Як вирахувати корінь із числа вручну. Дослідницька робота на тему: "Вилучення квадратного коріння з великих чисел без калькулятора"

При вирішенні різних завдань з курсу математики та фізики учні та студенти часто стикаються з необхідністю вилучення коренів другого, третього чи n-го ступеня. Звичайно, у вік інформаційних технологійне важко вирішити таке завдання за допомогою калькулятора. Однак виникають ситуації, коли скористатися електронним помічником неможливо.

Наприклад, багато іспити заборонено приносити електроніку. Крім того, калькулятор може не опинитися під рукою. У разі корисно знати хоча б деякі методи обчислення радикалів вручну.

Один з найпростіших способів обчислення коренів полягає в використання спеціальної таблиці. Що ж вона є і як їй правильно скористатися?

За допомогою таблиці можна знайти квадрат будь-якого числа від 10 до 99. При цьому в рядках таблиці є значення десятків, у стовпах - значення одиниць. Осередок на перетині рядка і стовпця містить у собі квадрат двозначного числа. Для того, щоб обчислити квадрат 63, потрібно знайти рядок зі значенням 6 і стовпець зі значенням 3. На перетині виявимо комірку з числом 3969.

Оскільки вилучення кореня - це операція, зворотна зведенню квадрат, для виконання цієї дії необхідно поступити навпаки: спочатку знайти осередок з числом, радикал якого потрібно порахувати, потім за значеннями стовпчика і рядки визначити відповідь. Як приклад розглянемо обчислення квадратного кореня 169.

Знаходимо комірку з цим числом у таблиці, по горизонталі визначаємо десятки – 1, по вертикалі знаходимо одиниці – 3. Відповідь: √169 = 13.

Аналогічно можна обчислювати коріння кубічного та n-го ступеня, використовуючи відповідні таблиці.

Перевагою способу є його простота та відсутність додаткових обчислень. Недоліки ж очевидні: метод можна використовувати лише обмеженого діапазону чисел (число, котрим перебуває корінь, має бути у проміжку від 100 до 9801). Крім того, він не підійде, якщо заданого числа немає в таблиці.

Розкладання на прості множники

Якщо таблиця квадратів відсутня під рукою або з її допомогою неможливо знайти корінь, можна спробувати розкласти число, що знаходиться під коренем, на прості множники. Прості множники - це такі, які можуть націло (без залишку) ділитися тільки на себе чи одиницю. Прикладами можуть бути 2, 3, 5, 7, 11, 13 і т.д.

Розглянемо обчислення кореня з прикладу √576. Розкладемо його на прості множники. Отримаємо наступний результат: √576 = √(2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ​​∙ 3) = √(2 ∙ 2 ∙ 2)² ∙ √3². За допомогою основної властивості коренів √a² = a позбавимося коренів і квадратів, після чого підрахуємо відповідь: 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ​​= 24.

Що ж робити, якщо у якогось із множників немає своєї пари? Наприклад розглянемо обчислення √54. Після розкладання на множники отримуємо результат у наступному вигляді: √54 = √(2 ∙ 3 ​​∙ 3 ∙ 3) = √3² ∙ √(2 ∙ 3) = 3√6. Невитягувану частину можна залишити під коренем. Для більшості завдань з геометрії та алгебри така відповідь буде зарахована як остаточна. Але якщо необхідно обчислити наближені значення, можна використовувати методи, які будуть розглянуті далі.

Метод Герона

Як вчинити, коли необхідно хоча б приблизно знати, чому дорівнює витягнуте коріння (якщо неможливо отримати ціле значення)? Швидкий і досить точний результатдає застосування методу Герона. Його суть полягає у використанні наближеної формули:

√R = √a + (R - a) / 2√a,

де R – число, корінь якого потрібно обчислити, a – найближче число, значення кореня якого відомо.

Розглянемо, як працює метод на практиці, та оцінимо, наскільки він точний. Розрахуємо, до чого дорівнює √111. Найближче до 111 число, корінь якого відомий - 121. Таким чином, R = 111, a = 121. Підставимо значення у формулу:

√111 = √121 + (111 - 121) / 2 ∙ √121 = 11 - 10 / 22 ≈ 10,55.

Тепер перевіримо точність методу:

10,55 ² = 111,3025.

Похибка методу становила приблизно 0,3. Якщо точність методу необхідно підвищити, можна повторити описані раніше дії:

√111 = √111,3025 + (111 - 111,3025) / 2 ∙ √111,3025 = 10,55 - 0,3025 / 21,1 ≈ 10,536.

Перевіримо точність розрахунку:

10,536 ² = 111,0073.

Після повторного застосування формули похибка стала незначною.

Обчислення кореня розподілом у стовпчик

Цей спосіб знаходження значення квадратного кореня є більш складним, ніж попередні. Однак він є найточнішим серед інших методів обчислення без калькулятора.

Допустимо, що необхідно знайти квадратний корінь з точністю до 4 знаків після коми. Розберемо алгоритм обчислень з прикладу довільного числа 1308,1912.

1. Розділимо аркуш паперу на 2 частини вертикальною межею, а потім проведемо від неї ще одну межу праворуч, трохи нижче верхнього краю. Запишемо число в лівій частині, розділивши його на групи по 2 цифри, рухаючись у праву та лівий біквід коми. Найперша цифра зліва може бути без пари. Якщо ж знака не вистачає в правій частині числа, слід дописати 0. У нашому випадку вийде 13 08,19 12.
2. Підберемо саме велике число, квадрат якого буде меншим або дорівнює першій групі цифр. 3. Запишемо його праворуч зверху; 3 – перша цифра результату. Праворуч знизу вкажемо 3×3 = 9; це знадобиться для наступних розрахунків. З 13 стовпчик віднімемо 9, отримаємо залишок 4.
3. Припишемо наступну пару чисел до залишку 4; отримаємо 408.
4. Число, що знаходиться зверху праворуч, помножимо на 2 і запишемо знизу праворуч, додавши до нього _ x _ =. Отримаємо 6_ х _ =.
5. Замість прочерків потрібно підставити одне й те число, менше чи рівне 408. Отримаємо 66×6 = 396. Напишемо 6 справа зверху, т. до. це друга цифра результату. Заберемо 396 від 408, отримаємо 12.
6. Повторимо кроки 3-6. Оскільки знесені донизу цифри перебувають у дробовій частині числа, необхідно поставити десяткову кому праворуч зверху після 6. Запишемо подвоєний результат із прочерками: 72_ x _ =. Відповідною цифрою буде 1: 721×1 = 721. Запишемо її у відповідь. Виконаємо віднімання 1219 – 721 = 498.
7. Виконаємо наведену в попередньому пункті послідовність дій ще тричі, щоб отримати необхідну кількість знаків після коми. Якщо не вистачає знаків для подальших обчислень, у поточного зліва числа потрібно дописати два нулі.

В результаті ми отримаємо відповідь: √1308,1912 ≈ 36,1689. Якщо перевірити дію за допомогою калькулятора, можна переконатись, що всі знаки були визначені правильно.

Порозрядне обчислення значення квадратного кореня

Метод має високою точністю . Крім того, він досить зрозумілий і для нього не потрібно запам'ятовувати формули або складний алгоритм дій, оскільки суть способу полягає у підборі правильного результату.

Виймемо корінь у складі 781. Розглянемо докладно послідовність дій.

1. З'ясуємо, який розряд значення квадратного кореня буде старшим. Для цього зведемо в квадрат 0, 10, 100, 1000 і т. д. і з'ясуємо, між якими знаходиться підкорене число. Ми отримаємо, що 10 ²< 781 < 100², т. е. старшим разрядом будут десятки.
2. Підберемо значення десятків. Для цього будемо по черзі зводити в ступінь 10, 20, ..., 90, поки не отримаємо число, що перевищує 781. Для нашого випадку отримаємо 10 ² = 100, 20 ² = 400, 30 ² = 900. Значення результату n буде в межах 20< n <30.
3. Аналогічно попередньому кроці підбирається значення розряду одиниць. По черзі зведемо в квадрат 21,22, …, 29: 21 ² = 441, 22 ² = 484, 23 ² = 529, 24 ² = 576, 25 ² = 625, 26 ² = 676, 27 ² = 729, 8 22.< n < 28.
4. Кожен наступний розряд (десяті, соті тощо. буд.) обчислюється як і, як було показано вище. Розрахунки проводяться до тих пір, поки не буде досягнуто необхідної точності.

До появи калькуляторів студенти та викладачі обчислювали квадратне коріння вручну. Існує кілька способів обчислення квадратного кореня числа вручну. Деякі з них пропонують лише приблизне рішення, інші дають точну відповідь.

Кроки

Розкладання на прості множники

Розкладіть підкорене число на множники, які є квадратними числами.Залежно від підкореного числа, ви отримаєте приблизну чи точну відповідь. Квадратні числа - числа, з яких можна витягти цілий квадратний корінь. Множники – числа, які за перемноженні дають вихідне число. Наприклад, множниками числа 8 є 2 і 4, оскільки 2 х 4 = 8, числа 25, 36, 49 є квадратними числами, оскільки √25 = 5, √36 = 6, √49 = 7. Квадратні множники – це множники які є квадратними числами. Спочатку спробуйте розкласти підкорене число на квадратні множники.

• Наприклад, обчисліть квадратний корінь із 400 (вручну). Спочатку спробуйте розкласти 400 на квадратні множники. 400 разів 100, тобто ділиться на 25 - це квадратне число. Розділивши 400 на 25, ви отримаєте 16. Число 16 є квадратним числом. Таким чином, 400 можна розкласти на квадратні множники 25 та 16, тобто 25 х 16 = 400.
• Записати це можна так: √400 = √(25 х 16).

1. Квадратний корінь із твору деяких членів дорівнює добутку квадратного коріння з кожного члена, тобто √(а х b) = √a x √b. Скористайтеся цим правилом та вийміть квадратний корінь з кожного квадратного множника та перемножте отримані результати, щоб знайти відповідь.

   • У нашому прикладі вийміть корінь із 25 та з 16.
     • √(25 х 16)
     • √25 х √16
     • 5 х 4 = 20

2. Якщо підкорене число не розкладається на два квадратні множники (а так відбувається в більшості випадків), ви не зможете знайти точну відповідь у вигляді цілого числа. Але ви можете спростити завдання, розклавши підкорене число на квадратний множник та звичайний множник (число, з якого цілий квадратний корінь витягти не можна). Потім ви витягнете квадратний корінь із квадратного множника і витягуватимете корінь зі звичайного множника.

   • Наприклад, обчисліть квадратний корінь із числа 147. Число 147 не можна розкласти на два квадратні множники, але його можна розкласти на наступні множники: 49 і 3. Розв'яжіть задачу таким чином:
     • = √(49 х 3)
     • = √49 х √3
     • = 7√3

3. Якщо необхідно, оцініть значення кореня.Тепер можна оцінити значення кореня (знайти приблизне значення), порівнявши його зі значеннями коренів квадратних чисел, що знаходяться найближче (з обох сторін на числовій прямій) до підкореного числа. Ви отримаєте значення кореня у вигляді десяткового дробу, який необхідно помножити на число, що стоїть за знаком кореня.

   • Повернемося до нашого прикладу. Підкорене число 3. Найближчими до нього квадратними числами будуть числа 1 (√1 = 1) та 4 (√4 = 2). Таким чином, значення √3 розташоване між 1 і 2. Так як значення √3, ймовірно, ближче до 2, ніж до 1, то наша оцінка: √3 = 1,7. Помножуємо це значення на число біля знака кореня: 7 х 1,7 = 11,9. Якщо ви зробите розрахунки на калькуляторі, то отримаєте 12,13, що досить близько до нашої відповіді.
     • Цей метод також працює з великими числами. Наприклад, розглянемо √35. Підкорене число 35. Найближчими до нього квадратними числами будуть числа 25 (25 = 5) і 36 (36 = 6). Таким чином, значення √35 розташоване між 5 і 6. Так як значення √35 набагато ближче до 6, ніж до 5 (бо 35 всього на 1 менше 36), то можна заявити, що √35 трохи менше 6. Перевірка на калькуляторі дає нам відповідь 5,92 - ми мали рацію.

4. Ще один спосіб - розкладіть підкорене число на прості множники.Прості множники – числа, які діляться лише з 1 і себе. Запишіть прості множники до ряду і знайдіть пари однакових множників. Такі множники можна винести за знак кореня.

   • Наприклад, обчисліть квадратний корінь із 45. Розкладаємо підкорене число на прості множники: 45 = 9 х 5, а 9 = 3 х 3. Таким чином, √45 = √(3 х 3 х 5). 3 можна винести за знак кореня: √45 = 3√5. Тепер можна оцінити √5.
   • Розглянемо інший приклад: √88.
     • = √(2 х 44)
     • = √ (2 х 4 х 11)
     • = √ (2 х 2 х 2 х 11). Ви отримали три множники 2; Візьміть пару з них і винесіть за знак кореня.
     • = 2√(2 х 11) = 2√2 х √11. Тепер можна оцінити √2 та √11 та знайти приблизну відповідь.

   Обчислення квадратного кореня вручну

   За допомогою поділу в стовпчик

   1. Цей метод включає процес, аналогічний поділу в стовпчик, і дає точну відповідь.Спочатку проведіть вертикальну лінію, що ділить лист на дві половини, а потім праворуч і трохи нижче верхнього краю листа до вертикальної лінії намалюйте горизонтальну лінію. Тепер поділіть підкорене число на пари чисел, починаючи з дробової частини після коми. Так, число 79520789182,47897 записується як "7 95 20 78 91 82, 47 89 70".

      • Наприклад обчислимо квадратний корінь числа 780,14. Намалюйте дві лінії (як показано на малюнку) і зліва зверху напишіть це число у вигляді "7 80, 14". Це нормально, що перша цифра зліва є непарною цифрою. Відповідь (корінь з цього числа) записуватимете праворуч зверху.

   2. Для першої зліва пари чисел (або одного числа) знайдіть найбільше ціле число n, квадрат якого менший або дорівнює парі чисел (або одного числа), що розглядається. Іншими словами, знайдіть квадратне число, яке розташоване найближче до першої зліва пари чисел (або одного числа), але менше її, і вийміть квадратний корінь із цього квадратного числа; ви отримаєте число n. Напишіть знайдене n зверху праворуч, а квадрат n запишіть знизу праворуч.

      • У нашому випадку, першим зліва числом буде число 7. Далі, 4< 7, то есть 2 2 < 7 и n = 2. Напишите 2 сверху справа - это первая цифра в искомом квадратном корне. Напишите 2×2=4 справа снизу; вам понадобится это число для последующих вычислений.

   3. Відніміть квадрат числа n, яке ви щойно знайшли, з першої зліва пари чисел (або одного числа).Результат обчислення запишіть під віднімається (квадратом числа n).

      • У нашому прикладі відніміть 4 з 7 і отримайте 3.

   4. Знесіть другу пару чисел і запишіть її біля значення, отриманого на попередньому кроці.Потім подвайте число зверху праворуч і запишіть отриманий результат знизу праворуч з додаванням "_×_=".

      • У прикладі другий парою чисел є " 80 " . Запишіть "80" після 3. Потім подвоєне число зверху праворуч дає 4. Запишіть "4_×_=" знизу праворуч.

   5. Заповніть прочерки праворуч.

      • У нашому випадку, якщо замість прочерків поставити число 8, то 48 х 8 = 384, що більше за 380. Тому 8 - занадто велике число, а ось 7 підійде. Напишіть 7 замість прочерків і отримайте: 47 х 7 = 329. Запишіть 7 зверху праворуч - це друга цифра в квадратному корені числа 780,14.

   6. Відніміть отримане число з поточного числа зліва.Запишіть результат з попереднього кроку під поточним числом зліва, знайдіть різницю та запишіть її під віднімається.

      • У нашому прикладі відніміть 329 з 380, що дорівнює 51.

   7. Повторіть крок 4.Якщо парою чисел, що зноситься, є дробова частина вихідного числа, то поставте роздільник (кому) цілою і дробовою частин у шуканому квадратному корені зверху праворуч. Зліва знесіть наступну пару чисел. Подвійте число зверху праворуч та запишіть отриманий результат знизу праворуч з додаванням "_×_=".

      • У нашому прикладі наступною парою чисел, що зноситься, буде дробова частина числа 780.14, тому поставте роздільник цілої і дробової частин у шуканому квадратному корені зверху праворуч. Знесіть 14 і запишіть знизу ліворуч. Подвоєним числом зверху праворуч (27) буде 54, тому напишіть "54_×_=" знизу праворуч.

   8. Повторіть кроки 5 та 6.Знайдіть таке найбільше число на місце прочерків праворуч (замість прочерків потрібно підставити одне й те саме число), щоб результат множення був меншим або дорівнює поточному числу зліва.

      • У прикладі 549 x 9 = 4941, що менше поточного числа зліва (5114). Напишіть 9 зверху праворуч та відніміть результат множення з поточного числа зліва: 5114 - 4941 = 173.

   9. Якщо для квадратного кореня вам необхідно знайти більше знаків після коми, напишіть пару нулів у поточного числа зліва і повторюйте кроки 4, 5 і 6. Повторюйте кроки, доки не отримаєте потрібну вам точність відповіді (число знаків після коми).

   Розуміння процесу

   Для засвоєння даного методу уявіть число, квадратний корінь якого необхідно знайти, як площа квадрата S. У цьому випадку ви шукатимете довжину сторони L такого квадрата. Обчислюємо таке значення L, у якому L² = S.

   Введіть літеру для кожної цифри у відповіді.Позначимо через A першу цифру значення L (потрібний квадратний корінь). B буде другою цифрою, C - третьою тощо.

   Введіть літеру для кожної пари перших цифр.Позначимо через Sa першу пару цифр у значенні S, через S b - другу пару цифр і так далі.

   Уясніть зв'язок даного методу з розподілом у стовпчик.Як і в операції поділу, де щоразу нас цікавить лише одна наступна цифра діленого числа, при обчисленні квадратного кореня ми послідовно працюємо з кількома цифрами (для отримання однієї наступної цифри у значенні квадратного кореня).

   1. Розглянемо першу пару цифр Sa числа S (Sa = 7 у прикладі) і знайдемо її квадратний корінь.У цьому випадку першою цифрою A значення квадратного кореня, що шукається, буде така цифра, квадрат якої менший або дорівнює S a (тобто шукаємо таке A, при якому виконується нерівність A² ≤ Sa< (A+1)²). В нашем примере, S1 = 7, и 2² ≤ 7 < 3²; таким образом A = 2.

      • Припустимо, що потрібно розділити 88 962 на 7; тут перший крок буде аналогічним: розглядаємо першу цифру діленого числа 88962 (8) і підбираємо таке найбільше число, яке при множенні на 7 дає значення менше або дорівнює 8. Тобто, шукаємо таке число d, при якому вірна нерівність: 7×d ≤ 8< 7×(d+1). В этом случае d будет равно 1.

   2. Подумки уявіть квадрат, площу якого вам потрібно обчислити.Ви шукайте L, тобто довжину сторони квадрата, площа якого дорівнює S. A, B, C - цифри в числі L. Записати можна інакше: 10А + B = L (для двозначного числа) або 100А + 10В + С = L (для тризначного числа) і таке інше.

      • Нехай (10A+B)² = L² = S = 100A² + 2×10A×B + B². Запам'ятайте, що 10A+B - це число, у якого цифра B означає одиниці, а цифра A - десятки. Наприклад, якщо A=1 і B=2, то 10A+B дорівнює числу 12. (10A+B)²- Це площа всього квадрата, 100A²- Площа великого внутрішнього квадрата, B²- Площа малого внутрішнього квадрата, 10A×B- Площа кожного із двох прямокутників. Склавши площі описаних фігур, ви знайдете площу вихідного квадрата.

Що таке квадратний корінь?

Увага!
До цієї теми є додаткові
матеріали у розділі 555.
Для тих, хто сильно "не дуже..."
І для тих, хто "дуже навіть...")

Це поняття дуже просте. Звичайно, я б сказав. Математики на кожну дію намагаються знайти протидію. Є додавання - є і віднімання. Є множення – є й поділ. Є зведення в квадрат... Значить, є і вилучення квадратного кореня!От і все. Це дія ( вилучення квадратного кореня) в математиці позначається таким значком:

Сам значок називається красивим словом. радикал".

Як отримати корінь?Це краще розглянути на прикладах.

Скільки буде квадратний корінь із 9? А яке число у квадраті дасть нам 9? 3 у квадраті дасть нам 9! Тобто:

А ось скільки буде квадратний корінь із нуля? Не питання! Яке число у квадраті нуль дає? Та сам нуль і дає! Значить:

Вловили, Що таке квадратний корінь?Тоді вважаємо приклади:

Відповіді (безладно): 6; 1; 4; 9; 5.

Вирішили? Справді, куди простіше?!

Але... Що робить людина, коли бачить якесь завдання з корінням?

Сумувати починає людина... Не вірить він у простоту та легкість коріння. Хоча, начебто, і знає, що таке квадратний корінь...

Все тому, що людина проігнорувала кілька важливих пунктиків щодо коріння. Потім ці пунктики жорстоко мстять на контрольних та іспитах.

Пунктик перший. Коріння треба пізнавати в обличчя!

Скільки буде корінь квадратний із 49? Сім? Правильно! А як ви дізналися, що сім? Звели сімку у квадрат і отримали 49? Правильно! Зверніть увагу, щоб витягти коріньз 49 нам довелося виконати зворотну операцію - звести 7 у квадрат! І переконатися, що ми не схибили. А могли й схибити...

У цьому є складність вилучення коренів. Звести у квадратможна будь-яке число без особливих проблем. Помножити число саме собою стовпчиком - та й усі справи. А ось для вилучення коренятакої простої та безвідмовної технології немає. Доводиться підбиративідповідь та перевіряти його на влучення зведенням у квадрат.

Цей складний творчий процес - підбір відповіді - спрощується, якщо ви пам'ятайтеквадрати найпопулярніших чисел. Як таблицю множення. Якщо, скажімо, треба помножити 4 на 6 – ви ж не складаєте четвірку 6 разів? Відразу випливає відповідь 24. Хоча, не у всіх він випливає, так...

Для вільної та успішної роботи з корінням достатньо знати квадрати чисел від 1 до 20. Причому тудиі назад.Тобто. ви повинні легко називати як, скажімо, 11 у квадраті, так і корінь квадратний із 121. Щоб досягти такого запам'ятовування, є два шляхи. Перший – вивчити таблицю квадратів. Це чудово допоможе вирішувати приклади. Другий - вирішувати більше прикладів. Це чудово допоможе запам'ятати таблицю квадратів.

І жодних калькуляторів! Лише для перевірки. Інакше на іспиті гальмуватимете нещадно...

Отже, що таке квадратний коріньі як видобувати коріння- гадаю, зрозуміло. Тепер з'ясуємо З ЧОГО можна їх витягувати.

Пунктик другий. Корінь, я тебе не знаю!

З яких чисел можна добувати квадратне коріння? Та майже з будь-яких. Простіше зрозуміти, з чого не можнаїх витягувати.

Спробуємо обчислити такий корінь:

Для цього потрібно підібрати число, яке у квадраті дасть нам -4. Підбираємо.

Що, не підбирається? 2 2 дає +4. (-2) 2 дає знову +4! От-от... Немає таких чисел, які при зведенні в квадрат дадуть нам негативне число! Хоча я такі цифри знаю. Але вам не скажу. Вступіть до інституту - самі дізнаєтесь.

Така сама історія буде з будь-яким негативним числом. Звідси висновок:

Вираз, у якому під знаком квадратного кореня стоїть негативне число - не має сенсу! Це заборонена операція. Така ж заборонена, як і поділ на нуль. Запам'ятайте цей факт залізно!Або, іншими словами:

Квадратне коріння з негативних чисел витягти не можна!

Зате з решти - можна. Наприклад, цілком можна обчислити

На перший погляд, це дуже складно. Підбирати дроби та в квадрат зводити... Не хвилюйтеся. Коли розберемося з властивостями коренів, такі приклади будуть зводитися до тієї ж таблиці квадратів. Життя стане простіше!

Ну гаразд дробу. Але нам ще трапляються вирази типу:

Нічого страшного. Все теж саме. Корінь квадратний із двох – це число, яке при зведенні у квадрат дасть нам двійку. Тільки число це зовсім нерівне... Ось воно:

Що цікаво, цей дріб не закінчується ніколи... Такі числа називаються ірраціональними. У квадратному корінні це - звичайнісінька справа. До речі, саме тому вирази з корінням називають ірраціональними. Зрозуміло, що писати весь час такий нескінченний дріб незручно. Тому замість нескінченного дробу так і залишають:

Якщо при вирішенні прикладу у вас вийшло щось невилучне, типу:

то так і залишаємо. Це буде відповідь.

Потрібно чітко розуміти, що під значками

Звичайно, якщо корінь із числа витягується рівно, Ви повинні це зробити. Відповідь завдання у вигляді, наприклад

цілком собі повноцінна відповідь.

І, звичайно, треба знати на згадку приблизні значення:

Це знання дуже допомагає оцінити ситуацію в складних завданнях.

Пунктик третій. Найхитріший.

Основну плутанину в роботу з корінням вносить саме цей пункт. Саме він надає невпевненості у власних силах... Розберемося з цим пунктом як слід!

Для початку знову витягнемо квадратний корінь їх чотирьох. Що, вже дістав я вас із цим корінням?) Нічого, зараз цікаво буде!

Яке число дасть у квадраті 4? Ну два, два - чую незадоволені відповіді...

Правильно. Два. Але ж і мінус двадасть у квадраті 4... А тим часом, відповідь

правильна, а відповідь

груба помилка. Ось так.

Так у чому ж справа?

Дійсно, (-2) 2 = 4. І під визначення кореня квадратного із чотирьох мінус двацілком підходить... Це теж корінь квадратний із чотирьох.

Але! У шкільному курсі математики прийнято вважати за квадратне коріння лише невід'ємні числа!Тобто нуль і всі позитивні. Навіть термін спеціальний придуманий: з числа а- це невід'ємнечисло, квадрат якого дорівнює а. Негативні результати при отриманні квадратного арифметичного кореня просто відкидаються. У школі все квадратне коріння - арифметичні. Хоча особливо про це не згадується.

Ну гаразд, це зрозуміло. Це навіть краще - не возитися з негативними результатами... Це ще не плутанина.

Плутанина починається при розв'язанні квадратних рівнянь. Наприклад, треба вирішити таке рівняння.

Рівняння просте, пишемо відповідь (як вчили):

Така відповідь (цілком правильна, до речі) - це просто скорочений запис двохвідповідей:

Стоп-стоп! Трохи вище я написав, що квадратний корінь – число завждиневід'ємний! А тут одна з відповідей - негативний! Непорядок. Це перша (але не остання) проблемка, яка викликає недовіру до коріння... Розв'яжемо цю проблемку. Запишемо відповіді (чисто для розуміння!) ось так:

Дужки суті відповіді не змінюють. Просто я відокремив дужками знакивід кореня. Тепер видно, що сам корінь (у дужках) - число все одно невід'ємне! А знаки – це результат вирішення рівняння. Адже при вирішенні будь-якого рівняння ми маємо записати Усеікси, які при підстановці у вихідне рівняння дадуть правильний результат. У наше рівняння підходить корінь із п'яти (позитивний!) як із плюсом, так і з мінусом.

Ось так. Якщо ви просто витягуєте квадратний коріньз чогось, ви завждиотримуєте один невід'ємнийрезультат. Наприклад:

Бо це - арифметичний квадратний корінь.

Але якщо ви вирішуєте якесь квадратне рівняння, типу:

то завждивиходить двавідповіді (з плюсом та мінусом):

Тому що це – рішення рівняння.

Сподіваюся, що таке квадратний коріньзі своїми пунктиками ви зрозуміли. Тепер залишилося дізнатися, що можна робити з корінням, які їх властивості. І які там пунктики та підводні кор... вибачте, каміння!)

Все це – у наступних уроках.

Якщо Вам подобається цей сайт...

До речі, у мене є ще кілька цікавих сайтів для Вас.)

Можна потренуватися у вирішенні прикладів та дізнатися свій рівень. Тестування з миттєвою перевіркою. Вчимося – з інтересом!)

можна познайомитися з функціями та похідними.

Коренем n-ого ступеня натурального числа aназивається таке число, n-а ступінь якого дорівнює a. Корінь позначається так: . Символ √ називається знаком кореняабо знаком радикала, число a - підкорене число, n - показник кореня.

Дія, за допомогою якого знаходиться корінь даного ступеня, називається вилученням кореня.

Оскільки, згідно з визначенням поняття про коріння n-ого ступеня

то вилучення кореня- дію, зворотне зведенню на ступінь , з якого по даного ступеня і за цим показником ступеня знаходять основу ступеня.

Квадратний корінь

Квадратним коренем з числа aназивається число, квадрат якого дорівнює a.

Дія, за допомогою якої обчислюється квадратний корінь, називається вилученням квадратного кореня.

Вилучення квадратного кореня- дія зворотне зведенню квадрат (або зведенню числа на другий ступінь). При зведенні квадрат відомо число, потрібно знайти його квадрат. При вилученні квадратного кореня відомий квадрат числа, потрібно по ньому знайти саме число.

Тому для перевірки правильності проведеної дії, можна знайдений корінь звести в другий ступінь і, якщо ступінь дорівнюватиме підкореному числу, значить корінь був знайдений правильно.

Розглянемо вилучення квадратного кореня та її перевірку з прикладу. Обчислимо або (показник кореня зі значенням 2 зазвичай не пишуть, тому що 2 - це найменший показник і слід пам'ятати, що якщо над знаком кореня немає показника, то мається на увазі показник 2), для цього нам потрібно знайти число, при зведенні якого до другого ступінь вийде 49. Очевидно, що таким числом є 7, оскільки

7 · 7 = 7 2 = 49.

Обчислення квадратного кореня

Якщо це число дорівнює 100 або менше, то квадратний корінь з нього можна обчислити за допомогою таблиці множення . Наприклад квадратний корінь із 25 - це 5, тому що 5 · 5 = 25.

Тепер розглянемо спосіб знаходження квадратного кореня із будь-якого числа без використання калькулятора. Наприклад візьмемо число 4489 і почнемо обчислювати поетапно.

1. Визначимо, з яких розрядів має складатися корінь, що шукається. Оскільки 10 2 = 10 · 10 = 100, а 100 2 = 100 · 100 = 10000, стає ясно, що шуканий корінь може бути більше 10 і менше 100, тобто. складатися з десятків та одиниць.
2. Знаходимо кількість десятків кореня. Від перемноження десятків виходять сотні, у тому числі їх 44, тому корінь повинен містити стільки десятків, щоб квадрат десятків давав приблизно 44 сотні. Отже в корені має бути 6 десятків, тому що 602 = 3600, а 702 = 4900 (це занадто багато). Таким чином, ми з'ясували, що наш корінь містить 6 десятків і кілька одиниць, тому що він знаходиться в діапазоні від 60 до 70.
3. Визначити кількість одиниць докорінно допоможе таблиця множення. Подивившись на число 4489, ми бачимо, що остання цифра в ньому 9. Тепер дивимося в таблицю множення і бачимо, що 9 одиниць може вийде тільки при зведенні в квадрат чисел 3 і 7. Значить, корінь числа дорівнюватиме 63 або 67.
4. Перевіряємо отримані нами числа 63 і 67, зводячи їх у квадрат: 63 2 = 3969, 67 2 = 4489.

Розглянемо цей алгоритм з прикладу. Знайдемо

1-й крок. Число під коренем розбиваємо на межі по дві цифри (справа наліво):

2 крок. Витягаємо квадратний корінь з першої грані, тобто з числа 65, отримуємо число 8. Під першою гранню пишемо квадрат числа 8 і віднімаємо. До залишку приписуємо другу грань (59):

(число 159 – перший залишок).

3 крок. Двічі знайдений корінь і пишемо результат зліва:

4 крок. Відокремлюємо в залишку (159) одну цифру праворуч, зліва отримуємо число десятків (воно 15). Потім ділимо 15 на подвоєну першу цифру кореня, тобто на 16, тому що 15 на 16 не ділиться, то в приватному виходить нуль, який записуємо як другу цифру кореня. Отже, у приватному отримали число 80, яке знову подвоюємо, та зносимо наступну грань

(число 15901 - другий залишок).

5 крок. Відділяємо в другому залишку одну цифру праворуч і отримане число 1590 ділимо на 160. Результат (цифру 9) записуємо як третю цифру кореня і приписуємо до 160. Отримане число 1609 множимо на 9 і знаходимо наступний залишок (1420):

Надалі дії виконуються в тій послідовності, яка вказана в алгоритмі (корінь можна видобувати з потрібним ступенем точності).

Зауваження. Якщо підкорене вираз - десятковий - дріб, то її цілу частину розбивають на межі по дві цифри праворуч наліво, дробову частину - по дві цифри зліва направо і витягують корінь за вказаним алгоритмом.

ДИДАКТИЧНИЙ МАТЕРІАЛ

1. Вийміть квадратний корінь із числа: а) 32; б) 32,45; в) 249,5; г) 0,9511.