх досліджень. Число Фібоначчі зустрічаються не те й у програмуванні та економічних прогнозах, у живописі, архітектурі та музиці. Картини таких відомих художників, як Леонардо да Вінчі, Мікеланджело, Рафаеля та Боттічеллі приховують у собі магію золотого перетину. Навіть І. І. Шишкін використовував золотий перетин у своїй картині «Сосновий гай».
У це складно повірити, але золотий перетин зустрічається й у музичних творах таких великих композиторів, як Моцарт, Бетховен, Шопен тощо.
Числа Фібоначчі зустрічається і в архітектурі. Наприклад, золотий перетин використовувався при будівництві Парфенону та собору Паризької Богоматері.
Я виявила, що числа Фібоначчі використовуються і в наших краях. Наприклад, наличники будинків, фронтони.
Числа Фібоначчі... у природі та життіЛеонардо Фібоначчі – один із найбільших математиків Середньовіччя. В одному і своїх праць "Книга обчислень" Фібоначчі описав індо-арабську систему обчислення та переваги її використання перед римською.
Визначення
Числа Фібоначчі або Послідовність Фібоначчі – числова послідовність, що має низку властивостей. Наприклад, сума двох сусідніх чисел послідовності дає значення наступного по них (наприклад, 1+1=2; 2+3=5 тощо.), що підтверджує існування про коефіцієнтів Фібоначчі, тобто. постійних співвідношень.
Послідовність Фібоначчі починається так: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233…
2.
Повне визначення чисел Фібоначчі
3.
Властивості послідовності Фібоначчі
4.
1. Ставлення кожного числа до наступного більш і більше прагне 0.618 зі збільшенням порядкового номера. Ставлення кожного числа до попереднього прагне до 1.618 (зворотному до 0.618). Число 0.618 називають (ФІ).
2. При розподілі кожного числа на наступне за ним через одне виходить число 0.382; навпаки – відповідно 2.618.
3. Підбираючи таким чином співвідношення, отримуємо основний набір фібоначчієвських коефіцієнтів: 4.235, 2.618, 1.618, 0.618, 0.382, 0.236.
5.
Зв'язок послідовності Фібоначчі та «золотого перерізу»
6.
Послідовність Фібоначч асимптотично (наближаючись все повільніше і повільніше) прагне до деякому постійному співвідношенню. Однак, це співвідношення ірраціонально, тобто являє собою число з нескінченною, непередбачуваною послідовністю десяткових цифр в дрібній частині. Його неможливо висловити достеменно.
Якщо який-небудь член послідовності Фібоначчі розділити на попередній йому (наприклад, 13:8), результатом буде величина, що коливається біля ірраціонального значення 1.61803398875 ... і через раз то перевершує, то не досягає його. Але навіть витративши на це Вічність, неможливо дізнатися сотні точно, до останньої десяткової цифри. Короткості ради, ми будемо наводити його у вигляді 1.618. Особливі назви цьому співвідношенню почали давати ще до того, як Лука Пачіолі (середньовічний математик) назвав його Божественною пропорцією. Серед його сучасних назв є такі, як Золотий перетин, Золоте середнє і ставлення квадратів, що обертаються. Кеплер назвав це співвідношення одним із «скарбів геометрії». У алгебрі загальноприйнято його позначення грецькою буквою фі
Подаємо золотий переріз на прикладі відрізка.
Розглянемо відрізок з кінцями A і B. Нехай точка С поділяє відрізок AB так що,
AC/CB = CB/AB або
AB/CB = CB/AC.
Уявити це можна приблизно так: A-C-B
7.
Золотий переріз – це такий пропорційний поділ відрізка на нерівні частини, при якому весь відрізок так відноситься до більшої частини, як найбільша частина відноситься до меншої; або іншими словами, менший відрізок так відноситься до більшого, як більший до всього.
8.
Відрізки золотої пропорції виражаються нескінченним ірраціональним дробом 0,618…, якщо AB прийняти за одиницю, AC = 0,382.. Як ми знаємо числа 0.618 і 0.382 є коефіцієнтами послідовності Фібоначчі.
9.
Пропорції Фібоначчі та золотого перерізу в природі та історії
10.
Фібоначчі як би нагадав свою послідовність людству. Вона була відома ще давнім грекам та єгиптянам. І справді, з того часу в природі, архітектурі, образотворчому мистецтві, математиці, фізиці, астрономії, біології та багатьох інших областях було знайдено закономірності, що описуються коефіцієнтами Фібоначчі. Просто дивно, скільки постійних можна обчислити за допомогою послідовності Фібоначчі, і як її члени виявляються у величезній кількості поєднань. Однак не буде перебільшенням сказати, що це не просто гра з числами, а найважливіше математичне вираження природних явищ із усіх коли-небудь відкритих.
11.
Нижче наведені приклади показують деякі цікаві додатки цієї математичної послідовності.
12.
1. Раковина закручена по спіралі. Якщо її розгорнути, то виходить довжина, що трохи поступається довжині змії. Невелика десятисантиметрова раковина має спіраль завдовжки 35 см. Форма спірально завитої раковини привернула увагу Архімеда. Річ у тім, що відношення вимірів завитків раковини постійно 1.618. Архімед вивчав спіраль раковин та вивів рівняння спіралі. Спіраль, викреслена за цим рівнянням, називається його ім'ям. Збільшення її кроку завжди рівномірне. Нині спіраль Архімеда широко застосовується у техніці.
2. Рослини та тварини. Ще Гете наголошував на тенденції природи до спіральності. Гвинтоподібне та спіралеподібне розташування листя на гілках дерев помітили давно. Спіраль побачили в розташуванні насіння соняшнику, у шишках сосни, ананасах, кактусах тощо. Спільна робота ботаніків та математиків пролила світло на ці дивовижні явища природи. З'ясувалося, що в розташуванні листя на гілці насіння соняшника, шишок сосни виявляє себе ряд Фібоначчі, а отже, виявляє себе закон золотого перерізу. Павук плете павутину спіралеподібно. Спіраллю закручується ураган. Злякане стадо північних оленів розбігається спіраллю. Молекула ДНK закручена подвійною спіраллю. Гете називав спіраль "кривої життя".
Серед придорожніх трав росте нічим не примітна рослина – цикорій. Придивимося до нього уважно. Від основного стебла утворився відросток. Тут же розташувався перший листок. Відросток робить сильний викид у простір, зупиняється, випускає листок, але вже коротший за перший, знову робить викид у простір, але вже меншої сили, випускає листок ще меншого розміру і знову викид. Якщо перший викид прийняти за 100 одиниць, другий дорівнює 62 одиницям, третій – 38, четвертий – 24 і т.д. Довжина пелюсток теж підпорядкована золотій пропорції. У зростанні, завоюванні простору рослина зберігала певні пропорції. Імпульси його зростання поступово зменшувалися у пропорції золотого перерізу.
Ящірка живородна. У ящірці з першого погляду вловлюються приємні для нашого ока пропорції - довжина її хвоста так відноситься до довжини тіла, як 62 до 38.
І в рослинному, і в тваринному світі наполегливо пробивається формоутворююча тенденція природи – симетрія щодо напрямку зростання та руху. Тут золотий перетин проявляється у пропорціях частин перпендикулярно до напрямку зростання. Природа здійснила поділ на симетричні частини та золоті пропорції. У частинах проявляється повторення будови цілого.
П'єр Kюрі на початку нашого століття сформулював низку глибоких ідей симетрії. Він стверджував, що не можна розглядати симетрію якогось тіла, не враховуючи симетрію навколишнього середовища. Закономірності золотої симетрії виявляються в енергетичних переходах елементарних частинок, у будові деяких хімічних сполук, у планетарних та космічних системах, у генних структурах живих організмів. Ці закономірності, як зазначено вище, є у будові окремих органів людини і тіла в цілому, а також виявляються у біоритмах та функціонуванні головного мозку та зорового сприйняття.
3. Космос. З історії астрономії відомо, що І. Тиціус, німецький астроном XVIII ст., за допомогою цього ряду (Фібоначчі) знайшов закономірність та порядок у відстанях між планетами сонячної системи
Однак один випадок, який, здавалося б, суперечив закону: між Марсом та Юпітером не було планети. Зосереджене спостереження за цією ділянкою піднебіння призвело до відкриття поясу астероїдів. Сталося це після смерті Тиціуса на початку ХІХ ст.
Ряд Фібоначчі використовують широко: з його допомогою представляють архітектоніку і живих істот, і рукотворних споруд, і будову Галактик. Ці факти – свідчення незалежності числового ряду умов його прояви, що одна із ознак його універсальності.
4. Піраміди. Багато хто намагався розгадати секрети піраміди в Гізі. На відміну від інших єгипетських пірамід це не гробниця, а скоріше нерозв'язна головоломка з числових комбінацій. Чудові винахідливість, майстерність, час і працю архітекторів піраміди, використані ними при зведенні вічного символу, вказують на надзвичайну важливість послання, яке вони хотіли передати майбутнім поколінням. Їхня епоха була дописьменною, доієрогліфічною і символи були єдиним засобом запису відкриттів. Ключ до геометро-математичного секрету піраміди в Гізі, що так довго був для людства загадкою, насправді був переданий Геродоту храмовими жерцями, які повідомили йому, що піраміда побудована так, щоб площа кожної з її граней дорівнювала квадрату її висоти.
Площа трикутника
356 x 440/2 = 78320
Площа квадрата
280 x 280 = 78400
Довжина ребра основи піраміди в Гізі дорівнює 783.3 фути (238.7 м), висота піраміди -484.4 фути (147.6 м). Довжина ребра основи, поділена на висоту, призводить до співвідношення Ф=1.618. Висота 484.4 фута відповідає 5813 дюймам (5-8-13) – це числа із послідовності Фібоначчі. Ці цікаві спостереження підказують, що конструкція піраміди ґрунтується на пропорції Ф=1,618. Деякі сучасні вчені схиляються до інтерпретації, що стародавні єгиптяни збудували її з єдиною метою – передати знання, які вони хотіли зберегти для майбутніх поколінь. Інтенсивні дослідження піраміди в Гізі показали, наскільки широкими були в ті часи пізнання в математиці та астрології. У всіх внутрішніх та зовнішніх пропорціях піраміди число 1.618 відіграє центральну роль.
Піраміди у Мексиці. Hе тільки єгипетські піраміди побудовані відповідно до скоєних пропорцій золотого перерізу, те ж саме явище виявлено і у мексиканських пірамід. Виникає думка, що як єгипетські, так і мексиканські піраміди були зведені приблизно в один час людьми загального походження.
Послідовність Фібоначчі, що стала відомою більшості завдяки фільму та книзі «Код да Вінчі», це ряд чисел, виведений італійським математиком Пізанським Леонардо, більш відомим під псевдонімом Фібоначчі, у тринадцятому столітті. Послідовники вченого помітили, що формула, якій підпорядкований даний ряд цифр, знаходить своє відображення в навколишньому світі і перегукується з іншими математичними відкриттями, тим самим відкриваючи для нас двері таємниці світобудови. У цій статті розповімо, що таке послідовність Фібоначчі, розглянемо приклади відображення цієї закономірності в природі, а також порівняємо з іншими математичними теоріями.
Формулювання та визначення поняття
Ряд Фібоначчі - це математична послідовність, кожен елемент якої дорівнює сумі двох попередніх. Позначимо якийсь член послідовності як х n. Отже, отримаємо формулу, справедливу всього ряду: х n+2 =х n +х n+1. При цьому порядок послідовності буде виглядати так: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34. Наступним числом буде 55, оскільки сума 21 і 34 дорівнює 55. І так далі за таким же принципом.
Приклади у навколишньому середовищі
Якщо ми подивимося на рослину, зокрема на крону з листя, то зауважимо, що вони розпускаються по спіралі. Між сусіднім листям утворюються кути, які, у свою чергу, утворюють правильну математичну послідовність Фібоначчі. Завдяки цій особливості кожен окремо взятий листочок, який росте на дереві, отримує максимальну кількість сонячного світла та тепла.
Математична загадка Фібоначчі
Відомий математик представив свою теорію як загадки. Звучить вона в такий спосіб. Можна помістити пару кроликів у замкнутий простір для того, щоб дізнатися, скільки пар кроликів народиться протягом одного року. Враховуючи природу цих тварин, те, що кожен місяць пара здатна виробляти світ нову пару, а готовність до розмноження у них з'являється після досягнення двох місяців, в результаті він отримав свій знаменитий ряд чисел: 1, 1, 2, 3, 5, 8 , 13, 21, 34, 55, 89, 144 - де показано кількість нових пар кроликів кожного місяця.
Послідовність Фібоначчі та пропорційне співвідношення
Цей ряд має кілька математичних аспектів, які неодмінно необхідно розглянути. Він, наближаючись повільніше і повільніше (асимптотично), прагне деякому пропорційному співвідношенню. Але воно ірраціональне. Іншими словами, являє собою число з непередбачуваною та нескінченною послідовністю десяткових чисел у дробовій частині. Наприклад, співвідношення будь-якого елемента ряду варіюється близько цифри 1618, то перевищуючи, то досягаючи його. Наступне за аналогією наближається до 0,618. Що є обернено пропорційним до 1,618. Якщо ми поділимо елементи через один, отримаємо 2,618 і 0,382. Як ви вже зрозуміли, вони також є пропорційними. Отримані числа називаються коефіцієнтами Фібоначчі. А тепер пояснимо, навіщо ми виконували ці обчислення.
Золотий перетин
Всі навколишні предмети ми розрізняємо за певними критеріями. Один із них - форма. Якісь нас приваблюють більше, якісь менше, а деякі взагалі не подобаються. Помічено, що симетричний та пропорційний об'єкт набагато легше сприймається людиною та викликає почуття гармонії та краси. Цілісний образ завжди включає в себе частини різного розміру, які знаходяться в певному співвідношенні один з одним. Звідси випливає відповідь питанням про те, що називають Золотим перетином. Дане поняття означає досконалість співвідношень цілого і елементів у природі, науці, мистецтві тощо. буд. З математичної погляду розглянемо наступний приклад. Візьмемо відрізок будь-якої довжини і розділимо його на дві частини таким чином, щоб менша частина відносилася до більшої сума (довжина всього відрізка) до більшої. Отже, приймемо відрізок зза величину один. Його частина адорівнюватиме 0,618, друга частина b, Виходить, дорівнює 0,382. Таким чином, ми дотримуємося умов Золотого перетину. Відношення відрізка cдо aдорівнює 1,618. А відношення частин cі b– 2,618. Отримуємо вже відомі нам коефіцієнти Фібоначчі. За таким же принципом будуються золотий трикутник, золотий прямокутник та золотий кубоїд. Варто також відзначити, що співвідношення частин тіла людини близьке до Золотого перерізу.
Послідовність Фібоначчі – основа всього?
Спробуємо поєднати теорію Золотого перетину та відомого ряду італійського математика. Почнемо із двох квадратів першого розміру. Потім зверху додамо квадрат другого розміру. Підмалюємо поряд таку ж фігуру з довжиною сторони, що дорівнює сумі двох попередніх сторін. Аналогічно малюємо квадрат п'ятого розміру. І так можна продовжувати до нескінченності, поки не набридне. Головне, щоб величина сторони кожного наступного квадрата дорівнювала сумі величин сторін двох попередніх. Отримуємо серію багатокутників, довжина сторін яких є числами Фібоначчі. Ці постаті називаються прямокутниками Фібоначчі. Проведемо плавну лінію через кути наших багатокутників та отримаємо… спіраль Архімеда! Збільшення кроку цієї постаті, як відомо, завжди поступово. Якщо увімкнути фантазію, то отриманий малюнок можна проасоціювати з раковиною молюска. Звідси можемо дійти невтішного висновку, що послідовність Фібоначі - це основа пропорційних, гармонійних співвідношень елементів у світі.
Математична послідовність та світобудова
Якщо придивитися, то спіраль Архімеда (десь явно, а десь завуальовано) і, отже, принцип Фібоначчі простежуються у багатьох звичних природних елементах, що оточують людину. Наприклад, все та ж раковина молюска, суцвіття звичайної броколі, квітка соняшнику, шишка хвойної рослини тощо. Якщо заглянемо подалі, то побачимо послідовність Фібоначчі у нескінченних галактиках. Навіть людина, надихаючись від природи та переймаючи її форми, створює предмети, в яких простежується вищезгаданий ряд. Тут саме час згадати і про Золотий перетин. Поряд із закономірністю Фібоначчі простежуються принципи цієї теорії. Існує версія, що послідовність Фібоначчі – це свого роду проба природи адаптуватися до більш досконалої та фундаментальної логарифмічної послідовності Золотого перерізу, яка практично ідентична, але не має свого початку та нескінченна. Закономірність природи така, що вона повинна мати свою точку відліку, від чого відштовхуватися до створення чогось нового. Відношення перших елементів ряду Фібоначчі є далекими від принципів Золотого перерізу. Проте що далі ми його продовжуємо, то більше це невідповідність згладжується. Для визначення послідовності необхідно знати три його елементи, які йдуть один за одним. Для Золотої послідовності достатньо і двох. Тому що вона є одночасно арифметичною та геометричною прогресією.
Висновок
Все-таки, виходячи з вищесказаного, можна поставити цілком логічні питання: "Звідки з'явилися ці числа? Хто цей автор пристрою всього світу, який спробував зробити його ідеальним? Чи завжди було все так, як він хотів? Якщо так, то чому виник збій? Що буде далі?" Знаходячи відповідь одне питання, отримуєш наступний. Розгадав його – з'являються ще два. Вирішивши їх, отримуєш ще три. Розібравшись із ними, отримаєш п'ять невирішених. Потім вісім, далі тринадцять, двадцять один, тридцять чотири, п'ятдесят п'ять...
Loading...