Розподіл багаточленів "стовпчиком" ("куточком"). Поділ багаточленів куточком Розділити вираз на вираз онлайн

Твердження

залишком неповним приватним.

Зауваження

Для будь-яких багаточленів $A(x)$ і $B(x)$ (ступінь $B(x)$ більше 0) існують єдині багаточлени $Q(x)$ і $R(x)$ за умови затвердження.

1. Залишок від поділу багаточлена $x^(4) + 3x^(3) +5$ на $x^(2) + 1$ дорівнює $3x + 4$:$x^(4) + 3x^(3) +5 = (x^(2) + 3x +1)(x^(2) + 1) +3x + 4.$
2. Залишок від поділу багаточлена $x^(4) + 3x^(3) +5$ на $x^(4) + 1$ дорівнює $3x^(3) + 4$:$x^(4) + 3x^( 3) +5 = 1 \cdot (x^(2) + 1) +3x^(3) + 4.$
3. Залишок від поділу багаточлена $x^(4) + 3x^(3) +5$ на $x^(6) + 1$ дорівнює $x^(4) + 3x^(3) +5$:$x^( 4) + 3x^(3) +5 = 0 \cdot (x^(6) + 1) + x^(4) + 3x^(3) +5.$

Твердження

Для будь-яких двох багаточленів $A(x)$ і $B(x)$ (де ступінь багаточлена $B(x)$ ненульова) існує подання у вигляді багаточлена $A(x)$ у вигляді $A(x) = Q (x)B(x) + R(x)$, де $Q(x)$ і $R(x)$ - багаточлени і ступінь $R(x)$ менше ступеня $B(x).$

Доказ

Будемо доводити твердження індукцією за рівнем многочлена $A(x).$ Позначимо її $n$. Якщо $n = 0$, твердження вірне: $A(x)$ можна подати як $A(x) = 0 \cdot B(x) + A(x).$ Тепер, нехай твердження доведено для багаточленів ступеня $n \ leq m$. Доведемо затвердження для багаточленів ступеня $k= n+1.$

Нехай ступінь багаточлена $ B (x) $ дорівнює $ m $. Розглянемо три випадки: $k< m$, $k = m$ и $k >і доведемо твердження для кожного з них.

1. $k< m$
   Багаточлен $A(x)$ можна представити як

   $A(x) = 0 \cdot B(x) + A(x).$

   Твердження виконане.

2. $k = m$
   Нехай багаточлени $A(x)$ і $B(x)$ мають вигляд

   $A(x) = a_(n+1)x^(n+1) + a_(n)x^(n) + \dots + a_(1)x + a_(0), \: \mbox(де ) \: a_(n+1) \neq 0;

   $B(x) = b_(n+1)x^(n+1) + b_(n)x^(n) + \dots + b_(1)x + b_(0), \: \mbox(де ) \: b_(n+1) \neq 0.$

   Уявимо $A(x)$ як

   $A(x) = \dfrac(a_(n+1))(b_(n+1))B(x) - \Big(\dfrac(a_(n+1))(b_(n+1)) B(x) - A(x)\Big).

   Зауважимо, що ступінь багаточлена $\dfrac(a_(n+1))(b_(n+1))B(x) - A(x)$ не більше $n+1$, тоді це подання шукане та твердження виконане.

3. $k > m$
   Представимо багаточлен $A(x)$ у вигляді

   $A(x) = x(a_(n+1)x^(n) + a_(n)x^(n-1) + \dots + a_(1)) + a_(0), \: \mbox (де) \: a_(n+1) \neq 0.$

   Розглянемо многочлен $A"(x) = a_(n+1)x^(n) + a_(n)x^(n-1) + \dots + a_(1).$ Для нього індукційне припущення виконано, тому його можна як $A"(x) = Q"(x)B(x) + R"(x)$, де ступінь многочлена $R"(x)$ менше $m$, тоді подання для $A(x) $ можна переписати як

   $A(x) = x(Q"(x)B(x) + R"(x)) + a_(0) = xQ"(x)B(x) + xR"(x) + a_(0) .$

   Зауважимо, що ступінь багаточлена $xR"(x)$ менше, ніж $m+1$, тобто менше, ніж $k$. Тоді для $xR"(x)$ виконано індукційне припущення і його можна представити як $ xR"(x) = Q""(x)B(x) + R""(x)$, де ступінь багаточлена $R""(x)$ менше $m$. Перепишемо подання для $A(x)$ як

   $A(x) = xQ"(x)B(x) + Q""(x)B(x) + R""(x) + a_(0) =$

   $= (xQ"(x)+xQ""(x))B(x) + R""(x) + a_(0).$

   Ступінь багаточлена $R""(x) + a_(0)$ менше $m$, тому затвердження виконане.

Твердження доведене.

У цьому многочлен $R(x)$ називається залишкомвід поділу $A(x)$ на $B(x)$, а $Q(x)$ - неповним приватним.

Якщо залишок $R(x)$ - нульовий багаточлен, то кажуть, що $A(x)$ поділяється на $B(x)$.

Наводиться доказ, що неправильний дріб, складений із багаточленів, можна подати у вигляді суми багаточлена та правильного дробу. Докладно розібрано приклади поділу багаточленів куточком та множення стовпчиком.

Зміст

Теорема

Нехай P k (x), Q n (x)- багаточлени від змінної x ступенів k і n відповідно, причому k ≥ n . Тоді багаточлен P k (x)можна уявити єдиним способом у наступному вигляді:
(1) P k (x) = S k-n (x) Q n (x) + U n-1 (x),
де S k-n (x)- багаточлен ступеня k-n, U n- 1 (x)- багаточлен ступеня не вище n- 1 , або нуль.

Доказ

За визначенням багаточлена:
;
;
;
,
де p i , q i - Відомі коефіцієнти, S i , U i - невідомі коефіцієнти.

Введемо позначення:
.
Підставимо в (1) :
;
(2) .
Перший член правої частини - це многочлен ступеня k . Сума другого та третього членів - це багаточлен ступеня не вище k - 1 . Прирівняємо коефіцієнти при x k :
p k = s k-n q n.
Звідси sk-n = pk/qn.

Перетворимо рівняння (2) :
.
Введемо позначення: .
Оскільки s k-n = p k / q n то коефіцієнт при x k дорівнює нулю. Тому - це багаточлен ступеня не вище k - 1 , . Тоді попереднє рівняння можна переписати у вигляді:
(3) .

Це рівняння має той самий вигляд, що й рівняння (1) тільки значення k стало на 1 менше. Повторюючи цю процедуру k-n разів, одержуємо рівняння:
,
з якого визначаємо коефіцієнти многочлена U n- 1 (x).

Отже, ми визначили всі невідомі коефіцієнти s i, ul. Причому s k-n ≠ 0 . Лемма доведена.

Розподіл багаточленів

Розділивши обидві частини рівняння (1) на Q n (x), Отримаємо:
(4) .
За аналогією з десятковими числами, S k-n (x)називається цілою частиною дробу або приватним, U n- 1 (x)- Залишком від поділу. Дроби багаточленів, у яких ступінь багаточлена в чисельнику менше ступеня багаточлена в знаменнику називається правильним дробом. Дроби багаточленів, у яких ступінь багаточлена в чисельнику більший або дорівнює ступеню багаточлена в знаменнику називається неправильним дробом.

Рівняння (4) показує, що будь-який неправильний дріб багаточленів можна спростити, представивши його у вигляді суми цілої частини та правильного дробу.

За своєю суттю, цілі десяткові числа є багаточленами, у яких змінна дорівнює числу 10 . Наприклад, візьмемо число 265847. Його можна подати у вигляді:
.
Тобто це багаточлен п'ятого ступеня від 10 . Цифри 2, 6, 5, 8, 4, 7 є коефіцієнтами розкладання числа за ступенями числа 10.

Тому до многочленів можна застосувати правило розподілу куточком (іноді його називають розподілом у стовпчик), що застосовується до поділу чисел. Єдина відмінність полягає в тому, що при розподілі багаточленів не потрібно переводити числа більше дев'яти у старші розряди. Розглянемо процес розподілу многочленів куточком на конкретних прикладах.

Приклад поділу багаточленів куточком

.

Тут у чисельнику стоїть багаточлен четвертого ступеня. У знаменнику - багаточлен другого ступеня. Оскільки 4 ≥ 2 , то дріб неправильний. Виділимо цілу частину, розділивши багаточлени куточком (у стовпчик):

Наведемо докладний опис процесу розподілу. Вихідні багаточлени записуємо в лівий та правий стовпчики. Під багаточленом знаменника, у правому стовпчику, проводимо горизонтальну межу (куточок). Нижче за цю рису, під куточком, буде ціла частина дробу.

1.1 Знаходимо перший член цілої частини (під куточком). І тому розділимо старший член чисельника на старший член знаменника: .

1.2 Примножуємо 2 x 2на x 2 - 3 x + 5:
. Результат записуємо в лівий стовпчик:

1.3 Беремо різницю багаточленів у лівому стовпчику:

.

Отже, ми отримали проміжний результат:
.

Дріб у правій частині неправильний, оскільки ступінь багаточлена в чисельнику ( 3 ) більше або дорівнює ступені багаточлена в знаменнику ( 2 ). Повторюємо обчислення. Тільки тепер чисельник дробу знаходиться в останньому рядку лівого стовпчика.
2.1 Розділимо старший член чисельника на старший член знаменника: ;

2.2 Помножуємо на знаменник: ;

2.3 І віднімаємо з останнього рядка лівого стовпчика: ;


Проміжний результат:
.

Знову повторюємо обчислення, оскільки у правій частині стоїть неправильний дріб.
3.1 ;
3.2 ;
3.3 ;


Отже, ми отримали:
.
Ступінь многочлена в чисельнику правого дробу менше ступеня багаточлена знаменника, 1 < 2 . Тому дріб – правильний.

;
2 x 2 - 4 x + 1- Це ціла частина;
x - 8 - Залишок від розподілу.

Приклад 2

Виділити цілу частину дробу та знайти залишок від розподілу:
.

Виконуємо ті ж дії, що й у попередньому прикладі:

Тут залишок від розподілу дорівнює нулю:
.

Множення багаточленів стовпчиком

Також можна множити багаточлени стовпчиком, аналогічно до множення цілих чисел. Розглянемо конкретні приклади.

Приклад множення багаточленів стовпчиком

Знайти добуток багаточленів:
.

1

2.1
.

2.2
.

2.3
.
Результат записуємо в стовпчик, вирівнюючи ступеня x.

3
;
;
;
.

Зауважимо, що можна було записувати лише коефіцієнти, а ступеня змінної х можна було опустити. Тоді множення стовпчиком багаточленів виглядатиме так:

Приклад 2

Знайти твір багаточленів стовпчиком:
.

При множенні багаточленів стовпчиком важливо записувати однакові ступеня змінної x один під одним. Якщо деякі ступеня x пропущені, їх слід записувати явно, помноживши на нуль, або залишати прогалини.

У цьому прикладі деякі ступені пропущені. Тому запишемо їх явно, помноженими на нуль:
.
Помножуємо багаточлени стовпчиком.

1 Записуємо вихідні багаточлени один під одним у стовпчик і проводимо межу.

2.1 Примножуємо молодший член другого багаточлена на перший багаточлен:
.
Результат записуємо у стовпчик.

2.2 Наступний член другого многочлена дорівнює нулю. Тому його твір на перший багаточлен також дорівнює нулю. Нульовий рядок можна записувати.

2.3 Помножуємо наступний член другого багаточлена на перший багаточлен:
.
Результат записуємо в стовпчик, вирівнюючи ступеня x.

2.3 Помножуємо наступний (старший) член другого багаточлена на перший багаточлен:
.
Результат записуємо в стовпчик, вирівнюючи ступеня x.

3 Після того, як всі члени другого многочлена помножили на перший, проводимо межу і складаємо члени з однаковими ступенями x:
.

Загальний вигляд одночлена

f(x)=ax n, де:

-a- Коефіцієнт, який може належати будь-якій з множин N, Z, Q, R, C

-x- змінна

-nпоказник ступеня, що належить множині N

Два одночлени подібні, якщо вони мають ту саму змінну і однаковий показник ступеня.

Приклади: 3x 2і -5x 2; ½x 4і 2√3x 4

Сума одночленів, не подібних один до одного, називається багаточленом (або поліномом). У цьому випадку одночлени є складовими полінома. Поліном, що містить два доданки, називається біномом (або двочленом).
Приклад: p(x)=3x 2 -5; h(x)=5x-1
Поліном, що містить три доданки, називається тричленом.

Загальний вигляд багаточлена з однією змінною

де:

• a n ,a n-1 ,a n-2 ,...,a 1 ,a 0- Коефіцієнти полінома. Вони можуть бути натуральними, цілими, раціональними, дійсними чи комплексними числами.
• a n- Коефіцієнт при доданку з найбільшим показником ступеня (провідний коефіцієнт)
• a 0- Коефіцієнт при доданку з найменшим показником ступеня (вільний член, або константа)
• n- ступінь полінома

Приклад 1
p(x)=5x 3 -2x 2 +7x-1

• поліном третього ступеня з коефіцієнтами 5, -2, 7 і -1
• 5 - провідний коефіцієнт
• -1 - вільний член
• x- змінна

Приклад 2
h(x)=-2√3x 4 +½x-4

• поліном четвертого ступеня з коефіцієнтами -2√3,½і -4
• -2√3 - провідний коефіцієнт
• -4 - вільний член
• x- змінна

Поділ поліномів

p(x)і q(x)- два поліноми:
p(x)=a n x n +a n-1 x n-1 +...+a 1 x 1 +a 0
q(x)=a p x p +a p-1 x p-1 +...+a 1 x 1 +a 0

Щоб знайти приватне та залишок від поділу p(x)на q(x)потрібно використовувати наступний алгоритм:

1. Ступінь p(x)має бути більшою чи рівною мірою q(x).
2. Ми повинні записати обидва поліноми в порядку зниження ступеня. Якщо в p(x)немає члена з будь-якою мірою, його треба дописати з коефіцієнтом 0.
3. Провідний член p(x)ділиться на провідний член q(x), і результат записується під роздільною лінією (у знаменнику).
4. Помножуємо отриманий результат на всі члени q(x)та записуємо результат із протилежними знаками під членами p(x)з відповідними ступенями.
5. Складаємо почленно складові з однаковими ступенями.
6. До результату приписуємо члени, що залишилися. p(x).
7. Ділимо провідний член отриманого полінома на перший член полінома q(x)та повторюємо кроки 3-6.
8. Ця процедура повторюється доти, доки знову отриманий поліном не матиме меншого ступеня, ніж q(x). Цей поліном буде залишком від поділу.
9. Поліном, записаний під роздільною лінією, є результатом поділу (приватним).

Приклад 1
Крок 1 і 2) $p(x)=x^5-3x^4+2x^3+7x^2-3x+5 q(x)=x^2-x+1$

3) x 5 -3x 4 +2x 3 +7x 2 -3x+5

4) x 5 -3x 4 +2x 3 +7x 2 -3x+5

5) x 5 -3x 4 +2x 3 +7x 2 -3x+5

6) x5-3x4+2x3+7x2-3x+5

/ -2x 4 -x 3 +7x 2 -3x+5

7) x 5 -3x 4 +2x 3 +7x 2 -3x+5

/ -2x 4 +x 3 +7x 2 -3x+5

2x4 -2x3 +2x2

/ -x 3 +9x 2 -3x+5

8) x 5 -3x 4 +2x 3 +7x 2 -3x+5

/ -2x 4 -x 3 +7x 2 -3x+5

2x4 -2x3 +2x2

/ -x 3 +9x 2 -3x+5

/ 6x-3 СТОП

x 3 -2x 2 -x+8 --> C(x) Приватне

Відповідь: p(x) = x 5 - 3x 4 + 2x 3 + 7x 2 - 3x + 5 = (x 2 - x + 1)(x 3 - 2x 2 - x + 8) + 6x - 3

Приклад 2
p(x)=x 4 +3x 2 +2x-8
q(x)=x 2 -3x

X 4+0x3+3x2+2x-8

/ 3x 3 +3x 2 +2x-8

/ 38x-8 r(x) СТОП

x 2 +3x+12 --> C(x) Приватне

Відповідь: x 4 + 3x 2 + 2x - 8 = (x 2 - 3x) (x 2 + 3x + 12) + 38x - 8

Поділ на поліном першого ступеня

Цей поділ можна виконати з використанням вищезазначеного алгоритму або навіть швидше, якщо скористатися методом Горнера.
Якщо f(x)=a n x n +a n-1 x n-1 +...+a 1 x+a 0, поліном можна переписати у вигляді f(x)=a 0 +x(a 1 +x(a 2 +...+x(a n-1 +a n x)...))

q(x)- поліном першого ступеня ⇒ q(x)=mx+n
Тоді поліном у приватному матиме ступінь n-1.

За методом Горнера $x_0=-\frac(n)(m)$.
b n-1 = a n
b n-2 = x 0. b n-1 +a n-1
b n-3 = x 0. b n-2 +a n-2
...
b 1 =x 0 .b 2 +a 2
b 0 =x 0 .b 1 +a 1
r=x 0 .b 0 +a 0
де b n-1 x n-1 +b n-2 x n-2 +...+b 1 x+b 0- Приватне. Залишком буде поліном нульового ступеня, оскільки ступінь полінома в залишку має бути меншим, ніж ступінь дільника.
Поділ із залишком ⇒ p(x)=q(x).c(x)+r ⇒ p(x)=(mx+n).c(x)+rякщо $x_0=-\frac(n)(m)$
Зазначимо, що p(x 0)=0.c(x 0)+r ⇒ p(x 0)=r

Приклад 3
p(x)=5x 4 -2x 3 +4x 2 -6x-7
q(x)=x-3
p(x)=-7+x(-6+x(4+x(-2+5x)))
x 0 =3

b 3 =5
b 2 = 3.5-2 = 13
b 1 =3.13+4=43 ⇒ c(x)=5x 3 +13x 2 +43x+123; r=362
b 0 = 3.43-6 = 123
r=3.123-7=362
5x 4 -2x 3 +4x 2 -6x-7=(x-3)(5x 3 +13x 2 +43x+123)+362

Приклад 4
p(x)=-2x 5 +3x 4 +x 2 -4x+1
q(x)=x+2
p(x)=-2x 5 +3x 4 +0x 3 +x 2 -4x+1
q(x)=x+2
x 0 =-2
p(x)=1+x(-4+x(1+x(0+x(3-2x)))))

b 4 =-2          b 1 = (-2). (-14) +1 = 29
b 3 =(-2).(-2)+3=7     b 0 =(-2).29-4=-62
b 2 =(-2).7+0=-14     r=(-2).(-62)+1=125
⇒ c(x)=-2x4+7x3-14x2+29x-62; r=125
-2x 5 +3x 4 +x 2 -4x+1=(x+2)(-2x 4 +7x 3 -14x 2 +29x-62)+125

Приклад 5
p(x)=3x 3 -5x 2 +2x+3
q(x)=2x-1
$x_0=\frac(1)(2)$
p(x)=3+x(2+x(-5+3x))
b 2 =3
$b_1=\frac(1)(2)\cdot 3-5=-\frac(7)(2)$
$b_0=\frac(1)(2)\cdot \left(-\frac(7)(2)\right)+2=-\frac(7)(4)+2=\frac(1)(4 )$
$r=\frac(1)(2)\cdot \frac(1)(4)+3=\frac(1)(8)+3=\frac(25)(8) \Rightarrow c(x)= 3x^2-\frac(7)(2)x+\frac(1)(4)$
$\Rightarrow 3x^3-5x^2+2x+3=(2x-1)(3x^2--\frac(7)(2)x+\frac(1)(4))+\frac(25) (8)$
Висновок
Якщо ми ділимо на поліном ступеня вище, ніж один, для знаходження приватного та залишку потрібно скористатися алгоритмом 1-9 .
Якщо ми ділимо на поліном першого ступеня mx+n, то знаходження приватного і залишку потрібно використовувати метод Горнера з $x_0=-\frac(n)(m)$.
Якщо нас цікавить лише залишок від поділу, достатньо знайти p(x 0).
Приклад 6
p(x)=-4x 4 +3x 3 +5x 2 -x+2
q(x)=x-1
x 0 = 1
r=p(1)=-4.1+3.1+5.1-1+2=5
r=5

Нехай потрібно

(2x 3 – 7x 2 + x + 1) ÷ (2x – 1).

Тут дано твір (2x 3 – 7x 2 + x + 1) та один множник (2x – 1) – треба знайти інший множник. У цьому прикладі відразу ясно (але взагалі цього встановити не можна), що й інший, шуканий, множник, чи приватне, є багаточлен. Це ясно тому, що цей твір має 4 члени, а даний множник лише 2. Однак, сказати заздалегідь, скільки членів у шуканого множника – не можна: може бути 2 члени, 3 члени і т. д. Згадуючи, що старший член твору завжди виходить від множення старшого члена одного множника на старший член іншого (див. множення багаточлена на багаточлен) і що членів, подібних до цього, бути не може, ми впевнені, що 2x 3 (старший член даного твору) вийде від множення 2x (старший член даного множника) ) на невідомий старший член шуканого множника. Щоб знайти останній, доведеться розділити 2x 3 на 2x - отримаємо x 2 . Це є старший член приватного.

Згадаймо потім, що з множенні многочлена на многочлен доводиться кожен член одного многочлена множити за кожен член іншого. Тому цей твір (2x 3 – 7x 2 + x + 1) є твір дільника (2x – 1) на всі члени приватного. Але ми можемо тепер знайти твір дільника перший (старший) член приватного, т. е. (2x – 1) ∙ x 2 ; отримаємо 2x3 – x2. Знаючи твір дільника на всі члени приватного (воно = 2x 3 - 7x 2 + x + 1) і знаючи твір дільника на 1-й член приватного (воно = 2x 3 - x 2), віднімання ми можемо знайти твір дільника на всі інші, Крім одного, члени приватного. Отримаємо

(2x 3 - 7x 2 + x + 1) - (2x 3 - x 2) = 2x 3 - 7x 2 + x + 1 - 2x 3 + x 2 = -6x 2 + x + 1.

Старший член (–6x 2) цього твору, що залишився, повинен представляти собою твір старшого члена дільника (2x) на старший член решти (крім 1-го члена) приватного. Звідси знайдемо старший член іншого приватного. Треба -6x 2 ÷ 2x, отримаємо -3x. Це є другий член шуканого приватного. Ми можемо знову знайти твір дільника (2x – 1) другий, щойно знайдений, член приватного, т. е. на –3x.

Отримаємо (2x – 1) ∙ (–3x) = –6x 2 + 3x. З усього цього твору ми вже відняли твір дільника на перший член приватного і отримали залишок -6x 2 + x + 1, що є твір дільника на інші, крім одного, члени приватного. Віднімаючи з нього щойно знайдений твір –6x 2 + 3x, отримаємо залишок, що є твір дільника на всі інші, крім 1-го та 2-го, члени приватного:

-6x 2 + x + 1 - (-6x 2 + 3x) = -6x 2 + x + 1 + 6x 2 - 3x = -2x + 1.

Розділивши старший член цього твору (–2x) на старший член дільника (2x), отримаємо старший член решти приватного, або його третій член, (–2x) ÷ 2x = –1, – це і є 3-й член приватного.

Помноживши на нього дільника, отримаємо

(2x – 1) ∙ (–1) = –2x + 1.

Віднімаючи цей твір дільника на 3-й член приватного з усього твору, що залишився досі, тобто.

(–2x + 1) – (–2x + 1) = –2x + 1 + 2x – 1 = 0,

ми побачимо, що у прикладі твір ділиться інші, крім 1-го, 2-го і 3-го, члени приватного = 0, звідки укладаємо, що у приватного більше членів немає, тобто.

(2x 3 – 7x 2 + x + 1) ÷ (2x – 1) = x 2 – 3x – 1.

З попереднього ми бачимо: 1) зручно розташовувати члени дільника і дільника по низхідним ступеням, 2) необхідно встановити будь-який порядок виконання обчислень. Таким зручним порядком вважатимуться той, що використовується в арифметиці при розподілі багатозначних чисел. Наслідуючи його, всі попередні обчислення розташуємо так (збоку дано ще короткі пояснення):

Ті віднімання, які тут потрібні, виконуються зміною знаків у членів віднімання, причому ці змінні знаки пишуться зверху.

Так, написано

Це означає: віднімається 2x 3 – x 2 , а після зміни знаків отримали –2x 3 + x 2 .

Завдяки прийнятому розташуванню обчислень, завдяки тому, що члени діленого і дільника розташовані за низхідними ступенями і завдяки тому, що ступеня літери x в обох багаточленах йдуть, знижуючись щоразу на 1, виявилося, що подібні члени доводяться написаними один під одним (напр.: –7x 2 і +x 2), чому легко виконати їхнє приведення. Можна відзначити, що не всі члени поділюваного потрібні у будь-який момент обчислення. Наприклад, член +1 не потрібен у той момент, де було знайдено 2-й член приватного, і цю частину обчислень можна спростити.

Ще приклади:

1. (2a 4 – 3ab 3 – b 4 – 3a 2 b 2) ÷ (b 2 + a 2 + ab).

Розташуємо по низхідним ступеням літери a і ділимо і дільник:

(Зауважимо, що тут, завдяки відсутності в ділимому члена з a 3 , у першому відніманні виявилося, що підписані один під одним не подібні члени -a 2 b 2 і -2a 3 b. Звичайно, вони не можуть бути приведені в один член і написані під межею обидва за старшинством).

В обох прикладах треба уважніше ставитися до подібних членів: 1) один під одним часто виявляються написаними не подібні члени і 2) іноді (як, напр., в останньому прикладі, члени -4a n і -a n при першому відніманні) подібні члени виходять написаними не один під одним.

Можливо виконувати поділ багаточленів в іншому порядку, а саме: щоразу розшукувати молодший член або всього або приватного, що залишається. Зручно в цьому випадку розташовувати дані багаточлени за висхідними ступенями будь-якої літери. Напр.

У цій статті будуть розглянуті раціональні дроби, її виділення цілих частин. Дроби бувають правильними та неправильними. Коли в дробі чисельник менший за знаменник – це правильний дріб, а неправильний навпаки.

Розглянемо приклади правильних дробів: 1 2 , 9 29 , 8 17 , неправильних: 16 3 , 21 20 , 301 24 .

Обчислюватимемо дроби, які можуть скоротитися, тобто 12 16 - це 3 4 , 21 14 - це 3 2 .

При виділенні цілої частини виробляється процес розподілу чисельника на знаменник. Тоді такий дріб може бути представлений як сума цілої та дробової частини, де дробова вважається ставленням залишку від поділу та знаменника.

Приклад 1

Знайти залишок при розподілі 27 на 4 .

Рішення

Необхідно зробити поділ стовпчиком, тоді отримаємо, що

Значить, 27 4 = ціла частина + залишка до зн а м е на т а л = 6 + 3 4

Відповідь:залишок 3 .

Приклад 2

Здійснити виділення цілих частин 331 12 і 41 57 .

Рішення

Виробляємо поділ знаменника на чисельник за допомогою куточка:

Тому маємо, що 33112 = 27 + 712 .

Другий дріб є правильним, отже, ціла частина дорівнює нулю.

Відповідь:цілі частини 27 та 0 .

Розглянемо класифікацію многочленів, інакше кажучи, дрібно-раціональну функцію. Її вважають правильним, коли ступінь чисельника менший за ступінь знаменника, інакше його вважають неправильним.

Визначення 1

Поділ багаточлену на багаточленвідбувається за принципом розподілу кутом, а уявлення функції як сума цілої та дробової частин.

Щоб розділити багаточлен на лінійний двочлен, використовується схема Горнер.

Приклад 3

Здійснити поділ x 9 + 7 x 7 - 3 2 x 3 - 2 на одночлен 2 x 2 .

Рішення

Скориставшись властивістю поділу, запишемо, що

x 9 + 7 x 7 - 3 2 x 3 - 2 2 x 2 = x 9 2 x 2 + 7 x 7 2 x 2 - 3 2 x 3 2 x 2 + x 2 2 x 2 - 2 2 x 2 = = 1 2 x 7 + 7 2 x 5 - 3 4 x + 1 2 - 2 2 x - 2 .

Найчастіше такого виду перетворення виконуються під час взяття інтегралів.

Приклад 4

Здійснити розподіл багаточлена на багаточлен: 2 x 3 + 3 на x 3 + x .

Рішення

Знак поділу можна записати у вигляді дробу виду 2 x 3 + 3 x 3 + x. Тепер потрібно виділити цілу частину. Виробляємо це за допомогою поділу стовпчиком. Отримуємо, що

Отже, отримуємо, що ціла частина має значення - 2 x + 3, тоді весь вираз записується як 2 x 3 + 3 x 3 + x = 2 + - 2 x + 3 x 3 + x

Приклад 5

Розділити та знайти залишок від поділу 2 x 6 - x 5 + 12 x 3 - 72 x 2 + 3 на x 3 + 2 x 2 - 1 .

Рішення

Зафіксуємо дріб виду 2x6-x5+12x3-72x2+3x3+2x2-1.

Ступінь чисельника більший, ніж у знаменника, означає, що у нас є неправильний дріб. За допомогою поділу стовпчиком виділили цілу частину. Отримуємо, що

Зробимо поділ ще раз і отримаємо:

Звідси маємо, що залишок дорівнює - 65 x 2 + 10 x - 3, звідси випливає:

2 x 6 - x 5 + 12 x 3 - 72 x 2 + 3 x 3 + 2 x 2 - 1 = 2 x 3 - 5 x 2 + 10 x - 6 + - 65 x 2 + 10 x - 3 x 3 + 2 x 2 - 1

Існують випадки, де необхідно додатково виконувати перетворення дробу для того, щоб можна було виявити залишок під час поділу. Це виглядає так:

3 x 5 + 2 x 4 - 12 x 2 - 4 x 3 - 3 = 3 x 2 x 3 - 3 - 3 x 2 x 3 - 3 + 3 x 5 + 2 x 4 - 12 x 2 - 4 x 3 - 3 = = 3 x 2 x 3 - 3 + 2 x 4 - 3 x 2 - 4 x 3 - 3 = 3 x 2 + 2 x 4 - 3 x 2 - 4 x 3 - 3 = = 3 x 2 + 2 x x 3 - 3 - 2 x x 3 - 3 + 2 x 4 - 3 x 2 - 4 x 3 - 3 = = 3 x 2 + 2 x (x 3 - 3) - 3 x 2 + 6 x - 4 x 3 - 3 = 3 x 2 + 2 x + - 3 x 2 + 6 x - 4 x 3 - 3

Отже, залишок при розподілі 3 x 5 + 2 x 4 - 12 x 2 - 4 на x 3 - 3 дає значення - 3 x 2 + 6 x - 4 . Для швидкого знаходження результату застосовують формули скороченого множення.

Приклад 6

Здійснити поділ 8 x 3 + 36 x 2 + 54 x + 27 на 2 x + 3 .

Рішення

Запишемо поділ у вигляді дробу. Отримаємо, що 8 x 3 + 36 x 2 + 54 x + 27 2 x + 3 . Зауважимо, що у чисельнику вираз можна скласти за формулою куба суми. Маємо, що

8 x 3 + 36 x 2 + 54 x + 27 2 x + 3 = (2 x + 3) 3 2 x + 3 = (2 x + 3) 2 = 4 x 2 + 12 x + 9

Заданий многочлен ділиться без залишку.

Для вирішення використовується зручніший метод рішення, причому розподіл многочлена на багаточлен вважається максимально універсальним, тому часто використовується при виділенні цілої частини. Підсумковий запис повинен містити отриманий багаточлен від поділу.

Якщо ви помітили помилку в тексті, будь ласка, виділіть її та натисніть Ctrl+Enter