Аналізуючи дані завдання, спостерігаючи, що спільного в задачах з погляду математики, в чому відмінність, знайти неординарний спосіб розв'язання задач, створити скарбничку прийомів розв'язання задач, навчитися вирішенню одного завдання у різний спосіб. Тренажер завдань, згрупованих єдиною тематикою "Арифметичні способи вирішення задач", завдання для роботи в групі та для індивідуальної роботи.
«завдання для тренажера методичка»
Тренажер: «Арифметичні способи розв'язання задач»
«Порівняння чисел за сумою та різницею».
У двох кошиках 80 боровиків. У першому кошику на 10 боровиків менше, ніж у другому. Скільки боровиків у кожному кошику?
У швейне ательє надійшло 480 м джинсової тканини та драпу. Джинсової тканини надійшло на 140 м більше, ніж драпу. Скільки метрів джинсової тканини надійшло до ательє?
Модель телевежі складається із двох блоків. Нижній блок на 130 см коротший за верхній. Яка висота верхнього та нижнього блоків, якщо висота вежі 4 м 70 см?
У двох коробках 16 кг печива. Знайдіть масу печива в кожній коробці, якщо в одній печині на 4 кг більше.
Завдання з "Арифметики" Л. Н. Толстого.
а) У двох мужиків 35 овець. В одного на 9 овець більше, ніж в іншого. Скільки овець у кожного?
б) У двох мужиків 40 овець, а в одного менше проти іншого на 6 овець. Скільки овець у кожного чоловіка?
У гаражі стояли 23 легкові машини та мотоцикли з коляскою. У машин та мотоциклів 87 коліс. Скільки в гаражі мотоциклів, якщо у кожну коляску поклали запасне колесо?
«Кола Ейлера».
У будинку 120 мешканців, у деяких із них є собаки та кішки. На малюнку коло З зображує мешканців із собаками, коло До – мешканців з кішками. Скільки мешканців мають і собак, і котів? Скільки мешканців мають лише собак? Скільки мешканців мають лише кішок? Скільки мешканців не мають ні собак, ні кішок?
З 52 школярів 23 займаються волейболом та 35 баскетболом, а 16 – і волейболом, і баскетболом. Інші не займаються жодним із цих видів спорту. Скільки школярів не займаються жодним із цих видів спорту?
На малюнку коло А зображує всіх співробітників університету, які знають англійська мова, коло Н – знаючих німецьку та коло Ф - французька. Скільки співробітників університету знає: а) 3 мови; б) англійська та німецька; в) французька? Скільки всього працівників університету? Скільки з них не говорить французькою?
У міжнародній конференції взяло участь 120 осіб. З них 60 володіють російською мовою, 48 – англійською, 32 – німецькою, 21 – російською та німецькою, 19 – англійською та німецькою, 15 – російською та англійською, а 10 осіб володіли всіма трьома мовами. Скільки учасників конференції не володіють жодною мовою?
Співають у хорі та займаються танцями 82 студенти, займаються танцями та художньою гімнастикою 32 студенти, а співають у хорі та займаються художньою гімнастикою 78 студентів. Скільки студентів співають у хорі, займаються танцями та художньою гімнастикою окремо, якщо відомо, що кожен студент займається лише чимось одним?
Кожна сім'я, яка живе в нашому домі, виписує або газету, або журнал, або те й інше. 75 сімей виписують газету, а 27 сімей виписують журнал, і лише 13 сімей виписують і журнал та газету. Скільки сімей живе у нашому будинку?
"Метод зрівнювання даних".
У 3 маленьких та 4 великих букетах 29 квіток, а у 5 маленьких та 4 великих букетах 35 квіток. Скільки квіток у кожному букеті окремо?
Маса 2 плиток шоколаду – великої та маленької – 120 г, а 3 великих та 2 маленьких – 320 г. Яка маса кожної плитки?
5 яблук та 3 груші важать 810 г, а 3 яблука та 5 груш важать 870 г. Скільки важить одне яблука? Одна груша?
Чотири каченя та п'ять гусенят важать 4кг 100г, п'ять каченят і чотири гусенята важать 4 кг. Скільки важить одне каченя?
Для одного коня та двох корів видають щодня 34 кг сіна, а для двох коней та однієї корови – 35 кг сіна. Скільки сіна видають одному коню та скільки одній корові?
3 червоні кубики і 6 синіх кубиків коштують 165тг руб. Причому, п'ять червоних дорожче двох синіх на 95 тг. Скільки коштує кожний кубик?
2 альбоми для малювання та 3 альбоми для марок разом коштують 160 руб., причому 3 альбоми для малювання коштують на 45 руб. дорожче за два альбоми для марок.
"Графи".
Сергій вирішив подарувати мамі на день народження букет квітів (троянди, тюльпани або гвоздики) і поставити їх або у вазу, або у глечик. Скільки він може це зробити?
Скільки трицифрових чисел можна скласти із цифр 0, 1, 3, 5, якщо цифри в записі числа не повторюються?
У середу в 5 класі п'ять уроків: математика, фізкультура, історія, російська мова та природознавство. Скільки різних варіантіврозклади на середу можна скласти?
«Старовинний спосіб вирішення завдань на змішування речовин».
Як змішати олії?У деякої людини були на продаж олії двох сортів: одне ціною 10 гривень за цебро, інше ж 6 гривень за цебро. Захотілося йому зробити з цих двох олій, змішавши їх, олію ціною 7 гривень за цебро. Які частини цих двох олій потрібно взяти, щоб одержати відро олії вартістю 7 гривень?
Скільки треба взяти карамелі за ціною 260 тг за 1 кг і за ціною 190 тг за 1 кг, щоб становити 21 кг суміші за ціною 210 тг за кілограм?
Хтось має чай трьох сортів – цейлонську по 5 гривень за фунт, індійську по 8 гривень за фунт та китайську по 12 гривень за фунт. В яких частках потрібно змішати ці три сорти, щоби отримати чай вартістю 6 гривень за фунт?
Хтось має срібло різних проб: одне – 12 – ої проби, інше – 10 – ої проби, третє – 6 – ої проби. Скільки якого срібла треба взяти, щоб отримати 1 фунт срібла дев'ятої проби?
Купець купив 138 аршин чорного та синього сукна за 540 руб. Постає питання, скільки аршин купив він і того й іншого, якщо синє коштувало 5 руб. за аршин, а чорне – 3 руб.?
Різні завдання.
Для новорічних подарунків купили 87 кг фруктів, причому яблук було на 17 кг більше ніж апельсинів. Скільки яблук та скільки апельсинів купили?
На новорічній ялинці дітей у карнавальних костюмах сніжинок було втричі більше, ніж у костюмах Петрушок. Скільки було дітей у костюмах Петрушек, якщо їх було на 12 менше?
Маша отримала вдвічі менше новорічних привітаньніж Коля. Скільки привітань отримав кожен, якщо їх було 27?(9 і 18).
Для новорічних призів було куплено 28 кг цукерок. Цукерки "Ластівка" склали 2 частини, "Муза" - 3 частини, "Ромашка" - 2 частини. Скільки цукерок кожного сорту купили? (8, 8, 12).
На складі є 2004 кг борошна. Чи можна її розкласти в мішки масою 9 кг і масою 18 кг?
У магазині "Все для чаю" є 5 різних чашок і 3 різних блюдця, скільки можна купити чашку з блюдцем?
Кінь з'їдає стог сіна за 2 дні, корова – за 3, вівця – за 6. За скільки днів вони з'їдять стог, якщо будуть їсти його разом?
Перегляд вмісту документа
«конспект уроку ариф сп»
"Арифметичні способи вирішення текстових завдань".
Людині, що вивчає математику, часто корисніше вирішити одну й ту саму задачу трьома різними способами, ніж розв'язати три-чотири різні завдання. Вирішуючи одне завдання різними способами, можна шляхом порівняння з'ясувати, який із них коротший і ефективніший. Так виробляється досвід.
У.У.Сойєр
Мета уроку: використовувати знання, отримані попередніх уроках, проявити фантазію, інтуїцію, уяву, кмітливість на вирішення тестових завдань різними способами.
Завдання уроку: освітні: аналізуючи дані завдання, спостерігаючи, що у завданнях з погляду математика, у чому відмінність, знайти неординарний спосіб розв'язання задач, створити скарбничку прийомів розв'язання задач, навчитися розв'язанню однієї завдання різними способами.
Розвиваючі: відчути необхідність самореалізації, опинившись у певній рольовій ситуації
Виховні:розвивають особисті якості, формують комунікативну культуру.
Засоби навчання: тренажер завдань, згрупованих єдиною тематикою "Арифметичні способи розв'язання задач", завдання для роботи в групі та для індивідуальної роботи.
ХІД УРОКУ.
Здрастуйте, хлопці. Сідайте. Сьогодні ми маємо заняття на тему «Арифметичні способи вирішення текстових завдань».
ІІ. Актуалізація знань.
Математика - одна з давніх та важливих наук. Багатьма математичними знаннями люди користувалися ще в давнину - тисячі років тому. Вони були необхідні купцям і будівельникам, воїнам та землемірам, жерцям та мандрівникам.
І в наші дні жодній людині не обійтися без хорошого знання математики. Основа гарного розумінняматематики - вміння рахувати, думати, міркувати, знаходити вдалі рішення задач.
Сьогодні ми розглянемо арифметичні способи розв'язання текстових завдань, розберемо завдання старовинні, що дійшли до нас різних країні часів, завдання на вирівнювання, на порівняння за сумою та різницею та інші.
Мета заняття – залучити вас до дивовижний світкраси, багатства та різноманіття – світ цікавих завдань. Отже, познайомити з деякими арифметичними способами, що призводять до дуже витончених і повчальних рішень.
Завдання - це майже завжди пошук, розкриття якихось властивостей і відносин, а засоби її вирішення - це інтуїція і здогад, ерудиція і володіння методами математики.
Як основні математики розрізняють арифметичний і алгебраїчний способи вирішення завдань.
Розв'язати задачу арифметичним методом означає знайти відповідь на вимогу задачі за допомогою виконання арифметичних дій над числами.
При способі алгебри відповідь на питання задачі знаходиться в результаті складання і рішення рівняння.
Не секрет, що людина, яка володіє різними інструментами і застосовує їх в залежності від характеру виконуваної роботи, досягає значно кращих результатів, ніж людина, яка володіє лише одним універсальним інструментом.
Існує багато арифметичних способів та нестандартних прийомів розв'язання задач. З деякими з них сьогодні хочу вас познайомити.
1.Метод рішення текстових завдань «Порівняння чисел за сумою та різницею».
Завдання : Бабуся восени з дачної ділянки зібрала 51 кг моркви та капусти. Капусти було на 15 кг більше, ніж моркви. Скільки кілограмів моркви та скільки кілограмів капусти зібрала бабуся?
Запитання, які відповідають пунктам алгоритму розв'язання задач даного класу.
1. З'ясувати про які величини йдеться у завданні
Про кількість моркви та капусти, які зібрала бабуся, разом та окремо.
2. Вказати значення яких величин необхідно знайти в задачі.
Скільки кілограмів моркви та скільки кілограмів капусти зібрала бабуся?
3. Назвати залежність між величинами у завданні.
У задачі йдеться про суму і різницю величин.
4. Назвати суму та різницю значень величин.
Сума – 51 кг, різниця – 15 кг.
5. Зрівнянням величин знайти подвоєне значення меншої величини (від суми величин відібрати різницю величин).
51 - 15 = 36 (кг) - подвоєна кількість моркви.
6. Знаючи подвоєне значення, знайти значення меншої величини (подвоєне значення поділити на два).
36: 2 = 18 (кг) – моркви.
7. Використовуючи різницю величин та значення меншої величини, знайти значення більшої величини.
18 + 15 = 33 (кг) – капусти. Відповідь: 18 кг, 33 кг. Завдання.У клітці знаходяться фазани та кролики. Всього 6 голів та 20 ніг. Скільки кроликів і скільки фазанів у клітці
?
Спосіб 1. Метод підбору:
2 фазани, 4 кролики.
Перевірка: 2+4=6 (голів); 4 4 + 2 2 = 20 (ніг).
Це спосіб підбору (від слова “підбирати”). Переваги і недоліки цього методу рішення (важко підбирати, якщо числа великі) Таким чином, з'являється стимул для пошуку зручніших методів рішення.
Підсумки обговорення: спосіб підбору зручний при процесах з невеликими числами, зі збільшенням величин він стає нераціональним і трудомістким.
Метод 2. Повний перебір варіантів.
Складається таблиця:
Відповідь: 4 кролики, 2 фазани.
Назва цього методу - "повний". Підсумки обговорення: метод повного перебору зручний, але за великих величин досить трудомісткий.
Спосіб 3. Метод припущення.
Візьмемо старовинне китайське завдання:
У клітці знаходиться невідома кількість фазанів та кроликів. Відомо, що вся клітина містить 35 голів та 94 ноги. Дізнатися кількість фазанів та кількість кроликів.(Завдання з китайської математичної книги "Кіу-Чанг", складеної за 2600 років до н.е.).
Наведемо діалог, знайдений у старих майстрів математики. - Уявімо, що на клітку, в якій сидять фазани та кролики, ми поклали морквину. Всі кролики стануть на задні лапки, щоб дотягнутися до моркви. Скільки ніг буде стояти на землі?
Але за умови завдання дано 94 ноги, де ж інші?
Інші ноги не пораховані – це передні ноги кроликів.
Скільки їх?
24 (94 – 70 = 24)
Скільки ж кроликів?
12 (24: 2 = 12)
А фазанів?
23 (35- 12 = 23)
Назва цього – «метод припущення за нестачею». Спробуйте самі пояснити цю назву (у тих, хто сидить у клітці 2 або 4 ноги, а ми припустили, що у всіх найменше з цих чисел – 2 ноги).
Інший спосіб вирішення цього завдання. - Давайте спробуємо вирішити це завдання - "методом припущення надлишку": Уявімо, що у фазанів з'явилося ще по дві ноги, тоді всіх ніг буде 35 × 4 = 140.
Але за умовою завдання, всього 94 ноги, тобто. 140 - 94 = 46 ноги зайві, чиї вони?Це ноги фазанів, вони з'явилася зайва пара ніг. Значить, фазанівбуде 46: 2 = 23,
тоді кроликів 35 -23 = 12.
Підсумки обговорення: метод припущення має два варіанти- за недоліку та надлишку; в порівнянні з попередніми методами він зручніший, оскільки менш трудомісткий.
Завдання. По пустелі повільно йде караван верблюдів, всього їх 40. Якщо перерахувати всі горби у цих верблюдів, то вийде 57 горбів. Скільки в цьому каравані одногорбих верблюдів?1 спосіб. Вирішити за допомогою рівняння.
Кількість горбів у одного Кількість верблюдів Всього горбів
2 х 2 х
1 40 - х 40 - х 57
2 х + 40 - х = 57
х + 40 = 57
х = 57 -40
х = 17
2 спосіб.
- Скільки горбів може бути у верблюдів?
(їх може бути два або один)
Давайте кожному верблюду на один горб прикріпимо квітку.
- Скільки квіток потрібно? (40 верблюдів – 40 кольорів)
- Скільки горбів залишиться без квітів?
(Таких буде 57-40=17 . Це другі горбидвогорбих верблюдів).
Скільки двогорбих верблюдів? (17)
Скільки одногорбих верблюдів? (40-17 = 23)
Яка ж відповідь завдання? ( 17 та 23 верблюдів).
Завдання.У гаражі стояли легкові машини та мотоцикли з колясками, всіх разом 18. У машин та мотоциклів – 65 коліс. Скільки мотоциклів з колясками стояло в гаражі, якщо у машин 4 колеса, а мотоцикл – 3 колеса?
1 спосіб. За допомогою рівняння:
Кількість коліс у 1 Кількість Всього коліс
Маш. 4х 4 х
Мот. 3 18 -х 3(18 - х ) 65
4 х + 3(18 - х ) = 65
4 х + 5 4 -3 х =65
х = 65 - 54
х = 11, 18 – 11 = 7.
Переформулюємо завдання : Грабіжники, які прийшли в гараж, де стояли 18 машин та мотоциклів з колясками, зняли з кожної машини та кожного мотоцикла по три колеса та забрали. Скільки коліс залишилось у гаражі, якщо їх було 65? Машині чи мотоциклу вони належать?
3×18=54 – стільки коліс забрали грабіжники,
65 - 54 = 11 - стільки коліс залишилося (машин в гаражі),
18 - 11 = 7 -мотоциклів.
Відповідь: 7 мотоциклів.
Самостійно:
У гаражі стояли 23 легкові машини та мотоцикли з коляскою. У машин та мотоциклів 87 коліс. Скільки в гаражі мотоциклів, якщо у кожну коляску поклали запасне колесо?
- Скільки стало коліс біля машин та мотоциклів разом? (4×23=92)
- Скільки запасних коліс поклали у кожну коляску? (92 - 87 = 5)
- Скільки машин у гаражі? (23 - 5 = 18).
Завдання.У нашому класі можна вивчати англійську або французька мови(на вибір). Відомо, що англійську мову вивчають 20 школярів, а французьку – 17. Загалом у класі 32 учні. Скільки учнів вивчають обидві мови: і англійську та французьку?
Зобразимо два кола. В одному фіксуватимемо кількість школярів, які вивчають англійську мову, в іншому – школярів, які вивчають французьку. Оскільки за умовою завдання є учні, які вивчаютьобидві мови: і англійська та французька, то кола матимуть загальну частину.За умови цього завдання не так легко розібратися. Якщо скласти 20 та 17, то вийде більше 32. Це пояснюється тим, що деяких школярів ми тут врахували двічі – а саме тих, які вивчають обидві мови: і англійську та французьку. Отже, (20 + 17) - 32 = 5 учнів вивчають обидві мови: і англійську та французьку.
Англ. Фран.
20 уч. 17 уч.
(20 + 17) - 32 = 5 (учнів).
Схеми, подібні до тієї, якою ми скористалися при вирішенні завдання, в математиці називають колами (чи діаграмами) Ейлера. Леонард Ейлер (1736) народився у Швейцарії. Але довгі рокижив працював у Росії.
Завдання.Кожна сім'я, яка живе в нашому домі, виписує або газету, або журнал, або те й інше. 75 сімей виписують газету, а 27 сімей виписують журнал, і лише 13 сімей виписують і журнал та газету. Скільки сімей живе у нашому будинку?
Газети журнали
На малюнку видно, що у будинку живуть 89 сімей.
Завдання.У міжнародній конференції взяло участь 120 осіб. З них 60 володіють російською мовою, 48 – англійською, 32 – німецькою, 21 – російською та німецькою, 19 – англійською та німецькою, 15 – російською та англійською, а 10 осіб володіли всіма трьома мовами. Скільки учасників конференції не володіють жодною мовою?
Російська 15 Англійська
21 10 19
Німецька
Рішення: 120 - (60 + 48 + 32 -21 - 19 - 15 + 10) = 25 (чол.).
Завдання. Три кошеня і два цуценята важать 2 кг 600 г, а два кошеня і три цуценята важать 2 кг 900 г. Скільки важить щеня?
3 кошеня та 2 цуценя – 2кг 600 г
2 кошеня та 3 цуценя – 2кг 900 р.
З умови випливає, що 5 кошенят і 5 цуценят важать 5 кг 500 г. Значить, 1 кошеня і 1 цуценя важать 1 кг 100 г
2 кіт.і 2 щен. важать 2 кг 200 г
Порівняємо умови –
2 кошеня + 3щенка = 2кг 900 г
2 кошеня + 2 цуценя = 2 кг 200 г, бачимо, що цуценя важить 700 г.
Завдання.Для одного коня та двох корів видають щодня 34 кг сіна, а для двох коней та однієї корови – 35 кг сіна. Скільки сіна видають одному коню та скільки одній корові?
Запишемо коротка умовазавдання:
1 коня та 2 корів -34кг.
2 коней та 1 корів -35кг.
Чи можна дізнатися, скільки сіна буде потрібно для 3 коней і 3 корів?
(для 3 коней та 3 корів – 34+35=69 кг)
Чи можна дізнатися, скільки сіна знадобиться для одного коня та однієї корови? (69: 3 - 23кг)
Скільки сіна буде потрібно для одного коня? (35-23 = 12кг)
Скільки сіна буде потрібно для однієї корови? (23 -13 = 11кг)
Відповідь: 12кг та 11 кг.
Завдання.Мадіна вирішила поснідати у шкільному буфеті. Вивчіть меню і дай відповідь, скільки способів вона може вибрати напій і кондитерський виріб?
| Кондитерські вироби |
|
| Ватрушка |
|
Припустімо, що з напоїв Мадіна вибере чай. Який кондитерський виріб може підібрати до чаю? (чай – ватрушка, чай – печиво, чай – булка)
Скільки способів? (3)
А якщо компот? (теж 3)
Як дізнатися, скільки способів може Мадіна використовувати, щоб вибрати собі обід? (3+3+3=9)
Да ви праві. Але щоб нам було легше вирішувати таке завдання, ми використовуватимемо графи. Слово "граф" в математиці означає картинку, де намальовано кілька точок, деякі з яких з'єднані лініями. Позначимо напої та кондитерські виробиточками та з'єднаємо пари тих страв, які вибере Мадіна.
чай молоко компот
печиво булочка ватрушка
Тепер порахуємо кількість ліній. Їх 9. Отже, є 9 способів вибору страв.
Завдання.Сергій вирішив подарувати мамі на день народження букет квітів (троянди, тюльпани або гвоздики) і поставити їх або у вазу, або у глечик. Скільки він може це зробити?
Як думаєте, скільки способів? (3)
Чому? (Квітів 3)
Так. Але ще є різний посуд: або ваза, або глечик. Давай спробуємо виконати завдання графічно.
ваза глечик
троянди тюльпани гвоздики
Порахуйте лінії. Скільки їх? (6)
Отже, скільки існує способів вибору у Сергія? (6)
Підсумок уроку.
Сьогодні ми вирішили низку завдань. Але робота не завершена, є бажання її продовжити, і сподіваюся, що це допоможе успішно вирішувати текстові завдання.
Відомо, що вирішення завдань – це практичне мистецтво, подібне до плавання чи гри на фортепіано. Навчитися йому можна тільки наслідуючи хороші зразки, постійно практикуючись.
Це лише найпростіші із завдань, складні поки що залишаються предметом для майбутнього вивчення. Але їх все одно набагато більше, ніж ми змогли б вирішити. І якщо після закінчення уроку ви зможете вирішувати завдання «за сторінками навчального матеріалу», то можна вважати, що я своє завдання виконала.
Знання математики допомагає вирішити певну життєву проблему. У житті вам доведеться регулярно вирішувати певні питання, для цього необхідно розвивати інтелектуальні здібності, завдяки яким розвивається внутрішній потенціал, розвиваються вміння передбачати ситуацію, прогнозувати, ухвалити нестандартне рішення.
Урок я хочу закінчити словами: «Будь-яке добре вирішене математичне завдання доставляє розумову насолоду.» (Г. Гессе).
Чи згодні ви з цим?
На будинок буде таке завдання: використовуючи тексти вирішених завдань, як зразок, розв'яжіть задачі № 8, 17, 26 тими способами, які ми вивчили.
На підставі схожості з математичного змісту та взаємозамінності різних прийомів рішення всі арифметичні способи можна об'єднати в такі групи:
- 1) спосіб приведення до одиниці, приведення до загальної міри, зворотного приведення до одиниці, спосіб стосунків;
- 2) спосіб вирішення завдань із «кінця»;
- 3) спосіб виключення невідомих (заміна одного невідомого іншим, порівняння невідомих, порівняння даних, порівняння двох умов віднімання, об'єднання двох умов в одну); спосіб припущення;
- 4) пропорційний поділ, подобу або знаходження частин;
- 5) спосіб перетворення одного завдання в інше (розкладання складної задачі на прості, підготовчі; приведення невідомих до таких значень, для яких стає відомим їхнє відношення; прийом визначення довільного числа для однієї з невідомих величин).
Крім названих способів доцільно розглядати ще спосіб середнього арифметичного, метод надлишок, спосіб перестановки відомого та невідомого, спосіб «фальшивих» правил.
Оскільки зазвичай неможливо наперед визначити, який із способів є найраціональнішим, передбачити, який їх приведе до найпростішого і найзрозумілішого для учня рішення, то учнів варто познайомити з різними способамиі давати можливість самим вибирати, який їх застосувати під час вирішення конкретної задачи.
Спосіб вилучення невідомих
Цей спосіб використовується, коли у завданні кілька невідомих. Таке завдання можна вирішити за допомогою одного із п'яти прийомів: 1) заміна одного невідомого іншим; 2) порівняння невідомих; 3) порівняння двох умов відніманням; 4) порівняння даних; 5) об'єднання кількох умов в одну.
Внаслідок застосування одного з перерахованих прийомів замість кількох невідомих залишається одне, яке можна знайти. Обчисливши його, використовують дані за умови залежності для перебування інших невідомих.
Зупинимося докладніше на розгляді деяких прийомів.
1. Заміна одного невідомого іншим
Назва прийому розкриває його ідею: виходячи з залежностей (кратних чи різницевих), які дані за умовою завдання, необхідно висловити все невідомі через одне їх.
Завдання. У Сергія та Андрія всього 126 марок. У Сергія на 14 марок більше, ніж у Андрія. Скільки марок було у кожного хлопчика?
Короткий запис умови:
Сергій -- ? марок, на 14 марок більше
Андрій -? марок
Всього - 126 марок
Рішення 1.
- (Заміна більшого невідомого меншим)
- 1) Нехай у Сергія було стільки марок, як і в Андрія. Тоді Загальна кількістьмарок було б 126 - 14 = 112 (марок).
- 2) Так як у хлопчиків тепер однакова кількість марок, то знайдемо, скільки марок було у Андрія спочатку: 112: 2 = 56 (марок).
- 3) З огляду на те, що у Сергія на 14 марок більше, ніж у Андрія, отримуємо: 56 + 14 = 70 (марок).
Рішення 2.
- (Заміна меншого невідомого великим)
- 1) Нехай у Андрія було стільки ж марок, як і у Сергія. Тоді загальна кількість марок було б 126 + 14 = 140 (марок).
- 2) Так як у хлопчиків тепер однакова кількість марок, то знайдемо скільки марок було у Сергія спочатку: 140: 2 = 70 (марок).
- 3) Враховуючи, що у Андрія було на 14 марок менше, ніж у Сергія, отримаємо: 70 - 14 = 56 (марок).
Відповідь: У Сергія було 70 марок, а у Андрія - 56 марок.
Для найкращого засвоєнняучнями способу заміни меншого невідомого великим перед його розглядом необхідно з'ясувати з учнями такий факт: якщо число А більше числа на С одиниць, то щоб порівняти числа А і В необхідно:
- а) з числа А відняти число С (тоді обидва числа дорівнюють числу В);
- б) до числа додати число З (тоді обидва числа дорівнюють числу А).
Уміння учнів замінювати більше невідоме меншим, і навпаки, надалі сприяє розвитку умінь вибирати невідоме і висловлювати через нього інші величини при складанні рівняння.
2. Порівняння невідомих
Завдання. На чотирьох полицях стояло 188 книг. На другій полиці книг було на 16 менше, ніж на першій, на третій - на 8 більше, ніж на другій, а на четвертій - на 12 менше, ніж на третій полиці. Скільки книг на кожній полиці?
Аналіз завдання
Для кращого усвідомленнязалежностей між чотирма невідомими величинами (кількістю книг на кожній полиці) використовуємо схему:
I _________________________________
II___________________________
III______________________________
IV_______________________ _ _ _ _ _
Порівнюючи відрізки, що схематично зображують кількість книг на кожній полиці, приходимо до таких висновків: книг на першій полиці на 16 більше, ніж на другій; на третій на 8 більше, ніж на другій; на четвертій - на 12 - 8 = 4 (книг) менше, ніж на другій. Отже, завдання можна вирішити порівнявши кількість книг на кожній полиці. Для цього знімемо з першої полиці 16 книг, з третьої - 8 книг і поставимо на четверту полицю 4 книги. Тоді на всіх полицях буде однакова кількість книг, а саме як на другій було спочатку.
- 1) Скільки книг коштує на всіх полицях після описаних в аналізі завдання операцій?
- 188 - 16 - 8 + 4 = 168 (книг)
- 2) Скільки книг було на другій полиці?
- 168: 4 = 42 (книжок)
- 3) Скільки книг було на першій полиці?
- 42 + 16 = 58 (книг)
- 4) Скільки книг було на третій полиці?
- 42 + 8 = 50 (книг)
- 5) Скільки книг було на четвертій полиці?
- 50 - 12 = 38 (книг)
Відповідь: На кожній із чотирьох полиць було 58, 42, 50 та 38 книг.
Зауваження. Можна запропонувати учням вирішити це завдання іншими способами, якщо порівнювати невідомі кількість книг, які стояли на першій або на другій або на четвертій полицях.
3. Порівняння двох умов відніманням
У сюжет завдання, яке вирішується цим прийомом, часто входять дві пропорційні величини (кількість товару та його вартість, кількість працівників та виконана ними робота тощо). В умові дається два значення однієї величини та різниця двох пропорційних до них числових значеньіншої величини.
Завдання. За 4кг апельсинів та 5кг бананів заплатили 620 руб, а наступного разу за 4кг апельсинів та 3кг бананів, куплених за такими ж цінами, заплатили 500 руб. Скільки коштує 1кг апельсинів та 1кг бананів?
Короткий запис умови:
- 4кг ап. та 5кг бан. - 620 руб,
- 4кг ап. та 3кг бан. - 500 руб.
- 1) Порівняємо вартість двох покупок. І вперше, і вдруге купували однакову кількість апельсинів за тією ж ціною. Вперше заплатили більше, бо купили більше бананів. Знайдемо, скільки кілограмів бананів було куплено більше вперше: 5 -- 3 = 2 (кг).
- 2) Знайдемо, скільки більше заплатили перший раз, ніж у другий (тобто дізнаємося, скільки коштують 2кг бананів): 620 -- 500 = 120 (крб.).
- 3) Знайдемо ціну 1 кг бананів: 120: 2 = 60 (руб.).
- 4) Знаючи вартість першої та другої покупок, можемо знайти ціну 1кг апельсинів. Для цього спочатку знайдемо вартість куплених бананів, потім вартість апельсинів, а потім ціну 1 кг. Маємо: (620 - 60 * 5): 4 = 80 (руб).
Відповідь: ціна 1кг апельсинів - 80 руб, а ціна 1кг бананів - 60 руб.
4. Порівняння даних
Застосування даного прийомудає можливість порівняти дані та застосувати спосіб віднімання. Порівнювати значення даних можна:
- 1) за допомогою множення (порівнюючи їх з найменшим загальним кратним);
- 2) за допомогою поділу (порівнюючи їх з найбільшим спільним дільником).
Покажемо на прикладі.
Завдання. За 4кг апельсинів та 5кг бананів заплатили 620 руб, а наступного разу за 6кг апельсинів та 3кг бананів, куплених за такими ж цінами, заплатили 660 руб. Скільки коштує 1кг апельсинів та 1кг бананів?
Короткий запис умови:
- 4кг ап. та 5кг бан. - 620 руб,
- 6кг ап. та 3кг бан. - 660 руб.
Зрівняємо кількість апельсинів і бананів, порівнюючи їх із найменшим загальним кратним: НОК(4;6) = 12.
Рішення1.
- 1) Збільшимо кількість куплених фруктів та їх вартість у першому випадку у 3 рази, а у другому – у 2 рази. Отримаємо такий короткий запис умови:
- 12кг ап. та 15кг бан. - 1860 руб,
- 12кг ап. та 6кг бан. - 1320 руб.
- 2) Дізнаємося, на скільки більше бананів купили вперше: 15-6 = 9(кг).
- 3) Скільки коштує 9 кг бананів? 1860 - 1320 = 540 (крб).
- 4) Знайдемо ціну 1 кг бананів: 540: 9 = 60 (руб).
- 5) Знайдемо вартість 3кг бананів: 60 * 3 = 180 (руб).
- 6) Знайдемо вартість 6кг апельсинів: 660 - 180 = 480 (руб).
- 7) Знайдемо ціну 1 кг апельсинів: 480: 6 = 80 (руб).
Рішення2.
Зрівняємо кількість апельсинів та бананів, порівнюючи їх з найбільшим спільним дільником: НОД (4; 6) = 2.
- 1) Щоб зрівняти кількість апельсинів, куплених вперше та вдруге, зменшимо кількість купленого товару та його вартість у першому випадку у 2 рази, у другому – у 3 рази. Отримаємо завдання, яке має такий короткий запис умови
- 2кг ап. та 2,5 кг бан. - 310 руб,
- 2кг ап. та 1кг бан. - 220 руб.
- 2) На скільки тепер бананів купують більше: 2,5 - 1 = 1,5 (кг).
- 3) Знайдемо, скільки коштує 1,5 кг бананів: 310 - 220 = 90 (крб).
- 4) Знайдемо ціну 1 кг бананів: 90: 1,5 = 60 (руб).
- 5) Знайдемо ціну 1кг апельсинів: (660 - 60 * 3): 6 = 80 (руб).
Відповідь: ціна 1кг апельсинів - 80 руб, 1кг бананів - 60 руб.
При вирішенні завдань з використанням прийому порівняння даних можна не робити такого детального аналізу та записів, а лише зробити запис змін, які робили для порівняння, та записати їх у вигляді таблиці.
5. Об'єднання кількох умов в одну
Іноді позбутися зайвих невідомих можна, поєднавши кілька умов в одну.
Завдання. Туристи вийшли з табору і спочатку 4 години йшли пішки, а потім ще 4 години їхали велосипедами з деякою постійною швидкістю і пішли від табору на 60км. Вдруге вони вийшли з табору і спочатку їхали велосипедами з такою самою швидкістю 7 годин, а потім повернули у зворотному напрямку і, рухаючись пішки 4 години, опинилися на відстані 50 км від табору. З якою швидкістю туристи їхали велосипедами?
У завданні два невідомі: швидкість, з якою туристи їхали велосипедами, і швидкість, з якою вони йшли пішки. Для того, щоб виключити одну з них, можна поєднати дві умови в одну. Тоді відстань, яку пройдуть туристи за 4 години, рухаючись вперед перший раз пішки, дорівнює відстані, яку вони пройшли за 4 години, рухаючись вдруге. Тому на ці відстані не звертаємо уваги. Значить, відстань, яку пройдуть туристи за 4 + 7 = 11 (година) на велосипедах, дорівнюватиме 50 + 60 = 110 (км).
Тоді швидкість руху туристів велосипедами: 110: 11 = 10 (км/ч).
Відповідь. Швидкість руху на велосипедах складає 10 км/год.
6. Спосіб припущення
Використання способу припущення під час вирішення завдань в більшості учнів не викликає труднощів. Тому, щоб не виникало механічного запам'ятовування учнями схеми кроків цього способу та нерозуміння суті виконаних дій на кожному з них, слід спочатку показати учням спосіб проб («фальшиве правило» та «правило древніх вавилонян»).
З використанням способу проб, зокрема «фальшивого правила», однієї з невідомих величин дається («допускається») деяке значення. Згодом, використовуючи всі умови, знаходять значення іншої величини. Отримане значення звіряють з тим, що в умові. Якщо отримане значення відмінно від цього в умові, то перше значення, що задається, не правильно і його необхідно збільшувати або зменшувати на 1, і знову знаходити значення іншої величини. Так необхідно робити доти, доки не отримаємо значення іншої величини таке, як за умови завдання.
Завдання. У касира є 50 монет по 50копійок і по 10 копійок, всього на суму 21 руб. Знайдіть скільки було у касира окремо монет по 50к. та по 10к.
Рішення1. (Спосіб проб)
Скористаємося правилом «давніх» вавілонян. Припустимо, що касир монет кожного номіналу порівну, тобто по 25 штук. Тоді сума грошей буде 50 * 25 + 10 * 25 = 1250 +250 = 1500 (к.), або 15 руб. Але за умови 21 руб., тобто більше, ніж отримали, на 21 грн - 15 руб. = 6 руб. Значить, необхідно збільшувати кількість монет по 50 копійок та зменшувати кількість монет по 10 копійок, поки не отримаємо в сумі 21 руб. Зміна кількості монет та загальну суму запишемо до таблиці.
|
Кількість монет |
Кількість монет |
Сума грошей |
Сума грошей |
Загальна сума |
Менше чи більше, ніж за умови |
|
Менше на 6руб. |
|||||
|
Менше на 5руб60к |
|||||
|
Як за умови |
Як видно з таблиці, касир мав 40 монет по 50 копійок і 10 монет по 10 копійок.
Як з'ясувалося у рішенні 1, якби у касира було порівну монет по 50к. і по 10к., то в нього було грошей 15 руб. Легко помітити, кожна заміна монети 10к. на монету 50к. збільшує загальну суму на 40к. Отже, необхідно знайти, скільки необхідно зробити таких замін. Для цього знайдемо спочатку, на скільки грошей необхідно збільшити загальну суму:
21 руб - 15 руб. = 6 руб. = 600 к.
Знайдемо, скільки разів таку заміну необхідно зробити: 600 к. 40 к.=15.
Тоді по 50 к. буде 25 +15 = 40 (монет), а монет по 10 к. залишиться 25 - 15 = 10.
Перевіркою підтверджується, що загальна сума грошей у цьому випадку дорівнює 21 руб.
Відповідь: У касира було 40 монет по 50 копійок та 10 монет по 10 копійок.
Запропонувавши учням самостійно обирати різні значеннякількості монет по 50 копійок, необхідно підвести їх до ідеї, яка найкращим з точки зору раціональності є припущення, що у касира були лише монети одного номіналу (наприклад, усі 50 монет по 50 к. або всі 50 монет по 10к. кожна). Завдяки чому одне з невідомих виключається і замінюється іншим невідомим.
7. Спосіб залишків
Цей метод має деяку схожість з роздумами під час вирішення завдань методами спроб і припущень. Спосіб залишків використовуємо, вирішуючи завдання на рух в одному напрямку, а саме коли необхідно знайти час, за який перший об'єкт, який рухається позаду з більшою швидкістю, наздожене другий об'єкт, який має меншу швидкість руху. За 1 годину перший об'єкт наближається до другого на відстань, яка дорівнює різниці їх швидкостей, тобто дорівнює «залишку» швидкості, яка є у нього в порівнянні зі швидкістю другого. Щоб знайти час, який необхідний першому об'єкту для подолання відстані, яка була між ним і другим на початок руху, слід визначити, скільки разів «залишок» міститься в цій відстані.
Якщо абстрагуватися від сюжету і розглянути лише математичну структуру завдання, то в ній йдеться про двох множників (швидкості руху обох об'єктів) або різницю цих множників і про два твори (відстань, які вони проходять) або їх різницю. Невідомі множники (час) однакові та їх необхідно знайти. З математичної точки зору невідомий множник показує, скільки разів різниця відомих множників міститься в різниці творів. Тому завдання, які вирішуються способом залишків, одержали назву задач на знаходження чисел за двома різницями.
Завдання. Учні вирішили наклеїти в альбом фотографії зі свята. Якщо вони на кожну сторінку наклеють по 4 фотографії, то в альбомі не вистачить місця для 20 фотографій. Якщо на кожну сторінку клеїти по 6 фотографій, то 5 сторінок залишаться вільними. Скільки фотографій збираються учні наклеїти до альбому?
Аналіз завдання
Кількість фотографій залишається однаковим при першому та другому варіантах наклеювання. За умовою завдання воно невідоме, але його можна знайти, якщо буде відома кількість фотографій, які розміщуються на одній сторінці та кількість сторінок в альбомі.
Кількість фотографій, що наклеюють на одну сторінку, відома (перший множник). Кількість сторінок в альбомі невідома і залишається незмінною (другий множник). Оскільки відомо, що 5 сторінок альбому залишаються вдруге вільними, можна знайти, скільки ще фотографій можна було б наклеїти в альбом: 6*5 = 30 (фотографій).
Отже, збільшуючи кількість фотографій однією сторінці на 6 - 4 = 2, кількість наклеєних фотографій збільшується на 20 + 30 = 50.
Так як вдруге на кожну сторінку наклеювали на дві фотографії більше та всього наклеїли на 50 фотографій більше, то знайдемо кількість сторінок в альбомі: 50: 2 = 25 (стор.).
Отже, всього фотографій було 4*25+20=120 (фотографій).
Відповідь: В альбомі було 25 сторінок та клеїли 120 фотографій.
Загальні зауваження вирішення завдань арифметичним методом.
Завдання на перебування невідомих за результатами дій.
Завдання на пропорційний поділ.
Завдання на відсотки та частини.
Завдання, які вирішуються зворотним ходом.
1. Арифметичний метод – це основний метод вирішення текстових завдань початковій школі. Знаходить своє застосування і в середній ланці загальноосвітньої школи. Цей метод дозволяє глибше зрозуміти та оцінити всю важливість та значущість кожного етапу роботи над завданням.
У деяких випадках розв'язання задачі арифметичним методом є значно простіше, ніж іншими методами.
Підкуповуючи своєю простотою та доступністю, арифметичний метод водночас досить складний, і оволодіння прийомами розв'язання завдань цим методом потребує серйозної та копіткої роботи. Велика різноманітність видів завдань не дозволяє сформувати універсального підходу до аналізу завдань, пошуку шляхів їх вирішення: завдання, навіть об'єднані в одну групу, мають різні способи вирішення.
2 . До завдань на знаходження невідомих за їх різницею та відношеннямвідносяться завдання, в яких за відомими різницею і часткою двох значень деякої величини потрібно знайти ці значення.
Алгебраїчна модель:
Відповідь знаходиться за формулами: х= ак/(до – 1), у = а/(до – 1).
приклад.У плацкартних вагонах швидкого поїзда на 432 пасажири більше, ніж у купейних. Скільки пасажирів перебуває у плацкартних та купейних вагонах окремо, якщо у купейних вагонах пасажирів у 4 рази менше, ніж у плацкартних?
Рішення.Графічна модель завдання подано на рис. 4.
Мал. 4
Число пасажирів у купейних вагонах приймемо за 1 частину. Тоді можна знайти, скільки частин припадає на число пасажирів у плацкартних вагонах, а потім скільки частин припадає на 432 пасажири. Після цього можна визначити кількість пасажирів, що становлять 1 частину (що знаходяться у купейних вагонах). Знаючи, що в плацкартних вагонах пасажирів у 4 рази більше, знайдемо їхнє число.
1 4 = 4 (год.) – припадає на пасажирів у плацкартних вагонах;
4 – 1 = 3 (год.) – посідає різницю між числом пасажирів у плацкартних і купейних вагонах;
432: 3 = 144 (п.) - у купейних вагонах;
144 4 = 576 (п.) – у плацкартних вагонах.
Це завдання можна перевірити, вирішивши його іншим способом, а саме:
1 4 = 4(год.);
4 – 1 = 3 (год.);
432: 3 = 144 (п.);
144 + 432 = 576 (п.).
Відповідь: у купейних вагонах 144 пасажири, у плацкартних – 576.
До завдань на знаходження невідомих за двома залишками або двома різницям, відносяться завдання, в яких розглядаються дві прямо або обернено пропорційні величини, такі, що відомі два значення однієї величини і різниця відповідних значень іншої величини, а потрібно знайти самі значення цієї величини.
Алгебраїчна модель:
Відповіді перебувають за формулами:
приклад.Два поїзди пройшли з однаковою швидкістю – один 837 км, інший 248 км, причому перший був у дорозі на 19 год. більше за другий. Скільки годин був у дорозі кожен поїзд?
Рішення.Графічна модель задачі представлена малюнку 5.
Мал. 5
Щоб відповісти на запитання завдання, скільки годин був у дорозі той чи інший поїзд, треба знати пройдену ним відстань та швидкість. Відстань дано за умови. Щоб дізнатися швидкість, треба знати відстань та час, за який ця відстань пройдено. За умови сказано, що перший поїзд йшов на 19 год. довше, а пройдену ним за цей час відстань можна знайти. Він йшов зайвих 19 год. – очевидно, за цей час минув і зайву відстань.
837 – 248 = 589 (км) – на стільки кілометрів більше пройшов перший поїзд;
589: 19 = 31 (км/год) – швидкість першого поїзда;
837: 31 = 27 (ч.) – був у дорозі перший поїзд;
4) 248: 31 = 8 (ч.) – був у дорозі другий поїзд.
Перевіримо розв'язання задачі встановленням відповідності між даними та числами, отриманими при розв'язанні задачі.
Дізнавшись, скільки часу був у дорозі кожен поїзд, знайдемо, на скільки годин більше був у дорозі перший поїзд, ніж другий: 27 – 8 = 19 (год.). Це число збігається із даними в умові. Отже, завдання вирішено правильно.
Це завдання можна перевірити, вирішивши його в інший спосіб. Усі чотири питання та перші три дії залишаються ті ж самі.
4) 27 -19 = 8 (год.).
Відповідь: перший поїзд був у дорозі 31год., другий поїзд – 8 год.
Завдання на перебування трьох невідомих за трьома сумами цих невідомих, взятих попарно:
Алгебраїчна модель:
Відповідь знаходиться за формулами:
х =(а –b + с)/2, у = (а +b – с)/2, z = (b + с –a)/ 2.
приклад.Англійська та німецька мовививчають 116 школярів, німецьку та іспанська мовививчають 46 школярів, а англійську та іспанську мови вивчають 90 школярів. Скільки школярів вивчають англійську, німецьку та іспанську мови окремо, якщо відомо, що кожен школяр вивчає лише одну мову?
Рішення.Графічна модель задачі представлена малюнку 6.
Скільки школярів вивчає кожну мову?
Графічна модель завдання показує: якщо скласти чисельності школярів, дані в умові (116 + 90 + 46), то отримаємо подвоєну кількість школярів, які вивчають англійську, німецьку та іспанську мови. Розділивши його на два, знайдемо загальну кількість школярів. Щоб знайти число школярів, які вивчають англійську мову, достатньо з цього числа відняти кількість школярів, які вивчають німецьку та іспанську мови. Аналогічно знаходимо інші шукані числа.
Запишемо рішення щодо дій з поясненнями:
116 + 90 + 46 = 252 (шк.) - Подвоєне число школярів, які вивчають мови;
252: 2 = 126 (шк.) - Вивчають мови;
126 - 46 = 80 (шк.) - Вивчають англійську мову;
126 – 90 = 36 (шк.) – вивчають німецьку мову;
126 - 116 = 10 (шк.) - Вивчають іспанську мову.
Це завдання можна перевірити, вирішивши його в інший спосіб.
116 - 46 = 70 (шк.) - На стільки більше школярів вивчають англійську мову, ніж іспанська;
90 + 70 = 160 (шк.) - Подвоєне число школярів, що вивчають англійську мову;
160: 2 = 80 (шк.) - Вивчають англійську мову;
90 - 80 = 10 (шк.) - Вивчають іспанську мову;
116 - 80 = 36 (шк.) - Вивчають німецьку мову.
Відповідь: англійську мову вивчають 80 школярів, німецька – 36 школярів, іспанська – 10 школярів.
3. До завдань на пропорційний поділ відносяться завдання, у яких дане значення деякої величини потрібно розділити на частини пропорційно до заданих чисел. У деяких з них частини представлені явно, а в інших ці частини треба виділити, прийнявши одне зі значень цієї величини за одну частину і визначивши, скільки таких частин припадає на інші її значення.
Виділяють п'ять видів завдань на пропорційний поділ.
1) Завдання на розподіл числа на частини, прямопропорційні ряду цілих чи дробових чисел
До завдань даного типувідносяться завдання, в яких число А х 1, х 2 , х 3, ..., х n прямо пропорційно числам а 1 , а 2 , а 3 , ..., а n .
Алгебраїчна модель:
Відповідь знаходиться за формулами:
приклад.Туристична фірма має в своєму розпорядженні чотири бази відпочинку, які мають корпуси однакової місткості. На території 1-ї бази відпочинку розташовані 6 корпусів, 2-й – 4 корпуси, 3-й – 5 корпусів, 4-й – 7 корпусів. Скільки відпочиваючих може розміститися на кожній базі, якщо на всіх чотирьох базах може розміститися 2112 осіб?
Рішення. Короткий запис завдання показано малюнку 7.
Мал. 7
Щоб відповісти на запитання завдання, скільки відпочиваючих може розміститися на кожній базі, треба знати, скільки відпочиваючих може розміститися в одному корпусі та скільки корпусів розташовано на території кожної бази. Число корпусів на кожній базі наведено в умові. Щоб дізнатися, скільки відпочиваючих може розміститися в одному корпусі, треба знати скільки відпочиваючих може розміститися на всіх 4 базах (це дано в умові) і скільки корпусів розташовано на території всіх 4 баз. Останнє можна визначити, знаючи умови, скільки корпусів розташовано на території кожної бази.
Запишемо рішення щодо дій з поясненнями:
6+4+5+7=22 (к.) – розташовано на території 4 баз;
2112: 22 = 96 (ч.) - може розміститися в одному корпусі;
96 6 = 576 (год.) – може розміститися на першій базі;
96 4 = 384 (год.) – може розміститися на другій базі;
96 5 = 480 (год.) – може розміститися на третій базі;
96 7 = 672 (год.) – може розміститися на четвертій базі.
Перевірка.Підраховуємо, скільки відпочиваючих може розміститися на 4 базах: 576 + 384 + 480 + 672 = 2112 (ч.). Розбіжності з умовою завдання немає. Завдання вирішено правильно.
Відповідь: на першій базі може розміститися 576 відпочиваючих, на другій – 384 відпочиваючі, на третій – 480 відпочиваючих, на четвертій – 672 відпочиваючі.
2) Завдання на розподіл числа на частини, обернено пропорційні ряду цілих чи дробових чисел
До них відносяться завдання, у яких число А(значення деякої величини) потрібно розділити на частини x 1 i , x 2 , x 3 i , ..., х„назад пропорційно числам а 1ь а 2 , а 3 ,..., а n .
Алгебраїчна модель:
або
x 1 : x 2 :х 3 :...:х„ = a 2 a 3 ...а n :а 1 а 3 ...а п :а 1 а 2 а 4 ...а n :...:а 1 а 2 ...а n -1
Відповідь знаходиться за формулами:
де S = а 2 а 3 ...а„ +a l a i ... a n + а ] а 2 а 4 ...а n + ... + а 1 а 2 ...а n -1.
приклад.За чотири місяці дохід звіроферми від продажу хутра становив 1 925 000 р., причому по місяцях отримані гроші розподілилися обернено пропорційно числам 2, 3, 5, 4. Який дохід ферми в кожному місяці окремо?
Рішення.Для визначення названих за умови доходів дано загальний дохід чотири місяці, тобто сума чотирьох шуканих чисел, і навіть відносини між шуканими числами. Шукані доходи обернено пропорційні числам 2, 3, 5, 4.
Позначимо 
шукані доходи відповідно через х, х 2
х 3
х 4
.
Тоді коротко завдання можна записати так, як показано на малюнку 8.
Мал. 8
Знаючи число частин, що припадають на кожне з шуканих чисел, знайдемо число частин, які полягають у їхній сумі. За цим загальним доходом за чотири місяці, тобто за сумою шуканих чисел і за кількістю частин, що містяться в цій сумі, дізнаємося величину однієї частини, а потім шукані доходи.
Запишемо рішення щодо дій з поясненнями:
1. Шукані доходи обернено пропорційні числам 2, 3, 5, 4, а значить, прямо пропорційні числам, оберненим даним, тобто мають місце відносини 
. Дані відносини у дробових числах замінимо відносинами цілих чисел:
2. Знаючи, що хмістить 30 рівних частин, х 2 – 20, х 3 – 12, х 4 – 15, знайдемо, скільки частин міститься у їх сумі:
30 + 20 + 12 + 15 = 77 (год.).
3. Скільки карбованців припадає на одну частину?
1925000: 77 = 25000 (р.).
4. Який дохід ферми у першому місяці?
25 000 30 = 750 000 (р.).
5. Який прибуток ферми у другому місяці?
25 000 20 = 500 000 (р.).
6. Який дохід ферми у третьому місяці?
25 000 - 12 = 300 000 (р.).
7. Який дохід ферми у четвертому місяці?
25 000 - 15 = 375 000 (р.).
Відповідь: у першому місяці доход ферми становив 750 000 р., у другому – 500 000 р., у третьому – 300 000 р., у четвертому – 375 000 р.
3) Завдання на розподіл числа на частини, коли дано окремі відносини для кожної пари чисел, що шукаються
До завдань цього відносять ті завдання, у яких число А(значення деякої величини) потрібно розділити на частини х 1 х 2 , х 3 , ..., х„,коли дано ряд відносин для шуканих чисел, взятих попарно. Алгебраїчна модель:
х 1: х 2 = а 1 : b 1, х 2 : х 3 = а 2 : b 2, х 3 : х 4 = а 3 : b 3 , ..., х п-1 : х n = а n -1 : b п-1 .
п = 4. Алгебраїчна модель:
х х :х 2 = а 1 : b 1, х 2 :х 3= а 2 : b 2, х 3 : х 4 = а 3: b 3 .
Отже, х 1: х 2 : х 3: х 4 = а 1 а 2 а 3 : b 1 а 2 а 3 : b 1 b 2 а 3 : b 1 b 2 b 3 .
де S = а 1 а 2 а 3 + b 1 а г а 3 + b 1 b 2 а 3 + b 1 b 2 b 3
приклад.У трьох містах 168 тисяч жителів. Числа мешканців першого та другого міст знаходяться у відношенні 
, а другого та третього міст – щодо . Скільки жителів у кожному місті?
Рішення.Позначимо шукані чисельності жителів відповідно через х 1 х 2 х 3 . Тоді коротко завдання можна записати так, як показано на малюнку 9.
Мал. 9
Для визначення чисельності жителів дано числа жителів у трьох містах, тобто сума трьох чисел, що шукаються, а також окремі відносини між шуканими числами. Замінивши ці відносини рядом відносин, висловимо чисельність мешканців трьох міст у рівних частинах. Знаючи число частин, що припадають на кожне з шуканих чисел, знайдемо число частин, які полягають у їхній сумі. За цією загальною чисельністю мешканців у трьох містах, тобто за сумою шуканих чисел і за кількістю частин, що містяться в цій сумі, дізнаємося величину однієї частини, а потім шукані чисельності жителів.
Запишемо рішення щодо дій з поясненнями.
1. Замінюємо ставлення дробових чисел відношенням цілих чисел:
Численності жителів другого міста ставимо у відповідність число 15 (найменше загальне кратне чисел 3 і 5).
Змінюємо відповідним чином відносини, що вийшли:
х 1: х 2 = 4: 3 = (4-5): (3-5) = 20: 15, х 2: х 3 = 5: 7 = (5-3): (7-3) = 15: 21.
З окремих відносин складаємо низку відносин:
х 1: х 2 : х 3 = 20: 15: 21.
2. 20 + 15 + 21 = 56 (год.) – стільки рівних частин відповідає число 168 000;
3. 168000: 56 = 3000 (ж.) - припадає на одну частину;
4. 3 000 20 = 60 000 (ж.) - у першому місті;
5. 3 000 15 = 45 000 (ж.) - у другому місті;
3000 21 = 63 000 (ж.) - у третьому місті.
Відповідь: 60 000 мешканців; 45 000 мешканців; 63 тисячі жителів.
4) Завдання на розподіл числа на частини пропорційно двом, трьом тощо рядам чисел
До завдань цього типу належать завдання, у яких число А(значення деякої величини) потрібно розділити на частини х 1, х 2 , х 3 ,..., х n пропорційно двом, трьом, ..., Nрядів чисел.
Зважаючи на громіздкість формул для вирішення задачі в загальному виглядірозглянемо окремий випадок, коли п = 3 та N = 2.Нехай х 1 х 2 х 3 прямо пропорційні числам а 1 , а 2 , а 3 і обернено пропорційні числам b 1 , b 2 , b 3 .
Алгебраїчна модель:
(див. пункт 1 цього параграфу),
приклад.Двоє робітників отримали 1800 р. Один працював 3 дні по 8 год., інший 6 днів по 6 год. Скільки заробив кожен, якщо за 1 ч. роботи вони отримували порівну?
Рішення. Короткий запис завдання показано малюнку 10.
Мал.10
Щоб дізнатися, скільки отримав кожен робітник, треба знати, скільки рублів платили за 1 год. роботи та скільки годин працював кожен робітник. Щоб дізнатися, скільки рублів платили за 1 год роботи, треба знати, скільки заплатили за всю роботу (дано в умові) і скільки годин працювали обидва робітники разом. Щоб дізнатися загальну кількість годин роботи, треба знати, скільки годин працював кожен, а для цього необхідно знати скільки днів працював кожен і по скільки годин на день. Ці дані за умови є.
Запишемо рішення щодо дій з поясненнями:
8 3 = 24 (ч.) – працював перший робітник;
6 6 = 36 (ч.) – працював другий робітник;
24 + 36 = 60 (год.) – працювали обидва робітники разом;
1800: 60 = 30 (р.) - Отримували робітники за 1 год роботи;
30 24 = 720 (р.) – заробив перший робітник;
30 36 = 1080 (р.) – заробив другий робітник. Відповідь: 720 р.; 1080 нар.
5) Завдання на знаходження кількох чиселза даними їх відносин і суми чи різниці (сумі чи різниці деяких з них)
приклад.На обладнання дитячого майданчика, теплиці та спортивного залу адміністрацією школи було витрачено 49 000 грн. Обладнання дитячого майданчика обійшлося вдвічі дешевше, ніж теплиці, а теплиці – у 3 рази дешевше, ніж спортивної залита дитячого майданчика разом. Скільки грошей було витрачено на обладнання кожного із зазначених об'єктів?
Рішення. Короткий запис завдання показано малюнку 11.
Мал. 11Щоб дізнатися кількість грошей, витрачених обладнання кожного об'єкта, треба знати, скільки частин всіх витрачених грошей припадало обладнання кожного об'єкта і скільки рублів припадало кожну часть. Число частин витрачених грошей обладнання кожного об'єкта визначається за умови завдання. Визначивши число частин обладнання кожного об'єкта окремо, та був знайшовши їх суму, обчислимо величину однієї частини (у рублях).
Запишемо рішення щодо дій з поясненнями.
Приймаємо за 1 частину кількість грошей, витрачених на обладнання дитячого майданчика. За умовою на обладнання теплиці витрачено в 2 рази більше, тобто 1 2 = 2 (ч.); на обладнання дитячого майданчика та спортивного залу разом витрачено в 3 рази більше, ніж на теплицю, тобто 2 3 = 6 (год.), отже, на обладнання спортивного залу витратили 6 – 1 = 5 (год.).
На обладнання дитячого майданчика витрачено 1 частину, теплиці – 2 частини, спортивного залу – 5 частин. Вся витрата становила 1 + 2 + + 5 = 8 (год.).
8 частин становлять 49 000 р., одна частина менше цієї суми у 8 разів: 49 000: 8 = 6125 (р.). Отже, на обладнання дитячого майданчика витратили 6125 грн.
На обладнання теплиці витрачено вдвічі більше: 6 125 2 = 12 250 (р.).
На обладнання спортивного залу витрачено 5 частин: 61255 = 30625 (р.).
Відповідь: 6 125 р.; 12250 р.; 30 625 нар.
6) Завдання на виключення одного з невідомих
До завдань цієї групи відносяться завдання, в яких дано суми двох творів, що мають два повторюваних співмножники, і потрібно знайти значення цих співмножників. Алгебраїчна модель
Відповідь знаходиться за формулами:
Ці завдання вирішуються способом зрівнювання даних, способом зрівнювання даних та шуканих, способом заміни даних, а також так званим способом «припущення».
приклад.На швейній фабриці на 24 пальта та 45 костюмів витратили 204 м тканини, а на 24 пальто та 30 костюмів – 162 м. Скільки тканини витрачається на один костюм і скільки – на одне пальто?
Рішення. Розв'яжемо задачу способом зрівнювання даних. Короткий запис завдання.
Низькопоклонна Марія, Брянцева Людмила
Робота показує способи розв'язання текстових завдань.
Завантажити:
Попередній перегляд:
Муніципальне освітня установасередня загальноосвітня школа№ 64 м. Волгограда
Міський конкурс навчально-дослідницьких робіт
"Я і Земля" ім. В.І. Вернадського
(Районний етап)
АРИФМЕТИЧНИЙ СПОСІБ РІШЕННЯ
ТЕКСТОВИХ ЗАВДАНЬ З МАТЕМАТИКИ
Секція «Математика»
Виконали: Брянцева Людмила,
Навчальна 9 А класу МОУ ЗОШ № 64,
Низькопоклонна Марія,
Навчальна 9 А класу МОУ ЗОШ №64.
Керівник: Носкова Ірина Анатоліївна,
Вчитель математики МОУ ЗОШ №64
Волгоград 2014
Вступ …………………………………………………………… 3
Глава 1. Нестандартні способивирішення завдань
- Завдання на тему « Натуральні числа» ………………….. 5
- . Завдання « на частини та відсотки» …………………………... 8
- Завдання на рух……………………………………...... 11
- Завдання на спільну роботу…………………………… 14
Висновок ………………………………………………………. 16
Література ………………………………………………………. 16
Вступ.
Відомо, що історично довгий часматематичні знання передавалися з покоління до покоління у вигляді списку завдань практичного змісту разом із їхніми рішеннями. Спочатку навчання математики велося за зразками. Учні, наслідуючи вчителя, вирішували завдання на певне правило. Таким чином, у давнину навченим вважався той, хто вмів вирішувати завдання певних типів, що зустрічалися у практиці (у торгових розрахунках тощо).
Однією з причин цього було те, що історично довгий час метою навчання дітей арифметиці було освоєння ними певного набору обчислювальних умінь, пов'язаних із практичними розрахунками. У цьому лінія арифметики – лінія числа – ще була розроблена, а навчання обчисленням велося через завдання. У «Арифметиці» Л.Ф. Магніцького, наприклад, дроби розглядалися як іменовані числа (не просто, а рубля, пуду і т.п.), а дії з дробами вивчалися у процесі вирішення завдань. Ця традиція зберігалася досить довго. Навіть набагато пізніше зустрічалися завдання з неправдоподібними числовими даними, наприклад: «Продано кг цукру по рубля за кілограм...»,які були викликані життя не потребами практики, а потреби навчання обчисленням.
Друга причина підвищеної увагидо використання текстових завдань у Росії у тому, що у Росії як перейняли і розвинули старовинний спосіб передачі з допомогою текстових завдань математичних знань і прийомів міркувань. Навчилися формувати за допомогою завдань важливі загальнонавчальні вміння, пов'язані з аналізом тексту, виділенням умов задачі та головного питання, складанням плану вирішення, пошуком умов, з яких можна отримати відповідь на головне питання, перевіркою отриманого результату Важливу роль грало також привчання школярів перекладу тексту мовою арифметичних дій, рівнянь, нерівностей, графічних образів.
Ще один момент, який неможливо обійти, коли ми говоримо про вирішення завдань. Навчання та розвиток багато в чому нагадує розвиток людства, тому використання старовинних завдань, різноманітних арифметичних способів їх вирішення дозволяє йти в історичному контекстіщо розвиває творчий потенціал. Крім того, різноманітні способи вирішення будять фантазію дітей, дозволяють організувати пошук рішення щоразу новим способом, що створює сприятливе емоційне тло для навчання.
Таким чином, актуальність даної роботи можна узагальнити у кількох положеннях:
Текстові завдання є важливим засобомнавчання математики. За допомогою їх учні отримують досвід роботи з величинами, осягають взаємозв'язки між ними, набувають досвіду застосування математики до вирішення практичних завдань;
Використання арифметичних способів вирішення завдань розвиває кмітливість і кмітливість, вміння ставити питання, відповідати на них, тобто розвиває природну мову;
Арифметичні способи розв'язання текстових завдань дозволяють розвивати вміння аналізувати задачні ситуації, будувати план розв'язання з урахуванням взаємозв'язків між відомими та невідомими величинами, тлумачити результат кожної дії, перевіряти правильність рішення за допомогою складання та розв'язання зворотного завдання;
Арифметичні способи вирішення текстових завдань привчають до абстракцій, дозволяють виховувати логічну культуру, можуть сприяти створенню сприятливого емоційного фону навчання, розвитку естетичного почуття стосовно вирішення задачі та вивчення математики, викликаючи інтерес до процесу пошуку рішення, а потім і до самого предмета;
Використання історичних завдань та різноманітних старовинних (арифметичних) способів їх вирішення не лише збагачує досвід розумової діяльності, а й дозволяє освоювати важливий культурно-історичний пласт історії людства, що з пошуком вирішення завдань. Це важливий внутрішній стимул до пошуку розв'язків задач та вивчення математики.
З усього сказаного вище, ми робимо такі висновки:
предметом дослідженняє блок текстових завдань з математики 5-6 класів;
об'єктом дослідженняє арифметичний спосіб розв'язання задач.
метою дослідженняє розгляд достатньої кількостітекстових завдань шкільного курсу математики та застосування до їх вирішення арифметичного способу розв'язання;
завданнями для реалізації мети дослідженняє розбір та вирішення текстових завдань за основними розділами курсу «Натуральні числа», «Раціональні числа», «Пропорції та відсотки», «Завдання на рух»;
методом дослідженняє практико-пошуковий.
Глава 1. Нестандартні методи розв'язання задач.
- Завдання на тему «Натуральні числа».
На даному етапі роботи з числами арифметичні способи розв'язання задач мають перевагу над алгебраїчними вже тому, що результат кожного окремого кроку у вирішенні по діях має наочне і конкретне тлумачення, що не виходить за рамки життєвого досвіду. Тому швидше і краще засвоюються різні прийомиміркувань, що спираються на уявні дії з відомими величинами, ніж єдиний для завдань з різною арифметичною ситуацією спосіб розв'язання, що базується на застосуванні рівняння.
1. Задумали число, збільшили його на 45 і одержали 66. Знайдіть задумане число.
Для вирішення можна використовувати схематичний малюнок, що допомагає наочно уявити взаємозв'язок операцій складання та віднімання. Особливо ефективної допомогималюнка виявиться при більшій кількостідій із невідомою величиною.Задумали число 21.
2. Влітку в мене цілу добу було відчинено вікно. У першу годину влетів 1 комар, у другий – 2 комарі, у третю – 3 і т.д. Скільки комарів влетіло за добу?
Тут використовується метод розбивання всіх доданків на пари (перше з останнім; друге з передостаннім і т.д.), знайти суму кожної пари доданків і помножити на кількість пар.
1 + 2 + 3 + … + 23 + 24 = (1 + 24) + (2 + 23) + …. + (12 + 13) = 25 · 12 = 300.
Влетіло 300 комарів.
3. Гості запитали: скільки років виповнилося кожній із сестер? Віра відповіла, що їй та Наді разом 28 років; Наді та Любі разом 23 роки, а всім трьом 38 років. Скільки років кожній сестрі?
1. 38 - 28 = 10 (років) - Любе;
2. 23 - 10 = 13 (років) - Наді;
3.28 - 13 = 15 (років) - Вірі.
Любе 10 років, Наді 13 років, Вірі 15 років.
4. У нашому класі 30 учнів. На екскурсію до музею ходили 23 особи, у кіно – 21, а 5 осіб не ходили ні на екскурсію, ні в кіно. Скільки людей ходило і на екскурсію, і в кіно?
Розглянемо розв'язання задачі, малюнку відбито етапи міркування.
- 30 - 5 = 25 (чол.) - ходили в кіно, або на
Екскурсію;
- 25 – 23 = 2 (чол.) – ходили лише у кіно;
- 21 - 2 = 19 (чол.) - ходили і в кіно, і на
Екскурсію.
19 людей ходили і до кіно, і до екскурсії.
5. Хтось має 24 купюри двох видів – по 100 і 500 рублів у сумі 4000 рублів. Скільки у нього купюр за 500 рублів?
Оскільки отримана сума, число «кругле», отже, кількість купюр по 100 рублів кратно 1000. Отже, кількість купюр по 500 рублів теж кратно 1000. Звідси маємо – по 100 рублів 20 купюр; по 500 рублів - 4 купюри.
Хтось має 4 купюри по 500 рублів.
6. Дачник прийшов від своєї дачі на станцію за 12 хвилин після відходу електрички. Якби він на кожен кілометр витрачав на 3 хвилини менше, то прийшов би якраз до відходу електрички. Чи далеко від станції живе дачник?
Витрачаючи на кожен кілометр на 3 хвилини менше, дачник міг би заощадити 12 хвилин на відстані 12: 3 = 4 км.
Дачник живе за 4 км від станції.
7. Джерело в 24 хвилин дає бочку води. Скільки бочок води дає джерело на добу?
Оскільки треба обійти дроби, не треба шукати, яку частину бочки наповнюють за хвилину. Дізнаємось, за скільки хвилин наповниться 5 бочок: за 24 · 5 = 120 хвилин, або 2 години. Тоді за добу наповниться у 24: 2 = 12 разів більше бочок, ніж за 2 години, тобто 5 12 = 60 бочок.
Джерело дає на добу 60 бочок.
8. На деякій ділянцізмінюють старі рейки довжиною 8м на нові довжиною 12 м. Скільки потрібно нових рейок замість 240 старих?
На ділянці завдовжки 24 м замість 3 старих рейок покладуть 2 нові. Рейки замінять на 240: 3 = 80 таких ділянках, а покладуть на них 80 · 2 = 160 нових рейок.
Потрібно 160 нових рейок.
9. У булочній було 654 кг чорного та білого хліба. Після того як продали 215 кг чорного та 287 кг білого хліба, того та іншого сорту хліба залишилося порівну. Скільки кілограмів чорного та білого хліба окремо було у булочній?
1) 215 + 287 = 502 (кг) – продали хліба;
2) 654 - 502 = 152 (кг) - хліба залишилося продати;
3) 152: 2 = 76 (кг) білого (і чорного) хліба лишилося продати;
4) 215 + 76 = 291 (кг) – чорного хліба було спочатку;
5) 287 + 76 = 363 (кг) – білого хліба спочатку.
291 кг чорного хліба було спочатку та 363 кг білого хліба було спочатку.
- Завдання «на частини та відсотки».
В результаті роботи із завданнями даного розділунеобхідно приймати відповідну величину за 1 частину, визначати скільки таких частин припадає на іншу величину, на їхню суму (різницю), потім отримати відповідь на питання задачі.
10. Перша бригада може виконати завдання за 20год., а друга – за 30ч. Спочатку бригади виконали при спільній роботі ¾ завдання, а решту завдання виконала одна перша бригада. За скільки годин виконано завдання?
Завдання на продуктивність праці менш зрозумілі, ніж завдання руху. Тому тут потрібний детальний аналіз кожного кроку.
1) Якщо перша бригада працює одна, вона виконає завдання за 20ч – це означає, що годину вона виконуєвсього завдання.
2) Аналогічно розмірковуючи, отримуємо продуктивність праці для другої бригади -всього завдання.
3) Спочатку, працюючи разом, бригади виконаливсього завдання. А скільки часу вони витратили?. Тобто за одну годину спільної роботи обидві бригади виконують дванадцяту частину завдання.
4) Тоді завдання вони виконають за 9 годин, оскільки(За основною властивістю дробу).
5) Залишилося виконатизавдання, але вже лише першій бригаді, яка за 1 годину виконуєвсього завдання. Отже, першій бригаді треба працювати 5:00 , щоб довести справу до кінця, оскільки.
6) Остаточно маємо, 5 + 9 = 14 годин.
За 14 годин буде виконане завдання.
11 . Обсяги щорічного видобутку з першої, другої та третьої свердловини відносяться як 7:5:13. Планується зменшити річний видобуток нафти з першої свердловини на 5% і з другої – на 6%. На скільки відсотків потрібно збільшити річний видобуток нафти з третьої свердловини, щоб сумарний обсяг нафти, що видобувається за рік, не змінився?
Завдання на частини та відсотки ще більш трудомістка та незрозуміла область завдань. Тому найконкретніше нам їх було зрозуміти на числових прикладах.приклад 1. Нехай річний видобуток нафти становить 1000 барелів. Тоді, знаючи, що цей видобуток розбитий на 25 частин (7+5+13=25, тобто одна частина становить 40 барелів) маємо: перша вежа качає 280 барелів, друга – 200 барелів, третя – 520 барелів на рік. При зниженні видобутку на 5% перша вежа втрачає 14 барелів (280 0,05 = 14), тобто її видобуток складе 266 барелів. При зниженні видобутку на 6% друга вежа втрачає 12 барелів (200 0,06 = 12), тобто її видобуток складе 188 барелів.
Усього за рік вони разом будуть качати 454 барелі нафти, тоді третій вежі замість 520 барелів необхідно буде видобувати 546 барелів.
приклад 2. Нехай річний видобуток нафти становить 1500 барелів. Тоді, знаючи, що цей видобуток розбитий на 25 частин (7+5+13=25, тобто одна частина становить 60 барелів) маємо: перша вежа качає 420 барелів, друга – 300 барелів, третя – 780 барелів на рік. При зниженні видобутку на 5% перша вежа втрачає 21 барелів (420 0,05 = 21), тобто її видобуток складе 399 барелів. При зниженні видобутку на 6% друга вежа втрачає 18 барелів(300 · 0,06 = 18), тобто її видобуток складе 282 барелів.
Усього за рік вони разом будуть качати 681 барель нафти, тоді третій вежі замість 780 барелів необхідно буде видобувати 819 барелів.
Це на 5% більше колишнього видобутку, оскільки.
На 5% потрібно збільшити річний видобуток нафти з третьої свердловини, щоб сумарний обсяг нафти, що видобувається за рік, не змінився.
Можна розглянути й інший варіант такого завдання. Тут ми вводимо деяку змінну, яка є лише символом одиниць обсягу.
12. Обсяг щорічного видобутку нафти з першої, другої та третьої свердловин відносяться як 6:7:10. Планується зменшити річний видобуток нафти з першої свердловини на 10% та з другої на 10%. На скільки відсотків потрібно збільшити річний видобуток нафти з третьої свердловини, щоб сумарний обсяг нафти, що видобувається, не змінився?
Нехай обсяги щорічного видобутку нафти з першої, другої та третьої свердловин рівні відповідно 6х, 7х, 10х деяких одиниць обсягу.
1) 0,1 · 6х = 0,6х (одиниць) - зниження видобутку на першій свердловині;
2) 0,1 · 7х = 0,7 х (одиниць) - зниження видобутку на другій свердловині;
3) 0,6 х + 0,7 х = 1,3 х (одиниць) - повинно скласти підвищення обсягу видобутку нафти на третій свердловині;
На стільки відсотків потрібно збільшити річний видобуток нафти із третьої свердловини.
Річний видобуток нафти із третьої свердловини потрібно збільшити на 13%.
13. Купили 60 зошитів – у клітку було вдвічі більше, ніж у лінійку. Скільки частин припадає на зошити до лінійки; на зошит у клітину; на всі зошити? Скільки купили зошитів у лінійку? Скільки у клітку?
При розв'язанні задачі краще спиратися на схематичний малюнок, який легко відтворюється в зошиті і доповнюється по ходу рішення потрібними записами. Нехай зошити до лінійки складають 1 частину, тоді зошити до клітини становлять 2 частини.
1) 1 + 2 = 3(частини) – посідає всі зошити;
2) 60: 3 = 20 (зошитів) – посідає 1 частина;
3) 20 · 2 = 40 (зошитів) - зошити в клітину;
4) 60 – 40 = 20 (зошитів) – до лінійки.
Купили 20 зошитів у лінійку та 40 зошитів у клітку.
14. У 1892 році хтось думає провести в Петербурзі стільки хвилин, скільки годин проведе на селі. Скільки часу хтось проведе у Петербурзі?
Так як 1годину дорівнює 60 хвилин і кількість хвилин дорівнює числу годин, то хтось у селі проведе в 60 разів більше часу, ніж у Петербурзі (час на переїзд тут не враховується). Якщо кількість днів, проведених у Петербурзі, становить 1 частина, то кількість днів, проведених на селі, становить 60 частин. Так як йдеться про високосний рік, то на 1 частину припадає 366: (60 + 1) = 6 (днів).
Хтось проведе у Петербурзі 6 днів.
15. Яблука містять 78% води. Їх трохи підсушили і тепер вони містять 45% води. Скільки відсотків своєї маси яблука втратили під час сушіння?
Нехай х кг – маса яблук, тоді в ній міститься 0,78 х кг води та х – 0,78 х = 0, 22 х (кг) сухої речовини. Після підсушування суха речовина становить 100 - 45 = 55 (%) маси сухих яблук, тому маса сухих яблук дорівнює 0,22 х: 0,55 = 0,46 х (кг).
Отже, яблука при сушінні втратили х – 0,46 х = 0,54 х, тобто 54%.
При сушінні яблука втратили 54% своєї маси.
16. Трава містить 82% води. Її трохи підсушили і тепер вона містить 55% води. Скільки своєї маси трава втратила при сушінні?
При початкових умовахжива маса трави становила 100% – 82% = 18%.
Після сушіння ця величина збільшилася до 45%, але при цьому загальна маса трави зменшилася на 40% (45: 18 · 10% = 40%).
40% своєї маси трава втратила при сушінні.
- Завдання на рух.
Ці завдання вважаються традиційно важкими. Тому є необхідність детальніше розібрати арифметичний спосіб вирішення такого типу завдань.
17. З пункту А до пункту В одночасно виїжджають два велосипедисти. Швидкість одного з них на 2 км/год менша за іншу. Велосипедист, який перший прибув до В, одразу повернув назад і зустрів іншого велосипедиста через 1год 30 хв. після виїзду з А. На якій відстані від пункту В відбулася зустріч?
Це завдання також вирішується на прикладі предметних образів та асоціацій.
Після того, як розглянуто ряд прикладів, і число - відстань 1,5 км ні в кого не викликає сумнівів, необхідно обґрунтувати його знаходження з даних представленої задачі. А, саме, 1.5 км - це різниця у відставанні 2 від 1 велосипедиста навпіл: за 1,5 год другий відстане від першого на 3 км, оскільки 1 повертається, то обидва велосипедисти зближуються один з одним на половину різниці пройденого шляху, тобто на 1 5 км. Звідси випливає відповідь завдання та метод вирішення такого роду текстових задач.
Зустріч відбулася за 1,5 км від пункту В.
18. З Москви до Твері вийшли одночасно два поїзди. Перший проходив у годину 39 верст і прибув у Тверь на два години раніше другого, який проходив у годину 26 верст. Скільки верст від Москви до Твері?
1) 26 · 2 = 52 (версти) - на скільки другий поїзд відстав від першого;
2) 39 - 26 = 13 (верст) - стільки другий поїзд відставав від першого за 1 годину;
3) 52: 13 = 4 (год) – стільки часу був у дорозі перший поїзд;
4) 39 · 4 = 156 (верст) - відстань від Москви до Твері.
Від Москви до Твері 156 верст.
- Завдання на спільну роботу.
19. Одна бригада може виконати завдання за 9 днів, а друга за 12 днів. Перша бригада працювала над виконанням цього завдання три дні, потім друга бригада закінчила роботу. За скільки днів виконано завдання?
1) 1: 9 = (Завдання) - виконає перша бригада за один день;
2) · 3 = (Завдання) - виконала перша бригада за три дні;
3) 1 - = (завдання) – виконала друга бригада;
4) 1: 12 = (Завдання) – виконає друга бригада за один день;
5) 8 (днів) – працювала друга бригада;
6) 3 + 8 = 11 (днів) – витрачено виконання завдання.
Завдання було виконано за 11 днів.
20. Кінь з'їдає воз сіна за місяць, коза – за два місяці, вівця – за три місяці. За який час кінь, коза та вівця разом з'їдять такий самий воз сіна?
Нехай кінь, коза та вівця їдять сіно 6 місяців. Тоді кінь з'їсть 6 возів, коза – 3 вози, вівця – 2 вози. Всього 11 возів, отже, на місяць вонивоза, а один віз з'їдять за 1:= (Місяць).
Кінь, коза, вівця з'їдять воз сіна замісяця.
21. Чотири теслярі хочуть звести будинок. Перший тесляр може збудувати будинок за 1 рік, другий – за 2 роки, третій – за 3 роки, четвертий – за 4 роки. За скільки часу вони збудують будинок при спільній роботі?
За 12 років кожен окремо тесляр може звести: перший – 12 будинків; другий – 6 будинків; третій – 4 будинки; четвертий – 3 будинки. Таким чином, за 12 років вони можуть збудувати 25 будинків. Отже, один двір, працюючи разом, вони зможуть збудувати за 175,2 днів.
Теслярі зможуть звести будинок, працюючи разом за 175, 2 дні.
Висновок.
У висновку слід сказати, що представлені у дослідженні завдання лише невеликий приклад застосування арифметичних способів при вирішенні текстових завдань. Треба сказати про одне важливому моменті- Виборі фабули завдань. Справа в тому, що неможливо передбачити всі труднощі при вирішенні завдань. Проте, у момент початкового засвоєння прийому рішення будь-якого типу завдань їх фабула має бути якомога простіше.
Наведені зразки представляють особливий випадок, але вони відбивають напрямок – наближення школи до життя.
Література
1.Вілейтнер Г. Хрестоматія з історії математики. - Вип.I.Арифметика та алгебра / перев. з ним. П.С. Юшкевича. - М.-Л.: 1932.
2. Тоом А.Л. Текстові завдання: додатки чи розумові маніпулятиви // Математика,2004.
3.Шевкін А.В. Текстові завдання у шкільному курсі математики.М, 2006.
Розв'язання задач арифметичним способом
Урок з математики у 5 класі.
"Якщо ви хочете навчитися плавати, то сміливо входите у воду, а якщо ви хочете навчитися вирішувати завдання, то вирішуйте їх".
Д. Пойа
Цілі та завдання уроку:
формування вміння розв'язувати задачі арифметичним способом;
розвиток творчих здібностей, пізнавального інтересу;
розвиток логічного мислення;
виховання любові до предмета;
виховання культури математичного мислення
Обладнання: сигнальні картки із цифрами 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10.
Хід уроку
I. Організаційний момент (1 хв.)
Урок присвячений розв'язанню задач арифметичним способом. Сьогодні ми вирішуватимемо завдання різних видівАле всі вони будуть вирішені без допомоги рівнянь.
ІІ. Історична довідка (1 хв.)
Історично довгий час математичні знання передавалися з покоління до покоління у вигляді списку завдань практичного змісту разом з їхніми рішеннями. У давнину навченим вважався той, хто вмів вирішувати завдання певних типів, що зустрічаються на практиці.
ІІІ. Розминка
(вирішення завдань усно - 6 хв.)
а) Завдання на картках.
Кожному учневі дається картка із завданням, яке він вирішує усно та дає відповідь. Усі завдання на дію 3 – 1 = 2.
(Учні вирішують завдання правильно, а хто ні. На всіх усно. Піднімають картки і вчитель бачить, хто вирішив завдання карток має бути число 2.)
б) Завдання у віршах та логічні завдання. (Вчитель читає вголос завдання, учні піднімають картку із правильною відповіддю.
Подарував каченят їжачок
Хто відповість з хлопців,
Вісім шкіряних чобіток
Скільки було всіх каченят?
(Чотири.)
Двоє спритних поросят
Так замерзли, аж тремтять.
Порахуйте та скажіть:
Скільки валянок купити їм?
(Вісім.)
Я увійшов до соснового бору
І побачив мухомор,
Два опеньки,
Дві сморчки.
Три масляни,
Два рядки...
У кого відповідь готова:
Скільки знайшов грибів?
(Десять.)
4. У дворі гуляли кури та собаки. Хлопчик порахував їхні лапи. Вийшло десять. Скільки могло бути курей та скільки собак. (Дві собаки та одна курка, один собака та три курки.)
5. За рецептом лікаря купили в аптеці 10 пігулок. Лікар прописав приймати ліки по 3 таблетки на день. На скільки днів вистачить цих ліків? (Повних днів.)
6. Брату 7 років, а сестрі 5. скільки років буде сестрі, коли братові буде 10 років?
7. Дано числа: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. що більше: їх добуток чи сума?
8. При будівництві паркану теслярі поставили по прямій 5 стовпів. Відстань між стовпами по 2 м. Яка довжина огорожі?
IV. Вирішення задач
(Завдання дітям дано на картках - 15 хв. Діти вирішують завдання біля дошки)
Завдання а) та б) націлені на повторення зв'язку відносин «на... більше» і «на... менше» з операціями складання та віднімання.
а) Учень токаря обточив 120 деталей за зміну, а токар на 36 деталей більше. Скільки деталей обточили токар та його учень разом?
б) Перша бригада зібрала за зміну 52 прилади, втор?"; - на 9 приладів менше, ніж перша, а третя - на 12 приладів більше, ніж друга. Скільки приладів зібрали три бригади за зміну?
За допомогою завдання в) учням можна показати розв'язання задачі «зворотним ходом».
в) У трьох класах 44 дівчинки – це на 8 менше, ніж хлопчиків. Скільки хлопчиків у трьох класах?
У задачі г) учні можуть запропонувати кілька способів розв'язання.
г) У трьох сестер запитали: «Скільки років кожній із сестер?». Віра відповіла, що їй та Наді разом 28 років, Наді та Любі разом 23 роки, а всім трьом 38 років. Скільки років кожній із сестер?
Завдання д) призначена для повторення зв'язку щодо «більше в...» та «менше в...».
д) У Васі було 46 марок. За рік його колекція збільшилась на 230 марок. У скільки разів збільшилась його колекція?
V. Фізкультхвилинка (2 хв.)
На одній нозі стривай,
Неначе ти солдатик стійкий.
Ногу ліву – підніми.
Та дивись – не впади.
А тепер стривай на лівій,
Якщо ти солдатик сміливий.
VI. Старовинні, історичні завдання. Завдання з казковим змістом (10 хв.)
Завдання е) на перебування двох чисел за їх сумою та різницею.
е)(З «Арифметики» Л.М. Толстого)
У двох чоловіків 35 овець. В одного на 9 більше, ніж в іншого. Скільки овець у кожного?
Завдання на рух.
ж)(Старовинне завдання.)З Москви до Твері вийшли одночасно два поїзди. Перший проходив у годину 39 верст і прибув у Тверь на два години раніше другого, який проходив 26 верст на годину. Скільки верст від Москви до Твері?
(За допомогою рівняння легше дістатися відповіді. Але учням пропонується пошукати арифметичне рішеннязавдання.)
1) 26*2 = 52 (версти) – на стільки верст другий поїзд відстав від першого;
2) 39 – 26 = 13 (верст) – на стільки верст другий поїзд відставав за 1 годину від першого;
3) 52: 13 = 4 (год) - стільки часу був у дорозі перший поїзд;
4) 39 * 4 = 156 (верст) - відстань від Москви до Твері.
Можна заглянути до довідників знайти відстань у кілометрах.
1 верста = 1 км 69 м-коду.
Завдання на частини.
з)Завдання Кікімори.Водяний вирішив одружитися з кікіморе Ха-Ха. На фату кікіморе він посадив кілька п'явок, а собі на накидку вдвічі більше. Під час свята 15 п'явок відвалилися і залишилося всього 435. Скільки п'явок було на фаті у кікімори?
(Завдання дане для вирішення за допомогою рівняння, але ми вирішуємо арифметичним способом)
VII. Живі цифри (розвантажувальна пауза – 4 хв.)
Вчитель викликає до дошки 10 учнів, дає їм цифри від 1 до 10. Учні одержують різні завдання;
а) вчитель називає числа; названі роблять крок уперед (н-р: 5, 8, 1, 7);
б) виходять лише сусіди названого числа (н-р: число 6, виходять 5 та 7);
в) вчитель вигадує приклади, і виходить лише той, хто має відповідь цей приклад чи завдання (н-р: 2 ´ 4; 160: 80; тощо.);
г) вчитель робить кілька хлопків і показує цифру (одну чи дві); повинен вийти учень, число якого є сумою всіх почутих і побачених чисел (наприклад: 3 бавовни, цифра 5 та цифра 1.);
яке число на 4 більше за чотири?
я задумала число, забрала від нього 3, у мене вийшло 7. Яке число я задумала?
якщо до задуманого числа додати 2, то вийде 8. Чому дорівнює задумане число?
Треба намагатися підбирати такі завдання, щоб у відповідях не повторювалися одні й самі числа, щоб кожен міг брати активну участь у грі.
VIII. Підбиття підсумків уроку (2 хв.)
- Чим ми сьогодні займалися на уроці?
- Що означає вирішити задачу арифметичним способом?
- Треба пам'ятати, що знайдене розв'язання задачі має задовольняти умови завдання.
ІХ. Завдання додому. Виставлення оцінок (2 хв.)
№ 387 (розв'язати завдання арифметичним способом) для слабких учнів. Для середніх та сильних учнів завдання додому дається на картках.
1. У булочній було 645 кг чорного та білого хліба. Після того як продали 215 кг чорного та 287 кг білого хліба, того та іншого сорту хліба залишилася порівну. Скільки кілограмів чорного та білого хліба окремо було у булочній?
Брат із сестрою знайшли у лісі 25 білих грибів. Брат знайшов на 7 грибів більше, ніж сестра. Скільки білих грибів знайшов брат?
Для компоту взяли 6 частин яблук, 5 частин груш та 3 частини слів. Виявилось, що груш і слив разом узяли 2 кг 400 г. Визначте масу взятих яблук; масу всіх фруктів.
Література
Віленкін Н., Жохов Ст, Часників А.Математика. 5 клас. - М., "Мнемозіна", 2002.
Шевкін А.В.Текстові завдання у шкільному курсі математики. - М: Педуніверситет «Перше вересня», 2006.
Воліна Ст.Свято числа. - М: Знання, 1994.
Loading...