Поняття середньої лінії трапеції
Спочатку згадаємо, яку фігуру називають трапецією.
Визначення 1
Трапецією називається чотирикутник, у якого дві сторони паралельні, а дві інші не паралельні.
У цьому паралельні боку називаються основами трапеції, а чи не паралельні - бічними сторонами трапеції.
Визначення 2
Середня лінія трапеції – це відрізок, що з'єднує середини бічних сторін трапеції.
Теорема про середню лінію трапеції
Тепер введемо теорему про середню лінію трапеції і доведемо її векторним методом.
Теорема 1
Середня лінія трапеції паралельна основам і дорівнює їх напівсумі.
Доведення.
Нехай нам дана трапеція $ABCD$ з основами $AD\ і BC$. І хай $ MN $ - середня лінія цієї трапеції (рис. 1).
Рисунок 1. Середня лінія трапеції
Доведемо, що $MN||AD\ і MN=\frac(AD+BC)(2)$.
Розглянемо вектор $\overrightarrow(MN)$. Використовуємо правило багатокутника для складання векторів. З одного боку отримаємо, що
З іншого боку
Складемо дві останні рівністі, отримаємо
Так як $ M $ і $ N $ - середини бічних сторін трапеції, будемо мати
Отримуємо:
Отже
З тієї ж рівності (оскільки $\overrightarrow(BC)$ і $\overrightarrow(AD)$ сонаправлены, отже, коллинеарны) отримуємо, що $MN||AD$.
Теорему доведено.
Приклади завдань поняття середньої лінії трапеції
Приклад 1
Бічні сторони трапеції рівні $15\см$ і $17\см$ відповідно. Периметр трапеції дорівнює $52\ см $. Знайти довжину середньої лінії трапеції.
Рішення.
Позначимо середню лінію трапеції через $n$.
Сума бічних сторін дорівнює
Отже, оскільки периметр дорівнює $52\ см$, сума підстав дорівнює
Отже, за теоремою 1 отримуємо
Відповідь:$10\ см$.
Приклад 2
Кінці діаметра кола віддалені від його дотичної відповідно на $9$ см і $5$ см. Знайти діаметр цього кола.
Рішення.
Нехай нам дано коло з центром у точці $O$ та діаметром $AB$. Проведемо дотичну $l$ і побудуємо відстані $AD=9\ см$ і $BC=5\ см$. Проведемо радіус $OH$ (рис. 2).
Малюнок 2.
Оскільки $AD$ і $BC$ - відстані до дотичної, то $AD\bot l$ і $BC\bot l$ і оскільки $OH$ -- радіус, то $OH\bot l$, отже, $OH |\left|AD\right||BC$. З цього отримуємо, що $ABCD$ - трапеція, а $OH$ - її середня лінія. По теоремі 1, отримуємо
Чотирьохкутник, у якого тільки дві сторони паралельні називаються трапецією.
Паралельні сторони трапеції називаються її підставами, а ті сторони, які не паралельні, називаються бічними сторонами. Якщо бічні сторони рівні, така трапеція є рівнобедренной. Відстань між основами називається висотою трапеції.
Середня Лінія Трапеції
Середня лінія – це відрізок, що з'єднує середини бічних сторін трапеції. Середня лінія трапеції паралельна до її підстав.
Теорема:
Якщо пряма, що перетинає середину однієї бічної сторони, паралельна основам трапеції, вона ділить навпіл другу бічну сторону трапеції.
Теорема:
Довжина середньої лінії дорівнює середньому арифметичному довжин її основ
MN || AB || DCAM = MD; BN = NC
MN середня лінія, AB та CD - основи, AD та BC - бічні сторони
MN = (AB + DC)/2
Теорема:
Довжина середньої лінії трапеції дорівнює середньому арифметичному довжин її основ.
Основна задача: Довести, що середня лінія трапеції ділить навпіл відрізок, кінці якого лежать у середині основ трапеції
Середня лінія трикутника
Відрізок, що з'єднує середини двох сторін трикутника, називається середньою лінією трикутника. Вона паралельна третій стороні та її довжина дорівнює половині довжини третьої сторони.
Теорема: Якщо пряма, що перетинає середину однієї сторони трикутника, паралельна іншій стороні даного трикутника, то вона ділить третю сторону навпіл.
AM = MC та BN = NC =>
Застосування властивостей середньої лінії трикутника та трапеції
Розподіл відрізка на певну кількість рівних частин.
Завдання: Розділити відрізок AB на 5 рівних частин.
Рішення:
Нехай p це випадковий промінь, у якого почало це точка А, який не лежить на прямій AB. Ми послідовно відкладаємо 5 рівних сегментів на p AA 1 = A 1 A 2 = A 2 A 3 = A 3 A 4 = A 4 A 5
Ми з'єднуємо A 5 з B і проводимо такі прямі через A 4 , A 3 , A 2 і A 1 , які є паралельними A 5 B. Вони перетинають AB відповідно в точках B 4 , B 3 , B 2 і B 1 . Ці точки поділяють відрізок AB на 5 рівних частин. Справді, з трапеції BB 3 A 3 A 5 бачимо, що BB 4 = B 4 B 3 . Таким же чином, з трапеції B 4 B 2 A 2 A 4 отримуємо B 4 B 3 = B 3 B 2
У той час як з трапеції B3B1A1A3, B3B2 = B2B1.
Тоді з B 2 AA 2 випливає, що B 2 B 1 = B 1 A. Наприкінці отримуємо:
AB 1 = B 1 B 2 = B 2 B 3 = B 3 B 4 = B 4 B
Ясно, що для поділу відрізка AB на іншу кількість рівних частин, нам потрібно проектувати ту саму кількість рівних сегментів на промінь p. І далі продовжувати вищеописаним способом.
У цій статті для вас зроблена чергова добірка завдань із трапецією. Умови однак пов'язані з її середньої лінією. Типи завдань взято з відкритого банку типових завдань. Якщо є бажання, можете освіжити свої теоретичні знання . На блозі вже розглянуті завдання умови яких пов'язані з , а також . Коротко про середню лінію:
Середня лінія трапеції поєднує середини бічних сторін. Вона паралельна основам і дорівнює їх напівсумі.
Перед розв'язанням задач давайте розглянемо теоретичний приклад.
Дано трапецію ABCD. Діагональ АС перетинаючи із середньою лінією утворює точку К, діагональ BD точку L. Довести, що відрізок KL дорівнює половині різниці підстав.
Давайте спочатку відзначимо те що, що середня лінія трапеції ділить навпіл будь-який відрізок кінці якого лежать з її підставах. Цей висновок напрошується сам собою. Уявіть відрізок, що з'єднує дві точки основ, він розіб'є цю трапецію на дві інші. Вийде, що відрізок паралельний основам трапеції і проходить через середину бокової сторони на іншій стороні пройде через її середину.
Так само це ґрунтується на теоремі Фалеса:
Якщо на одній із двох прямих відкласти послідовно кілька рівних відрізків і через їх кінці провести паралельні прямі, що перетинають другу пряму, то вони відсічуть на другій прямі рівні відрізки.
Тобто в даному випадкуДо середина АС та L середина BD. Отже, EK є середня лінія трикутника АВС, LF є середня лінія трикутника DCB. За якістю середньої лінії трикутника:
Можемо тепер виразити відрізок KL через підстави:
Доведено!
Цей приклад наведено не так. У завданнях для самостійного рішенняє саме таке завдання. Тільки в ній не сказано, що відрізок, що з'єднує середини діагоналей, лежить на середній лінії. Розглянемо завдання:
27819. Знайдіть середню лінію трапеції, якщо її основи дорівнюють 30 і 16.
Обчислюємо за такою формулою:
27820. Середня лінія трапеції дорівнює 28, а менша основа дорівнює 18. Знайдіть більшу основу трапеції.
Висловимо більшу основу:
Таким чином:
27836. Перпендикуляр, опущений з вершини тупого кута на більшу основу рівнобедреної трапеціїділить його на частини, що мають довжини 10 і 4. Знайдіть середню лінію цієї трапеції.
Для того, щоб знайти середню лінію, необхідно знати підстави. Основу АВ знайти просто: 10+4=14. Знайдемо DC.
Побудуємо другий перпендикуляр DF:
Відрізки AF, FE та EB дорівнюють відповідно 4, 6 і 4. Чому?
У рівнобедреній трапеції перпендикуляри, опущені до більшої основи, розбивають його на три відрізки. Два з них є катетами відсіканих прямокутних трикутників, рівні один одному. Третій відрізок дорівнює меншому підставі, оскільки при побудові зазначених висот утворюється прямокутник, а прямокутнику протилежні сторони рівні. У цій задачі:
Таким чином, DC=6. Обчислюємо:
27839. Основи трапеції відносяться 2:3, а середня лінія дорівнює 5. Знайдіть меншу основу.
Введемо коефіцієнт пропорційності х. Тоді АВ = 3х, DC = 2х. Можемо записати:
Отже, менша основа дорівнює 2∙2=4.
27840. Периметр рівнобедреної трапеції дорівнює 80, її середня лінія дорівнює бічній стороні. Знайдіть бічну сторону трапеції.
Виходячи з умови можемо записати:
Якщо позначити середню лінію через величину x, то вийде:
Друге рівняння вже можна записати у вигляді:
27841. Середня лінія трапеції дорівнює 7, а одна з її основ більша за іншу на 4. Знайдіть більшу основу трапеції.
Позначимо меншу основу (DC) як х, тоді більша (AB) дорівнюватиме х+4. Можемо записати
Отримали, що менша основа рано п'яти, значить більша дорівнює 9.
27842. Середня лінія трапеції дорівнює 12. Одна з діагоналей ділить її на два відрізки, різниця яких дорівнює 2. Знайдіть більшу основу трапеції.
Більше підставу трапеції ми легко знайдемо якщо обчислимо відрізок ЕО. Він є середньою лінією в трикутнику ADB і АВ=2∙ЕО.
Що маємо? Сказано, що середня лінія дорівнює 12 і різниця відрізків ЕО і ОF дорівнює 2. Можемо записати два рівняння і розв'язати систему:
Зрозуміло, що в даному випадку підібрати пару чисел можна без обчислень, це 5 і 7. Але все-таки вирішимо систему:
Значить ЕО = 12-5 = 7. Таким чином, більша основа дорівнює АВ=2∙ЕО=14.
27844. У рівнобедреній трапеції діагоналі перпендикулярні. Висота трапеції дорівнює 12. Знайдіть її середню лінію.
Відразу відзначимо, що висота, проведена через точку перетину діагоналей в рівнобедреній трапеції, лежить на осі симетрії і розбиває трапецію на дві рівні прямокутні трапеції, тобто підстави цією висотою діляться навпіл.
Здавалося б, для обчислення середньої лінії ми маємо знайти підстави. Тут невеликий глухий кут виникає ... Як знаючи висоту, в даному випадку, обчислити підстави? А ні як! Таких трапецій з фіксованою висотою та діагоналями, що перетинаються по куту 90 градусів, можна побудувати безліч. Як бути?
Подивіться формулу середньої лінії трапеції. Адже нам необов'язково знати самі підстави, достатньо дізнатися про їх суму (або напівсуму). Це ми можемо зробити.
Так як діагоналі перетинаються під прямим кутом, то висотою EF утворюються рівнобедрені прямокутні трикутники:
З вище сказаного слід, що FO=DF=FC, а OE=AE=EB. Тепер запишемо чому дорівнює висота, виражена через відрізки DF і AE:
Отже, середня лінія дорівнює 12.
*Взагалі це завдання, як ви зрозуміли, для усного рахунку. Але, впевнений, представлене детальне поясненнянеобхідно. А так… Якщо поглянути на малюнок (за умови, що при побудові дотримано кута між діагоналями), відразу в очі впадає рівність FO=DF=FC, а OE=AE=EB.
У складі прототипів є типи завдань з трапеціями. Побудована вона на листі в клітину і потрібно знайти середню лінію, сторона клітини зазвичай дорівнює 1, але може бути інша величина.
27848. Знайдіть середню лінію трапеції ABCDякщо сторони квадратних клітин рівні 1.
Все просто, обчислюємо підстави з клітин і використовуємо формулу: (2+4)/2=3
Якщо підстави побудовані під кутом до клітинної сітки, тобто два способи. Наприклад!
Цілі уроку:
1) познайомити учнів із поняттям середньої лінії трапеції, розглянути її властивості та довести їх;
2) навчити будувати середню лінію трапеції;
3) розвивати вміння учнів використовувати визначення середньої лінії трапеції та властивості середньої лінії трапеції під час вирішення завдань;
4) продовжувати формувати в учнів вміння говорити грамотно, використовуючи необхідні математичні терміни; доводити свою думку;
5) розвивати логічне мислення, пам'ять, увага.
Хід уроку
1. Перевірка домашнього завдання відбувається протягом уроку. Домашнє завдання було усним, згадати:
а) визначення трапеції; види трапецій;
б) визначення середньої лінії трикутника;
в) властивість середньої лінії трикутника;
г) ознака середньої лінії трикутника.
2. Вивчення нового матеріалу.
а) На дошці зображено трапецію ABCD.
б) Вчитель пропонує згадати визначення трапеції. На кожній парті є схема-підказка, яка допомагає згадати основні поняття теми “Трапеція” (див. Додаток 1). Додаток 1 видається кожну парту.
Учні зображують трапецію ABCD у зошиті.
в) Вчитель пропонує згадати, як і темі зустрічалося поняття середньої лінії (“Середня лінія трикутника”). Учні згадують визначення середньої лінії трикутника та її властивість.
д) Записують визначення середньої лінії трапеції, зображуючи їх у зошити.
Середньою лінієютрапеції називається відрізок, що з'єднує середини її бічних сторін.
Властивість середньої лінії трапеції цьому етапі залишається не доведеним, тому наступний етап уроку передбачає роботу над доказом якості середньої лінії трапеції.
Теорема. Середня лінія трапеції паралельна її основам і дорівнює їх напівсумі.
Дано: ABCD - трапеція,
MN – середня лінія ABCD
Довести, що:
1. BC || MN || AD.
2. MN = (AD + BC).
Можна виписати деякі наслідки, що випливають із умови теореми:
AM=MB, CN=ND, BC || AD.
На підставі перелічених властивостей довести необхідне неможливо. Система питань та вправ має підвести учнів до бажання пов'язати середню лінію трапеції із середньою лінією якогось трикутника, властивості якої вони знають. Якщо пропозицій не буде, то можна поставити запитання: як побудувати трикутник, для якого відрізок MN був би середньою лінією?
Запишемо додаткову побудову для одного з випадків.
Проведемо пряму BN, що перетинає продовження сторони AD у точці K.
З'являються додаткові елементи – трикутники: ABD, BNM, DNK, BCN. Якщо доведемо, що BN = NK, це означатиме, що MN – середня лінія ABD, а далі можна буде скористатися властивістю середньої лінії трикутника і довести необхідне.
Доведення:
1. Розглянемо BNC і DNK, у яких:
а) CNB = DNK (властивість вертикальних кутів);
б) BCN = NDK (властивість внутрішніх навхрест лежачих кутів);
в) CN = ND (за наслідком з умови теореми).
Значить BNC = DNK (на стороні та двох прилеглих до неї кутах).
Що й потрібно було довести.
Доказ можна провести на уроці усно, а вдома відновити та записати у зошиті (на розсуд вчителя).
Необхідно сказати і про інші можливі способи доказу цієї теореми:
1. Провести одну з діагоналей трапеції та використовувати ознаку та властивість середньої лінії трикутника.
2. Провести CF || BA і розглянути паралелограм ABCF та DCF.
3. Провести EF || BA і розглянути рівність FND та ENC.
ж) На цьому етапі задається домашнє завдання: п. 84, підручник за ред. Атанасяна Л.С. (Доказ властивості середньої лінії трапеції векторним способом), записати в зошит.
з) Розв'язуємо задачі на використання визначення та властивості середньої лінії трапеції за готовими кресленнями (див. Додаток 2). Додаток 2 видається кожному учневі, і розв'язання завдань оформляється цьому ж аркуші в короткій формі.
Площа трапеції. Вітаю вас! У цій публікації ми розглянемо зазначену формулу. Чому вона саме така та як її зрозуміти. Якщо буде розуміння, то і вчити її вам не потрібно. Якщо ж ви просто хочете подивитися цю формулу і при чому терміново, то одразу можете прокрутити сторінку вниз))
Тепер докладно та по порядку.
Трапеція це чотирикутник, дві сторони цього чотирикутника паралельні, дві інші немає. Ті, що не є паралельними – це підстави трапеції. Дві інші називаються бічними сторонами.
Якщо бічні сторони рівні, то трапеція називається рівнобедреною. Якщо одна з бічних сторін перпендикулярна до основ, то така трапеція називається прямокутною.
У класичному виглядітрапецію зображують наступним чином - більша основа знаходиться внизу, відповідно менша вгорі. Але ніхто не забороняє зображати її і навпаки. Ось ескізи:
Наступне важливе поняття.
Середня лінія трапеції – це відрізок, який з'єднує середини бічних сторін. Середня лінія паралельна основам трапеції і дорівнює їх напівсумі.
Тепер давайте вникнемо глибше. Чому так?
Розглянемо трапецію з основами a і bта із середньою лінією l, і виконаємо деякі додаткові побудови: через основи проведемо прямі, а через кінці середньої лінії перпендикуляри до перетину з основами:
*Буквенні позначення вершин та інших точок не введені навмисне, щоб уникнути зайвих позначень.
Подивіться, трикутники 1 і 2 дорівнюють другою ознакою рівності трикутників, трикутники 3 і 4 теж саме. З рівності трикутників випливає рівність елементів, а саме катетів (вони позначені відповідно синім та червоним кольором).
Тепер увага! Якщо ми подумки «відріжемо» від нижньої основи синій і червоний відрізок, то залишиться відрізок (це сторона прямокутника) рівний середньої лінії. Далі, якщо ми «приклеїмо» відрізані синій та червоний відрізок до верхньої основи трапеції, то у нас вийде також відрізок (це теж сторона прямокутника) рівний середній лінії трапеції.
Вловили? Виходить, що сума підстав дорівнюватиме двом середнім лініям трапеції:
Подивитися ще одне пояснення
Зробимо наступне - побудуємо пряму трапеції, що проходить через нижню основу, і пряму, яка пройде через точки А і В:
Отримаємо трикутники 1 і 2, вони рівні по стороні та прилеглим до неї кутам (друга ознака рівності трикутників). Це означає, що отриманий відрізок (на ескізі він позначений синім) дорівнює верхньому підставі трапеції.
Тепер розглянемо трикутник:
*Середня лінія даної трапеції та середня лінія трикутника збігаються.
Відомо, що трикутника дорівнює половині паралельної їй основи, тобто:
Добре, розібралися. Тепер про площу трапеції.
Площа трапеції формула:
Кажуть: площа трапеції дорівнює добутку напівсуми її підстав та висоти.
Тобто, виходить, що вона дорівнює добутку середньої лінії та висоти:
Ви, мабуть, помітили, що це очевидно. Геометрично це можна сказати так: якщо ми подумки відріжемо від трапеції трикутники 2 і 4 і покладемо їх відповідно на трикутники 1 і 3:
То в нас вийде прямокутник за площею рівний площінашої трапеції. Площа цього прямокутника дорівнюватиме добутку середньої лінії та висоти, тобто можемо записати:
Але річ тут не в записі, звичайно, а в розумінні.
Завантажити (переглянути) матеріал статті у форматі *pdf
На цьому все. Успіху вам!
З повагою, Олександр.
Loading...