Діти у школі вчать правила скорочення дробів у 6 класі. У цій статті ми спочатку розповімо вам про те, що означає цю дію, потім роз'яснимо, як скоротитий дріб перевести в нескоротний. Наступним пунктом будуть правила скорочення дробів, а потім уже поступово підберемося до прикладів.
Що означає "зменшити дріб"?
Отже, всі ми знаємо, що звичайні дробиділяться на дві групи: скорочувані та нескоротні. Вже за назвами можна зрозуміти, що ті, що скорочувані – скорочуються, а ті, що нескорочені – не скорочуються.
- Скоротити дріб - це означає розділити її знаменник і чисельник на їхній (відмінний від одиниці) позитивний дільник. В результаті, звичайно, виходить новий дріб з меншим знаменником і чисельником. Отриманий дріб дорівнюватиме вихідного дробу.
Варто зазначити, що в книгах з математики із завданням "скоротіть дріб" це означає, що потрібно вихідний дріб привести саме до цього нескоротного виду. Якщо казати простими словами, то розподіл знаменника та чисельника на їх найбільший спільний дільникі є скорочення.
Як скоротити дріб. Правила скорочення дробів (6 клас)
Отже, тут лише два правила.
- Перше правило скорочення дробів: спочатку потрібно буде знайти найбільший спільний дільник знаменника та чисельника вашого дробу.
- Друге правило: ділити знаменник і чисельник на найбільший спільний дільник, зрештою отримати нескоротний дріб.
Як скоротити неправильний дріб?
Правила скорочення дробів ідентичні до правил скорочення неправильних дробів.
Для того щоб скоротити неправильний дріб, для початку потрібно буде розписати на прості множники знаменник і чисельник, а вже потім скорочувати загальні множники.
Скорочення змішаних дробів
Правила скорочення дробів також поширюється скорочення змішаних дробів. Є лише невелика різниця: цілу частину ми можемо не чіпати, а дробовий скоротити або змішаний дріб перевести в неправильний, потім скоротити і знову перевести в правильний дріб.
Скоротити змішані дроби можна двома способами.
Перший: розписати дрібну частину на прості множники і цілу частину тоді не чіпати.
Другий спосіб: перевести спочатку в неправильний дріб, розписати на звичайні множники, потім скоротити дріб. Вже отриманий неправильний дріб перевести у правильний.
Приклади можна побачити на фото.
Ми дуже сподіваємось, що змогли допомогти вам та вашим дітям. Адже на уроках вони дуже часто бувають неуважними, тому доводиться займатися інтенсивніше вдома самостійно.
У цій статті ми докладно розберемо, як проводиться скорочення дробів. Спочатку обговоримо, що називають скороченням дробу. Після цього поговоримо про приведення скоротливого дробу до нескоротного виду. Далі отримаємо правило скорочення дробів і нарешті розглянемо приклади застосування цього правила.
Навігація на сторінці.
Що означає скоротити дріб?
Ми знаємо, що прості дроби поділяються на скорочені і нескоротні дроби . За назвами можна здогадатися, що скоротити дроби можна скоротити, а нескоротні - не можна.
Що означає скоротити дріб? Скоротити дріб- Це означає розділити її чисельник і знаменник на їх позитивний і відмінний від одиниці. Зрозуміло, що в результаті скорочення дробу виходить новий дріб з меншим чисельником і знаменником, причому в силу основної властивості дробу отриманий дріб дорівнює вихідному.
Наприклад, проведемо скорочення звичайного дробу 8/24 , розділивши його чисельник та знаменник на 2 . Іншими словами, скоротимо дріб 8/24 на 2 . Оскільки 8:2=4 і 24:2=12 , то результаті такого скорочення виходить дріб 4/12 , яка дорівнює вихідної дробу 8/24 (дивіться рівні і нерівні дроби). У результаті маємо.
Приведення звичайних дробів до нескоротного виду
Зазвичай кінцевою метою скорочення дробу є одержання нескоротного дробу, який дорівнює вихідному скорочуваному дробу. Ця мета може бути досягнута, якщо провести скорочення вихідного скоротливого дробу на його чисельник і знаменник. В результаті такого скорочення завжди виходить нескоротний дріб. Дійсно, дріб 
є нескоротною, оскільки відомо, що 
і 
- . Тут же скажемо, що найбільший спільний дільник чисельника та знаменника дробу є найбільшим числом, на яку можна скоротити цей дріб.
Отже, приведення звичайного дробу до нескоротного видуполягає в розподілі чисельника та знаменника вихідного скоротливого дробу на їх НОД.
Розберемо приклад, навіщо повернемося до дробу 8/24 і скоротимо його найбільший загальний дільник чисел 8 і 24 , який дорівнює 8 . Так як 8:8 = 1 і 24:8 = 3, то ми приходимо до нескоротного дробу 1/3. Отже, .
Зауважимо, що під фразою «скоротіть дріб» часто мають на увазі приведення вихідного дробу саме до нескоротного виду. Іншими словами, скороченням дробу дуже часто називають розподіл чисельника і знаменника на їхній найбільший спільний дільник (а не на будь-який їхній спільний дільник).
Як скоротити дріб? Правило та приклади скорочення дробів
Залишилося лише розібрати правило скорочення дробів, яке пояснює, як скоротити цей дріб.
Правило скорочення дробівскладається з двох кроків:
- по-перше, знаходиться НОД чисельника та знаменника дробу;
- по-друге, проводиться розподіл чисельника та знаменника дробу на їх НОД, що дає нескоротний дріб, рівний вихідному.
Розберемо приклад скорочення дробуза озвученим правилом.
приклад.
Скоротіть дріб 182/195.
Рішення.
Виконаємо обидва кроки, вказані правилом скорочення дробу.
Спочатку знаходимо НОД(182, 195). Найбільш зручно скористатися алгоритмом Евкліда (дивіться): 195 = 182 · 1 +13, 182 = 13 · 14, тобто, НОД (182, 195) = 13 .
Тепер ділимо чисельник і знаменник дробу 182/195 на 13 , при цьому отримуємо нескоротний дріб 14/15, який дорівнює вихідному дробу. На цьому скорочення дробу закінчено.
Коротко рішення можна записати так: .
Відповідь:
На цьому із скороченням дробів можна й закінчити. Але для повноти картини розглянемо ще два способи скорочення дробів, які зазвичай застосовують у легких випадках.
Іноді чисельник і знаменник дробу, що скорочується, нескладно. Скоротити дріб у цьому випадку дуже просто: потрібно лише прибрати всі загальні множники з чисельника та знаменника.
Слід зазначити, що це метод безпосередньо випливає з правила скорочення дробів, оскільки добуток всіх загальних простих множників чисельника і знаменника і їх найбільшому загальному дільнику.
Розберемо рішення прикладу.
приклад.
Скоротіть дріб 360/2 940 .
Рішення.
Розкладемо чисельник і знаменник на прості множники: 360 = 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 5 і 2940 = 2 · 2 · 3 · 5 · 7 · 7 ? Таким чином, 
.
Тепер позбавляємося загальних множників у чисельнику та знаменнику, для зручності, їх просто закреслюємо: 
.
Нарешті, перемножуємо множники, що залишилися: , і скорочення дробу закінчено.
Ось короткий запис рішення: 
.
Відповідь:
Розглянемо ще один спосіб скорочення дробу, який полягає у послідовному скороченні. Тут на кожному кроці проводиться скорочення дробу на деякий спільний дільник чисельника та знаменника, який або очевидний, або легко визначається за допомогою
Працюючи з дробами, багато учнів допускають одні й самі помилки. А все тому, що вони забувають про елементарні правила арифметики. Сьогодні ми повторимо ці правила на конкретних завданнях, які я даю на заняттях.
Ось завдання, яке я пропоную кожному, хто готується до ЄДІ з математики:
Завдання. Морська свиня їсть 150 г корму на день. Але вона виросла і стала їсти на 20% більше. Скільки грамів корму тепер їсть свиня?
Не правильне рішення. Це завдання на відсотки, що зводиться до рівняння:
Багато (дуже багато) скорочують число 100 у чисельнику і знаменнику дробу:
Ось такої помилки припустилася моя учениця прямо в день написання цієї статті. Червоним відзначені числа, скорочені.
Зайве говорити, що відповідь вийшла неправильною. Судіть самі: свиня їла 150 грам, а стала їсти 3150 грам. Збільшення не так на 20%, а 21 раз, тобто. на 2000%.
Щоб не допускати таких непорозумінь, пам'ятайте основне правило:
Скорочувати можна лише множники. Складники скорочувати не можна!
Таким чином, правильне вирішення попереднього завдання виглядає так:
Червоним відзначені цифри, які скорочуються у чисельнику та знаменнику. Як бачите, у чисельнику стоїть твір, знаменнику - звичайне число. Тому скорочення цілком законне.
Робота з пропорціями
Ще одне проблемне місце — пропорції. Особливо коли змінна стоїть з обох боків. Наприклад:
Завдання. Розв'яжіть рівняння:
Неправильне рішення - у деяких буквально руки сверблять скоротити все на m :
Змінні змінні показані червоним. Виходить вираз 1/4 = 1/5 - повне марення, ці числа ніколи не рівні.
А тепер – правильне рішення. Фактично, це звичайне лінійне рівняння. Вирішується або перенесенням всіх елементів в один бік, або за основною якістю пропорції:
Чимало читачів заперечать: «Де помилка в першому рішенні?» Що ж, розбираймося. Згадаймо правило роботи з рівняннями:
Будь-яке рівняння можна ділити та множити на будь-яке число, відмінне від нуля.
Просікли фішку? Можна ділити тільки числа, відмінні від нуля. Зокрема, можна ділити на змінну m тільки якщо m! = 0. А що робити, якщо все-таки m = 0? Підставимо та перевіримо:
Набули правильну числову рівність, тобто. m = 0 – корінь рівняння. Для інших m != 0 отримуємо вираз виду 1/4 = 1/5, що, звісно, не так. Таким чином, немає коренів, відмінних від нуля.
Висновки: збираємо всі разом
Отже, для розв'язання дрібно-раціональних рівнянь пам'ятайте три правила:
- Скорочувати можна лише множники. Доданки – не можна. Тому вчіться розкладати чисельник і знаменник на множники;
- Основна властивість пропорції: добуток крайніх елементів дорівнює добутку середніх;
- Рівняння можна множити і ділити тільки числа k , відмінні від нуля. Випадок k = 0 треба перевіряти окремо.
Пам'ятайте ці правила і не допускайте помилок.
Поділі чисельника та знаменника дробу на їх спільний дільник, відмінний від одиниці, називають скороченням дробу.
Щоб скоротити звичайний дріб, Треба розділити її чисельник і знаменник на те саме натуральне число.
Це число є найбільшим спільним дільником чисельника та знаменника даного дробу.
Можливі наступні форми запису рішенняприкладів скорочення звичайних дробів.
Студент має право вибрати будь-яку форму запису.
приклади. Спростити дроби.
Скоротимо дріб на 3 (ділимо чисельник на 3;
ділимо знаменник на 3).
Скорочуємо дріб на 7.
Виконуємо зазначені дії в чисельнику та знаменнику дробу.
Отриманий дріб скорочуємо на 5.
Скоротимо цей дріб 4)
на 5·7³- Найбільший загальний дільник (НДД) чисельника та знаменника, який складається із загальних множників чисельника та знаменника, взятих у ступені з найменшим показником.
Розкладемо чисельник і знаменник цього дробу на прості множники.
Отримуємо: 756=2²·3³·7і 1176 = 2? · 3 · 7 ².
Визначаємо НОД (найбільший спільний дільник) чисельника та знаменника дробу 5) .
Це добуток загальних множників, взятих із найменшими показниками.
НОД(756; 1176) = 2²·3·7.
Ділимо чисельник і знаменник даного дробу з їхньої НОД, т. е. на 2²·3·7отримуємо нескоротний дріб 9/14
.
А можна було записати розкладання чисельника та знаменника у вигляді добутку простих множників, не застосовуючи поняття ступеня, а потім провести скорочення дробу, закреслюючи однакові множники у чисельнику та знаменнику. Коли однакових множників не залишиться — перемножуємо множники, що залишилися, окремо в чисельнику і окремо в знаменнику і виписуємо дроб, що вийшов. 9/14 .
І, нарешті, можна було скорочувати цей дріб 5) поступово, застосовуючи ознаки поділу чисел і до чисельника і знаменника дробу. Розмірковуємо так: числа 756 і 1176 закінчуються парною цифрою, отже, обоє поділяються на 2 . Скорочуємо дріб на 2 . Чисельник і знаменник нового дробу - числа 378 і 588 також поділяються на 2 . Скорочуємо дріб на 2 . Помічаємо, що число 294 - парне, а 189 - непарне, і скорочення на 2 вже неможливо. Перевіримо ознаку ділимості чисел 189 і 294 на 3 .
(1+8+9)=18 ділиться на 3 і (2+9+4)=15 ділиться на 3, отже, і числа 189 і 294 поділяються на 3 . Скорочуємо дріб на 3 . Далі, 63 ділиться на 3, а 98 - Ні. Перебираємо інші звичайні множники. Обидва числа поділяються на 7 . Скорочуємо дріб на 7 і отримуємо нескоротний дріб 9/14 .
Щоб зрозуміти, як скорочувати дроби, спочатку розглянемо приклад.
Скоротити дріб - значить, розділити чисельник і знаменник на те саме. І 360, і 420 закінчуються на цифру, тому можемо скоротити цей дріб на 2. У новому дробі і 180, і 210 теж діляться на 2, скорочуємо і цей дріб на 2. У числах 90 і 105 сума цифр ділиться на 3, тому обидва ці числа діляться на 3, скорочуємо дріб на 3. У новому дробі 30 і 35 закінчуються на 0 і 5, значить, обидва числа діляться на 5, тому скорочуємо дріб на 5. Дріб, що вийшов, шість сьомих — нескоротний. Це остаточна відповідь.
До цієї ж відповіді можемо дійти іншим шляхом.
І 360, і 420 закінчуються нулем, отже, вони діляться на 10. Скорочуємо дріб на 10. У новому дробі і чисельник 36, і знаменник 42 діляться на 2. Скорочуємо дріб на 2. У наступному дробі і чисельник 18 і знаменник на 3, отже, скорочуємо дріб на 3. Прийшли до результату – шість сьомих.
І ще один варіант вирішення.
Наступного разу розглянемо приклади скорочення дробів.
Loading...