Трикутник - це така геометрична фігура, яка складається з трьох прямих, що з'єднуються в точках, що не лежать на одній прямій. Точки з'єднання прямих – це вершини трикутника, які позначаються латинськими літерами(наприклад, A, B, C). Прямі трикутники, що з'єднуються, називаються відрізками, які також прийнято позначати латинськими літерами. Розрізняють такі типи трикутників:

• Прямокутний.
• Тупокутний.
• Гострокутний.
• Різнобічний.
• Рівносторонній.
• Рівностегновий.

Загальні формули для обчислення площі трикутника

Формула площі трикутника по довжині та висоті

S = a * h / 2,
де а – це довжина сторони трикутника, площу якого потрібно знайти, h-довжина проведеної до основи висоти.

Формула Герону

S=√р*(р-а)*(р-b)*(p-c),
де √-це квадратний корінь, p-напівпериметр трикутника, a, b, c – це довжина кожної сторони трикутника. Напівпериметр трикутника можна обчислити за формулою p=(a+b+c)/2.

Формула площі трикутника за величиною кута та довжиною відрізка

S = (a*b*sin(α))/2,
де b,c -цедовжина сторін трикутника, sin(α) - синус кута між двома сторонами.

Формула площі трикутника по радіусу вписаного кола та трьом сторонам

S=p*r,
де p-це напівпериметр трикутника, площу якого потрібно знайти, r-радіус вписаної в цей трикутник кола.

Формула площі трикутника по трьох сторонах і радіусу описаного навколо нього кола

S = (a * b * c) / 4 * R,
де a,b,c-це величина довжини кожної сторони трикутника, R-радіус описаної навколо трикутника кола.

Формула площі трикутника за декартовими координатами точок

Декартові координати точок - це координати в системі xOy, де x-це абсциса, y-ордината. Декартовою системою координат xOy на площині називають взаємно перпендикулярні числові осі Oх і Oy із загальним початком відліку в точці О. Якщо задані координати точок на цій площині у вигляді A(x1, y1), B(x2, y2) та C(x3, y3) ), то можна обчислити площу трикутника за такою формулою, яка отримана з векторного добутку двох векторів.
S = | (x1 - x3) (y2 - y3) - (x2 - x3) (y1 - y3) |
де || позначає модуль.

Як знайти площу прямокутного трикутника

Прямокутний трикутник – це трикутник, у якого один кут становить 90 градусів. Такий кут трикутника може бути лише один.

Формула площі прямокутного трикутника за двома катетами

S = a * b / 2,
де a, b – це довжина катетів. Катетами називаються сторони, що належать до прямого кута.

Формула площі прямокутного трикутника з гіпотенузи та гострого кута

S = a * b * sin (α) / 2,
де a, b – це катети трикутника, а sin(α) – це синус кута, в якому перетинаються прямі a, b.

Формула площі прямокутного трикутника по катету та протилежному куту

S = a*b/2*tg(β),
де a, b – це катети трикутника, tg(β) – це тангенс кута, де з'єднуються катети a, b.

Як обчислити площу рівнобедреного трикутника

Рівностегновим називається такий трикутник, який має дві рівні сторони. Ці сторони називаються бічними, а інша сторона є основою. Для обчислення площі рівнобедреного трикутника можна використовувати одну з таких формул.

Основна формула для обчислення площі рівнобедреного трикутника

S=h*c/2,
де с - це основа трикутника, h-це висота трикутника, опущеного до основи.

Формула рівнобедреного трикутника збоку та основи

S=(c/2)* √(a*a – c*c/4),
де с - основа трикутника, a- величина однієї з бічних сторін рівнобедреного трикутника.

Як знайти площу рівностороннього трикутника

Рівносторонній трикутник – це трикутник, у якого всі сторони рівні. Для обчислення площі рівностороннього трикутникаможна використовувати таку формулу:
S = (√3 * a * a) / 4,
де a-це довжина сторони рівностороннього трикутника.

Наведені вище формули дозволять обчислити потрібну площу трикутника. Важливо пам'ятати, що для обчислення помилки трикутників потрібно враховувати тип трикутника та доступні дані, які можна використовувати для обчислення.

Інструкція

Сторониі кути вважаються основними елементами а. Трикутник повністю визначається будь-яким з таких основних елементів: або трьома сторонами, або однією стороною і двома кутами, або двома сторонами і кутом між ними. Для існування трикутника, що задається трьома сторонами a, b, c, необхідно і достатньо виконання нерівностей, які називають нерівностями трикутника:
a+b > c,
a+c > b,
b+c > a.

Для побудови трикутникапо трьох сторонах a, b, c, необхідно з точки С відрізка СВ=a як провести циркулем окружність радіусом b. Потім аналогічним чином провести з точки B коло радіусом рівним боці c. Точка їх перетину A – третя вершина шуканого трикутника ABC, де АВ = c, CB = a, CA = b - сторони трикутника. Завдання має , якщо сторони a, b, c, задовольняють нерівності трикутникавказаним у кроці 1.

Площа S, побудованого таким чином трикутника ABC з відомими сторонами a, b, c обчислюється за формулою Герона:
S = v (p (p-a) (p-b) (p-c)),
де a, b, c – сторони трикутника, p – напівпериметр.
p = (a+b+c)/2

Якщо трикутник є рівностороннім, тобто всі його сторони дорівнюють (a=b=c). трикутникаобчислюється за такою формулою:
S=(a^2 v3)/4

Якщо трикутник є прямокутним, тобто один із його кутів дорівнює 90°, а сторони, що його утворюють, катетами, третя сторона гіпотенузою. У даному випадку площадорівнює добутку катетів, поділеному на два.
S=ab/2

Щоб знайти площа трикутникаможна скористатися однією з численних формул. Формулу вибирайте залежно від того, які відомості вже відомі.

Вам знадобиться

• знання формул для знаходження площі трикутника

Інструкція

Якщо ви знаєте величину однієї зі сторін і величину висоти, опущеної на цю сторону з протилежного їй кута, то можна знайти площу за наступною: S = a * h/2, де S - площа трикутника, a - одна зі сторін трикутника, а h - Висота, до сторони a.

Існує відома для визначення площі трикутника, якщо відомі три сторони. Вона є формулою Герона. Для спрощення її запису вводять проміжну величину - напівпериметр: p = (a+b+c)/2 де a, b, c - . Тоді формула Герона наступним чином: S = (p(p-a)(p-b)(p-c))^½, зведення в ступінь.

Припустимо, що вам відома одна із сторін трикутника та три кути. Тоді легко знайти площу трикутника: S = a²sinα sinγ / (2sinβ), де β - кут, що протилежить стороні a, а α і γ - прилеглі до сторони кути.

Відео на тему

Зверніть увагу

Сама загальна формула, Що підходить для всіх випадків - це формула Герона.

Джерела:

Порада 3: Як знайти по трьох сторонах площу трикутника

Пошук площі трикутника – одне з найпоширеніших завдань шкільної планіметрії. Знання трьох сторін трикутника достатньо визначення площі будь-якого трикутника. У окремих випадках і рівностороннього трикутників достатньо знати довжини двох і однієї сторони відповідно.

Вам знадобиться

• довжини сторін трикутників, формула Герона, теорема косінусів

Інструкція

Формула Герона для площі трикутника наступним чином: S = sqrt(p(p-a)(p-b)(p-c)). Якщо розписати напівпериметр p, то вийде: S = sqrt(((a+b+c)/2)((b+c-a)/2)((a+c-b)/2)((a+b-c)/2) ) = (sqrt((a+b+c)(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)))/4.

Можна вивести формулу площі трикутника і з міркувань, наприклад, застосувавши теорему косінусів.

За теоремою косінусів AC^2 = (AB^2)+(BC^2)-2*AB*BC*cos(ABC). Використовуючи введені позначення, ці також можна у вигляді: b^2 = (a^2)+(c^2)-2a*c*cos(ABC). Звідси, cos(ABC) = ((a^2)+(c^2)-(b^2))/(2*a*c)

Площа трикутника знаходиться також за формулою S = a*c*sin(ABC)/2 через дві сторони та кут між ними. Синус кута ABC можна виразити через його за допомогою основного тригонометричного тотожності: sin(ABC) = sqrt(1-((cos(ABC))^2) Підставляючи синус у формулу для площі та розписуючи його, можна прийти до формули для площі трикутника ABC.

Відео на тему

Для проведення ремонтних робіт необхідно виміряти площастін. Так простіше розрахувати потрібну кількість фарби або шпалер. Для вимірювань найкраще скористатися рулеткою чи сантиметровою стрічкою. Виміри слід проводити вже після того, як стінибули вирівняні.

Вам знадобиться

• -Рулетка;
• -драбинка.

Інструкція

Щоб порахувати площастін, вам необхідно знати точну висоту стель, а також виміряти довжину по підлозі. Робиться це так: візьміть сантиметр, прокладіть його над плінтусом. Зазвичай сантиметра для всієї довжини не вистачає, тому закріпіть його в кутку, потім розмотайте максимальну довжину. У цій точці поставте позначку олівцем, запишіть отриманий результат і подальший вимір проводьте так само, починаючи з останньої точки виміру.

Стандартна стель у типових - 2 метри 80 сантиметрів, 3 метри та 3 метри 20 сантиметрів, залежно від будинку. Якщо будинок був побудований до 50-х років, то, швидше за все, реальна висота дещо нижча за вказану. Якщо ви обчислюєте площадля ремонтних робіт, то невеликий запас не зашкодить - рахуйте, виходячи зі стандарту. Якщо все ж таки необхідно знати реальну висоту - проведіть виміри. Принцип аналогічний виміру довжини, але потрібно драбини.

Перемножте отримані показники – це і є площавашої стіни. Щоправда, при фарбувальні роботи або для необхідно відняти площадверних та віконних отворів. Для цього прокладіть сантиметр уздовж отвору. Якщо йдеться про двері, які ви згодом збираєтеся міняти, то проводьте зі знятою дверною коробкою, враховуючи лише площабезпосередньо самого отвору. Площа вікна обчислюється за периметром його рами. Після того як площавікна та дверного отвору вираховано, відніміть результат із загальної отриманої площі кімнати.

Врахуйте, що виміри довжини та ширини кімнати проводити удвох, так легше зафіксувати сантиметр або рулетку і, відповідно, отримати більше точний результат. Проводьте один і той же замір кілька разів, щоб переконатися в точності отриманих цифр.

Відео на тему

Знаходження обсягу трикутника справді нетривіальне завдання. Річ у тім, що трикутник – двомірна постать, тобто. він повністю лежить в одній площині, а це означає, що в нього просто немає обсягу. Зрозуміло, не можна знайти те, чого не існує. Але не опускатимемо руки! Можна прийняти таке припущення - об'єм двомірної фігури, це її площа. Площу трикутника ми й шукатимемо.

Вам знадобиться

• аркуш паперу, олівець, лінійка, калькулятор

Інструкція

Накресліть на аркуші паперу за допомогою лінійки та олівця. Уважно розглянувши трикутник, ви зможете переконатися, що у нього дійсно немає, оскільки він намальований на площині. Підпишіть сторони трикутника: нехай одна сторона буде стороною "а", інша стороною "b", і третя - стороною "c". Підпишіть вершини трикутника літерами "A", "B" та "C".

Виміряйте лінійкою будь-яку сторону трикутника і запишіть результат, що вийшов. Після цього відновіть перпендикуляр до виміряної сторони протилежної їй вершини, такий перпендикуляр буде висотою трикутника. У випадку, наведеному на малюнку, перпендикуляр "h" відновлено до сторони "c" з вершини "A". Виміряйте висоту лінійкою і запишіть результат вимірювання.

Може статися, що вам буде важко відновити точний перпендикуляр. У цьому випадку вам слід користуватися іншою формулою. Виміряйте всі сторони трикутника лінійкою. Після цього підрахуйте півпериметр трикутника "p", склавши довжини сторін, що вийшли, і розділивши їх суму навпіл. Маючи у своєму розпорядженні значення напівпериметра, ви можете за формулою Герона. Для цього необхідно витягти квадратний корінь з наступного: p(p-a)(p-b)(p-c).

Ви отримали потрібну величину площі трикутника. Завдання знаходження обсягу трикутника не вирішена, але як говорилося вище, обсягу не . Ви можете знайти об'єм , яка по суті трикутником у тривимірному світі. Якщо уявити, що наш первісний трикутник став тривимірною пірамідою, то обсяг такої піраміди буде добутком довжини її основи на отриману нами площу трикутника.

Зверніть увагу

Підрахунки будуть тим точнішими, чим ретельніше ви проводитимете вимірювання

Джерела:

• Калькулятор "Все у всі" - портал за довідковими величинами
• обсяг трикутника у 2019

Три точки, що однозначно визначають трикутник у Декартовій системі координат - це його вершини. Знаючи їх положення щодо кожної з координатних осей можна обчислити будь-які параметри цієї плоскої фігури, включаючи обмежувану її периметром. площа. Це можна зробити кількома способами.

Інструкція

Використовуйте формулу Герона для розрахунку площі трикутника. У ній задіяні розміри трьох сторін фігури, тому обчислення починайте з . Довжина кожної сторони повинна дорівнювати кореню із суми квадратів довжин її проекцій на координатні осі. Якщо позначити координати A(X₁,Y₁,Z₁), B(X₂,Y₂,Z₂) та C(X₃,Y₃,Z₃), довжини їх сторін можна виразити так: AB = √((X₁-X₂)² + (Y₁ -Y₂)² + (Z₁-Z₂)²), BC = √((X₂-X₃)² + (Y₂-Y₃)² + (Z₂-Z₃)²), AC = √((X₁-X₃)² + (Y₁-Y₃)² + (Z₁-Z₃)²).

Для спрощення розрахунків введіть додаткову змінну - напівпериметр (Р). З , що це половина суми довжин всіх сторін: Р = ½*(AB+BC+AC) = ½*(√((X₁-X₂)² + (Y₁-Y₂)² + (Z₁-Z₂)²) + √ ((X₂-X₃)² + (Y₂-Y₃)² + (Z₂-Z₃)²) + √((X₁-X₃)² + (Y₁-Y₃)² + (Z₁-Z₃)²).

Трикутник – добре знайома всім постать. І це, незважаючи на багате розмаїття його форм. Прямокутний, рівносторонній, гострокутний, рівнобедрений, тупокутний. Кожен із них чимось відрізняється. Але для кожного потрібно дізнаватися площу трикутника.

Загальні для всіх трикутників формули, в яких використовуються довжини сторін або висот

Позначення, прийняті в них: сторони - а, в, с; висоти на відповідні сторони н а, н в, н с.

1. Площа трикутника обчислюється, як добуток, сторони і висоти, опущеної на неї. S = ½ * а * н а. Аналогічно слід записати формули для двох інших сторін.

2. Формула Герона, у якій фігурує напівпериметр (його прийнято позначати маленькою літерою р, на відміну повного периметра). Напівпериметр необхідно порахувати так: скласти всі сторони і розділити їх на 2. Формула напівпериметра: р = (а + в + с) / 2. Тоді рівність для площі фігури виглядає так: S = √ (р * (р - а) * ( р - в) * (р - с)).

3. Якщо не хочеться використовувати напівпериметр, то стане в нагоді така формула, в якій присутні тільки довжини сторін: S = ¼ * √ ((а + в + с) * (в + с - а) * (а + с - в) * (а + в – с)). Вона трохи довша за попередню, але виручить, якщо забулося, як знаходити напівпериметр.

Загальні формули, у яких фігурують кути трикутника

Позначення, які потрібні для прочитання формул: α, β, γ – кути. Вони лежать навпроти сторони, в, з, відповідно.

1. По ній половина добутку двох сторін та синуса кута між ними дорівнює площі трикутника. Тобто: S = ½ а * в * sin γ. Подібним чиномслід записати формули двох інших випадків.

2. Площа трикутника можна обчислити по одній стороні та трьох відомих кутах. S = (а 2 * sin β * sin γ) / (2 sin α).

3. Існує ще формула з однією відомою стороною та двома прилеглими до неї кутами. Вона виглядає таким чином: S = з 2/(2 (ctg α + ctg β)).

Дві останні формули є не найпростішими. Запам'ятати їх досить складно.

Загальні формули для ситуації, коли відомі радіуси вписаних чи описаних кіл

Додаткові позначення: r, R – радіуси. Перший використовується для радіусу вписаного кола. Другий – для описаної.

1. Перша формула, за якою обчислюється площа трикутника, пов'язана із напівпериметром. S = р*r. Інакше її можна записати так: S = ½ r * (а + + с).

2. У другому випадку потрібно перемножити всі сторони трикутника і розділити їх на чотиризначний радіус описаного кола. У буквеному виразі це виглядає так: S = (а * в * с) / (4R).

3. Третя ситуація дозволяє обійтися без знання сторін, але знадобляться значення всіх трьох кутів. S = 2 R 2 * sin α * sin β * sin γ.

Частковий випадок: прямокутний трикутник

Це найпростіша ситуація, оскільки потрібне знання лише довжини обох катетів. Вони позначаються латинськими літерами а і в. Площа прямокутного трикутникадорівнює половині площі добудованого щодо нього прямокутника.

Математично це має такий вигляд: S = ½ а * в. Вона запам'ятовується найпростіше. Тому що виглядає як формула для площі прямокутника, тільки з'являється ще дріб, що означає половину.

Частковий випадок: рівнобедрений трикутник

Оскільки в нього дві сторони рівні, деякі формули для його площі виглядають дещо спрощеними. Наприклад, формула Герона, за якою обчислюється площа рівнобедреного трикутника, набуває такого вигляду:

S = ½ в √((a + ½ в)*(a - ½ в)).

Якщо її перетворити, то вона стане коротшою. У такому разі формула Герона для рівнобедреного трикутника записується так:

S = ¼ в √ (4 * a 2 - b 2).

Дещо простіше, ніж для довільного трикутника, виглядає формула площі, якщо відомі бічні сторони та кут між ними. S = ½ a 2 * sin β.

Окремий випадок: рівносторонній трикутник

Зазвичай у завданнях про нього відома сторона або її можна дізнатися. Тоді формула, за якою знаходиться площа такого трикутника, виглядає так:

S = (а 2 √3)/4.

Завдання на знаходження площі, якщо трикутник зображений на папері.

Найпростішою є ситуація, коли прямокутний трикутник накреслено так, що його катети збігаються з лініями паперу. Тоді потрібно просто порахувати кількість клітин, що укладаються в катети. Потім перемножити їх і поділити на два.

Коли трикутник є гострокутним або тупокутним, його потрібно домалювати до прямокутника. Тоді в фігурі, що вийшла, буде 3 трикутники. Один - той, що дано в задачі. А два інші — допоміжні та прямокутні. Визначити площі двох останніх потрібно за описаним вище способом. Потім порахувати площу прямокутника і відняти від нього ті, що обчислені для допоміжних. Площу трикутника визначено.

Набагато складнішою є ситуація, в якій жодна зі сторін трикутника не збігається з лініями паперу. Тоді його потрібно вписати у прямокутник так, щоб вершини вихідної фігури лежали на його сторонах. В цьому випадку допоміжних прямокутних трикутників буде три.

Приклад завдання на формулу Герона

Умови. У деякого трикутника відомі сторони. Вони дорівнюють 3, 5 і 6 см. Необхідно дізнатися про його площу.

Тепер можна обчислювати площу трикутника за зазначеною вище формулою. Під квадратним коренем виявляється добуток чотирьох чисел: 7, 4, 2 і 1. Тобто площа дорівнює √(4 * 14) = 2 √(14).

Якщо не потрібна велика точність, то можна витягти квадратний корінь із 14. Він дорівнює 3,74. Тоді площа дорівнюватиме 7,48.

Відповідь. S = 2√14 см 2 або 7,48 см 2 .

Приклад задачі із прямокутним трикутником

Умови. Один катет прямокутного трикутника більший, ніж другий на 31 см. Потрібно дізнатися про їх довжину, якщо площа трикутника дорівнює 180 см 2 .
Рішення. Прийде вирішити систему з двох рівнянь. Перше пов'язане із площею. Друге — із ставленням катетів, яке дано у завданні.
180 = ½ а * в;

а = + 31.
Спочатку значення «а» слід підставити на перше рівняння. Вийде: 180 = ½ (в + 31) * ст. У ньому лише одна невідома величина, тому його легко вирішити. Після розкриття дужок виходить квадратне рівняння: в 2 + 31 в - 360 = 0. Воно дає два значення для "в": 9 і - 40. друге число не підходить як відповідь, так як довжина сторони трикутника не може бути негативною величиною.

Залишилося обчислити другий катет: додати до отриманого числа 31. Виходить 40. Це шукані завдання величини.

Відповідь. Катети трикутника дорівнюють 9 і 40 см.

Завдання на знаходження сторони через площу, бік та кут трикутника

Умови. Площа деякого трикутника 60 см2. Необхідно обчислити одну з сторін, якщо друга сторона дорівнює 15 см, а кут між ними дорівнює 30º.

Рішення. Виходячи з прийнятих позначень, шукана сторона "а", відома "в", заданий кут "γ". Тоді формулу площі можна переписати так:

60 = ½ а * 15 * sin 30 º. Тут синус 30 градусів дорівнює 0,5.

Після перетворень «а» виявляється рівним 60/(0,5*0,5*15). Тобто, 16.

Відповідь. Потрібна сторона дорівнює 16 см.

Завдання про квадрат, вписаний у прямокутний трикутник

Умови. Вершина квадрата зі стороною 24 см збігається із прямим кутом трикутника. Дві інші лежать на катетах. Третя належить гіпотенузі. Довжина одного з катетів дорівнює 42 см. Чому дорівнює площа прямокутного трикутника?

Рішення. Розглянемо два прямокутні трикутники. Перший - заданий у завданні. Другий – спирається на відомий катет вихідного трикутника. Вони подібні, тому що мають загальний кут та утворені паралельними прямими.

Тоді відносини їхніх катетів рівні. Катети меншого трикутника дорівнюють 24 см (сторона квадрата) і 18 см (заданий катет 42 см відняти сторону квадрата 24 см). Відповідні катети великого трикутника — 42 см та х см. Саме цей «х» потрібен для того, щоб обчислити площу трикутника.

18/42 = 24/х, тобто х = 24*42/18 = 56 (см).

Тоді площа дорівнює творам 56 і 42, поділеному на два, тобто 1176 см 2 .

Відповідь. Шукана площа дорівнює 1176 см 2 .

Площа трикутника - формули та приклади розв'язання задач

Нижче наведено формули знаходження площі довільного трикутникаякі підійдуть для знаходження площі будь-якого трикутника, незалежно від його властивостей, кутів чи розмірів. Формули представлені у вигляді картинки, тут же наведено пояснення щодо застосування або обґрунтування їх правильності. Також на окремому малюнку вказані відповідності літерних позначеньу формулах та графічних позначень на кресленні.

Примітка . Якщо ж трикутник має особливими властивостями(рівностегновий, прямокутний, рівносторонній), можна використовувати формули, наведені нижче, а також додатково спеціальні, вірні тільки для трикутників з цими властивостями, формули:

• Формули площі рівностороннього трикутника

Формули площі трикутника

Пояснення до формул:
a, b, c- Довжини сторін трикутника, площу якого ми хочемо знайти
r- радіус вписаного в трикутник кола
R- радіус описаного навколо трикутника кола
h- Висота трикутника, опущена на бік
p- Напівпериметр трикутника, 1/2 суми його сторін (периметра)
α - Кут, що протилежить стороні a трикутника
β - Кут, що протилежить стороні b трикутника
γ - кут, що протилежить стороні з трикутника
h a, h b , h c- висота трикутника, опущена на бік a, b, c

Зверніть увагу, що наведені позначення відповідають малюнку, що знаходиться вище, щоб при вирішенні реального завданняз геометрії Вам візуально було легше підставити в потрібні місцяформули правильні значення

• Площа трикутника дорівнює половині добутку висоти трикутника на довжину сторони, на яку ця висота опущена(Формула 1). Правильність цієї формули можна зрозуміти логічно. Висота, опущена на основу, розіб'є довільний трикутник на два прямокутні. Якщо добудувати кожен з них до прямокутника з розмірами b і h, то, очевидно, площа цих трикутників дорівнюватиме рівно половині площі прямокутника (Sпр = bh)
• Площа трикутника дорівнює половині твору двох його сторін на синус кута між ними(Формула 2) (див. приклад розв'язання задачі з використанням цієї формули нижче). Незважаючи на те, що вона здається несхожою на попередню, вона легко може бути перетворена в неї. Якщо з кута B опустити висоту на бік b, виявиться, що добуток сторони a на синус кута γ за властивостями синуса в прямокутному трикутнику дорівнює проведеній нами висоті трикутника, що й дасть нам попередню формулу
• Площа довільного трикутника може бути знайдена через твірполовини радіусу вписаного в нього кола на суму довжин усіх його сторін(Формула 3), простіше кажучи, потрібно напівпериметр трикутника помножити на радіус вписаного кола (так легше запам'ятати)
• Площу довільного трикутника можна знайти, розділивши добуток усіх його сторін на 4 радіуси описаного навколо нього кола (Формула 4)
• Формула 5 є знаходження площі трикутника через довжини його сторін і його напівпериметр (половину суми всіх його сторін)
• Формула Герону(6) - це подання тієї ж формули без використання поняття напівпериметра, тільки через довжини сторін
• Площа довільного трикутника дорівнює добутку квадрата сторони трикутника на синуси кутів, що прилягають до цієї сторони, поділеного на подвійний синус протилежного цій стороні кута (Формула 7)
• Площу довільного трикутника можна знайти як добуток двох квадратів описаного навколо нього кола на синуси кожного з його кутів. (Формула 8)
• Якщо відома довжина однієї сторони і величини двох кутів, що прилягають до неї, то площа трикутника може бути знайдена як квадрат цієї сторони, поділений на подвійну суму котангенсів цих кутів (Формула 9)
• Якщо відома лише довжина кожної з висот трикутника (Формула 10), то площа такого трикутника обернено пропорційна довжинам цих висот, як за Формулою Герону
• Формула 11 дозволяє обчислити площа трикутника за координатами його вершинякі задані у вигляді значень (x; y) для кожної з вершин. Зверніть увагу, що значення, що вийшло необхідно взяти по модулю, так як координати окремих (або навіть всіх) вершин можуть знаходитися в області негативних значень

Примітка. Далі наведено приклади розв'язання задач з геометрії на знаходження площі трикутника. Якщо Вам необхідно вирішити задачу геометрії, схожої на яку тут немає - пишіть про це у форумі. У рішеннях замість символу " квадратний корінь " може застосовуватися функція sqrt(), у якій sqrt - символ квадратного кореня, а дужках зазначено підкорене вираз.Іноді для простих підкорених виразів можна використовувати символ √

Завдання. Знайти площу по обидва боки та кут між ними

Сторони трикутника дорівнюють 5 і 6 см. Кут між ними становить 60 градусів. Знайдіть площу трикутника.

Рішення.

Для вирішення цього завдання використовуємо формулу номер два з теоретичної частини уроку.
Площа трикутника може бути знайдена через довжини двох сторін і синус кута між ними і дорівнюватиме
S=1/2 ab sin γ

Оскільки всі необхідні дані для вирішення (згідно з формулою) у нас є, нам залишається лише підставити значення з умови завдання до формули:
S = 1/2 * 5 * 6 * sin 60

У таблиці значень тригонометричних функцій знайдемо і підставимо вираз значення синуса 60 градусів. Він дорівнюватиме кореню з трьох на два.
S = 15 √3/2

Відповідь: 7,5 √3 (залежно від вимог викладача, ймовірно, можна залишити і 15 √3/2)

Завдання. Знайти площу рівностороннього трикутника

Знайти площу рівностороннього трикутника зі стороною 3см.

Рішення .

Площу трикутника можна знайти за формулою Герона:

S = 1/4 sqrt((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))

Оскільки a = b = c формула площі рівностороннього трикутника набуде вигляду:

S = √3/4*a 2

S = √3/4*3 2

Відповідь: 9 √3 / 4.

Завдання. Зміна площі при зміні довжини сторін

У скільки разів збільшиться площа трикутника, якщо сторони збільшити у 4 рази?

Рішення.

Оскільки розміри сторін трикутника нам невідомі, то для вирішення задачі вважатимемо, що довжини сторін відповідно дорівнюють довільним числам a, b, c. Тоді для того, щоб відповісти на запитання завдання, знайдемо площу даного трикутника, а потім знайдемо площу трикутника, сторони якого вчетверо більше. Співвідношення площ цих трикутників дасть нам відповідь завдання.

Далі наведемо текстове пояснення розв'язання задачі кроків. Однак, в самому кінці, це саме рішення наведено в більш зручному для сприйняття графічному вигляді. Охочі можуть відразу опуститися донизу рішення.

Для вирішення використовуємо формулу Герона (див. вище в теоретичній частині уроку). Виглядає вона так:

S = 1/4 sqrt((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))
(Див. перший рядок малюнка внизу)

Довжини сторін довільного трикутника задані змінними a, b, c.
Якщо сторони збільшити в 4 рази, то площа нового трикутника складає:

S 2 = 1/4 sqrt((4a + 4b + 4c)(4b + 4c - 4a)(4a + 4c - 4b)(4a + 4b -4c))
(Див. другий рядок на малюнку внизу)

Як видно, 4 - загальний множник, який можна винести за дужки з усіх чотирьох виразів загальним правиламматематики.
Тоді

S 2 = 1/4 sqrt(4 * 4 * 4 * 4 (a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c)) - на третьому рядку малюнка
S 2 = 1/4 sqrt(256 (a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c)) - четвертий рядок

З числа 256 чудово витягується квадратний корінь, тому винесемо його з-під кореня.
S 2 = 16 * 1/4 sqrt((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))
S 2 = 4 sqrt((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))
(Див. п'ятий рядок малюнка внизу)

Щоб відповісти на запитання, задане в задачі, нам достатньо розділити площу трикутника, що вийшов, на площу початкового.
Визначимо співвідношення площ, розділивши вирази один на одного і скоротивши дроб, що вийшов.

Трикутник – це одна з найпоширеніших геометричних фігур, з якою ми знайомимося вже в початковій школі. З питанням, як знайти площу трикутника, стикається кожен школяр під час уроків геометрії. Так, які ж особливості знаходження площі цієї фігури можна назвати? У цій статті ми розглянемо основні формули, необхідні виконання такого завдання, і навіть розберемо види трикутників.

Види трикутників

Знайти площу трикутника можна абсолютно різними способами, Тому що в геометрії виділяється не один вид фігур, що містять три кути. До таких видів належать:

• Тупокутний.
• Рівносторонній (правильний).
• Прямокутний трикутник.
• Рівностегновий.

Розглянемо докладніше кожен із існуючих типів трикутників.

Така геометрична фігура вважається найбільш поширеною під час вирішення геометричних завдань. Коли виникає необхідність накреслити будь-який трикутник, на допомогу приходить саме цей варіант.

У гострокутному трикутнику, як відомо за назвою, всі кути гострі й у сумі становлять 180°.

Такий трикутник також дуже поширений, проте зустрічається дещо рідше гострокутного. Наприклад, при вирішенні трикутників (тобто відомо кілька його сторін і кутів і потрібно знайти елементи, що залишилися) іноді потрібно визначити, є кут тупим чи ні. Косинус – це негативне число.

У величина одного з кутів перевищує 90°, тому два кути, що залишилися, можуть приймати маленькі значення (наприклад, 15° або зовсім 3°).

Щоб знайти площу трикутника даного типунеобхідно знати деякі нюанси, про які ми поговоримо далі.

Правильний та рівнобедрений трикутники

Правильним багатокутником називається фігура, що включає n кутів, у якої всі сторони і кути рівні. Таким є правильний трикутник. Оскільки сума всіх кутів трикутника становить 180°, кожен із трьох кутів дорівнює 60°.

Правильний трикутник завдяки його властивості також називають рівносторонньою фігурою.

Варто також відзначити, що в правильний трикутник можна вписати лише одне коло і біля нього можна описати лише одне коло, причому їх центри розташовані в одній точці.

Крім рівностороннього типу, можна також виділити рівнобедрений трикутник, який несильно від нього відрізняється. У такому трикутнику дві сторони та два кути рівні між собою, а третя сторона (до якої прилягають рівні кути) є основою.

На малюнку показано рівнобедрений трикутник DEF, кути D і F якого рівні, а DF є основою.

Прямокутний трикутник

Прямокутний трикутник названий так тому, що один із його кутів прямий, тобто дорівнює 90°. Інші два кути в сумі становлять 90°.

Найбільша сторона такого трикутника, що лежить проти кута в 90° є гіпотенузою, решта двох його сторін - це катети. Для цього типу трикутників застосовна теорема Піфагора:

Сума квадратів довжин катетів дорівнює квадрату довжини гіпотенузи.

На малюнку зображено прямокутний трикутник BAC з гіпотенузою AC та катетами AB та BC.

Щоб знайти площу трикутника з прямим кутом, потрібно знати числові значенняйого катетів.

Перейдемо до формул знаходження площі цієї фігури.

Основні формули знаходження площі

У геометрії можна виділити дві формули, які підходять для знаходження площі більшості видів трикутників, а саме для гострокутного, тупокутного, правильного та рівнобедреного трикутників. Розберемо кожну з них.

Збоку та висоті

Дана формула є універсальною для знаходження площі, яку ми розглядаємо фігури. Для цього достатньо знати довжину сторони та довжину проведеної до неї висоти. Сама формула (половина твору основи на висоту) виглядає так:

де A – сторона даного трикутника, а H – висота трикутника.

Наприклад, щоб знайти площу гострокутного трикутника ACB, потрібно помножити його сторону AB на висоту CD і розділити значення, що вийшло, на два.

Однак не завжди буває легко знайти площу трикутника у такий спосіб. Наприклад, щоб скористатися цією формулою для тупокутного трикутника необхідно продовжити одну з його сторін і тільки після цього провести до неї висоту.

Насправді ця формула застосовується частіше за інших.

По обидва боки і кут

Дана формула, як і попередня, підходить для більшості трикутників і за своїм змістом є наслідком формули знаходження площі по стороні і висоті трикутника. Тобто формулу, що розглядається, можна легко вивести з попередньої. Її формулювання виглядає так:

S = ½*sinO*A*B,

де A і B – це сторони трикутника, а O – кут між сторонами A та B.

Нагадаємо, що синус кута можна подивитися у спеціальній таблиці, названій на честь видатного радянського математика В. М. Брадіса.

А тепер перейдемо до інших формул, які підходять лише для виняткових видів трикутників.

Площа прямокутного трикутника

Крім універсальної формули, що включає необхідність проводити висоту в трикутнику, площа трикутника, що містить прямий кут, можна знайти по його катетах.

Так, площа трикутника, що містить прямий кут, - це половина твору його катетів, або:

де a та b - катети прямокутного трикутника.

Правильний трикутник

Цей видгеометричних фігур відрізняється тим, що його площу можна знайти при зазначеній величині лише однієї його сторони (оскільки всі сторони правильного трикутникарівні). Отже, зустрівшись із завданням «знайти площу трикутника, коли сторони рівні», потрібно скористатися такою формулою:

S = A 2 *√3/4,

де A – це сторона рівностороннього трикутника.

Формула Герону

Останній варіант для знаходження площі трикутника – це формула Герона. Для того, щоб нею скористатися, необхідно знати довжини трьох сторін фігури. Формула Герона виглядає так:

S = √p · (p - a) · (p - b) · (p - c),

де a, b і c – це сторони цього трикутника.

Іноді завдання дано: «площа правильного трикутника - знайти довжину його боку». В даному випадку потрібно скористатися вже відомою нам формулою знаходження площі правильного трикутника та вивести з неї значення сторони (або її квадрата):

A 2 = 4S/√3.

Екзаменаційні завдання

У завданнях ДПА з математики зустрічається безліч формул. Крім цього, досить часто необхідно знайти площу трикутника на папері.

В даному випадку найзручніше провести висоту до однієї зі сторін фігури, визначити по клітинах її довжину і скористатися універсальною формулоюдля знаходження площі:

Отже, після вивчення наведених у статті формул, у вас не виникнуть проблеми при знаходженні площі трикутника будь-якого виду.