Одна з найскладніших тем для учнів – це вирішення рівнянь, які містять змінну під знаком модуля. Давайте розберемося для початку з чим це пов'язано? Чому, наприклад, квадратні рівняння більшість дітей клацає як горішки, а з таким далеко не самим складним поняттямяк модуль має стільки проблем?
На мою думку, всі ці складності пов'язані з відсутністю чітко сформульованих правил для вирішення рівнянь із модулем. Так, вирішуючи квадратне рівнянняУчень точно знає, що йому потрібно спочатку застосовувати формулу дискримінанта, а потім формули коренів квадратного рівняння. А що робити, якщо на рівнянні зустрівся модуль? Постараємося чітко описати необхідний план дій у разі, коли рівняння містить невідому під знаком модуля. До кожного випадку наведемо кілька прикладів.
Але для початку згадаємо визначення модуля. Отже, модулем числа aназивається саме це число, якщо aневід'ємно та -a, якщо число a менше нуля. Записати це можна так:
|a| = a, якщо a ≥ 0 та |a| = -a, якщо a< 0
Говорячи про геометричному сенсімодуля, слід пам'ятати, що кожному дійсному числу відповідає певна точка на числовій осі - її до 
оординату. Так ось, модулем або абсолютною величиною числа називається відстань від цієї точки до початку відліку числової осі. Відстань завжди задається позитивним числом. Таким чином, модуль будь-якого негативного числає число позитивне. До речі, навіть на цьому етапі багато учнів починають плутатися. У модулі може стояти будь-яке число, а ось результат застосування модуля завжди число позитивне.
Тепер перейдемо безпосередньо до розв'язання рівнянь.
1. Розглянемо рівняння виду | = с, де с – дійсне число. Це рівняння можна вирішити за допомогою модуля.
Всі дійсні числа розіб'ємо на три групи: ті, що більше за нуль, ті, що менше за нуль, і третя група – це число 0. Запишемо рішення у вигляді схеми:
(±c, якщо з > 0
Якщо | x | = c, то x = (0, якщо с = 0
(немає коріння, якщо з< 0
1) | = 5, т.к. 5> 0, то x = ±5;
2) | = -5, т.к. -5< 0, то уравнение не имеет корней;
3) | = 0 то x = 0.
2. Рівняння виду | f (x) | = b, де b > 0. Для розв'язання цього рівняння необхідно позбутися модуля. Робимо це так: f(x) = b або f(x) = -b. Тепер необхідно вирішити окремо кожне із отриманих рівнянь. Якщо у вихідному рівнянні b< 0, решений не будет.
1) | x + 2 | = 4, т.к. 4 > 0, то
x + 2 = 4 або x + 2 = -4
2) | x 2 – 5 | = 11, т.к. 11 > 0, то
x 2 - 5 = 11 або x 2 - 5 = -11
x 2 = 16 x 2 = -6
x = ± 4 немає коренів
3) | x 2 - 5x | = -8, т.к. -8< 0, то уравнение не имеет корней.
3. Рівняння виду | f (x) | = g(x). За змістом модуля таке рівняння матиме рішення, якщо його права частина більша чи дорівнює нулю, тобто. g(x) ≥ 0. Тоді матимемо:
f(x) = g(x)або f(x) = -g(x).
1) | 2x - 1 | = 5x – 10. Це рівняння матиме коріння, якщо 5x – 10 ≥ 0. Саме з цього і починають розв'язання таких рівнянь.
1. О.Д.З. 5x – 10 ≥ 0
2. Рішення:
2x – 1 = 5x – 10 або 2x – 1 = -(5x – 10)
3. Об'єднуємо О.Д.З. та рішення, отримуємо:
Корінь x = 11/7 не підходить за О.Д.З., він менше 2, а x = 3 цій умові задовольняє.
Відповідь: x = 3
2) | x - 1 | = 1 - х 2 .
1. О.Д.З. 1 – x 2 ≥ 0. Розв'яжемо методом інтервалів дану нерівність:
(1 – x)(1 + x) ≥ 0
2. Рішення:
x – 1 = 1 – x 2 або x – 1 = -(1 – x 2)
x 2 + x - 2 = 0 x 2 - x = 0
x = -2 або x = 1 x = 0 або x = 1
3. Об'єднуємо рішення та О.Д.З.:
Підходять лише коріння x = 1 та x = 0.
Відповідь: x=0, x=1.
4. Рівняння виду | f (x) | = | g (x) |. Таке рівняння рівносильне двом наступним рівнянням f(x) = g(x) або f(x) = -g(x).
1) | x 2 - 5x + 7 | = | 2x - 5 |. Дане рівняння рівносильне двом наступним:
x 2 - 5x + 7 = 2x - 5 або x 2 - 5x +7 = -2x + 5
x 2 - 7x + 12 = 0 x 2 - 3x + 2 = 0
x = 3 або x = 4 x = 2 або x = 1
Відповідь: x = 1, x = 2, x = 3, x = 4.
5. Рівняння, які вирішуються методом підстановки (заміни змінної). Цей методрішення найпростіше пояснити на конкретному прикладі. Так, нехай дано квадратне рівняння з модулем:
x 2 - 6 | x | + 5 = 0. За якістю модуля x 2 = |x| 2 , тому рівняння можна переписати так:
|х| 2 - 6 | x | + 5 = 0. Зробимо заміну | x | = t ≥ 0, тоді матимемо:
t 2 – 6t + 5 = 0. Вирішуючи дане рівняння, отримуємо, що t = 1 або t = 5. Повернемося до заміни:
|х| = 1 чи |x| = 5
x = ±1 x = ± 5
Відповідь: x = -5, x = -1, x = 1, x = 5.
Розглянемо ще один приклад:
x 2 + | x | – 2 = 0. За якістю модуля x 2 = |x| 2 , тому
|х| 2 + | x | - 2 = 0. Зробимо заміну | x | = t ≥ 0 тоді:
t 2 + t – 2 = 0. Вирішуючи дане рівняння, отримуємо, t = -2 або t = 1. Повернемося до заміни:
|х| = -2 чи |x| = 1
Немає коріння x = ± 1
Відповідь: x=-1, x=1.
6. Ще один вид рівнянь - рівняння зі "складним" модулем. До таких рівнянь відносяться рівняння, в яких є модулі в модулі. Рівняння цього виду можна вирішувати, застосовуючи властивості модуля.
1) |3 – |x|| = 4. Діятимемо так само, як і в рівняннях другого типу. Т.к. 4 > 0, то отримаємо два рівняння:
3 - | x | = 4 чи 3 – |x| = -4.
Тепер виразимо у кожному рівнянні модуль х, тоді |x| = -1 чи |x| = 7.
Вирішуємо кожне з отриманих рівнянь. У першому рівнянні немає коріння, т.к. -1< 0, а во втором x = ±7.
Відповідь x=-7, x=7.
2) | 3 + | x + 1 | | = 5. Вирішуємо це рівняння аналогічним чином:
3 + | x + 1 | = 5 чи 3 + |x + 1| = -5
|х + 1| = 2 | x + 1 | = -8
x + 1 = 2 або x + 1 = -2. Нема коріння.
Відповідь: x=-3, x=1.
Існує ще й універсальний методрозв'язання рівнянь із модулем. Це спосіб інтервалів. Але ми його розглянемо надалі.
blog.сайт, при повному або частковому копіюванні матеріалу посилання на першоджерело обов'язкове.
Не ми вибираємо математикусвоєю професією, а вона нас обирає.
Російський математик Ю.І. Манін
Рівняння з модулем
Найбільш складними завданнями шкільної математики є рівняння, що містять змінні під знаком модуля. Для успішного розв'язання таких рівнянь необхідно знати визначення та основні властивості модуля. Звичайно, що учні повинні мати навички розв'язання рівнянь такого типу.
Основні поняття та властивості
Модуль (абсолютна величина) дійсного числапозначається і визначається так:
До простим властивостяммодуля відносяться такі співвідношення:
Зазначимо, що останні дві властивості справедливі для будь-якого парного ступеня.
Крім того, якщо, де, то і
Більш складні властивості модуля, які можна ефективно використовувати при вирішенні рівнянь із модулями, формулюються за допомогою наступних теорем:
Теорема 1.Для будь-яких аналітичних функційі справедлива нерівність
Теорема 2.Рівність рівнозначна нерівності.
Теорема 3.Рівність рівносильно нерівності.
Розглянемо типові приклади розв'язання задач на тему «Рівняння, що містять змінні під знаком модуля».
Розв'язання рівнянь із модулем
Найбільш поширеним у шкільної математикиметодом розв'язання рівнянь з модулем є метод, заснований на розкритті модулів. Цей метод є універсальним, однак у загальному випадкуйого застосування може призвести до дуже громіздких обчислень. У зв'язку з цим учні повинні знати й інші, більше ефективні методита прийоми розв'язання таких рівнянь. Зокрема, необхідно мати навички застосування теорем, наведених у цій статті.
приклад 1.Вирішити рівняння . (1)
Рішення. Рівняння (1) вирішуватимемо «класичним» методом – методом розкриття модулів. Для цього розіб'ємо числову вісьточками та на інтервали та розглянемо три випадки.
1. Якщо , то , , , і рівняння (1) набуває вигляду . Звідси випливає. Однак тут , тому знайдене значення не є коренем рівняння (1).
2. Якщо , то з рівняння (1) отримуємоабо .
Оскільки , то корінь рівняння (1).
3. Якщо , то рівняння (1) набуває виглядуабо . Відмітимо, що .
Відповідь: , .
При вирішенні наступних рівнянь з модулем активно використовуватимемо властивості модулів з метою підвищення ефективності розв'язання подібних рівнянь.
приклад 2.Вирішити рівняння.
Рішення.Так як і , то з рівняння випливає. В зв'язку з цим , , , і рівняння набуває вигляду. Звідси отримуємо. Однак, тому вихідне рівняння коренів немає.
Відповідь: коріння немає.
приклад 3.Вирішити рівняння.
Рішення.Так як, то. Якщо то , і рівняння набуває вигляду.
Звідси отримуємо.
приклад 4.Вирішити рівняння.
Рішення.Перепишемо рівняння у рівносильному вигляді. (2)
Отримане рівняння відноситься до рівнянь типу.
Беручи до уваги теорему 2, можна стверджувати, що рівняння (2) рівнозначне нерівності. Звідси отримуємо.
Відповідь: .
Приклад 5.Вирішити рівняння .
Рішення. Дане рівняння має вигляд. Тому , згідно з теоремою 3, тут маємо нерівністьабо .
Приклад 6.Вирішити рівняння.
Рішення.Припустимо, що. Так як , то задане рівняння набуває вигляду квадратного рівняння, (3)
де . Оскільки рівняння (3) має єдиний позитивний коріньі то . Звідси отримуємо два корені вихідного рівняння:та .
Приклад 7. Вирішити рівняння. (4)
Рішення. Оскільки рівняннярівносильно сукупності двох рівнянь:і , то при вирішенні рівняння (4) необхідно розглянути два випадки.
1. Якщо , то чи .
Звідси отримуємо , та .
2. Якщо , то чи .
Так як, то.
Відповідь: , , , .
Приклад 8.Вирішити рівняння . (5)
Рішення.Так як і , то . Звідси і з рівняння (5) випливає, як і , тобто. тут маємо систему рівнянь
Однак дана системарівнянь є несумісною.
Відповідь: коріння немає.
Приклад 9. Вирішити рівняння. (6)
Рішення.Якщо позначити, то і з рівняння (6) отримуємо
Або. (7)
Оскільки рівняння (7) має вигляд , це рівняння рівнозначно нерівності . Звідси отримуємо. Так як , то чи .
Відповідь: .
приклад 10.Вирішити рівняння. (8)
Рішення.Відповідно до теореми 1 можна записати
(9)
Беручи до уваги рівняння (8), робимо висновок у тому, що обидві нерівності (9) звертаються до рівності, тобто. має місце система рівнянь
Однак за теоремою 3 наведена вище система рівнянь рівносильна системі нерівностей
(10)
Вирішуючи систему нерівностей (10) отримуємо . Оскільки система нерівностей (10) дорівнює рівнянню (8), то вихідне рівняння має єдиний корінь .
Відповідь: .
Приклад 11. Вирішити рівняння. (11)
Рішення.Нехай і тоді з рівняння (11) випливає рівність .
Звідси випливає, що . Таким чином, тут маємо систему нерівностей
Розв'язанням даної системи нерівностей єта .
Відповідь: , .
приклад 12.Вирішити рівняння. (12)
Рішення. Рівняння (12) вирішуватимемо методом послідовного розкриття модулів. Для цього розглянемо кілька випадків.
1. Якщо, то.
1.1. Якщо , то , .
1.2. Якщо то . Однак, тому в даному випадкурівняння (12) коренів немає.
2. Якщо, то.
2.1. Якщо , то , .
2.2. Якщо, то й.
Відповідь: , , , , .
приклад 13.Вирішити рівняння. (13)
Рішення.Оскільки ліва частинарівняння (13) неотрицательна, те й . У цьому зв'язку і рівняння (13)
набуває вигляду або .
Відомо, що рівняння рівносильно сукупності двох рівняньі , вирішуючи які отримуємо, . Так як , то рівняння (13) має один корінь.
Відповідь: .
приклад 14. Розв'язати систему рівнянь (14)
Рішення.Так як і , то і . Отже, із системи рівнянь (14) отримуємо чотири системи рівнянь:
Коріння наведених вище систем рівнянь є корінням системи рівнянь (14).
Відповідь: ,, , , , , , .
приклад 15. Розв'язати систему рівнянь (15)
Рішення.Так як, то. У цьому зв'язку із системи рівнянь (15) отримуємо дві системи рівнянь
Корінням першої системи рівнянь є і , та якщо з другої системи рівнянь отримуємо і .
Відповідь: , , , .
Приклад 16 Розв'язати систему рівнянь (16)
Рішення.З першого рівняння системи (16) випливає, що .
Оскільки , то . Розглянемо друге рівняння системи. Оскільки, то , і рівняння набуває вигляду, , або .
Якщо підставити значенняу перше рівняння системи (16), то або .
Відповідь: , .
Для більш глибокого вивченняметодів вирішення завдань, пов'язаних із розв'язанням рівнянь, містять змінні під знаком модуля, можна порадити навчальні посібникизі списку літератури, що рекомендується.
1. Збірник завдань з математики для вступників у втузи / За ред. М.І. Сканаві. - М.: Світ та Освіта, 2013. - 608 с.
2. Супрун В.П. Математика для старшокласників: завдання підвищеної складності. - М.: КД "Ліброком" / URSS, 2017. - 200 с.
3. Супрун В.П. Математика для старшокласників: нестандартні методи розв'язання задач. - М.: КД "Ліброком" / URSS, 2017. - 296 с.
Залишились питання?
Щоб отримати допомогу репетитора – зареєструйтесь.
сайт, при повному або частковому копіюванні матеріалу посилання на першоджерело обов'язкове.
Інструкція
Якщо модуль представлений як безперервної функції, то значення її аргументу то, можливо як позитивним, і негативним: |х| = х, х ≥ 0; |х| = - х, х
z1 + z2 = (x1 + x2) + i (y1 + y2);
z1 - z2 = (x1 - x2) + i(y1 - y2);
Легко помітити, що додавання та віднімання комплексних чисел підпорядковується тому ж правилу, що додавання і .
Добуток двох комплексних чисел дорівнює:
z1*z2 = (x1 + iy1) * (x2 + iy2) = x1 * x2 + i * y1 * x2 + i * x1 * y2 + (i ^ 2) * y1 * y2.
Оскільки i^2 = -1, то кінцевий результатдорівнює:
(x1 * x2 - y1 * y2) + i (x1 * y2 + x2 * y1).
Операції зведення у ступінь та вилучення кореня для комплексних чисел визначаються так само, як і для дійсних. Однак у комплексній області будь-якого числа існує рівно n таких чисел b, що b^n = a, тобто n коренів n-ого ступеня.
Зокрема, це означає, що будь-яке рівняння алгебри n-ого ступеня з однією змінною має рівно n комплексних коренів, деякі з яких можуть бути і .
Відео на тему
Джерела:
- Лекція "Комплексні числа" у 2019
Коренем називають значок, що позначає математичну операцію знаходження такого числа, зведення якого в зазначений перед знаком кореня ступінь має дати число, вказане під цим знаком. Часто на вирішення завдань, у яких є коріння, недостатньо лише розрахувати значення. Доводиться здійснювати і додаткові операції, однією з яких є внесення числа, змінної чи виразу під знак кореня.
Інструкція
Визначте показник ступеня кореня. Показником називають ціле число, що вказує ступінь, в який треба звести результат обчислення кореня, щоб отримати підкорене вираз (то число, з якого витягується цей корінь). Показник ступеня кореня як верхнього індексу перед значком кореня. Якщо це не вказано, це квадратний корінь, Ступінь якого дорівнює двійці. Наприклад, показник кореня √3 двом, показник ³√3 дорівнює трьом, показник кореня ⁴√3 дорівнює чотирьом і т.д.
Зведіть число, яке потрібно внести під знак кореня, до рівня, що дорівнює показнику цього кореня, визначеного вами на попередньому кроці. Наприклад, якщо потрібно внести число 5 під знак кореня ⁴√3, то показником ступеня кореня є четвірка і вам треба результат зведення 5 четвертий ступінь 5⁴=625. Зробити це можна будь-яким зручним вам способом - в розумі, за допомогою калькулятора або відповідних сервісів, розміщених.
Внесіть отримане на попередньому кроці значення під знак кореня як множник підкореного виразу. Для використаного в попередньому кроці прикладу з внесенням під корінь ⁴√3 5 (5*⁴√3), цю дію можна зробити так: 5*⁴√3=⁴√(625*3).
Спростіть отриманий підкорений вираз, якщо це можливо. Наприклад з попередніх кроків це , що треба просто перемножити числа, що стоять під знаком кореня: 5*⁴√3=⁴√(625*3)=⁴√1875. На цьому операцію внесення числа під корінь буде завершено.
Якщо в задачі присутні невідомі змінні, то описані вище кроки можна зробити в загальному вигляді. Наприклад, якщо потрібно внести під корінь четвертого ступеня невідому змінну x, а підкорене вираз дорівнює 5/x³, то вся послідовність дій може бути записана так: x*⁴√(5/x³)=⁴√(x⁴*5/x³)= ⁴√(x*5).
Джерела:
- як називається знак кореня
Дійсних чисел недостатньо для того, щоб вирішити будь-яке квадратне рівняння. Найпростіше з квадратних рівнянь, що не мають коріння серед дійсних чисел, - це x^2+1=0. При його вирішенні виходить, що x=±sqrt(-1), а згідно із законами елементарної алгебри, витягти корінь парного ступеня з негативного числане можна.
А обчислюється відповідно до таких правил:
Для стислості запису застосовують |а|. Так, |10| = 10; - 1/3 = | 1/3 |; | -100 | =100 і т.д.
Будь-якій величині хвідповідає досить точна величина х|. І значить тотожність у= |х| встановлює уяк деяку функцію аргументу х.
Графікцією функціїпредставлений нижче.
Для x > 0 |x| = x, а для x< 0 |x|= -x; у зв'язку з цим лінія у = | x| при x> 0 поєднана з прямою у = х(бісектриса першого координатного кута), а при х< 0 - с прямой у = -х(бісектриса другого координатного кута).
Окремі рівняннявключають невідомі під знаком модуля.
Довільні приклади таких рівнянь – | х— 1| = 2, |6 — 2х| =3х+ 1 і т.д.
Розв'язання рівняньмістять невідому під знаком модуля базується на тому, що якщо абсолютна величина невідомого числа х дорівнює позитивному числу а, то саме це число х дорівнює або а, або -а.
Наприклад:, якщо | х| = 10, або х=10, або х = -10.
Розглянемо вирішення окремих рівнянь.
Проаналізуємо рішення рівняння х- 1| = 2.
Розкриємо модультоді різниця х- 1 може дорівнювати або + 2, або - 2. Якщо х - 1 = 2, то х= 3; якщо ж х- 1 = - 2, то х= - 1. Робимо підставку і отримуємо, що ці значення задовольняють рівнянню.
Відповідь.Зазначене рівняння має два корені: x 1 = 3, x 2 = - 1.
Проаналізуємо вирішення рівняння | 6 — 2х| = 3х+ 1.
Після розкриття модуляотримуємо: або 6 - 2 х= 3х+ 1, або 6 - 2 х= - (3х+ 1).
В першому випадку х= 1, а в другому х= - 7.
Перевірка.При х= 1 |6 — 2х| = |4| = 4, 3x+ 1 = 4; від суду випливає, х = 1 - коріньданого рівняння.
При x = - 7 |6 — 2x| = |20| = 20, 3x+ 1 = - 20; оскільки 20 ≠ -20, то х= - 7 перестав бути коренем даного рівняння.
Відповідь. Урівняння єдиний корінь: х = 1.
Рівняння такого типу можна вирішувати та графічно.
Так вирішимо, наприклад, графічне рівняння | х- 1| = 2.
Спочатку виконаємо побудову графіка функції у = |x- 1 |. Першим накреслимо графік функції у=х- 1:
Ту частину цього графіка, яка розташована вище за осю хміняти не будемо. Для неї х- 1 > 0 і тому | х-1|=х-1.
Частина графіка, розташована під віссю х, зобразимо симетричнощодо цієї осі. Бо для цієї частини х - 1 < 0 и соответственно |х - 1|= - (х - 1). Утворилася в результаті лінія(суцільна лінія) і буде графіком функціїу = | х—1|.
Ця лінія перетнеться з прямий у= 2 у двох точках: M 1 з абсцисою -1 та М 2 з абсцисою 3. І, відповідно, у рівняння | х- 1 | =2 буде два корені: х 1 = - 1, х 2 = 3.
Цей математичний калькулятор онлайн допоможе вам вирішити рівняння чи нерівність із модулями. Програма для розв'язання рівнянь та нерівностей з модулямине просто дає відповідь задачі, вона наводить докладне рішення з поясненнями, тобто. відображає процес отримання результату.
Ця програма може бути корисною учням старших класів загальноосвітніх шкілпри підготовці до контрольним роботамта іспитів, під час перевірки знань перед ЄДІ, батькам для контролю вирішення багатьох завдань з математики та алгебри. А може вам занадто накладно наймати репетитора чи купувати нові підручники? Або ви просто хочете якнайшвидше зробити домашнє завданняз математики чи алгебри? У цьому випадку ви можете скористатися нашими програмами з докладним рішенням.
Таким чином ви можете проводити своє власне навчаннята/або навчання своїх молодших братів або сестер, при цьому рівень освіти в галузі розв'язуваних завдань підвищується.
|х| або abs(x) - модуль xВведіть рівняння або нерівність із модулями
Виявлено, що не завантажилися деякі скрипти, необхідні для вирішення цього завдання, і програма може не працювати.
Можливо у вас увімкнено AdBlock.
У цьому випадку вимкніть його та оновіть сторінку.
Щоб рішення з'явилося, потрібно включити JavaScript.
Ось інструкції, як включити JavaScript у вашому браузері.
Т.к. охочих вирішити завдання дуже багато, ваш запит поставлено в чергу.
За кілька секунд рішення з'явиться нижче.
Будь ласка зачекайте сік...
Якщо ви помітили помилку у рішенні, то про це ви можете написати у Формі зворотного зв'язку.
Не забудьте вказати яке завданняви вирішуєте і що вводьте у поля.
Наші ігри, головоломки, емулятори:
Трохи теорії.
Рівняння та нерівності з модулями
В курсі алгебри основної школи можуть зустрітися найпростіші рівняння та нерівності з модулями. Для їх вирішення можна застосовувати геометричний метод, заснований на тому, що \(|x-a|\) - це відстань на числовій прямій між точками x та a: \(|x-a| = \rho(x;\; a) \). Наприклад, для вирішення рівняння \(|x-3|=2 \) потрібно знайти на числовій прямій точці, віддалені від точки 3 на відстань 2. Таких точок дві: \(x_1=1 \) і \(x_2=5 \) .
Вирішуючи нерівність \(|2x+7| 
Але основний спосіб розв'язання рівнянь і нерівностей із модулями пов'язаний із так званим «розкриттям модуля за визначенням»:
якщо \(a \geq 0 \), то \(|a|=a \);
якщо \(a) Як правило, рівняння (нерівність) з модулями зводиться до сукупності рівнянь (нерівностей), що не містять знак модуля.
Крім зазначеного визначення, використовуються такі твердження:
1) Якщо \(c > 0 \), то рівняння \(|f(x)|=c \) рівносильне сукупності рівнянь: \(\left[\begin(array)(l) f(x)=c \\ f(x)=-c \end(array)\right. \)
2) Якщо \(c > 0 \), то нерівність \(|f(x)| 3) Якщо \(c \geq 0 \), то нерівність \(|f(x)| > c \) рівносильна сукупності нерівностей : \(\left[\begin(array)(l) f(x) c \end(array)\right. \)
4) Якщо обидві частини нерівності \(f(x) ПРИКЛАД 1. Розв'язати рівняння \(x^2 +2|x-1| -6 = 0 \).
Якщо \(x-1 \geq 0 \), то \(|x-1| = x-1 \) і задане рівняння набуває вигляду
\(x^2 +2(x-1) -6 = 0 \Rightarrow x^2 +2x -8 = 0 \).
Якщо ж (x-1 \(x^2 -2(x-1) -6 = 0 \Rightarrow x^2 -2x -4 = 0 \).
Таким чином, задане рівняння слід розглянути окремо у кожному із двох зазначених випадків.
1) Нехай (x-1 \ geq 0 \), тобто. (x \geq 1 \). З рівняння \(x^2 +2x -8 = 0 \) знаходимо \(x_1=2, \; x_2=-4\). Умови \(x \geq 1 \) задовольняє лише значення \(x_1=2\).
2) Нехай \(x-1 Відповідь: \(2; \;\; 1-\sqrt(5) \)
ПРИКЛАД 2. Розв'язати рівняння \(|x^2-6x+7| = \frac(5x-9)(3) \).
Перший спосіб(Розкриття модуля за визначенням).
Розмірковуючи, як у прикладі 1, приходимо до висновку, що задане рівняння потрібно розглянути окремо при виконанні двох умов: \(x^2-6x+7 \geq 0 \) або \(x^2-6x+7
1) Якщо \(x^2-6x+7 \geq 0 \), то \(|x^2-6x+7| = x^2-6x+7 \) і задане рівняння набуває вигляду \(x^2 -6x+7 = \frac(5x-9)(3) \Rightarrow 3x^2-23x+30=0 \). Розв'язавши це квадратне рівняння, отримаємо: \(x_1=6, \; x_2=\frac(5)(3) \).
З'ясуємо, чи задовольняє значення \(x_1=6 \) умові \(x^2-6x+7 \geq 0 \). Для цього підставимо вказане значення в квадратна нерівність. Отримаємо: \ (6 ^ 2-6 \ cdot 6 +7 \ geq 0 \), тобто. \(7 \geq 0 \) - правильна нерівність. Отже, (x_1 = 6) - корінь заданого рівняння.
З'ясуємо, чи задовольняє значення \(x_2=\frac(5)(3) \) умовою \(x^2-6x+7 \geq 0 \). Для цього підставимо вказане значення у квадратну нерівність. Отримаємо: \(\left(\frac(5)(3) \right)^2 -\frac(5)(3) \cdot 6 + 7 \geq 0 \), тобто. \(\frac(25)(9) -3 \geq 0 \) - неправильна нерівність. Значить, \(x_2=\frac(5)(3) \) не є коренем заданого рівняння.
2) Якщо \(x^2-6x+7 значення \(x_3=3\) задовольняє умову \(x^2-6x+7 значення \(x_4=\frac(4)(3) \) не задовольняє умову \) (x^2-6x+7 Отже, задане рівняння має два корені: \(x=6, \; x=3 \).
Другий спосіб.Якщо дано рівняння \(|f(x)| = h(x) \), то при \(h(x) \(\left[\begin(array)(l) x^2-6x+7 = \frac (5x-9)(3) \\ x^2-6x+7 = -\frac(5x-9)(3) \end(array)\right.
Обидва ці рівняння вирішені вище (при першому способі розв'язання заданого рівняння), їх коріння таке: \(6,\; \frac(5)(3),\; 3,\; \frac(4)(3) \). Умови \(\frac(5x-9)(3) \geq 0 \) із цих чотирьох значень задовольняють лише два: 6 і 3. Значить, задане рівняння має два корені: \(x=6, \; x=3 \ ).
Третій спосіб(графічний).
1) Побудуємо графік функції (y = | x^2-6x+7| \). Спочатку збудуємо параболу \(y = x^2-6x+7 \). Маємо (x^2-6x+7 = (x-3)^2-2 \). Графік функції \(y = (x-3)^2-2 \) можна отримати з графіка функції \(y = x^2 \) зрушенням його на 3 одиниці масштабу вправо (по осі x) і на 2 одиниці масштабу вниз ( по осі y). Пряма x=3 - вісь параболи, що нас цікавить. Як контрольні точки для більш точної побудови графіка зручно взяти точку (3; -2) - вершину параболи, точку (0; 7) і симетричну їй щодо осі параболи точку (6; 7).
Щоб побудувати тепер графік функції \(y = |x^2-6x+7| \), потрібно залишити без зміни ті частини збудованої параболи, які лежать не нижче осі x, а ту частину параболи, яка лежить нижче осі x, відобразити дзеркально щодо осі x.
2) Побудуємо графік лінійної функції\(y = \frac(5x-9)(3) \). Як контрольні точки зручно взяти точки (0; -3) і (3; 2).
Істотно те, що точка х = 1,8 перетину прямий з віссю абсцис розташовується правіше за ліву точку перетину параболи з віссю абсцис - це точка \(x=3-\sqrt(2) \) (оскільки \(3-\sqrt(2) ) 3) Судячи з креслення, графіки перетинаються у двох точках - А(3; 2) і В(6; 7). В іншому значенні виходить вірна числова рівність, отже наша гіпотеза підтвердилася - рівняння має два корені: x = 3 і x = 6. Відповідь: 3;
Зауваження. Графічний спосіб при всій своїй витонченості не дуже надійний. У розглянутому прикладі він спрацював лише тому, що коріння рівняння – цілі числа.
ПРИКЛАД 3. Розв'язати рівняння \(|2x-4|+|x+3| = 8 \)
Перший спосіб
Вираз 2x–4 звертається до 0 у точці х = 2, а вираз х + 3 - у точці х = –3. Ці дві точки розбивають числову пряму на три проміжки: \(x
Розглянемо перший проміжок: \((-\infty; \; -3) \).
Якщо x Розглянемо другий проміжок: \([-3; \; 2) \).
Якщо \(-3 \leq x Розглянемо третій проміжок: \()
Loading...