Відеокурс «Отримай п'ятірку» включає всі теми, необхідні для успішної здачі ЄДІз математики на 60-65 балів. Цілком всі завдання 1-13 Профільного ЄДІз математики. Підходить також для здачі Базового ЄДІ з математики. Якщо ви хочете здати ЄДІ на 90-100 балів, вам треба вирішувати частину 1 за 30 хвилин і без помилок!
Курс підготовки до ЄДІ для 10-11 класів, а також для викладачів. Все необхідне, щоб вирішити частину 1 ЄДІ з математики (перші 12 завдань) та задачу 13 (тригонометрія). А це понад 70 балів на ЄДІ, і без них не обійтись ні стобальнику, ні гуманітарію.
Уся необхідна теорія. Швидкі способирішення, пастки та секрети ЄДІ. Розібрано всі актуальні завдання частини 1 із Банку завдань ФІПД. Курс повністю відповідає вимогам ЄДІ-2018.
Курс містить 5 великих тем, по 2,5 години кожна. Кожна тема дається з нуля, це просто і зрозуміло.
Сотні завдань ЄДІ. Текстові завдання та теорія ймовірностей. Прості і легко запам'ятовуються алгоритми розв'язання задач. Геометрія. Теорія, довідковий матеріал, аналіз всіх типів завдань ЄДІ. Стереометрія. Хитрі прийоми розв'язання, корисні шпаргалки, розвиток просторової уяви. Тригонометрія з нуля - до завдання 13. Розуміння замість зубріння. Наочне пояснення складних понять. Алгебра. Коріння, ступеня та логарифми, функція та похідна. База на вирішення складних завдань 2 частини ЄДІ.
Щоб розв'язати задачі з геометрії, треба знати формули - такі, як площа трикутника або площа паралелограма - а також прості прийоми, про які ми розповімо.
Для початку вивчимо формули площ фігур. Ми спеціально зібрали їх у зручну таблицю. Роздрукуйте, вивчіть та застосовуйте!
Звичайно, не всі формули геометрії є в нашій таблиці. Наприклад, для вирішення задач з геометрії та стереометрії у другій частині профільного ЄДІ з математики застосовуються інші формули площі трикутника. Про них ми обов'язково розповімо.
А що робити, якщо треба знайти не площу трапеції чи трикутника, а площу якоїсь складної фігури? Є універсальні методи! Покажемо їх на прикладах із банку завдань ФІПД.
1. Як знайти площу нестандартної фігури? Наприклад, довільного чотирикутника? Простий прийом - розіб'ємо цю фігуру на такі, про які ми знаємо, і знайдемо її площу - як суму площ цих постатей.
Розділимо цей чотирикутник горизонтальною лінією на два трикутники із загальною основою, що дорівнює . Висоти цих трикутників дорівнюють і . Тоді площа чотирикутника дорівнює сумі площ двох трикутників: .
Відповідь: .
2. У деяких випадках площу фігури можна представити як різницю будь-яких площ.
Не так просто порахувати, чому рівні основа і висота в цьому трикутнику! Зате ми можемо сказати, що його площа дорівнює різниці площ квадрата зі стороною та трьох прямокутних трикутників. Бачите їх на малюнку? Отримуємо: .
Відповідь: .
3. Іноді у завданні треба знайти площу не всієї фігури, а її частини. Зазвичай йдеться тут про площу сектора-частини кола. Знайдіть площу сектора кола радіусу, довжина дуги якого дорівнює.
На цьому малюнку ми бачимо частину кола. Площа всього кола дорівнює, оскільки. Залишається дізнатися, яку частину кола зображено. Оскільки довжина всього кола дорівнює (оскільки ), а довжина дуги даного сектора дорівнює , отже, довжина дуги в раз менша, ніж довжина всього кола. Кут, на який спирається ця дуга, також у раз менше, ніж повне коло (тобто градусів). Значить, і площа сектора буде в раз менше, ніж площа всього кола.
А стародавні єгиптяни користувалися методами обчислення площ різних постатей, схожими на наші методи.
У своїх книгах «Початку»відомий давньогрецький математик Евклід описував досить велике числоспособів обчислення площ багатьох геометричних фігур. Перші рукописи на Русі, у яких містяться геометричні відомості, було написано в $ XVI столітті. Вони описані правила знаходження площ фігур різних форм.
Сьогодні за допомогою сучасних методівможна знайти площу будь-якої фігури з великою точністю.
Розглянемо одну з найпростіших постатей - прямокутник - і формулу знаходження його площі.
Формула площі прямокутника
Розглянемо фігуру (рис. 1), яка складається з $8$ квадратів зі сторонами по $1$ см. Площа одного квадрата зі стороною $1$ см називають квадратним сантиметром і записують $1\ см^2$.
Площа даної постаті (рис. 1) дорівнюватиме $8\ см^2$.
Площа фігури, яку можна розбити на кілька квадратів зі стороною $1\см$ (наприклад, $p$), дорівнюватиме $p\см^2$.
Іншими словами, площа фігури дорівнюватиме стільки $см^2$, на скільки квадратів зі стороною $1\ см$ можна розбити цю фігуру.
Розглянемо прямокутник (рис. 2), що складається з $3$ смуг, кожна з яких розбита на $5$ квадратів зі стороною $1\ см$. весь прямокутник складається з $ 5 \ cdot 3 = 15 $ таких квадратів, і його площа дорівнює $ 15 \ см ^ 2 $.
Малюнок 1.
Малюнок 2.
Площу фігур прийнято позначати буквою $S$.
Для знаходження площі прямокутника його довжину помножити на ширину.
Якщо позначити буквою $a$ його довжину, а буквою $b$ - ширину, то формула площі прямокутника матиме вигляд:
Визначення 1
Фігури називають рівними,якщо при накладенні їх одна на одну фігури збігатимуться. Рівні фігури мають рівні площіта рівні периметри.
Площу фігури можна знайти як суму площ її частин.
Приклад 1
Наприклад, на малюнку $3$ прямокутник $ABCD$ розбитий на частини лінією $KLMN$. Площа однієї частини дорівнює $12 \ см ^ 2 $, а інший - $ 9 \ см ^ 2 $. Тоді площа прямокутника $ABCD$ дорівнюватиме $12\ см^2+9\ см^2=21\ см^2$. Знайдемо площу прямокутника за формулою:
Як бачимо, площі, знайдені обома способами, дорівнюють.
Малюнок 3.
Малюнок 4.
Відрізок $AC$ ділить прямокутник на два рівні трикутники: $ABC$ і $ADC$. Значить площа кожного із трикутників дорівнює половині площі всього прямокутника.
Визначення 2
Прямокутник з рівними сторонаминазивається квадратом.
Якщо позначити сторону квадрата буквою $a$, то площа квадрата буде за формулою:
Звідси й назва квадрат числа $a$.
Приклад 2
Наприклад, якщо сторона квадрата дорівнює $5$ см, його площа:
Обсяги
З розвитком торгівлі та будівництва ще за часів давніх цивілізацій виникла потреба у знаходженні обсягів. У математиці існує розділ геометрії, який займається вивченням просторових постатей, званий стереометрією. Згадки про цей окремий напрямок математики зустрічалися вже в $IV$ столітті до н.е.
Давніми математиками був виведений спосіб обчислення обсягу нескладних фігур - куба та паралелепіпеда. Усі споруди того часу були саме такої форми. Але надалі було знайдено способи обчислення обсягу фігур складніших форм.
Об'єм прямокутного паралелепіпеда
Якщо наповнити форму вологим піском і потім перевернути, то отримаємо об'ємну фігуру, яка характеризується об'ємом. Якщо зробити таких фігур кілька за допомогою однієї і тієї ж форми, то вийдуть фігури, які мають однаковий обсяг. Якщо наповнити форму водою, то об'єм води і об'єм фігури з піску також будуть рівними.
Малюнок 5.
Порівняти обсяги двох судин можна, наповнивши одну водою і переливши її в другу посудину. Якщо друга посудина виявиться повністю заповненою, то судини мають рівні обсяги. Якщо при цьому в першій вода залишиться, то об'єм першої судини більший за об'єм другої. Якщо при переливанні води з першої посудини не вдається повністю заповнити другу посудину, значить обсяг першої посудини менший від обсягу другої.
Обсяг вимірюється за допомогою наступних одиниць:
$мм^3$ - міліметр кубічний,
$см^3$ - сантиметр кубічний,
$дм^3$ - дециметр кубічний,
$м^3$ - метр кубічний,
$км^3$ - кілометр кубічний.
Загальний огляд. Формули стереометрії!
Вітаю, дорогі друзі! У цій статті вирішив зробити загальний оглядзадач зі стереометрії, які будуть на ЄДІ з математике. Потрібно сказати, що завдання з цієї групи досить різноманітні, але не складні. Це завдання знаходження геометричних величин: довжин, кутів, площ, об'ємів.
Розглядаються: куб, прямокутний паралелепіпед, призма, піраміда, складовий багатогранник, циліндр, конус, куля. Засмучує той факт, що деякі випускники на самому екзамені за такі завдання навіть не беруться, хоча понад 50% з них вирішуються елементарно, практично усно.
Інші вимагають невеликих зусиль, знань та спеціальних прийомів. У майбутніх статтях ми з вами розглядатимемо ці завдання, не пропустіть, підпишіться на оновлення блогу.
Для вирішення необхідно знати формули площ поверхні та обсягівпаралелепіпеда, піраміди, призми, циліндра, конуса та кулі. Складних завдань немає, всі вони вирішуються на 2-3 дії, важливо "побачити" яку формулу необхідно застосувати.
Усі необхідні формули представлені нижче:
Куля чи сфера. Кульовий, або сферичною поверхнею(Іноді просто сферою) називається геометричне місце точок простору, рівновіддалених від однієї точки – центру кулі.
Об'єм кулідорівнює обсягу піраміди, основа якої має ту ж площу, що й поверхня кулі, а висота є радіус кулі
Об'єм кулі в півтора рази менший, ніж об'єм описаного навколо нього циліндра.
Круглий конус може бути отриманий обертанням прямокутного трикутника навколо одного з його катетів, тому круглий конус називають також конусом обертання. також Площа поверхні круглого конуса
Об'єм круглого конусадорівнює третині твору площі основи S на висоту H:
(H – висота ребра куба)
Паралелепіпедом називається призма, основа якої паралелограм. Паралелепіпед має шість граней, і всі вони - паралелограми. Паралелепіпед, чотири бічні грані якого - прямокутники, називається прямим. Прямий паралелепіпед у якого всі шість граней прямокутники називається прямокутним.
Об'єм прямокутного паралелепіпедадорівнює добутку площі основи на висоту:
(S – площа основи піраміди, h – висота піраміди)
Піраміда - це багатогранник, у якого одна грань - основа піраміди - довільний багатокутник, а решта - бічні грані - трикутники із загальною вершиною, званою вершиною піраміди.
Перетин паралельне підставі піраміди поділяє піраміду на дві частини. Частина піраміди між її основою та цим перетином - це усічена піраміда.
Об'єм усіченої пірамідидорівнює одній третині твору висоти h (OS)на суму площ верхньої основи S1 (abcde), нижньої основи усіченої піраміди S2 (ABCDE)та середньої пропорційної між ними.
| 1. | V= |
n - число сторін правильного багатокутника - основи правильної піраміди
a - сторона правильного багатокутника - основи правильної піраміди
h - висота правильної піраміди
Правильна трикутна піраміда - це багатогранник, у якого одна грань - основа піраміди - правильний трикутник, а інші - бічні грані - рівні трикутники із загальною вершиною. Висота опускається у центр основи з вершини.
Об'єм правильної трикутної піраміди дорівнює одній третині твору площі правильного трикутника, що є основою S (ABC)на висоту h (OS)
a - сторона правильного трикутника - основи правильної трикутної піраміди
h - висота правильної трикутної піраміди
Висновок формули обсягу тетраедра
Об'єм тетраедра розраховується за класичною формулою об'єму піраміди. У ній необхідно підставити висоту тетраедра і площу правильного (рівностороннього) трикутника.
Об'єм тетраедра- дорівнює дробу в чисельнику якого корінь квадратний із двох у знаменнику дванадцять, помноженої на куб довжини ребра тетраедра
(h – довжина сторони ромба)
Довжина кола pстановить приблизно три цілих та одну сьому довжини діаметра кола. Точне відношення довжини кола до її діаметра позначається грецькою літерою π
У результаті периметр кола чи довжина кола обчислюється за такою формулою
| π r n |
(r – радіус дуги, n – центральний кутдуги в градусах.)
Відеокурс «Отримай п'ятірку» включає всі теми, необхідні для успішного складання ЄДІ з математики на 60-65 балів. Повністю всі завдання 1-13 Профільного ЄДІ з математики. Підходить також для здачі Базового ЄДІ з математики. Якщо ви хочете здати ЄДІ на 90-100 балів, вам треба вирішувати частину 1 за 30 хвилин і без помилок!
Курс підготовки до ЄДІ для 10-11 класів, а також для викладачів. Все необхідне, щоб вирішити частину 1 ЄДІ з математики (перші 12 завдань) та задачу 13 (тригонометрія). А це понад 70 балів на ЄДІ, і без них не обійтись ні стобальнику, ні гуманітарію.
Уся необхідна теорія. Швидкі способи вирішення, пастки та секрети ЄДІ. Розібрано всі актуальні завдання частини 1 із Банку завдань ФІПД. Курс повністю відповідає вимогам ЄДІ-2018.
Курс містить 5 великих тем, по 2,5 години кожна. Кожна тема дається з нуля, це просто і зрозуміло.
Сотні завдань ЄДІ. Текстові завдання та теорія ймовірностей. Прості і легко запам'ятовуються алгоритми розв'язання задач. Геометрія. Теорія, довідковий матеріал, аналіз всіх типів завдань ЄДІ. Стереометрія. Хитрі прийоми розв'язання, корисні шпаргалки, розвиток просторової уяви. Тригонометрія з нуля - до завдання 13. Розуміння замість зубріння. Наочне пояснення складних понять. Алгебра. Коріння, ступеня та логарифми, функція та похідна. База на вирішення складних завдань 2 частини ЄДІ.
Loading...