Як знайти найменше спільне кратне?
Як знайти НОК
Ось відео, в якому вам буде запропоновано два способи знаходження найменшого загального кратного (НОК). Вправляючись у використанні першого із запропонованих способів, ви зможете краще зрозуміти, що таке найменше загальне кратне.
- Представляємо кожне число як добуток його простих множників:
- Записуємо ступеня всіх простих множників:
- Вибираємо всі прості дільники (множники) з найбільшими ступенями, перемножуємо їх та знаходимо НОК:
- Насамперед потрібно розкласти ці числа на прості множники.
- Виписуємо множники, які входять до розкладання числа 30. Це 2 х 3 х 5 .
- Тепер потрібно домножити їх на множник, що не має, який маємо при розкладанні 42,а це 7. Отримуємо 2 х 3 х 5 х 7.
- Знаходимо, чому дорівнює 2 x 3 x 5 x 7 і отримуємо 210.
- Розкладаємо обидва числа на прості множники: 8 = 2 * 2 * 2 і 12 = 3 * 2 * 2
- Скорочуємо однакові множники біля одного з чисел. У нашому випадку збігаються 2*2, скоротимо їх для числа 12, тоді в 12 залишиться один множник: 3.
- Знаходимо добуток всіх множників, що залишилися: 2*2*2*3=24
Потрібно знайти кожен множник кожного з двох чисел, у яких знаходимо найменше загальне кратне, а потім перемножити один на одного множники, які збіглися у першого та другого числа. Результатом твору буде кратне шукане.
Наприклад, у нас є числа 3 і 5 і нам треба знайти НОК(найменше загальне кратне). Нам треба множитиі трійку та п'ятірку на всі числа починаючи з 1 2 3 ...і т д поки ми не побачимо однакове число і там і там.
Множимо трійку і отримуємо: 3, 6, 9, 12, 15
Множимо п'ятірку і отримуємо: 5, 10, 15
Метод розкладання на прості множники - найкласичніший для знаходження найменшого загального кратного (НОК) для кількох чисел. Наочно та просто продемонстровано цей метод у наступному відеоролику:
Складати, множити, ділити, приводити до спільного знаменника та інші арифметичні дії дуже цікаве заняття, особливо захоплюють приклади, що займають цілий аркуш.
Отже знайти загальне кратне для двох чисел, яке буде найменшим числом, на яке діляться два числа. Хочу зауважити, що не обов'язково надалі вдаватися до формул, щоб знайти те, що шукає, якщо можеш вважати в розумі (а це можна натренувати), то цифри самі спливають у голові і потім дроби клацаються як горішки.
Для початку зрозуміємо, що можна помножити два числа один на одного, а потім цю цифру зменшувати і ділити по черзі на ці два числа, так ми знайдемо найменше кратне.
Наприклад, два числа 15 та 6. Помножуємо та отримуємо 90. Це явно більше число. Причому 15 ділиться на 3 і 6 ділиться на 3, значить 90 теж ділимо на 3. Отримуємо 30. Пробуємо 30 розділити 15 і 2. І 30 ділимо 6 і 5. Так як 2 це межа, то виходить, що найменше кратне для чисел 15 та 6 буде 30.
З цифрами більше буде трохи важче. але якщо знати, які цифри дають нульовий залишок при розподілі чи множенні, то труднощів, у принципі, більших немає.
Представляю ще один спосіб знаходження найменшого загального кратного. Розглянемо його з наочному прикладі.
Необхідно знайти НОК відразу трьох чисел: 16, 20 і 28.
16 = 224 = 2^24^1
20 = 225 = 2^25^1
28 = 227 = 2^27^1
НОК = 2 24 15 17 1 = 4457 = 560.
НОК(16, 20, 28) = 560.
Таким чином, в результаті розрахунку вийшло число 560. Воно є найменшим загальним кратним, тобто ділиться на кожне із трьох чисел без залишку.
Найменше загальне кратне число - це така цифра, яка розділиться на кілька запропонованих чисел без решти. Для того щоб таку цифру вирахувати, треба взяти кожне число і розкласти його на прості множники. Ті цифри, які збігаються, забираємо. Залишає всіх по одній, перемножуємо їх по черзі і отримуємо шукане - найменше загальне кратне.
НОК, або найменше загальне кратне, - це найменше натуральне число двох і більше чисел, яке поділяється на кожне з цих чисел без залишку.
Ось приклад того, як знайти найменше загальне кратне 30 та 42.
Для 30 – це 2 х 3 х 5.
Для 42 - це 2 х 3 х 7. Так як 2 і 3 є у розкладанні числа 30, то викреслюємо їх.
Через війну отримуємо, що НОК чисел 30 і 42 дорівнює 210.
Щоб знайти найменше спільне кратне, потрібно виконати кілька простих дій. Розглянемо це з прикладу двох чисел: 8 і 12
Перевіряючи, переконуємося, що 24 ділиться і 8 і 12, причому це найменше натуральне число, яке ділиться кожне з цих чисел. Ось ми і знайшли найменше загальне кратне.
Спробую пояснити з прикладу цифр 6 і 8. Найменше загальне кратне - це число, яке можна поділити на ці числа (у нашому випадку 6 і 8) і залишку не буде.
Отже, починаємо множити спочатку 6 на 1, 2, 3 і т.д. і 8 на 1, 2, 3 і т.д.
Онлайн калькулятор дозволяє швидко знаходити найбільший спільний дільник та найменше загальне кратне як для двох, так і для будь-якої іншої кількості чисел.
Калькулятор для знаходження НОД та НОК
Знайти НОД та НОК
Знайдено НІД та НОК: 5806
Як користуватися калькулятором
- Введіть цифри у полі для введення
- У разі введення некоректних символів, поле для введення буде підсвічене червоним.
- натисніть кнопку "Знайти НОД та НОК"
Як вводити числа
- Числа вводяться через прогалину, точку або кому
- Довжина чисел, що вводяться, не обмежена, так що знайти НОД і НОК довгих чисел не складе жодних труднощів
Що таке НОД та НОК?
Найбільший спільний дільниккількох чисел – це найбільше ціле число, на яке всі вихідні числа діляться без залишку. Найбільший спільний дільник скорочено записується як НІД.
Найменше загальне кратнекількох чисел – це найменше число, яке ділиться кожне з вихідних чисел без залишку. Найменше загальне кратне скорочено записується як НОК.
Як перевірити, чи число ділиться на інше число без залишку?
Щоб дізнатися, чи одне число ділиться на інше без залишку, можна скористатися деякими властивостями ділимості чисел. Тоді, комбінуючи їх, можна перевіряти подільність на деякі з них та їх комбінації.
Деякі ознаки ділимості чисел
1. Ознака ділимості числа на 2
Щоб визначити, чи ділиться число на два (чи є парним), достатньо подивитися на останню цифру цього числа: якщо вона дорівнює 0, 2, 4, 6 або 8, то число парне, а значить ділиться на 2.
Приклад:визначити, чи ділиться на 2 число 34 938 .
Рішення:дивимося на останню цифру: 8 - означає число поділяється на два.
2. Ознака ділимості числа на 3
Число ділиться на три тоді, коли сума його цифр ділиться на три. Таким чином, щоб визначити, чи ділиться число на 3, потрібно порахувати суму цифр і перевірити, чи вона ділиться на 3. Навіть якщо сума цифр вийшла дуже великою, можна повторити цей же процес знову.
Приклад:визначити, чи ділиться число 34 938 на 3.
Рішення:рахуємо суму цифр: 3+4+9+3+8 = 27. 27 ділиться на 3, а значить і число ділиться на три.
3. Ознака ділимості числа на 5
Число ділиться на 5 тоді, коли його остання цифра дорівнює нулю чи п'яти.
Приклад:визначити, чи ділиться число 34 938 на 5.
Рішення:дивимося на останню цифру: 8 - означає число НЕ ділиться п'ять.
4. Ознака ділимості числа на 9
Ця ознака дуже схожа на ознаку ділимості на трійку: число ділиться на 9 тоді, коли його цифр ділиться на 9.
Приклад:визначити, чи ділиться число 34 938 на 9.
Рішення:вважаємо суму цифр: 3+4+9+3+8 = 27. 27 ділиться на 9, отже, і число ділиться на дев'ять.
Як знайти НОД та НОК двох чисел
Як знайти НОД двох чисел
Найбільш простим способомОбчислення найбільшого загального дільника двох чисел є пошук всіх можливих дільників цих чисел та вибір найбільшого з них.
Розглянемо цей спосіб з прикладу перебування НОД(28, 36) :
- Розкладаємо обидва числа на множники: 28 = 1 · 2 · 2 · 7, 36 = 1 · 2 · 2 · 3 · 3
- Знаходимо спільні множники, тобто ті, які є обох чисел: 1, 2 і 2.
- Обчислюємо добуток цих множників: 1 · 2 · 2 = 4 - це і є найбільший загальний дільник чисел 28 і 36.
Як знайти НОК двох чисел
Найбільш поширені два способи знаходження найменшого кратного двох чисел. Перший спосіб полягає в тому, що можна виписати перші кратні двох чисел, а потім вибрати серед них таке число, яке буде загальним для обох чисел і при цьому найменшим. А другий полягає у знаходженні НОД цих чисел. Розглянемо лише його.
Для обчислення НОК потрібно обчислити добуток вихідних чисел і потім розділити його на попередньо знайдений НОД. Знайдемо НОК для тих же чисел 28 та 36:
- Знаходимо добуток чисел 28 і 36: 28 · 36 = 1008
- НОД(28, 36), як відомо, дорівнює 4
- НОК(28, 36) = 1008/4 = 252 .
Знаходження НОД та НОК для кількох чисел
Найбільший спільний дільник можна знаходити і для кількох чисел, а не лише двох. Для цього числа, що підлягають пошуку найбільшого спільного дільника, розкладають на прості множники, потім знаходять добуток простих множників цих чисел. Також для знаходження НОД кількох чисел можна скористатися таким співвідношенням: НОД(a, b, c) = НОД(НОД(a, b), c).
Аналогічне співвідношення діє і найменшого загального кратного чисел: НОК(a, b, c) = НОК(НОК(a, b), c)
Приклад:знайти НОД та НОК для чисел 12, 32 та 36.
- Спочатку розкладемо числа на множники: 12 = 1 · 2 · 2 · 3 , 32 = 1 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 , 36 = 1 · 2 · 2 · 3 · 3 ?
- Знайдемо множники: 1, 2 і 2 .
- Їх твір дасть НОД: 1 · 2 · 2 = 4
- Знайдемо тепер НОК: цього знайдемо спочатку НОК(12, 32): 12·32 / 4 = 96 .
- Щоб знайти НОК всіх трьох чисел, потрібно знайти НОД(96, 36): 96 = 1 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 3 , 36 = 1 · 2 · 2 · 3 · 3 , НОД = 1 · 2 · 2 · 3 = 12 .
- НОК (12, 32, 36) = 96 · 36 / 12 = 288 .
Але багато натуральних чисел діляться націло ще й на інші натуральні числа.
Наприклад:
Число 12 ділиться на 1, 2, 3, 4, 6, 12;
Число 36 ділиться на 1, 2, 3, 4, 6, 12, 18, 36.
Числа, на які число ділиться націло (для 12 це 1, 2, 3, 4, 6 та 12) називаються дільниками числа. Дільник натурального числа a- це таке натуральне число, яке ділить це число aбез залишку. Натуральне число, яке має більше двох дільників, називається складовим .
Зверніть увагу, що числа 12 та 36 мають спільні дільники. Це числа: 1, 2, 3, 4, 6, 12. Найбільший із дільників цих чисел – 12. Загальний дільник двох даних чисел aі b- це число, на яке діляться без залишку обидва дані числа aі b.
Загальним кратнимкількох чисел називається число, яке поділяється на кожне із цих чисел. Наприклад, Числа 9, 18 і 45 мають загальне кратне 180. Але 90 і 360 - теж їх загальні кратні. Серед усіх jбщих кратних завжди є найменше, в даному випадкуце 90. Це число називається найменшимзагальним кратним (НОК).
НОК завжди натуральне число, яке має бути більшим за найбільший з чисел, для яких воно визначається.
Найменше загальне кратне (НОК). Властивості.
Комутативність:
Асоціативність:
Зокрема, якщо і взаємно-прості числа, то:
Найменше загальне кратне двох цілих чисел mі nє дільником всіх інших загальних кратних mі n. Більш того, безліч спільних кратних m, nзбігається з безліччю кратних для НОК( m, n).
Асимптотики можуть бути виражені через деякі теоретико-числові функції.
Так, функція Чебишева. А також:
Це випливає з визначення та властивостей функції Ландау g(n).
Що випливає із закону розподілу простих чисел.
Знаходження найменшого загального кратного (НОК).
НОК( a, b) можна обчислити декількома способами:
1. Якщо відомий найбільший спільний дільник, можна використовувати його зв'язок із НОК:
2. Нехай відоме канонічне розкладання обох чисел на прості множники:
де p 1 ,...,p k- Різні прості числа, а d 1 ,...,d kі e 1 ,...,e k- Невід'ємні цілі числа (вони можуть бути нулями, якщо відповідне просте відсутнє у розкладанні).
Тоді НОК ( a,b) обчислюється за формулою:
Іншими словами, розкладання НОК містить усі прості множники, що входять хоча б в одне з розкладів чисел a, b, причому із двох показників ступеня цього множника береться найбільший.
приклад:
Обчислення найменшого загального кратного кількох чисел може бути зведено до кількох послідовних обчислень НОК від двох чисел:
Правило.Щоб знайти НОК ряду чисел, потрібно:
- Розкласти числа на прості множники;
- перенести в множники шуканого твору найбільше розкладання (твор множників самого великої кількостііз заданих), а потім додати множники з розкладання інших чисел, які не зустрічаються в першому числі або стоять у ньому менше разів;
- отриманий добуток простих множників буде НОК заданих чисел.
Будь-які два чи більше натуральних чисел мають своє НОК. Якщо числа не кратні один одному або не мають однакових множників у розкладанні, то їх НОК дорівнює добутку цих чисел.
Прості множники числа 28 (2, 2, 7) доповнили множником 3 (числа 21), отриманий добуток (84) буде найменшим числом, яке поділяється на 21 та 28 .
Прості множники найбільшого числа 30 доповнили множником 5 числа 25, отриманий добуток 150 більший за найбільше число 30 і ділиться на всі задані числа без залишку. Це найменший твіріз можливих (150, 250, 300...), якому кратні всі задані числа.
Числа 2,3,11,37 - прості, тому їх НОК дорівнює добутку заданих чисел.
Правило. Щоб обчислити НОК простих чисел, всі ці числа потрібно перемножити між собою.
Ще один варіант:
Щоб знайти найменше загальне кратне (НОК) кількох чисел потрібно:
1) уявити кожне число як добуток його простих множників, наприклад:
504 = 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 7 ,
2) записати ступені всіх простих множників:
504 = 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 7 = 2 3 · 3 2 · 7 1 ,
3) виписати всі прості дільники (множники) кожного із цих чисел;
4) вибрати найбільший ступінь кожного з них, що зустрівся у всіх розкладах цих чисел;
5) перемножити ці ступені.
приклад. Знайти НОК чисел: 168, 180 та 3024.
Рішення. 168 = 2 · 2 · 2 · 3 · 7 = 2 3 · 3 1 · 7 1 ,
180 = 2 · 2 · 3 · 3 · 5 = 2 2 · 3 2 · 5 1 ,
3024 = 2 · 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 3 · 7 = 2 4 · 3 3 · 7 1 .
Виписуємо найбільші ступені всіх простих дільників і перемножуємо їх:
НОК = 24 · 33 · 51 · 71 = 15120.
Загальні кратні
Простіше кажучи, будь-яке ціле число, яке ділиться на кожне з цих чисел, є загальним кратнимданих цілих чисел.
Можна знаходити загальне кратне двох і більшої кількості цілих чисел.
Приклад 1
Обчислити загальне кратне двох чисел: $2$ та $5$.
Рішення.
За визначенням загальним кратним чисел $2$ і $5$ є число $10$, т.к. воно кратне числу $2$ і числу $5$:
Загальними кратними чисел $2$ і $5$ також будуть числа $-10, 20, -20, 30, -30 $ і т.д., т.к. вони діляться на числа $2$ і $5$.
Зауваження 1
Нуль є загальним кратним будь-якої кількості ненульових цілих чисел.
Відповідно до властивостей ділимості, якщо деяке число є загальним кратним кількох чисел, то й протилежне за знаком число також буде загальним кратним заданих чисел. Це видно з розглянутого прикладу.
Для заданих цілих чисел можна знайти їх загальне кратне.
Приклад 2
Обчислити загальне кратне чисел $111$ та $55$.
Рішення.
Перемножимо задані числа: $111\div 55 = 6105 $. Нескладно переконається, що число $6105$ ділиться на число $111$ і на $55$:
$ 6105 \ div 111 = 55 $;
$ 6105 \ div 55 = 111 $.
Таким чином, число $6105$ – загальне кратне чисел $111$ та $55$.
Відповідь: загальне кратне чисел $111$ і $55$ і $6105$.
Але, як ми вже бачили із попереднього прикладу, це спільне кратне не одне. Іншими загальними кратними будуть числа $-6105, 12210, -12210, 61050, -61050 $ і т.д. Таким чином, ми дійшли такого висновку:
Зауваження 2
Будь-який набір цілих чисел має безліч загальних кратних.
Насправді обмежуються знаходженням загальних кратних лише цілих позитивних (натуральних) чисел, т.к. безлічі кратних даного числаі йому протилежного збігаються.
Визначення найменшого загального кратного
Найчастіше із усіх кратних заданих чисел використовують найменше загальне кратне (НОК).
Визначення 2
Найменше позитивне загальне кратне заданих цілих чисел є найменшим загальним кратнимцих чисел.
Приклад 3
Обчислити НОК чисел $4$ та $7$.
Рішення.
Т.к. у цих чисел немає спільних дільників, то $ НОК (4,7) = 28 $.
Відповідь: $НОК (4,7) = 28 $.
Знаходження НОК через НОД
Т.к. існує зв'язок між НОК та НОД, з її допомогою можна обчислити НОК двох цілих позитивних чисел:
Примітка 3
Приклад 4
Обчислити НОК чисел $232$ та $84$.
Рішення.
Скористаємося формулою для знаходження НОК через НОД:
$НОК (a,b)=\frac(a\cdot b)(НОД (a,b))$
Знайдемо НОД чисел $232$ і $84$ за допомогою алгоритму Евкліда:
$232=84\cdot 2+64$,
$84=64\cdot 1+20$,
$64=20\cdot 3+4$,
Тобто. $НОД (232, 84) = 4 $.
Знайдемо $НОК (232, 84)$:
$НОК (232,84) = frac (232 cdot 84) (4) = 58 cdot 84 = 4872 $
Відповідь: $НОК (232,84) = 4872 $.
Приклад 5
Обчислити $НОК (23, 46)$.
Рішення.
Т.к. $ 46 $ ділиться націло на $ 23 $, то $ НОД (23, 46) = 23 $. Знайдемо НОК:
$НОК (23,46) = frac (23 cdot 46) (23) = 46 $
Відповідь: $НОК (23,46) = 46 $.
Таким чином, можна сформулювати правило:
Примітка 4
Найбільший спільний дільник та найменше спільне кратне – ключові арифметичні поняття, які дозволяють без зусиль оперувати звичайними дробами. НОК і найчастіше використовують для пошуку спільного знаменника кількох дробів.
Основні поняття
Дільник цілого числа X - це інше ціле число Y, яке X поділяється без залишку. Наприклад, дільник 4 - це 2, а 36 - 4, 6, 9. Кратне цілого X - це число Y, яке ділиться на X без залишку. Наприклад, 3 кратно 15, а 6 - 12.
Для будь-якої пари чисел ми можемо знайти їхні спільні дільники та кратні. Наприклад, для 6 і 9 загальним кратним є 18, а загальним дільником - 3. Очевидно, що дільників і кратних пар може бути кілька, тому при розрахунках використовується найбільший дільник НОД і найменше кратне НОК.
Найменший дільник немає сенсу, оскільки будь-якого числа це завжди одиниця. Найбільше кратне також безглуздо, оскільки послідовність кратних спрямовується у нескінченність.
Знаходження НІД
Для пошуку найбільшого спільного дільника існує безліч методів, найвідоміші з яких:
- послідовний перебір дільників, вибір спільних для пари та пошук найбільшого з них;
- розкладання чисел на неподільні множники;
- алгоритм Евкліда;
- бінарний алгоритм.
Сьогодні в навчальних закладахНайбільш популярними є методи розкладання на прості множники та алгоритм Евкліда. Останній у свою чергу використовується при розв'язанні діофантових рівнянь: пошук НОД потрібний для перевірки рівняння на можливість розв'язання в цілих числах.
Знаходження НОК
Найменше загальне кратне також визначається послідовним перебором або розкладанням на неподільні множники. Крім того, легко знайти НОК, якщо вже визначено найбільшого дільника. Для чисел X і Y НОК і НОД пов'язані наступним співвідношенням:
НОК (X, Y) = X × Y / НОД (X, Y).
Наприклад, якщо НОД(15,18) = 3, то НОК(15,18) = 15 × 18 / 3 = 90. Найбільш очевидний приклад використання НОК - пошук спільного знаменника, який є найменшим загальним кратним для заданих дробів.
Взаємно прості числа
Якщо в пари чисел немає спільних дільників, то така пара називається взаємно простою. НОД для таких пар завжди дорівнює одиниці, а виходячи із зв'язку дільників та кратних, НОК для взаємно простих дорівнює їхньому твору. Наприклад, числа 25 і 28 взаємно прості, адже вони немає спільних дільників, а НОК(25, 28) = 700, що їх твору. Два будь-які неподільні числа завжди будуть взаємно простими.
Калькулятор загального дільника та кратного
За допомогою нашого калькулятора ви можете визначити НОД і НОК для довільної кількості чисел на вибір. Завдання на обчислення загальних дільників та кратних зустрічаються в арифметиці 5, 6 класу, проте НОД та НОК – ключові поняття математики та використовуються в теорії чисел, планіметрії та комунікативної алгебри.
Приклади із реального життя
Загальний знаменник дробів
Найменше загальне кратне використовується для пошуку спільного знаменника кількох дробів. Нехай у арифметичній задачіпотрібно підсумовувати 5 дробів:
1/8 + 1/9 + 1/12 + 1/15 + 1/18.
Для складання дробів вираз необхідно привести до спільного знаменника, що зводиться до завдання знаходження НОК. Для цього виберіть у калькуляторі 5 чисел та введіть значення знаменників у відповідні комірки. Програма обчислить НОК (8, 9, 12, 15, 18) = 360. Тепер необхідно обчислити додаткові множники кожного дробу, які визначаються як співвідношення НОК до знаменника. Таким чином, додаткові множники будуть виглядати як:
- 360/8 = 45
- 360/9 = 40
- 360/12 = 30
- 360/15 = 24
- 360/18 = 20.
Після цього множимо всі дроби на відповідний додатковий множник і отримуємо:
45/360 + 40/360 + 30/360 + 24/360 + 20/360.
Такі дроби ми можемо легко підсумовувати та отримати результат у вигляді 159/360. Скорочуємо дріб на 3 і бачимо остаточну відповідь – 53/120.
Розв'язання лінійних діофантових рівнянь
Лінійні діофантові рівняння – це вирази виду ax + by = d. Якщо відношення d / НОД (a, b) є ціле число, то рівняння можна розв'язати в цілих числах. Давайте перевіримо пару рівнянь на можливість цілого рішення. Спочатку перевіримо рівняння 150x + 8y = 37. За допомогою калькулятора знаходимо НОД (150,8) = 2. Ділимо 37/2 = 18,5. Число не ціле, отже, рівняння не має цілих коренів.
Перевіримо рівняння 1320x + 1760y = 10120. Використовуємо калькулятор для знаходження НОД(1320, 1760) = 440. Розділимо 10120/440 = 23. У результаті отримуємо ціле число, отже, діофантово врівно.
Висновок
НОД і НОК відіграють велику роль у теорії чисел, а самі поняття широко використовуються в різних областях математики. Використовуйте наш калькулятор для розрахунку найбільших дільниківі найменших кратних будь-якої кількості чисел.
Loading...