Відеоурок «Рівняння щодо графіку функції» демонструє навчальний матеріалдля освоєння теми. У ході відеоуроку представлений теоретичний матеріал, необхідний формування поняття про рівняння дотичної до графіку функції у цій точці, алгоритм знаходження такої дотичної, описані приклади розв'язання завдань із використанням вивченого теоретичного матеріалу.
У відеоуроці використовуються методи, що покращують наочність матеріалу. У поданні вставлені малюнки, схеми, даються важливі голосові коментарі, застосовується анімація, виділення кольором та іншими інструментами.
Відеоурок починається з представлення теми уроку та зображення, що стосується графіка деякої функції y=f(x) у точці M(a;f(a)). Відомо, що кутовий коефіцієнт дотичної, побудованої до графіка у цій точці, дорівнює похідної функції f(a) у цій точці. Також з курсу алгебри відоме рівняння прямої y=kx+m. Схематично представлено розв'язання задачі знаходження рівняння дотичної в точці, яка зводиться до знаходження коефіцієнтів k, m. Знаючи координати точки, що належить графіку функції, можемо знайти m, підставивши значення координат рівняння дотичної f(a)=ka+m. З нього знаходимо m=f(a)-ka. Таким чином, знаючи значення похідної в даній точці і координати точки, можна уявити рівняння дотичної таким чином y=f(a)+f(a)(x-a).
Далі розглядається приклад складання рівняння дотичної, дотримуючись схеми. Дана функція y = x 2 x = -2. Прийнявши а=-2, знаходимо значення функції у цій точці f(a)= f(-2)=(-2) 2 =4. Визначаємо похідну функції f (х) = 2х. У цій точці похідна дорівнює f(a)= f(-2)=2·(-2)=-4. Для складання рівняння знайдено всі коефіцієнти а=-2, f(a)=4, f((a)=-4, тому рівняння дотичної у=4+(-4)(х+2). Спростивши рівняння, отримуємо у = -4-4х.
У прикладі пропонується скласти рівняння дотичної на початку координат до графіку функції y=tgx. У цій точці а=0, f(0)=0, f(х)=1/cos 2 x, f(0)=1. Таким чином, рівняння дотичної виглядає у = х.
Як узагальнення процес складання рівняння дотичної до графіку функції у певній точці оформляється як алгоритму, що з 4 кроків:
- Вводиться позначення а абсцис точки торкання;
- Обчислюється f(a);
- Визначається f(х) і обчислюється f(a). У формулу рівняння дотичної y=f(a)+f(a)(x-a) підставляються знайдені значення а, f(a), f(a).
У прикладі 1 розглядається складання рівняння щодо графіка функції у=1/х у точці х=1. Для вирішення завдання користуємося алгоритмом. Для цієї функції у точці а=1 значення функції f(a)=-1. Похідна функції f(х)=1/х 2 . У точці а=1 похідна f(a)= f(1)=1. Використовуючи отримані дані, складається рівняння дотичної у=-1+(х-1), або у=х-2.
У прикладі 2 необхідно знайти рівняння щодо графіку функції у = х 3 +3х 2 -2х-2. Основна умова - паралельність дотичної та прямої у=-2х+1. Спочатку знаходимо кутовий коефіцієнт дотичної, що дорівнює кутовому коефіцієнту прямий у=-2х+1. Так як f((a)=-2 для даної прямої, то k=-2 і для шуканої дотичної. Знаходимо похідну функції (х 3 +3х 2 -2х-2) = 3х 2 +6х-2. Знаючи, що f(a)=-2, знаходимо координати точки 3а 2 +6а-2=-2. Розв'язавши рівняння, отримуємо а 1 = 0, а 2 = -2. Використовуючи знайдені координати можна знайти рівняння дотичної за допомогою відомого алгоритму. Знаходимо значення функції у точках f(а 1)=-2, f(а 2)=-18. Значення похідної в точці f (а 1) = f (а 2) = -2. Підставивши знайдені значення рівняння дотичної, отримаємо першої точки а 1 =0 у=-2х-2, а другої точки а 2 =-2 рівняння дотичної у=-2х-22.
У прикладі 3 описується складання рівняння дотичної до її проведення в точці (0;3) до графіка функції y=√x. Рішення провадиться за відомим алгоритмом. Точка торкання має координати х=а де а>0. Значення функції у точці f(a)=√x. Похідна функції f(х)=1/2√х, тому в цій точці f((а)=1/2√а. Підставивши всі отримані значення рівняння дотичної, отримуємо у=√а+(х-а)/2√а. Перетворивши рівняння, отримуємо у=х/2√а+√а/2. Знаючи, що дотична проходить через точку (0; 3), знаходимо значення а. Знаходимо з 3=√а/2. Звідси √а=6, а=36. Знаходимо рівняння дотичної у=х/12+3. На малюнку зображується графік розглянутої функції та побудована шукана дотична.
Учням нагадуються наближені рівності Δy = f(x)Δxі f(x+Δx)-f(x)≈f(x)Δx. Приймаючи х=а, x+Δx=х, Δx=х-а, отримуємо f(х)-f(а)≈f(а)(х-а), звідси f(х)≈f(а)+ f(а)(х-а).
У прикладі 4 необхідно знайти наближене значення вираз 2003 6 . Оскільки потрібно знайти значення функції f(х)=х 6 у точці х=2,003, можемо скористатися відомою формулою, Прийнявши f(х)=х 6 , а=2, f(а)= f(2)=64, f(x)=6х 5 . Похідна у точці f(2)=192. Тому 2,003 6 ≈65-192·0,003. Обчисливши вираз, отримуємо 2,003 6 ≈64,576.
Відеоурок «Рівняння щодо графіку функції» рекомендується використовувати на традиційному уроці математики в школі. Вчителю, який здійснює навчання дистанційно, відеоматеріал допоможе зрозуміліше пояснити тему. Відео може бути рекомендовано для самостійного розгляду учнями за необхідності поглибити їхнє розуміння предмета.
ТЕКСТОВЕ РОЗШИФРУВАННЯ:
Нам відомо, що якщо точка М (а; f(а)) (ем з координатами а та еф від а) належить графіку функції у = f (x) і якщо в цій точці до графіка функції можна провести дотичну, не перпендикулярну до осі абсцис, то кутовий коефіцієнт дотичної дорівнює f"(a) (еф штрих від а).
Нехай дані функція у = f(x) і точка М (a; f(a)), а також відомо, що існує f'(a). Складемо рівняння щодо графіка заданої функції в заданій точці. Це рівняння, як рівняння будь-якої прямої, не паралельної осі ординат, має вигляд y = kx+m (гравець рівний ка ікс плюс ем), тому завдання полягає у відшуканні значень коефіцієнтів k і m. (ка і ем)
Кутовий коефіцієнт k= f"(a). Для обчислення значення m скористаємося тим, що пряма проходить через точку М(а; f (а)). Це означає, що, якщо підставити координати точки М в рівняння прямий, отримаємо правильну рівність : f(a) = ka+m, звідки знаходимо, що m = f(a) - ka.
Залишилося підставити знайдені значення коефіцієнтів kі mв рівняння прямої:
y = kx+(f(a)-ka);
y = f(a)+k(x-a);
y= f(a)+ f"(a) (x- a). (ігор дорівнює еф від а плюс еф штрих від а, помножений на ікс мінус а).
Нами отримано рівняння щодо графіку функції y = f(x) у точці х=а.
Якщо, скажімо, у = х 2 і х = -2 (тобто а = -2), то f (а) = f (-2) = (-2) 2 = 4; f'(x) = 2х, значить, f"(a) = f'(-2) = 2·(-2) = -4. еф штрих від а дорівнює мінус чотири)
Підставивши до рівняння знайдені значення a = -2, f(a) = 4, f"(a) = -4, отримаємо: у = 4+(-4)(х+2), тобто у = -4х -4.
(ігрок дорівнює мінус чотири ікс мінус чотири)
Складемо рівняння щодо графіку функції у = tgx (гравець дорівнює тангенсікс) на початку координат. Маємо: а = 0, f (0) = tg0 = 0;
f"(x)=, отже, f"(0) = l. Підставивши в рівняння знайдені значення а = 0, f (a) = 0, f ' (a) = 1, отримаємо: у = x.
Узагальним наші кроки знаходження рівняння щодо графіку функції в точці х за допомогою алгоритму.
АЛГОРИТМ СКЛАДАННЯ РІВНЯННЯ ЩОДО ДО ГРАФІКА ФУНКЦІЇ у = f(x):
1) Позначити абсцис точки торкання літерою а.
2) Обчислити f(а).
3) Знайти f'(x) і обчислити f'(a).
4) Підставити знайдені числа a, f(a), f'(а) у формулу y= f(a)+ f"(a) (x- a).
Приклад 1. Скласти рівняння щодо графіку функції у = - в
точці х = 1.
Рішення. Скористаємося алгоритмом, враховуючи, що в цьому прикладі
2) f(a)=f(1)=- =-1
3) f '(x) =; f'(a) = f'(1) = =1.
4) Підставимо знайдені три числа: а = 1, f(а) = -1, f"(а) = 1 у формулу. Отримаємо: у = -1+(х-1), у = х-2.
Відповідь: у = х-2.
Приклад 2. Дана функція у = х 3+3х2-2х-2. Записати рівняння дотичної до графіка функції у = f (х), паралельної прямої у = -2х +1.
Використовуючи алгоритм складання рівняння дотичної, врахуємо, що у цьому прикладі f(x) = х 3+3х2-2х-2, але тут не вказано абсцис точки торкання.
Почнемо міркувати так. Дотика, що шукається, повинна бути паралельна прямій у = -2х+1. А паралельні прямі мають рівні кутові коефіцієнти. Отже, кутовий коефіцієнт дотичної дорівнює кутовому коефіцієнту заданої прямої: k кас. = -2. Hok кас. = f"(a). Отже, значення а ми можемо знайти з рівняння f '(а) = -2.
Знайдемо похідну функції у=f(x):
f"(x)= (х 3 +3х 2 -2х-2) '=3х 2 +6х-2;f"(а) = 3а 2 +6а-2.
З рівняння f "(а) = -2, тобто. 3а 2 +6а-2= -2 знаходимо а 1 = 0, a 2 = -2. Отже, є дві дотичні завдання, що задовольняють умові: одна в точці з абсцисою 0, інша в точці з абсцисою -2.
Тепер можна діяти за алгоритмом.
1) а 1 = 0, а 2 = -2.
2) f(a 1) = 0 3 +3·0 2 -2∙0-2=-2; f(a 2)= (-2) 3 +3·(-2) 2 -2·(-2)-2=6;
3) f"(a 1) = f"(a 2) = -2.
4) Підставивши значення a 1 = 0, f(a 1) =-2, f"(a 1) = -2 у формулу, отримаємо:
у=-2-2(х-0), у=-2х-2.
Підставивши значення а 2 =-2, f(a 2) =6, f"(a 2)= -2 формулу, отримаємо:
у=6-2(х+2), у=-2х+2.
Відповідь: у = -2х-2, у = -2х +2.
Приклад 3. З точки (0; 3) провести дотичну графік функції у = . Рішення. Скористаємося алгоритмом складання рівняння дотичної, враховуючи, що в даному прикладі f(x) = . Зауважимо, що і тут, як у прикладі 2, не вказано явно абсцис точки торкання. Тим не менш, діємо за алгоритмом.
1) Нехай х = а - абсцис точки дотику; ясно, що >0.
3) f '(x) = () '=; f'(a) =.
4) Підставивши значення a, f(a) = , f"(a) = у формулу
y = f (a) + f "(a) (x-a), Отримаємо:
За умовою дотична проходить через точку (0; 3). Підставивши в рівняння значення х = 0, у = 3, отримаємо: 3 = і далі =6, a =36.
Як бачите, у цьому прикладі лише на четвертому кроці алгоритму нам вдалося знайти абсцис точки торкання. Підставивши значення a =36 рівняння, отримаємо: y=+3
На рис. 1 представлена геометрична ілюстрація розглянутого прикладу: побудовано графік функції у =, проведено пряму у = +3.
Відповідь: у = +3.
Нам відомо, що для функції y = f(x), що має похідну в точці х, справедливо наближена рівність: Δyf'(x)Δx (дельта ігор приблизно дорівнює еф штрих від ікс, помножене на дельта ікс)
або, докладніше, f(x+Δx)-f(x) f'(x) Δx (еф від ікс плюс дельта ікс мінус еф від ікс приблизно дорівнює еф штрих від ікс на дельта ікс).
Для зручності подальших міркувань змінимо позначення:
замість х писатимемо а,
замість х + Δx будемо писати х
замість Δх писатимемо х-а.
Тоді написана вище наближена рівність набуде вигляду:
f(x)-f(a)f'(a)(x-a)
f(x)f(a)+f'(a)(x-a). (еф від ікс приблизно дорівнює еф від а плюс еф штрих від а, помножене на різницю ікса і а).
Приклад 4. Знайти наближене значення числового виразу 2003 6 .
Рішення. Йдеться знайти значення функції у = х 6 у точці х = 2,003. Скористаємося формулою f(x)f(a)+f´(a)(x-a), врахувавши, що в даному прикладі f(x)=x 6 , a = 2,f(a) = f(2) = 2 6 =64; x = 2,003, f"(x) = 6x 5 і, отже, f"(а) = f"(2) = 6 · 25 =192.
У результаті отримуємо:
2,003 6 64 +192 · 0,003, тобто. 2,003 6 = 64,576.
Якщо ми скористаємося калькулятором, то отримаємо:
2,003 6 = 64,5781643...
Як бачите, точність наближення цілком прийнятна.
Стаття дає докладне роз'яснення визначень геометричного сенсу похідної з графічними позначеннями. Буде розглянуто рівняння дотичної прямої з наведенням прикладів, знайдено рівняння щодо кривих 2 порядку.
Yandex.RTB R-A-339285-1 Визначення 1
Кут нахилу прямої y = k x + b називається кут α, який відраховується від позитивного напрямку осі о х до прямої y = k x + b у позитивному напрямку.
На малюнку напрямок позначається за допомогою зеленої стрілки і у вигляді зеленої дуги, а кут нахилу за допомогою червоної дуги. Синя лінія відноситься до прямої.
Визначення 2
Кутовий коефіцієнт прямої y = k x + b називають числовим коефіцієнтом k.
Кутовий коефіцієнт дорівнює тангенсу нахилу прямої, інакше кажучи k = t g α.
- Кут нахилу прямої дорівнює 0 тільки при паралельності про х і кутовому коефіцієнті, що дорівнює нулю, тому як тангенс нуля дорівнює 0 . Отже, вид рівняння буде y = b.
- Якщо кут нахилу прямий y = k x + b гострий, виконуються умови 0< α < π 2 или 0 ° < α < 90 ° . Отсюда имеем, что значение углового коэффициента k считается положительным числом, потому как значение тангенс удовлетворяет условию t g α >0 , причому є зростання графіка.
- Якщо α = π 2 тоді розташування прямої перпендикулярно о х. Рівність задається за допомогою рівності x = c зі значенням с є дійсним числом.
- Якщо кут нахилу прямий y = k x + b тупий, то відповідає умовам π 2< α < π или 90 ° < α < 180 ° , значение углового коэффициента k принимает отрицательное значение, а график убывает.
Сікучою називають пряму, яка проходить через 2 точки функції f(x). Інакше висловлюючись, січна – це пряма, яка проводиться через будь-які дві точки графіка заданої функції.
На малюнку видно, що АВ є січною, а f (x) – чорна крива, α - червона дуга, що означає кут нахилу січної.
Коли кутовий коефіцієнт прямої дорівнює тангенсу кута нахилу, то видно, що тангенс з прямокутного трикутника АВС можна знайти по відношенню протилежного катета до прилеглого.
Визначення 4
Отримуємо формулу для знаходження січного виду:
k = t g α = B C A C = f (x B) - f x A x B - x A , де абсцисами точок А і є значення x A , x B , а f (x A) , f (x B) - це значення функції у цих точках.
Очевидно, що кутовий коефіцієнт січної визначено за допомогою рівності k = f (x B) - f (x A) x B - x A або k = f (x A) - f (x B) x A - x B , причому рівняння необхідно записати як y = f (x B) - f (x A) x B - x A · x - x A + f (x A) або
y = f (x A) - f (x B) x A - x B · x - x B + f (x B).
Секущая ділить графік візуально на 3 частини: зліва від точки А, від А до В, праворуч від В. На малюнку видно, що є три січні, які вважаються збігаються, тобто задаються за допомогою аналогічного рівняння.
За визначенням видно, що пряма і її січе в даному випадкузбігаються.
Січна може множино разів перетинати графік заданої функції. Якщо є рівняння виду у = 0 для січної, тоді кількість точок перетину з синусоїдою нескінченна.
Визначення 5
Дотична до графіка функції f (x) у точці x 0; f (x 0) називається пряма, що проходить через задану точку x 0; f (x 0) з наявністю відрізка, який має безліч значень х, близьких до x 0 .
Приклад 1
Розглянемо докладно на наведеному нижче прикладі. Тоді видно, що пряма, задана функцією y = x + 1 вважається дотичною до y = 2 x у точці з координатами (1 ; 2) . Для наочності необхідно розглянути графіки з наближеними до (1 ; 2) значеннями. Функція y = 2 x позначена чорним, синя лінія – дотична, червона точка – точка перетину.
Очевидно, що y = 2 x зливається із прямою у = х + 1 .
Для визначення дотичної слід розглянути поведінку дотичної АВ при нескінченному наближенні точки до точки А. Для наочності наведемо малюнок.
Сікуча АВ, позначена за допомогою синьої лінії, прагне положення самої дотичної, а кут нахилу секущої α почне прагнути до кута нахилу самої дотичної α x .
Визначення 6
Стосовною графіку функції y = f (x) у точці А вважається граничне положення січучої АВ при прагнучій до А, тобто B → A .
Тепер перейдемо до розгляду геометричного сенсу похідної функції у точці.
Перейдемо до розгляду сіючої АВ для функції f (x) , де А і В з координатами x 0 , f (x 0) і x 0 + ∆ x , f (x 0 + ∆ x) , а ∆ x позначаємо як збільшення аргументу . Тепер функція набуде вигляду ∆ y = ∆ f (x) = f (x 0 + ∆ x) - f (∆ x) . Для наочності наведемо приклад малюнок.
Розглянемо отриманий прямокутний трикутникА В С. Використовуємо визначення тангенсу для вирішення, тобто отримаємо відношення ∆ y ∆ x = t g α. З визначення дотичної слідує, що lim ∆ x → 0 ∆ y ∆ x = t g α x . За правилом похідної в точці маємо, що похідну f (x) у точці x 0 називають межею відносин прирощення функції до прирощення аргументу, де ∆ x → 0 тоді позначимо як f (x 0) = lim ∆ x → 0 ∆ y ∆ x .
Звідси випливає, що f "(x 0) = lim ∆ x → 0 ∆ y ∆ x = t g α x = k x , де k x позначають як кутовий коефіцієнт дотичної.
Тобто отримуємо, що f '(x) може існувати в точці x 0 причому як і дотична до заданого графіка функції в точці дотику дорівнює x 0 f 0 (x 0) де значення кутового коефіцієнта дотичної в точці дорівнює похідній в точці x 0 . Тоді отримуємо, що k x = f "(x0).
Геометричний змістпохідної функції в точці в тому, що дається поняття існування щодо графіка в цій же точці.
Щоб записати рівняння будь-якої прямої на площині, необхідно мати кутовий коефіцієнт з точкою, якою вона проходить. Його позначення приймається як x0 при перетині.
Рівняння дотичної до графіка функції y = f (x) у точці x 0 , f 0 (x 0) набуває вигляду y = f "(x 0) · x - x 0 + f (x 0).
Мається на увазі, що кінцевим значенням похідної f "(x 0) можна визначити положення дотичної, тобто вертикально за умови lim x → x 0 + 0 f "(x) = ∞ і lim x → x 0 - 0 f "(x ) = ∞ або відсутність зовсім за умови lim x → x 0 + 0 f "(x) ≠ lim x → x 0 - 0 f" (x).
Розташування дотичної залежить від значення її кутового коефіцієнта k x = f "(x 0). k x > 0 , меншає при k x< 0 .
Приклад 2
Зробити складання рівняння дотичної до графіка функції y = e x + 1 + x 3 3 - 6 - 3 3 x - 17 - 3 3 у точці з координатами (1 ; 3) з визначенням кута нахилу.
Рішення
За умовою маємо, що функція визначається всім дійсних чисел. Отримуємо, що точка з координатами, заданими за умовою, (1 ; 3) є точкою дотику, тоді x 0 = - 1 f (x 0) = - 3 .
Необхідно знайти похідну у точці зі значенням -1. Отримуємо, що
y " = e x + 1 + x 3 3 - 6 - 3 3 x - 17 - 3 3 " = = e x + 1 " + x 3 3 " - 6 - 3 3 x " - 17 - 3 3 " = e x + 1 + x 2 - 6 - 3 3 y "(x 0) = y "(- 1) = e - 1 + 1 + - 1 2 - 6 - 3 3 = 3 3
Значення f '(x) у точці дотику є кутовим коефіцієнтом дотичної, який дорівнює тангенсу нахилу.
Тоді k x = t g α x = y "(x 0) = 3 3
Звідси випливає, що x = r c t g 3 3 = π 6
Відповідь:рівняння дотичної набуває вигляду
y = f "(x 0) · x - x 0 + f (x 0) y = 3 3 (x + 1) - 3 y = 3 3 x - 9 - 3 3
Для наочності наведемо приклад у графічній ілюстрації.
Чорний колір використовується для графіка вихідної функції, синій колір - дотичне зображення, червона точка - точка дотику. Малюнок, розташований праворуч, показує у збільшеному вигляді.
Приклад 3
З'ясувати наявність існування щодо графіка заданої функції
y = 3 · x - 1 5 + 1 у точці з координатами (1 ; 1) . Скласти рівняння та визначити кут нахилу.
Рішення
За умовою маємо, що область визначення заданої функції вважається безліч усіх дійсних чисел.
Перейдемо до знаходження похідної
y " = 3 · x - 1 5 + 1 " = 3 · 1 5 · (x - 1) 1 5 - 1 = 3 5 · 1 (x - 1) 4 5
Якщо x 0 = 1 тоді f '(x) не визначена, але межі записуються як lim x → 1 + 0 3 5 · 1 (x - 1) 4 5 = 3 5 · 1 (+ 0) 4 5 = 3 5 · 1 + 0 = + ∞ і lim x → 1 - 0 3 5 · 1 (x - 1) 4 5 = 3 5 · 1 (- 0) 4 5 = 3 5 · 1 + 0 = + ∞ , що означає існування вертикальної дотичної в точці (1; 1) .
Відповідь:рівняння набуде вигляду х = 1 , де кут нахилу дорівнюватиме π 2 .
Для наочності зобразимо графічно.
Приклад 4
Знайти точки графіка функції y = 1 15 x + 2 3 - 4 5 x 2 - 16 5 x - 26 5 + 3 x + 2 де
- Стосовна не існує;
- Дотична розташовується паралельно о х;
- Дотична паралельна прямий y = 8 5 x + 4 .
Рішення
Необхідно звернути увагу до область визначення. За умовою маємо, що функція визначена на багатьох дійсних чисел. Розкриваємо модуль і розв'язуємо систему з проміжками x ∈ - ∞; 2 і [-2; + ∞). Отримуємо, що
y = -1 15 x 3 + 18 x 2 + 105 x + 176, x ∈ - ∞; - 2 1 15 x 3 - 6 x 2 + 9 x + 12, x ∈ [- 2; + ∞)
Потрібно продиференціювати функцію. Маємо, що
y " = - 1 15 x 3 + 18 x 2 + 105 x + 176 " , x ∈ - ∞ ; - 2 1 15 x 3 - 6 x 2 + 9 x + 12 ", x ∈ [- 2; + ∞) ⇔ y" = - 1 5 (x 2 + 12 x + 35), x ∈ - ∞; - 2 1 5 x 2 - 4 x + 3, x ∈ [- 2; + ∞)
Коли х = - 2 тоді похідна не існує, тому що односторонні межі не рівні в цій точці:
lim x → - 2 - 0 y "(x) = lim x → - 2 - 0 - 1 5 (x 2 + 12 x + 35 = - 1 5 (-2) 2 + 12 (- 2) + 35 = - 3 lim x → - 2 + 0 y "(x) = lim x → - 2 + 0 1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 1 5 - 2 2 - 4 - 2 + 3 = 3
Обчислюємо значення функції в точці х = - 2 де отримуємо, що
- y(-2) = 1 15 - 2 + 2 3 - 4 5 (- 2) 2 - 16 5 (- 2) - 26 5 + 3 - 2 + 2 = - 2 , тобто дотична в точці (- 2 ; - 2) не існуватиме.
- Дотична паралельна о х, коли кутовий коефіцієнт дорівнює нулю. Тоді k x = t g α x = f "(x 0). Тобто необхідно знайти значення таких х, коли похідна функції перетворює її в нуль. Тобто значення f '(x) і будуть точками дотику, де дотична є паралельною о х .
Коли x ∈ - ∞; - 2 , Тоді - 15 (x 2 + 12 x + 35) = 0, а при x ∈ (- 2 ; + ∞) отримуємо 1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 0 .
1 5 (x 2 + 12 x + 35) = 0 D = 12 2 - 4 · 35 = 144 - 140 = 4 x 1 = - 12 + 4 2 = - 5 ∈ - ∞ ; - 2 x 2 = - 12 - 4 2 = - 7 ∈ - ∞; - 2 1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 0 D = 4 2 - 4 · 3 = 4 x 3 = 4 - 4 2 = 1 ∈ - 2; + ∞ x 4 = 4 + 4 2 = 3 ∈ - 2; + ∞
Обчислюємо відповідні значення функції
y 1 = y - 5 = 1 15 - 5 + 2 3 - 4 5 - 5 2 - 16 5 - 5 - 26 5 + 3 - 5 + 2 = 8 5 y 2 = y (- 7) = 1 15 - 7 + 2 3 - 4 5 (- 7) 2 - 16 5 - 7 - 26 5 + 3 - 7 + 2 = 4 3 y 3 = y (1) = 1 15 1 + 2 3 - 4 5 · 1 2 - 16 5 · 1 - 26 5 + 3 1 + 2 = 8 5 y 4 = y (3) = 1 15 3 + 2 3 - 4 5 · 3 2 - 16 5 · 3 - 26 5 + 3 3 + 2 = 4 3
Звідси - 5; 8 5 -4; 4 3, 1; 8 5, 3; 4 3 вважаються точками графіка функції, що шукаються.
Розглянемо графічне зображеннярішення.
Чорна лінія – графік функції, червоні крапки – точки торкання.
- Коли прямі розташовуються паралельно, кутові коефіцієнти рівні. Тоді необхідно зайнятися пошуком точок графіка функції, де кутовий коефіцієнт дорівнюватиме значення 8 5 . Для цього потрібно розв'язати рівняння виду y" (x) = 8 5 . Тоді, якщо x ∈ - ∞ ; - 2; + ∞), тоді 15 (x 2 - 4 x + 3) = 8 5 .
Перше рівняння не має коріння, оскільки дискримінант менше нуля. Запишемо, що
1 5 x 2 + 12 x + 35 = 8 5 x 2 + 12 x + 43 = 0 D = 12 2 - 4 · 43 = - 28< 0
Інше рівняння має два дійсні корені, тоді
1 5 (x 2 - 4 x + 3) = 8 5 x 2 - 4 x - 5 = 0 D = 4 2 - 4 · (- 5) = 36 x 1 = 4 - 36 2 = - 1 ∈ - 2; + ∞ x 2 = 4 + 36 2 = 5 ∈ - 2; + ∞
Перейдемо до знаходження значень функції. Отримуємо, що
y 1 = y (-1) = 1 15 - 1 + 2 3 - 4 5 (- 1) 2 - 16 5 (- 1) - 26 5 + 3 - 1 + 2 = 4 15 y 2 = y (5) = 1 15 5 + 2 3 - 4 5 · 5 2 - 16 5 · 5 - 26 5 + 3 5 + 2 = 8 3
Крапки зі значеннями - 1; 4 15, 5; 8 3 є точками, в яких дотичні паралельні до прямої y = 8 5 x + 4 .
Відповідь:чорна лінія - графік функції, червона лінія - графік y = 8 5 x + 4, синя лінія - дотичні в точках - 1; 4 15, 5; 8 3 .
Можливе існування нескінченної кількості дотичних до заданих функцій.
Приклад 5
Написати рівняння всіх дотичних функцій y = 3 cos 3 2 x - π 4 - 1 3 , які розташовуються перпендикулярно до прямої y = - 2 x + 1 2 .
Рішення
Для складання рівняння дотичної необхідно знайти коефіцієнт та координати точки дотику, виходячи з умови перпендикулярності прямих. Визначення звучить так: добуток кутових коефіцієнтів, які перпендикулярні до прямого, дорівнює - 1 , тобто записується як k x · k ⊥ = - 1 . З умови маємо, що кутовий коефіцієнт розташовується перпендикулярно до прямої і дорівнює k ⊥ = - 2 , тоді k x = - 1 k ⊥ = - 1 - 2 = 1 2 .
Тепер потрібно знайти координати точок торкання. Потрібно знайти х, після чого його значення для заданої функції. Зазначимо, що з геометричного сенсу похідної у точці
x 0 отримуємо, що k x = y "(x 0). З цієї рівності знайдемо значення х для точок дотику.
Отримуємо, що
y" (x 0) = 3 cos 3 2 x 0 - π 4 - 1 3 " = 3 · - sin 3 2 x 0 - π 4 · 3 2 x 0 - π 4 " = = - 3 · sin 3 2 x 0 - π 4 · 3 2 = - 9 2 · sin 3 2 x 0 - π 4 ⇒ k x = y "(x 0) ⇔ - 9 2 · sin 3 2 x 0 - π 4 = 1 2 ⇒ sin 3 2 x 0 - π 4 = - 1 9
Це тригонометричне рівняння буде використано для обчислення ординат точок торкання.
3 2 x 0 - ?
3 2 x 0 - π 4 = - a r c sin 1 9 + 2 πk або 3 2 x 0 - π 4 = π + a r c sin 1 9 + 2 πk
x 0 = 2 3 ?
Z – безліч цілих чисел.
Знайдено х точок торкання. Тепер необхідно перейти до пошуку значень у:
y 0 = 3 cos 3 2 x 0 - π 4 - 1 3
y 0 = 3 · 1 - sin 2 3 2 x 0 - π 4 - 1 3 або y 0 = 3 · - 1 - sin 2 3 2 x 0 - π 4 - 1 3
y 0 = 3 · 1 - - 1 9 2 - 1 3 або y 0 = 3 · - 1 - - 1 9 2 - 1 3
y 0 = 4 5 - 1 3 або y 0 = - 4 5 + 1 3
Звідси одержуємо, що 2 3 π 4 - a r c sin 1 9 + 2 πk; 4 5 - 1 3 , 2 3 5 π 4 + a rc sin 1 9 + 2 πk ; - 4 5 + 13 є точками торкання.
Відповідь:необхідні рівняння запишуться як
y = 1 2 x - 2 3 ? , k ∈ Z
Для наочного зображення розглянемо функцію та дотичну на координатній прямій.
Малюнок показує, що розташування функції йде на проміжку [- 10; 10 ] , де чорна пряма – графік функції, сині лінії – дотичні, які розташовуються перпендикулярно до заданої прямої виду y = - 2 x + 1 2 . Червоні крапки – це торкання.
Канонічні рівняння кривих 2 порядку є однозначними функціями. Рівняння дотичних їм складаються за відомими схемами.
Стосовно кола
Для завдання кола з центром у точці x c e n t e r ; y ce n t e r і радіусом R застосовується формула x - x ce n t e r 2 + y - y ce n t e r 2 = R 2 .
Ця рівність може бути записана як об'єднання двох функцій:
y = R 2 - x - x ce n t e r 2 + y ce n t e r y = - R 2 - x - x ce n t e r 2 + y ce n t e r
Перша функція розташовується вгорі, а друга внизу, як показано малюнку.
Для складання рівняння кола в точці x 0; y 0 , яка розташовується у верхньому або нижньому півкола, слід знайти рівняння графіка функції виду y = R 2 - x - x c e n t e r 2 + y c e n t e r або y = - R 2 - x - x c e n t e r t + t e n t .
Коли в точках x c e n t e r; y c e n t e r + R і x c e n t e r ; y c e n t e r - R дотичні можуть бути задані рівняннями y = y ce n t e r + R і y = y ce n t e r - R , а в точках x ce n t e r + R ; y c e n t e r і
x c e n t e r - R ; y c e n t e r будуть паралельними о у, тоді отримаємо рівняння виду x = x c e n t e r + R і x = x c e n t e r - R .
Стосовна до еліпса
Коли еліпс має центр у точці x c e n t e r; y c e n t e r з півосями a і b , тоді він може бути заданий за допомогою рівняння x - x ce n t e r 2 a 2 + y - y c e n t e r 2 b 2 = 1 .
Еліпс і коло може бути позначатися з допомогою об'єднання двох функцій, саме: верхнього і нижнього полуэллипса. Тоді отримуємо, що
y = b a · a 2 - (x - x c e n t e r) 2 + y c e n t e r y = - b a · a 2 - (x - x ce n t e r) 2 + y c en t e r
Якщо дотичні розташовуються на вершинах еліпса, тоді вони паралельні о х або у. Нижче для наочності розглянемо рисунок.
Приклад 6
Написати рівняння щодо до еліпсу x - 3 2 4 + y - 5 2 25 = 1 у точках зі значеннями x рівного х = 2 .
Рішення
Необхідно знайти точки дотику, які відповідають значенню х = 2. Виробляємо підстановку в наявне рівняння еліпса і отримуємо, що
x - 3 2 4 x = 2 + y - 5 2 25 = 1 1 4 + y - 5 2 25 = 1 ⇒ y - 5 2 = 3 4 · 25 ⇒ y = ± 5 3 2 + 5
Тоді 2; 5 3 2 + 5 та 2 ; - 5 3 2 + 5 є точками торкання, які належать верхньому та нижньому напівеліпсу.
Перейдемо до знаходження та вирішення рівняння еліпса щодо y. Отримаємо, що
x - 3 2 4 + y - 5 2 25 = 1 y - 5 2 25 = 1 - x - 3 2 4 (y - 5) 2 = 25 · 1 - x - 3 2 4 y - 5 = ± 5 · 1 - x - 3 2 4 y = 5 ± 5 2 4 - x - 3 2
Очевидно, що верхній напівеліпс задається за допомогою функції виду y = 5 + 5 2 4 - x - 3 2 а нижній y = 5 - 5 2 4 - x - 3 2 .
Застосуємо стандартний алгоритм у тому, щоб скласти рівняння дотичної до графіку функції у точці. Запишемо, що рівняння для першої дотичної у точці 2; 5 3 2 + 5 матиме вигляд
y " = 5 + 5 2 4 - x - 3 2 " = 5 2 · 1 2 4 - (x - 3) 2 · 4 - (x - 3) 2 " = = - 5 2 · x - 3 4 - ( x - 3) 2 ⇒ y "(x 0) = y "(2) = - 5 2 · 2 - 3 4 - (2 - 3) 2 = 5 2 3 ⇒ y = y "(x 0) · x - x 0 + y 0 ⇔ y = 5 2 3 (x - 2) + 5 3 2 + 5
Отримуємо, що рівняння другої дотичної зі значенням у точці
2; - 5 3 2 + 5 набуває вигляду
y " = 5 - 5 2 4 - (x - 3) 2 " = - 5 2 · 1 2 4 - (x - 3) 2 · 4 - (x - 3) 2 " = = 5 2 · x - 3 4 - (x - 3) 2 ⇒ y "(x 0) = y "(2) = 5 2 · 2 - 3 4 - (2 - 3) 2 = - 5 2 3 ⇒ y = y "(x 0) · x - x 0 + y 0 ⇔ y = - 5 2 3 (x - 2) - 5 3 2 + 5
Графічно дотичні позначаються так:
Щодо гіперболи
Коли гіпербола має центр у точці x c e n t e r; y c e n t e r і вершини x c e n t e r + α; y c e n t e r і x c e n t e r - α; y ce n t e r , має місце завдання нерівності x - x ce n t e r 2 α 2 - y - y ce n t e r 2 b 2 = 1 , якщо з вершинами x ce n t e r ; y c e n t e r + b і x c e n t e r ; y c e n t e r - b , тоді задається за допомогою нерівності x - x ce n t e r 2 α 2 - y - y c e n t e r 2 b 2 = - 1 .
Гіпербола може бути представлена у вигляді двох об'єднаних функцій виду
y = b a · (x - x c e n e r ) 2 - a 2 + y c e n t e r y = - b a · (x - x c e n t e r) 2 - a 2 + y c e n t e r або y = b a · (x - x c e e n e - b a · (x - x ce n t e r) 2 + a 2 + y ce n t e r
У першому випадку маємо, що дотичні паралельні о у, а в другому паралельні о х.
Звідси випливає, що для того, щоб знайти рівняння до гіперболи, необхідно з'ясувати, якій функції належить точка дотику. Щоб визначити це, необхідно зробити підстановку рівняння і перевірити їх на тотожність.
Приклад 7
Скласти рівняння дотичної до гіперболи x - 3 2 4 - y + 3 2 9 = 1 у точці 7; - 3 3 - 3 .
Рішення
Необхідно перетворити запис рішення перебування гіперболи за допомогою двох функцій. Отримаємо, що
x - 3 2 4 - y + 3 2 9 = 1 ⇒ y + 3 2 9 = x - 3 2 4 - 1 ⇒ y + 3 2 = 9 · x - 3 2 4 - 1 ⇒ y + 3 = 3 2 · x - 3 2 - 4 і л і y + 3 = - 3 2 · x - 3 2 - 4 ⇒ y = 3 2 · x - 3 2 - 4 - 3 y = - 3 2 · x - 3 2 - 4 - 3
Необхідно виявити, якої функції належить задана точка з координатами 7 ; - 3 3 - 3 .
Очевидно, що для перевірки першої функції необхідно y (7) = 3 2 · (7 - 3) 2 - 4 - 3 = 3 3 - 3 ≠ - 3 3 - 3 тоді точка графіку не належить, так як рівність не виконується.
Для другої функції маємо, що y (7) = - 3 2 · (7 - 3) 2 - 4 - 3 = - 3 3 - 3 ≠ - 3 3 - 3 , отже, точка належить заданому графіку. Звідси слід знайти кутовий коефіцієнт.
Отримуємо, що
y " = - 3 2 · (x - 3) 2 - 4 - 3 " = - 3 2 · x - 3 (x - 3) 2 - 4 ⇒ k x = y "(x 0) = - 3 2 · x 0 - 3 x 0 - 3 2 - 4 x 0 = 7 = - 3 2 · 7 - 3 7 - 3 2 - 4 = - 3
Відповідь:рівняння дотичної можна уявити як
y = - 3 · x - 7 - 3 3 - 3 = - 3 · x + 4 3 - 3
Наочно зображується так:
Щодо параболи
Щоб скласти рівняння дотичної до параболи y = a x 2 + b x + c у точці x 0 , y (x 0) , необхідно використовувати стандартний алгоритм, тоді рівняння набуде вигляду y = y "(x 0) · x - x 0 + y ( x 0) Така дотична у вершині паралельна о х.
Слід задати параболу x = a y 2 + b y + c як поєднання двох функцій. Тому потрібно розв'язати рівняння щодо у. Отримуємо, що
x = a y 2 + b y + c ⇔ a y 2 + b y + c - x = 0 D = b 2 - 4 a (c - x) y = - b + b 2 - 4 a (c - x) 2 a y = - b - b 2 - 4 a (c - x) 2 a
Графічно зобразимо як:
Для з'ясування належності точки x 0 , y (x 0) функції ніжно діяти за стандартним алгоритмом. Така дотична буде паралельна щодо відносно параболи.
Приклад 8
Написати рівняння дотичної до графіка x - 2 y 2 - 5 y + 3 коли маємо кут нахилу дотичної 150 ° .
Рішення
Починаємо рішення з представлення параболи як дві функції. Отримаємо, що
2 y 2 - 5 y + 3 - x = 0 D = (-5) 2 - 4 · (- 2) · (3 - x) = 49 - 8 x y = 5 + 49 - 8 x - 4 y = 5 - 49 - 8 x - 4
Значення кутового коефіцієнта дорівнює значенню похідної у точці x 0 цієї функції та дорівнює тангенсу кута нахилу.
Отримуємо:
k x = y "(x 0) = t g α x = t g 150 ° = - 1 3
Звідси визначимо значення x точок торкання.
Перша функція запишеться як
y " = 5 + 49 - 8 x - 4 " = 1 49 - 8 x ⇒ y " (x 0) = 1 49 - 8 x 0 = - 1 3 ⇔ 49 - 8 x 0 = - 3
Очевидно, що дійсних коренів немає, оскільки набули негативного значення. Робимо висновок, що дотичної з кутом 150° для такої функції не існує.
Друга функція запишеться як
y " = 5 - 49 - 8 x - 4 " = - 1 49 - 8 x ⇒ y " (x 0) = - 1 49 - 8 x 0 = - 1 3 ⇔ 49 - 8 x 0 = - 3 x 0 = 23 4 ⇒ y (x 0) = 5 - 49 - 8 · 23 4 - 4 = - 5 + 3 4
Маємо, що точки дотику - 23 4; - 5 + 3 4 .
Відповідь:рівняння дотичної набуває вигляду
y = - 1 3 · x - 23 4 + - 5 + 3 4
Графічно зобразимо це так:
Якщо ви помітили помилку в тексті, будь ласка, виділіть її та натисніть Ctrl+Enter
У = f(х) і якщо в цій точці до графіка функції можна провести дотичну, не перпендикулярну до осі абсцис, то кутовий коефіцієнт дотичної дорівнює f"(а). Ми цим вже кілька разів користувалися. Наприклад, § 33 було встановлено, що графік функції у = sin х(синусоїда) на початку координат утворює з віссю абсцис кут 45° (точніше, дотична до графіка на початку координат складає з позитивним напрямом осі х кут 45°), а в прикладі 5 § 33 були знайдені точки на графіку заданої функції, у яких дотична паралельна осі абсцис. У прикладі 2 § 33 було складено рівняння дотичної до графіку функції у = х 2 у точці х = 1 (точніше, у точці (1; 1), але частіше вказують тільки значення абсциси, вважаючи, що якщо значення абсциси відоме, то значення ординати можна знайти із рівняння у = f(х)). У цьому параграфі ми виробимо алгоритм складання рівняння дотичної графіки будь-якої функції.
Нехай дані функція у = f(х) і точка М (а; f(а)), а також відомо, що існує f"(а). Складемо рівняння дотичної до графіка заданої функції в заданій точці. Це рівняння, як рівняння будь-який прямий, не паралельної осі ординат, має вигляд у = кх + m, тому завдання полягає у відшуканні значень коефіцієнтів k і m.
З кутовим коефіцієнтом до проблем немає: ми знаємо, що до = f"(а). Для обчислення значення т скористаємося тим, що пряма пряма проходить через точку М(а; f(а)). Це означає, що, якщо підставити координати точки М до рівняння прямої, отримаємо правильну рівність: f(а) = ка+m, звідки знаходимо, що m = f(а) - ка.
Залишилося підставити знайдені значення коефіцієнтів кит в рівнянняпрямий:
Нами отримано рівняння щодо графіку функції у = f(х) у точці х=а.
Якщо, скажімо,
Підставивши в рівняння (1) знайдені значення а = 1, f(а) = 1 f"(а) = 2, отримаємо: у = 1+2(х-f), тобто у = 2х-1.
Порівняйте цей результат з тим, що був отриманий у прикладі 2 з § 33. Звичайно, вийшло те саме.
Складемо рівняння щодо графіку функції у = tg х на початку координат. Маємо: 
отже, соs х f"(0) = 1. Підставивши в рівняння (1) знайдені значення а=0, f(а)=0, f"(а)=1, отримаємо: у=х.
Саме тому ми і провели тангенсоіду в § 15 (див. рис. 62) через початок координат під кутом 45 ° до осі абсцис.
Вирішуючи ці досить прості приклади, ми фактично користувалися певним алгоритмом, закладеним у формулі (1). Зробимо цей алгоритм очевидним.
АЛГОРИТМ СКЛАДАННЯ РІВНЯННЯ ЩОДО ДО ГРАФІКА ФУНКЦІЇ у = f(x)
1) Позначити абсцис точки торкання літерою а.
2) Обчислити 1(а).
3) Знайти f"(х) і обчислити f"(а).
4) Підставити знайдені числа а, f(а), (а) у формулу (1).
приклад 1.Скласти рівняння щодо графіку функції у точці х = 1.
Скористаємося алгоритмом, враховуючи, що в цьому прикладі
На рис. 126 зображена гіпербола, побудована пряма у = 2-х.
Креслення підтверджує наведені викладки: дійсно, пряма у = 2-х стосується гіперболи в точці (1; 1).
Відповідь:у = 2-х.
приклад 2.До графіку функції провести дотику так, щоб вона була паралельна прямій у = 4х - 5.
Уточнимо формулювання завдання. Вимога "провести дотичну" зазвичай означає "скласти рівняння дотичної". Це логічно, бо якщо людина змогла скласти рівняння дотичної, то навряд чи вона відчуватиме труднощі з побудовою на координатній площині прямої за її рівнянням.
Скористаємося алгоритмом складання рівняння дотичної, враховуючи, що в даному прикладі Але на відміну від попереднього прикладу є неясність: не вказано явно абсцису точки дотику.
Почнемо міркувати так. Шукальна дотична має бути паралельна прямий у = 4х-5. Дві прямі паралельні тоді й лише тоді, коли рівні їхні кутові коефіцієнти. Значить, кутовий коефіцієнт дотичної повинен дорівнювати кутовому коефіцієнту заданої прямої: 
Отже, значення ми можемо знайти з рівняння f"(а)= 4.
Маємо: 
З рівняння Отже, є дві дотичні завдання, що задовольняють умові: одна в точці з абсцисою 2, інша в точці з абсцисою -2.
Тепер можна діяти за алгоритмом.
приклад 3.З точки (0; 1) провести дотичну до графіка функції
Скористаємося алгоритмом складання рівняння дотичної, враховуючи, що в даному прикладі Зауважимо, що і тут, як у прикладі 2, не зазначено явно абсцис точки дотику. Проте діємо за алгоритмом.
За умовою дотична проходить через точку (0; 1). Підставивши в рівняння (2) значення х = 0, у = 1, отримаємо: 
Як бачите, у цьому прикладі лише на четвертому кроці алгоритму нам вдалося знайти абсцис точки торкання. Підставивши значення а = 4 до рівняння (2), отримаємо:
На рис. 127 представлена геометрична ілюстрація розглянутого прикладу: побудований графік функції
У § 32 ми зазначили, що для функції у = f(х), що має похідну у фіксованій точці х, справедливо наближена рівність:
Для зручності подальших міркувань змінимо позначення: замість х будемо писати а, замість писатим х і відповідно замість писатим х-а. Тоді написана вище наближена рівність набуде вигляду:
А тепер погляньте на рис. 128. До графіку функції у = f(х) проведена дотична у точці М(а; f(а)). Відзначено точку х на осі абсцис поблизу а. Зрозуміло, що f(х) - ордината графіка функції у зазначеній точці x. А що таке f(а) + f"(а) (х-а)? Це ордината дотичної, що відповідає тій же точці х - див. формулу (1). У чому сенс наближеної рівності (3)? для обчислення наближеного значення функції беруть значення дотичної ординати.
приклад 4.Знайти наближене значення числового виразу 1,02 7 .
Йдеться знайти значення функції у = х 7 у точці х = 1,02. Скористаємося формулою (3), врахувавши, що у цьому прикладі
У результаті отримуємо:
Якщо ми скористаємося калькулятором, то отримаємо: 1,02 7 = 1,148685667...
Як бачите, точність наближення цілком прийнятна.
Відповідь: 1,02 7 =1,14.
А.Г. Мордкович Алгебра 10 клас
Календарно-тематичне планування з математики, відеоз математики онлайн , Математика в школі
Зміст уроку конспект урокуопорний каркас презентація уроку акселеративні методи інтерактивні технології Практика завдання та вправи самоперевірка практикуми, тренінги, кейси, квести домашні завдання риторичні питання від учнів Ілюстрації аудіо-, відеокліпи та мультимедіафотографії, картинки графіки, таблиці, схеми гумор, анекдоти, приколи, комікси притчі, приказки, кросворди, цитати Доповнення рефератистатті фішки для допитливих шпаргалки підручники основні та додаткові словник термінів інші Удосконалення підручників та уроківвиправлення помилок у підручникуоновлення фрагмента у підручнику елементи новаторства на уроці заміна застарілих знань новими Тільки для вчителів ідеальні уроки календарний планна рік методичні рекомендаціїпрограми обговорення Інтегровані урокиІнструкція
Визначаємо кутовий коефіцієнт дотичної до кривої у точці М.
Крива, що є графіком функції y = f(x), безперервна в деякій околиці точки М (включаючи саму точку М).
Якщо значення f(x0) не існує, то або дотичної немає, або вона проходить вертикально. З огляду на це наявність похідної функції в точці х0 обумовлена існуванням невертикальної дотичної, що стикається з графіком функції в точці (х0, f(х0)). У цьому випадку кутовий коефіцієнт дотичної дорівнює f"(х0). Таким чином, стає зрозумілим геометричний сенс похідної - розрахунок кутового коефіцієнта дотичної.
Знайдіть значення абсцис точки дотику, яку позначаються буквою «а». Якщо вона збігається із заданою точкою, то «а» буде її х-координаті. Визначте значення функції f(a), підставивши в рівняння функціївеличину абсциси.
Визначте першу похідну рівняння функції f'(x) і підставте значення точки «а».
Візьміть загальне рівняння дотичної, яке визначається як y = f(a) = f(a)(x – a), і підставте в нього знайдені значення a, f(a), f "(a). У результаті буде знайдено рішення графіка та дотичної.
Розв'яжіть завдання іншим способом, якщо задана точка дотику не збіглася з точкою дотику. У цьому випадку необхідно в рівняння дотичної замість цифр підставити "а". Після цього замість літер «х» та «у» підставте значення координат заданої точки. Розв'яжіть рівняння, в якому «а» є невідомою. Поставте отримане значення рівняння дотичної.
Складіть рівняння дотичної з літерою «а», якщо в задачі задано рівняння функціїі рівняння паралельної лінії щодо шуканої дотичної. Після цього необхідно похідну функції, щоб координату біля точки «а». Підставте відповідне значення до рівняння дотичної і вирішіть функцію.
Нехай дана функція f, яка в деякій точці x0 має кінцеву похідну f(x0). Тоді пряма, що проходить через точку (x 0 ; f (x 0)), має кутовий коефіцієнт f '(x 0), називається дотичною.
А що буде, якщо похідна у точці x 0 не існує? Можливі два варіанти:
- Щодо графіка теж не існує. Класичний приклад- Функція y = | x | у точці (0; 0).
- Стосовна стає вертикальною. Це правильно, наприклад, для функції y = arcsin x у точці (1; π /2).
Рівняння дотичної
Будь-яка невертикальна пряма визначається рівнянням виду y = kx + b , де k - кутовий коефіцієнт. Стосовна - не виняток, і щоб скласти її рівняння в деякій точці x 0 достатньо знати значення функції і похідної в цій точці.
Отже, нехай дана функція y = f (x), яка має похідну y = f '(x) на відрізку. Тоді в будь-якій точці x 0 ∈ (a ; b ) до графіка цієї функції можна провести дотичну, яка задається рівнянням:
y = f '(x 0) · (x − x 0) + f (x 0)
Тут f '(x 0) - значення похідної в точці x 0 а f (x 0) - значення самої функції.
Завдання. Дано функцію y = x 3 . Скласти рівняння щодо графіку цієї функції у точці x 0 = 2.
Рівняння дотичної: y = f '(x0) · (x−x0) + f(x0). Точка x 0 = 2 нам дано, а ось значення f (x 0) та f '(x 0) доведеться обчислювати.
Спочатку знайдемо значення функції. Тут все легко: f(x0) = f(2) = 23 = 8;
Тепер знайдемо похідну: f '(x) = (x3) = 3x2;
Підставляємо у похідну x 0 = 2: f '(x 0) = f '(2) = 3 · 2 2 = 12;
Разом отримуємо: y = 12 · (x - 2) + 8 = 12x - 24 + 8 = 12x - 16.
Це і є рівняння дотичної.
Завдання. Скласти рівняння дотичної до графіка функції f(x) = 2sin x + 5 у точці x 0 = π /2.
Цього разу не детально розписуватимемо кожну дію - вкажемо лише ключові кроки. Маємо:
f(x0) = f(π/2) = 2sin(π/2) + 5 = 2 + 5 = 7;
f '(x) = (2sin x + 5)' = 2cos x;
f '(x 0) = f '(π /2) = 2cos (π /2) = 0;
Рівняння дотичної:
y = 0 · (x − π /2) + 7 ⇒ y = 7
У разі пряма виявилася горизонтальної, т.к. її кутовий коефіцієнт k = 0. Нічого страшного в цьому немає – просто ми натрапили на точку екстремуму.
Loading...