Квадрат суми двох виразів
Існує низка випадків, коли множення багаточлена на багаточлен можна значно спростити. Таким прикладом є випадок (2 x+ 3y) 2 .
Вираз (2 x+ 3y) 2 це перемноження двох многочленів, кожен із яких дорівнює (2 x+ 3y)
(2x+ 3y) 2 = (2x+ 3y)(2x+ 3y)
Отримали множення багаточлена на багаточлен. Виконаємо його:
(2x+ 3y) 2 = (2x+ 3y)(2x+ 3y) = 4x 2 + 6xy + 6xy + 9y 2 = 4x 2 + 12xy+ 9y 2
Тобто вираз (2 x+ 3y) 2 рівно 4x 2 + 12xy + 9y 2
(2x+ 3y) 2 = 4x 2 + 12xy+ 9y 2
Вирішимо аналогічний приклад, який простіше:
(a + b) 2
Вираз ( a + b) 2 це перемноження двох многочленів, кожен з яких дорівнює ( a + b)
(a + b) 2 = (a + b)(a + b)
Виконаємо це множення:
(a + b) 2 = (a + b)(a + b) = a 2 + ab + ab + b 2 = a 2 + 2ab + b 2
Тобто вираз (a + b) 2 рівно a 2 + 2ab + b 2
(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2
Виявляється, що випадок ( a + b) 2 можна поширити для будь-яких aі b. Перший приклад, який ми вирішили, а саме (2 x+ 3y) 2 можна вирішити за допомогою тотожності (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 . Для цього потрібно підставити замість змінних aі bвідповідні члени з вираз (2 x+ 3y) 2 . В даному випадку змінною aвідповідає член 2 x, а змінною bвідповідає член 3 y
a = 2x
b = 3y
І далі можна скористатися тотожністю (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 , але замість змінних aі bпотрібно підставляти вирази 2 xта 3 yвідповідно:
(2x+ 3y) 2 = (2x) 2 + 2 × 2 x× 3 y + (3y) 2 = 4x 2 + 12xy+ 9y 2
Як і минулого разу отримали багаточлен 4x 2 + 12xy+ 9y 2 . Рішення зазвичай записують коротше, виконуючи про себе всі елементарні перетворення:
(2x+ 3y) 2 = 4x 2 + 12xy+ 9y 2
Тотожність (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 називають формулою квадрата суми двох виразів. Цю формулу можна прочитати так:
Квадрат суми двох виразів дорівнює квадрату першого виразу плюс подвоєний добуток першого виразу на другий плюс квадрат другого виразу.
Розглянемо вираз (2+3) 2 . Його можна обчислити двома способами: виконати додавання в дужках і звести отриманий результат квадрат, або скористатися формулою квадрата суми двох виразів.
Перший спосіб:
(2 + 3) 2 = 5 2 = 25
Другий спосіб:
(2 + 3) 2 = 2 2 + 2 × 2 × 3 + 3 2 = 4 + 12 + 9 = 25
Приклад 2. Перетворити вираз (5 a+ 3) 2 у багаточлен.
Скористаємося формулою квадрата суми двох виразів:
(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2
(5a + 3) 2 = (5a) 2 + 2 × 5 a × 3 + 3 2 = 25a 2 + 30a + 9
Значить, (5a + 3) 2 = 25a 2 + 30a + 9.
Спробуємо вирішити цей приклад, не користуючись формулою квадрата суми. У нас має вийти той самий результат:
(5a + 3) 2 = (5a + 3)(5a + 3) = 25a 2 + 15a + 15a + 9 = 25a 2 + 30a + 9
Формула квадрата суми двох виразів має геометричне значення. Ми пам'ятаємо, що для обчислення площі квадрата потрібно звести на другий ступінь його бік.
Наприклад, площа квадрата зі стороною aбуде рівна a 2 . Якщо збільшити бік квадрата на b, то площа дорівнюватиме ( a + b) 2
Розглянемо наступний малюнок:
Уявимо, що сторону квадрата, зображеного на цьому малюнку збільшили на b. У квадрата усі сторони рівні. Якщо його сторону збільшити на b, то інші сторони теж збільшаться на b
Вийшов новий квадрат, який більший за попередній. Щоб добре побачити його, добудуємо відсутні сторони:
Щоб обчислити площу цього квадрата, можна окремо обчислити квадрати та прямокутники, що входять до нього, потім скласти отримані результати.
Спочатку можна обчислити квадрат зі стороною a— його площа дорівнюватиме a 2 . Потім можна обчислити прямокутники зі сторонами aі b- Вони будуть рівні ab. Потім можна обчислити квадрат зі стороною b
В результаті виходить наступна сума площ:
a 2 + ab + ab + b 2
Суму площ однакових прямокутників можна замінити на множення 2 ab, яке буквально означатиме «повторити двічі площу прямокутника ab» . Алгебраїчно це виходить шляхом приведення подібних доданків abі ab. В результаті виходить вираз a 2 + 2ab+ b 2 , що є правою частиною формули квадрата суми двох виразів:
(a + b) 2 = a 2 + 2ab+ b 2
Квадрат різниці двох виразів
Формула квадрата різниці двох виразів виглядає так:
(a − b) 2 = a 2 − 2ab + b 2
Квадрат різниці двох виразів дорівнює квадрату першого виразу мінус подвоєний добуток першого виразу на другий плюс квадрат другого виразу.
Формула квадрата різниці двох виразів виводиться так само, як і формула квадрата суми двох виразів. Вираз ( a − b) 2 являє собою добуток двох багаточленів, кожен з яких дорівнює ( a − b)
(a − b) 2 = (a − b)(a − b)
Якщо виконати це множення, то вийде багаточлен a 2 − 2ab + b 2
(a − b) 2 = (a − b)(a − b) = a 2 − ab− ab+ b 2 = a 2 − 2ab + b 2
Приклад 1. Перетворити вираз (7 x− 5) 2 у багаточлен.
Скористаємося формулою квадрата різниці двох виразів:
(a − b) 2 = a 2 − 2ab + b 2
(7x− 5) 2 = (7x) 2 − 2 × 7 x × 5 + 5 2 = 49x 2 − 70x + 25
Значить, (7x− 5) 2 = 49x 2 + 70x + 25.
Спробуємо вирішити цей приклад, не користуючись формулою квадрата різниці. У нас має вийти той самий результат:
(7x− 5) 2 = (7x− 5) (7x− 5) = 49x 2 − 35x − 35x + 25 = 49x 2 − 70x+ 25.
Формула квадрата різниці двох виразів також має геометричний зміст. Якщо площа квадрата зі стороною aдорівнює a 2 , то площа квадрата, сторона якого зменшена на b, Дорівнюватиме ( a − b) 2
Розглянемо наступний малюнок:
Уявимо, що сторону квадрата, зображеного на цьому малюнку зменшили на b. У квадрата усі сторони рівні. Якщо один бік зменшити на b, то інші сторони теж зменшаться на b
Вийшов новий квадрат, який менший за попередній. На малюнку він виділено жовтим. Сторона його дорівнює a− b, оскільки стара сторона aзменшилася на b. Щоб вирахувати площу цього квадрата, можна з початкової площі квадрата a 2 відняти площі прямокутників, які вийшли у процесі зменшення сторін старого квадрата. Покажемо ці прямокутники:
Тоді можна написати такий вислів: стара площа a 2 мінус площа abмінус площа ( a − b)b
a 2 − ab − (a − b)b
Розкриємо дужки у виразі ( a − b)b
a 2 − ab − ab + b 2
Наведемо такі складові:
a 2 − 2ab + b 2
В результаті виходить вираз a 2 − 2ab + b 2 , яке є правою частиною формули квадрата різниці двох виразів:
(a − b) 2 = a 2 − 2ab + b 2
Формули квадрата суми та квадрата різниці загалом називають формулами скороченого множення. Ці формули дозволяють значно спростити та прискорити процес перемноження багаточленів.
Раніше ми говорили, що розглядаючи член багаточлена окремо, його слід розглядати разом із знаком, який перед ним розташовується.
Але застосовуючи формули скороченого множення, знак вихідного многочлена не слід розглядати як знак цього члена.
Наприклад, якщо дано вираз (5 x − 2y) 2 , і ми хочемо скористатися формулою (a − b) 2 = a 2 − 2ab + b 2 , то замість bпотрібно підставляти 2 y, а не −2 y. Це особливість роботи з формулами, яку слід забувати.
(5x − 2y) 2
a = 5x
b = 2y
(5x − 2y) 2 = (5x) 2 − 2 × 5 x× 2 y + (2y) 2 = 25x 2 − 20xy + 4y 2
Якщо підставляти −2 y, то це означатиме, що різницю в дужках вихідного виразу було замінено на суму:
(5x − 2y) 2 = (5x + (−2y)) 2
і в такому разі потрібно застосовувати не формулу квадрата різниці, а формулу квадрата суми:
(5x + (−2y) 2
a = 5x
b = −2y
(5x + (−2y)) 2 = (5x) 2 + 2 × 5 x× (−2 y) + (−2y) 2 = 25x 2 − 20xy + 4y 2
Винятком можуть бути вирази виду (x− (−y)) 2 . В даному випадку, застосовуючи формулу (a − b) 2 = a 2 − 2ab + b 2 замість bслід підставити (− y)
(x− (−y)) 2 = x 2 − 2 × x× (− y) + (−y) 2 = x 2 + 2xy + y 2
Але зводячи у квадрат вирази виду x − (−y) , зручніше замінятиме віднімання на додавання x + y. Тоді первісний вираз набуде вигляду ( x +y) 2 і можна буде скористатися формулою квадрата суми, а не різниці:
(x +y) 2 = x 2 + 2xy + y 2
Куб суми та куб різниці
Формули куба суми двох виразів і куба різниці двох виразів виглядають так:
(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3
(a − b) 3 = a 3 − 3a 2 b + 3ab 2 − b 3
Формулу куба суми двох виразів можна прочитати так:
Куб суми двох виразів дорівнює кубу першого виразу плюс потрійний добуток квадрата першого виразу на другий плюс потрійний добуток першого виразу на квадрат другого плюс куб другого виразу.
А формулу куба різниці двох виразів можна прочитати так:
Куб різниці двох виразів дорівнює кубу першого виразу мінус потрійний добуток квадрата першого виразу на другий плюс потрійний добуток першого виразу на квадрат другого мінус куб другого виразу.
При розв'язанні задач бажано знати ці формули напам'ять. Якщо не запам'ятали – не біда! Їх можна виводити самостійно. Ми це вже вміємо.
Виведемо формулу куба суми самостійно:
(a + b) 3
Вираз ( a + b) 3 є твір з трьох багаточленів, кожен з яких дорівнює ( a+ b)
(a + b) 3 = (a+ b)(a+ b)(a+ b)
Але вираз ( a + b) 3 також може бути записано як (a+ b)(a+ b) 2
(a + b) 3 = (a+ b)(a+ b) 2
При цьому співмножник ( a+ b) 2 є квадратом суми двох виразів. Цей квадрат суми дорівнює виразу a 2 + 2ab + b 2 .
Тоді ( a + b) 3 можна записати як (a+ b)(a 2 + 2ab + b 2) .
(a + b) 3 = (a+ b)(a 2 + 2ab + b 2)
І це є множення многочлена на многочлен. Виконаємо його:
(a + b) 3 = (a+ b)(a 2 + 2ab + b 2) = a 3 + 2a 2 b + ab 2 + a 2 b + 2ab 2 + b 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3
Аналогічно можна вивести формулу куба різниці двох виразів:
(a − b) 3 = (a − b)(a 2 − 2ab + b 2) = a 3 − 2a 2 b + ab 2 − a 2 b + 2ab 2 − b 3 = a 3 − 3a 2 b+ 3ab 2 − b 3
Приклад 1. Перетворіть вираз ( x+ 1) 3 у багаточлен.
(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3
(x+ 1) 3 = x 3 + 3 × x 2 × 1 + 3 × x× 1 2 + 1 3 = x 3 + 3x 2 + 3x + 1
Спробуємо вирішити цей приклад, не використовуючи формулу куба суми двох виразів
(x+ 1) 3 = (x+ 1)(x+ 1)(x+ 1) = (x+ 1)(x 2 + 2x + 1) = x 3 + 2x 2 + x + x 2 + 2x + 1 = x 3 + 3x 2 + 3x + 1
Приклад 2. Перетворити вираз (6a 2 + 3b 3) 3 у багаточлен.
Скористаємося формулою куба суми двох виразів:
(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3
(6a 2 + 3b 3) 3 = (6a 2) 3 + 3 × (6 a 2) 2 × 3 b 3+3×6 a 2 × (3b 3) 2 + (3b 3) 3 = 216a 6 + 3 × 36 a 4 × 3 b 3+3×6 a 2 × 9 b 6 + 27b 9
Приклад 3. Перетворити вираз ( n 2 − 3) 3 у багаточлен.
(a − b) = a 3 − 3a 2 b + 3ab 2 − b 3
(n 2 − 3) 3 = (n 2) 3 − 3 × ( n 2) 2×3+3× n 2 × 3 2 − 3 3 = n 6 − 9n 4 + 27n 2 − 27
Приклад 4. Перетворити вираз (2x 2 − x 3) 3 у багаточлен.
Скористаємося формулою куба різниці двох виразів:
(a − b) = a 3 − 3a 2 b + 3ab 2 − b 3
(2x 2 − x 3) 3 = (2x 2) 3 − 3 × (2 x 2) 2 × x 3 + 3 × 2 x 2 × ( x 3) 2 − (x 3) 3 =
8x 6 − 3 × 4 x 4 × x 3 + 3 × 2 x 2 × x 6 − x 9 =
8x 6 − 12x 7 + 6x 8 − x 9
Розмноження різниці двох виразів на їх суму
Зустрічаються завдання, у яких потрібно помножити різницю двох виразів з їхньої суму. Наприклад:
(a − b)(a + b)
У цьому виразі різниця двох виразів aі bпомножена на суму цих двох виразів. Виконаємо це множення:
(a − b)(a + b) = a 2 + ab − ab − b 2 = a 2 − b 2
Тобто вираз (a − b)(a + b) одно a 2 − b 2
(a − b)(a + b) = a 2 − b 2
Бачимо, що з множенні різниці двох виразів з їхньої суму, виходить різницю квадратів цих выражений.
Твір різниці двох виразів та його суми дорівнює різниці квадратів цих выражений.
Випадок (a − b)(a + b) можна поширити для будь-яких aі b. Простіше кажучи, якщо при розв'язанні задачі потрібно помножити різницю двох виразів на їхню суму, то це множення можна замінити на різницю квадратів цих виразів.
Приклад 1. Виконати множення (2x − 5)(2x + 5)
У цьому прикладі різниця виразів 2 xі 5 помножена на суму цих самих виразів. Тоді згідно з формулою (a − b)(a + b) = a 2 − b 2 маємо:
(2x − 5)(2x + 5) = (2x) 2 − 5 2
Обчислимо праву частину, отримаємо 4 x 2 − 25
(2x − 5)(2x + 5) = (2x) 2 − 5 2 = 4x 2 − 25
Спробуємо вирішити цей приклад, не користуючись формулою (a − b)(a + b) = a 2 − b 2 . У нас вийде той же результат 4 x 2 − 25
(2x − 5)(2x + 5) = 4x 2 − 10x + 10x − 25 = 4x 2 − 25
Приклад 2. Виконати множення (4x − 5y)(4x + 5y)
(a − b)(a + b) = a 2 − b 2
(4x − 5y)(4x + 5y) = (4x) 2 − (5y) 2 = 16x 2 − 25y 2
Приклад 3. Виконати множення (2a+ 3b)(2a− 3b)
Скористаємося формулою множення різниці двох виразів з їхньої суму:
(a − b)(a + b) = a 2 − b 2
(2a + 3b)(2a − 3b) = (2a) 2 − (3b) 2 = 4a 2 − 9b 2
У цьому прикладі сума членів 2 aта 3 bрозташовувалася раніше, ніж різницю цих членів. А у формулі (a − b)(a + b) = a 2 − b 2 різниця розташовується раніше.
Немає ніякої різниці як розміщуються співмножники ( a − b) в ( a + b) у формулі. Вони можуть бути записані як (a − b)(a + b) , так і (a + b)(a − b) . Результат, як і раніше, буде дорівнює a 2 − b 2, оскільки від перестановки співмножників твір не змінюється.
Так і в цьому прикладі співмножники (2 a + 3b) і 2 a − 3b) можна записати як (2a + 3b)(2a − 3b) , так і (2a − 3b)(2a + 3b) . Результат так само буде дорівнює 4 a 2 − 9b 2 .
Приклад 3. Виконати множення (7 + 3x)(3x − 7)
Скористаємося формулою множення різниці двох виразів з їхньої суму:
(a − b)(a + b) = a 2 − b 2
(7 + 3x)(3x − 7) = (3x) 2 − 7 2 = 9x 2 − 49
Приклад 4. Виконати множення (x 2 − y 3)(x 2 + y 3)
(a − b)(a + b) = a 2 − b 2
(x 2 − y 3)(x 2 + y 3) = (x 2) 2 − (y 3) 2 = x 4 − y 6
Приклад 5. Виконати множення (−5x− 3y)(5x− 3y)
У виразі (−5 x− 3y) Винесемо за дужки −1 , тоді вихідний вираз набуде наступного вигляду:
(−5x− 3y)(5x− 3y) = −1(5x + 3y)(5x − 3y)
твір (5x + 3y)(5x − 3y) замінимо на різницю квадратів:
(−5x− 3y)(5x− 3y) = −1(5x + 3y)(5x − 3y) = −1((5x) 2 − (3y) 2)
Різниця квадратів була поміщена в дужки. Якщо цього не зробити, то вийде, що −1 множиться лише на (5 x) 2 . А це призведе до помилки та зміни значення вихідного виразу.
(−5x− 3y)(5x− 3y) = −1(5x + 3y)(5x − 3y) = −1((5x) 2 − (3y) 2) = −1(25x 2 − 9x 2)
Тепер помножимо −1 на вираз у дужках та отримаємо остаточний результат:
(−5x− 3y)(5x− 3y) = −1(5x + 3y)(5x − 3y) = −1((5x) 2 − (3y) 2) =
−1(25x 2 − 9y 2) = −25x 2 + 9y 2
Розмноження різниці двох виразів на неповний квадрат їх суми
Зустрічаються завдання, у яких потрібно помножити різницю двох виразів на неповний квадрат їх суми. Виглядає цей твір наступним чином:
(a − b)(a 2 + ab + b 2)
Перший багаточлен ( a − b) є різницею двох виразів, а другий багаточлен (a 2 + ab + b 2) є неповним квадратом суми цих двох виразів.
Неповний квадрат суми це багаточлен виду a 2 + ab + b 2 . Він схожий на звичайний квадрат суми a 2 + 2ab + b 2
Наприклад, вираз 4x 2 + 6xy + 9y 2 є неповним квадратом суми виразів 2 xта 3 y .
Дійсно, перший член виразу 4x 2 + 6xy + 9y 2 , а саме 4 x 2 є квадратом виразу 2 x, оскільки (2 x) 2 = 4x 2 . Третій член висловлювання 4x 2 + 6xy + 9y 2 , а саме 9 y 2 є квадратом виразу 3 y, оскільки (3 y) 2 = 9y 2 . Член, що знаходиться в середині 6 xy, є твором виразів 2 xта 3 y.
Отже, помножимо різницю ( a − b) на неповний квадрат суми a 2 + ab + b 2
(a − b)(a 2 + ab + b 2) = a(a 2 + ab + b 2) − b(a 2 + ab + b 2) =
a 3 + a 2 b + ab 2 − a 2 b − ab 2 − b 3 = a 3 − b 3
Тобто вираз (a − b)(a 2 + ab + b 2) одно a 3 − b 3
(a − b)(a 2 + ab + b 2) = a 3 − b 3
Це тотожність називають формулою множення різниці двох виразів на неповний квадрат їхньої суми. Цю формулу можна прочитати так:
Добуток різниці двох виразів і неповного квадрата їх суми дорівнює різниці кубів цих виразів.
Приклад 1. Виконати множення (2x − 3y)(4x 2 + 6xy + 9y 2)
Перший багаточлен (2 x − 3y) це різниця двох виразів 2 xта 3 y. Другий багаточлен 4x 2 + 6xy + 9y 2 це неповний квадрат суми двох виразів. xта 3 y. Це дозволяє не наводячи довгих обчислень, скористатися формулою (a − b)(a 2 + ab + b 2) = a 3 − b 3 . У нашому випадку множення (2x − 3y)(4x 2 + 6xy + 9y 2) можна замінити на різницю кубів. xта 3 y
(2x − 3y)(4x 2 + 6xy + 9y 2) = (2x) 3 − (3y) 3 = 8x 3 − 27y 3
(a − b)(a 2 + ab+ b 2) = a 3 − b 3 . У нас вийде той самий результат, але рішення стане довшим:
(2x − 3y)(4x 2 + 6xy + 9y 2) = 2x(4x 2 + 6xy + 9y 2) − 3y(4x 2 + 6xy + 9y 2) =
8x 3 + 12x 2 y + 18xy 2 − 12x 2 y − 18xy 2 − 27y 3 = 8x 3 − 27y 3
Приклад 2. Виконати множення (3 − x)(9 + 3x + x 2)
Перший багаточлен (3 − x) є різницею двох виразів, а другий многочлен є неповним квадратом суми цих двох виразів. Це дозволяє скористатися формулою (a − b)(a 2 + ab + b 2) = a 3 − b 3
(3 − x)(9 + 3x + x 2) = 3 3 − x 3 = 27 − x 3
Збільшення суми двох виразів на неповний квадрат їх різниці
Зустрічаються завдання, у яких потрібно помножити суму двох виразів на неповний квадрат їхньої різниці. Виглядає цей твір наступним чином:
(a + b)(a 2 − ab + b 2)
Перший багаточлен ( a + b (a 2 − ab + b 2) є неповним квадратом різниці цих двох виразів.
Неповний квадрат різниці це багаточлен виду a 2 − ab + b 2 . Він схожий на звичайний квадрат різниці a 2 − 2ab + b 2 за винятком того, що в ньому твір першого та другого виразів не подвоюється.
Наприклад, вираз 4x 2 − 6xy + 9y 2 є неповним квадратом різниці виразів 2 xта 3 y.
(2x) 2 − 2x× 3 y + (3y) 2 = 4x 2 − 6xy + 9y 2
Повернемося до первісного прикладу. Помножимо суму a + bна неповний квадрат різниці a 2 − ab + b 2
(a + b)(a 2 − ab + b 2) = a(a 2 − ab + b 2) + b(a 2 − ab + b 2) =
a 3 − a 2 b + ab 2 + a 2 b − ab 2 + b 3 = a 3 + b 3
Тобто вираз (a + b)(a 2 − ab + b 2) одно a 3 + b 3
(a + b)(a 2 − ab + b 2) = a 3 + b 3
Це тотожність називають формулою множення суми двох виразів на неповний квадрат їхньої різниці. Цю формулу можна прочитати так:
Добуток суми двох виразів і неповного квадрата їх різниці дорівнює сумі кубів цих виразів.
Приклад 1. Виконати множення (2x + 3y)(4x 2 − 6xy + 9y 2)
Перший багаточлен (2 x + 3y) це сума двох виразів 2 xта 3 y, а другий багаточлен 4x 2 − 6xy + 9y 2 це неповний квадрат різниці цих виразів. Це дозволяє не наводячи довгих обчислень, скористатися формулою (a + b)(a 2 − ab + b 2) = a 3 + b 3 . У нашому випадку множення (2x + 3y)(4x 2 − 6xy + 9y 2) можна замінити на суму кубів 2 xта 3 y
(2x + 3y)(4x 2 − 6xy + 9y 2) = (2x) 3 + (3y) 3 = 8x 3 + 27y 3
Спробуємо вирішити цей приклад, не користуючись формулою (a + b)(a 2 − ab+ b 2) = a 3 + b 3 . У нас вийде той самий результат, але рішення стане довшим:
(2x + 3y)(4x 2 − 6xy + 9y 2) = 2x(4x 2 − 6xy + 9y 2) + 3y(4x 2 − 6xy + 9y 2) =
8x 3 − 12x 2 y + 18xy 2 + 12x 2 y − 18xy 2 + 27y 3 = 8x 3 + 27y 3
Приклад 2. Виконати множення (2x+ y)(4x 2 − 2xy + y 2)
Перший багаточлен (2 x+ y) є сумою двох виразів, а другий багаточлен (4x 2 − 2xy + y 2) є неповним квадратом різниці цих виразів. Це дозволяє скористатися формулою (a + b)(a 2 − ab+ b 2) = a 3 + b 3
(2x+ y)(4x 2 − 2xy + y 2) = (2x) 3 + y 3 = 8x 3 + y 3
Спробуємо вирішити цей приклад, не користуючись формулою (a + b)(a 2 − ab+ b 2) = a 3 + b 3 . У нас вийде той самий результат, але рішення стане довшим:
(2x+ y)(4x 2 − 2xy + y 2) = 2x(4x 2 − 2xy + y 2) + y(4x 2 − 2xy + y 2) =
8x 3 − 4x 2 y + 2xy 2 + 4x 2 y − 2xy 2 + y 3 = 8x 3 + y 3
Завдання для самостійного вирішення
Сподобався урок?
Вступай у нашу нову групу Вконтакте та почні отримувати повідомлення про нові уроки
На цьому уроці ми познайомимося з формулами квадрата суми та квадрата різниці та виведемо їх. Формулу квадрата суми доведемо геометрично. Крім того, вирішимо багато різних прикладів із застосуванням цих формул.
Розглянемо формулу квадрата суми:
Отже, ми вивели формулу квадрата суми:
Словесно ця формула виражається так: квадрат суми дорівнює квадрату першого числа плюс подвоєний добуток першого числа на друге плюс квадрат другого числа.
Цю формулу легко уявити геометрично.
Розглянемо квадрат зі стороною:
Площа квадрата.
З іншого боку, цей квадрат можна уявити інакше, розбивши бік на а і b (рис. 1).
Мал. 1. Квадрат
Тоді площу квадрата можна представити у вигляді суми площ:
Оскільки квадрати були однакові, їх площі рівні, значить:
Отже, ми довели геометричну формулу квадрата суми.
Розглянемо приклади:
Коментар:приклад вирішено із застосуванням формули квадрата суми.
Виведемо формулу квадрата різниці:
Отже, ми вивели формулу квадрата різниці:
Словесно ця формула виражається так: квадрат різниці дорівнює квадрату першого числа мінус подвоєний добуток першого числа на друге плюс квадрат другого числа.
Розглянемо приклади:
Формули квадрата суми та квадрата різниці можуть працювати як зліва направо, так і праворуч наліво. При використанні ліворуч праворуч це будуть формули скороченого множення, вони застосовуються при обчисленні та перетворенні прикладів. А при використанні справа наліво – формули розкладання на множники.
Розглянемо приклади, у яких потрібно розкласти заданий многочлен на множники, застосовуючи формули квадрата суми і різниці. Для цього потрібно дуже уважно подивитися на багаточлен та визначити, як саме його правильно розкласти.
Коментар:для того, щоб розкласти багаточлен на множники, потрібно визначити, що представлено в цьому виразі. Отже, бачимо квадрат і квадрат одиниці. Тепер потрібно знайти подвоєний твір - це. Отже, всі необхідні елементи є, потрібно лише визначити, чи це квадрат суми чи різниці. Перед подвоєним твором стоїть знак плюс, отже, маємо квадрат суми.
Формули скороченого множення.
Вивчення формул скороченого множення: квадрата суми та квадрата різниці двох виразів; різниці квадратів двох виразів; куба суми та куба різниці двох виразів; суми та різниці кубів двох виразів.
Застосування формул скороченого множення під час вирішення прикладів.
Для спрощення виразів, розкладання багаточленів на множники, приведення багаточленів до стандартного виду використовуються формули скороченого множення. Формули скороченого множення потрібно знати напам'ять.
Нехай а, b R. Тоді:
1. Квадрат суми двох виразів дорівнюєквадрату першого виразу плюс подвоєний добуток першого виразу на другий плюс квадрат другого виразу.
(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2
2. Квадрат різниці двох виразів дорівнюєквадрату першого виразу мінус подвоєний добуток першого виразу на другий плюс квадрат другого виразу.
(a - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2
3. Різниця квадратівдвох виразів дорівнює добутку різниці цих виразів та їх суми.
a 2 - b 2 = (a -b) (a+b)
4. Куб сумидвох виразів дорівнює кубу першого виразу плюс потрійний добуток квадрата першого виразу на другий плюс потрійний добуток першого виразу на квадрат другого плюс куб другого виразу.
(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3
5. Куб різницідвох виразів дорівнює кубу першого виразу мінус потрійний добуток квадрата першого виразу на другий плюс потрійний добуток першого виразу на квадрат другого мінус куб другого виразу.
(a - b) 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3
6. Сума кубівдвох виразів дорівнює добутку суми першого та другого виразу на неповний квадрат різниці цих виразів.
a 3 + b 3 = (a + b) (a 2 - ab + b 2)
7. Різниця кубівдвох виразів дорівнює добутку різниці першого та другого виразу на неповний квадрат суми цих виразів.
a 3 - b 3 = (a - b) (a 2 + ab + b 2)
Застосування формул скороченого множення під час вирішення прикладів.
приклад 1.
Обчислити
а) Використовуючи формулу квадрата суми двох виразів, маємо
(40+1) 2 = 40 2 + 2 · 40 · 1 + 1 2 = 1600 + 80 + 1 = 1681
б) Використовуючи формулу квадрата різниці двох виразів, отримаємо
98 2 = (100 - 2) 2 = 100 2 - 2 · 100 · 2 + 2 2 = 10000 - 400 + 4 = 9604
приклад 2.
Обчислити
Використовуючи формулу різниці квадратів двох виразів, отримаємо
приклад 3.
Спростити вираз
(х - у) 2 + (х + у) 2
Скористаємося формулами квадрата суми та квадрата різниці двох виразів
(х - у) 2 + (х + у) 2 = х 2 - 2ху + у 2 + х 2 + 2ху + у 2 = 2х 2 + 2у 2
Формули скороченого множення в одній таблиці:
(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2
(a - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2
a 2 - b 2 = (a - b) (a+b)
(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3
(a - b) 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3
a 3 + b 3 = (a + b) (a 2 - ab + b 2)
a 3 - b 3 = (a - b) (a 2 + ab + b 2)
Будуть і завдання для самостійного вирішення, до яких можна переглянути відповіді.
Формули скороченого множення дозволяють робити тотожні перетворення виразів - багаточленів. З їхньою допомогою багаточлени можна розкласти на множники, а застосовуючи формули у порядку - представляти твори двочленів, квадрати і куби як многочленов. Розглянемо всі загальноприйняті формули скороченого множення, їхній висновок, поширені завдання на тотожні перетворення виразів за допомогою цих формул, а також домашні завдання (відповіді до них відкриваються за посиланнями).
Квадрат суми
Формулою квадрата суми називається рівність
(квадрат суми двох чисел дорівнює квадрату першого числа плюс подвоєний добуток першого числа на друге плюс квадрат другого числа).
Замість aі bдо цієї формули можуть бути підставлені будь-які числа.
Формула квадрата суми часто застосовується спрощення обчислень. Наприклад,
За допомогою формули квадрата суми багаточлен можна розкласти на множники, а саме уявити у вигляді добутку двох однакових множників .
приклад 1.
.
приклад 2.Записати у вигляді багаточлена вираз
Рішення. За формулою квадрата суми отримуємо
Квадрат різниці
Формулою квадрата різниці називається рівність
(квадрат різниці двох чисел дорівнює квадрату першого числа мінус подвоєний добуток першого числа на друге плюс квадрат другого числа).
Формула квадрата різниці часто застосовується для спрощення обчислень. Наприклад,
За допомогою формули квадрата різниці багаточлен можна розкласти на множники, а саме уявити у вигляді добутку двох однакових множників .
Формула випливає з правила множення багаточлену на багаточлен:
Приклад 5.Записати у вигляді багаточлена вираз
Рішення. За формулою квадрата різниці отримуємо
.
Застосувати формулу скороченого множення самостійно, а потім переглянути рішення
Виділення повного квадрата
Часто в многочлені другого ступеня міститься квадрат суми чи різниці, але міститься у прихованому вигляді. Щоб отримати повний квадрат у явному вигляді, потрібно перетворити багаточлен. Для цього, як правило, один із доданків багаточлена представляється у вигляді подвоєного твору, а потім до багаточлена додається і з нього віднімається те саме число.
Приклад 7.
Рішення. Цей многочлен можна перетворити так:
Тут ми представили 5 xу вигляді подвоєного твору 5/2 на x, додали до многочлена і відняли від нього одне й те число , далі застосували формулу квадрата суми для двочлена .
Отже, ми довели рівність
,
дорівнює повному квадрату плюс число.
Приклад 8.Розглянемо багаточлен другого ступеня
Рішення. Проведемо з нього такі перетворення:
Тут ми представили 8 xу вигляді подвоєного твору xна 4 , додали до багаточлена і відняли з нього одне і те ж число 4 , застосували формулу квадрата різниці для двочлена x − 4 .
Отже, ми довели рівність
,
показує, що багаточлен другого ступеня
дорівнює повному квадрату плюс число -16.
Застосувати формулу скороченого множення самостійно, а потім переглянути рішення
Куб суми
Формулою куба суми називається рівність
(Куб суми двох чисел дорівнює кубу першого числа плюс потрійний добуток квадрата першого числа на друге, плюс потрійний добуток першого числа на квадрат другого і плюс куб другого числа).
Формула куба суми виводиться так:
приклад 10.Записати у вигляді багаточлена вираз
Рішення. За формулою куба суми отримуємо
Застосувати формулу скороченого множення самостійно, а потім переглянути рішення
Куб різниці
Формулою куба різниці називається рівність
(Куб різниці двох чисел дорівнює кубу першого числа мінус потрійний добуток квадрата першого числа на друге, плюс потрійний добуток першого числа на квадрат другого мінус куб другого числа).
За допомогою формули куба суми багаточлен можна розкласти на множники, а саме уявити у вигляді добутку трьох однакових множників .
Формула куба різниці виводиться так:
приклад 12.Записати у вигляді багаточлена вираз
Рішення. За формулою куба різниці отримуємо
Застосувати формулу скороченого множення самостійно, а потім переглянути рішення
Різниця квадратів
Формулою різниці квадратів називається рівність
(Різниця квадратів двох чисел дорівнює добутку суми ці чисел на їх різницю).
За допомогою формули куба суми будь-якого багаточлена виду можна розкласти на множники.
Доказ формули отримано із застосуванням правила множення багаточленів:
приклад 14.Записати у вигляді багаточлена твір
.
Рішення. За формулою різниці квадратів отримуємо
приклад 15.Розкласти на множники
Рішення. Цей вираз у явній формі під жодну тотожність не підходить. Але число 16 можна представити у вигляді ступеня з основою 4: 16 = 4? Тоді вихідний вираз набуде іншого вигляду:
,
а це вже формула різниці квадратів, і, застосувавши цю формулу, отримаємо
Loading...