Про те, що таке трикутник, квадрат, куб, розповідає нам наука геометрія. У сучасному світіїї вивчають у школах усі без винятку. Також наукою, яка вивчає те, що таке трикутник і які в нього властивості, є тригонометрія. Вона досліджує докладно всі явища, пов'язані з даними Про те, що таке трикутник, ми й поговоримо сьогодні у нашій статті. Нижче буде описано їх види, а також деякі теореми, пов'язані з ними.
Що таке трикутник? Визначення
Це плаский багатокутник. Кутів він має три, що зрозуміло з його назви. Також він має три сторони та три вершини, перші з них – це відрізки, другі – точки. Знаючи, чому рівні два кути, можна знайти третій, відібравши суму перших двох від числа 180.
Якими є трикутники?
Їх можна класифікувати за різними критеріями.
Насамперед вони діляться на гострокутні, тупокутні та прямокутні. Перші мають гострі кути, тобто такі, які рівні менш ніж 90 градусів. У тупокутних один із кутів — тупий, тобто такий, що дорівнює понад 90 градусів, решта двох — гострі. До гострокутних трикутників належать також і рівносторонні. У таких трикутників усі сторони та кути рівні. Всі вони дорівнюють 60 градусам, це можна легко обчислити, розділивши суму всіх кутів (180) на три.
Прямокутний трикутник
Неможливо не поговорити, що таке прямокутний трикутник.
У такої фігури один кут дорівнює 90 градусів (прямий), тобто дві його сторони розташовані перпендикулярно. Інші два кути є гострими. Вони можуть бути рівними, тоді він буде рівнобедреним. З прямокутним трикутником пов'язана теорема Піфагора. За її допомогою можна знайти третю сторону, знаючи дві перші. Згідно з цією теоремою, якщо додати квадрат одного катета до квадрата іншого, можна отримати квадрат гіпотенузи. Квадрат катета можна підрахувати, відібравши від квадрата гіпотенузи квадрат відомого катета. Говорячи про те, що таке трикутник, можна згадати і про рівнобедрене. Це такий, у якого дві зі сторін рівні, також рівні і два кути.
Що таке катет та гіпотенуза?
Катет - це одна зі сторін трикутника, які утворюють кут 90 градусів. Гіпотенуза - це сторона, що залишилася, яка розташована навпроти прямого кута. З нього на катет можна опустити перпендикуляр. Відношення прилеглого катета до гіпотенузи називається не інакше як косинус, а протилежного синус.
- у чому його особливості?
Він прямокутний. Його катети дорівнюють трьом і чотирьом, а гіпотенуза — п'яти. Якщо ви побачили, що катети даного трикутникарівні трьом і чотирьом, можете не сумніватися, що гіпотенуза дорівнюватиме п'яти. Також за таким принципом можна легко визначити, що катет дорівнюватиме трьом, якщо другий дорівнює чотирьом, а гіпотенуза - п'яти. Щоб довести дане твердженняможна застосувати теорему Піфагора. Якщо два катети дорівнюють 3 і 4, то 9 + 16 = 25, корінь з 25 - це 5, тобто гіпотенуза дорівнює 5. Також єгипетським трикутником називається прямокутний, сторони якого дорівнюють 6, 8 і 10; 9, 12 та 15 та іншим числам із співвідношенням 3:4:5.
Яким може бути трикутник?
Також трикутники можуть бути вписаними та описаними. Фігура, навколо якої описано коло, називається вписаною, всі її вершини є точками, що лежать на колі. Описаний трикутник - той, в який вписано коло. Усі його сторони стикаються з нею у певних точках.
Як знаходиться
Площа будь-якої фігури вимірюється у квадратних одиницях (кв. метрах, кв. міліметрах, кв. сантиметрах, кв. дециметрах і т. д.). Дану величину можна розрахувати різноманітними способами, залежно від виду трикутника. Площа будь-якої фігури з кутами можна знайти, якщо помножити її сторону на перпендикуляр, опущений на неї з протилежного кута, і розділивши цю цифру на два. Також можна знайти цю величину, якщо помножити дві сторони. Потім помножити це число на синус кута, розташованого між цими сторонами, і розділити це на два. Знаючи всі сторони трикутника, але не знаючи його кутів, можна знайти площу ще й іншим способом. Для цього необхідно знайти половину периметра. Потім по черзі відібрати від цього числа різні сторониі перемножити отримані чотири значення. Далі знайти з числа, що вийшло. Площу вписаного трикутника можна знайти, перемноживши всі сторони і розділивши отримане число яка описана навколо нього, помножений на чотири.
Площа описаного трикутника знаходиться таким чином: половину периметра множимо на радіус кола, яке в нього вписано. Якщо його площа можна знайти таким чином: сторону зводимо в квадрат, множимо отриману цифру на корінь з трьох, далі ділимо це число на чотири. Подібним чином можна обчислити висоту трикутника, у якого всі сторони рівні, для цього одну з них потрібно помножити на корінь із трьох, а потім розділити це число на два.
Теореми, пов'язані з трикутником
Основними теоремами, пов'язані з цією фігурою, є теорема Піфагора, описана вище, і косінусів. Друга (синусів) полягає в тому, що якщо розділити будь-яку сторону на синус протилежного їй кута, то можна отримати радіус кола, яке описано навколо нього, помножений на два. Третя (косінусів) полягає в тому, що, якщо від суми квадратів двох сторін відібрати їх же твір, помножений на два і на косинус кута, розташованого між ними, то вийде квадрат третьої сторони.
Трикутник Далі - що це?
Багато хто, зіткнувшись з цим поняттям, спочатку думає, що це якесь визначення в геометрії, але це зовсім не так. Трикутник Далі - це загальна назва трьох місць, які тісно пов'язані із життям знаменитого художника. «Вершинами» його є будинок, де Сальвадор Далі жив, замок, який він подарував своїй дружині, а також музей сюрреалістичних картин. Під час екскурсії цими місцями можна дізнатися багато найцікавіших фактівпро цього своєрідного креативного художника, відомого у всьому світі.
Найпростіший багатокутник, який вивчається у школі – це трикутник. Він зрозуміліший для учнів і зустрічає менше труднощів. Незважаючи на те, що існують різні види трикутників, у яких є особливі властивості.
Яка постать називається трикутником?
Утворена трьома точками та відрізками. Перші називаються вершинами, другі - сторонами. Причому всі три відрізки мають бути з'єднані, щоб між ними утворювалися кути. Звідси і назва фігури "трикутник".
Відмінності в назвах за кутами
Оскільки вони можуть бути гострими, тупими та прямими, то й види трикутників визначаються за цими назвами. Відповідно, груп таких постатей три.
- Перший. Якщо всі кути трикутника гострі, то він матиме назву гострокутного. Все логічно.
- Друга. Один із кутів тупий, отже трикутник тупокутний. Простіше нікуди.
- Третій. Є кут, що дорівнює 90 градусам, який називається прямим. Трикутник стає прямокутним.
Відмінності в назвах на всі боки
Залежно від особливостей сторін виділяють такі види трикутників:
загальний випадок - різнобічний, у якому всі сторони мають довільну довжину;
рівнобедрений, у двох сторін якого є однакові числові значення;
рівносторонній, довжини всіх сторін однакові.
Якщо задачі не вказано конкретний вид трикутника, потрібно креслити довільний. У якого всі кути гострі, а сторони мають різну довжину.
Властивості, загальні всім трикутників
- Якщо скласти всі кути трикутника, то вийде число 180º. І неважливо, якого він вигляду. Це правило діє завжди.
- Числове значення будь-якої сторони трикутника менше, ніж складені разом дві інші. При цьому вона ж більша, ніж їхня різниця.
- Кожен зовнішній кут має значення, яке виходить при складанні двох внутрішніх, не суміжних із ним. Причому він завжди більший, ніж суміжний із ним внутрішній.
- Навпроти меншої сторони трикутника завжди лежить найменший кут. І навпаки, якщо сторона велика, то й кут буде найбільшим.
Ці властивості справедливі завжди, які види трикутників не розглядалися в задачах. Всі інші випливають із конкретних особливостей.
Властивості рівнобедреного трикутника
- Кути, які прилягають до основи, рівні.
- Висота, яка проведена до основи, є також медіаною та бісектрисою.
- Висоти, медіани та бісектриси, які побудовані до бокових сторін трикутника, відповідно дорівнюють один одному.
Властивості рівностороннього трикутника
Якщо є така фігура, то будуть вірні всі властивості, описані трохи вище. Тому що рівносторонній завжди буде рівнобедреним. Але не навпаки, рівнобедрений трикутникне обов'язково буде рівнобічним.
- Усі його кути дорівнюють один одному і мають значення 60º.
- Будь-яка медіана рівностороннього трикутника є його висотою та бісектрисою. Причому всі вони рівні один одному. Для визначення їх значень існує формула, що складається з добутку на квадратний корінь із 3, поділеного на 2.
Властивості прямокутного трикутника
- Два гострі кути дають у сумі значення 90º.
- Довжина гіпотенузи завжди більша, ніж у будь-якого з катетів.
- Числове значення медіани, проведеної до гіпотенузи, дорівнює її половині.
- Цьому ж значення дорівнює катет, якщо він лежить навпроти кута в 30º.
- Висота, проведена з вершини зі значенням 90º, має певну математичну залежність від катетів: 1/н 2 = 1/а 2 + 1/в 2 . Тут: а, в – катети, н – висота.
Завдання з різними видами трикутників
№1. Дано рівнобедрений трикутник. Його периметр відомий і дорівнює 90 см. Потрібно впізнати його сторони. В якості додаткової умови: бічна сторона менша за основу в 1,2 рази.
Значення периметра безпосередньо залежить від величин, які потрібно знайти. Сума всіх трьох сторін і дасть 90 см. Тепер слід згадати ознаку трикутника, за яким він є рівнобедреним. Тобто дві сторони рівні. Можна скласти рівняння з двома невідомими: 2а + в = 90. Тут а – бічна сторона, в – основа.
Настала черга додаткової умови. Наслідуючи його, виходить друге рівняння: в = 1,2а. Можна виконати підстановку цього виразу перше. Вийде: 2а + 1,2а = 90. Після перетворень: 3,2а = 90. Звідси а = 28,125 (см). Тепер неважко дізнатися про основу. Найкраще це зробити з другої умови: = 1,2 * 28,125 = 33,75 (см).
Для перевірки можна скласти три значення: 28,125*2+33,75=90 (см). Все вірно.
Відповідь: сторони трикутника дорівнюють 28,125 см, 28,125 см, 33,75 см.
№2. Сторона рівностороннього трикутника дорівнює 12 см. Потрібно обчислити його висоту.
Рішення. Для пошуку відповіді достатньо повернутися на той момент, де були описані властивості трикутника. Так зазначено формулу для знаходження висоти, медіани та бісектриси рівностороннього трикутника.
н = а * √3/2, де н – висота, а – сторона.
Підстановка та обчислення дають такий результат: н = 6 √3 (см).
Цю формулу необов'язково запам'ятовувати. Досить, що висота ділить трикутник на два прямокутних. Причому вона виявляється катетом, а гіпотенуза в ньому це сторона вихідного, другий катет - половина відомої сторони. Тепер потрібно записати теорему Піфагора та вивести формулу для висоти.
Відповідь: висота дорівнює 6 √3 см.
№3. Дан МКР - трикутник, 90 градусів у якому становить кут К. Відомі сторони МР і КР, вони рівні відповідно 30 і 15 см. Потрібно дізнатися значення кута Р.
Рішення. Якщо зробити креслення, стає ясно, що МР — гіпотенуза. Причому вона вдвічі більша за катет КР. Знову слід звернутися до властивостей. Одне з них пов'язане з кутами. З нього зрозуміло, що кут КМР дорівнює 30 º. Значить шуканий кут Р дорівнюватиме 60º. Це випливає з іншої властивості, яка стверджує, що сума двох гострих кутів має дорівнювати 90 º.
Відповідь: кут Р дорівнює 60 º.
№4. Потрібно знайти всі кути рівнобедреного трикутника. Про нього відомо, що зовнішній кут від кута на підставі дорівнює 110º.
Рішення. Оскільки даний лише зовнішній кут, то цим і потрібно скористатися. Він утворює з внутрішнім кутом розгорнутий. Значить у сумі вони дадуть 180 º. Тобто кут при основі трикутника дорівнюватиме 70º. Так як він рівнобедрений, то другий кут має таке саме значення. Залишилося вирахувати третій кут. За якістю, загальною всім трикутників, сума кутів дорівнює 180º. Отже, третій визначиться як 180 º - 70 º - 70 º = 40 º.
Відповідь: кути дорівнюють 70º, 70º, 40º.
№5. Відомо, що в рівнобедреному трикутнику кут, що лежить навпроти основи, дорівнює 90º. На підставі зазначено крапку. Відрізок, що з'єднує її з прямим кутом, ділить його щодо 1 до 4. Потрібно дізнатися про всі кути меншого трикутника.
Рішення. Один із кутів можна визначити відразу. Оскільки трикутник прямокутний та рівнобедрений, то ті, що лежать біля його основи, будуть по 45º, тобто по 90º/2.
Другий із них допоможе знайти відоме в умові ставлення. Оскільки воно дорівнює 1 до 4, то частин, на які він ділиться, виходить всього 5. Значить, щоб дізнатися менший кут трикутника потрібно 90º/5 = 18º. Залишилось дізнатися третій. Для цього від 180º (суми всіх кутів трикутника) потрібно відняти 45º та 18º. Обчислення нескладні і вийде: 117º.
Розподіл трикутників на гострокутні, прямокутні та тупокутні. Класифікація за співвідношенням сторін поділяє трикутники на різнобічні, рівносторонні та рівнобедрені. Причому кожен трикутник одночасно належить до двох. Наприклад, він може бути прямокутним та різнобічним одночасно.
Визначаючи вигляд на кшталт кутів, дуже уважні. Тупокутним буде називатися такий трикутник, у якого один із кутів є , тобто становить понад 90 градусів. Прямокутний трикутник може бути обчислений за наявності одного прямого (рівного 90 градусів) кута. Однак, щоб класифікувати трикутник як гострокутний, вам потрібно буде переконатися, що всі три його кути гострі.
Визначаючи вигляд трикутниказа співвідношенням сторін, для початку вам доведеться дізнатися про довжину всіх трьох сторін. Однак, якщо за умовою довжини сторін вам не дано, допомогти вам зможуть кути. Різностороннім буде трикутник, всі три сторони якого мають різну довжину. Якщо довжини сторін невідомі, трикутник може бути класифікований як різнобічний у разі, якщо всі три його кути є різними. Різносторонній трикутникможе бути тупокутним, прямокутним та гострокутним.
Рівностегновим буде трикутник, дві з трьох сторін якого рівні між собою. Якщо довжини сторін вам не дано, орієнтуйтеся по двох рівних між собою кутах. Рівностегновий трикутник, як і різнобічний, може бути і тупокутним, і прямокутним і гострокутним.
Рівностороннім може бути лише такий трикутник, усі три сторони якого мають однакову довжину. Всі його кути також рівні між собою, і кожен з них дорівнює 60 градусам. Звідси ясно, що рівносторонні трикутники завжди є гострокутними.
Порада 2: Як визначити тупокутний і гострокутний трикутник
Найпростіший із багатокутників – це трикутник. Він утворюється за допомогою трьох точок, що лежать в одній площині, але не лежать на одній прямій, з'єднаних попарно відрізками. Тим не менш, трикутники бувають різних типів, а значить, мають різними властивостями.
Інструкція
Прийнято виділяти три типи: тупокутні, гострокутні та прямокутні. Це на кшталт кутів. Тупокутним називається трикутник, у якого один із кутів є тупим. Тупим називається кут, що має величину більше дев'яноста градусів, але менше ста вісімдесяти. Наприклад, у трикутнику ABC кут ABC дорівнює 65°, кут BCA дорівнює 95°, кут CAB дорівнює 20°. Кути ABC і CAB менші за 90°, але кут BCA більший, отже, трикутник тупокутний.
Гострокутним називається трикутник, у якого всі кути є гострими. Гострим називається кут, що має величину менше дев'яноста і більше за нуль градусів. Наприклад, у трикутнику ABC кут ABC дорівнює 60 °, кут BCA дорівнює 70 °, кут CAB дорівнює 50 °. Усі три кути менше 90°, отже трикутник . Якщо вам відомо, що у трикутника всі сторони рівні, це означає, що всі кути в нього теж рівні між собою, при цьому рівні шістдесят градусів. Відповідно, всі кути в такому трикутнику менше дев'яноста градусів, а отже такий трикутник є гострокутним.
Якщо в трикутнику один із кутів дорівнює дев'яноста градусам, це означає, що він не відноситься ні до ширококутного типу, ні до гострокутного. Це прямокутний трикутник.
Якщо вид трикутника визначатиме за співвідношенням сторін, вони будуть рівносторонні, різнобічні та рівнобедрені. У рівносторонньому трикутнику всі сторони рівні, а це, як ви з'ясували, говорить про те, що трикутник гострокутний. Якщо у трикутника рівні лише дві сторони або сторони не рівні між собою, він може бути тупокутним, і прямокутним, і гострокутним. Отже, в цих випадках необхідно обчислити або виміряти кути і робити висновки згідно з пунктами 1, 2 або 3.
Відео на тему
Джерела:
- тупокутний трикутник
Рівність двох або більше трикутників відповідає випадку, коли всі сторони та кути даних трикутників рівні. Однак існує ряд більш простих критеріїв для доказу цієї рівності.
Вам знадобиться
- Підручник з геометрії, аркуш паперу, простий олівець, транспортир, лінійка.
Інструкція
Відкрийте підручник із геометрії сьомого класу на параграфі про ознаки рівності трикутників. Ви побачите, що є ряд основних ознак, які доводять рівність двох трикутників. Якщо два трикутники, рівність яких перевіряється, є довільними, то для них існує три основні ознаки рівності. Якщо ж відома якась додаткова інформаціяпро трикутники, то основні три ознаки доповнюються ще кількома. Це стосується, наприклад, випадку рівності прямокутних трикутників.
Прочитайте перше правило про рівність трикутників. Як відомо, воно дозволяє вважати трикутники рівними, якщо можна довести, що один кут і дві прилеглі до нього сторони двох трикутників рівні. Для того, щоб зрозуміти, даний закон, накресліть на аркуші паперу за допомогою транспортира два однакові певні кути, утворені двома променями, що виходять з однієї точки. Відміряйте лінійкою однакові сторони від вершини намальованого кута обох випадках. Використовуючи транспортир, виміряйте величини отриманих кутів двох утворених трикутників, переконайтеся, що вони рівні.
Щоб не вдаватися до таких практичних заходів для розуміння ознаки рівності трикутників, прочитайте доказ першої ознаки рівності. Справа в тому, що кожне правило про рівність трикутників має суворий теоретичний доказ, просто його не зручно використовувати з метою запам'ятовування правил.
Прочитайте другу ознаку рівності трикутників. Він говорить, що два трикутники дорівнюють у тому випадку, якщо якась одна сторона і два прилеглі до неї кути двох таких трикутників рівні. Для того щоб запам'ятати це правило, уявіть намальовану сторону трикутника і два кути, що прилягають до неї. Уявіть, що довжина сторін кутів поступово збільшується. Зрештою, вони перетнуться, утворюючи третій кут. У цій думці важливим є те, що точка перетину сторін, які подумки збільшуються, а також отриманий кут однозначно визначаються третьою стороною і двома прилеглими до неї кутами.
Якщо вам не дано жодної інформації про кути досліджуваних трикутників, то використовуйте третю ознаку рівності трикутників. За цим правилом, два трикутники вважаються рівними, якщо всі три сторони одна з них дорівнює відповідним трьом сторонам іншого. Отже, це правило свідчить, що довжини сторін трикутника однозначно визначають все кути трикутника, отже, вони однозначно визначають і сам трикутник.
Відео на тему
Під час вивчення математики учні починаються знайомитися з різними видами геометричних фігур. Сьогодні мова піде про різних видахтрикутників.
Визначення
Геометричні фігури, які складаються з трьох точок, що не знаходяться на одній прямій, називаються трикутниками.
Відрізки, що з'єднують точки, називаються сторонами, а точки – вершинами. Вершини позначаються великими латинськими літераминаприклад, A, B, C.
Сторони позначаються назвами двох точок, у тому числі вони складаються – AB, BC, AC. Перетинаючи, сторони утворюють кути. Нижня сторона вважається основою постаті.
Мал. 1. Трикутник ABC.
Види трикутників
Трикутники класифікують по кутах та сторонам. Кожен із видів трикутника має свої властивості.
Існує три види трикутників по кутах:
- гострокутні;
- прямокутні;
- тупокутні.
Усі кути гострокутноготрикутника гострі, тобто градусний захід кожного становить трохи більше 90 0 .
Прямокутнийтрикутник містить прямий кут. Два інші кути завжди будуть гострими, тому що інакше сума кутів трикутника перевищить 180 градусів, а це неможливо. Сторона, яка знаходиться навпроти прямого кута, називається гіпотенузою, а дві інші катетами. Гіпотенуза завжди більша за катет.
Тупокутнийтрикутник містить тупий кут. Тобто кут, завбільшки більше 90 градусів. Два інші кути в такому трикутнику будуть гострими.
Мал. 2. Види трикутників за кутами.
Піфагоровим трикутником називається прямокутник, сторони якого дорівнюють 3, 4, 5.
Причому велика сторона є гіпотенузою.
Такі трикутники часто використовуються для складання простих задач у геометрії. Тому, запам'ятайте: якщо дві сторони трикутника дорівнюють 3, то третя обов'язково буде 5. Це спростить розрахунки.
Види трикутників на всі боки:
- рівносторонні;
- рівнобедрені;
- різнобічні.
РівностороннійТрикутник - це трикутник, у якого всі сторони рівні. Всі кути такого трикутника дорівнюють 600, тобто він завжди є гострокутним.
Рівностегновийтрикутник – трикутник, що має лише дві сторони рівні. Ці сторони називаються бічними, а третя – основою. Крім того, кути при основі рівнобедреного трикутника рівні і завжди є гострими.
Різностороннімабо довільним трикутником називається трикутник, у якого всі довжини та всі кути не рівні між собою.
Якщо задачі немає жодних уточнень з приводу фігури, прийнято вважати, що йдеться про довільному трикутнику.
Мал. 3. Види трикутників на всі боки.
Сума всіх кутів трикутника незалежно від його виду дорівнює 1800.
Навпроти більшого кута є велика сторона. А також довжина будь-якої сторони завжди менша від суми двох інших його сторін. Ці властивості підтверджуються теоремою про нерівність трикутника.
Існує поняття золотого трикутника. Це рівнобедрений трикутник, у якого дві бічні сторони пропорційні основі і дорівнюють певному числу. У такій фігурі кути пропорційні співвідношенню 2:2:1.
Завдання:
Чи існує трикутник, сторони якого дорівнюють 6 см., 3 см., 4 см.?
Рішення:
Для вирішення цього завдання потрібно використовувати нерівність a
Що ми дізналися?
З даного матеріалу з курсу математики 5 класу, ми довідалися, що трикутники класифікуються за сторонами та величиною кутів. Трикутники мають певні властивості, які можна використовувати під час вирішення завдань.
Loading...