Ірраціональне число- це дійсне число, яке не є раціональним , тобто не може бути представлене у вигляді дробу , де цілі числа , . Ірраціональне число може бути представлене у вигляді нескінченного неперіодичного десяткового дробу.
Безліч ірраціональних чисел зазвичай позначається великою латинською літерою в напівжирному накресленні без заливання. Отже: , тобто. безліч ірраціональних чисел є різниця множин речових та раціональних чисел.
Про існування ірраціональних чисел, точніше відрізків, несумірних з відрізком одиничної довжини, знали вже давні математики: їм була відома, наприклад, несумірність діагоналі та сторони квадрата, що рівносильне ірраціональності числа.
Властивості
- Будь-яке речове число може бути записане у вигляді нескінченного десяткового дробу, при цьому ірраціональні числа і тільки вони записуються неперіодичними нескінченними десятковими дробами.
- Ірраціональні числа визначають Дедекіндові перерізи у безлічі раціональних чисел, які у нижньому класі немає найбільшого, а верхньому немає найменшого числа.
- Кожне речовинне трансцендентне число є ірраціональним.
- Кожне ірраціональне число є або алгебраїчним або трансцендентним.
- Безліч ірраціональних чисел всюди щільно на числовій прямій: між будь-якими двома числами є ірраціональне число.
- Порядок на безлічі ірраціональних чисел ізоморфний порядку на безлічі речових трансцендентних чисел.
- Безліч ірраціональних чисел незліченна, є безліччю другої категорії.
Приклади
| Ірраціональні числа - ζ(3) - √2 - √3 - √5 - - - - - |
Ірраціональними є:
Приклади доказу ірраціональності
Корінь з 2
Допустимо неприємне: раціональний, тобто представляється у вигляді нескоротного дробу, де - ціле число, а - натуральне число. Зведемо передбачувану рівність у квадрат:
.Звідси випливає, що парно, отже, парно і . Нехай де ціле. Тоді
Отже, парно, отже, парно і . Ми отримали, як і парні, що суперечить нескоротності дробу . Отже, вихідне припущення було неправильним, і – ірраціональне число.
Двійковий логарифм числа 3
Допустимо неприємне: раціональний, тобто представляється у вигляді дробу, де і - цілі числа. Оскільки і можуть бути обрані позитивними. Тоді
Але парно, а непарно. Отримуємо протиріччя.
e
Історія
Концепція ірраціональних чисел була неявно сприйнята індійськими математиками в VII столітті до нашої ери, коли Манава (бл. 750 р. до н. е. - бл. 690 р. до н. е.) з'ясував, що квадратне коріння деяких натуральних чисел, таких як 2 та 61, не можуть бути явно виражені.
Перший доказ існування ірраціональних чисел зазвичай приписується Гіппасу з Метапонта (бл. 500 рр. до н. е.), піфагорійцеві, який знайшов цей доказ, вивчаючи довжини сторін пентаграми. За часів піфагорійців вважалося, що існує єдина одиниця довжини, досить мала і неподільна, яка ціле число разів входить у будь-який відрізок. Проте Гіппас доводив, що немає єдиної одиниці довжини, оскільки припущення про її існування призводить до суперечності. Він показав, що й гіпотенуза рівнобедреного прямокутного трикутника містить цілу кількість одиничних відрізків, це число має бути одночасно і парним, і непарним. Доказ виглядав так:
- Відношення довжини гіпотенузи до довжини катета рівнобедреного прямокутного трикутника може бути виражене як a:b, де aі bобрані найменшими із можливих.
- За теоремою Піфагора: a² = 2 b².
- Так як a² парне, aмає бути парним (оскільки квадрат непарного числа був би непарним).
- Оскільки a:bнескоротна, bмає бути непарним.
- Так як aпарне, позначимо a = 2y.
- Тоді a² = 4 y² = 2 b².
- b² = 2 y², отже b² парне, тоді і bпарно.
- Однак було доведено, що bнепарне. Протиріччя.
Грецькі математики назвали це ставлення незрівнянних величин алогос(Невимовним), проте згідно з легендами не віддали Гіппасу належної поваги. Існує легенда, що Гіппас здійснив відкриття, перебуваючи в морському поході, і був викинутий за борт іншими піфагорійцями «за створення елемента всесвіту, який заперечує доктрину, що всі сутності у всесвіті можуть бути зведені до цілих чисел та їхніх стосунків». Відкриття Гіппаса поставило перед піфагорійської математикою серйозну проблему, зруйнувавши припущення, що лежало в основі всієї теорії, що числа і геометричні об'єкти єдині і нероздільні.
Ірраціональні числа відомі людям з давніх-давен. Ще кілька століть до нашої ери індійський математик Манава з'ясував, що квадратне коріння деяких чисел (наприклад, 2) неможливо висловити явно.
Ця стаття є свого роду вступним уроком у тему "Ірраціональні числа". Наведемо визначення та приклади ірраціональних чисел з поясненням, а також з'ясуємо, як визначити, чи є дане число ірраціональним.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Ірраціональні числа. Визначення
Сама назва "ірраціональні числа" начебто підказує нам визначення. Ірраціональне число - це дійсне число, яке не є раціональним. Інакше кажучи, таке число не можна у вигляді дробу m n , де m - ціле, а n - натуральне число.
Визначення. Ірраціональні числа
Ірраціональні числа - це такі числа, які в десятковій формі запису є нескінченними неперіодичними десятковими дробами.
Ірраціональне число може бути представлене у вигляді нескінченного неперіодичного дробу. Багато ірраціональних чисел позначають $I$ і воно одно: $I=R / Q$ .
Наприклад. Ірраціональними числами є:
Операції над ірраціональними числами
На безлічі ірраціональних чисел можна ввести чотири основні арифметичні операції: додавання, віднімання, множення та поділ; але жодної з перелічених операцій безліч ірраціональних чисел немає властивістю замкнутості. Наприклад, сума двох ірраціональних чисел може бути раціональним числом.
Наприклад. Знайдемо суму двох ірраціональних чисел $0,1010010001 \ldots$ і $0,0101101110 \ldots$. Перше з цих чисел утворено послідовністю одиниць, розділених відповідно одним нулем, двома нулями, трьома нулями і т.д., друге - послідовністю нулів, між якими поставлені одна одиниця, дві одиниці, три одиниці і т.д.
$$0,1010010001 \ldots+0,0101101110 \ldots=0,111111=0,(1)=\frac(1)(9)$$
Таким чином, сума двох заданих ірраціональних чисел є числом $\frac(1)(9)$ , яке є раціональним.
приклад
Завдання.Довести, що $sqrt(3)$ є ірраціональним.
Доведення.Будемо використовувати метод доказу протилежного. Припустимо, що $\sqrt(3)$ число раціональне, тобто може бути представлене у вигляді дробу $\sqrt(3)=\frac(m)(n)$ , де $m$ і $n$ - взаємно прості натуральні числа.
Зведемо обидві частини рівності у квадрат, отримаємо
$$3=\frac(m^(2))(n^(2)) \Leftrightarrow 3 \cdot n^(2)=m^(2)$$
Число 3$\cdot n^(2)$ ділиться на 3. Тому $m^(2)$ і, отже, $m$ ділиться на 3. Вважаючи $m=3 \cdot k$, рівність $3 \cdot n^ (2)=m^(2)$ можна записати у вигляді
$$3 \cdot n^(2)=(3 \cdot k)^(2) \Leftrightarrow 3 \cdot n^(2)=9 \cdot k^(2) \Leftrightarrow n^(2)=3 \cdot k^(2)$$
З останньої рівності випливає, що $n^(2)$ і $n$ діляться на 3, отже, дріб $\frac(m)(n)$ можна скоротити на 3. Але за припущенням дріб $\frac(m)( n) $ нескоротна. Отримана суперечність і доводить, що число $ sqrt (3) $ непредставне у вигляді дробу $ frac (m) (n) $ і, отже, ірраціонально.
Що й потрібно було довести.
Усі раціональні числа можна у вигляді звичайного дробу. Це стосується і цілих чисел (наприклад, 12, -6, 0), і кінцевих десяткових дробів (наприклад, 0,5; -3,8921) і нескінченних періодичних десяткових дробів (наприклад, 0,11 (23); -3 , (87)).
Однак нескінченні неперіодичні десяткові дробиуявити у вигляді звичайних дробів неможливо. Вони і є ірраціональними числами(тобто нераціональними). Приклад такого числа є число π, яке приблизно дорівнює 3,14. Однак чому воно точно дорівнює, визначити не можна, так як після цифри 4 йде нескінченний ряд інших цифр, в яких не можна виділити періоди, що повторюються. При цьому, хоча число π не можна точно виразити, він має конкретний геометричний зміст. Число π - це відношення довжини будь-якого кола до довжини її діаметра. Таким чином, ірраціональні числа дійсно існують у природі, також як раціональні.
Іншим прикладом ірраціональних чисел можуть бути квадратні корені з позитивних чисел. Вилучення коріння з одних чисел дає раціональні значення, з інших - ірраціональне. Наприклад, √4 = 2, тобто корінь із 4 - це раціональне число. А ось √2, √5, √7 та багато інших дають у результаті ірраціональні числа, тобто їх можна витягти лише з наближенням, округливши до певного знака після коми. При цьому дріб виходить неперіодичним. Тобто не можна точно і точно сказати, чому дорівнює корінь з цих чисел.
Так √5 - це число, що лежить між числами 2 і 3, так як √4 = 2, а √9 = 3. Можна також зробити висновок, що √5 ближче до 2, ніж до 3, тому що √4 ближче до √5, ніж √9 до √5. Дійсно, √5 ≈ 2,23 або √5 ≈ 2,24.
Ірраціональні числа виходять також в інших обчисленнях (а не тільки при витягуванні коріння), бувають негативними.
По відношенню до ірраціональних чисел можна сказати, що який би одиничний відрізок ми не взяли для вимірювання довжини, вираженої таким числом, ми не зможемо її виміряти.
В арифметичних операціях ірраціональні числа можуть брати участь поряд із раціональними. При цьому є низка закономірностей. Наприклад, якщо в арифметичній операції беруть участь лише раціональні числа, то в результаті завжди виходить раціональне число. Якщо ж операції беруть участь лише ірраціональні, то сказати однозначно, чи вийде раціональне чи ірраціональне число, не можна.
Наприклад, якщо помножити два ірраціональні числа √2 * √2, то вийде 2 - це раціональне число. З іншого боку, √2 * √3 = √6 - це ірраціональне число.
Якщо в арифметичній операції бере участь раціональне та ірраціональне числа, то вийде ірраціональний результат. Наприклад, 1 + 3,14 ... = 4,14 ...; √17 – 4.
Чому √17 – 4 – це ірраціональне число? Припустимо, що вийде раціональне число x. Тоді √17 = x + 4. Але x + 4 – це раціональне число, тому що ми припустили, що x раціональне. Число 4 теж раціональне, отже x + 4 раціонально. Однак раціональне число не може дорівнювати ірраціональному √17. Тому припущення, що √17 – 4 дає раціональний результат не так. Результат арифметичної операції буде ірраціональним.
Однак із цього правила є виняток. Якщо ми примножуємо ірраціональне число на 0, то вийде раціональне число 0.
Визначення ірраціонального числа
Ірраціональними називають такі числа, які в десятковому записі є нескінченними неперіодичними десятковими дробами.
Так, наприклад, числа, отримані шляхом отримання квадратного кореня з натуральних чисел, є ірраціональними і не є квадратами натуральних чисел. Але не всі ірраціональні числа отримують шляхом вилучення квадратних коренів, адже отримане методом поділу, число «пі», також є ірраціональним, і його ви навряд чи отримаєте, намагаючись витягти квадратний корінь із натурального числа.
Властивості ірраціональних чисел
На відміну від чисел, записаних нескінченним десятковим дробом, лише ірраціональні числа записуються неперіодичними нескінченними десятковими дробами.
Сума двох неотрицательных ірраціональних чисел у результаті то, можливо раціональним числом.
Ірраціональні числа визначають дедекіндові перерізи в безлічі раціональних чисел, у нижньому класі у яких немає найбільшого числа, а у верхньому немає меншого.
Будь-яке речовинне трансцендентне число є ірраціональним.
Усі ірраціональні числа є або алгебраїчними, або трансцендентними.
Багато ірраціональних чисел на прямій розташовуються щільно, і між його будь-якими двома числами обов'язково знайдеться ірраціональне число.
Безліч ірраціональних чисел нескінченно, незліченно і є безліччю 2-ї категорії.
За виконання будь-якої арифметичної операції з раціональними числами, крім розподілу на 0, його результатом буде раціональне число.
При складанні раціонального числа з ірраціональним, у результаті виходить ірраціональне число.
При додаванні ірраціональних чисел у результаті ми можемо отримати раціональне число.
Безліч ірраціональних чисел не є парним.
Числа, які не є ірраціональними
Іноді досить складно відповісти на питання, чи є число ірраціональним, особливо у випадках, коли число має вигляд десяткового дробу або у вигляді числового виразу, кореня чи логарифму.
Тому не зайвим буде знати, які числа не належать до ірраціональних. Якщо слідувати визначення ірраціональних чисел, то вже відомо, що раціональні числа неможливо знайти ірраціональними.
Ірраціональними числами не є:
По-перше, усі натуральні числа;
По-друге, цілі числа;
По-третє, прості дроби;
По-четверте, різні мішані числа;
По-п'яте, це нескінченні періодичні десяткові дроби.
Крім всього перерахованого, ірраціональним числом не може бути будь-яка комбінація раціональних чисел, яка виконується знаками арифметичних операцій, як +, -, , :, тому що при цьому підсумком двох раціональних чисел буде також раціональне число.
А тепер подивимося, які ж із чисел є ірраціональними:
А чи відомо вам про існування фан-клубу, де шанувальники цього загадкового математичного феномену шукають нові відомості про Пі, намагаючись розгадати його таємницю. Членом цього клубу може стати будь-яка людина, яка знає напам'ять певну кількість чисел Пі після коми;
Чи знаєте ви, що в Німеччині під охороною ЮНЕСКО знаходиться палац Кастадель Монте, завдяки пропорціям якого можна обчислити Пі. Цілий палац присвятив цьому числу король Фрідріх II.
Виявляється, число Пі намагалися використати під час будівництва Вавилонської вежі. Але на превеликий жаль, це призвело до краху проекту, тому що на той момент було недостатньо вивчене точне обчислення Пі.
Співачка Кейт Буш у своєму новому диску записала пісню під назвою «Пі», в якій прозвучало сто двадцять чотири числа зі знаменитого числового ряду 3, 141.
Loading...