У курсі шкільної арифметики всі математичні операції проводяться з речовими числами. Безліч цих чисел (або безперервне впорядковане поле) має ряд властивостей (аксіом): комутативність та асоціативність множення та додавання, існування нуля, одиниці, протилежного та зворотного елементів. Також аксіоми порядку та безперервності, що застосовуються для порівняльного аналізу, дозволяють визначити всі властивості речових чисел.
Оскільки розподіл є операцією, зворотної множення, при розподілі на нуль дійсних чисел неминуче виникнення двох нерозв'язних проблем. По-перше, перевірка результату поділу на нуль за допомогою множення не має числового виразу. Яким би числом не було приватне, якщо його помножити на нуль, ділити отримати неможливо. По-друге, у прикладі 0:0 відповіддю може служити будь-яке число, яке при перемноженні з дільником завжди звертається в нуль.
Поділ на нуль у вищій математиці
Перелічені труднощі поділу на нуль призвели до накладення табу на цю операцію, Крайній мірів рамках шкільного курсу. Однак у вищій математиці знаходять можливості обійти цю заборону.
Наприклад, за рахунок побудови іншої алгебраїчної структури, відмінної від знайомої всім числової прямої. Прикладом такої структури є колесо. Тут існують свої закони та правила. Зокрема, поділ не прив'язаний до множення та перетворюється з бінарної операції (з двома аргументами) на унарну (з одним аргументом), позначається символом /х.
Розширення поля дійсних чисел відбувається за рахунок введення гіперреальних чисел, яке охоплює нескінченно великі та нескінченно малі величини. Такий підхід дозволяє розглядати термін «нескінченність» як кілька. Причому це число при розширенні числової прямої втрачає свій знак, перетворюючись на ідеалізовану точку, що з'єднує два кінці цієї прямої. Такий підхід можна порівняти з лінією зміни дат, коли при переході між двома часовими поясами UTC+12 і UTC-12 можна опинитися в наступного дняабо ж у попередньому. При цьому стає вірним твердження х/0=∞ для будь-яких х≠0.
Щоб усунути невизначеність 0/0, для колеса вводиться новий елемент ⏊=0/0. При цьому в даній структурі алгебри є свої нюанси: 0·х≠0; х-х≠0 в загальному випадку. Також х·/х≠1, оскільки розподіл та множення більше не вважаються зворотними операціями. Але ці особливості колеса добре пояснюються за допомогою тотожностей дистрибутивного закону, що діє в такій структурі алгебри дещо інакше. Більш детальні роз'яснення можна знайти у спеціалізованій літературі.
Алгебра, до якої всі звикли, є, по суті, окремим випадком. складних системнаприклад, того ж колеса. Як бачимо, ділити на нуль у вищій математиці можна. Для цього потрібно вийти за межі звичних уявлень про числа, алгебраїчні операції та закони, яким вони підкоряються. Хоча це цілком природний процес, що супроводжує пошук нових знань.
Кажуть, можна поділити на нуль, якщо визначити результат поділу на нуль. Просто потрібно розширити алгебру. За дивним збігом обставин знайти хоч якийсь, а краще зрозумілий і простий приклад такого розширення не вдається. Щоб виправити інтернет потрібна або демонстрація одного зі способів такого розширення, або чому це неможливо.
Стаття написана протягом тренду:
Disclaimer
Мета цієї статті - пояснити « людською мовою», як працюють фундаментальні засади математики, структурувати знання та відновити втрачені причинно-наслідкові зв'язки між розділами математики. Усі міркування є філософськими, у частині суджень розходяться із загальноприйнятими (отже, не претендує на математичну суворість). Стаття розрахована на рівень читача «здав вежу багато років тому».Розуміння принципів арифметики, елементарної, загальної та лінійної алгебри, математичного та нестандартного аналізу, теорії множин, загальної топології, проективної та афінної геометрії – бажано, але не обов'язково.
У ході експериментів жодна нескінченність не постраждала.
Пролог
Вихід «за межі» - це природний процес пошуку нових знань. Але не всякий пошук приносить нове знання і, отже, користь.1. Взагалі вже всі поділили до нас!
1.1 Афінне розширення числової прямої
Почнемо з того, з чого починають, напевно, всі шукачі пригод при розподілі на нуль. Згадаймо графік функції
.
Ліворуч і праворуч від нуля функція йде в різні сторони"Небуття". В самому нулі взагалі "вир" і нічого не видно.
Замість того, щоб кидатися в «вир» з головою, подивимося, що туди втікає і що звідти витікає. Для цього скористаємося межею - основним інструментом математичного аналізу. Основна "фішка" в тому, що межа дозволяє йти до заданої точки так близько, як це можливо, але не "наступити на неї". Така собі "огорожка" перед "вирою".
Оригінал
Добре, «огорожу» поставили. Вже не таке страшно. У нас є два шляхи до «виру». Зайдемо ліворуч – крутий спуск, праворуч – крутий підйом. Скільки до "огорожі" не йди, ближче вона не стає. Перетнути нижнє і верхнє «небуття» ніяк не виходить. Виникають підозри, може, ми йдемо по колу? Хоча ні, числа змінюються, значить не по колу. Піраємося в скриньці з інструментами математичного аналізу ще. Крім меж з «огорожею» в комплекті йде позитивна і негативна нескінченність. Величини абсолютно абстрактні (не є числами), добре формалізовані та готові до вживання! Це нам личить. Доповнимо наше «буття» (безліч речових чисел) двома нескінченностями зі знаком.
Математичним мовою:
Саме це розширення дозволяє брати межу при аргументі, що прагне до нескінченності і отримати нескінченність як результат взяття межі.Є два розділи математики, які описують одне і теж використовуючи різну термінологію.
Підсумуємо:
У сухому залишку. Старі підходи перестали працювати. Складність системи, як купи “якщо”, “для всіх, крім” тощо, зросла. У нас було лише дві невизначеності 1/0 та 0/0 (ми не розглядали статечні операції), стало п'ять. Розкриття однієї невизначеності породило ще більше невизначеностей.
1.2 Колесо
На запровадженні беззнакової нескінченності все не зупинилося. Щоб вибратися з невизначеностей потрібно друге дихання.Отже, у нас є безліч дійсних чисел та дві невизначеності 1/0 та 0/0. Для усунення першої ми виконали проективне розширення числової прямої (тобто запровадили беззнакову нескінченність). Спробуємо розібратися із другою невизначеністю виду 0/0. Зробимо аналогічно. Доповнимо безліч чисел новим елементом, що представляє другу невизначеність.
Визначення операції розподілу ґрунтується на множенні. Це нам не підходить. Відв'яжемо операції один від одного, але збережемо звичну поведінку для дійсних чисел. Визначимо унарну операцію поділу, що позначається знаком "/".
Довизначимо операції.
Ця структура називається "Колесом" (Wheel). Термін був узятий через схожість з топологічною картинкою проективного розширення числової прямої та точки 0/0.
Начебто все непогано виглядає, але диявол криється в деталях:
Щоб устаканити всі особливості, додатково до розширення безлічі елементів додається бонус у вигляді не одного, а двох тотожностей, що описують дистрибутивний закон.
Математичним мовою:З погляду загальної алгебри ми оперували полем. А в полі, як відомо, визначено лише дві операції (складання та множення). Поняття розподілу виводиться через зворотні, і якщо ще глибше, то поодинокі елементи. Внесені зміни перетворюють нашу алгебраїчну систему в моноід як по операції додавання (з нулем як нейтральний елемент), так і по операції множення (з одиницею як нейтральний елемент).У працях першовідкривачів не завжди використовуються символи ∞ та ⊥. Натомість можна зустріти запис у вигляді /0 і 0/0.
Світ уже не такий прекрасний, чи не так? Все ж таки не варто поспішати. Перевіримо, чи впораються нові тотожності дистрибутивного закону з нашим розширеним безліччю.
Цього разу результат набагато кращий.Підсумуємо:
У сухому залишку. Алгебра працює чудово. Однак за основу було взято поняття «не визначене», яке стали вважати чимось існуючим та оперувати ним. Одного разу хто-небудь скаже, що все погано і потрібно розбити це «не визначено» ще на кілька "не визначено", але дрібніше. Загальна алгебра скаже: "Без проблем, Бро!"
Приблизно так постульовані додаткові (j і k) уявні одиниці в кватерніонах. Додати мітки
Євген Ширяєв, викладач та керівник Лабораторії математики Політехнічного музею, розповів АіФ.ru про поділ на нуль:
1. Юрисдикція питання
Погодьтеся, особливу провокаційність правилу надає заборона. Як це не можна? Хто заборонив? А як же наші громадянські права?
Ні конституція РФ, ні Кримінальний кодекс, ні навіть статут вашої школи не заперечують проти інтелектуальної дії, що цікавить нас. Отже, заборона не має юридичної сили, і ніщо не заважає прямо тут, на сторінках АіФ.ru, спробувати щось поділити на нуль. Наприклад, тисячу.
2. Розділимо, як вчили
Згадайте, коли ви тільки дізналися, як ділити, перші приклади вирішували з перевіркою множенням: результат, помножений на дільник, мав збігтися зробленим. Не збігся — не вирішили.
приклад 1. 1000: 0 =...
Забудемо на хвилину про заборонене правило і зробимо кілька спроб відгадати відповідь.
Неправильні відсіче перевірка. Перебирайте варіанти: 100, 1, −23, 17, 0, 10 000. Для кожного з них перевірка дасть той самий результат:
100 · 0 = 1 · 0 = − 23 · 0 = 17 · 0 = 0 · 0 = 10 000 · 0 = 0
Нуль множенням все перетворює на себе і ніколи на тисячу. Висновок сформулювати нескладно: жодна кількість не пройде перевірку. Т. е. жодне число не може бути результатом розподілу ненульового числа на нуль. Такий поділ не заборонено, а просто не має результату.
3. Нюанс
Ледве не прогавили одну можливість спростувати заборону. Так, ми визнаємо, що ненульове число не розділиться на 0. Але, може, сам 0 зможе?
приклад 2. 0: 0 = ...
Ваші пропозиції для приватного? 100? Будь ласка: приватна 100, помножена на дільник 0, дорівнює ділимому 0.
Ще варіанти! 1? Теж підходить. І -23, і 17, і все-все-все. У цьому прикладі перевірка на результат буде позитивною для будь-якого числа. І чесно, рішенням у цьому прикладі треба називати не число, а безліч чисел. Усіх. А так недовго домовитися і до того, що Аліса це не Аліса, а Мері-Енн, а обидві — сон кролика.
4. Що там про вищу математику?
Проблема вирішена, нюанси враховані, точки розставлені, все прояснилося — відповіддю для прикладу з розподілом на нуль не може бути жодне число. Такі завдання вирішувати - справа безнадійна і неможлива. А значить… цікаве! Дубль два.
приклад 3. Придумати, як поділити 1000 на 0.
А ніяк. Зате 1000 можна легко ділити на інші числа. Ну, давайте хоча б робити, що виходить, хай навіть змінивши поставлене завдання. А там, дивишся, захопимося, і відповідь сама собою з'явиться. Забуваємо на хвилину про нуль і ділимо на сто:
Сотня далека від нуля. Зробимо крок до нього, зменшивши дільник:
1000: 25 = 40,
1000: 20 = 50,
1000: 10 = 100,
1000: 8 = 125,
1000: 5 = 200,
1000: 4 = 250,
1000: 2 = 500,
1000: 1 = 1000.
Очевидна динаміка: що ближче дільник до нуля, то більше приватна. Тенденцію можна спостерігати і далі, переходячи до дробів і продовжуючи зменшувати чисельник:
Залишилося зауважити, що до нуля ми можемо підійти як завгодно близько, роблячи приватне скільки завгодно великим.
У цьому процесі немає нуля та немає останнього приватного. Ми позначили рух до них, замінивши число на послідовність, що сходить до числа, що нас цікавить:
При цьому мається на увазі аналогічна заміна і для ділимого:
1000 ↔ { 1000, 1000, 1000,... }
Стрілки недаремно поставлені двосторонніми: деякі послідовності можуть сходитися до чисел. Тоді ми можемо поставити у відповідність послідовності її числову межу.
Подивимося на послідовність приватних:
Вона росте необмежено, не прагнучи ні до якого числа і перевершуючи будь-яке. Математики додають до числа символ ∞ щоб мати можливість поряд з такою послідовністю поставити двосторонню стрілку:
Зіставлення числам послідовностей, що мають межу, дозволяє запропонувати рішення до третього прикладу:
При поелементному розподілі послідовності, що сходить до 1000, на послідовність з позитивних чисел, що сходить до 0, отримаємо послідовність, що сходить до ∞.
5. І тут нюанс із двома нулями
Що буде результатом поділу двох послідовностей позитивних чисел, що сходяться на нуль? Якщо вони однакові, то тотожна одиниця. Якщо до нуля швидше сходиться послідовність-ділене, то в приватному послідовність нульовою межею. А коли елементи дільника зменшуються набагато швидше, ніж у діленого, послідовність приватного сильно зростатиме:
Невизначена ситуація. І так і називається: невизначеність виду 0/0 . Коли математики бачать послідовності, відповідні таку невизначеність, де вони кидаються ділити два однакових числа друг на друга, а розуміються, яка з послідовностей швидше біжить до нуля як саме. І в кожному прикладі буде своя конкретна відповідь!
6. У житті
Закон Ома пов'язує силу струму, напругу та опір у ланцюгу. Часто його записують у такій формі:
Дозволимо собі знехтувати акуратним фізичним розумінням та формально подивимося на праву частину як на приватне двох чисел. Уявімо, що вирішуємо шкільне завдання з електрики. В умові дано напругу у вольтах та опір в омах. Питання очевидне, рішення в одну дію.
А тепер заглянемо у визначення надпровідності: це властивість деяких металів мати нульовий електричний опір.
Ну що, вирішимо завдання для надпровідного ланцюга? Просто так підставити R = 0 не вийде, фізика підкидає цікаве завдання, за якою, очевидно, стоїть наукове відкриття. І люди, які зуміли поділити на нуль у цій ситуації, отримали Нобелівську премію. Будь-які заборони корисно вміти оминати!
Кажуть, можна поділити на нуль, якщо визначити результат поділу на нуль. Просто потрібно розширити алгебру. За дивним збігом обставин знайти хоч якийсь, а краще зрозумілий і простий приклад такого розширення не вдається. Щоб виправити інтернет потрібна або демонстрація одного зі способів такого розширення, або чому це неможливо.
Стаття написана протягом тренду:
Disclaimer
Мета цієї статті - пояснити «людською мовою», як працюють фундаментальні засади математики, структурувати знання та відновити втрачені причинно-наслідкові зв'язки між розділами математики. Усі міркування є філософськими, у частині суджень розходяться із загальноприйнятими (отже, не претендує на математичну суворість). Стаття розрахована на рівень читача «здав вежу багато років тому».Розуміння принципів арифметики, елементарної, загальної та лінійної алгебри, математичного та нестандартного аналізу, теорії множин, загальної топології, проективної та афінної геометрії – бажано, але не обов'язково.
У ході експериментів жодна нескінченність не постраждала.
Пролог
Вихід «за межі» - це природний процес пошуку нових знань. Але не всякий пошук приносить нове знання і, отже, користь.1. Взагалі вже всі поділили до нас!
1.1 Афінне розширення числової прямої
Почнемо з того, з чого починають, напевно, всі шукачі пригод при розподілі на нуль. Згадаймо графік функції.
Ліворуч і праворуч від нуля функція йде в різні боки «небуття». В самому нулі взагалі "вир" і нічого не видно.
Замість того, щоб кидатися в «вир» з головою, подивимося, що туди втікає і що звідти витікає. Для цього скористаємося межею - основним інструментом математичного аналізу. Основна "фішка" в тому, що межа дозволяє йти до заданої точки так близько, як це можливо, але не "наступити на неї". Така собі "огорожка" перед "вирою".
Оригінал
Добре, «огорожу» поставили. Вже не таке страшно. У нас є два шляхи до «виру». Зайдемо ліворуч – крутий спуск, праворуч – крутий підйом. Скільки до "огорожі" не йди, ближче вона не стає. Перетнути нижнє і верхнє «небуття» ніяк не виходить. Виникають підозри, може, ми йдемо по колу? Хоча ні, числа змінюються, значить не по колу. Піраємося в скриньці з інструментами математичного аналізу ще. Крім меж з «огорожею» в комплекті йде позитивна і негативна нескінченність. Величини абсолютно абстрактні (не є числами), добре формалізовані та готові до вживання! Це нам личить. Доповнимо наше «буття» (безліч речових чисел) двома нескінченностями зі знаком.
Математичним мовою:
Саме це розширення дозволяє брати межу при аргументі, що прагне до нескінченності і отримати нескінченність як результат взяття межі.Є два розділи математики, які описують одне і теж використовуючи різну термінологію.
Підсумуємо:
У сухому залишку. Старі підходи перестали працювати. Складність системи, як купи “якщо”, “для всіх, крім” тощо, зросла. У нас було лише дві невизначеності 1/0 та 0/0 (ми не розглядали статечні операції), стало п'ять. Розкриття однієї невизначеності породило ще більше невизначеностей.
1.2 Колесо
На запровадженні беззнакової нескінченності все не зупинилося. Щоб вибратися з невизначеностей потрібно друге дихання.Отже, у нас є безліч дійсних чисел та дві невизначеності 1/0 та 0/0. Для усунення першої ми виконали проективне розширення числової прямої (тобто запровадили беззнакову нескінченність). Спробуємо розібратися із другою невизначеністю виду 0/0. Зробимо аналогічно. Доповнимо безліч чисел новим елементом, що представляє другу невизначеність.
Визначення операції розподілу ґрунтується на множенні. Це нам не підходить. Відв'яжемо операції один від одного, але збережемо звичну поведінку для дійсних чисел. Визначимо унарну операцію поділу, що позначається знаком "/".
Довизначимо операції.
Ця структура називається "Колесом" (Wheel). Термін був узятий через схожість з топологічною картинкою проективного розширення числової прямої та точки 0/0.
Начебто все непогано виглядає, але диявол криється в деталях:
Щоб устаканити всі особливості, додатково до розширення безлічі елементів додається бонус у вигляді не одного, а двох тотожностей, що описують дистрибутивний закон.
Математичним мовою:З погляду загальної алгебри ми оперували полем. А в полі, як відомо, визначено лише дві операції (складання та множення). Поняття розподілу виводиться через зворотні, і якщо ще глибше, то поодинокі елементи. Внесені зміни перетворюють нашу алгебраїчну систему в моноід як по операції додавання (з нулем як нейтральний елемент), так і по операції множення (з одиницею як нейтральний елемент).У працях першовідкривачів не завжди використовуються символи ∞ та ⊥. Натомість можна зустріти запис у вигляді /0 і 0/0.
Світ уже не такий прекрасний, чи не так? Все ж таки не варто поспішати. Перевіримо, чи впораються нові тотожності дистрибутивного закону з нашим розширеним безліччю
Цього разу результат набагато кращий.Підсумуємо:
У сухому залишку. Алгебра працює чудово. Однак за основу було взято поняття «не визначене», яке стали вважати чимось існуючим та оперувати ним. Одного разу хто-небудь скаже, що все погано і потрібно розбити це «не визначено» ще на кілька "не визначено", але дрібніше. Загальна алгебра скаже: "Без проблем, Бро!"
Приблизно так постульовані додаткові (j і k) уявні одиниці в кватерніонах. Додати мітки
- Tutorial
Моя трирічна донька Софія у Останнім часомЧасто згадує «нуль», наприклад, у такому контексті:
- Соня, ось ти начебто спочатку не послухалася, а потім послухалася, що ж виходить?
- Ну… нуль!
Тобто. відчуття негативних чиселі нейтральності нуля вже має, як. Незабаром поцікавиться: чому це на нуль ділити не можна?
І ось вирішив я простими словамизаписати все, що я ще пам'ятаю про поділ на нуль і таке інше.
Поділ взагалі краще один раз побачити, ніж сто разів почути.
Ну, або один поділити на ікс раз побачити…
Тут відразу видно, що нуль - це центр життя, всесвіту та всього такого. Відповіддю на головне питанняпро все це нехай собі буде 42, а ось центр - по-любому 0. У нього навіть знака немає, ні плюс (послухалася), ні мінус (не послухалася), він таки реально нуль. І в поросятах розуміється.
Тому що якщо будь-яке порося помножити на нуль, то порося засмоктує в цю круглу чорну дірку, і виходить знову нуль. Не такий вже цей нуль і нейтральний, коли справа від складання-віднімання доходить до множення, не кажучи вже про розподіл… Там якщо нуль зверху «0/x» - то знову Чорна діра. Все поїдає у нуль. А от якщо при розподілі, та ще й знизу – «x/0», то починається… йди за білим кроликом, Соня!
У школі тобі скажуть "на нуль ділити не можна" і не почервоніють. На доказ тицьнуть на калькуляторі "1/0=" і звичайний калькулятор, теж не почервонівши, напише "E", "Error", мовляв, "не можна - значить не можна". Хоча що там у тебе вважатиметься звичайним калькулятором – ще питання. Мені ось зараз, 2014-го, стандартний калькулятор на телефоні-андроїді пише зовсім інше:
Нічого собі нескінченність. Ковзи собі поглядом, кола нарізай. Тобі й не можна. Виявляється, можна. Якщо обережно. Тому що не обережно мій Android поки що теж не згоден: «0/0=Error», знову не можна. Спробуємо ще раз: "-1/0 = -∞", про як. Цікава думка, але я з нею не згоден. Як і з «0/0=Error».
До речі, JavaScript, який живить нинішні сайти, теж не згоден із калькулятором андроїда: зайди в консоль браузера (ще F12?) та напиши там: "0/0" (введення). JS тобі відповість: "NaN". Це не помилка. Це "Not a Number" - тобто. якась штука така, але не число. При тому, що «1/0» JS теж розуміє як «Infinity». Це вже ближче. Але поки що тільки тепло…
В університеті – найвища математика. Там межі, полюси та інше шаманство. І все ускладнюється, ускладнюється, ходять навкруги, але тільки б не порушувати кришталеві закони математики. А от якщо не намагатися вписати розподіл на нуль у ці існуючі закони, то можна відчути цю фантастику – на пальцях.
Для цього подивимося ще раз на поділ:
Стеж за правою лінією, справа наліво. Чим ближче до нуля ікс, тим сильніше злітає вгору розділене на ікс. І десь там у хмарах «плюс нескінченність». Вона завжди далі, як обрій, її не наздоженеш.
А тепер стеж за лівою лінією, зліва направо. Та сама історія, тільки тепер розділене відлітає вниз, нескінченно вниз, в мінус нескінченність. Звідси й думка, що "1/0=+∞", а "-1/0 = 1/-0 = -∞".
Але фокус у тому, що «0 = -0», не має нуля знака, якщо не ускладнювати з межами. І ось якщо поділити одиницю на такий «простий» нуль без знака, то чи не логічно припустити, що вийде і нескінченність – «просто» нескінченність, без знака, як нуль. Де вона – зверху чи знизу? Вона скрізь – нескінченно далеко від нуля у всіх напрямках. Це і є нуль, вивернутий навиворіт. Нуль - немає нічого. Нескінченність – є все. І позитивне, і негативне. Взагалі, все. І відразу. Абсолют.
Але там щось було про "0/0", щось інше, не нескінченність... Зробимо такий трюк: "2*0=0", ага, скаже вчителька у школі. Ще: "3 * 0 = 0" - знову ага. І трохи наплювавши на «на нуль ділити не можна», мовляв, весь світ і так потихеньку ділить, отримаємо: «2=0/0» та «3=0/0». У якому там класі це відбуваються, тільки без нуля, звісно.
Хвилинку, виходить "2 = 0/0 = 3", "2 = 3"?! Саме тому й бояться, саме тому й «не можна». Страшніше "1/0" тільки "0/0", його навіть калькулятор андроїда боїться.
А ми не боїмося! Тому що ми маємо силу математики уяви. Ми можемо уявити себе нескінченним Абсолютом десь там у зірках, подивитися звідти на грішний світ кінцевих чисел і людей і зрозуміти, що з цього погляду вони однакові. І «2» з «3», і навіть «-1», і училка у школі, можливо, теж.
Так от, я скромно припускаю, що 0/0 – це весь кінцевий світ, точніше все, що й не нескінченно, і не порожнеча.
Ось як виглядає нуль, поділений на ікс, у моїх фантазіях, далеких від офіційної математики. Насправді схоже на 1/х, тільки перегин над одиниці, а нулі. До речі, у 2/x перегин у двійці, а у 0.5/x – у 0.5.
Виходить, 0/x при x=0 набуває всіх кінцевих значень - не нескінченності, не порожнечі. Там у графіку дірочка в нулі, осі проглядають.
Можна звісно заперечити, що «0*0 = 0», отже нуль (порожнеча) теж потрапляє у категорію 0/0. Ледве забігу вперед - там будуть ступеня нуля і це заперечення розлетиться в уламки.
Упс, одиниця в нескінченності теж може бути теж записана як 0/0, вийде (0/0)/0 - нескінченність. Ось тепер порядок, все можна виразити співвідношенням нулів.
Наприклад, якщо до нескінченності додати кінцеве, то нескінченність поглине кінцеве, залишиться нескінченністю:
1/0 + 0/0 = (1+0)/0 = 1/0.
А якщо нескінченність помножити на порожнечу, то вони поглинають один одного, і виходить кінцевий світ:
1/0 * 0 = (1*0)/0 = 0/0.
Але це лише перший рівень сновидінь. Можна копати глибше.
Якщо ти вже знаєш поняття «ступінь числа», і що «1/x = x^-1», то, подумавши, зможеш перейти від усіх цих поділів і дужок (на кшталт (0/0)/0) просто до ступенів:
1/0 = 0^-1
0/0 = 0^0
0 = 0^1
Підказка.
Тут із нескінченністю та порожнечею все просто, як у школі. А кінцевий світ переходить до ступенів ось так:
0/0
= (0*1)/0
= 0*(1/0)
= 0 * 1/0
= 0^1 * 0^-1
= 0^(1 + -1)
= 0^(1-1)
= 0^0.
Уфф!
Виходить, що позитивні ступені нуля – це нулі, негативні ступенінуля – це нескінченності, а нульовий ступінь нуля – це кінцевий світ.
Такий виходить універсальний об'єкт «0^x». Такі об'єкти чудово між собою взаємодіють, знов-таки багатьом законам підкоряються краса загалом.
Моїх скромних знань математики вистачило, щоб намалювати з них абелеву групу, яка, будучи ізольованою у вакуумі («просто абстрактні об'єкти, така форма запису, на кшталт експоненти»), навіть витримала перевірку найкрутішим викладом по матані з вердиктом «цікаво, але нічого не вийде ». Ще б тут щось вийшло, це ж табуйована тема - розподіл на нуль. Загалом, не грузься.
Спробуємо краще просто помножити нескінченність на кінцеве число:
0^-1 * 0^0 = 0^(-1 + 0) = 0^-1.
Знову ж таки, нескінченність поглинула кінцеве число так само, як і її антипід нуль поглинає кінцеві числа, та ж чорна діра:
0^1 * 0^0 = 0^(1 + 0) = 0^1.
А ще виявляється, що ступеня - це як сила. Тобто. нуль другого ступеня сильніший за нуль звичайного (першого ступеня, 0^1). І нескінченність мінус другого ступеня сильніша за нескінченність звичайної (0^-1).
А коли порожнеча стикається з абсолютом, вони міряються силою – у кого більше, той і переможе:
0^1 * 0^-2 = 0^(1 + -2) = 0^-1 = ∞.
0^2 * 0^-1 = 0^(2 + -1) = 0^1 = 0.
Якщо вони рівні силами, то анігілюються і залишається кінцевий світ:
0^1 * 0^-1 = 0^(1 + -1) = 0^0.
До речі, офіційна математика вже поряд. Її представники знають про «полюси» і що у полюсів різна сила (порядок), а також про «нуль порядку k». Але вони все тупцюють на міцній поверхні «поруч із» і бояться стрибнути в чорну нору дірку.
І останній для мене – третій рівень сновидінь. Ось, наприклад, всі ці 0^-1 і 0^-2 - нескінченності різної сили. Або 0 1, 0 2 - нулі різної сили. Але ж і "-1" і "-2" і "+1" і "+2" - це все - 0/0, що дорівнює 0^0, вже проходили. Виходить, що з цього рівня сновидінь вже все одно взагалі що це - нулі, нескінченності, і навіть кінцевий світ туди при деякому просвітленні потрапляє. В одну точку. В одну категорію. Називається це щастя – Сингулярність.
Треба визнати, що поза станом просвітлення однієї точки я не спостерігаю, але одну категорію - об'єднання «0^0 U 0^(0^0)» - цілком.
Яку з цього можна винести користь? Адже навіть трохи менш божевільні «уявні числа», що теж рвуть калькулятори в Error = √-1, і ті змогли стати офіційною математикою і тепер спрощують розрахунки сталеваріння.
Як листя на дереві здалеку здається однаковим, але якщо розглянути його уважніше - вони всі різні. А якщо замислитись, то знову однакові. І мало чим відрізняються від тебе чи мене. Точніше, взагалі нічим не відрізняються, якщо міцно замислитися.
Користь тут у вмінні і фокусуватися на відмінностях і абстрагуватися. Це дуже корисно і в роботі, і в житті, і навіть у відношенні до смерті.
Ось такі подорожі в кролячу нору, Соня!
Loading...