Багатолика трапеція... Вона може бути довільною, рівнобедреною чи прямокутною. І в кожному випадку потрібно знати, як знайти площу трапеції. Звичайно, найпростіше запам'ятати основні формули. Але іноді простіше скористатися тією, яка виведена з урахуванням усіх особливостей конкретної геометричної фігури.

Кілька слів про трапецію та її елементи

Будь-який чотирикутник, у якого дві сторони паралельні, можна назвати трапецією. У загальному випадкувони не рівні і називаються основами. Більше їх — нижнє, інше — верхнє.

Дві інші сторони виявляються бічними. У довільної трапеції вони мають різну довжину. Якщо ж вони рівні, то постать стає рівнобедреною.

Якщо раптом кут між будь-якою бічною стороною та основою виявиться рівним 90 градусам, то трапеція є прямокутною.

Всі ці особливості можуть допомогти у вирішенні задачі про те, як знайти площу трапеції.

Серед елементів фігури, які можуть бути незамінними у вирішенні завдань, можна виділити такі:

висота, тобто відрізок, перпендикулярний до обох підстав;
середня лінія, що має своїми кінцями середини бічних сторін.

За якою формулою обчислити площу, якщо відомі основи та висота?

Цей вираз дається основним, тому що найчастіше можна дізнатися про ці величини, навіть коли вони не дано явно. Отже, щоб зрозуміти, як знайти площу трапеції, потрібно скласти обидві підстави і розділити їх на дві. Значення, що вийшло, потім ще помножити на значення висоти.

Якщо позначити підстави літерами а 1 і а 2 , висоту — н, формула для площі виглядатиме так:

S = ((а 1 + а 2)/2) * н.

Формула, за якою обчислюється площа, якщо дано її висота та середня лінія

Якщо уважно подивитися на попередню формулу, то легко помітити, що в ній явно присутній значення середньої лінії. А саме, сума підстав, поділена на дві. Нехай середня лінія буде позначена літерою l, тоді формула для площі стане такою:

S = l*н.

Можливість знайти площу по діагоналях

Цей спосіб допоможе, якщо відомий кут, утворений ними. Припустимо, що діагоналі позначені літерами д1 і д2, а кути між ними - α і β. Тоді формула того, як знайти площу трапеції, буде записана так:

S = ((д 1 * д 2) / 2) * sin α.

У цьому виразі можна легко замінити на β. Результат не зміниться.

Як дізнатися площу, якщо відомі всі сторони фігури?

Бувають і такі ситуації, коли у цій фігурі відомі саме сторони. Ця формула виходить громіздкою і її важко запам'ятати. Але можливо. Нехай бічні сторони мають позначення: 1 і 2 , основа а 1 більше, ніж а 2 . Тоді формула площі набуде такого вигляду:

S = ((а 1 + а 2) / 2) * √ (в 1 2 - [(а 1 - а 2) 2 + в 1 2 - в 2 2) / (2 * (а 1 - а 2)) ] 2).

Способи обчислення площі рівнобедреної трапеції

Перший пов'язаний з тим, що до неї можна вписати коло. І, знаючи її радіус (він позначається буквою r), а також кут при підставі - γ, можна скористатися такою формулою:

S = (4 * r 2) / sin γ.

Остання загальна формула, яка ґрунтується на знанні всіх сторін фігури, суттєво спроститься за рахунок того, що бічні сторони мають однакове значення:

S = ((а 1 + а 2) / 2) * √ (у 2 - [(а 1 - а 2) 2 / (2 * (а 1 - а 2))] 2).

Методи обчислення площі прямокутної трапеції

Зрозуміло, що підійде будь-який із перелічених довільної фігури. Але іноді корисно знати про одну особливість такої трапеції. Вона полягає в тому, що різниця квадратів довжин діагоналей дорівнює різниці, складеній із квадратів основ.

Часто формули для трапеції забуваються, тоді як вирази для площ прямокутника та трикутника пам'ятаються. Тоді можна застосувати простий спосіб. Розділити трапецію на дві фігури, якщо вона прямокутна, чи три. Одна точно буде прямокутником, а друга, або дві трикутниками, що залишилися. Після обчислення площ цих фігур залишиться лише скласти.

Це досить простий спосіб того, як знайти площу прямокутної трапеції.

Як бути, якщо відомі координати вершин трапеції?

В цьому випадку потрібно скористатися виразом, який дозволяє визначити відстань між точками. Його можна застосувати три рази: для того, щоб дізнатися обидва підстави та одну висоту. А потім просто застосувати першу формулу, що описана трохи вище.

Для ілюстрації такого методу можна навести такий приклад. Дано вершини з координатами А(5; 7), В(8; 7), С(10; 1), Д(1; 1). Потрібно дізнатися площу фігури.

Перш ніж знайти площу трапеції, за координатами необхідно обчислити довжини підстав. Потрібна така формула:

довжина відрізка = √((різниця перших координат точок) 2 + (різниця других координат точок) 2).

Верхня основа позначена АВ, отже, її довжина дорівнюватиме √((8-5) 2 + (7-7) 2 ) = √9 = 3. Нижня — СД = √ ((10-1) 2 + (1-1 ) 2) = √81 = 9.

Тепер потрібно провести висоту з вершини на основу. Нехай її початок буде в точці А. Кінець відрізка опиниться на нижній підставі в точці з координатами (5; 1), нехай це буде точка Н. Довжина відрізка АН вийде рівною √((5-5) 2 + (7-1) 2 ) = √36 = 6.

Залишилося тільки підставити значення, що виходили, у формулу площі трапеції:

S = ((3 + 9) / 2) * 6 = 36.

Завдання вирішено без одиниць виміру, тому що не вказано масштаб координатної сітки. Він може бути як міліметр, і метр.

Приклади завдань

№1. Умова.Відомий кут між діагоналями довільної трапеції, він дорівнює 30 градусів. Менша діагональ має значення 3 дм, а друга більша за неї в 2 рази. Необхідно порахувати площу трапеції.

Рішення.Спочатку потрібно дізнатися довжину другий діагоналі, тому що без цього не вдасться порахувати відповідь. Обчислити її нескладно, 3*2 = 6 (дм).

Тепер потрібно скористатися відповідною формулою для площі:

S = ((3 * 6) / 2) * sin 30º = 18/2 * ½ = 4,5 (дм 2). Завдання вирішено.

Відповідь:площа трапеції дорівнює 4,5 дм2.

№2. Умова.У трапеції АВСД основами є відрізки АТ та ПС. Крапка Е – середина сторони ЦД. З неї проведено перпендикуляр до прямої АВ, кінець цього відрізка позначений буквою Н. Відомо, що довжини АВ та ЄН дорівнюють відповідно 5 і 4 см. Потрібно обчислити площу трапеції.

Рішення.Для початку потрібно зробити креслення. Оскільки значення перпендикуляра менше за сторону, до якої він проведений, то трапеція буде трохи витягнутою вгору. Так ЄП виявиться всередині фігури.

Щоб чітко побачити хід розв'язання задачі, потрібно виконати додаткову побудову. А саме, провести пряму, яка буде паралельна стороні АВ. Точки перетину цієї прямої з АТ - Р, а з продовженням ВС - Х. Постать ВХРА, що вийшла, - паралелограм. Причому його площа дорівнює шуканій. Це з тим, що трикутники, які вийшли за додаткової побудові, рівні. Це випливає з рівності сторони і двох кутів, що прилягають до неї, один — вертикальний, інший — навхрест лежачий.

Знайти площу паралелограма можна за формулою, що містить добуток сторони та висоти, опущеної на неї.

Таким чином, площа трапеції дорівнює 5*4 = 20 см2.

Відповідь: S = 20 см2.

№3. Умова.Елементи рівнобедреної трапеції мають такі значення: нижня основа – 14 см, верхня – 4 см, гострий кут – 45º. Потрібно обчислити її площу.

Рішення.Нехай меншу основу має позначення ВС. Висота, проведена з точки, називатиметься ВН. Оскільки кут 45º, то трикутник АВН вийде прямокутний та рівнобедрений. Отже, АН=ВН. Причому Ан дуже легко знайти. Вона дорівнює половині різниці підстав. Тобто (14 – 4) / 2 = 10 / 2 = 5 (см).

Підстави відомі, висота порахована. Можна користуватися першою формулою, яка була розглянута для довільної трапеції.

S = ((14 + 4) / 2) * 5 = 18/2 * 5 = 9 * 5 = 45 (см 2).

Відповідь:Шукана площа дорівнює 45 см 2 .

№4. Умова.Є довільна трапеція АВСД. На її бічних сторонах взяті точки О та Е, так що ОЕ паралельна основі АТ. Площа трапеції АТВД у п'ять разів більша, ніж у ЗЗСЄ. Обчислити значення ОЕ, якщо відомі довжини основ.

Рішення.Потрібно провести дві паралельні АВ прямі: першу через точку С, її перетин з ОЕ - точка Т; другу через Е та точкою перетину з АТ буде М.

Нехай невідома ОЕ = х. Висота меншої трапеції ЗЗСЄ - н 1, більшої АОЕД - н 2 .

Оскільки площі цих двох трапецій співвідносяться як 1 до 5, можна записати таку рівність:

(х + а 2) * н 1 = 1/5 (х + а 1) * н 2

н 1 / н 2 = (х + а 1) / (5 (х + а 2)).

Висоти та сторони трикутників пропорційні по побудові. Тому можна записати ще одну рівність:

н 1 / н 2 = (х - а 2) / (а 1 - х).

В двох останніх записаху лівій частині стоять рівні величини, отже, можна написати, що (х + а 1) / (5 (х + а 2)) одно (х - а 2) / (а 1 - х).

Тут потрібно провести низку перетворень. Спочатку перемножити навхрест навхрест. З'являться дужки, які вкажуть на різницю квадратів після застосування цієї формули вийде коротке рівняння.

У ньому потрібно розкрити дужки і перенести всі складові з невідомої «х» в лівий бік, а потім витягти квадратний корінь.

Відповідь: х = √ ((а 1 2 + 5 а 2 2) / 6).

І. Тепер можна приступити до розгляду питання, як знайти площу трапеції. Це завдання в побуті виникає дуже рідко, але іноді виявляється необхідною, наприклад, щоб знайти площу кімнати у формі трапеції, які все частіше застосовують при будівництві сучасних квартир, або в дизайн-проектах з ремонту.

Трапеція – це геометрична фігура, утворена чотирма відрізками, що перетинаються, два з яких паралельні між собою і називаються основами трапеції. Два інші відрізки називаються сторонами трапеції. Крім того, надалі нам знадобиться ще одне визначення. Це середня лінія трапеції, яка є відрізком, що з'єднує середини бічних сторін і висота трапеції, яка дорівнює відстані між основами.
Як і у трикутників, у трапеція є приватні види у вигляді рівнобедреної (рівнобічної) трапеції, у якої довжина бічних сторін однакові і прямокутної трапеції, у якої одна зі сторін утворює з основами прямий кут.

Трапеції мають деякі цікаві властивості:

Середня лінія трапеції дорівнює напівсумі основ і паралельна їм.
У рівнобедрених трапецій бічні сторони та кути які вони утворюють з основами рівні.
Середини діагоналей трапеції та точка перетину її діагоналей знаходяться на одній прямій.
Якщо сума бічних сторін трапеції дорівнює сумі підстав, то до неї можна вписати коло
Якщо сума кутів, утворених сторонами трапеції у будь-якого її основи дорівнює 90, то довжина відрізка, що з'єднує середини основ, дорівнює їх напіврізності.
Рівностегнову трапецію можна описати колом. І навпаки. Якщо в трапеція вписується в коло, значить вона рівностегна.
Відрізок, що проходить через середини основ рівнобедреної трапеції, буде перпендикулярний її основам і являє собою вісь симетрії.

Як знайти площу трапеції.

Площа трапеції дорівнюватиме напівсумі її основ, помноженої на висоту. У вигляді формули це записується у вигляді виразу:

де S-площа трапеції, a,b-довжина кожної з основ трапеції, h-висота трапеції.

Зрозуміти і запам'ятати цю формулу можна так. Як випливає з малюнка нижче трапецію з використанням середньої лінії можна перетворити на прямокутник, довжина якого і дорівнюватиме напівсумі основ.

Можна також будь-яку трапецію розкласти на простіші постаті: прямокутник і один, або два трикутники і якщо вам так простіше, то знайти площу трапеції, як суму площ складових її фігур.

Є ще одна проста формула для підрахунку її площі. Відповідно до неї площа трапеції дорівнює добутку її середньої лінії на висоту трапеції та записується у вигляді: S = m*h, де S-площа, m-довжина середньої лінії, h-висота трапеції. Ця формула більше підходить для задач з математики, ніж для побутових завдань, оскільки реальних умовахвам не буде відома довжина середньої лінії без попередніх розрахунків. А відомі вам будуть лише довжини основ та бічних сторін.

У цьому випадку площа трапеції може бути знайдена за такою формулою:

S = ((a+b)/2)*√c 2 -((b-a) 2 +c 2 -d 2 /2(b-a)) 2

де S-площа, a,b-підстави, c,d-бічні сторони трапеції.

Існує ще кілька способів того, як знайти площі трапеції. Але, вони також незручні як і остання формула, отже немає сенсу ними зупинятися. Тому рекомендуємо вам користуватися першою формулою зі статті та бажаємо завжди отримувати точні результати.

Інструкція

Для того, щоб обидва способи були зрозумілішими, можна навести пару прикладів.

Приклад 1: Довжина середньої лінії трапеції 10 см, її площа 100 см². Для знаходження висоти цієї трапеції треба зробити:

h = 100/10 = 10 см

Відповідь: висота цієї трапеції 10 см

Приклад 2: площа трапеції 100 см², довжини основ дорівнює 8 см і 12 см. Для знаходження висоти цієї трапеції потрібно виконати дію:

h = (2 * 100) / (8 + 12) = 200/20 = 10 см

Відповідь: висота цієї трапеції 20 см

Зверніть увагу

Існує кілька видів трапецій:
Рівностегнова трапеція – це така трапеція, у якій бічні сторони рівні між собою.
Прямокутна трапеція - це трапеція, у якої один із внутрішніх кутів дорівнює 90 градусам.
Варто зазначити, що у прямокутній трапеції висота збігається з довжиною при прямому куті.
Навколо трапеції можна описати коло, або вписати її всередину цієї фігури. Вписати коло можна лише тому випадку, якщо сума підстав її дорівнює сумі протилежних сторін. Описати ж коло можна лише навколо рівнобедреної трапеції.

Корисна порада

Паралелограм є окремим випадком трапеції, то визначення трапеції не суперечить визначенню паралелограма. Паралелограм – це чотирикутник, протилежні сторони якого паралельні між собою. У трапеції ж у визначенні йдеться лише про пару його сторін. Тому будь-який паралелограм є і трапецією. Зворотне твердження не так.

Джерела:

як знайти площу трапеції формула

Порада 2: Як знайти висоту трапеції, якщо відома площа

Під трапецією мається на увазі чотирикутник, у якого дві з чотирьох його сторін паралельні між собою. Паралельні сторони є підставами даної, дві інші ж є бічними сторонами даної. трапеції. Знайти висоту трапеціїякщо відома її площабуде дуже легко.

Інструкція

Необхідно розібратися, як можна обчислити площавихідний трапеції. Для цього кілька формул, залежно від вихідних даних: S = ((a+b)*h)/2, де a та b - основ трапеції, а h - її висота (Висота трапеції- перпендикуляр, опущений від однієї основи трапеціїдо іншого);
S = m*h, де m – лінія трапеції(Середня лінія - відрізок, основами трапеціїі що з'єднує середини її бокових сторін).

Для того, щоб було зрозуміліше, подібні завдання, можна розглянути: Приклад 1: Дана трапеція, у якої площа 68 см², середня лінія якої дорівнює 8 см, потрібно знайти висотуданої трапеції. Для того, щоб вирішити це завдання, потрібно скористатися раніше виведеною формулою:
h = 68/8 = 8.5 см Відповідь: висота даної трапеціїскладає 8.5 смПриклад 2: Нехай у трапеції площадорівнює 120 см², довжини підстав даної трапеції 8 см та 12 см відповідно, потрібно знайти висотуцією трапеції. Для цього треба застосувати одну з виведених формул:
h = (2*120)/(8+12) = 240/20 = 12 см Відповідь: висота заданої трапеціїдорівнює 12 см

Відео на тему

Зверніть увагу

Будь-яка трапеція має ряд властивостей:

Середня лінія трапеції дорівнює напівсумі її основ;

Відрізок, який з'єднує між собою діагоналі трапеції, дорівнює половині різниці його основ;

Якщо через середини підстав провести пряму, вона перетне точку перетину діагоналей трапеції;

У трапецію можна вписати коло у тому випадку, якщо сума підстав цієї трапеції дорівнює сумі її бічних сторін.

Використовуйте ці властивості при вирішенні завдань.

Порада 3: Як знайти площу трапеції, якщо відомі підстави

За геометричним визначенням трапецією є чотирикутник, у якого лише одна пара сторін паралельна. Ці сторони є її підставами. Відстань між підставаминазивається висотою трапеції. Знайти площа трапеціїможна, використовуючи геометричні формули.

Інструкція

Виміряйте підстави та трапеціїАВСД. Зазвичай їх дається у завдання. Нехай у цьому прикладі завдання основа АD (а) трапеціїдорівнюватиме 10 см, основа BC (b) - 6 см, висота трапеції BK (h) - 8 см. Застосуйте геометричну для знаходження площі трапеціїякщо відомі довжини її основ і висоти - S= 1/2 (a+b)*h, де: - a - величина основи AD трапеції ABCD, b - величина основи BC, h - величина висоти BK.

У математиці відомо кілька видів чотирикутників: квадрат, прямокутник, ромб, паралелограм. Серед них і трапеція - вид опуклого чотирикутника, який має дві сторони паралельні, а дві інші немає. Паралельні протилежні сторони називаються основами, а дві інші – бічними сторонами трапеції. Відрізок, що з'єднує середини бічних сторін, називається середньою лінією. Існує кілька видів трапецій: рівнобедрений, прямокутний, криволінійний. Для кожного виду трапеції є формули для знаходження площі.

Площа трапеції

Щоб знайти площу трапеції, потрібно знати довжину її основ та висоту. Висота трапеції - це відрізок, перпендикулярний до основ. Нехай верхня основа - a, нижня основа - b, а висота - h. Тоді обчислити площу S можна за формулою:

S = ½ * (a+b) * h

тобто. взяти напівсуму підстав, помножену на висоту.

Також вдасться обчислити площу трапеції, якщо відомо значення висоти та середньої лінії. Позначимо середню лінію – m. Тоді

Розв'яжемо завдання складніше: відомі довжини чотирьох сторін трапеції - a, b, c, d. Тоді площа знайдеться за такою формулою:

Якщо відомі довжини діагоналей та кут між ними, то площа шукається так:

S = ½ * d1 * d2 * sin α

де d з індексами 1 та 2 - діагоналі. У цій формулі в розрахунку наводиться синус кута.

При відомих довжинах основ a і b і двох кутах при нижній підставі площа обчислюється так:

S = ½ * (b2 - a2) * (sin α * sin β / sin(α + β))

Площа рівнобедреної трапеції

Рівностегнова трапеція – це окремий випадоктрапеції. Її відмінність у тому, що така трапеція – це опуклий чотирикутник із віссю симетрії, що проходить через середини двох протилежних сторін. Її бічні сторони рівні.

Знайти площу рівнобедреної трапеції можна кількома способами.

Через довжину трьох сторін. У цьому випадку довжини бічних сторін збігатимуться, тому позначені однією величиною - с, а і b - довжини основ:

Якщо відома довжина верхньої основи, збоку і величина кута при нижній підставі, то площа обчислюється так:

S = c * sin α * (a + c * cos α)

де а - верхня основа, з - бічна сторона.

Якщо замість верхньої основи відома довжина нижньої – b, площа розраховується за такою формулою:

S = c * sin α * (b - c * cos α)

Якщо коли відомі дві основи та кут при нижній підставі, площа обчислюється через тангенс кута:

S = ½ * (b2 - a2) * tg α

Також площа розраховується через діагоналі та кут між ними. У цьому випадку діагоналі по довжині дорівнюють, тому кожну позначаємо буквою d без індексів:

S = ½ * d2 * sin α

Обчислимо площу трапеції, знаючи довжину бічної сторони, середньої лінії та величину кута при нижній підставі.

Нехай бічна сторона – с, середня лінія – m, кут – a, тоді:

S = m * c * sin α

Іноді в рівносторонню трапецію можна вписати коло, радіус якого буде - r.

Відомо, що в будь-яку трапецію можна вписати коло, якщо сума довжин основ дорівнює сумі довжин її бокових сторін. Тоді площа знайдеться через радіус вписаного кола та кут при нижній підставі:

S = 4r2/sin α

Такий же розрахунок проводиться і через діаметр D вписаного кола (до речі, він збігається з висотою трапеції):

Знаючи основи та кут, площа рівнобедреної трапеції обчислюється так:

S = a * b / sin α

(Ця і наступні формули правильні тільки для трапецій з вписаним колом).

Через підстави та радіус кола площа шукається так:

Якщо відомі лише підстави, то площа вважається за формулою:

Через підстави та бічну лініюплоща трапеції з вписаним колом і через основи та середню лінію - m обчислюється так:

Площа прямокутної трапеції

Прямокутною називається трапеція, у якої одна з бічних сторін перпендикулярна до основ. І тут бічна сторона по довжині збігається з висотою трапеції.

Прямокутна трапеція є квадратом і трикутником. Знайшовши площу кожної з фігур, складіть отримані результати та отримайте загальну площуфігури.

Також для обчислення площі прямокутної трапеції підходять загальні формулидо розрахунку площі трапеції.

Якщо відомі довжини основ та висота (або перпендикулярна бічна сторона), то площа розраховується за формулою:

S = (a + b) * h / 2

Як h (висоти) може виступати бічна сторона. Тоді формула виглядає так:

S = (a + b) * c / 2

Інший спосіб розрахувати площу - перемножити довжину середньої лінії на висоту:

або на довжину бічної перпендикулярної сторони:

Наступний спосіб обчислення - через половину твору діагоналей та синус кута між ними:

S = ½ * d1 * d2 * sin α

Якщо діагоналі перпендикулярні, формула спрощується до:

S = ½ * d1 * d2

Ще один спосіб обчислення - через напівпериметр (сума довжин двох протилежних сторін) та радіус вписаного кола.

Ця формула дійсна для основ. Якщо брати довжини бічних сторін, то одна з них дорівнюватиме подвоєному радіусу. Формула виглядатиме так:

S = (2r + c) * r

Якщо в трапецію вписано коло, то площа обчислюється так само:

де m – довжина середньої лінії.

Площа криволінійної трапеції

Криволинійна трапеція є плоскою фігурою, обмеженою графіком невід'ємної безперервної функції y = f(x), визначеної на відрізку , віссю абсцис і прямими x = a, x = b. По суті, дві її сторони паралельні один одному (підстави), третя сторона перпендикулярна до підстав, а четверта являє собою криву, відповідну графіку функції.

Площа криволінійної трапеціїшукають через інтеграл за формулою Ньютона-Лейбніца:

Так обчислюються площі різних видівтрапецій. Але, крім властивостей сторін, трапеції мають однакові властивості кутів. Як у всіх існуючих чотирикутників, сума внутрішніх кутів трапеції дорівнює 360 градусів. А сума кутів, що прилягають до бокової сторони, – 180 градусів.