Порівнювати величини та кількості при вирішенні практичних завдань доводилося ще з давніх часів. Тоді ж з'явилися і такі слова, як більше і менше, вище і нижче, легше і важче, тихіше і голосніше, дешевше і дорожче, що позначають результати порівняння однорідних величин.
Поняття більше і менше виникли у зв'язку з рахунком предметів, виміром та порівнянням величин. Наприклад, математики Стародавньої Греції знали, що сторона будь-якого трикутника менша за суму двох інших сторін і що проти більшого кута в трикутнику лежить велика сторона. Архімед, займаючись обчисленням довжини кола, встановив, що периметр будь-якого кола дорівнює потрійному діаметру з надлишком, який менше сьомої частини діаметра, але більше десяти сімдесят перших діаметра.
Символічно записувати співвідношення між числами та величинами за допомогою знаків > та b. Записи, у яких два числа з'єднані одним із знаків: > (більше), З числовими нерівностями ви зустрічалися й у молодших класах. Знаєте, що нерівності можуть бути вірними, а можуть бути й невірними. Наприклад, \(\frac(1)(2) > \frac(1)(3) \) правильна числова нерівність, 0,23 > 0,235 - неправильна числова нерівність.
Нерівності, до яких входять невідомі, можуть бути вірними за одних значень невідомих і невірними за інших. Наприклад, нерівність 2x+1>5 правильна при х = 3, а при х = -3 - неправильна. Для нерівності з одним невідомим можна поставити завдання вирішити нерівність. Завдання розв'язання нерівностей практично ставляться і вирішуються не рідше, ніж завдання розв'язання рівнянь. Наприклад, багато економічних проблем зводяться до дослідження та вирішення систем лінійних нерівностей. Багато розділах математики нерівності зустрічаються частіше, ніж рівняння.
Деякі нерівності служать єдиним допоміжним засобом, що дозволяє довести чи спростувати існування певного об'єкта, наприклад, кореня рівняння.
Числові нерівності
Ви вмієте порівнювати цілі числа, десяткові дроби. Знаєте правила порівняння звичайних дробівз однаковими знаменниками, але різними чисельниками; з однаковими чисельниками, але різними знаменниками. Тут ви навчитеся порівнювати будь-які два числа за допомогою знаходження знака їх різниці.
Порівняння чисел широко застосовується практично. Наприклад, економіст порівнює планові показники з фактичними, лікар порівнює температуру хворого з нормальною, токар порівнює розміри деталі, що виточується, з еталоном. У таких випадках порівнюються деякі числа. Внаслідок порівняння чисел виникають числові нерівності.
Визначення.Число а більше числа b, якщо різницю а-bпозитивна. Число а менше числа b якщо різниця а-b негативна.
Якщо більше b, то пишуть: а > b; якщо а менше b, то пишуть: а Отже, нерівність а > b означає, що різницю а - b позитивна, тобто. а - b > 0. Нерівність а Для будь-яких двох чисел а і b з наступних трьох співвідношень a > b, a = b, a Порівняти числа а і b - означає з'ясувати, який із знаків >, = або Теорема.Якщо a > b та Ь > с, то а > с.
Теорема.Якщо до обох частин нерівності додати те саме число, то знак нерівності не зміниться.
Слідство.Будь-яке доданок можна перенести з однієї частини нерівності до іншої, змінивши знак цього доданка на протилежний.
Теорема.Якщо обидві частини нерівності помножити на те саме позитивне число, то знак нерівності не зміниться. Якщо обидві частини нерівності помножити на те саме від'ємне число, Символ нерівності зміниться на протилежний.
Слідство.Якщо обидві частини нерівності поділити на те саме позитивне число, то знак нерівності не зміниться. Якщо обидві частини нерівності поділити на те саме негативне число, то знак нерівності зміниться на протилежний.
Ви знаєте, що числові рівності можна почленно складати та множити. Далі ви навчитеся виконувати аналогічні дії з нерівностями. Вміння почленно складати і множити нерівності часто застосовуються практично. Ці дії допомагають вирішувати завдання оцінювання та порівняння значень виразів.
При вирішенні різних завдань часто доводиться складати або множити почленно ліві та праві частини нерівностей. При цьому іноді кажуть, що нерівності складаються чи множаться. Наприклад, якщо турист пройшов у перший день понад 20 км, а в другий – понад 25 км, то можна стверджувати, що за два дні він пройшов понад 45 км. Так само якщо довжина прямокутника менше 13 см, а ширина менше 5 см, то можна стверджувати, що площа цього прямокутника менше 65 см2.
При розгляді цих прикладів застосовувалися такі теореми про складання та множення нерівностей:
Теорема.При додаванні нерівностей однакового знака виходить нерівність того ж знака: якщо а > b і c > d, то a + c > b + d.
Теорема.При множенні нерівностей однакового знака, у яких ліві та праві частини позитивні, виходить нерівність того ж знака: якщо а > b, c > d і а, b, с, d – позитивні числа, то ac > bd.
Нерівності зі знаком > (більше) і 1/2, 3/4 b, c Поряд зі знаками строгих нерівностей > і Точно так само нерівність \(a \geq b \) означає, що число а більше або дорівнює b, тобто а не менше b.
Нерівності, що містять знак (geq) або знак (leq), називають нестрогими. Наприклад, \ (18 \ geq 12 , \; 11 \ leq 12 \) - Нестрогі нерівності.
Усі властивості суворих нерівностей справедливі й у нестрогих нерівностей. При цьому якщо для суворих нерівностей протилежними вважалися знаки і Ви знаєте, що для вирішення ряду прикладних завдань доводиться складати математичну модель у вигляді рівняння або системи рівнянь. Далі ви дізнаєтеся, що математичними моделями на вирішення багатьох завдань є нерівності з невідомими. Буде введено поняття розв'язання нерівності та показано, як перевірити, чи є це числовирішенням конкретної нерівності.
Нерівності виду
\(ax > b, \quad ax у яких а та b - задані числа, а x - невідоме, називають лінійними нерівностями з одним невідомим.
Визначення.Рішенням нерівності з одним невідомим називається значення невідомого, у якому ця нерівність звертається у правильне числове нерівність. Вирішити нерівність - це означає знайти всі його рішення або встановити, що їх немає.
Вирішення рівнянь ви здійснювали шляхом приведення їх до найпростіших рівнянь. Аналогічно при розв'язанні нерівностей їх прагнуть за допомогою властивостей призвести до найпростіших нерівностей.
Розв'язання нерівностей другого ступеня з однією змінною
Нерівності виду
\(ax^2+bx+c >0 \) і (ax^2+bx+c де x - змінна, a, b і c - деякі числа і \(a \neq 0 \), називають нерівностями другого ступеня з однією змінною.
Розв'язання нерівності
\(ax^2+bx+c >0 \) або \(ax^2+bx+c можна розглядати як знаходження проміжків, у яких функція \(y= ax^2+bx+c \) набуває позитивних або негативних значень Для цього достатньо проаналізувати, як розташований графік функції \(y= ax^2+bx+c \) в координатній площині: куди спрямовані гілки параболи - вгору або вниз, чи перетинає парабола вісь x і якщо перетинає, то в яких точках.
Алгоритм розв'язання нерівностей другого ступеня з однією змінною:
1) знаходять дискримінант квадратного тричлена (ax^2+bx+c) і з'ясовують, чи має тричлен коріння;
2) якщо тричлен має коріння, то відзначають їх на осі x і через зазначені точки проводять схематично параболу, гілки якої спрямовані вгору при a > 0 або вниз при a 0 або в нижній при a 3) знаходять на осі x проміжки, для яких точки параболи розташовані вище осі x (якщо вирішують нерівність \(ax^2+bx+c >0 \)) або нижче осі x (якщо вирішують нерівність
\(ax^2+bx+c Розв'язання нерівностей методом інтервалів
Розглянемо функцію
f(x) = (х + 2)(х - 3)(х - 5)
Область визначення цієї функції є безліч всіх чисел. Нулями функції служать числа -2, 3, 5. Вони розбивають область визначення функції на проміжки \((-\infty; -2), \; (-2; 3), \; (3; 5) \) і \( (5; + \ infty) \)
З'ясуємо, які знаки цієї функції у кожному із зазначених проміжків.
Вираз (х + 2) (х - 3) (х - 5) є твір трьох множників. Знак кожного з цих множників у розглянутих проміжках зазначений у таблиці:
Взагалі, нехай функція задана формулою
f(x) = (x-x 1)(x-x 2) ... (x-x n),
де x-змінна, а x 1, x 2, ..., x n - не рівні один одному числа. Числа x 1 , x 2 ..., x n є нулями функції. У кожному проміжку, на який область визначення розбивається нулями функції, знак функції зберігається, а при переході через нуль її знак змінюється.
Ця властивість використовується для вирішення нерівностей виду
(x-x 1) (x-x 2) ... (x-x n) > 0,
(x-x 1)(x-x 2) ... (x-x n) де x 1 , x 2 , ..., x n - не рівні один одному числа
Розглянутий спосіб Розв'язання нерівностей називають методом інтервалів.
Наведемо приклади розв'язання нерівностей шляхом інтервалів.
Вирішити нерівність:
\(x(0,5-x)(x+4) Очевидно, що нулями функції f(x) = x(0,5-x)(x+4) є точки \(x=0, \; x= \frac(1)(2) , \;x=-4 \)Наносимо на числову вісь нулі функції та обчислюємо знак на кожному проміжку:
Вибираємо проміжки, на яких функція менша або дорівнює нулю і записуємо відповідь.
Відповідь:
\(x \in \left(-\infty; \; 1 \right) \cup \left[ 4; \; +\infty \right) \)
Поняття математичної нерівності виникло в давнину. Це сталося тоді, коли у первісної людини з'явилася потреба при рахунку та діях з різними предметами порівнювати їх кількість та величину. Починаючи з античних часів нерівностями користувалися у своїх міркуваннях Архімед, Евклід та інші уславлені діячі науки: математики, астрономи, конструктори та філософи.
Але вони зазвичай застосовували у своїх роботах словесну термінологію. Вперше сучасні знаки для позначення понять «більше» і «менше» у тому вигляді, як їх сьогодні знає кожен школяр, придумали і застосували на практиці в Англії. Надав таку послугу нащадкам математик Томас Гарріот. А сталося це близько чотирьох століть тому.
Відомо безліч видів нерівностей. Серед них прості, що містять одну, дві і більше змінних, квадратні, дробові, складні співвідношення і навіть представлені системою виразів. А зрозуміти, як вирішувати нерівності, найкраще на різних прикладах.
Чи не запізнитися на поїзд
Для початку уявімо, що мешканець сільскої місцевостіпоспішає на залізничну станцію, що знаходиться на відстані 20 км від його села. Щоб не спізнитися на поїзд, що відходить об 11 годині, він має вчасно вийти з дому. О котрій годині це необхідно зробити, якщо швидкість його руху становить 5 км/год? Вирішення цієї практичної задачі зводиться до виконання умов вираження: 5 (11 - Х) ≥ 20, де Х - час відправлення.
Це зрозуміло, адже відстань, яку необхідно подолати селянинові до станції, дорівнює швидкості руху, помноженої на кількість годин у дорозі. Прийти раніше людина може, але от запізнитись їй ніяк не можна. Знаючи, як вирішувати нерівності, і застосувавши свої вміння на практиці, в результаті отримаємо Х ≤ 7, що є відповіддю. Це означає, що селянину слід вирушити на залізничну станцію о сьомій ранку або дещо раніше.
Числові проміжки на координатній прямій
Тепер з'ясуємо, як відобразити описувані співвідношення на Отриману вище нерівність не є суворим. Воно означає, що змінна може набувати значення менше 7, а може дорівнювати цьому числу. Наведемо інші приклади. Для цього уважно розглянемо чотири малюнки, наведені нижче.
На першому з них можна побачити графічне зображенняпроміжок [-7; 7]. Він складається з множини чисел, розміщених на координатній прямій і що знаходяться між -7 і 7, включаючи межі. При цьому точки на графіку зображуються у вигляді зафарбованих кіл, а запис проміжку здійснюється з використанням
Другий малюнок є графічним уявленням суворої нерівності. У цьому випадку прикордонні числа -7 і 7, показані виколотими (не зафарбованими) точками, не включаються до зазначеної множини. А запис самого проміжку проводиться у круглих дужках так: (-7; 7).
Тобто, з'ясувавши, як вирішувати нерівності такого типу, і отримавши подібну відповідь, можна зробити висновок, що вона складається з чисел, що знаходяться між розглянутими межами, крім -7 і 7. Наступні два випадки необхідно оцінювати аналогічним чином. На третьому малюнку даються зображення проміжків (-∞; -7] U ∪[ \frac(2)(3);∞)\)
Квадратні нерівності з негативним та рівним нулю дискримінантом
Алгоритм вище працює, коли дискримінант більший за нуль, тобто має (2) кореня. Що робити в інших випадках? Наприклад, таких:
|
\(1) x^2+2x+9>0\) |
\(2) x^2+6x+9≤0\) |
\(3)-x^2-4x-4>0\) |
\(4) -x^2-64<0\) |
|
\(D=4-36=-32<0\) |
\(D=-4 \cdot 64<0\) |
Якщо \(D<0\), то квадратный трехчлен имеет постоянный знак, совпадающий со знаком коэффициента \(a\) (тем, что стоит перед \(x^2\)).
Тобто вираз:
\(x^2+2x+9\) – позитивно за будь-яких \(x\), т.к. \(a=1>0\)
\(-x^2-64\) - негативно за будь-яких \(x\), т.к. \(a=-1<0\)
Якщо \(D=0\), то квадратний тричлен при одному значенні \(x\) дорівнює нулю, а за всіх інших має постійний знак, який збігається зі знаком коефіцієнта \(a\).
Тобто вираз:
\(x^2+6x+9\) - дорівнює нулю при \(x=-3\) і позитивно за всіх інших іксах, т.к. \(a=1>0\)
\(-x^2-4x-4\) - дорівнює нулю при \(x=-2\) і негативно за всіх інших, т.к. \(a=-1<0\).
Як знайти ікс, за якого квадратний тричлен дорівнює нулю? Потрібно розв'язати відповідне квадратне рівняння.
З урахуванням цієї інформації давайте вирішимо квадратні нерівності:
|
1) \(x^2+2x+9>0\) |
Нерівність, можна сказати, ставить нам питання: «за яких \(x\) вираз зліва більше нуля?». Вище ми вже з'ясували, що за будь-яких. У відповіді можна так і написати: «за будь-яких \(x\)», але краще тугішу саму думку, висловити мовою математики. |
|
|
Відповідь: \(x∈(-∞;∞)\) |
||
|
2) \(x^2+6x+9≤0\) |
Питання від нерівності: «за яких \(x\) вираз ліворуч менше або дорівнює нулю?» Менше нуля воно бути не може, а от одно нулю - цілком. І щоб з'ясувати за якого позову це станеться, вирішимо відповідне квадратне рівняння. |
|
|
Давайте зберемо наш вираз по (a^2+2ab+b^2=(a+b)^2\). |
||
|
Нині нам заважає лише квадрат. Давайте разом подумаємо - яке число у квадраті дорівнює нулю? Нуль! Значить, квадрат виразу дорівнює нулю тільки якщо сам вираз дорівнює нулю. |
||
|
\(x+3=0\) |
Це і буде відповіддю. |
|
|
Відповідь: \(-3\) |
||
|
3)\(-x^2-4x-4>0\) |
Коли вираз зліва більший за нуль? Як вище вже було сказано вираз зліва або негативно, або дорівнює нулю, позитивним воно не може. Отже, відповідь – ніколи. Запишемо «ніколи» мовою математики, з допомогою символу «порожня безліч» - \(∅\). |
|
|
Відповідь: \(x∈∅\) |
||
|
4) \(-x^2-64<0\) |
Коли вираз зліва менше нуля? Завжди. Значить нерівність виконується за будь-яких \(x\). |
|
|
Відповідь: \(x∈(-∞;∞)\) |
Loading...