Найбільше в ек. практиці доводиться вживати середню арифметичну, яка може бути обчислена як середня арифметична проста та зважена.
Середня арифметична (СА)-нНайбільш поширений вид середніх. Вона застосовується в тих випадках, коли обсяг ознаки, що варіює, для всієї сукупності є сумою значень ознак окремих її одиниць. Для суспільних явищ характерна адитивність (сумарність) обсягів варіюючої ознаки, цим визначається сфера застосування СА і пояснюється її поширеність як узагальнюючого показника, напр: загальний фонд зарплатню – це сума зарплатню всіх працівників.
Щоб обчислити СА, необхідно суму всіх значень ознак розділити з їхньої число.СА примен-ся у 2 формах.
Розглянемо спочатку просту арифметичну середню.
1-СА проста (вихідна, визначальна форма) дорівнює простій сумі окремих значень середньої ознаки, поділеної на загальне число цих значень (застосовується коли є несгруповані інд. значення ознаки):
Зроблені обчислення можуть бути узагальнені в наступну формулу:
(1)
де 
- Середнє значення варіює ознаки, тобто середня арифметична проста;
означає підсумовування, тобто додавання окремих ознак;
x- окремі значення варіюючої ознаки, які називаються варіантами;
n - Число одиниць сукупності
Приклад1,потрібно знайти середнє вироблення одного робітника (слюсаря), якщо відомо, скільки деталей виготовив кожен із 15 робочих, тобто. дано ряд інд. значень ознаки, прим.: 21; 20; 20; 19; 21; 19; 18; 22; 19; 20; 21; 20; 18; 19; 20.
СА проста розраховується за формулою (1), шт.:
Приклад2. Розрахуємо СА на підставі умовних даних по 20 магазинах, що входять до торгової фірми (табл. 1). Таблиця 1
Розподіл магазинів торгової фірми "Весна" за площею, кв. М
|
№ магазину |
№ магазину | ||
Для обчислення середньої площі магазину ( 
) необхідно скласти площі всіх магазинів та отриманий результат розділити на число магазинів:
Т.ч., середня площа магазину за цією групою торгових підприємств складає 71 кв.
Отже, щоб визначити СА просту, потрібно суму всіх значень даної ознаки розділити на число одиниць, що мають цю ознаку.
2
де f 1
,
f 2
,
… ,f n
–
ваги (частоти повторення однакових ознак); – сума творів величини ознак їх частоти; - Загальна чисельність одиниць сукупності.
(2)
Де х- Варіанти;
f- Частота (вага).
СА зважена є окреме від поділу суми творів варіантів і відповідних їм частот у сумі всіх частот. Частоти ( f) що фігурують у формулі СА, прийнято називати вагами, внаслідок чого СА, обчислена з урахуванням ваг, і отримала назву виваженою.
Техніку обчислення зваженої СА проілюструємо на розглянутому вище прикладі 1. Для цього згрупуємо вихідні дані і помістимо їх в табл.
Середня із згрупованих даних визначається наступним чином: спочатку перемножують варіанти на частоти, потім складають твори та отриману суму ділять на суму частот.
За формулою (2) СА зважена дорівнює, шт.: 
П
Розподіл магазинів фірми "Весна" за торговельною площею, кв. м
Т.ч., результат вийшов той самий. Однак це вже буде середня величина арифметична зважена.
У попередньому прикладі ми обчислювали арифметичну середню за умови, що відомі абсолютні частоти (чисельність магазинів). Однак у ряді випадків абсолютні частоти відсутні, а відомі відносні частоти, або, як прийнято їх називати, частості, які показують частку абопитома вага частот у всій сукупності.
При розрахунках СА виваженим використання частотдозволяє спрощувати розрахунки, коли частота виражена великими, багатозначними числами. Розрахунок проводиться тим самим способом, однак, оскільки середня величина виявляється збільшеною в 100 разів, отриманий результат слід розділити на 100.
Тоді формула середньої арифметичної зваженої матиме вигляд:
де d- Частість, тобто. частка кожної частоти у загальній сумі всіх частот.
(3)У прикладі 2 спочатку визначають питому вагу магазинів за групами у кількості магазинів фірми " Весна " . Так, для першої групи питома вага відповідає 10% 
. Отримуємо такі дані Таблиця3
Що таке середнє арифметичне
Середнім арифметичним кількох величин є відношення суми цих величин до їхньої кількості.
Середнє арифметичне певного ряду чисел називається сума всіх цих чисел, поділена на кількість доданків. Таким чином, середнє арифметичне є середнім значенням числового ряду.
Чому дорівнює середнє арифметичне кількох чисел? А одно вони сумі цих чисел, яка поділена на кількість доданків у цій сумі.
Як знайти середнє арифметичне число
У обчисленні чи знаходженні середнього арифметичного кількох чисел немає нічого складного, достатньо скласти всі представлені числа, а отриману суму розділити на кількість доданків. Отриманий результат і буде середнім арифметичним цих чисел.
Розглянемо цей процес докладніше. Що ж нам потрібно зробити для обчислення середнього арифметичного та отримання кінцевого результату цього числа?
По-перше, для його обчислення потрібно визначити набір чисел чи їх кількість. У цей набір можуть входити великі і невеликі числа, і їх кількість може бути будь-яким.
По-друге, всі ці числа потрібно скласти та отримати їхню суму. Звичайно, якщо числа нескладні та їх невелика кількість, то обчислення можна зробити, записавши від руки. А якщо набір чисел вражаючий, то краще скористатися калькулятором або електронною таблицею.
І, по-четверте, отриману від складання суму необхідно поділити на кількість чисел. У результаті ми отримаємо результат, який буде середнім арифметичним числом цього ряду.
Для чого потрібне середнє арифметичне
Середнє арифметичне може стати в нагоді не тільки для вирішення прикладів і завдань на уроках математики, але для інших цілей, необхідних у повсякденному життілюдини. Такими цілями може бути підрахунок середнього арифметичного для розрахунку середньої витрати фінансів на місяць, або для підрахунку часу, який ви витрачаєте на дорогу, також для того, щоб дізнатися відвідуваність, продуктивність, швидкість руху, врожайність та багато іншого.
Так, наприклад, спробуємо розрахувати, скільки часу ви витрачаєте на дорогу до школи. Йдучи до школи або повертаючись, додому ви щоразу витрачаєте на дорогу різний частому що коли ви поспішаєте, то ви йдете швидше, і тому дорога займає менше часу. А ось, повертаючись, додому ви можете йти поспішаючи, спілкуючись із однокласниками, милуючись природою і тому часу на дорогу займе більше.
Тому точно визначити час, витрачений на дорогу у вас не вийти, але завдяки середньому арифметичному ви зможете приблизно дізнатися час, який ви витрачаєте на дорогу.
Припустимо, що в перший день після вихідних, ви витратили на шлях від дому до школи п'ятнадцять хвилин, на другий день ваш шлях зайняв двадцять хвилин, у середу ви пройшли відстань за двадцять п'ять хвилин, за такий же час склав ваш шлях і в четвер, а в п'ятницю ви нікуди не поспішали і поверталися цілу півгодини.
Давайте знайдемо середнє арифметичне, додавши час, за п'ять днів. Отже,
15 + 20 + 25 + 25 + 30 = 115
Тепер розділимо цю суму на кількість днів
Завдяки такому способу ви дізналися, що шлях від дому до школи приблизно витрачаєте двадцять три хвилини свого часу.
Домашнє завдання
1.Шляхом нехитрих обчислень знайдіть середню арифметичну кількість відвідуваності учнів вашого класу протягом тижня.
2. Знайдіть середнє арифметичне:
3. Розв'яжіть задачу:
При прагненні кількості елементів множини чисел стаціонарного випадкового процесу до нескінченності середнє арифметичне прагне математичного очікування випадкової величини.
Вступ
Позначимо безліч чисел X = (x 1 , x 2 , …, x n), тоді вибіркове середнє зазвичай позначається горизонтальною межею над змінною (, вимовляється « xз межею»).
Для позначення середнього арифметичного усієї сукупності чисел зазвичай використовується грецька буква μ. Для випадкової величини, для якої визначено середнє значення, μ є імовірнісне середнєчи математичне очікування випадкової величини. Якщо безліч Xє сукупністю випадкових чисел з імовірнісним середнім μ, тоді для будь-якої вибірки x iіз цієї сукупності μ = E( x i) є математичне очікування цієї вибірки.
На практиці різниця між μ та x ¯ (\displaystyle (\bar(x)))в тому, що μ є типовою змінною, тому що бачити якнайшвидше вибірку, а не всю генеральну сукупність . Тому, якщо вибірку подавати випадковим чином (у термінах теорії ймовірностей), тоді x ¯ (\displaystyle (\bar(x)))(але не μ) можна трактувати як випадкову змінну , що має розподіл ймовірностей на вибірці (імовірнісний розподіл середнього).
Обидві ці величини обчислюються тим самим способом:
x = 1 n ∑ i = 1 n x i = 1 n (x 1 + ⋯ + x n) . (\displaystyle (\bar (x))=(\frac (1)(n))\sum _(i=1)^(n)x_(i)=(\frac (1)(n))(x_ (1)+cdots +x_(n)).)Приклади
- Для трьох чисел необхідно скласти їх і поділити на 3:
- Для чотирьох чисел необхідно скласти їх і поділити на 4:
Безперервна випадкова величина
Якщо існує інтеграл від певної функції f(x) (\displaystyle f(x))однієї змінної, то середнє арифметичне цієї функції на відрізку [a; b] (\displaystyle)визначається через певний інтеграл:
f (x) ¯ [ a ; b ] = 1 b − a ∫ a b f (x) d x . (\displaystyle (\overline (f(x)))_()=(\frac (1)(b-a))\int _(a)^(b)f(x)dx.)Тут мається на увазі, що b > a. (\displaystyle b>a.)
Деякі проблеми застосування середнього
Відсутність боязкості
Хоча середнє арифметичне часто використовується як середні значення або центральні тенденції, це поняття не відноситься до робастної статистики, що означає, що середнє арифметичне піддається сильному впливу «великих відхилень». Примітно, що для розподілів з великим коефіцієнтом асиметрії середнє арифметичне може не відповідати поняттю «середнього», а значення середнього з робастної статистики (наприклад, медіана) краще описувати центральну тенденцію.
Класичним прикладом є підрахунок середнього прибутку. Арифметичне середнє може бути неправильно витлумачено як медіану, через що може бути зроблено висновок, що людей з більшим доходом більше, ніж насправді. "Середній" дохід тлумачиться таким чином, що доходи більшості людей знаходяться поблизу цього числа. Цей «середній» (себто середнього арифметичного) дохід є вищим, ніж доходи більшості людей, оскільки високий дохід з великим відхиленням від середнього робить сильний перекіс середнього арифметичного (на відміну від цього, середній дохід за медіаною «опирається» такому перекосу). Проте цей «середній» дохід нічого не говорить про кількість людей поблизу медіанного доходу (і не говорить нічого про кількість людей поблизу модального доходу). Проте, якщо легковажно поставитися до понять «середнього» і «більшість народу», можна зробити невірний висновок про те, що більшість людей мають доходи вищі, ніж вони є насправді. Наприклад, звіт про «середній» чистий доход у Медині, штат Вашингтон, підрахований як середнє арифметичне всіх щорічних чистих доходів жителів, дасть напрочуд велике числочерез Білла Гейтса. Розглянемо вибірку (1, 2, 2, 2, 3, 9). Середнє арифметичне дорівнює 3.17, але п'ять значень із шести нижче цього середнього.
Складний відсоток
Якщо числа перемножувати, а не складатипотрібно використовувати середнє геометричне , а не середнє арифметичне. Найчастіше цей казус трапляється з розрахунку окупності інвестицій у фінансах.
Наприклад, якщо акції першого року впали на 10 %, а другий рік зросли на 30 %, тоді некоректно обчислювати «середнє» збільшення ці два роки як середнє арифметичне (−10 % + 30 %) / 2 = 10 %; правильне середнє значення у разі дають сукупні щорічні темпи зростання, якими річне зростання виходить лише близько 8,16653826392 % ≈ 8,2 %.
Причина цього в тому, що відсотки мають щоразу нову стартову точку: 30% – це 30% від меншого, ніж ціна на початку першого року, числа:якщо акції спочатку коштували $30 і впали на 10 %, вони на початку другого року коштують $27. Якщо акції зросли на 30%, вони наприкінці другого року коштують $35.1. Арифметичне середнє цього зростання 10%, але оскільки акції зросли за 2 роки лише на $5.1, середнє зростання у 8,2% дає кінцевий результат $35.1:
[$30 (1 – 0.1) (1 + 0.3) = $30 (1 + 0.082) (1 + 0.082) = $35.1]. Якщо ж використовувати так само середнє арифметичне значення 10 %, ми отримаємо фактичне значення: [$30 (1 + 0.1) (1 + 0.1) = $36.3].
Складний відсоток наприкінці 2 року: 90% * 130% = 117%, тобто загальний приріст 17%, а середньорічний складний відсоток 117 % ≈ 108.2 % (\displaystyle (\sqrt (117\%))\approx 108.2\%)тобто середньорічний приріст 8,2 %.
Напрями
Основна стаття: Статистика напрямків
При розрахунку середнього арифметичних значеньдеякою змінною, що змінюється циклічно (наприклад, фаза або кут), слід виявляти особливу обережність. Наприклад, середнє чисел 1 і 359 дорівнюватиме 1 ∘ + 359 ∘ 2 = (\displaystyle (\frac (1^(\circ )+359^(\circ ))(2))=) 180 . Це число неправильне з двох причин.
Середнє значення для циклічної змінної, розраховане за наведеною формулою, буде штучно зрушено щодо справжнього середнього до середини числового діапазону. Через це середнє розраховується іншим способом, а саме, як середнє значення вибирається число з найменшою дисперсією (центральна точка). Також замість віднімання використовується модульна відстань (тобто відстань по колу). Наприклад, модульна відстань між 1° і 359° дорівнює 2°, а не 358° (на колі між 359° і 360°==0° - один градус, між 0° та 1° - теж 1°, у сумі - 2° °).
Троє дітей пішли до лісу за ягодами. Старша дочка знайшла 18 ягід, середня – 15, а молодший брат – 3 ягоди (див. рис. 1). Принесли ягоди мамі, яка вирішила поділити ягоди порівну. Скільки ягід отримав кожен із дітей?
Мал. 1. Ілюстрація до завдання
Рішення
(яг.) – всього зібрали діти
2) Розділимо Загальна кількістьягід на кількість дітей:
(яг.) дісталося кожній дитині
Відповідь: кожна дитина отримає по 12 ягід
У задачі 1 отримане відповіді число - це середнє арифметичне.
Середнім арифметичнимкількох чисел називається частка від поділу суми цих чисел на їх кількість.
Приклад 1
Ми маємо два числа: 10 і 12. Знайти їхнє середнє арифметичне.
Рішення
1) Визначимо суму цих чисел: .
2) Кількість цих чисел дорівнює 2, отже, середнє арифметичне цих чисел дорівнює: .
Відповідь: середня арифметичне чисел 10 та 12 - це число 11.
Приклад 2
Ми маємо п'ять чисел: 1, 2, 3, 4 та 5. Знайти їх середнє арифметичне.
Рішення
1) Сума цих чисел дорівнює: .
2) За визначенням середнє арифметичне - це окреме від поділу суми чисел з їхньої кількість. Ми маємо п'ять чисел, тому середнє арифметичне дорівнює:
Відповідь: середнє арифметичне даних за умови чисел дорівнює 3.
Крім того, що його постійно пропонують знайти на уроках, знаходження середнього арифметичного дуже корисне і у повсякденному житті. Наприклад, припустимо, що ми хочемо поїхати на відпочинок до Греції. Для вибору відповідного одягу ми дивимося, яка температура в цій країні Наразі. Однак ми не дізнаємось про загальну картину погоди. Тому необхідно дізнатися температуру повітря в Греції, наприклад, за тиждень, і знайти середнє арифметичне цих температур.
Приклад 3
Температура у Греції за тиждень: понеділок – ; вівторок -; середовище -; четвер -; п'ятниця -; субота -; неділя - . Порахувати середню температуру протягом тижня.
Рішення
1) Обчислимо суму температур: .
2) Розділимо отриману суму кількість днів: .
Відповідь: середня температура протягом тижня близько .
Вміння знаходити середнє арифметичне також може знадобитися для визначення середнього віку гравців футбольної команди, тобто для того, щоб встановити, досвідчена команда чи ні. Необхідно підсумувати вік усіх гравців і поділити їх кількість.
Завдання 2
Купець продавав яблука. Спершу він продавав їх за ціною 85 рублів за 1 кг. Так він продав 12 кг. Потім він знизив ціну до 65 рублів і продав 4 кг яблук, що залишилися. Яка була Середня ціназа яблука?
Рішення
1) Порахуємо, скільки грошей заробив купець. 12 кілограм він продав за ціною 85 рублів за 1 кг: 
(Руб.).
4 кілограми він продав за ціною 65 рублів за 1 кг: (руб.).
Отже, загальна сума зароблених грошей дорівнює: (Руб.).
2) Загальна вага проданих яблук дорівнює: .
3) Розділимо отриману суму грошей на загальну вагу проданих яблук та отримаємо середню ціну за 1 кг яблук: (руб.).
Відповідь: середня ціна 1 кг проданих яблук - 80 рублів.
Середнє арифметичне допомагає оцінити дані загалом, не беручи кожне значення окремо.
Однак не завжди можна користуватися поняттям середнє арифметичне.
Приклад 4
Стрілець зробив два постріли по мішені (див. рис. 2): вперше він потрапив на метр вище мішені, а вдруге - на метр нижче. Середнє арифметичне покаже, що він потрапив точно в центр, хоча він промахнувся обидва рази.
Мал. 2. Ілюстрація наприклад
На цьому уроці ми познайомилися із поняттям середнє арифметичне. Ми дізналися визначення цього поняття, навчилися обчислювати середнє арифметичне кількох чисел. Також ми дізналися практичне застосуванняцього поняття.
- Н.Я. Віленкін. Математика: навч. для 5 кл. загальнообр. учр. - Вид. 17-те. - М.: Мнемозіна, 2005. )
- У Ігоря було із собою 45 рублів, у Андрія – 28, а у Дениса – 17.
- На всі свої гроші вони купили 3 квитки у кіно. Скільки коштував один квиток?
Loading...