Числа заокруглюють і до інших розрядів - десятих, сотих, десятків, сотень і т.д.

Якщо число округляють до якогось розряду, всі наступні за цим розрядом цифри замінюють нулями, і якщо вони стоять після коми, їх відкидають.

Правило №1. Якщо перша з цифр, що відкидаються, більше або дорівнює 5, то остання з збережених цифр посилюється, тобто збільшується на одиницю.

Приклад 1. Дано число 45769, яке потрібно округлити до десятих. Перша цифра, що відкидається - 6 ˃ 5. Отже, остання зі збережених цифр (7) посилюється, тобто збільшується на одиницю. І таким чином округлене число буде - 45,8.

Приклад 2. Дано число 5165, яке потрібно округлити до сотих. Перша цифра, що відкидається – 5 = 5. Отже, остання з цифр (6), що зберігаються, посилюється, тобто збільшується на одиницю. І таким чином округлене число буде - 5,17.

Правило №2. Якщо перша з цифр, що відкидаються менше, ніж 5, то посилення не робиться.

Приклад: Дано число 45749, яке потрібно округлити до десятих. Перша цифра, що відкидається - 4

Правило №3. Якщо цифра 5, що відкидається, а за нею немає значущих цифр, то округлення проводиться на найближче парне число. Т. е. остання цифра залишається незмінною, якщо вона парна і посилюється, якщо - непарна.

Приклад 1: Округляючи число 0,0465 до третього десяткового знака, пишемо - 0,046. Посилення не робимо, тому що остання цифра, що зберігається (6) - парна.

Приклад 2. Округляючи число 0,0415 до третього десяткового знака, пишемо - 0,042. Посилення робимо, тому що остання цифра, що зберігається (1) - непарна.

Вступ................................................. .................................................. ..........
ЗАВДАННЯ № 1. Ряди переважних чисел........................................... ....
ЗАДАЧА № 2. Округлення результатів вимірів............................
ЗАВДАННЯ № 3. Обробка результатів вимірювань.........................................
ЗАДАЧА № 4. Допуски та посадки гладких циліндричних з'єднань...
ЗАДАЧА № 5. Допуски форми та розташування.......................................... .
ЗАВДАННЯ № 6. Шорсткість поверхні............................................ .....
ЗАВДАННЯ № 7. Розмірні ланцюги............................................ ............................
Список літератури................................................ ............................................

Завдання № 1. Округлення результатів вимірів

При виконанні вимірювань важливо дотримуватись певних правил округлення та запису їх результатів у технічній документації, оскільки при недотриманні цих правил можливі суттєві помилки в інтерпретації результатів вимірювань.

Правила запису чисел

1. Значні цифри даного числа - всі цифри від першої зліва, що не дорівнює нулю, до останньої праворуч. При цьому нулі, що йдуть з множника 10, не враховують.

приклади.

а) Число 12,0має три значущі цифри.

б) Число 30має дві значні цифри.

в) Число 12010 8 має три значущі цифри.

г) 0,51410 -3 має три значущі цифри.

д) 0,0056має дві значні цифри.

2. Якщо необхідно вказати, що число є точним, після числа вказують слово "точно" або останню цифру друкують жирним шрифтом. Наприклад: 1 кВт/год = 3600 Дж (точно) або 1 кВт/год = 360 0 Дж .

3. Розрізняють записи наближених чисел за кількістю цифр. Наприклад, розрізняють числа 2,4 та 2,40. Запис 2,4 означає, що вірні лише цілі та десяті частки, справжнє значення числа може бути, наприклад, 2,43 та 2,38. Запис 2,40 означає, що вірні і соті частки: справжнє значення числа може бути 2,403 та 2,398, але не 2,41 і не 2,382. Запис 382 означає, що всі цифри є вірними: якщо за останню цифруручатися не можна, число повинно бути записано 3,810 2 . Якщо в числі 4720 вірні лише дві перші цифри, воно має бути записане у вигляді: 47102 або 4,7103.

4. Число, для якого вказують допустиме відхилення, повинно мати останню значну цифрутого ж розряду, як і остання цифра відхилення.

приклади.

а) Правильно: 17,0 + 0,2. Неправильно: 17 + 0,2або 17,00 + 0,2.

б) Правильно: 12,13+ 0,17. Неправильно: 12,13+ 0,2.

в) Правильно: 46,40+ 0,15. Неправильно: 46,4+ 0,15або 46,402+ 0,15.

5. Числові значення величини та її похибки (відхилення) доцільно записувати із зазначенням однієї й тієї самої одиниці величини. Наприклад: (80,555 + 0,002 кг.

6. Інтервали між числовими значеннями величин іноді доцільно записувати в текстовому вигляді, тоді прийменник "від" означає "", прийменник "до" - "", прийменник "згори" - ">", прийменник "менше" - "<":

"dприймає значення від 60 до 100" означає "60 d100",

"dприймає значення понад 120 менше 150" означає "120<d< 150",

"dприймає значення понад 30 до 50" означає "30<d50".

Правила округлення чисел

1. Округлення числа є відкиданням значущих цифр праворуч до певного розряду з можливою зміною цифри цього розряду.

2. Якщо перша з цифр, що відкидаються (рахуючи зліва направо) менше 5, то останню цифру, що зберігається, не змінюють.

Приклад: Округлення числа 12,23до трьох значущих цифр дає 12,2.

3. Якщо перша з цифр, що відкидаються (рахуючи зліва направо) дорівнює 5, то останню цифру, що зберігається, збільшують на одиницю.

Приклад: Округлення числа 0,145до двох цифр дає 0,15.

Примітка . У випадках, коли слід враховувати результати попередніх округлень, надходять так.

4. Якщо цифра, що відкидається, отримана в результаті округлення в меншу сторону, то останню цифру, що залишилася, збільшують на одиницю (з переходом при необхідності в наступні розряди), інакше – навпаки. Це стосується і дрібних і цілих чисел.

Приклад: Округлення числа 0,25(Отриманого в результаті попереднього округлення числа 0,252) дає 0,3.

4. Якщо перша з цифр, що відкидаються (рахуючи зліва направо) більше 5, то останню цифру, що зберігається, збільшують на одиницю.

Приклад: Округлення числа 0,156до двох значущих цифр дає 0,16.

5. Округлення виконують відразу до бажаної кількості цифр, а не по етапах.

Приклад: Округлення числа 565,46до трьох значущих цифр дає 565.

6. Цілі числа округляють за тими самими правилами, як і дробові.

Приклад: Округлення числа 23456до двох значущих цифр дає 2310 3

Числове значення результату вимірювання має закінчуватися цифрою того ж розряду, що значення похибки.

Приклад:Число 235,732 + 0,15має бути округлено до 235,73 + 0,15, але не до 235,7 + 0,15.

7. Якщо перша з цифр, що відкидаються (вважаючи зліва направо) менше п'яти, то цифри, що залишаються, не змінюються.

Приклад: 442,749+ 0,4округляється до 442,7+ 0,4.

8. Якщо перша з цифр, що відкидаються, більша або дорівнює п'яти, то остання цифра, що зберігається, збільшується на одиницю.

Приклад: 37,268 + 0,5округляється до 37,3 + 0,5; 37,253 + 0,5 має бути округленодо 37,3 + 0,5.

9. Округлення слід виконувати одразу до бажаного числа значущих цифр, поетапне округлення може призвести до помилок.

Приклад: Поетапне заокруглення результату вимірювання 220,46+ 4дає на першому етапі 220,5+ 4і на другому 221+ 4, в той час як правильний результат округлення 220+ 4.

10. Якщо похибка засобів вимірювання вказується всього з однією або двома значущими цифрами, а розрахункове значення похибки одержують з великим числом знаків, в остаточному значенні розрахованої похибки повинні бути залишені відповідно лише перші одна або дві цифри. При цьому якщо отримане число починається з цифр 1 або 2, то відкидання другого знака призводить до дуже великої помилки (до 30 50 %), що неприпустимо. Якщо отримане число починається з цифри 3 і більше, наприклад, з цифри 9, збереження другого знака, тобто. вказівка ​​похибки, наприклад, 0,94 замість 0,9 є дезінформацією, так як вихідні дані не забезпечують такої точності.

Виходячи з цього на практиці встановилося таке правило: якщо отримане число починається зі значущої цифри, що дорівнює або більше 3, то в ньому зберігається лише вона одна; якщо воно починається зі значних цифр, менших 3, тобто. з цифр 1 і 2, то в ньому зберігають дві значущі цифри. Відповідно до цього правила встановлено і нормовані значення похибок засобів вимірювань: у числах 1,5 і 2,5 % зазначаються дві цифри, але в числах 0,5; 4; 6% вказується лише одна значна цифра.

Приклад:На вольтметрі класу точності 2,5з межею вимірів х До = 300 В отримано відлік вимірюваної напруги х = 267,5В. У якому вигляді має бути записаний результат вимірювання у звіті?

Розрахунок похибки зручніше вести в наступному порядку: спочатку необхідно знайти абсолютну похибку, а потім відносну. Абсолютна похибка  х =  0 х До/100, для наведеної похибки вольтметра  0 = 2,5 % та меж вимірювання (діапазону вимірювання) приладу х До= 300 В:  х= 2,5300/100 = 7,5 В ~ 8 В; відносна похибка  =  х100/х = 7,5100/267,5 = 2,81 % ~ 2,8 % .

Так як перша значна цифра значення абсолютної похибки (7,5 В) більша за три, то це значення має бути округлено за звичайними правилами округлення до 8 В, але у значенні відносної похибки (2,81 %) перша значна цифра менше 3, тому тут повинні бути збережені у відповіді два десяткові розряди та вказано  = 2,8 %. Отримане значення х= 267,5 має бути округлено до того ж десяткового розряду, яким закінчується округлене значення абсолютної похибки, тобто. до цілих одиниць вольт.

Таким чином, в остаточній відповіді має бути повідомлено: "Вимірювання зроблено з відносною похибкою = 2,8 %. Виміряна напруга Х= (268+ 8) В".

При цьому наочно вказати межі інтервалу невизначеності виміряної величини у вигляді Х= (260276) або 260 ВX276 В.

Багато людей цікавляться, як округлювати числа. Ця необхідність часто виникає у людей, які своє життя пов'язують із бухгалтерією чи іншими видами діяльності, де потрібні розрахунки. Округлення може проводитися до цілих, десятих і таке інше. І необхідно знати, як це робити правильно, щоб розрахунки були більш-менш точними.

А що таке взагалі ціле число? Це те, що закінчується на 0 (здебільшого). У повсякденному житті вміння округляти числа значно полегшує походи магазинами. Стоячи біля каси, можна приблизно прикинути загальну вартість покупок, порівняти скільки коштує кілограм однойменного товару в різних за вагою пакетах. З числами, що наведені до зручної форми, легше робити усні розрахунки, не вдаючись за допомогою калькулятора.

Навіщо округляються числа?

Будь-які цифри людина схильна округляти у випадках, коли потрібно виконувати більш спрощені операції. Наприклад, диня важить 3150 кілограмів. Коли людина розповідатиме своїм знайомим про те, скільки грамів має південний плід, вона може мати славу не дуже цікавого співрозмовника. Значно лаконічніше звучать фрази на кшталт "Ось я купив трикілограмову диню" без вникання у всякі непотрібні деталі.

Цікаво, що навіть у науці немає потреби завжди мати справу з максимально точними числами. А якщо йдеться про періодичні нескінченні дроби, які мають вигляд 3,33333333...3, то це стає неможливим. Тому найбільш логічним варіантом буде звичайне округлення їх. Як правило, результат після цього незначно спотворюється. Отже, як заокруглювати числа?

Декілька важливих правил при округленні чисел

Отже, якщо ви захотіли округлити число, чи важливо розуміти основні принципи округлення? Це операція зміни, спрямована на зменшення кількості знаків після коми. Щоб здійснювати цю дію, необхідно знати кілька важливих правил:

1. Якщо кількість потрібного розряду знаходиться в межах 5-9, округлення здійснюється у більшу сторону.
2. Якщо кількість потрібного розряду знаходиться в межах 1-4, округлення проводиться меншу сторону.

Наприклад, ми маємо число 59. Нам його потрібно округлити. Щоб це зробити, треба взяти число 9 і додати до нього одиницю, щоб вийшло 60. Ось і відповідь на питання, як округляти числа. А тепер розглянемо окремі випадки. Власне ми розібралися, як округлити число до десятків за допомогою цього прикладу. Тепер залишилося лише використовувати ці знання на практиці.

Як округлити число до цілих

Дуже часто трапляється так, що є необхідність округлити, наприклад, число 5,9. Ця процедура не становить великої праці. Потрібно для початку опустити кому, і перед нашим поглядом постає при округленні вже знайоме нам число 60. А тепер ставимо кому на місце, і отримуємо 6,0. А оскільки нулі в десяткових дробах зазвичай опускаються, то отримуємо в результаті цифру 6.

Аналогічну операцію можна робити з більш складними числами. Наприклад, як округлювати числа типу 5,49 до цілих? Тут все залежить від того, яку мету ви поставите перед собою. Взагалі, за правилами математики, 5,49 – це таки не 5,5. Тому округлити його у велику сторону не можна. Але можна його округлити до 5,5, після чого вже законним стає округлення до 6. Але такий прийом не завжди спрацьовує, так що потрібно бути гранично обережним.

У принципі, вище вже було розглянуто приклад правильного округлення числа до десятих, тому зараз важливо відобразити лише основний принцип. По суті, все відбувається приблизно так само. Якщо цифра, яка знаходиться на другій позиції після коми, знаходиться в межах 5-9, то вона взагалі забирається, а цифра, що стоїть перед нею, збільшується на один. Якщо ж менше 5, то ця цифра забирається, а попередня залишається на своєму місці.

Наприклад, при 4,59 до 4,6 цифра "9" йде, а до п'ятірки додається одиниця. А от при округленні 4,41 одиниця опускається, а четвірка залишається у незмінному вигляді.

Як використовують маркетологи невміння масового споживача округляти цифри?

Виявляється, більшість людей у ​​світі немає звички оцінити реальну вартість товару, що активно експлуатують маркетологи. Усі знають слогани акцій типу "Купуйте всього за 9,99". Так, ми свідомо розуміємо, що це вже насправді десять доларів. Тим не менш, наш мозок влаштований так, що сприймає тільки першу цифру. Так що нехитра операція приведення числа у зручний вигляд має увійти до звички.

Дуже часто округлення дозволяє краще оцінити проміжні успіхи, що виражаються у чисельній формі. Наприклад, людина стала заробляти 550 доларів на місяць. Оптиміст скаже, що це майже 600, песиміст - що це трохи більше 500. Начебто різниця є, але мозку приємніше "бачити", що об'єкт досяг чогось більшого (або навпаки).

Можна навести безліч прикладів, коли вміння округляти виявляється неймовірно корисним. Важливо виявляти винахідливість і по можливості завантажуватися непотрібною інформацією. Тоді успіх буде негайним.

Подивимося на прикладах, як округлити до десятих числа, використовуючи правила округлення.

Правило округлення числа до десятих.

Щоб округлити десятковий дріб до десятих, треба залишити після коми лише одну цифру, а решту наступних за нею цифр відкинути.

Якщо перша із відкинутих цифр 0, 1, 2, 3 чи 4, то попередню цифру не змінюємо.

Якщо перша із відкинутих цифр 5, 6, 7, 8 чи 9, то попередню цифру збільшуємо на одиницю.

Приклади.

Округлити до десятих числа:

Щоб округлити число до десятих, залишаємо після коми першу цифру, а решту відкидаємо. Так як перша відкинута цифра 5, попередню цифру збільшуємо на одиницю. Читають: «Двадцять три цілих сімдесят п'ять сотих приблизно двадцять три цілих вісім десятих».

Щоб округлити до десятих це число, залишаємо після коми лише першу цифру, решту — відкидаємо. Перша відкинута цифра 1, тому попередню цифру не змінюємо. Читають: «Триста сорок вісім цілих тридцять одна сота приблизно триста сорок одна ціла три десятих».

Округлюючи до десятих, залишаємо після коми одну цифру, а решту відкидаємо. Перша з відкинутих цифр – 6, отже, попередню збільшуємо на одиницю. Читають: «Сорок дев'ять цілих, дев'ятсот шістдесят дві тисячні приблизно дорівнює п'ятдесят цілих, нуль десятих».

Округлюємо до десятих, тому після коми залишаємо тільки першу з цифр, решту відкидаємо. Перша з відкинутих цифр — 4, тож попередню цифру залишаємо без змін. Читають: «Сім цілих двадцять вісім тисячних приблизно одно сім цілих нуль десятих».

Щоб округлити до десятих це число, після коми залишає одну цифру, а всі наступні за нею — відкидаємо. Так як перша відкинута цифра - 7, отже, до попередньої додаємо одиницю. Читають: «П'ятдесят шість цілих вісім тисяч сімсот шість десятитисячних приблизно дорівнює п'ятдесят шість цілих, дев'ять десятих».

І ще пара прикладів на округлення до десятих: