Сума арифметичної прогресії.
Сума арифметичної прогресії- Штука проста. І за змістом, і за формулою. Але завдання з цієї теми бувають усілякі. Від елементарних до цілком солідних.
Спочатку розберемося із змістом та формулою суми. А потім і вирішуємо. На своє задоволення.) Сенс суми простий, як мукання. Щоб знайти суму арифметичної прогресії, треба просто акуратно скласти всі її члени. Якщо цих членів мало, можна складати без будь-яких формул. Але якщо багато, або дуже багато... додавання напружує.) У цьому випадку рятує формула.
Формула суми виглядає просто:
Розберемося, що за літери входять у формулу. Це багато чого прояснить.
S n - Сума арифметичної прогресії. Результат додавання всіхчленів, з першогопо останній.Це важливо. Складаються саме всечлени поспіль, без перепусток та перескоків. І, саме, починаючи з першого.У завданнях типу знайти суму третього і восьмого членів, або суму членів з п'ятого по двадцятий - пряме застосуванняформули розчарує.)
a 1 - першийчлен прогресії. Тут все зрозуміло, це просто першеЧисло ряду.
a n- Останнійчлен прогресії. Остання кількість ряду. Не дуже звична назва, але, у застосуванні до суми, дуже годиться. Далі самі побачите.
n - Номер останнього члена. Важливо розуміти, що у формулі цей номер збігається з кількістю членів, що складаються.
Визначимося з поняттям останньогочлена a n. Питання на засипку: який член буде останнім,якщо дана нескінченнаарифметична прогресія?)
Для впевненої відповіді треба розуміти елементарний зміст арифметичної прогресії та... уважно читати завдання!)
У завданні на пошук суми арифметичної прогресії завжди фігурує (прямо чи опосередковано) останній член, яким слід обмежитися.Інакше кінцевої, конкретної суми просто не існує.Для вирішення не має значення, яка задана прогресія: кінцева, або нескінченна. Не має значення, як вона задана: поруч чисел, або формулою n-го члена.
Найголовніше - розуміти, що формула працює з першого члена прогресії до члена з номером n.Власне, повна назва формули виглядає так: сума n перших членів арифметичної прогресії.Кількість цих перших членів, тобто. n, Визначається виключно завданням. У завданні вся ця цінна інформація часто зашифровується, так ... Але нічого, в прикладах нижче ми ці секрети розкриваємо.)
Приклади завдань у сумі арифметичної прогресії.
Насамперед, корисна інформація:
Основна складність у завданнях на суму арифметичної прогресії полягає в правильному визначенніелементів формули.
Ці елементи укладачі завдань шифрують з безмежною фантазією.) Тут головне - не боятися. Розуміючи суть елементів, просто їх розшифрувати. Докладно розберемо кілька прикладів. Почнемо із завдання на основі реального ДІА.
1. Арифметична прогресія задана умовою: an = 2n-3,5. Знайдіть суму перших 10 її членів.
Хороше завдання. Легке.) Нам визначення суми за формулою чого треба знати? Перший член a 1, останній член a n, та номер останнього члена n.
Де взяти номер останнього члена n? Та там же, за умови! Там сказано: знайти суму перших 10 членів.Ну і з яким номером буде останній,десятий член?) Ви не повірите, його номер - десятий!) Отже, замість a nу формулу будемо підставляти a 10, а замість n- десятку. Повторюю, номер останнього члена збігається з кількістю членів.
Залишилось визначити a 1і a 10. Це легко вважається за формулою n-го члена, яка дана за умови завдання. Чи не знаєте, як це зробити? Завітайте до попереднього уроку, без цього - ніяк.
a 1= 2 · 1 - 3,5 = -1,5
a 10= 2 · 10 - 3,5 = 16,5
S n = S 10.
Ми з'ясували значення всіх елементів формули суми арифметичної прогресії. Залишається підставити їх, та порахувати:
Ось і всі справи. Відповідь: 75.
Ще завдання з урахуванням ГИА. Трохи складніше:
2. Дана арифметична прогресія (a n), різниця якої дорівнює 3,7; a 1 = 2,3. Знайти суму перших 15 її членів.
Відразу пишемо формулу суми:
Ця формулка дозволяє нам знайти значення будь-якого члена за його номером. Шукаємо простою підстановкою:
a 15 = 2,3 + (15-1) · 3,7 = 54,1
Залишилося підставити всі елементи у формулу суми арифметичної прогресії та порахувати відповідь:
Відповідь: 423.
До речі, якщо у формулу суми замість a nпросто підставимо формулу n-го члена, отримаємо:
Наведемо подібні, отримаємо нову формулу суми членів арифметичної прогресії:
 |
Як бачимо, тут не потрібно n-й член a n. У деяких завданнях ця формула чудово рятує, так... Можна цю формулу запам'ятати. А можна в потрібний момент просто вивести її, як тут. Адже формулу суми і формулу n-го члена треба пам'ятати.)
Тепер завдання у вигляді короткого шифрування):
3. Знайти суму всіх позитивних двоцифрових чисел, кратних трьом.
Ось як! Ні тобі першого члена, ні останнього, ні прогресії взагалі... Як жити?
Прийде думати головою і витягати з умови всі елементи суми арифметичної прогресії. Що таке двоцифрові числа - знаємо. З двох циферок складаються.) Яке двозначне число буде першим? 10, треба думати.) А останнєдвоцифрове число? 99, зрозуміло! За ним уже тризначні підуть...
Кратні трьом... Гм... Це такі числа, які діляться на три націло, ось! Десятка не ділиться на три, 11 не ділиться... 12... ділиться! Так, дещо вимальовується. Вже можна записати ряд за умовою завдання:
12, 15, 18, 21, ... 96, 99.
Чи буде цей ряд арифметичною прогресією? Звісно! Кожен член відрізняється від попереднього на трійку. Якщо члену додати 2, чи 4, скажімо, результат, тобто. нове число, що вже не поділиться націло на 3. До купи можна відразу і різницю арифметичної прогресії визначити: d=3.Стане в нагоді!)
Отже, можна сміливо записати деякі параметри прогресії:
А який буде номер nостаннього члена? Той, хто думає, що 99 – фатально помиляється... Номери – вони завжди поспіль йдуть, а члени у нас – через трійку перескакують. Чи не збігаються вони.
Тут два шляхи вирішення. Один шлях – для надпрацьовитих. Можна розписати прогресію, весь ряд чисел, і порахувати пальчиком кількість членів. Другий шлях - для вдумливих. Потрібно згадати формулу n-го члена. Якщо формулу застосувати до нашого завдання, то отримаємо, що 99 - це тридцятий член прогресії. Тобто. n = 30.
Дивимося на формулу суми арифметичної прогресії:
Дивимося, і радіємо.) Ми витягли з умови завдання все необхідне розрахунку суми:
a 1= 12.
a 30= 99.
S n = S 30.
Залишається елементарна арифметика. Підставляємо числа у формулу та вважаємо:
Відповідь: 1665
Ще один тип популярних завдань:
4. Дана арифметична прогресія:
-21,5; -20; -18,5; -17; ...
Знайти суму членів із двадцятого по тридцять четвертий.
Дивимося на формулу суми і... засмучуємось.) Формула, нагадаю, вважає суму з першогочлена. А в завданні треба рахувати суму з двадцятого...Чи не спрацює формула.
Можна, звичайно, розписати всю прогресію до ряду, та поскладувати члени з 20 по 34. Але... якось тупо і довго виходить, правда?)
Є елегантніше рішення. Розіб'ємо наш ряд на дві частини. Перша частина буде з першого члена до дев'ятнадцятого.Друга частина - з двадцятого до тридцять четвертого.Зрозуміло, що якщо ми порахуємо суму членів першої частини S 1-19, так складемо із сумою членів другої частини S 20-34, отримаємо суму прогресії з першого члена по тридцять четвертий S 1-34. Ось так:
S 1-19 + S 20-34 = S 1-34
Звідси видно, що знайти суму S 20-34можна простим відніманням
S 20-34 = S 1-34 - S 1-19
Обидві суми у правій частині вважаються з першогочлена, тобто. до них цілком застосовна стандартна формула суми. Приступаємо?
Витягуємо з умови завдання парметри прогресії:
d = 1,5.
a 1= -21,5.
Для розрахунку сум перших 19 та перших 34 членів нам потрібні будуть 19-й та 34-й члени. Вважаємо їх за формулою n-го члена, як у задачі 2:
a 19= -21,5 + (19-1) · 1,5 = 5,5
a 34= -21,5 + (34-1) · 1,5 = 28
Залишається нічого. Від суми 34 членів відібрати суму 19 членів:
S 20-34 = S 1-34 - S 1-19 = 110,5 - (-152) = 262,5
Відповідь: 262,5
Одне важливе зауваження! У вирішенні цього завдання є дуже корисна фішка. Замість прямого розрахунку того, що потрібно (S 20-34),ми порахували те, що, здавалося б, не потрібне - S 1-19 .А вже потім визначили і S 20-34, відкинувши від повного результатунепотрібне. Такий "фінт вухами" часто рятує в злих завданнях.)
У цьому уроці ми розглянули завдання, на вирішення яких достатньо розуміти сенс суми арифметичної прогресії. Ну і пару формул знати треба.)
При вирішенні будь-якого завдання на суму арифметичної прогресії рекомендую відразу виписувати дві основні формули цієї теми.
Формулу n-го члена:
Ці формули одразу підкажуть, що потрібно шукати, у якому напрямку думати, щоб вирішити завдання. Допомагає.
А тепер – завдання для самостійного вирішення.
5. Знайти суму всіх двоцифрових чисел, які не діляться націло на три.
Круто?) Підказка прихована у зауваженні до завдання 4. Та й завдання 3 допоможе.
6. Арифметична прогресія задана умовою: a 1 = -5,5; an+1 = an+0,5. Знайдіть суму перших 24 її членів.
Незвично?) Це рекурентна формула. Про неї можна прочитати у попередньому уроці. Не ігноруйте посилання, такі завдання в ДПА часто зустрічаються.
7. Вася накопичив до Свята грошей. Цілих 4550 рублів! І вирішив подарувати найулюбленішій людині (собі) кілька днів щастя). Пожити красиво, ні в чому не відмовляючи. Витратити в перший день 500 рублів, а кожного наступного дня витрачати на 50 рублів більше, ніж у попередній! Поки не скінчиться запас грошей. Скільки днів щастя вийшло у Васі?
Складно?) Допоможе додаткова формула із завдання 2.
Відповіді (безладно): 7, 3240, 6.
Якщо Вам подобається цей сайт...
До речі, у мене є ще кілька цікавих сайтів для Вас.)
Можна потренуватися у вирішенні прикладів та дізнатися свій рівень. Тестування з миттєвою перевіркою. Вчимося – з інтересом!)
можна познайомитися з функціями та похідними.
Або арифметична - це вид впорядкованої числової послідовності, властивості якої вивчають у шкільному алгебри курсі. У статті докладно розглянуто питання, як знайти суму арифметичної прогресії.
Що це за прогрес?
Перш ніж переходити до розгляду питання (як знайти суму арифметичної прогресії), варто зрозуміти, про що йтиметься.
Будь-яка послідовність дійсних чисел, що виходить шляхом додавання (віднімання) деякого значення з кожного попереднього числа, називається алгебраїчною (арифметичною) прогресією. Це визначення в перекладі на мову математики набуває форми:
Тут i - порядковий номер ряду елемента a i . Таким чином, знаючи лише одне початкове число, можна легко відновити весь ряд. Параметр d у формулі називається різницею прогресії.
Можна легко показати, що для ряду чисел, що розглядається, виконується наступна рівність:
a n = a 1 + d * (n – 1).
Тобто знаходження значення n-го по порядку елемента слід n-1 раз додати різницю d до першого елементу a 1 .
Чому дорівнює сума арифметичної прогресії: формула
Перш ніж наводити формулу для зазначеної суми, варто розглянути простий окремий випадок. Дана прогресія натуральних чиселвід 1 до 10, необхідно знайти їхню суму. Оскільки членів у прогресії небагато (10), можна вирішити завдання в лоб, тобто підсумувати всі елементи по порядку.
S10 = 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10 = 55.
Варто врахувати одну цікаву річ: оскільки кожен член відрізняється від наступного на те саме значення d = 1, то попарне підсумовування першого з десятим, другого з дев'ятим і так далі дасть однаковий результат. Дійсно:
11 = 1+10 = 2+9 = 3+8 = 4+7 = 5+6.
Як видно, цих сум всього 5, тобто рівно вдвічі менше, ніж кількість елементів ряду. Тоді, помножуючи число сум (5) на результат кожної суми (11), ви прийдете до отриманого в першому прикладі результату.
Якщо узагальнити ці міркування, можна записати такий вираз:
S n = n*(a 1 + a n)/2.
Цей вираз показує, що зовсім не обов'язково підсумовувати всі елементи, достатньо знати значення першого a 1 і останнього a n , а також загальної кількостідоданків n.
Вважається, що вперше до цієї рівності додумався Гаус, коли шукав рішення на задану його шкільним учителемЗавдання: підсумувати 100 перших цілих чисел.
Сума елементів від m до n: формула
Формула, наведена в попередньому пункті, дає відповідь на питання, як знайти суму арифметичної прогресії (перших елементів), але часто в завданнях необхідно підсумувати ряд чисел, що стоять у середині прогресії. Як це зробити?
Відповісти на це питання найпростіше, розглядаючи наступний приклад: нехай необхідно знайти суму членів від m-го до n-го. Для розв'язання задачі слід подати заданий відрізок від m до n прогресії у вигляді нового числового ряду. У такому поданні m-й член a m буде першим, а a n стане під номером n-(m-1). У цьому випадку, застосовуючи стандартну формулу для суми, вийде такий вираз:
S m n = (n - m + 1) * (a m + a n)/2.
Приклад використання формул
Знаючи, як визначити суму арифметичної прогресії, варто розглянути простий приклад використання наведених формул.
Нижче дана числова послідовність, слід знайти суму її членів, починаючи з 5-го та закінчуючи 12-м:
Наведені числа свідчать, що різниця d дорівнює 3. Використовуючи вираз для n-го елемента, можна знайти значення 5-го та 12-го членів прогресії. Виходить:
a 5 = a 1 + d * 4 = -4 + 3 * 4 = 8;
a 12 = a 1 + d * 11 = -4 + 3 * 11 = 29.
Знаючи значення чисел, що стоять на кінцях алгебраїчної прогресії, що розглядається, а також знаючи, які номери в ряді вони займають, можна скористатися формулою для суми, отриманої в попередньому пункті. Вийде:
S 5 12 = (12 - 5 + 1) * (8 + 29) / 2 = 148.
Варто зазначити, що це значення можна було отримати інакше: спочатку знайти суму перших 12 елементів за стандартною формулою, потім обчислити суму перших 4 елементів за тією ж формулою, після чого відняти з першої другої суми.
Калькулятор онлайн.
Вирішення арифметичної прогресії.
Дано: a n, d, n
Знайти: a 1
Ця математична програма знаходить \(a_1\) арифметичної прогресії, виходячи із заданих користувачем чисел \(a_n, d\) та \(n\).
Числа (a_n) і (d) можна задати не тільки цілі, але і дробові. Причому дробове число можна ввести у вигляді десяткового дробу (\(2,5 \)) і у вигляді звичайного дробу(\(-5\frac(2)(7) \)).
Програма не тільки дає відповідь на завдання, а й відображає процес знаходження рішення.
Цей калькулятор онлайн може бути корисним учням старших класів загальноосвітніх шкіл при підготовці до контрольним роботамта іспитів, під час перевірки знань перед ЄДІ, батькам для контролю вирішення багатьох завдань з математики та алгебри. А може вам занадто накладно наймати репетитора чи купувати нові підручники? Або ви просто хочете якнайшвидше зробити домашнє завданняз математики чи алгебри? У цьому випадку ви можете скористатися нашими програмами з докладним рішенням.
Таким чином ви можете проводити своє власне навчаннята/або навчання своїх молодших братів або сестер, при цьому рівень освіти в галузі розв'язуваних завдань підвищується.
Якщо ви не знайомі з правилами введення чисел, рекомендуємо ознайомитися з ними.
Правила введення чисел
Числа (a_n) і (d) можна задати не тільки цілі, але і дробові.
Число (n) може бути тільки цілим позитивним.
Правила введення десяткових дробів.
Ціла і дрібна частина в десяткових дробах може розділятися як точкою так і комою.
Наприклад, можна вводити десяткові дробитак 2.5 чи так 2,5
Правила введення звичайних дробів.
Як чисельник, знаменник і ціла частина дробу може виступати тільки ціле число.
Знаменник може бути негативним.
При введенні числового дробу чисельник відокремлюється від знаменника знаком розподілу: /
Введення:
Результат: \(-\frac(2)(3) \)
Ціла частинавідокремлюється від дробу знаком амперсанд: &
Введення:
Результат: \(-1\frac(2)(3) \)
Виявлено, що не завантажилися деякі скрипти, необхідні для вирішення цього завдання, і програма може не працювати.
Можливо у вас увімкнено AdBlock.
У цьому випадку вимкніть його та оновіть сторінку.
Щоб рішення з'явилося, потрібно включити JavaScript.
Ось інструкції, як включити JavaScript у вашому браузері.
Т.к. охочих вирішити завдання дуже багато, ваш запит поставлено в чергу.
За кілька секунд рішення з'явиться нижче.
Зачекайте, будь ласка сік...
Якщо ви помітили помилку у рішенні, то про це ви можете написати у формі зворотного зв'язку .
Не забудьте вказати яке завданняви вирішуєте і що вводьте у поля.
Наші ігри, головоломки, емулятори:
Трохи теорії.
Числова послідовність
У повсякденній практицічасто використовується нумерація різних предметів, щоб вказати порядок їхнього розташування. Наприклад, будинки на кожній вулиці нумеруються. У бібліотеці нумеруються читацькі абонементи, а потім розташовуються в порядку присвоєних номерів у спеціальних картотеках.
У ощадному банку за номером особового рахунку вкладника можна легко знайти цей рахунок та подивитися, який вклад на ньому лежить. Нехай на рахунку № 1 лежить внесок а1 рублів, на рахунку № 2 лежить внесок а2 рублів і т. д. Виходить числова послідовність
a 1 , a 2 , a 3 , ..., a N
де N – число всіх рахунків. Тут кожному натуральному числу n від 1 до N поставлено у відповідність число a n.
В математиці також вивчаються нескінченні числові послідовності:
a 1, a 2, a 3, ..., a n, ....
Число a 1 називають першим членом послідовності, число a 2 - другим членом послідовності, число a 3 - третім членом послідовностіі т.д.
Число a n називають n-м (енним) членом послідовності, а натуральне число n – його номером.
Наприклад, у послідовності квадратів натуральних чисел 1, 4, 9, 16, 25, ..., n 2 , (n + 1) 2 ... а 1 = 1 - перший член послідовності; а n = n 2 є n-м членомпослідовності; a n+1 = (n + 1) 2 є (n + 1)-м (ен плюс першим) членом послідовності. Часто послідовність можна задати формулою її n-го члена. Наприклад, формулою \(a_n=\frac(1)(n), \; n \in \mathbb(N) \) задана послідовність \(1, \; \frac(1)(2) , \; \frac( 1)(3) , \; \frac(1)(4) , \dots,\frac(1)(n) , \dots \)
Арифметична прогресія
Тривалість року приблизно дорівнює 365 діб. Більше точне значеннядорівнює \(365\frac(1)(4) \) діб, тому кожні чотири роки накопичується похибка, що дорівнює одній добі.
Для обліку цієї похибки до кожного четвертого року додається доба, і подовжений рік називають високосним.
Наприклад, у третьому тисячолітті високосними роками є роки 2004, 2008, 2012, 2016, ... .
У цій послідовності кожен її член, починаючи з другого, дорівнює попередньому, складеному з одним і тим самим числом 4. Такі послідовності називають арифметичними прогресіями.
Визначення.
Числова послідовність a 1 , a 2 , a 3 , ..., a n , ... називається арифметичною прогресієюякщо для всіх натуральних n виконується рівність
\(a_(n+1) = a_n+d, \)
де d – деяке число.
З цієї формули випливає, що n+1 - an = d. Число d називають різницею арифметичної прогресії.
За визначенням арифметичної прогресії маємо:
\(a_(n+1)=a_n+d, \quad a_(n-1)=a_n-d, \)
звідки
\(a_n= \frac(a_(n-1) +a_(n+1))(2) \), де \(n>1 \)
Таким чином, кожен член арифметичної прогресії, починаючи з другого, дорівнює середньому арифметичному двох сусідніх із ним членів. Цим пояснюється назва «арифметична» прогресія.
Зазначимо, що якщо a 1 і d задані, інші члени арифметичної прогресії можна обчислити за рекурентною формулою a n+1 = a n + d. У такий спосіб неважко обчислити кілька перших членів прогресії, однак, наприклад, для a 100 вже знадобиться багато обчислень. Зазвичай при цьому використовується формула n-го члена. За визначенням арифметичної прогресії
\(a_2=a_1+d, \)
\(a_3=a_2+d=a_1+2d, \)
\(a_4=a_3+d=a_1+3d \)
і т.д.
Взагалі,
\(a_n=a_1+(n-1)d, \)
оскільки n-й член арифметичної прогресії виходить із першого члена додаванням (n-1) разів числа d.
Цю формулу називають формулою n-го члена арифметичної прогресії.
Сума n перших членів арифметичної прогресії
Знайдемо суму всіх натуральних чисел від 1 до 100.
Запишемо цю суму двома способами:
S = l + 2 + 3 + ... + 99 + 100,
S = 100+99+98+...+2+1.
Складемо почленно ці рівності:
2S = 101 + 101 + 101 + ... + 101 + 101.
У цій сумі 100 доданків
Отже, 2S = 101*100, звідки S=101*50=5050.
Розглянемо тепер довільну арифметичну прогресію
a 1, a 2, a 3, ..., a n, ...
Нехай S n - сума n перших членів цієї прогресії:
S n = a 1, a 2, a 3, ..., a n
Тоді сума n перших членів арифметичної прогресії дорівнює
\(S_n = n \cdot \frac(a_1+a_n)(2) \)
Оскільки \(a_n=a_1+(n-1)d \), то замінивши у цій формулі a n отримаємо ще одну формулу для знаходження суми n перших членів арифметичної прогресії:
\(S_n = n \cdot \frac(2a_1+(n-1)d)(2) \)
При вивченні алгебри в загальноосвітній школі(9 клас) однією з важливих темє вивчення числових послідовностей, до яких відносяться прогресії -геометрична та арифметична. У цій статті розглянемо арифметичну прогресію та приклади з рішеннями.
Що являє собою арифметична прогресія?
Щоб це зрозуміти, необхідно дати визначення розглянутої прогресії, а також навести основні формули, які будуть використані при вирішенні завдань.
Арифметична або - це такий набір упорядкованих раціональних чисел, кожен член якого відрізняється від попереднього на певну постійну величину. Ця величина називається різницею. Тобто, знаючи будь-який член упорядкованого ряду чисел та різницю, можна відновити всю арифметичну прогресію.
Наведемо приклад. Наступна послідовність чисел буде арифметичною прогресією: 4, 8, 12, 16, ..., оскільки різниця в цьому випадку дорівнює 4 (8 - 4 = 12 - 8 = 16 - 12). А от набір чисел 3, 5, 8, 12, 17 вже не можна віднести до виду прогресії, оскільки різниця для нього не є постійною величиною (5 - 3 ≠ 8 - 5 ≠ 12 - 8 ≠ 17 - 12).
Важливі формули
Наведемо тепер основні формули, які знадобляться вирішення завдань з використанням арифметичної прогресії. Позначимо символом a n n член послідовності, де n - ціле число. Різницю позначимо латинською літерою d. Тоді справедливі такі вирази:
- Для визначення значення n-го члена підійде формула: n = (n-1) * d + a 1 .
- Для визначення суми перших n доданків: S n = (a n +a 1) * n/2.
Щоб зрозуміти будь-які приклади арифметичної прогресії з рішенням у 9 класі, достатньо запам'ятати ці дві формули, оскільки на їх використанні будуються будь-які завдання типу, що розглядається. Також слід пам'ятати, що різниця прогресії визначається за формулою: d = a n - a n-1 .
Приклад №1: знаходження невідомого члена
Наведемо простий приклад арифметичної прогресії і формул, які необхідно використовувати для вирішення.
Нехай дана послідовність 10, 8, 6, 4, ..., необхідно знайти п'ять членів.
З умови завдання вже випливає, що перші 4 доданки відомі. П'яте можна визначити двома способами:
- Обчислимо для початку різницю. Маємо: d = 8 – 10 = -2. Аналогічним чином можна було взяти будь-які два інших члени, що стоять поряд один з одним. Наприклад, d = 4 – 6 = -2. Оскільки відомо, що d = a n - a n-1 тоді d = a 5 - a 4 , звідки отримуємо: a 5 = a 4 + d. Підставляємо відомі значення: a 5 = 4 + (-2) = 2.
- Другий спосіб вимагає знання різниці аналізованої прогресії, тому спочатку потрібно визначити її, як показано вище (d = -2). Знаючи, що перший член a 1 = 10, скористаємося формулою для числа n послідовності. Маємо: a n = (n - 1) * d + a 1 = (n - 1) * (-2) + 10 = 12 - 2 * n. Підставляючи останній вираз n = 5, отримуємо: a 5 = 12-2 * 5 = 2.
Як видно, обидва способи рішення привели до того самого результату. Зазначимо, що у цьому прикладі різниця d прогресії є негативною величиною. Такі послідовності називаються спадними, оскільки кожен наступний член менший за попередній.
Приклад №2: різниця прогресії
Тепер ускладнимо трохи завдання, наведемо приклад, як знайти різницю прогресії арифметичної.
Відомо, що в деякій алгебраїчній прогресії 1-й член дорівнює 6, а 7-й член дорівнює 18. Необхідно знайти різницю і відновити цю послідовність до 7 члена.
Скористаємося формулою визначення невідомого члена: a n = (n - 1) * d + a 1 . Підставимо до неї відомі дані з умови, тобто числа a 1 і a 7 маємо: 18 = 6 + 6 * d. З цього виразу можна легко обчислити різницю: d = (18 - 6) / 6 = 2. Отже, відповіли першу частину завдання.
Щоб відновити послідовність до 7 члена, слід скористатися визначенням прогресу алгебри, тобто a 2 = a 1 + d, a 3 = a 2 + d і так далі. У результаті відновлюємо всю послідовність: a 1 = 6, a 2 = 6 + 2 = 8, a 3 = 8 + 2 = 10, a 4 = 10 + 2 = 12, a 5 = 12 + 2 = 14, a 6 = 14 + 2 = 16, а 7 = 18.
Приклад №3: складання прогресії
Ускладнимо ще сильніша умовазавдання. Тепер необхідно відповісти на питання, як знаходити арифметичну прогресію. Можна навести наступний приклад: дано два числа, наприклад, - 4 і 5. Необхідно скласти алгебраїчну прогресію так, щоб між цими містилося ще три члени.
Перш ніж розпочинати вирішувати це завдання, необхідно зрозуміти, яке місце займатимуть задані числа у майбутній прогресії. Оскільки між ними будуть ще три члени, тоді a 1 = -4 і a 5 = 5. Встановивши це, переходимо до завдання, яке аналогічне попередньому. Знову для n-го члена скористаємося формулою, отримаємо: a 5 = a 1 + 4*d. Звідки: d = (a 5 - a 1) / 4 = (5 - (-4)) / 4 = 2,25. Тут отримали не ціле значення різниці, проте воно є раціональним числом, тому формули для прогресу алгебри залишаються тими ж самими.
Тепер додамо знайдену різницю до a 1 і відновимо члени прогресії, що бракують. Отримуємо: a 1 = - 4, a 2 = - 4 + 2,25 = - 1,75, a 3 = -1,75 + 2,25 = 0,5, a 4 = 0,5 + 2,25 = 2,75, a 5 = 2,75 + 2,25 = 5, що збіглося з умовою задачі.
Приклад №4: перший член прогресії
Продовжимо наводити приклади арифметичної прогресії із рішенням. У всіх попередніх завданнях було відоме перше число прогресу алгебри. Тепер розглянемо завдання іншого типу: нехай дані два числа, де a 15 = 50 і a 43 = 37. Необхідно знайти, з якого числа починається ця послідовність.
Формули, якими користувалися досі, припускають знання a 1 і d. За умови завдання про ці числа нічого невідомо. Проте випишемо вирази для кожного члена, про який є інформація: a 15 = a 1 + 14 * d і a 43 = a 1 + 42 * d. Отримали два рівняння, у яких 2 невідомі величини (a 1 та d). Це означає, що завдання зводиться до розв'язання системи лінійних рівнянь.
Вказану систему найпростіше вирішити, якщо виразити у кожному рівнянні a 1 , а потім порівняти отримані вирази. Перше рівняння: a 1 = a 15 - 14 * d = 50 - 14 * d; друге рівняння: a 1 = a 43 - 42 * d = 37 - 42 * d. Прирівнюючи ці вирази, отримаємо: 50 - 14 * d = 37 - 42 * d, звідки різниця d = (37 - 50) / (42 - 14) = - 0,464 (наведено лише 3 знаки точності після коми).
Знаючи d, можна скористатися будь-яким із 2 наведених вище виразів для a 1 . Наприклад, першим: a 1 = 50 - 14 * d = 50 - 14 * (- 0,464) = 56,496.
Якщо виникають сумніви в отриманому результаті, можна його перевірити, наприклад, визначити член прогресії, який заданий в умові. Отримаємо: a 43 = a 1 + 42 * d = 56,496 + 42 * (- 0,464) = 37,008. Невелика похибка пов'язані з тим, що з обчисленнях використовувалося округлення до тисячних часток.
Приклад №5: сума
Тепер розглянемо кілька прикладів із рішеннями на суму арифметичної прогресії.
Нехай дана числова прогресія наступного виду: 1, 2, 3, 4, ...,. Як розрахувати суму 100 цих чисел?
Завдяки розвитку комп'ютерних технологійможна це завдання вирішити, тобто послідовно скласти всі числа, що обчислювальна машиназробить відразу, як тільки людина натисне клавішу Enter. Однак завдання можна вирішити в умі, якщо звернути увагу, що представлений ряд чисел є алгебраїчною прогресією, причому її різниця дорівнює 1. Застосовуючи формулу для суми, отримуємо: S n = n * (a 1 + a n) / 2 = 100 * (1 + 100)/2 = 5050.
Цікаво відзначити, що це завдання носить назву "гаусової", оскільки на початку XVIII століття знаменитий німецький ще у віці всього 10 років, зміг вирішити її в умі за кілька секунд. Хлопчик не знав формули для суми алгебраїчної прогресії, але він помітив, що якщо складати попарно числа, що знаходяться на краях послідовності, то виходить завжди один результат, тобто 1 + 100 = 2 + 99 = 3 + 98 = ..., а оскільки цих сум буде рівно 50 (100/2), то для отримання правильної відповіді достатньо помножити 50 на 101.
Приклад №6: сума членів від n до m
Ще одним типовим прикладомсуми арифметичної прогресії є наступний: дано такий чисел ряд: 3, 7, 11, 15, ..., потрібно знайти, чому дорівнюватиме сума його членів з 8 по 14.
Завдання вирішується двома способами. Перший передбачає перебування невідомих членів з 8 по 14, а потім їх послідовне підсумовування. Оскільки доданків небагато, такий спосіб не є досить трудомістким. Проте пропонується вирішити це завдання другим методом, який є більш універсальним.
Ідея полягає в отриманні формули для суми прогресу алгебри між членами m і n, де n > m - цілі числа. Випишемо для обох випадків два вирази для суми:
- S m = m*(a m + a 1)/2.
- S n = n*(a n + a 1)/2.
Оскільки n > m, то очевидно, що 2 сума включає першу. Останній висновок означає, що якщо взяти різницю між цими сумами, і додати до неї член a m (у разі взяття різниці він віднімається із суми S n), то отримаємо необхідну відповідь на завдання. Маємо: S mn = S n - S m + a m = n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m) / 2 + a m = a 1 * (n - m) / 2 + a n * n / 2 + a m * (1-m/2). У цей вираз необхідно підставити формули для a n і a m. Тоді отримаємо: S mn = a 1 * (n - m) / 2 + n * (a 1 + (n - 1) * d) / 2 + (a 1 + (m - 1) * d) * (1 - m / 2) = a 1 * (n - m + 1) + d * n * (n - 1) / 2 + d * (3 * m - m 2 - 2) / 2.
Отримана формула є дещо громіздкою, проте сума S mn залежить від n, m, a 1 і d. У нашому випадку a 1 = 3, d = 4, n = 14, m = 8. Підставляючи ці числа отримаємо: S mn = 301.
Як видно з наведених рішень, всі завдання ґрунтуються на знанні виразу для n-го члена та формули для суми набору перших доданків. Перед тим як приступити до вирішення будь-якого з цих завдань, рекомендується уважно прочитати умову, ясно зрозуміти, що потрібно знайти, і потім приступати до вирішення.
Ще одна порада полягає у прагненні до простоти, тобто якщо можна відповісти на питання, не застосовуючи складні математичні викладки, то необхідно чинити саме так, оскільки в цьому випадку ймовірність припуститися помилки менше. Наприклад, у прикладі арифметичної прогресії з рішенням №6 можна було б зупинитися на формулі S mn = n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m) / 2 + a m і розбити загальне завданняна окремі завдання (в даному випадкуспочатку знайти члени a n та a m).
Якщо виникають сумніви в отриманому результаті, то рекомендується перевіряти, як це було зроблено в деяких наведених прикладах. Як знаходити арифметичну прогресію, з'ясували. Якщо розібратися, це не так складно.
Поняття числової послідовності має на увазі відповідність кожному натуральному числу деякого дійсного значення. Такий ряд чисел може бути як довільним, так і мати певні властивості - прогресія. У разі кожен наступний елемент (член) послідовності можна обчислити з допомогою попереднього.
Арифметична прогресія – послідовність числових значень, В якій її сусідні члени відрізняються між собою на однакове число (подібною властивістю мають всі елементи ряду, починаючи з 2-го). Це число- Різниця між попереднім і наступним членом - постійно і називається різницею прогресії.
Різниця прогресії: визначення
Розглянемо послідовність, що складається з j значень A = a(1), a(2), a(3), a(4) … a(j), j належить множині натуральних чисел N. Арифметична прогресія, згідно свого визначення, – послідовність , в якій a(3) – a(2) = a(4) – a(3) = a(5) – a(4) = … = a(j) – a(j-1) = d. Величина d - потрібна різниця даної прогресії.
d = a(j) – a(j-1).
Виділяють:
- Зростаючу прогресію, у разі d > 0. Приклад: 4, 8, 12, 16, 20, …
- Зменшуючу прогресію, тоді d< 0. Пример: 18, 13, 8, 3, -2, …
Різниця прогресії та її довільні елементи
Якщо відомі 2 довільних члена прогресії (i-ий, k-ий), то встановити різницю для даної послідовності можна на основі співвідношення:
a(i) = a(k) + (i – k)*d, отже d = (a(i) – a(k))/(i-k).
Різниця прогресії та її перший член
Цей вираз допоможе визначити невідому величину лише у випадках, коли відомий номер елемента послідовності.
Різниця прогресії та її сума
Сума прогресії – це сума її членів. Для обчислення сумарного значення її перших j елементів скористайтеся відповідною формулою:
S(j) =((a(1) + a(j))/2)*j, але т.к. a(j) = a(1) + d(j – 1), то S(j) = ((a(1) + a(1) + d(j – 1))/2)*j=(( 2a(1) + d(–1))/2)*j.
Loading...