Кут ABC – вписаний кут. Він спирається на дугу АС, укладену між сторонами (рис. 330).
Теорема. Вписаний кут вимірюється половиною дуги, яку він спирається.
Це треба розуміти так: вписаний кут містить стільки кутових градусів, хвилин і секунд, скільки дугових градусів, хвилин і секунд міститься в половині дуги, на яку він спирається.
За доказом цієї теореми треба розглянути три випадки.
Перший випадок. Центр кола лежить за вписаного кута (рис. 331).
Нехай ∠ABC - вписаний кут і центр кола лежить на стороні BC. Потрібно довести, що він вимірюється половиною дуги AC.
З'єднаємо точку A із центром кола. Отримаємо рівнобедрений \(\Delta\)AOB, у якому АТ = OB, як радіуси одного й того ж кола. Отже, ∠A = ∠B.
∠AOC є зовнішнім по відношенню до трикутника AOB, тому ∠AOC = ∠А + ∠В, а так як кути А і В рівні, то ∠В становить 1/2 ∠AOC.
Але ∠AOC вимірюється дугою АС, отже, ∠В вимірюється половиною дуги АС.
Наприклад, якщо \(\breve(AC)\) містить 60°18′, то ∠В містить 30°9′.
Другий випадок. Центр кола лежить між сторонами вписаного кута (рис. 332).
Нехай ∠ABD – вписаний кут. Центр кола Про лежить між його сторонами. Потрібно довести, що ∠ABD вимірюється половиною дуги АD.
Для підтвердження проведемо діаметр BC. Кут ABD розбився на два кути: ∠1 та ∠2.
∠1 вимірюється половиною дуги АС, а ∠2 вимірюється половиною дуги СD, отже, весь ∠АВD вимірюється 1/2 \(\breve(AC)\) + 1/2 \(\breve(CD)\), тобто половиною дуги АD.
Наприклад, якщо \(\breve(AD)\) містить 124°, то ∠В містить 62°.
Третій випадок. Центр кола лежить поза вписаним кутом (рис. 333).
Нехай ∠MAD – вписаний кут. Центр кола Про знаходиться поза кутом. Потрібно довести, що ∠MAD вимірюється половиною дуги MD.
Для підтвердження проведемо діаметр AB. ∠MAD = ∠MAB - ∠DAB. Але ∠MAB вимірюється 1/2 \(\breve(MB)\), а ∠DAB вимірюється 1/2 \(\breve(DB)\).
Отже, ∠MAD вимірюється 1/2 (\(\breve(MB) - \breve(DB))\), тобто 1/2 \(\breve(MD)\).
Наприклад, якщо \(\breve(MD)\) містить 48° 38", то ∠MAD містить 24° 19' 8".
Наслідки
1.
Всі вписані кути, що спираються на ту саму дугу, рівні між собою, тому що вони вимірюються половиною однієї і тієї ж дуги
(Рис. 334, а).
2. Вписаний кут, що спирається на діаметр, - прямий, тому що він спирається на половину кола. Половина кола містить 180 дугових градусів, отже, кут, що спирається на діаметр, містить 90 кутових градусів (рис. 334 б).
Найчастіше процес підготовки до ЄДІ з математики починається з повторення основних визначень, формул і теорем, у тому числі і на тему «Центральний і вписаний в коло кут». Як правило, даний розділпланиметрії вивчається ще в середній школі. Не дивно, що багато учнів стикаються з необхідністю повторення базових понять та теорем на тему «Центральний кут кола». Розібравшись із алгоритмом вирішення подібних завдань, школярі зможуть розраховувати на отримання конкурентних балів за підсумками складання єдиного держекзамену.
Як легко та ефективно підготуватися до проходження атестаційного випробування?
Займаючись перед складання єдиного державного іспиту, багато старшокласників стикаються з проблемою пошуку потрібної інформації на тему «Центральний і вписаний кути в окружності». Не завжди шкільний підручник є під рукою. А пошук формул в Інтернеті часом забирає багато часу.
«Прокачати» навички та покращити знання у такому непростому розділі геометрії, як планіметрія, вам допоможе наш освітній портал. «Школкове» пропонує старшокласникам та їхнім викладачам по-новому вибудувати процес підготовки до складання єдиного держекзамену. Весь базовий матеріал представлений нашими фахівцями максимально доступній формі. Ознайомившись з інформацією розділ «Теоретична довідка», учні дізнаються, якими властивостями має центральний кут кола, як його величину тощо.
Потім для закріплення здобутих знань та відпрацювання навичок ми рекомендуємо виконати відповідні вправи. Велика добірказавдань на знаходження величини кута, вписаного в коло, та інших параметрів представлено у розділі «Каталог». Для кожної вправи наші фахівці прописали докладний хід рішення та вказали правильну відповідь. Перелік завдань на сайті постійно доповнюється та оновлюється.
Готуватися до ЄДІ, практикуючись у виконанні вправ, наприклад, перебування величини центрального кута і довжини дуги кола, старшокласники можуть у онлайн-режимі, перебуваючи у кожному російському регіоні.
За потреби виконане завдання можна зберегти в розділі «Вибране», щоб надалі повернутися до нього та ще раз розібрати принцип його вирішення.
Центральний кут- Це кут, вершина якого знаходиться в центрі кола.
Вписаний кут- Кут, вершина якого лежить на колі, а сторони перетинають її.
На малюнку - центральні та вписані кути, а також їх найважливіші властивості.
Отже, величина центрального кута дорівнює кутовий величині дуги, яку він спирається. Отже, центральний кут величиною 90 градусів спиратиметься на дугу, рівну 90°, тобто кола. Центральний кут, що дорівнює 60°, спирається на дугу 60 градусів, тобто на шосту частину кола.
Величина вписаного кута вдвічі менша від центрального, що спирається на ту ж дугу.
Також для вирішення завдань нам знадобиться поняття «хорда».
Рівні центральні кути спираються на рівні хорди.
1. Чому дорівнює вписаний кут, що спирається на діаметр кола? Відповідь дайте у градусах.
Вписаний кут, що спирається на діаметр, – прямий.
2. Центральний кут на 36° більше гострого вписаного кута, що спирається на ту саму дугу кола. Знайдіть вписаний кут. Відповідь дайте у градусах.
Нехай центральний кут дорівнює х, а вписаний кут, що спирається на ту ж дугу, дорівнює у.
Ми знаємо, що х = 2у.
Звідси 2у = 36 + у,
у = 36.
3. Радіус кола дорівнює 1. Знайдіть величину тупого вписаного кута, що спирається на хорду, що дорівнює . Відповідь дайте у градусах.
Нехай хорда АВ дорівнює. Тупий вписаний кут, що спирається на цю хорду, позначимо α.
У трикутнику АОВ сторони АВ і ОВ дорівнюють 1, сторона АВ дорівнює . Нам уже траплялися такі трикутники. Вочевидь, що трикутник АОВ - прямокутний і рівнобедрений, тобто кут АОВ дорівнює 90°.
Тоді дуга АСВ дорівнює 90 °, а дуга АКВ дорівнює 360 ° - 90 ° = 270 °.
Вписаний кут α спирається на дугу АКВ і дорівнює половині кутової величини цієї дуги, тобто 135 °.
Відповідь: 135.
4. Хорда AB поділяє коло на дві частини, градусні величини яких відносяться як 5:7. Під яким кутом видно цю хорду з точки C, що належить меншій дузі кола? Відповідь дайте у градусах.
Головне в цьому завданні - правильне креслення та розуміння умови. Як ви розумієте питання: «Під яким кутом хорда видно з точки С?»
Уявіть, що ви сидите в точці С, і вам необхідно бачити все, що відбувається на хорді АВ. Так, начебто хорда АВ - це екран у кінотеатрі:-)
Очевидно, що знайти потрібно кут АСВ.
Сума двох дуг, на які хорда АВ ділить коло, дорівнює 360 °, тобто
5х + 7х = 360 °
Звідси х = 30°, тоді вписаний кут АСВ спирається на дугу, рівну 210°.
Величина вписаного кута дорівнює половині кутової величини дуги, яку він спирається, отже, кут АСВ дорівнює 105°.
Це кут, сформований двома хордами, що беруть початок в одній точці кола. Про вписане вугілля говорять, що він спираєтьсяна дугу, укладену між його сторонами.
Вписаний кутдорівнює половині дуги, яку він спирається.
Іншими словами, вписаний кутвключає стільки кутових градусів, хвилин і секунд, скільки дугових градусів, хвилин і секунд укладено о пів дуги, яку він спирається. Для обґрунтування проаналізуємо три випадки:
Перший випадок:
Центр O розташований на стороні вписаного кута ABС. Прокресливши радіус AO, ми отримаємо ΔABO, у ньому OA = OB (як радіуси) і, відповідно, ∠ABO = ∠BAO. Стосовно цього трикутнику, кут AOС – зовнішній. Отже, він дорівнює сумі кутів ABO і BAO, або дорівнює подвійному куту ABO. Значить ∠ABO дорівнює половині центрального кута AOС. Але цей кут вимірюється дугою AC. Тобто вписаний кут ABС вимірюється половиною дуги AC.
Другий випадок:
Центр O розташований між сторонами вписаного кута ABС. Накресливши діаметр BD, ми поділимо кут ABС на два кути, з яких, за встановленим у першому випадку, один вимірюється половиною дуги AD, а іншою половиною дуги СD. І відповідно кут ABС вимірюється (AD+DС) /2, тобто. 1/2 AC.
Третій випадок:
Центр O розташований поза вписаного кута ABС. Накресливши діаметр BD, ми матимемо: ∠ABС = ∠ABD - ∠CBD . Але кути ABD і CBD вимірюються, виходячи з обгрунтованого раніше половинами дуг AD та СD. І оскільки ∠ABС вимірюється (AD-СD)/2, тобто половиною дуги AC.
Наслідок 1.Будь-які , що спираються на ту саму дугу однакові, тобто рівні між собою. Оскільки кожен з них вимірюється половиною однієї і тієї ж дуги .
Наслідок 2. Вписаний кут, що спирається на діаметр - прямий кут. Оскільки кожен такий кут вимірюється половиною півкола і, відповідно, містить 90 °.
Сьогодні ми розглянемо черговий тип завдань 6 - цього разу з колом. Багато учнів не люблять їх та вважають складними. І даремно, оскільки такі завдання вирішуються елементарноякщо знати деякі теореми. Або не наважуються взагалі, якщо їх не знати.
Перш ніж говорити про основні властивості, дозвольте нагадати визначення:
Вписаний кут — той, у якого вершина лежить на самому колі, а сторони висікають на цьому колі хорду.
Центральний кут це будь-який кут з вершиною в центрі кола. Його сторони теж перетинають це коло і висікають у ньому хорду.
Отже, поняття вписаного та центрального кута нерозривно пов'язані з колом та хордами всередині неї. А тепер основне твердження:
Теорема. Центральний кут завжди вдвічі більше вписаного, що спирається на ту саму дугу.
Незважаючи на простоту твердження, існує цілий клас завдань 6, які вирішуються за допомогою нього — і ніяк інакше.
Завдання. Знайдіть гострий вписаний кут, що спирається на хорду, що дорівнює радіусу кола.
Нехай AB - хорда, що розглядається, O - центр кола. Додаткова побудова: OA та OB – радіуси кола. Отримаємо:
Розглянемо трикутник ABO. У ньому AB = OA = OB — усі сторони дорівнюють радіусу кола. Тому трикутник ABO є рівностороннім, і всі кути в ньому по 60°.
Нехай M - вершина вписаного кута. Оскільки кути O і M спираються на ту саму дугу AB , вписаний кут M в 2 рази менше центрального кута O . Маємо:
M = O : 2 = 60: 2 = 30
Завдання. Центральний кут на 36° більше вписаного кута, що спирається на ту саму дугу кола. Знайдіть вписаний кут.
Введемо позначення:
- AB - хорда кола;
- Точка O – центр кола, тому кут AOB – центральний;
- Точка C - вершина вписаного кута ACB.
Оскільки ми шукаємо вписаний кут ACB, позначимо його ACB = x. Тоді центральний кут AOB дорівнює x + 36. З іншого боку, центральний кут у 2 рази більший за вписаний. Маємо:
AOB = 2 · ACB;
x + 36 = 2 · x;
x = 36.
Ось ми і знайшли вписаний кут AOB - він дорівнює 36 °.
Коло - це кут в 360 °
Прочитавши підзаголовок, знаючі читачі, мабуть, зараз скажуть: "Фу!" Порівнювати коло з кутом не зовсім коректно. Щоб зрозуміти, про що мова, погляньте на класичне тригонометричне коло:
Навіщо ця картинка? А до того, що повний оборот – це кут 360 градусів. І якщо поділити його, скажімо, на 20 рівних частин, то розмір кожної з них буде 360: 20 = 18 градусів. Саме це потрібно для вирішення завдання B8.
Точки A, B і C лежать на колі і ділять її на три дуги, градусні заходи яких відносяться як 1:3:5. Знайдіть більший кут трикутника ABC.
Для початку знайдемо градусний захід кожної дуги. Нехай менша їх дорівнює x . На малюнку ця дуга позначена AB. Тоді решту дуг — BC і AC — можна виразити через AB: дуга BC = 3x; AC = 5x. У сумі ці дуги дають 360 градусів:
AB+BC+AC=360;
x + 3x + 5x = 360;
9x = 360;
х = 40.
Тепер розглянемо велику дугу AC, яка містить точку B. Ця дуга, як і відповідний центральний кут AOC дорівнює 5x = 5 · 40 = 200 градусів.
Кут ABC - найбільший з усіх кутів трикутника. Це вписаний кут, що спирається на ту саму дугу, що центральний кут AOC . Значить, кут ABC у 2 рази менший за AOC . Маємо:
ABC = AOC: 2 = 200: 2 = 100
Це і буде градусний захід більшого кута в трикутнику ABC.
Окружність, описана навколо прямокутного трикутника
Цю теорему багато хто забуває. А дарма, адже деякі завдання B8 без неї взагалі не вирішуються. Точніше, вирішуються, але з таким обсягом обчислень, що ви швидше заснете, ніж дійдете відповіді.
Теорема. Центр кола, описаного навколо прямокутного трикутникалежить на середині гіпотенузи.
Що випливає з цієї теореми?
- Середина гіпотенузи рівновіддалена від усіх вершин трикутника. Це прямий наслідок теореми;
- Медіана, проведена до гіпотенузи, поділяє вихідний трикутник на два рівнобедрених. Саме це потрібно для вирішення завдання B8.
У трикутнику ABC провели медіану CD. Кут C дорівнює 90 °, а кут B - 60 °. Знайдіть кут ACD.
Оскільки кут C дорівнює 90°, трикутник ABC прямокутний. Виходить, що CD - медіана, проведена до гіпотенузи. Отже, трикутники ADC та BDC – рівнобедрені.
Зокрема, розглянемо трикутник ADC. У ньому AD = CD. Але в рівнобедреному трикутнику кути при основі рівні — див. «Завдання B8: відрізки та кути в трикутниках». Тому кут ACD = A .
Отже, залишилося з'ясувати, чому дорівнює кут A. Для цього знову звернемося до вихідного трикутника ABC. Позначимо кут A = x. Оскільки сума кутів у будь-якому трикутнику дорівнює 180°, маємо:
A + B + BCA = 180;
x + 60 + 90 = 180;
х = 30.
Очевидно, останнє завдання можна вирішити по-іншому. Наприклад, легко довести, що трикутник BCD не просто рівнобедрений, а рівносторонній. Значить, кут BCD дорівнює 60 градусів. Звідси кут ACD дорівнює 90 − 60 = 30 градусів. Як бачите, можна використовувати різні рівнобедрені трикутники, але відповідь завжди буде той самий.
Loading...