Нуль ділити на число можна чи не можна. Правила множення та поділу. Математичні дії з нулем

Євген Ширяєв, викладач та керівник Лабораторії математики Політехнічного музею, розповів АіФ.ru про поділ на нуль:

1. Юрисдикція питання

Погодьтеся, особливу провокаційність правилу надає заборона. Як це не можна? Хто заборонив? А як же наші громадянські права?

Ні конституція РФ, ні Кримінальний кодекс, ні навіть статут вашої школи не заперечують проти інтелектуальної дії, що цікавить нас. Отже, заборона не має юридичної сили, і ніщо не заважає прямо тут, на сторінках АіФ.ru, спробувати щось поділити на нуль. Наприклад, тисячу.

2. Розділимо, як вчили

Згадайте, коли ви тільки дізналися, як ділити, перші приклади вирішували з перевіркою множенням: результат, помножений на дільник, мав збігтися зробленим. Не збігся — не вирішили.

приклад 1. 1000: 0 =...

Забудемо на хвилину про заборонене правило і зробимо кілька спроб відгадати відповідь.

Неправильні відсіче перевірка. Перебирайте варіанти: 100, 1, −23, 17, 0, 10 000. Для кожного з них перевірка дасть той самий результат:

100 · 0 = 1 · 0 = − 23 · 0 = 17 · 0 = 0 · 0 = 10 000 · 0 = 0

Нуль множенням все перетворює на себе і ніколи на тисячу. Висновок сформулювати нескладно: жодна кількість не пройде перевірку. Т. е. жодне число не може бути результатом розподілу ненульового числа на нуль. Такий поділ не заборонено, а просто не має результату.

3. Нюанс

Ледве не прогавили одну можливість спростувати заборону. Так, ми визнаємо, що ненульове число не розділиться на 0. Але, може, сам 0 зможе?

приклад 2. 0: 0 = ...

Ваші пропозиції для приватного? 100? Будь ласка: приватна 100, помножена на дільник 0, дорівнює ділимому 0.

Ще варіанти! 1? Теж підходить. І -23, і 17, і все-все-все. У цьому прикладі перевірка на результат буде позитивною для будь-якого числа. І чесно, рішенням у цьому прикладі треба називати не число, а безліч чисел. Усіх. А так недовго домовитися і до того, що Аліса це не Аліса, а Мері-Енн, а обидві — сон кролика.

4. Що там про вищу математику?

Проблема вирішена, нюанси враховані, точки розставлені, все прояснилося — відповіддю для прикладу з розподілом на нуль не може бути жодне число. Такі завдання вирішувати - справа безнадійна і неможлива. А значить… цікаве! Дубль два.

приклад 3. Придумати, як поділити 1000 на 0.

А ніяк. Зате 1000 можна легко ділити на інші числа. Ну, давайте хоча б робити, що виходить, хай навіть змінивши поставлене завдання. А там, дивишся, захопимося, і відповідь сама собою з'явиться. Забуваємо на хвилину про нуль і ділимо на сто:

Сотня далека від нуля. Зробимо крок до нього, зменшивши дільник:

1000: 25 = 40,
1000: 20 = 50,
1000: 10 = 100,
1000: 8 = 125,
1000: 5 = 200,
1000: 4 = 250,
1000: 2 = 500,
1000: 1 = 1000.

Очевидна динаміка: що ближче дільник до нуля, то більше приватна. Тенденцію можна спостерігати і далі, переходячи до дробів і продовжуючи зменшувати чисельник:

Залишилося зауважити, що до нуля ми можемо підійти як завгодно близько, роблячи приватне скільки завгодно великим.

У цьому процесі немає нуля та немає останнього приватного. Ми позначили рух до них, замінивши число на послідовність, що сходить до числа, що нас цікавить:

При цьому мається на увазі аналогічна заміна і для ділимого:

1000 ↔ { 1000, 1000, 1000,... }

Стрілки недаремно поставлені двосторонніми: деякі послідовності можуть сходитися до чисел. Тоді ми можемо поставити у відповідність послідовності її числову межу.

Подивимося на послідовність приватних:

Вона росте необмежено, не прагнучи ні до якого числа і перевершуючи будь-яке. Математики додають до числа символ ∞ щоб мати можливість поряд з такою послідовністю поставити двосторонню стрілку:

Зіставлення числам послідовностей, що мають межу, дозволяє запропонувати рішення до третього прикладу:

При поелементному розподілі послідовності, що сходить до 1000, на послідовність з позитивних чисел, що сходить до 0, отримаємо послідовність, що сходить до ∞.

5. І тут нюанс із двома нулями

Що буде результатом поділу двох послідовностей позитивних чисел, що сходяться на нуль? Якщо вони однакові, то тотожна одиниця. Якщо до нуля швидше сходиться послідовність-ділене, то в приватному послідовність нульовою межею. А коли елементи дільника зменшуються набагато швидше, ніж у діленого, послідовність приватного сильно зростатиме:

Невизначена ситуація. І так і називається: невизначеність виду 0/0 . Коли математики бачать послідовності, відповідні таку невизначеність, де вони кидаються ділити два однакових числа друг на друга, а розуміються, яка з послідовностей швидше біжить до нуля як саме. І в кожному прикладі буде своя конкретна відповідь!

6. У житті

Закон Ома пов'язує силу струму, напругу та опір у ланцюгу. Часто його записують у такій формі:

Дозволимо собі знехтувати акуратним фізичним розумінням та формально подивимося на праву частину як на приватне двох чисел. Уявімо, що вирішуємо шкільне завдання з електрики. В умові дано напругу у вольтах та опір в омах. Питання очевидне, рішення в одну дію.

А тепер заглянемо у визначення надпровідності: це властивість деяких металів мати нульовий електричний опір.

Ну що, вирішимо завдання для надпровідного ланцюга? Просто так підставити R = 0 не вийде, фізика підкидає цікаве завдання, за якою, очевидно, стоїть наукове відкриття. І люди, які зуміли поділити на нуль у цій ситуації, отримали Нобелівську премію. Будь-які заборони корисно вміти оминати!

Ще в школі вчителі нам усім намагалися вбити в голову найпростіше правило: «Будь-яке число, помножене на нуль, дорівнює нулю!», - Але все одно навколо нього постійно виникає купа суперечок. Хтось просто запам'ятав правило та не забиває собі голову питанням «чому?». "Не можна і все тут, тому що в школі так сказали, правило є правило!" Хтось може списати півзошити формулами, доводячи це правило чи, навпаки, його нелогічність.

Хто в результаті прав

Під час цих суперечок обидві людини, які мають протилежні точки зору, дивляться одна на одну, як на барана, і доводять усіма силами свою правоту. Хоча, якщо подивитися на них збоку, то можна побачити не одного, а двох баранів, що упираються один в одного рогами. Відмінність між ними лише в тому, що один трохи менш освічений, ніж другий.

Найчастіше ті, хто вважають це правило невірним, намагаються закликати до логіки ось таким способом:

У мене на столі лежить два яблука, якщо я покладу до них нуль яблук, тобто не покладу жодного, то від цього мої два яблука не зникнуть! Правило нелогічне!

Справді, яблука нікуди не зникнуть, але не через те, що правило нелогічне, а тому що тут використано трохи інше рівняння: 2+0 = 2. Так що такий висновок відкинемо відразу - воно нелогічне, хоч і має зворотну мету - закликати до логіки.

Що таке множення

Спочатку правило множеннябуло визначено тільки для натуральних чисел: множення - це число, додане до себе певну кількість разів, що має на увазі натуральність числа. Таким чином, будь-яке число з множенням можна звести до такого рівняння:

25×3 = 75
25 + 25 + 25 = 75
25×3 = 25 + 25 + 25

З цього рівняння випливає висновок, що множення - це спрощене додавання.

Що таке нуль

Будь-яка людина з дитинства знає: нуль - це порожнеча, Незважаючи на те, що ця порожнеча має позначення, вона не несе за собою взагалі нічого. Стародавні східні вчені вважали інакше - вони підходили до питання філософськи і проводили паралелі між порожнечею і нескінченністю і бачили глибокий сенс у цьому числі. Адже нуль, що має значення порожнечі, ставши поряд з будь-яким натуральним числом, множить його вдесятеро. Звідси і всі суперечки з приводу множення - це число несе у собі стільки суперечливості, що важко не заплутатися. Крім того, нуль постійно використовується для визначення порожніх розрядів у десяткових дробах, це робиться і до, і після коми.

Чи можна множити на порожнечу

Помножувати на нуль можна, але марно, тому що, як не крути, але навіть при множенні негативних чиселвсе одно виходитиме нуль. Досить просто запам'ятати це найпростіше правило і ніколи більше не задаватися цим питанням. Насправді, все простіше, ніж здається на перший погляд. Немає жодних прихованих смислів та таємниць, як вважали давні вчені. Нижче буде наведено саме логічне пояснення, що це множення марно, адже при множенні числа на нього все одно виходитиме одне і те ж - нуль.

Повертаючись на початок, до приводу з приводу двох яблук, 2 помножити на 0 виглядає ось так:

Якщо з'їсти по два яблука п'ять разів, з'їдено 2×5 = 2+2+2+2+2 = 10 яблук
Якщо їх з'їсти по двічі, то з'їдено 2×3 = 2+2+2 = 6 яблук
Якщо з'їсти по два яблука нуль разів, то нічого не буде з'їдено - 2×0 = 0×2 = 0+0 = 0

Адже з'їсти яблуко 0 разів – це означає не з'їсти жодного. Це буде зрозуміло навіть самому маленькій дитині. Як не крути - вийде 0, двійку або трійку можна замінити абсолютно будь-яким числом і вийде абсолютно те саме. А якщо простіше кажучи, то нуль - це нічого, а коли у вас нічого нема, то скільки не помножуй - все одно буде нуль. Чарів не буває, і з нічого не вийде яблуко, навіть при множенні 0 на мільйон. Це найпростіше, зрозуміле та логічне пояснення правила множення на нуль. Людині, далекій від усіх формул і математики, буде достатньо такого пояснення, щоб дисонанс у голові розсмоктався, і все стало на свої місця.

Поділ

З усього перерахованого вище випливає й інше важливе правило:

На нуль ділити не можна!

Це правило нам теж із самого дитинства завзято вбивають у голову. Ми просто знаємо, що не можна і все, не забиваючи собі зайву інформацію. Якщо вам несподівано поставлять питання, чому заборонено ділити на нуль, то більшість розгубиться і не зможе виразно відповісти на найпростіше питання з шкільної програми, тому що навколо цього правила не ходить стільки суперечок та протиріч.

Усі просто зазубрили правило і не ділять на нуль, не підозрюючи, що відповідь криється на поверхні. Додавання, множення, розподіл і віднімання - нерівноправні, повноцінні з перерахованого лише множення і додавання, проте інші маніпуляції з числами будуються їх. Тобто запис 10: 2 є скороченням рівняння 2 * х = 10. Значить, запис 10: 0 таке ж скорочення від 0 * х = 10. Виходить, що розподіл на нуль - це завдання знайти число, множачи яке на 0, вийде 10 А ми вже розібралися, що такого числа не існує, отже, у цього рівняння немає рішення, і воно буде апріорі невірним.

Розкажу тобі дозволь,

Щоб не ділив на 0!

Ріж 1 як хочеш, вздовж,

Тільки не поділи на 0!

Євген ШИРЯЄВ, викладач та керівник Лабораторії математики Політехнічного музею, розповів "АіФ" про поділ на нуль:

1. Юрисдикція питання

Ні конституція, ні Кримінальний кодекс, ні навіть статут вашої школи не заперечують проти інтелектуальної дії, що цікавить нас. Отже, заборона не має юридичної сили, і ніщо не заважає прямо тут, на сторінках "АіФ", спробувати щось поділити на нуль. Наприклад, тисячу.

2. Розділимо, як вчили

Згадайте, коли ви тільки довідалися, як ділити, перші приклади вирішували з перевіркою множенням: результат, помножений на дільник, мав збігтися з поділеним. Не збігся – не вирішили.

приклад 1. 1000: 0 =...

Забудемо на хвилину про заборонене правило і зробимо кілька спроб відгадати відповідь.

100 · 0 = 1 · 0 = − 23 · 0 = 17 · 0 = 0 · 0 = 10 000 · 0 = 0

Нуль множенням все перетворює на себе і ніколи - на тисячу. Висновок сформулювати нескладно: жодна кількість не пройде перевірку. Т. е. жодне число не може бути результатом розподілу ненульового числа на нуль. Такий поділ не заборонено, а просто не має результату.

3. Нюанс

приклад 2. 0: 0 = ...

Ваші пропозиції для приватного? 100? Будь ласка: приватна 100, помножена на дільник 0, дорівнює ділимому 0.

Ще варіанти! 1? Теж підходить. І -23, і 17, і все-все-все. У цьому прикладі перевірка на результат буде позитивною для будь-якого числа. І, по-чесному, рішенням у цьому прикладі треба називати не число, а безліч чисел. Усіх. А так недовго домовитися і до того, що Аліса – це не Аліса, а Мері-Енн, а обидві – сон кролика.

4. Що там про вищу математику?

Проблема вирішена, нюанси враховані, точки розставлені, все прояснилося - відповіддю для прикладу з розподілом на нуль не може бути жодне число. Такі завдання вирішувати - справа безнадійна і неможлива. А значить… цікаве! Дубль два.

приклад 3. Придумати, як поділити 1000 на 0.

А ніяк. Зате 1000 можна легко ділити на інші числа. Ну, давайте хоча б робити те, що виходить, навіть змінивши поставлене завдання. А там, дивишся, захопимося, і відповідь сама собою з'явиться. Забуваємо на хвилину про нуль і ділимо на сто:

Сотня далека від нуля. Зробимо крок до нього, зменшивши дільник:

1000: 25 = 40,
1000: 20 = 50,
1000: 10 = 100,
1000: 8 = 125,
1000: 5 = 200,
1000: 4 = 250,
1000: 2 = 500,
1000: 1 = 1000.

При цьому мається на увазі аналогічна заміна і для ділимого:

1000 ↔ { 1000, 1000, 1000,... }

Подивимося на послідовність приватних:

Зіставлення числам послідовностей, що мають межу, дозволяє запропонувати рішення до третього прикладу:

5. І тут нюанс із двома нулями

Що буде результатом поділу двох послідовностей позитивних чисел, що сходяться на нуль? Якщо вони однакові, то тотожна одиниця. Якщо до нуля швидше сходиться послідовність-ділене, то в приватному - послідовність з нульовою межею. А коли елементи дільника зменшуються набагато швидше, ніж у діленого, послідовність приватного сильно зростатиме:

6. У житті

Закон Ома пов'язує силу струму, напругу та опір у ланцюгу. Часто його записують у такій формі:

Ну що, вирішимо завдання для надпровідного ланцюга? Просто так підставити R = 0 не вийде, фізика підкидає цікаве завдання, за яким, очевидно, стоїть наукове відкриття. І люди, які зуміли поділити на нуль у цій ситуації, здобули Нобелівську премію. Будь-які заборони корисно вміти оминати!

У школі нас усіх навчають простому правилущо ділити на нуль не можна. При цьому, коли ми запитуємо: «Чому?», нам відповідають: «Це просто правило і його треба знати». У цій статті я постараюся пояснити, чому не можна ділити на нуль. Чому не мають рації ті люди, які кажуть, що на нуль ділити можна і тоді вийде нескінченність.

Чому не можна ділити на нуль?

Формально, в математиці, існує лише дві дії. Додавання та множення чисел. Ну що ж тоді з відніманням та поділом? Розглянемо такий приклад. 7-4=3, всі ми знаємо, що сім мінус чотири дорівнюватиме трьом. Насправді цей приклад можна формально розглядати, як спосіб розв'язати рівняння x+4=7. Тобто ми підбираємо таке число, яке в сумі з четвіркою дасть 7. Тоді ми не довго подумаємо і зрозуміємо, що це число дорівнює трьом. Те саме з поділом. Допустимо 12/3. Це буде те саме, що і х*3=12.

Ми підбираємо таке число, яке при множенні на 3 дасть нам 12. даному випадкум це вийде чотири. Це досить очевидно. Що ж із прикладами виду 7/0. Що буде, якщо ми запишемо сім ділити на нуль? Це означає, що ми ніби вирішуємо рівняння виду 0*х=7. Але це рівняння не має рішення, адже якщо нуль помножити на будь-яке число, то завжди вийде нуль. Тобто, рішення немає. Це записують або словами рішень немає, або значком, який означає пусту множину.

Іншими словами

Ось сенс цього правила. Ділити на нуль не можна, тому що відповідне рівняння, нуль помножити на ікс, що дорівнює семи або будь-якому числу, яке ми намагаємося ділити на нуль, не має рішень. Найуважніші можуть сказати, що й ми поділимо нуль на нуль, то вийде досить справедливо, якщо 0*X=0. Все чудово, нуль множимо на якесь число, отримуємо нуль. Але тоді у нас рішенням може бути будь-яка кількість. Якщо ми подивимося х = 1, 0 * 1 = 0, х = 100500, 0 * 100500 = 0. Тут підійде будь-яке число.

То чому ми маємо обирати якесь одне з них? У нас дійсно немає якихось міркувань, через які ми можемо взяти з цих чисел вибрати одне і сказати, що це рішення рівнянь. Тому рішень нескінченно багато, і це теж неоднозначне завдання, в якому вважається, що рішень немає.

Нескінченність

Вище я розповів вам причини, з яких не можна ділити, тепер хочу поговорити з вами про . Спробуймо з обережністю підійти до операції поділу на нуль. Розділимо число 5 спочатку на два. Ми знаємо, що вийде десятковий дріб 2.5. Тепер зменшимо дільник та поділимо 5 на 1, буде 5. Тепер 5 ми поділимо на 0,5. Це те саме, що і п'ять поділимо на одну другу, або те саме, що і 5 * 2, то буде 10. Зверніть увагу, результат поділу, тобто приватне, збільшується: 2,5, 5, 10.

Тепер давайте поділимо 5 на 0.1, це буде те саме, що і 5 * 10 = 50, приватна знову збільшилася. При цьому дільник ми зменшували. Якщо ми поділимо 5 на 0.01, це буде, те саме, що й 5*100=500. Дивіться. Чим менше ми робимо дільник, тим більше стає приватним. Якщо ми 5 поділимо на 0.00001, то вийде 500000.

Підведемо підсумок

Що ж тоді такий поділ на нуль, якщо дивитися ось у цьому значенні? Зауважимо, як ми зменшували наше приватне? Якщо намалювати вісь, то на ній видно, що у нас спочатку була двійка, потім одиниця, потім 0.5, 0.1 і так далі. Ми наближалися до нуля дедалі ближче праворуч, але до нуля ми так і не дійшли. Беремо все менше і менше числоі ділимо на нього наше приватне. Стає дедалі більше. У разі пишуть, що ми ділимо 5 на Х, де ікс нескінченно малий. Тобто він ставатиме все ближче і ближче до нуля. Ось саме в цьому випадку при розподілі п'ятірки на Х ми отримаємо нескінченність. Безкінечно велике число. Тут з'являється нюанс.

Якщо ми наближаємося до нуля праворуч, то це нескінченно мало у нас буде позитивним, і ми отримуємо плюс нескінченність. Якщо ж ми наближаємося до ікса ліворуч, тобто якщо ми спочатку поділимо на -2, потім -1, на -0.5, на -0.1 і так далі. У нас виходитиме негативне приватне. І тоді п'ять ділене на ікс, де ікс буде нескінченно малим, але вже ліворуч, буде одно мінус нескінченності. В даному випадку пишуть: ікс прагне до нуля праворуч, 0+0, показуючи, що до нуля ми прагнемо праворуч. Припустимо якщо ми до трійці прагнули праворуч, у разі пишуть ікс прагне ліворуч. Відповідно до трійки ми прагнули б зліва, записуючи це як ікс прагне до 3-0.

Як графік функцій може допомогти

Зрозуміти це краще допомагає графік функції, який ми проходили ще у школі. Функція називається зворотна залежність, а графік її гіпербола. Виглядає гіпербола в такий спосіб. Це крива, асимптотами якої є вісь ікс та ігорок. Асимптота це прямі, до яких крива прагне, але ніколи їх не досягне. Така ось математична драма. Ми бачимо, що чим ближче ми підходимо до нуля, тим більше стає наше значення ігор. Чим менше стає ікс, тобто, при прагненні, іксі до нуля справа ігор ставати все більше і більше, і спрямовується в плюс нескінченність. Відповідно, при прагненні до нуля ліворуч, коли ікс прагне нуля ліворуч, тобто ікс прагнути 0-0, гравець прагне в нас до мінус нескінченності. Правильно це записується так. Гравець прагне мінус нескінченності, що при Х прагне до нуля зліва. Відповідно ми запишемо ігор прагне до плюс нескінченності, що при іксі прагнуть до нуля праворуч. Тобто по суті ми не ділимо на нуль, ми ділимо на нескінченно малу величину.

І ті, хто кажуть, що ділити на нуль можна, ми отримаємо нескінченність, вони просто маю на увазі, що ділити можна не на нуль, а можна ділити на число близьке до нуля, тобто на нескінченно малу величину. Тоді ми отримаємо плюс нескінченність, якщо ми ділимо на нескінченно мале позитивне і мінус нескінченність ми ділимо на нескінченно мале негативне.

Я сподіваюся, що ця стаття допомогла вам розібратися в питанні, яке мучить більшість із дитинства, чому ж не можна ділити на нуль. Чому нас змушують вивчати якесь правило, а нічого не пояснюють. Сподіваюся стаття допомогла вам розібратися в тому, що дійсно на нуль ділити не можна, а ті, хто кажуть, що на нуль можна ділитися, насправді мають на увазі, що можна ділити на нескінченно малу величину.

У курсі шкільної арифметики всі математичні операції проводяться з речовими числами. Безліч цих чисел (або безперервне впорядковане поле) має ряд властивостей (аксіом): комутативність та асоціативність множення та додавання, існування нуля, одиниці, протилежного та зворотного елементів. Також аксіоми порядку та безперервності, що застосовуються для порівняльного аналізу, дозволяють визначити всі властивості речових чисел.

Оскільки розподіл є операцією, зворотної множення, при розподілі на нуль дійсних чисел неминуче виникнення двох нерозв'язних проблем. По-перше, перевірка результату поділу на нуль за допомогою множення не має числового виразу. Яким би числом не було приватне, якщо його помножити на нуль, ділити отримати неможливо. По-друге, у прикладі 0:0 відповіддю може служити будь-яке число, яке при перемноженні з дільником завжди звертається в нуль.

Поділ на нуль у вищій математиці

Перелічені труднощі поділу на нуль призвели до накладення табу на цю операцію, Крайній мірів рамках шкільного курсу. Однак у вищої математикизнаходять можливості обійти цю заборону.

Наприклад, за рахунок побудови іншої алгебраїчної структури, відмінної від знайомої всім числової прямої. Прикладом такої структури є колесо. Тут існують свої закони та правила. Зокрема, поділ не прив'язаний до множення та перетворюється з бінарної операції (з двома аргументами) на унарну (з одним аргументом), позначається символом /х.

Розширення поля дійсних чисел відбувається за рахунок введення гіперреальних чисел, яке охоплює нескінченно великі та нескінченно малі величини. Такий підхід дозволяє розглядати термін «нескінченність» як кілька. Причому це число при розширенні числової прямої втрачає свій знак, перетворюючись на ідеалізовану точку, що з'єднує два кінці цієї прямої. Такий підхід можна порівняти з лінією зміни дат, коли при переході між двома часовими поясами UTC+12 і UTC-12 можна опинитися в наступного дняабо ж у попередньому. При цьому стає вірним твердження х/0=∞ для будь-яких х≠0.

Щоб усунути невизначеність 0/0, для колеса вводиться новий елемент ⏊=0/0. При цьому в даній структурі алгебри є свої нюанси: 0·х≠0; х-х≠0 в загальному випадку. Також х·/х≠1, оскільки розподіл та множення більше не вважаються зворотними операціями. Але ці особливості колеса добре пояснюються за допомогою тотожностей дистрибутивного закону, що діє в такій структурі алгебри дещо інакше. Більш детальні роз'яснення можна знайти у спеціалізованій літературі.

Алгебра, до якої всі звикли, є, по суті, окремим випадком. складних системнаприклад, того ж колеса. Як бачимо, ділити на нуль у вищій математиці можна. Для цього потрібно вийти за межі звичних уявлень про числа, алгебраїчні операції та закони, яким вони підкоряються. Хоча це цілком природний процес, що супроводжує пошук нових знань.