Тільки не в онлайн перекладачі.
Золоті ворота - символ Києва, один із найдавніших зразків архітектури, що збереглися до нашого часу. Золоті ворота Києва були побудовані за знаменитого київського князя Ярослава Мудрого в 1164 році. Спочатку вони називалися Південними і були частиною системи оборонних укріплень міста, практично не відрізняючись від інших воріт міста. Саме Південні ворота перший російський митрополит Іларіон назвав «Великими» у своєму «Слові про закон та благодать». Після того, як було збудовано величний храм Святої Софії, «Великі» ворота стали основним сухопутним входом до Києва з південно-західного боку. Усвідомлюючи їхню значущість, Ярослав Мудрий наказав надбудувати над брамою невелику церкву Благовіщення, щоб віддати данину головній у місті та на Русі християнській релігії. З того часу всі російські літописні джерела почали називати Південні ворота Києва Золотими воротами. Ширина воріт становила 7,5 м, висота проїзду – 12 м, довжина – близько 25 м.
le sport ce n'est pas seulement des cours de gym. C'est aussi sauter toujours plus haut nager jouer au ballon danser. le sport developpé ton corps et aussi ton cerveau. Quand tu prends l'escalier et non pas l'ascenseur tu fais du sport. Quand tu fais une cabane dans un arbre tu fais du sport. Quand tu te bats avec ton frere fais du sport. Quand tu cours, parce que es en retard l'ecole, tu fais du sport.
Подія – це результат випробування. Що таке подія? З урни навмання беруть одну кулю. Вилучення кулі з урни є випробування. Поява кулі певного кольору – подія. Теоретично ймовірностей під подією розуміють те, щодо чого після деякого моменту часу можна сказати одне і тільки одне з двох. Так, воно сталося. Ні, воно не сталося. Можливий результат експерименту називається елементарною подією, а безліч таких результатів називається просто подією.
Непередбачувані події називаються випадковими. Подія називається випадковою, якщо за одних і тих самих умовах вона може як статися, так і не відбутися. При киданні кубика випаде шістка. Я маю лотерейний квиток. Після опублікування результатів розіграшу лотереї цікава для мене подія - виграш тисячі рублів, або відбувається, або не відбувається. приклад.
Дві події, які в цих умовах можуть відбуватися одночасно, називаються спільними, а ті, які не можуть відбуватися одночасно, – несумісними. Покинута монета. Поява "герба" виключає появу напису. Події «з'явився герб» і «з'явився напис» – несумісні. приклад.
Подія, що відбувається завжди, називають достовірною. Подія, яка не може статися, називається неможливою. Нехай, наприклад, з урни, що містить лише чорні кулі, виймають кулю. Тоді поява чорної кулі – достовірна подія; поява білої кулі – неможлива подія. приклади. Наступного року сніг не випаде. При киданні кубика випаде сімка. Це неможливі події. Наступного року сніг випаде. При киданні кубика випаде число менше семи. Щоденний схід сонця. Це вірогідні події.
Розв'язання задач Для кожного з описаних подій визначте, яким воно є: неможливим, достовірним чи випадковим. 1.З 25 учнів класу двоє справляють день народження а) 30 січня; б) 30 лютого. 2. Випадково відкривається підручник літератури і друге слово на лівій сторінці. Це слово починається: а) з літери "К"; б) з літери "Ъ".
3. Сьогодні у Сочі барометр показує нормальний атмосферний тиск. При цьому: а) вода в каструлі закипіла при температурі 80 С; б) коли температура впала до -5º С, вода в калюжі замерзла. 4. Вкидають дві гральні кістки: а) на першій кістці випало 3 очки, а на другій – 5 очок; б) сума очок, що випали на двох кістках, дорівнює 1; в) сума очок, що випали на двох кістках, дорівнює 13; г) на обох кістках випало по 3 очки; д) сума очок на двох кістках менше 15. Розв'язання задач
5. Ви відкрили книгу на будь-якій сторінці і прочитали першу іменник. Виявилося, що: а) у написанні вибраного слова є голосна літера; б) у написанні вибраного слова є буква «О»; в) у написанні вибраного слова немає голосних літер; г) у написанні вибраного слова є м'який знак. Вирішення задач
5 клас. Введення у ймовірність (4 год.)
(розробка 4х уроків з цієї теми)
Навчальні цілі : - запровадити визначення випадкової, достовірної та неможливої події;
Вести перші уявлення про рішення комбінаторних завдань: за допомогою дерева варіантів та за допомогою правила множення.
Виховна мета: розвиток світогляду учнів.
Розвиваюча мета : розвиток просторової уяви, вдосконалення досвіду роботи з лінійкою.
Достовірні, неможливі та випадкові події (2ч.)
Комбінаторні задачі (2ч.)
Достовірні, неможливі та випадкові події.
Перший урок
Обладнання уроку: гральний кубик, монети, нарди.
Наше життя багато в чому складається із випадковостей. Існує така наука "Теорія ймовірностей". Користуючись її мовою, можна описати багато явищ і ситуації.
Ще первісний вождь розумів, що з десятка мисливців «ймовірність» вразити списом зубра більше, ніж в одного. Тож і полювали тоді колективно.
Такі стародавні полководці, як Олександр Македонський чи Дмитро Донський, готуючись до бою, сподівалися як на доблесть і мистецтво воїнів, а й у випадок.
Математику багато хто любить за вічні істини двічі два завжди чотири, сума парних чисел парна, площа прямокутника дорівнює добутку його суміжних сторін і т.д. у рішенні.
Реальне життя не таке просте і однозначне. Результати багатьох явищ заздалегідь передбачити неможливо. Не можна, наприклад, сказати напевно, якою стороною впаде монета, що підкинула вгору, коли наступного року випаде перший сніг або скільки людей у місті протягом найближчої години захочуть зателефонувати. Такі непередбачувані явища називаються випадковими .
Однак випадок теж має свої закони, які починають виявлятися за багаторазового повторення випадкових явищ. Якщо підкинути монету 1000 разів, то «орел» випаде приблизно в половині випадків, чого не можна сказати про два або навіть десять киданнях. "Приблизно" не означає половину. Це зазвичай може бути так, а може і не бути. Закон взагалі нічого не стверджує, напевно, але дає певний ступінь впевненості в тому, що деяка випадкова подія відбудеться. Такі закономірності вивчає спеціальний розділ математики. Теорія імовірності . З її допомогою можна з більшою мірою впевненості (але все одно не напевно) передбачити і дату випадання першого снігу, і кількість телефонних дзвінків.
Теорія ймовірностей нерозривно пов'язана з нашим повсякденним життям. Це дає нам чудову можливість встановити багато ймовірнісних законів досвідченим шляхом, багаторазово повторюючи випадкові експерименти. Матеріалами для цих експериментів найчастіше будуть звичайна монета, гральний кубик, набір доміно, нарди, рулетка або колода карт. Кожен із цих предметів так чи інакше пов'язаний з іграми. Справа в тому, що випадок тут постає у найчастішому вигляді. І перші ймовірні завдання були пов'язані з оцінкою шансів гравців на виграш.
Сучасна теорія ймовірностей уникнула азартних ігор, але їх реквізит, як і раніше, залишається найбільш простим і надійним джерелом випадку. Вправляючись з рулеткою та кубиком, ви навчитеся обчислювати ймовірність випадкових подій у реальних життєвих ситуаціях, що дозволить вам оцінювати свої шанси на успіх, перевіряти гіпотези, приймати оптимальні рішення не тільки в іграх та лотереях.
Вирішуючи ймовірнісні завдання, будьте дуже уважні, намагайтеся доводити кожен свій крок, бо жодна інша область математики не містить такої кількості парадоксів. Як теорія імовірностей. І мабуть, головне пояснення цьому - її зв'язок із реальним світом, в якому ми живемо.
У багатьох іграх використовують кубик, у якого на кожній грані відзначено різну кількість точок від 1 до 6. Граючий кидає кубик, дивиться, скільки точок випало (на тій грані, яка розташовується зверху), і робить відповідну кількість ходів: 1,2,3 ,4,5, чи 6. Кидання кубика вважатимуться досвідом, експериментом, випробуванням, а отриманий результат – подією. Людям зазвичай дуже цікаво вгадувати настання тієї чи іншої події, передбачати її результат. Які передбачення можуть зробити, коли кидають гральний кубик? Перше передбачення: випаде одна з цифр 1, 2, 3, 4, 5, або 6. Як ви думаєте, передбачена подія настане чи ні? Звісно, обов'язково настане. Подія, яка в даному досвіді обов'язково настане, називають достовірною подією.
Друге передбачення : випаде цифра 7. Як ви вважаєте, передбачена подія настане чи ні? Звісно не настане, це просто неможливо. Подія, яка в цьому досвіді наступити не може, називають неможливим подією.
Третє передбачення : випаде цифра 1. Як ви вважаєте, передбачена подія наступи чи ні? На це питання ми з повною впевненістю відповісти не в змозі, оскільки передбачена подія може настати, а може не наступити. Подія, яка в даному досвіді може наступити, а може і не наступити, називають випадковим подією.
Завдання : охарактеризуйте події, про які йдеться у наведених нижче завданнях. Як достовірні, неможливі чи випадкові.
Підкидаємо монету. З'явився герб. (випадкове)
Мисливець стріляв у вовка та влучив. (випадкове)
Школяр щовечора виходить на прогулянку. Під час прогулянки в понеділок він зустрів трьох знайомих. (випадкове)
Проведемо подумки наступний експеримент: склянку з водою перевернемо догори дном. Якщо цей експеримент проводити не в космосі, а вдома чи в класі, вода виллється. (достовірне)
Зроблено три постріли по мішені». Сталося п'ять попадань» (неможливе)
Кидаємо камінь нагору. Камінь залишається висіти у повітрі. (неможливе)
Літери слова «антагонізм» навмання переставляємо. Вийде слово «анахроїзм». (неможливе)
№959. Петя задумав натуральне число. Подія полягає в наступному:
а) задумано парне число; (випадкове) б) задумано непарне число; (випадкове)
в) задумано число, яке не є ні парним, ні непарним; (неможливе)
г) задумано число, яке є парним чи непарним. (достовірне)
№ 961. Петя та толя порівнюють свої дні народження. Подія полягає в наступному:
а) їхні дні народження не збігаються; (випадкове) б) їх дні народження збігаються; (випадкове)
г) дні народження обох припадають на свята – Новий рік (1 січня) та День незалежності Росії (12 червня). (випадкове)
№ 962. При грі в нарди використовують два гральні кубики. Число ходів, які робить учасник гри, визначається складанням цифр на двох гранях кубика, що випали, а якщо випадає «дубль» (1+1,2 + 2,3 + 3,4 + 4,5 + 5,6 + 6), то кількість ходів подвоюється. Ви кидаєте кубики і обчислюєте, скільки ходів вам доведеться зробити. Подія полягає в наступному:
а) ви маєте зробити один хід; б) ви маєте зробити 7 ходів;
в) ви повинні зробити 24 ходи; г) ви повинні зробити 13 ходів.
а) - неможливе (1 хід можна зробити, якщо випаде комбінація 1 + 0, але числа 0 на кубиках немає).
б) - випадкове (якщо випаде 1+6 або 2+5).
в) - випадкове (якщо випаде комбінація 6+6).
г) - неможливе (не існує комбінацій чисел від 1 до 6, сума яких дорівнює 13; це число не може вийти і при випаданні «дубля», тому що воно непарне).
Перевір себе. (математичний диктант)
1)Вкажіть, які з наступних подій неможливі, які – достовірні, які – випадкові:
Футбольний матч «Спартак» – «Динамо» закінчиться внічию. (випадкове)
Ви виграєте, беручи участь у безпрограшній лотереї (достовірне)
Опівночі випаде сніг, а за 24 години світитиме сонце. (неможливе)
Завтра буде контрольна з математики. (випадкове)
Вас оберуть президентом США. (неможливе)
Вас оберуть президентом Росії. (випадкове)
2) Ви купили у магазині телевізор, який фірма – виробник дає два роки гарантії. Які з наступних подій неможливі, які випадкові, які достовірні:
ТБ не зламається протягом року. (випадкове)
ТБ не зламається протягом двох років. (випадкове)
Протягом двох років вам не доведеться платити за ремонт телевізора. (достовірне)
ТБ зламається на третій рік. (випадкове)
3)Автобусу, в якому їде 15 пасажирів, належить зробити 10 зупинок. Які з наступних подій неможливі, які випадкові, які достовірні:
Усі пасажири вийдуть із автобуса на різних зупинках. (неможливе)
Усі пасажири вийдуть на одній зупинці. (випадкове)
На кожній зупинці хоч хтось вийде. (випадкове)
Знайдеться зупинка, де ніхто не вийде. (випадкове)
На всіх зупинках вийде парна кількість пасажирів. (неможливе)
На всіх зупинках вийде непарна кількість пасажирів. (неможливе)
Домашнє завдання : п. 53 №960, 963, 965 (придумайте самі по дві достовірні, випадкові та неможливі події).
Другий урок.
Перевірка домашнього завдання. (усно)
а) Поясніть, що таке достовірне, випадкове та неможливе події.
б) Вкажіть, яка з наступних подій достовірна, яка – неможлива, яка – випадкова:
Літніх канікул не буде. (неможливе)
Бутерброд впаде олією вниз. (випадкове)
Навчальний рік колись закінчиться. (достовірне)
Мене завтра спитають на уроці. (випадкове)
Мені сьогодні зустрінеться чорна кішка. (випадкове)
№ 960. Ви відкрили цей підручник на будь-якій сторінці і вибрали перший іменник. Подія полягає в наступному:
а) у написанні обраного слова є голосна літера. ((достовірне)
б) у написанні вибраного слова є буква «о». (випадкове)
в) у написанні обраного слова немає голосних букв. (неможливе)
г) у написанні вибраного слова є м'який знак. (випадкове)
№ 963. Ви знову граєте у нарди. Охарактеризуйте таку подію:
а) гравець повинен зробити трохи більше двох ходів. (неможливе – при комбінації найменших чисел 1 + 1 гравець робить 4 ходи; комбінація 1 + 2 дає 3 ходи; всі інші комбінації дають більше 3 ходів)
б) гравець повинен зробити більше двох ходів. (достовірне – будь-яка комбінація дає 3 або більше ходів)
в) гравець повинен зробити трохи більше 24 ходів. (Достовірне – комбінація найбільших чисел 6 + 6 дає 24 ходи, а решта – менше 24 ходів)
г) гравець має зробити двозначне число ходів. (Випадкове – наприклад, комбінація 2 + 3 дає однозначне число ходів: 5, а випадання двох четвірок – двозначне число ходів)
2. Розв'язання задач.
№ 964. У мішку лежить 10 куль: 3 синіх, 3 білих та 4 червоних. Охарактеризуйте таку подію:
а) з мішка вийняли 4 кулі і всі вони сині; (неможливе)
б) з мішка вийняли 4 кулі, і всі вони червоні; (випадкове)
в) з мішка вийняли 4 кулі, і всі вони виявилися різного кольору; (неможливе)
г) з мішка вийняли 4 кулі, і серед них не виявилося кулі чорного кольору. (достовірне)
Завдання 1 . У коробці лежить 10 червоних, 1 зелена та 2 сині ручки. З коробки навмання виймають два предмети. Які з наступних подій неможливі, які випадкові, які достовірні:
а) вийнято дві червоні ручки (випадкове)
б) вийнято дві зелені ручки; (неможливе)
в) вийнято дві сині ручки; (випадкове)
г) вийнято ручки двох різних кольорів; (випадкове)
д) вийнято дві ручки; (достовірне)
е) вийнято два олівці. (неможливе)
Завдання 2. Вінні – Пух, Паць і все – всі – всі сідають за круглий стіл святкувати день народження. При якій кількості всіх – усіх – всіх подія «Вінні Пух і Паць будуть сидіти поруч» є достовірною, а при якій – випадковою?
(якщо всіх - всіх - всіх всього 1, то подія достовірна, якщо більше 1, то - випадкова).
Завдання 3. Серед 100 квитків благодійної лотереї 20 виграшних Скільки квитків вам треба купити, щоб подія «ви нічого не виграєте» була неможливою?
Завдання 4. У класі навчається 10 хлопчиків та 20 дівчаток. Які з таких подій є для такого класу неможливими, які –випадковими, які – достовірними
У класі є дві людини, які народилися у різні місяці. (випадкове)
У класі є дві людини, які народилися одного місяця. (достовірне)
У класі є два хлопчики, які народилися одного місяця. (випадкове)
У класі є дві дівчинки, які народилися одного місяця. (достовірне)
Усі хлопчики народилися у різні місяці. (достовірне)
Усі дівчатка народилися у різні місяці. (випадкове)
Є хлопчик і дівчинка, які народилися одного місяця. (випадкове)
Є хлопчик та дівчинка, які народилися у різні місяці. (випадкове)
Завдання 5. У коробці 3 червоні, 3 жовті, 3 зелені кулі. Витягуємо навмання 4 кулі. Розглянемо подію «Серед вийнятих куль виявляться кулі рівно М кольорів». Для кожного М від 1 до 4 визначте, яка ця подія – неможлива, достовірна чи випадкова, та заповніть таблицю:
Самостійна робота.
Iваріант
а) число дня народження вашого друга менше 32;
в) завтра буде контрольна з математики;
г) Наступного року перший сніг у Москві випаде у неділю.
Кидають гральний кубик. Охарактеризуйте подію:
а) кубик, впавши, стане на ребро;
б) випаде одне із чисел: 1, 2, 3, 4, 5, 6;
в) випаде число 6;
г) випаде число, кратне 7.
У коробці лежать 3 червоні, 3 жовті і 3 зелені кулі. Охарактеризуйте подію:
а) всі вийняті кулі одного кольору;
б) усі вийняті кулі різних кольорів;
в) серед вийнятих куль є кулі різних кольорів;
c) серед вийнятих куль є червона, жовта і зелена куля.
IIваріант
Охарактеризуйте подію, про яку йдеться, як достовірне, неможливе чи випадкове:
а) бутерброд, що звалився зі столу, впаде на підлогу маслом вниз;
б) у Москві опівночі випаде сніг, а через 24 год. Світитиме сонце;
в) ви виграєте, беручи участь у безпрограшній лотереї;
г) наступного року у травні пролунає весняний перший грім.
На картках записані всі двоцифрові числа. Навмання вибирають одну картку. Охарактеризуйте подію:
а) на картці виявився нуль;
б) на картці виявилося число, кратне 5;
в) на картці виявилося число, кратне 100;
г) на картці виявилося число, більше 9 і менше 100.
У коробці лежать 10 червоних, 1 зелена та 2 сині ручки. З коробки навмання виймають два предмети. Охарактеризуйте подію:
а) вийнято дві сині ручки;
б) вийнято дві червоні ручки;
в) вийнято дві зелені ручки;
г) вийнято зелена та чорна ручки.
Домашнє завдання: 1). Придумати по дві достовірні, випадкові та неможливі події.
2). Завдання . У коробці 3 червоні, 3 жовті, 3 зелені кулі. Витягуємо навмання N куль. Розглянемо подію «серед вийнятих куль виявляться кулі рівно трьох кольорів». Для кожного N від 1 до 9 визначте, яка ця подія – неможлива, достовірна чи випадкова, та заповніть таблицю:
Комбінаторні задачі.
Перший урок
Перевірка домашнього завдання. (усно)
а) перевіряємо завдання, які вигадали учні.
б)додаткове завдання.
Читаю уривок із книги В. Левшина «Три дні у Карликанії».
«Спочатку під звуки плавного вальсу числа утворили групу: 1+3+4+2=10. Потім юні фігуристи стали змінюватися місцями, утворюючи дедалі нові групи: 2+3+4+1=10
3 + 1 + 2 + 4 = 10
4 + 1 + 3 + 2 = 10
1 + 4 + 2 + 3 = 10 і т.д.
Так тривало доти, доки ковзаняри не повернулися до вихідного положення».
Скільки разів вони змінилися місцями?
Сьогодні на уроці ми з вами навчимося вирішувати такі завдання. Вони називаються комбінаторними.
3. Вивчення нового матеріалу.
Завдання 1. Скільки двоцифрових чисел можна скласти із цифр 1, 2, 3?
Рішення: 11, 12, 13
31, 32, 33. Усього 9 чисел.
При вирішенні цього завдання ми здійснили перебір всіх можливих варіантів, або, як зазвичай кажуть у цих випадках. Усі можливі комбінації. Тому подібні завдання називають комбінаторними. Прораховувати можливі (або неможливі) варіанти у житті доводиться досить часто, тому корисно познайомитись із комбінаторними завданнями.
№ 967. Декілька країн вирішили використати для свого державного прапора символіку у вигляді трьох горизонтальних смуг однакової ширини різних кольорів – білого, синього, червоного. Скільки країн можуть використовувати таку символіку за умови, що кожна країна має свій прапор?
Рішення. Припустимо, перша смуга – біла. Тоді друга смуга може бути синьою чи червоною, а третя смуга відповідно, червоною чи синьою. Вийшло два варіанти: біла, синя, червона чи біла, червона, синя.
Нехай тепер перша смуга синього кольору, тоді знову отримаємо два варіанти: білу, червону, синю або синю, червону, білу.
Нехай перша смуга червоного кольору, тоді ще два варіанти: червона, біла, синя чи червона, синя, біла.
Усього вийшло 6 можливих варіантів. Такий прапор можуть використати 6 країн.
Отже, під час вирішення цього завдання ми шукали спосіб перебору можливих варіантів. У багатьох випадках виявляється корисним прийом побудови картинки – схеми вибору варіантів. Це, по-перше, наочно, по-друге, дозволяє нам все врахувати, нічого не пропустити.
Цю схему називають деревом можливих варіантів.
Перша смуга
Друга смуга
Третя смуга
Отримана комбінація
№ 968. Скільки двоцифрових чисел можна скласти із цифр 1, 2, 4, 6, 8?
Рішення. У двозначних чисел, що цікавлять нас, на першому місці може знаходитися будь-яка із заданих цифр, крім 0. Якщо на перше місце ми поставимо цифру 2, то на другому місці може знаходитися будь-яка із заданих цифр. Вийде п'ять двоцифрових чисел: 2.,22, 24, 26, 28. Так само буде п'ять двоцифрових чисел з першою цифрою 4, п'ять двоцифрових чисел з першою цифрою 6 і п'ять двоцифрових чисел з першою цифрою 8.
Відповідь: всього вийде 20 чисел.
Побудуємо дерево можливих варіантів для вирішення цього завдання.
Двозначні числа
Перша цифра
Друга цифра
Отримані числа
20, 22, 24, 26, 28, 60, 62, 64, 66, 68,
40, 42, 44, 46, 48, 80, 82, 84, 86, 88.
За допомогою побудови дерева можливих варіантів розв'яжіть такі завдання.
№ 971. Керівництво деякої країни вирішило зробити свій державний прапор таким: на одноколірному прямокутному тлі в одному з кутів міститься коло іншого кольору. Кольори вирішено вибрати із трьох можливих: червоний, жовтий, зелений. Скільки варіантів такого прапора
існує? На малюнку представлені деякі з можливих варіантів.
Відповідь: 24 варіанти.
№ 973. а) Скільки трицифрових чисел можна становити з цифр 1,3, 5,? (27 чисел)
б) Скільки трицифрових чисел можна становити з цифр 1,3, 5 за умови, що цифри не повинні повторюватися? (6 чисел)
№ 979. Сучасні п'ятиборці протягом двох днів беруть участь у змаганні з п'яти видів спорту: конкур, фехтування, плавання, стрілянина, біг.
а) Скільки існує варіантів порядку проходження видів змагання? (120 варіантів)
б) Скільки існує варіантів порядку проходження видів змагання, якщо відомо, що останнім видом має бути біг? (24 варіанти)
в) Скільки існує варіантів порядку проходження видів змагання, якщо відомо, що останнім видом має бути біг, а першим – конкур? (6 варіантів)
№ 981. У двох урнах є по п'ять куль у кожній п'яти різних кольорів: білого, синього, червоного, жовтого, зеленого. З кожної урни одночасно виймається по одній кулі.
а) скільки всього існує різних комбінацій вийнятих куль (комбінації типу «біла – червона» і «червона – біла» вважаються однаковими)?
(15 комбінацій)
б) Скільки існує комбінацій, за яких вийняті кулі одного кольору?
(5 комбінацій)
в) скільки існує комбінацій, у яких вийняті кулі різних кольорів?
(15 - 5 = 10 комбінацій)
Домашнє завдання: п. 54, № 969, 972, придумати самим комбінаторне завдання.
№ 969. Декілька країн вирішили використати для свого державного прапора символіку у вигляді трьох вертикальних смуг однакової ширини різних кольорів: зеленого, чорного, жовтого. Скільки країн можуть використовувати таку символіку за умови, що кожна країна має свій прапор?
№ 972. а) Скільки двоцифрових чисел можна становити з цифр 1, 3, 5, 7, 9?
б) Скільки двоцифрових чисел можна становити з цифр 1, 3, 5, 7, 9 за умови, що цифри не повинні повторюватися?
Другий урок
Перевірка домашнього завдання. а) № 969 та № 972а) та № 972б) – на дошці побудувати дерево можливих варіантів.
б) усно перевіряємо складені завдання.
Вирішення задач.
Отже, раніше ми з вами навчилися вирішувати комбінаторні завдання за допомогою дерева варіантів. Це добрий спосіб? Напевно, так, але дуже громіздкий. Давайте спробуємо домашнє завдання № 972 вирішити по-іншому. Хто здогадається, як це можна зробити?
Відповідь: на кожен із п'яти кольорів футболок припадає 4 кольори трусів. Усього: 4 * 5 = 20 варіантів.
№ 980. У урнах є по п'ять куль у кожній п'яти різних кольорів: білого, синього, червоного, жовтого, зеленого. З кожної урни одночасно виймається по одній кулі. Охарактеризуйте вказану нижче подію як достовірну, випадкову чи неможливу:
а) вийняті кулі різного кольору; (випадкове)
б) вийняті кулі одного кольору; (випадкове)
в) вийнято чорну та білу кулі; (неможливе)
г) вийнято дві кулі, причому обидві виявилися пофарбовані в один із наступних кольорів: білий, синій, червоний, жовтий, зелений. (достовірне)
№ 982. Група туристів планує здійснити похід маршрутом Антоново – Борисово – Власово – Грибово. З Антоново до Борисова можна сплавитися річкою або дійти пішки. З Борисова до Власова можна пройти пішки або доїхати велосипедами. З Власова до Грибова можна доплисти річкою, доїхати велосипедами чи пройти пішки. Скільки варіантів походу можуть вибрати туристи? Скільки варіантів походу можуть вибрати туристи за умови, що хоча б на одній із ділянок маршруту вони мають використовувати велосипеди?
(12 варіантів маршруту, з них 8 – з використанням велосипедів)
Самостійна робота.
1 варіант
а) Скільки трицифрових чисел можна становити з цифр: 0, 1, 3, 5, 7?
б) Скільки трицифрових чисел можна становити з цифр: 0, 1, 3, 5, 7, за умови, що цифри не повинні повторюватися?
Атос, Портос і Араміс мають лише шпагу, кинджал і пістолет.
а) Скільки способами можна озброїти мушкетерів?
б) Скільки існує варіантів озброєння, якщо шпагою має володіти Араміс?
в) Скільки існує варіантів озброєння, якщо шпагою має володіти Араміс, а пістолетом – Портос?
Вороні десь бог послав шматочок сиру, а також бринзи, ковбаси, білого та чорного хліба. На ялинку ворона видершись, поснідати зовсім вже зібралася, та задумалася: скільки способів можна скласти бутерброди з цих продуктів?
2 варіант
а) Скільки трицифрових чисел можна становити з цифр: 0, 2, 4, 6, 8?
б) Скільки трицифрових чисел можна становити з цифр: 0, 2, 4, 6, 8 за умови, що цифри не повинні повторюватися?
Граф Монте – Крісто вирішив подарувати принцесі Гайде сережки, намисто та браслет. Кожна прикраса повинна містити дорогоцінне каміння одного з видів: алмази, рубіни або гранати.
а) Скільки існує варіантів поєднання прикрас із дорогоцінного каміння?
б) Скільки існує варіантів прикрас, якщо сережки мають бути алмазними?
в) Скільки існує варіантів прикрас, якщо сережки мають бути алмазними, а браслет гранатовим?
На сніданок можна вибрати плюшку, бутерброд або пряник із кавою або кефіром. Скільки варіантів сніданку можна скласти?
Домашнє завдання : № 974, 975. (складанням дерева варіантів та за допомогою правила множення)
№ 974 . а) Скільки трицифрових чисел можна становити з цифр 0, 2, 4?
б) Скільки трицифрових чисел можна становити з цифр 0, 2, 4 за умови, що цифри не повинні повторюватися?
№ 975 . а) Скільки трицифрових чисел можна становити з цифр 1,3, 5,7?
б) Скільки трицифрових чисел можна становити з цифр 1,3, 5,7 за умови. Що цифри не повинні повторюватись?
Номери завдань взято з підручника
"Математика-5", І.І. Зубарєва, А.Г. Мордкович, 2004 рік.
Мета уроку:
- Ввести поняття достовірних, неможливих та випадкових подій.
- Сформувати знання та вміння щодо визначення виду подій.
- Розвивати: обчислювальну навичку; увага; вміння аналізувати, розмірковувати, робити висновки; навички роботи у групах.
Хід уроку
1) Організаційний момент.
Інтерактивна вправа: діти повинні вирішити приклади та розшифрувати слова, за результатами розподіляються на групи (достовірні, неможливі та випадкові) та визначають тему уроку.
1 картка.
| 0,5 | 1,6 | 12,6 | 5,2 | 7,5 | 8 | 5,2 | 2,08 | 0,5 | 9,54 | 1,6 |
2 картка
| 0,5 | 2,1 | 14,5 | 1,9 | 2,1 | 20,4 | 14 | 1,6 | 5,08 | 8,94 | 14 |
3 картка
| 5 | 2,4 | 6,7 | 4,7 | 8,1 | 18 | 40 | 9,54 | 0,78 |
2) Актуалізація вивчених знань.
Гра "Бавовна": парне число - бавовна, непарне - встати.
Завдання: з цього ряду чисел 42, 35, 8, 9, 7, 10, 543, 88, 56, 13, 31, 77, … визначити парні та непарні.
3) Вивчення нової теми.
У вас на столах лежать кубики. Давайте уважно розглянемо їх. Що ви бачите?
Де використовуються гральні кубики? Яким чином?
Робота у групах.
Проведення експерименту.
Які передбачення ви можете зробити під час кидання грального кубика?
Перше передбачення: випаде одна із цифр 1,2,3,4,5 або 6.
Подія, яка в даному досвіді обов'язково настане, називають достовірним.
Друге передбачення: випаде цифра 7.
Як ви вважаєте, передбачена подія настане чи ні?
Це неможливо!
Подія, яка в цьому досвіді наступити не може, називають неможливим.
Третє передбачення: випаде цифра 1.
Чи настане ця подія?
Подія, яка в даному досвіді може наступити, а може і не наступити, називають випадковим.
4) Закріплення вивченого матеріалу.
I. Визначити вид події
-Завтра піде червоний сніг.
Завтра сильний сніг.
Завтра, хоч і липень, буде сніг.
Завтра, хоч і липень, а снігу не буде.
Завтра піде сніг і буде хуртовина.
ІІ. Додати в цю пропозицію слово таким чином, щоб подія стала неможливою.
Коля отримав з історії п'ятірку.
Сашко не виконав жодного завдання на контрольній роботі.
Оксана Михайлівна (вчитель історії) пояснить нову тему.
ІІІ. Навести приклади подій неможливих, випадкових та достовірних.
IV. Робота за підручником (за групами).
Охарактеризуйте події, про які йдеться у наведених нижче завданнях, як достовірні, неможливі чи випадкові.
№ 959. Петя задумав натуральне число. Подія полягає в наступному:
а) задумано парне число;
б) задумано непарне число;
в) задумано число, яке не є ні парним, ні непарним;
г) задумано число, яке є парним чи непарним.
№ 960. Ви відкрили цей підручник на будь-якій сторінці і вибрали перший іменник, що трапився. Подія полягає в наступному:
а) у написанні обраного слова є голосна літера;
б) у написанні вибраного слова є буква "о";
в) у написанні вибраного слова немає голосних літер;
г) у написанні вибраного слова є м'який знак.
Вирішити №961, №964.
Обговорення вирішених завдань.
5) Рефлексія.
1. З якими подіями ви познайомилися на уроці?
2. Вкажіть, яка з наступних подій достовірна, яка неможлива і яка випадкова:
а) літніх канікул не буде;
б) бутерброд впаде олією вниз;
в) навчальний рік колись закінчиться.
6) Домашнє завдання:
Придумати по дві достовірні, випадкові та неможливі події.
До одного з них виконати рисунок.
1.1. Деякі відомості з комбінаторики
1.1.1. Розміщення
Розглянемо найпростіші поняття, пов'язані з вибором та розташуванням деякої множини об'єктів.
Підрахунок числа способів, якими можна зробити ці дії, часто проводиться при вирішенні ймовірнісних завдань.
Визначення. Розміщенням з nелементів по k (k ≤n) називається будь-яке впорядковане підмножина з kелементів множини, що складається з nрізних елементів.
приклад.Наступні послідовності цифр є розміщеннями по 2 елементи з 3 елементів множини (1; 2; 3): 12, 13, 23, 21, 31, 32.
Зауважимо, що розміщення відрізняються порядком входять до них елементів та його складом. Розміщення 12 та 21 містять однакові цифри, але порядок їх розташування різний. Тому ці розміщення вважаються різними.
Число різних розміщень з nелементів по kпозначається та обчислюється за формулою:
,
де n! = 1∙2∙...∙(n - 1)∙n(читається « n- Факторіал »).
Число двоцифрових чисел, які можна становити з цифр 1, 2, 3 за умови, що жодна цифра не повторюється одно: .
1.1.2. Перестановки
Визначення. Перестановками з nелементів називаються такі розміщення з nелементів, які відрізняються лише розташуванням елементів.
Число перестановок з nелементів P nобчислюється за такою формулою: P n=n!
приклад.Скільки способами можуть стати черга 5 людина? Кількість методів дорівнює числу перестановок із 5 елементів, тобто.
P 5 =5!=1∙2∙3∙4∙5=120.
Визначення. Якщо серед nелементів kоднакових, то перестановка цих nелементів називається перестановкою із повтореннями.
приклад.Нехай серед 6 книг 2 однакові. Будь-яке розташування всіх книг на полиці – перестановка з повтореннями.
Число різних перестановок з повтореннями (з nелементів, серед яких kоднакових) обчислюється за такою формулою: .
У прикладі кількість способів, якими можна розставити книги на полиці, дорівнює: .
1.1.3. Поєднання
Визначення. Поєднаннями з nелементів по kназиваються такі розміщення з nелементів по kякі одне від іншого відрізняються хоча б одним елементом.
Число різних поєднань з nелементів по kпозначається та обчислюється за формулою: .
За визначенням 0! = 1.
Для поєднань справедливі такі характеристики:
1.
2.
3.
4.
приклад.Є 5 квіток різного кольору. Для букета вибирається 3 квітки. Число різних букетів по 3 квітки з 5 дорівнює: .
1.2. Випадкові події
1.2.1. Події
Пізнання дійсності в науках відбувається в результаті випробувань (експерименту, спостережень, досвіду).
Випробуванням
або досвідом називається здійснення якогось певного комплексу умов, який може бути відтворений як завгодно велику кількість разів.
Випадковим
називається подія, яка може статися або не відбутися внаслідок деякого випробування (досвіду).
Таким чином, подія сприймається як результат випробування.
приклад.Кидання монети – це випробування. Поява орла під час кидання – подія.
Події, що ми спостерігаємо, розрізняються за ступенем можливості їх появи і за характером їх взаємозв'язку.
Подія називається достовірним
якщо воно обов'язково відбудеться в результаті даного випробування.
приклад.Отримання студентом позитивної чи негативної оцінки на іспиті є подією достовірною, якщо іспит протікає згідно з звичайними правилами.
Подія називається неможливим
якщо воно не може статися в результаті даного випробування.
приклад.Вилучення з урни білої кулі, в якій знаходяться лише кольорові (небілі) кулі, є неможливою подією. Зазначимо, що за інших умов досвіду появи білої кулі не виключається; таким чином, ця подія неможлива лише за умов нашого досвіду.
Далі випадкові події позначатимемо великими латинськими літерами A,B,C... Достовірну подію позначимо буквою Ω, неможлива – Ø.
Дві чи кілька подій називаються рівноможливими
у цьому випробуванні, якщо є підстави вважати, що жодна з цих подій не є більш можливим або менш можливим, ніж інші.
приклад.При одному киданні гральної кістки поява 1, 2, 3, 4, 5 і 6 очок – все це події рівноможливі. Передбачається, звичайно, що гральна кістка виготовлена з однорідного матеріалу та має правильну форму.
Дві події називаються несумісними
у цьому випробуванні, якщо поява одного з них виключає появу іншого, та спільними
в іншому випадку.
приклад.У ящику є стандартні та нестандартні деталі. Беремо на удачу одну деталь. Поява стандартної деталі унеможливлює появу нестандартної деталі. Ці події несумісні.
Декілька подій утворюють повну групу подій
у цьому випробуванні, якщо в результаті цього випробування обов'язково настане хоча б одне з них.
приклад.Події з прикладу утворюють повну групу рівноможливих та попарно несумісних подій.
Дві несумісні події, що утворюють повну групу подій у цьому випробуванні, називаються протилежними подіями.
Якщо одне з них позначено через A, то інше прийнято позначати через (читається «не A»).
приклад.Попадання та промах при одному пострілі за метою – події протилежні.
1.2.2. Класичне визначення ймовірності
Ймовірність події
- Чисельний захід можливості його наступу.
Подія Аназивається сприятливим
події У, якщо щоразу, коли настає подія А, настає і подія У.
Події А 1 , А 2 , ..., Аnутворюють схему випадків
, якщо вони:
1) рівноможливі;
2) попарно несумісні;
3) утворюють повну групу.
У схемі випадків (і лише у цій схемі) має місце класичне визначення ймовірності P(A) події А. Тут випадково називають кожну з подій, що належать до виділеної повної групи рівноможливих і попарно несумісних подій.
Якщо n- Число всіх випадків у схемі, а m– кількість випадків, що сприяють події А, то ймовірність події
Авизначається рівністю:
З визначення ймовірності випливають такі властивості:
1. Імовірність достовірної події дорівнює одиниці.
Справді, якщо подія є достовірною, то кожен випадок у схемі випадків сприяє події. В цьому випадку m = nі, отже, 
2. Імовірність неможливої події дорівнює нулю.
Справді, якщо подія неможлива, то жоден випадок зі схеми випадків не сприятиме події. Тому m=0 і, отже, 
Імовірність випадкової події є позитивним числом, укладеним між нулем і одиницею.
Справді, до випадкової події сприяє лише частина із загальної кількості випадків у схемі випадків. Тому 0<m<n, а, отже, 0<m/n<1 и, следовательно, 0 < P(A) < 1.
Отже, ймовірність будь-якої події задовольняє нерівності
0 ≤ P(A) ≤ 1.
В даний час властивості ймовірності визначаються у вигляді аксіом, сформульованих О.М. Колмогоровим.
Однією з основних переваг класичного визначення ймовірності є можливість обчислити ймовірність події безпосередньо, тобто. не вдаючись до дослідів, які замінюють логічними міркуваннями.
Завдання безпосереднього обчислення ймовірностей
Завдання 1.1. Якою є ймовірність появи парного числа очок (подія А) при одному киданні грального кубика?
Рішення. Розглянемо події Аi– випало iокулярів, i= 1, 2, …,6. Вочевидь, що це події утворюють схему випадків. Тоді число всіх випадків n= 6. Випадання парного числа очок сприяють випадки А 2 , А 4 , А 6, тобто. m= 3. Тоді 
.
Завдання 1.2. В урні 5 білих та 10 чорних куль. Кулі ретельно перемішують і потім навмання виймають 1 кулю. Яка ймовірність того, що вийнята куля виявиться білою?
Рішення. Усього є 15 випадків, які утворюють схему випадків. Причому очікуваній події А- появі білої кулі, сприяють 5 з них, тому 
.
Завдання 1.3. Дитина грає з шістьма літерами абетки: А, А, Е, К, Р, Т. Знайти ймовірність того, що він зможе скласти випадково слово КАРЕТА (подія А).
Рішення. Рішення ускладнюється тим, що серед літер є однакові дві літери «А». Тому число всіх можливих випадків у даному випробуванні дорівнює кількості перестановок з повтореннями з 6 букв:
.
Ці випадки рівноможливі, попарно несумісні утворюють повну групу подій, тобто. утворюють схему випадків. Лише один випадок сприяє події А. Тому
.
Завдання 1.4. Таня та Ваня домовилися зустрічати Новий рік у компанії з 10 осіб. Вони обоє дуже хотіли сидіти поряд. Яка ймовірність виконання їхнього бажання, якщо серед їхніх друзів прийнято місця розподіляти шляхом жереба?
Рішення. Позначимо через Аподія «виконання бажання Тані та Вані». 10 людей можуть сісти за стіл 10! різними способами. Скільки ж із цих n= 10! рівноможливих способів сприятливі для Тані та Вані? Таня та Ваня, сидячи поряд, можуть зайняти 20 різних позицій. У той же час, вісімка їхніх друзів може сісти за стіл 8! різними способами, тому m= 20∙8!. Отже, 
.
Завдання 1.5. Група з 5 жінок та 20 чоловіків обирає трьох делегатів. Вважаючи, що кожен із присутніх з однаковою ймовірністю може бути обраний, знайти ймовірність того, що виберуть двох жінок та одного чоловіка.
Рішення. Загальна кількість рівноможливих результатів випробування дорівнює числу способів, якими можна вибрати трьох делегатів із 25 чоловік, тобто. . Підрахуємо тепер кількість сприятливих випадків, тобто. кількість випадків, при яких має місце цікава для нас подія. Чоловік-делегат може бути обраний двадцятьма способами. При цьому решта двох делегатів має бути жінками, а вибрати двох жінок з п'яти можна. Отже, . Тому
.
Завдання 1.6.Чотири кульки випадковим чином розкидаються по чотирьох лунках, кожна кулька потрапляє в ту чи іншу лунку з однаковою ймовірністю і незалежно від інших (перешкод до попадання в ту саму лунку кількох кульок немає). Знайти ймовірність того, що в одній з лунок виявиться три кульки, в іншій - одна, а в двох інших лунках не буде кульок.
Рішення. Загальна кількість випадків n=4 4 . Число способів, якими можна вибрати одну лунку, де будуть три кульки, . Число способів, якими можна вибрати лунку, де буде одна кулька, . Число способів, якими можна вибрати з чотирьох кульок три, щоб покласти їх у першу лунку, . Загальна кількість сприятливих випадків. Імовірність події: 
Завдання 1.7.У ящику 10 однакових куль, помічених номерами 1, 2, …, 10. На удачу вилучено шість куль. Знайти ймовірність того, що серед вилучених куль виявляться: а) куля №1; б) кулі №1 та №2.
Рішення. а) Загальна кількість можливих елементарних результатів випробування дорівнює числу способів, якими можна витягти шість куль із десяти, тобто.
Знайдемо число результатів, які сприяють події, що цікавить нас: серед відібраних шести куль є куля №1 і, отже, решта п'яти куль мають інші номери. Число таких результатів, очевидно, дорівнює числу способів, якими можна відібрати п'ять куль із дев'яти, тобто.
Шукана ймовірність дорівнює відношенню числа наслідків, що сприяють події, що розглядається, до загального числа можливих елементарних наслідків:
б) Число результатів, які сприяють цікавій для нас події (серед відібраних куль є кулі №1 і №2, отже, чотири кулі мають інші номери), дорівнює кількості способів, якими можна витягти чотири кулі з восьми, тобто. Шукана ймовірність 
1.2.3. Статистична ймовірність
Статистичне визначення ймовірності використовується у разі, коли результати досвіду є рівноможливими.
Відносна частота події
Авизначається рівністю:
,
де m– кількість випробувань, у яких подія Анастало, n- Загальна кількість проведених випробувань.
Я. Бернуллі довів, що при необмеженому збільшенні числа дослідів відносна частота появи події буде практично скільки завгодно мало відрізнятися від деякого постійного числа. Виявилося, що це постійне число є ймовірністю появи події. Тому, природно, відносну частоту появи події при досить значній кількості випробувань називати статистичною ймовірністю на відміну раніше введеної ймовірності.
Приклад 1.8. Як приблизно встановити кількість риб в озері?
Нехай в озері хриб. Закидаємо мережу і, скажімо, знаходимо в ній nриб. Кожну з них мітимо та випускаємо назад. Через кілька днів у таку саму погоду і в тому ж місці закидаємо ту саму мережу. Припустимо, що знаходимо в ній m риб, серед яких kмічених. Нехай подія А- «Піймана риба мічена». Тоді за визначенням відносної частоти.
Але якщо в озері хриб і ми в нього випустили nмічених, то .
Так як Р * (А) » Р(А), то .
1.2.4. Операції над подіями. Теорема складання ймовірностей
Сумою, або об'єднанням, кількох подій називається подія, що полягає в настанні хоча б однієї з цих подій (в тому самому випробуванні).
Сума А 1 + А 2 + … + Аnпозначається так: 
або 
.
приклад. Впадають дві гральні кістки. Нехай подія Аполягає у випаданні 4 очок на 1 кістки, а подія У– у випадінні 5 очок на іншій кістці. Події Аі Успільні. Тому подія А +Уполягає у випаданні 4 очок на першій кістці, або 5 очок на другій кістці, або 4 очок на першій кістці та 5 очок на другій одночасно.
приклад.Подія А- Виграш по 1 позиці, подія У- Виграш по 2 позики. Тоді подія А+В- Виграш хоча б по одній позиці (можливо по двох відразу).
Творомабо перетином кількох подій називається подія, що полягає у спільній появі всіх цих подій (в тому самому випробуванні).
твір Уподій А 1 , А 2 , …, Аnпозначається так:
.
приклад.Події Аі Уполягають в успішному проходженні I та II турів відповідно при вступі до інституту. Тоді подія А×Вполягає в успішному проходженні обох турів.
Поняття суми та твори подій мають наочну геометричну інтерпретацію. Нехай подія Ає влучення точки в область А, а подія У- Потраплення точки в область У. Тоді подія А+Вє потрапляння точки до об'єднання цих областей (рис. 2.1), а подія АУє попадання точки у перетин цих областей (рис. 2.2).
Мал. 2.1 Мал. 2.2
Теорема. Якщо події A і(i = 1, 2, …, n) попарно несумісні, то ймовірність суми подій дорівнює сумі ймовірностей цих подій: 
.
Нехай Аі Ā
- Протилежні події, тобто. А + Ā= Ω, де Ω – достовірна подія. З теореми складання випливає, що
Р(Ω) = Р(А) + Р(Ā
) = 1, тому
Р(Ā
) = 1 – Р(А).
Якщо події А 1 та А 2 спільні, то ймовірність суми двох спільних подій дорівнює:
Р(А 1 + А 2) = Р(А 1) + Р(А 2) - Р( А 1 × А 2).
Теореми складання ймовірностей дозволяють перейти від безпосереднього підрахунку ймовірностей визначення ймовірностей наступу складних подій.
Завдання 1.8. Стрілець робить один постріл по мішені. Імовірність вибити 10 очок (подія А), 9 очок (подія У) та 8 очок (подія З) рівні відповідно 0,11; 0,23; 0,17. Знайти ймовірність того, що за одного пострілу стрілок виб'є менше 8 очок (подія D).
Рішення. Перейдемо до протилежної події – за одного пострілу стрілок виб'є не менше 8 очок. Подія настає, якщо станеться Аабо У, або З, тобто. . Оскільки події А, В, Зпопарно несумісні, то, за теоремою складання,
звідки.
Завдання 1.9. Від колективу бригади, яка складається з 6 чоловіків та 4 жінок, на профспілкову конференцію вибираються дві особи. Якою є ймовірність, що серед обраних хоча б одна жінка (подія А).
Рішення. Якщо станеться подія А, то обов'язково відбудеться одна з наступних несумісних подій: У– «обрані чоловік і жінка»; З- «Вибрано дві жінки». Тому можна записати: А = В + С. Знайдемо ймовірність подій Уі З. Двоє людей з 10 можна вибрати способами. Двох жінок із 4 можна вибрати способами. Чоловіка та жінку можна вибрати 6×4 способами. Тоді. Оскільки події Уі Знесумісні, то, за теоремою складання,
Р(А) = Р(В + С) = Р(В) + Р(С) = 8/15 + 2/15 = 2/3.
Завдання 1.10.На стелажі в бібліотеці у випадковому порядку розставлено 15 підручників, причому п'ять із них у палітурці. Бібліотекар бере навмання три підручники. Знайти ймовірність того, що хоча б один із взятих підручників опиниться в палітурці (подія А).
Рішення. Перший метод. Вимога – хоча б один із трьох взятих підручників у палітурці – буде здійснена, якщо відбудеться будь-яка з наступних трьох несумісних подій: У– один підручник у палітурці, З– два підручники у палітурці, D– три підручники у палітурці.
Цікава для нас подія Аможна подати у вигляді суми подій: A=B+C+D. За теоремою складання,
P(A) = P(B) + P(C) + P(D). (2.1)
Знайдемо ймовірність подій B, Cі D(див. комбінаторні схеми): 
Представивши ці ймовірності у рівність (2.1), остаточно отримаємо
P(A)= 45/91 + 20/91 + 2/91 = 67/91.
Другий спосіб. Подія А(хоча б один із взятих трьох підручників має палітурку) і Ā
(жоден із взятих підручників не має палітурки) – протилежні, тому P(A) + P(A) = 1 (сума ймовірностей двох протилежних подій дорівнює 1). Звідси P(A) = 1 – P(?).Ймовірність появи події Ā
(жоден із взятих підручників не має палітурки)
Шукана ймовірність
P(A) = 1 – P() = 1 – 24/91 = 67/91.
1.2.5. Умовна можливість. Теорема множення ймовірностей
Умовною ймовірністю Р(В/А) називається ймовірність події, обчислена в припущенні, що подія А вже настала.
Теорема. Імовірність спільної появи двох подій дорівнює добутку ймовірностей одного з них на умовну ймовірність іншого, обчислену у припущенні, що перша подія вже настала:
Р(А∙У) = Р(А)∙Р( У/А). (2.2)
Дві події називаються незалежними, якщо поява будь-якого їх змінює ймовірність появи іншого, тобто.
Р(А) = Р(А/В) або Р(В) = Р(В/А). (2.3)
Якщо події Аі Унезалежні, то з формул (2.2) та (2.3) випливає
Р(А∙У) = Р(А)∙Р(В). (2.4)
Справедливо та зворотне твердження, тобто. якщо двох подій виконується рівність (2.4), ці події незалежні. Справді, з формул (2.4) та (2.2) випливає
Р(А∙У) = Р(А)∙Р(В) = Р(А) × Р(В/А), звідки Р(А) = Р(В/А).
Формула (2.2) допускає узагальнення у разі кінцевого числа подій А 1 , А 2 ,…,А n:
Р(А 1 ∙А 2 ∙…∙А n)=Р(А 1)∙Р(А 2 /А 1)∙Р(А 3 /А 1 А 2)∙…∙Р(А n/А 1 А 2 …А n -1).
Завдання 1.11. З урни, в якій 5 білих та 10 чорних куль, виймають поспіль дві кулі. Знайти ймовірність того, що обидві кулі білі (подія А).
Рішення. Розглянемо події: У– перша вийнята біла куля; З– друга вийнята біла куля. Тоді А = НД.
Досвід можна провести двома способами:
1) з поверненням: вийнятий шар після фіксації кольору повертається в урну. У цьому випадку події Уі Знезалежні:
Р(А) = Р(В)∙Р(С) = 5/15 × 5/15 = 1/9;
2) без повернення: вийнята куля відкладається убік. У цьому випадку події Уі Ззалежні:
Р(А) = Р(В)∙Р(С/У).
Для події Уумови колишні, а для Зситуація змінилась. Сталося У, отже в урні залишилося 14 куль, серед яких 4 білих.
Отже, .
Завдання 1.12. Серед 50 електричних лампочок 3 нестандартні. Знайти ймовірність того, що дві взяті лампочки нестандартні.
Рішення. Розглянемо події: А– перша лампочка нестандартна, У- Друга лампочка нестандартна, З- Обидві лампочки нестандартні. Зрозуміло, що З = А∙У. Події Асприяють 3 випадки із 50 можливих, тобто. Р(А) = 3/50. Якщо подія Авже настало, то події Усприяють два випадки із 49 можливих, тобто. Р(В/А) = 2/49. Отже,
.
Завдання 1.13. Два спортсмени незалежно один від одного стріляють по одній мішені. Імовірність влучення у мету першого спортсмена дорівнює 0,7, а другого – 0,8. Яка ймовірність того, що мета буде вражена?
Рішення. Мета буде вражена, якщо до неї потрапить або перший стрілець, або другий, або обидва разом, тобто. відбудеться подія А+В, де подія Аполягає в попаданні в ціль першим спортсменом, а подія У- Другим. Тоді
Р(А+У)=Р(А)+Р(В)–Р(А∙У)=0, 7+0, 8–0, 7∙0,8=0,94.
Завдання 1.14.У читальному залі є шість підручників з теорії ймовірностей, з яких три в палітурці. Бібліотекар навмання взяв два підручники. Знайти ймовірність того, що два підручники опиняться у палітурці.
Рішення. Введемо позначення подій : A– перший взятий підручник має плетіння, У– другий підручник має палітурку. Імовірність того, що перший підручник має палітурку,
P(A) = 3/6 = 1/2.
Імовірність те, що другий підручник має обкладинка, за умови, перший взятий підручник був у палітурці, тобто. умовна ймовірність події У, Така: P(B/а) = 2/5.
Шукана ймовірність того, що обидва підручники мають палітурку, за теоремою множення ймовірностей подій дорівнює
P(AB)) = P(A) ∙ P(B/а)= 1/2 · 2/5 = 0,2.
Завдання 1.15.У цеху працюють 7 чоловіків та 3 жінки. За табельними номерами навмання відібрано троє людей. Знайти ймовірність того, що всі відібрані особи виявляться чоловіками.
Рішення. Введемо позначення подій: A- Першим відібраний чоловік, У- Другим відібраний чоловік, С –третім відібрано чоловіка. Імовірність того, що першим буде відібраний чоловік, P(A) = 7/10.
Імовірність те, що другим відібраний чоловік, за умови, першим вже було відібрано чоловік, тобто. умовна ймовірність події Унаступна : P(B/А) = 6/9 = 2/3.
Імовірність те, що третім буде відібраний чоловік, за умови, що вже відібрано двох чоловіків, тобто. умовна ймовірність події Зтака: P(C/АВ) = 5/8.
Шукана ймовірність того, що всі три відібрані особи виявляться чоловіками, P(ABC) = P(A) P(B/А) P(C/АВ) = 7/10 · 2/3 · 5/8 = 7/24.
1.2.6. Формула повної ймовірності та формула Байєса
Нехай B 1 , B 2 ,…, B n– попарно несумісні події (гіпотези) та А– подія, яка може статися лише разом із одним із них.
Нехай, крім того, нам відомі Р(B i) та Р(А/B i) (i = 1, 2, …, n).
У цих умовах справедливі формули: 
(2.5)
(2.6)
Формула (2.5) називається формулою повної ймовірності
. По ній обчислюється ймовірність події А(Повна ймовірність).
Формула (2.6) називається формулою Байєса
. Вона дозволяє зробити перерахунок ймовірностей гіпотез, якщо подія Асталося.
При складанні прикладів зручно вважати, що гіпотези утворюють повну групу.
Завдання 1.16. У кошику яблука із чотирьох дерев одного сорту. З першого – 15% усіх яблук, з другого – 35%, з третього – 20%, з четвертого – 30%. Дозрілі яблука становлять відповідно 99%, 97%, 98%, 95%.
а) Яка ймовірність того, що навмання взяте яблуко виявиться стиглим (подія А).
б) За умови, що навмання взяте яблуко виявилося стиглим, вирахувати ймовірність того, що воно з першого дерева.
Рішення. а) Маємо 4 гіпотези:
B 1 - навмання взяте яблуко знято з 1-го дерева;
B 2 - навмання взяте яблуко знято з 2-го дерева;
B 3 - навмання взяте яблуко знято з 3-го дерева;
B 4 - навмання взяте яблуко знято з 4-го дерева.
Їх ймовірності за умовою: Р(B 1) = 0,15; Р(B 2) = 0,35; Р(B 3) = 0,2; Р(B 4) = 0,3.
Умовні ймовірності події А:
Р(А/B 1) = 0,99; Р(А/B 2) = 0,97; Р(А/B 3) = 0,98; Р(А/B 4) = 0,95.
Імовірність того, що навмання взяте яблуко виявиться стиглим, знаходиться за формулою повної ймовірності:
Р(А)=Р(B 1)∙Р(А/B 1)+Р(B 2)∙Р(А/B 2)+Р(B 3)∙Р(А/B 3)+Р(B 4)∙Р(А/B 4)=0,969.
б) Формула Байєса для нашого випадку має вигляд: 
.
Завдання 1.17.У урну, що містить дві кулі, опущена біла куля, після чого з неї навмання вилучено одну кулю. Знайти ймовірність того, що витягнутий шар виявиться білим, якщо рівноможливі всі можливі припущення про початковий склад куль (за кольором).
Рішення. Позначимо через Аподія – витягнуто білу кулю. Можливі наступні припущення (гіпотези) про початковий склад куль: B 1– білих куль немає, В 2- одна біла куля, У 3– дві білі кулі.
Оскільки є три гіпотези, і сума ймовірностей гіпотез дорівнює 1 (оскільки вони утворюють повну групу подій), то ймовірність кожної з гіпотез дорівнює 1/3, тобто.
P(B 1) = P(B 2)= P(B 3) = 1/3.
Умовна ймовірність того, що буде витягнуто білу кулю, за умови, що спочатку в урні не було білих куль, Р(А/B 1) = 1/3. Умовна ймовірність того, що буде витягнуто білу кулю, за умови, що спочатку в урні була одна біла куля, Р(А/B 2) = 2/3. Умовна ймовірність того, що буде витягнуто білу кулю, за умови, що спочатку в урні було дві білі кулі Р(А/B 3)=3/ 3=1.
Шукану ймовірність того, що буде витягнуто білу кулю, знаходимо за формулою повної ймовірності:
Р(А)=Р(B 1)∙Р(А/B 1)+Р(B 2)∙Р(А/B 2)+Р(B 3)∙Р(А/B 3)=1/3·1/3+1/3·2/3+1/3·1=2/3 .
Завдання 1.18. Два автомати виробляють однакові деталі, які надходять на загальний конвеєр. Продуктивність першого автомата вдвічі більша за продуктивність другого. Перший автомат виготовляє в середньому 60% деталей відмінної якості, а другий – 84%. Наудачу взята з конвеєра деталь виявилася відмінної якості. Знайти ймовірність того, що ця деталь зроблена першим автоматом.
Рішення. Позначимо через Аподія – деталь відмінної якості. Можна зробити два припущення: B 1– деталь зроблена першим автоматом, причому (оскільки перший автомат виробляє вдвічі більше деталей, ніж другий) Р(А/B 1) = 2/3; B 2 – деталь зроблена другим автоматом, причому P(B 2) = 1/3.
Умовна ймовірність того, що деталь буде відмінної якості, якщо вона зроблена першим автоматом, Р(А/B 1)=0,6.
Умовна ймовірність того, що деталь буде відмінної якості, якщо вона зроблена другим автоматом, Р(А/B 1)=0,84.
Імовірність того, що навмання взята деталь виявиться відмінної якості, за формулою повної ймовірності дорівнює
Р(А)=Р(B 1) ∙Р(А/B 1)+Р(B 2) ∙Р(А/B 2) = 2/3 · 0,6 +1 / 3 · 0,84 = 0,68.
Шукана ймовірність того, що взята відмінна деталь зроблена першим автоматом, за формулою Бейєса дорівнює
Завдання 1.19. Є три партії деталей по 20 деталей у кожній. Число стандартних деталей у першій, другій та третій партіях відповідно дорівнюють 20, 15, 10. З обраної партії навмання вилучено деталь, що виявилася стандартною. Деталі повертають у партію і вдруге з цієї ж партії навмання витягують деталь, яка також виявляється стандартною. Знайти ймовірність того, що деталі витягли з третьої партії.
Рішення. Позначимо через Аподія – у кожному з двох випробувань (з поверненням) було вилучено стандартну деталь. Можна зробити три припущення (гіпотези): B 1 – деталі витягуються з першої партії, У 2
– деталі витягуються з другої партії, У 3 – деталі витягуються із третьої партії.
Деталі витягувалися навмання з взятої партії, тому ймовірності гіпотез однакові: P(B 1) = P(B 2) = P(B 3) = 1/3.
Знайдемо умовну ймовірність Р(А/B 1), тобто. ймовірність того, що з першої партії буде послідовно вилучено дві стандартні деталі. Ця обставина достовірно, т.к. у першій партії всі деталі стандартні, тому Р(А/B 1) = 1.
Знайдемо умовну ймовірність Р(А/B 2), тобто. ймовірність того, що з другої партії буде послідовно вилучено (з поверненням) дві стандартні деталі: Р(А/B 2)= 15/20 ∙ 15/20 = 9/16.
Знайдемо умовну ймовірність Р(А/B 3), тобто. ймовірність того, що з третьої партії буде послідовно вилучено (з поверненням) дві стандартні деталі: Р(А/B 3) = 10/20 · 10/20 = 1/4.
Шукана ймовірність того, що обидві витягнуті стандартні деталі взяті з третьої партії, за формулою Бейєса дорівнює 
1.2.7. Повторні випробування
Якщо проводиться кілька випробувань, причому ймовірність події Ау кожному випробуванні не залежить від результатів інших випробувань, то такі випробування називають незалежними щодо події О.У різних незалежних випробуваннях подія Аможе мати різні ймовірності, або одну і ту ж ймовірність. Далі розглядатимемо лише такі незалежні випробування, в яких подія Амає ту саму ймовірність.
Нехай проводиться пнезалежних випробувань, у кожному з яких подія Аможе виникнути або виникнути. Умовимося вважати, що ймовірність події Ау кожному випробуванні одна й та сама, а саме дорівнює нар.Отже, ймовірність ненастання події Ау кожному випробуванні також постійна і дорівнює 1- нар.Така ймовірнісна схема називається схемою Бернуллі. Поставимо перед собою завдання обчислити ймовірність того, що при пвипробуваннях за схемою Бернуллі подія Аздійсниться рівно kраз ( k– число успіхів) і, отже, не здійсниться п-разів. Важливо підкреслити, що не потрібно, щоб подія Аповторилося рівно kраз у певній послідовності. Шукану ймовірність позначимо Р п (k).
Наприклад, символ Р 5 (3) означає ймовірність того, що в п'яти випробуваннях подія з'явиться рівно 3 рази і, отже, не настане 2 рази.
Поставлене завдання можна вирішити за допомогою так званої формули Бернуллі,яка має вигляд: 
.
Завдання 1.20.Імовірність того, що витрата електроенергії протягом однієї доби не перевищить встановленої норми, дорівнює р=0,75. Знайти ймовірність того, що протягом найближчих 6 діб витрата електроенергії протягом 4 діб не перевищить норми.
Рішення.Імовірність нормальної витрати електроенергії протягом кожних з 6 діб постійна і дорівнює р=0,75. Отже, ймовірність перевитрати електроенергії щодня також постійна і дорівнює q= 1–р=1–0,75=0,25.
Шукана ймовірність за формулою Бернуллі дорівнює
.
Завдання 1.21. Два рівносильні шахи грають у шахи. Що ймовірніше: виграти дві партії з чотирьох чи три партії з шести (нічиї до уваги не беруться)?
Рішення. Грають рівносильні шахісти, тому ймовірність виграшу р= 1/2, отже, ймовірність програшу qтакож дорівнює 1/2. Т.к. у всіх партіях ймовірність виграшу постійна і байдужа, в якій послідовності будуть виграні партії, то застосовна формула Бернуллі.
Знайдемо ймовірність того, що дві партії з чотирьох будуть виграні:
Знайдемо ймовірність того, що буде виграно три партії з шести:
Т.к. P 4 (2) > P 6 (3), то ймовірніше виграти дві партії з чотирьох, ніж три із шести.
Однак можна бачити, що користуватися формулою Бернуллі при великих значеннях nдосить складно, оскільки формула вимагає виконання дій над величезними числами і у процесі обчислень накопичуються похибки; у результаті остаточний результат може істотно відрізнятиметься від істинного.
Для вирішення цієї проблеми існують кілька граничних теорем, які використовуються для великої кількості випробувань.
1. Теорема Пуассона
При проведенні великої кількості випробувань за схемою Бернуллі (при n=> ∞) і за малої кількості сприятливих результатів k(при цьому передбачається, що ймовірність успіху pмала), формула Бернуллі наближається до формули Пуассона 
.
приклад 1.22.Імовірність шлюбу під час випуску підприємством одиниці виробленої продукції дорівнює p=0,001. Яка ймовірність, що з випуску 5000 одиниць продукції їх буде менше 4 бракованих (подія А Рішення. Т.к. nвелике, скористаємося локальною теоремою Лапласа: 
Обчислимо x:
Функція 
- парна, тому φ(-1,67) = φ(1,67).
За таблицею програми П.1 знайдемо φ(1,67) = 0,0989.
Шукана ймовірність P 2400 (1400) = 0,0989.
3. Інтегральна теорема Лапласа
Якщо ймовірність рпояви події Aу кожному випробуванні за схемою Бернуллі постійна і відмінна від нуля та одиниці, то при великій кількості випробувань n, Імовірність Р п (k 1 , k 2) появи події Aу цих випробуваннях від k 1 до k 2 рази приблизно дорівнює
Р п(k 1 , k 2) = Φ ( x"") – Φ ( x"), де 
- функція Лапласа,
Певний інтеграл, що стоїть функції Лапласа не обчислюється на класі аналітичних функцій, для його обчислення використовується табл. П.2, наведена у додатку.
приклад 1.24.Імовірність появи події у кожному зі ста незалежних випробувань постійна та дорівнює p= 0,8. Знайти ймовірність того, що подія з'явиться: a) не менше ніж 75 разів і не більше 90 разів; б) щонайменше 75 раз; в) трохи більше 74 раз.
Рішення. Скористаємося інтегральною теоремою Лапласа:
Р п(k 1 , k 2) = Φ ( x"") – Φ( x"), де Ф( x) – функція Лапласа,
а) За умовою, n = 100, p = 0,8, q = 0,2, k 1 = 75, k 2 = 90. Обчислимо x""і x" :
З огляду на, що функція Лапласа непарна, тобто. Ф(- x) = - Ф ( x), отримаємо
P 100 (75; 90) = Ф (2,5) - Ф (-1,25) = Ф (2,5) + Ф (1,25).
За табл. П.2. програми знайдемо:
Ф(2,5) = 0,4938; Ф(1,25) = 0,3944.
Шукана ймовірність
P 100 (75; 90) = 0,4938 + 0,3944 = 0,8882.
б) Вимога, щоб подія з'явилася не менше 75 разів, означає, що кількість появи події може дорівнювати 75, або 76, …, або 100. Т.ч. k 1 = 75, k 2 = 100. Тоді 
.
За табл. П.2. додатки знайдемо Ф(1,25) = 0,3944; Ф(5) = 0,5.
Шукана ймовірність
P 100 (75;100) = (5) – (–1,25) = (5) + (1,25) = 0,5 + 0,3944 = 0,8944.
в) Подія – « Аз'явилося не менше 75 разів» та « Аз'явилося не більше 74 разів» протилежні, тому сума ймовірностей цих подій дорівнює 1. Отже, шукана ймовірність
P 100 (0;74) = 1 – P 100 (75; 100) = 1 – 0,8944 = 0,1056.
Loading...