Основні тригонометричні тотожності.
secα читають: "секанс альфа". Це число, зворотне косинусу альфа.
соsecα читають: "Косеканс альфа". Це число, обернене до синуса альфа.
приклади.Спростити вираз:
а) 1 - sin 2 α; б) cos 2 - 1; в)(1 – cosα)(1+cosα); г) sin 2 αcosα - cosα; д) sin 2 α+1+cos 2 α;
е) sin 4 α+2sin 2 αcos 2 α+cos 4 α; ж) tg 2 α - sin 2 αtg 2 α; з) ctg 2 αcos 2 α – ctg 2 α; і) cos 2 α+tg 2 αcos 2 α.
а) 1 – sin 2 α = cos 2 α за формулою 1) ;
б) cos 2 α – 1 =- (1 – cos 2 α) = -sin 2 α також застосували формулу 1) ;
в)(1 – cosα)(1+cosα) = 1 – cos 2 α = sin 2 α. Спочатку ми застосували формулу різниці квадратів двох виразів: (a – b)(a+b) = a 2 – b 2 , а потім формулу 1) ;
г) sin 2 αcosα – cosα. Винесемо загальний множник за дужки.
sin 2 αcosα – cosα = cosα(sin 2 α – 1) = -cosα(1 – sin 2 α) = -cosα ∙ cos 2 α = -cos 3 α. Ви, звичайно, вже помітили, що оскільки 1 – sin 2 α = cos 2 α, то sin 2 α – 1 = -cos 2 α. Так само, якщо 1 – cos 2 α = sin 2 α, то cos 2 α – 1 = -sin 2 α.
д) sin 2 α+1+cos 2 α = (sin 2 α+cos 2 α)+1 = 1+1 = 2;
е) sin 4 α+2sin 2 αcos 2 α+cos 4 α. Маємо: квадрат виразу sin 2 α плюс подвоєний добут sin 2 α на cos 2 α і плюс квадрат другого виразу cos 2 α. Застосуємо формулу квадрата суми двох виразів: a 2 +2ab+b 2 =(a+b) 2 . Далі застосуємо формулу 1) . Отримаємо: sin 4 α+2sin 2 αcos 2 α+cos 4 α = (sin 2 α+cos 2 α) 2 = 1 2 = 1;
ж) tg 2 α – sin 2 αtg 2 α = tg 2 α(1 – sin 2 α) = tg 2 α ∙ cos 2 α = sin 2 α. Застосували формулу 1) , а потім формулу 2) .
Запам'ятайте: tgα ∙ cosα = sinα.
Аналогічно, використовуючи формулу 3) можна отримати: ctgα ∙ sinα = cosα. Запам'ятати!
з) ctg 2 αcos 2 α – ctg 2 α = ctg 2 α(cos 2 α – 1) = ctg 2 α ∙ (-sin 2 α) = -cos 2 α.
і) cos 2 α+tg 2 αcos 2 α = cos 2 α(1+tg 2 α) = 1. Ми спочатку винесли загальний множник за дужки, а вміст дужок спростили за формулою 7).
Перетворити вираз:
Ми застосували формулу 7) та отримали добуток суми двох виразів на неповний квадрат різниці цих виразів – формулу суми кубів двох виразів.
У статті докладно розповідається про основні тригонометричні тотожності. Ці рівності встановлюють зв'язок між sin, cos, tg, ctg заданого кута. За відомої однієї функції можна через неї знайти іншу.
Тригонометричні тотожності для розгляду у денній статті. Нижче покажемо приклад їхнього виведення з поясненням.
sin 2 α + cos 2 α = 1 t g α = sin α cos α , c t g α = cos α sin α t g α · c t g α = 1 t g 2 α + 1 = 1 cos 2 α , 1 + c t g 2 α = 1 sin 2 α
Yandex.RTB R-A-339285-1
Поговоримо про важливе тригонометричне тотожність, яке вважається основою основ у тригонометрії.
sin 2 α + cos 2 α = 1
Задані рівності t g 2 α + 1 = 1 cos 2 α , 1 + c t g 2 α = 1 sin 2 α виводять з основного шляхом поділу обох частин на sin 2 α і cos 2 α. Після чого отримуємо t g α = sin α cos α , c t g α = cos α sin α і t g α · c t g α = 1 - це наслідок визначень синуса, косинуса, тангенсу та котангенсу.
Рівність sin 2 α + cos 2 α = 1 є основною тригонометричною тотожністю. Для його доказу необхідно звернутися до теми з одиничним колом.
Нехай дані координати точки А (1 , 0) , яка після повороту на кут α стає в точку А 1 . За визначенням sin та cos точка А 1 отримає координати (cos α , sin α) . Так як А 1 знаходиться в межах одиничного кола, значить координати повинні задовольняти умові x 2 + y 2 = 1 цього кола. Вираз cos 2 α + sin 2 α = 1 має бути справедливим. Для цього необхідно довести основну тригонометричну тотожність для всіх кутів повороту α.
У тригонометрії вираз sin 2 α + cos 2 α = 1 застосовують як теорему Піфагора у тригонометрії. Для цього розглянемо докладний доказ.
Використовуючи одиничне коло, повертаємо точку А з координатами (1 , 0) навколо центральної точки на кут α . Після повороту точка змінює координати і стає рівною А 1 (х, у). Опускаємо перпендикулярну пряму А1Н на Ох з точки А1.
На малюнку добре видно, що утворився прямокутний трикутник О А 1 Н. За модулем катети О А 1 Н і О Н рівні, запис набуде такого вигляду: | А 1 H | = | у | , | Про Н | = | х | . Гіпотенуза О А 1 має значення, що дорівнює радіусу одиничного кола, | Про А 1 | = 1. Використовуючи цей вираз, можемо записати рівність за теоремою Піфагора: | А 1 Н | 2+ | Про Н | 2 = | Про А 1 | 2 . Цю рівність запишемо як | y | 2+ | x | 2 = 1 2 що означає y 2 + x 2 = 1 .
Використовуючи визначення sin α = y та cos α = x , підставимо дані кута замість координат точок і перейдемо до нерівності sin 2 α + cos 2 α = 1 .
Основний зв'язок між sin і cos кута можливий через дану тригонометричну тотожність. Таким чином, можна вважати sin кута з відомим cos і навпаки. Щоб виконати це, необхідно дозволяти sin 2 α + cos 2 = 1 щодо sin і cos , тоді отримаємо вирази виду sin α = ± 1 - cos 2 α і cos α = ± 1 - sin 2 α відповідно. Розмір кута α визначає знак перед коренем виразу. Для детального з'ясування необхідно прочитати розділ обчислення синуса, косинуса, тангенсу та котангенсу з використанням тригонометричних формул.
Найчастіше основну формулу застосовують для перетворень чи спрощень тригонометричних виразів. Є можливість замінювати суму квадратів синуса та косинуса на 1 . Підстановка тотожності може бути як у прямому, так і зворотному порядку: одиницю замінюють вираз суми квадратів синуса і косинуса.
Тангенс та котангенс через синус та косинус
З визначення косинуса та синуса, тангенсу та котангенсу видно, що вони взаємопов'язані один з одним, що дозволяє окремо перетворювати необхідні величини.
t g α = sin α cos α c t g α = cos α sin α
З визначення синус є ординатою у, а косинус - абсцис x. Тангенс - це і є відносини ординати та абсциси. Таким чином маємо:
t g α = y x = sin α cos α , а вираз котангенсу має зворотне значення, тобто
c t g α = x y = cos α sin α .
Звідси випливає, що отримані тотожності t g α = sin α cos α і c t g α = cos α sin α задаються за допомогою sin і cos кутів. Тангенс вважаються ставленням синуса до косинус кута між ними, а котангенс навпаки.
Зазначимо, що t g α = sin α cos α і c t g α = cos α sin α вірні для будь-якого значення кута α значення якого входять в діапазон. З формули t g α = sin α cos α значення кута α відмінно від π 2 + π · z , а c t g α = cos α sin α приймає значення кута α відмінні від π · z z приймає значення будь-якого цілого числа.
Зв'язок між тангенсом та котангенсом
Є формула, яка показує зв'язок між кутами через тангенс та котангенс. Дане тригонометричне тотожність є важливим у тригонометрії і позначається як t g α · c t g α = 1 . Воно має сенс при α з будь-яким значенням, крім π 2 · z інакше функції будуть не визначені.
Формула t g α · c t g α = 1 має свої особливості у доказі. З визначення ми маємо, що t g α = y x і c t g α = x y , звідси отримуємо t g α · c t g α = y x · x y = 1 . Перетворивши вираз і підставивши t g α = sin α cos α і c t g α = cos α sin α, отримаємо t g α · c t g α = sin α cos α · cos α sin α = 1 .
Тоді вираз тангенсу та котангенсу має сенс того, коли в результаті отримуємо взаємно зворотні числа.
Тангенс та косинус, котангенс та синус
Перетворивши основні тотожності, дійшли висновку, що тангенс пов'язаний через косинус, а котангенс через синус. Це видно за формулами t g 2 α + 1 = 1 cos 2 α, 1 + c t g 2 α = 1 sin 2 α.
Визначення звучить так: сума квадрата тангенсу кута і 1 дорівнює дробу, де в чисельнику маємо 1 , а в знаменнику квадрат косинуса даного кута, а сума квадрата котангенсу кута навпаки. Завдяки тригонометричній тотожності sin 2 α + cos 2 α = 1 можна розділити відповідні сторони на cos 2 α і отримати t g 2 α + 1 = 1 cos 2 α , де значення cos 2 α не повинно дорівнювати нулю. При розподілі на sin 2 α отримаємо тотожність 1 + c t g 2 α = 1 sin 2 α де значення sin 2 α не повинно дорівнювати нулю.
З наведених виразів отримали, що тотожність t g 2 α + 1 = 1 cos 2 α вірно при всіх значеннях кута α , що не належать π 2 + π · z , а 1 + c t g 2 α = 1 sin 2 α при значеннях α , що не належать проміжку π · z.
Якщо ви помітили помилку в тексті, будь ласка, виділіть її та натисніть Ctrl+Enter
Основні тригонометричні тотожності.
secα читають: "секанс альфа". Це число, зворотне косинусу альфа.
соsecα читають: "Косеканс альфа". Це число, обернене до синуса альфа.
приклади.Спростити вираз:
а) 1 - sin 2 α; б) cos 2 - 1; в)(1 – cosα)(1+cosα); г) sin 2 αcosα - cosα; д) sin 2 α+1+cos 2 α;
е) sin 4 α+2sin 2 αcos 2 α+cos 4 α; ж) tg 2 α - sin 2 αtg 2 α; з) ctg 2 αcos 2 α – ctg 2 α; і) cos 2 α+tg 2 αcos 2 α.
а) 1 – sin 2 α = cos 2 α за формулою 1) ;
б) cos 2 α – 1 =- (1 – cos 2 α) = -sin 2 α також застосували формулу 1) ;
в)(1 – cosα)(1+cosα) = 1 – cos 2 α = sin 2 α. Спочатку ми застосували формулу різниці квадратів двох виразів: (a – b)(a+b) = a 2 – b 2 , а потім формулу 1) ;
г) sin 2 αcosα – cosα. Винесемо загальний множник за дужки.
sin 2 αcosα – cosα = cosα(sin 2 α – 1) = -cosα(1 – sin 2 α) = -cosα ∙ cos 2 α = -cos 3 α. Ви, звичайно, вже помітили, що оскільки 1 – sin 2 α = cos 2 α, то sin 2 α – 1 = -cos 2 α. Так само, якщо 1 – cos 2 α = sin 2 α, то cos 2 α – 1 = -sin 2 α.
д) sin 2 α+1+cos 2 α = (sin 2 α+cos 2 α)+1 = 1+1 = 2;
е) sin 4 α+2sin 2 αcos 2 α+cos 4 α. Маємо: квадрат виразу sin 2 α плюс подвоєний добут sin 2 α на cos 2 α і плюс квадрат другого виразу cos 2 α. Застосуємо формулу квадрата суми двох виразів: a 2 +2ab+b 2 =(a+b) 2 . Далі застосуємо формулу 1) . Отримаємо: sin 4 α+2sin 2 αcos 2 α+cos 4 α = (sin 2 α+cos 2 α) 2 = 1 2 = 1;
ж) tg 2 α – sin 2 αtg 2 α = tg 2 α(1 – sin 2 α) = tg 2 α ∙ cos 2 α = sin 2 α. Застосували формулу 1) , а потім формулу 2) .
Запам'ятайте: tgα ∙ cosα = sinα.
Аналогічно, використовуючи формулу 3) можна отримати: ctgα ∙ sinα = cosα. Запам'ятати!
з) ctg 2 αcos 2 α – ctg 2 α = ctg 2 α(cos 2 α – 1) = ctg 2 α ∙ (-sin 2 α) = -cos 2 α.
і) cos 2 α+tg 2 αcos 2 α = cos 2 α(1+tg 2 α) = 1. Ми спочатку винесли загальний множник за дужки, а вміст дужок спростили за формулою 7).
Перетворити вираз:
Запит "sin" перенаправляється сюди; див. також інші значення. Запит "sec" перенаправляється сюди; див. також інші значення. Запит «Сінус» перенаправляється сюди; див. також інші значення … Вікіпедія
Мал. 1 Графіки тригонометричних функцій: синуса, косинуса, тангенса, секансу, косекансу, котангенсу. Тригонометричні функції вид елементарних функцій. Зазвичай до них відносять синус (sin x), косинус (cos x), тангенс (tg x), котангенс (ctg x), …
Мал. 1 Графіки тригонометричних функцій: синуса, косинуса, тангенсу, секансу, косекансу, котангенсу Тригонометричні функції вид елементарних функцій. Зазвичай до них відносять синус (sin x), косинус (cos x), тангенс (tg x), котангенс (ctg x), …
Мал. 1 Графіки тригонометричних функцій: синуса, косинуса, тангенсу, секансу, косекансу, котангенсу Тригонометричні функції вид елементарних функцій. Зазвичай до них відносять синус (sin x), косинус (cos x), тангенс (tg x), котангенс (ctg x), …
Мал. 1 Графіки тригонометричних функцій: синуса, косинуса, тангенсу, секансу, косекансу, котангенсу Тригонометричні функції вид елементарних функцій. Зазвичай до них відносять синус (sin x), косинус (cos x), тангенс (tg x), котангенс (ctg x), …
Геодезичні виміри (XVII століття) … Вікіпедія
У тригонометрії формула тангенсу половинного кута пов'язує тангенс половинного кута з тригонометричними функціями. повного кута: Різні варіації цієї формули виглядають наступним чином.
- (Від грец. τρίγονο (трикутник) і грец. μετρειν (вимірювати), тобто вимір трикутників) розділ математики, в якому вивчаються тригонометричні функції та їх застосування до геометрії. Даний термін вперше з'явився в 1595 р. як ... Вікіпедія
- (Лат. Solutio triangulorum) історичний термін, що означає рішення головної тригонометричної задачі: за відомими даними про трикутник (сторони, кути і т. д.) знайти інші його характеристики. Трикутник може розташовуватись на … … Вікіпедія
Книги
- Набір таблиць. Алгебра та початку аналізу. 10 клас. 17 таблиць + методика, . Таблиці надруковані на щільному поліграфічному картоні розміром 680 х 980 мм. У комплект входить брошура з методичними рекомендаціямидля вчителя. Навчальний альбом з 17 аркушів.
- Таблиці інтегралів та інші математичні формули , Двайт Г.Б. велике числоінших математичних формул: розкладання в ряди,…
Співвідношення між основними тригонометричними функціями – синусом, косінусом, тангенсом та котангенсом – задаються тригонометричними формулами. Оскільки зв'язків між тригонометричними функціями досить багато, цим пояснюється і розмаїття тригонометричних формул. Одні формули пов'язують тригонометричні функції однакового кута, інші функції кратного кута, треті дозволяють знизити ступінь, четверті виразити всі функції через тангенс половинного кута, і т.д.
У цій статті ми по порядку перерахуємо всі основні тригонометричні формули, Яких достатньо для вирішення переважної більшості задач тригонометрії. Для зручності запам'ятовування та використання групуватимемо їх за призначенням і заноситимемо в таблиці.
Навігація на сторінці.
Основні тригонометричні тотожності
Основні тригонометричні тотожностізадають зв'язок між синусом, косинусом, тангенсом та котангенсом одного кута. Вони випливають із визначення синуса, косинуса, тангенсу та котангенсу, а також поняття одиничного кола. Вони дозволяють виразити одну тригонометричну функцію через будь-яку іншу.
Детальний опис цих формул тригонометрії, їх висновок та приклади застосування дивіться у статті .
Формули наведення
Формули наведеннявипливають із властивостей синуса, косинуса, тангенсу і котангенсу, тобто, вони відображають властивість періодичності тригонометричних функцій, властивість симетричності, а також властивість зсуву на даний кут. Ці тригонометричні формули дозволяють від роботи з довільними кутами переходити до роботи з кутами в межах від нуля до 90 градусів.
Обгрунтування цих формул, мнемонічне правило їх запам'ятовування і приклади їх застосування можна вивчити у статті .
Формули додавання
Тригонометричні формули складанняпоказують, як тригонометричні функції суми чи різниці двох кутів виражаються через тригонометричні функції цих кутів. Ці формули є базою для виведення наступних нижче тригонометричних формул.
Формули подвійного, потрійного тощо. кута
Формули подвійного, потрійного тощо. кута (їх ще називають формулами кратного кута) показують, як тригонометричні функції подвійних, потрійних і т.д. кутів () виражаються через тригонометричні функції одинарного кута. Їх висновок виходить з формулах складання.
Більш детальна інформація зібрана у статті формули подвійного, потрійного тощо. кута.
Формули половинного кута
Формули половинного кутапоказують, як тригонометричні функції половинного кута виражаються через косинус цілого кута. Ці тригонометричні формули випливають із формул подвійного кута.
Їх висновок та приклади застосування можна переглянути у статті.
Формули зниження ступеня
Тригонометричні формули зниження ступеняпокликані сприяти переходу від натуральних ступенів тригонометричних функцій до синусів і косинусів у першому ступені, але кратних кутів. Іншими словами, вони дозволяють знижувати ступеня тригонометричних функцій до першої.
Формули суми та різниці тригонометричних функцій
Основне призначення формул суми та різниці тригонометричних функційполягає у переході до твору функцій, що дуже корисно при спрощенні тригонометричних виразів. Зазначені формули також широко використовуються при вирішенні тригонометричних рівнянь, оскільки дозволяють розкладати на множники суму та різницю синусів і косінусів.
Формули твору синусів, косінусів та синуса на косинус
Перехід від твору тригонометричних функцій до суми чи різниці здійснюється за допомогою формул твору синусів, косінусів та синусу на косинус.
Copyright by cleverstudents
Всі права захищені.
Охороняється законом про авторське право. Жодну частину сайту www.сайт, включаючи внутрішні матеріали та зовнішнє оформлення, не можна відтворювати у будь-якій формі або використовувати без попереднього письмового дозволу правовласника.
Loading...