Площі та обсяги різних фігур. Як знайти об'єм у кубічних метрах

Будь-яке геометричне тіло можна охарактеризувати площею (S) поверхні та об'ємом (V). Площа та обсяг зовсім не те саме. Об'єкт може мати порівняно невеликий V і велику S, наприклад, влаштований мозок людини. Обчислити дані показники для простих геометричних фігурзначно простіше.

Паралелепіпед: визначення, види та властивості

Паралелепіпед - це чотирикутна призма, в основі якої знаходиться паралелограм. Для чого може знадобитися формула знаходження обсягу фігури? Подібну форму мають книги, пакувальні коробки та ще безліч речей з повсякденному житті. Кімнати в житлових та офісних будинках, як правило, є прямокутними паралелепіпедами. Для встановлення вентиляції, кондиціонерів та визначення кількості обігрівальних елементів у кімнаті необхідно розрахувати об'єм приміщення.

У фігури 6 граней – паралелограмів та 12 ребер, дві довільно вибрані грані називають основами. Паралелепіпед може бути кількох видів. Відмінності обумовлені кутами між суміжними ребрами. Формули для знаходження V-ів різних багатокутників дещо відрізняються.

Якщо 6 граней геометричної фігури є прямокутники, її теж називають прямокутною. Куб – це окремий випадокпаралелепіпеда, в якому всі 6 граней є рівними квадратами. У цьому випадку, щоб знайти V, потрібно дізнатися про довжину тільки однієї сторони і звести її в третій ступінь.

Для вирішення завдань знадобляться знання не тільки готових формул, а й властивостей фігури. Перелік основних властивостей прямокутної призми невеликий і дуже простий для розуміння:

Протилежні грані фігури рівні та паралельні. Це означає, що ребра розташовані навпроти однакові по довжині та куту нахилу.
Усі бічні грані прямого паралелепіпеда – прямокутники.
Чотири головні діагоналі геометричної фігури перетинаються однією точкою, і діляться нею навпіл.
Квадрат діагоналі паралелепіпеда дорівнює сумі квадратів вимірювань фігури (випливає з теореми Піфагора).

теорема Піфагорасвідчить, що сума площ квадратів, побудованих на катетах прямокутного трикутника, дорівнює площі трикутника, побудованого на гіпотенузі того самого трикутника.

Доказ останньої властивості можна розібрати на зображенні, наведеному нижче. Хід вирішення поставленого завдання простий і не потребує докладних пояснень.

Формула обсягу прямокутного паралелепіпеда

Формула знаходження всіх видів геометричної фігури одна: V=S*h, де V- шуканий обсяг, S – площа основи паралелепіпеда, h – висота, опущена з протилежної вершини і перпендикулярна основи. У прямокутнику h збігається з однією зі сторін фігури, тому щоб знайти об'єм прямокутної призми необхідно перемножити три виміри.

Обсяг прийнято виражати см3. Знаючи всі три значення a, b та c знайти обсяг фігури зовсім не складно. Найпоширеніший тип завдань у ЄДІ – це пошук обсягу чи діагоналі паралелепіпеда. Вирішити багато типових завдання ЄДІбез формули обсягу прямокутника – неможливо. Приклад завдання та оформлення його рішення наведено на малюнку нижче.

Примітка 1. Площу поверхні прямокутної призми можна знайти, якщо помножити на 2 суму площ трьох граней фігури: основи (ab) та двох суміжних бічних граней (bc + ac).

Примітка 2. Площу поверхні бічних граней легко дізнатися помноживши периметр основи на висоту паралелепіпеда.

З першого властивості паралелепіпедів AB = A1B1, а грань B1D1 = BD. Згідно з наслідками з теореми Піфагора сума всіх кутів у прямокутному трикутникудорівнює 180 °, а катет, що лежить проти кута в 30 °, дорівнює гіпотенузи. Застосувавши дані знання трикутника, легко знаходимо довжину сторін AB і AD. Потім перемножуємо отримані значення та обчислюємо об'єм паралелепіпеда.

Формула для знаходження об'єму похилого паралелепіпеда

Щоб знайти обсяг похилого паралелепіпеда необхідно площу основи фігури помножити на висоту, опущену на цю основу з протилежного кута.

Таким чином, шуканий V можна подати у вигляді h - кількості аркушів з площею S основи, так обсяг колоди складається з V-ів всіх карт.

Приклади розв'язання задач

Завдання єдиного іспиту мають бути виконані за певний час. Типові завдання, як правило, не містити великої кількостіобчислень та складних дробів. Часто школяру пропонують як знайти об'єм неправильної геометричної фігури. У разі слід пам'ятати просте правило, що загальний обсяг дорівнює сумі V-ов складових частин.

Як видно з прикладу на зображенні вище, нічого складного у вирішенні таких завдань немає. Завдання з складніших розділів припускають знання теореми Піфагора та її наслідків, а як і формулу довжини діагоналі фігури. Для успішного вирішення завдань тестів достатньо заздалегідь ознайомитись із зразками типових завдань.

Виміряйте всі необхідні відстані в метрах.Об'єм багатьох тривимірних фігур легко обчислити за відповідними формулами. Однак усі значення, що підставляються у формули, повинні вимірюватися у метрах. Таким чином, перед встановленням значень у формулу переконайтеся, що всі вони вимірюються в метрах, або що ви конвертували інші одиниці вимірювання в метри.

1 мм = 0,001 м
1 см = 0,01 м
1 км = 1000 м

Для обчислення обсягу прямокутних фігур (прямокутний паралелепіпед, куб) використовуйте формулу: об'єм = L × W × H(Довжину помножити на ширину помножити на висоту). Цю формулу можна розглядати як добуток площі поверхні однієї з граней фігури на ребро, перпендикулярне до цієї грані.

Наприклад, обчислимо об'єм кімнати довжиною 4 м, шириною 3 м і висотою 2,5 м. Для цього просто помножимо довжину на ширину та на висоту:
- 4×3×2,5
- = 12 × 2,5
- = 30. Об'єм цієї кімнати дорівнює 30 м 3.
Куб - об'ємна фігура, у якої всі сторони рівні. Таким чином, формулу для обчислення об'єму куба можна записати у вигляді: об'єм = L 3 (або W 3 або H 3).

Для обчислення об'єму фігур у вигляді циліндра використовуйте формулу: пі× R 2 × H. Обчислення об'єму циліндра зводиться до множення площі круглої основи на висоту (або довжину) циліндра. Знайдіть площу круглої основи, помноживши число пі (3,14) на квадрат радіуса кола (R) (радіус - відстань від центру кола до будь-якої точки, що лежить на цьому колі). Потім отриманий результат помножте на висоту циліндра (H) і ви знайдете об'єм циліндра. Усі значення вимірюються за метри.

Наприклад, обчислимо об'єм колодязя діаметром 1,5 м та глибиною 10 м. Розділіть діаметр на 2, щоб отримати радіус: 1,5/2=0,75 м.
- (3,14) × 0,75 2 × 10
- = (3,14) × 0,5625 × 10
- = 17,66. Об'єм колодязя дорівнює 17,66 м 3.

Для обчислення об'єму кулі використовуйте формулу: 4/3 х пі× R 3 . Тобто вам потрібно знати лише радіус (R) кулі.

Наприклад, обчислимо обсяг повітряної кулідіаметром 10 м. Розділіть діаметр на 2, щоб одержати радіус: 10/2=5 м.
- 4/3 х пі × (5) 3
- = 4/3 х (3,14) × 125
- = 4,189 × 125
- = 523,6. Об'єм повітряної кулі дорівнює 523,6 м 3.

Для обчислення обсягу фігур у вигляді конуса використовуйте формулу: 1/3 х пі R 2 H. Об'єм конуса дорівнює 1/3 об'єму циліндра, який має таку ж висоту і радіус.

Наприклад, обчислимо обсяг конуса морозива радіусом 3 см і висотою 15 см. Конвертуючи в метри, отримаємо: 0,03 м та 0,15 м відповідно.
- 1/3 х (3,14) × 0,03 2 × 0,15
- = 1/3 х (3,14) × 0.0009 × 0,15
- = 1/3 × 0.0004239
- = 0,000141. Об'єм конуса морозива дорівнює 0,000141 м3.

Використовуйте кілька формул для обчислення об'єму фігур неправильної форми.Для цього спробуйте розбити фігуру на кілька фігур правильної форми. Потім знайдіть обсяг кожної такої фігури та складіть отримані результати.

Наприклад, обчислимо обсяг невеликого зерносховища. Сховище має циліндричний корпус заввишки 12 м і радіус 1,5 м.
- пі × R 2 × H + 1/3 х пі × R 2 × H
- (3,14) × 1,5 2 × 12 + 1/3 х (3,14) × 1,5 2 × 1
- = (3,14) × 2,25 × 12 + 1/3 х (3,14) × 2,25 × 1
- = (3,14) × 27 + 1/3 х (3,14) × 2,25
- = 84,822 + 2,356
- = 87,178. Об'єм зерносховища дорівнює 87,178 м 3.

Відеокурс «Отримай п'ятірку» включає всі теми, необхідні для успішної здачі ЄДІз математики на 60-65 балів. Цілком всі завдання 1-13 Профільного ЄДІз математики. Підходить також для здачі Базового ЄДІ з математики. Якщо ви хочете здати ЄДІ на 90-100 балів, вам треба вирішувати частину 1 за 30 хвилин і без помилок!

Курс підготовки до ЄДІ для 10-11 класів, а також для викладачів. Все необхідне, щоб вирішити частину 1 ЄДІ з математики (перші 12 завдань) та задачу 13 (тригонометрія). А це понад 70 балів на ЄДІ, і без них не обійтись ні стобальнику, ні гуманітарію.

Уся необхідна теорія. Швидкі способирішення, пастки та секрети ЄДІ. Розібрано всі актуальні завдання частини 1 із Банку завдань ФІПД. Курс повністю відповідає вимогам ЄДІ-2018.

Курс містить 5 великих тем, по 2,5 години кожна. Кожна тема дається з нуля, це просто і зрозуміло.

Сотні завдань ЄДІ. Текстові завдання та теорія ймовірностей. Прості і легко запам'ятовуються алгоритми розв'язання задач. Геометрія. Теорія, довідковий матеріал, аналіз всіх типів завдань ЄДІ. Стереометрія. Хитрі прийоми розв'язання, корисні шпаргалки, розвиток просторової уяви. Тригонометрія з нуля - до завдання 13. Розуміння замість зубріння. Наочне пояснення складних понять. Алгебра. Коріння, ступеня та логарифми, функція та похідна. База на вирішення складних завдань 2 частини ЄДІ.

Відеокурс «Отримай п'ятірку» включає всі теми, необхідні для успішного складання ЄДІ з математики на 60-65 балів. Повністю всі завдання 1-13 Профільного ЄДІ з математики. Підходить також для здачі Базового ЄДІ з математики. Якщо ви хочете здати ЄДІ на 90-100 балів, вам треба вирішувати частину 1 за 30 хвилин і без помилок!

Уся необхідна теорія. Швидкі способи вирішення, пастки та секрети ЄДІ. Розібрано всі актуальні завдання частини 1 із Банку завдань ФІПД. Курс повністю відповідає вимогам ЄДІ-2018.

Курс містить 5 великих тем, по 2,5 години кожна. Кожна тема дається з нуля, це просто і зрозуміло.

А стародавні єгиптяни користувалися методами обчислення площ різних постатей, схожими на наші методи.

У своїх книгах «Початку»відомий давньогрецький математик Евклід описував досить велике числоспособів обчислення площ багатьох геометричних фігур. Перші рукописи на Русі, у яких містяться геометричні відомості, було написано в $ XVI столітті. Вони описані правила знаходження площ фігур різних форм.

Сьогодні за допомогою сучасних методівможна знайти площу будь-якої фігури з великою точністю.

Розглянемо одну з найпростіших постатей - прямокутник - і формулу знаходження його площі.

Формула площі прямокутника

Розглянемо фігуру (рис. 1), яка складається з $8$ квадратів зі сторонами по $1$ см. Площа одного квадрата зі стороною $1$ см називають квадратним сантиметром і записують $1\ см^2$.

Площа даної постаті (рис. 1) дорівнюватиме $8\ см^2$.

Площа фігури, яку можна розбити на кілька квадратів зі стороною $1\см$ (наприклад, $p$), дорівнюватиме $p\см^2$.

Іншими словами, площа фігури дорівнюватиме стільки $см^2$, на скільки квадратів зі стороною $1\ см$ можна розбити цю фігуру.

Розглянемо прямокутник (рис. 2), що складається з $3$ смуг, кожна з яких розбита на $5$ квадратів зі стороною $1\ см$. весь прямокутник складається з $ 5 \ cdot 3 = 15 $ таких квадратів, і його площа дорівнює $ 15 \ см ^ 2 $.

Малюнок 1.

Малюнок 2.

Площу фігур прийнято позначати буквою $S$.

Для знаходження площі прямокутника його довжину помножити на ширину.

Якщо позначити буквою $a$ його довжину, а буквою $b$ - ширину, то формула площі прямокутника матиме вигляд:

Визначення 1

Фігури називають рівними,якщо при накладенні їх одна на одну фігури збігатимуться. Рівні фігури мають рівні площіта рівні периметри.

Площу фігури можна знайти як суму площ її частин.

Приклад 1

Наприклад, на малюнку $3$ прямокутник $ABCD$ розбитий на частини лінією $KLMN$. Площа однієї частини дорівнює $12 \ см ^ 2 $, а інший - $ 9 \ см ^ 2 $. Тоді площа прямокутника $ABCD$ дорівнюватиме $12\ см^2+9\ см^2=21\ см^2$. Знайдемо площу прямокутника за формулою:

Як бачимо, площі, знайдені обома способами, дорівнюють.

Малюнок 3.

Малюнок 4.

Відрізок $AC$ ділить прямокутник на два рівні трикутники: $ABC$ і $ADC$. Значить площа кожного із трикутників дорівнює половині площі всього прямокутника.

Визначення 2

Прямокутник з рівними сторонаминазивається квадратом.

Якщо позначити сторону квадрата буквою $a$, то площа квадрата буде за формулою:

Звідси й назва квадрат числа $a$.

Приклад 2

Наприклад, якщо сторона квадрата дорівнює $5$ см, його площа:

Обсяги

З розвитком торгівлі та будівництва ще за часів давніх цивілізацій виникла потреба у знаходженні обсягів. У математиці існує розділ геометрії, який займається вивченням просторових постатей, званий стереометрією. Згадки про цей окремий напрямок математики зустрічалися вже в $IV$ столітті до н.е.

Давніми математиками був виведений спосіб обчислення обсягу нескладних фігур - куба та паралелепіпеда. Усі споруди того часу були саме такої форми. Але надалі було знайдено способи обчислення обсягу фігур складніших форм.

Об'єм прямокутного паралелепіпеда

Якщо наповнити форму вологим піском і потім перевернути, то отримаємо об'ємну фігуруяка характеризується обсягом. Якщо зробити таких фігур кілька за допомогою однієї і тієї ж форми, то вийдуть фігури, які мають однаковий обсяг. Якщо наповнити форму водою, то об'єм води і об'єм фігури з піску також будуть рівними.

Малюнок 5.

Порівняти обсяги двох судин можна, наповнивши одну водою і переливши її в другу посудину. Якщо друга посудина виявиться повністю заповненою, то судини мають рівні обсяги. Якщо при цьому в першій вода залишиться, то об'єм першої судини більший за об'єм другої. Якщо при переливанні води з першої посудини не вдається повністю заповнити другу посудину, значить обсяг першої посудини менший від обсягу другої.

Обсяг вимірюється за допомогою наступних одиниць:

$мм^3$ - міліметр кубічний,

$см^3$ - сантиметр кубічний,

$дм^3$ - дециметр кубічний,

$м^3$ - метр кубічний,

$км^3$ - кілометр кубічний.