Часом у житті зустрічаються такі ситуації, коли доводиться копатися у пам'яті у пошуках давно забутих шкільних знань. Наприклад, потрібно визначити площу земельної ділянки трикутної форми або ж настала черга чергового ремонту в квартирі або приватному будинку, і потрібно порахувати, скільки піде матеріалу для поверхні з трикутною формою. Був час, коли ви могли вирішити таке завдання за пару хвилин, а тепер намагаєтеся пригадати, як же визначити площу трикутника?
Не варто через це переживати! Адже це цілком нормально, коли мозок людини вирішує перекласти знання, що давно не використовуються, кудись у віддалений куточок, з якого часом їх не так і легко витягти. Щоб вам не довелося мучитися з пошуком забутих шкільних знань для вирішення такого завдання, у цій статті зібрані різні методи, які дозволяють легко знайти потрібну площу трикутника.
Загальновідомо, що трикутником називають такий вид багатокутника, який обмежений мінімально можливою кількістю сторін. В принципі, будь-який багатокутник можна розділити на кілька трикутників, з'єднавши його вершини відрізками, які не перетинають його сторони. Тому, знаючи трикутника, можна порахувати площу практично будь-якої фігури.
Серед усіх можливих трикутників, що зустрічаються у житті, можна назвати такі приватні види: і прямокутний.
Найпростіше площа трикутника розраховується, коли один з його кутів прямий, тобто у випадку прямокутного трикутника. Неважко помітити, що він є половиною прямокутника. Тому його площа дорівнює половині добутку сторін, які утворюють між собою прямий кут.
Якщо нам відомі висота трикутника, опущена з однієї з його вершин на протилежний бік, і довжина цієї сторони, яку називають основою, площа розраховується як половина твору висоти на основу. Записується це за допомогою такої формули:
S = 1/2*b*h, у якій
S - потрібна площа трикутника;
b, h - відповідно, висота та основа трикутника.
Так легко розрахувати площу рівнобедреного трикутникаоскільки висота ділитиме протилежну сторону навпіл, і її легко можна буде виміряти. Якщо визначається площа то як висота зручно брати довжину однієї зі сторін, що утворюють прямий кут.
Все це звичайно добре, але як визначити, чи є один із кутів трикутника прямим чи ні? Якщо розмір нашої фігури невеликий, можна скористатися будівельним кутом, креслярським трикутником, листівкою або іншим предметом з прямокутною формою.
Але що робити, якщо у нас трикутний земельна ділянка? У цьому випадку надходять таким чином: відраховують від вершини передбачуваного прямого кута по одній зі сторін відстань кратну 3 (30 см, 90 см, 3 м), а по іншій стороні відміряють у тій же пропорції відстань кратна 4 (40 см, 160 см, 4 м). Тепер потрібно виміряти відстань між кінцевими точкамицих двох відрізків. Якщо вийшло значення кратне 5 (50 см, 250 см, 5 м), можна стверджувати, що кут прямий.
Якщо відомо значення довжини кожної із трьох сторін нашої фігури, то площу трикутника можна визначити, використовуючи формулу Герона. Для того, щоб вона мала більш простий вигляд, застосовують нову величину, яка називається напівпериметром. Це сума всіх сторін нашого трикутника, розділена навпіл. Після того, як напівпериметр порахований, можна приступати до визначення площі за формулою:
S = sqrt(p(p-a)(p-b)(p-c)), де
sqrt - квадратний корінь;
p - значення напівпериметра (p = (a + b + c) / 2);
а,b,с - ребра (сторони) трикутника.
Але що робити, якщо трикутник має неправильну форму? Тут можливі два способи. Перший полягає в тому, щоб спробувати розділити таку фігуру на два прямокутний трикутниксуму площ яких порахувати окремо, а потім скласти. Або ж, якщо відомий кут між двома сторонами та розмір цих сторін, то застосувати формулу:
S = 0.5 * ab * sinC, де
a, b - Сторони трикутника;
с – величина кута між цими сторонами.
Останній випадок на практиці зустрічається рідко, проте в житті все можливо, тому наведена вище формула не буде зайвою. Успіхів у розрахунках!
Трикутник - це одна з найпоширеніших геометричних фігур, з якою ми знайомимося вже в початковій школі. З питанням, як знайти площу трикутника, стикається кожен школяр під час уроків геометрії. Так, які ж особливості знаходження площі цієї фігури можна назвати? У цій статті ми розглянемо основні формули, необхідні виконання такого завдання, і навіть розберемо види трикутників.
Види трикутників
Знайти площу трикутника можна абсолютно різними способами, Тому що в геометрії виділяється не один вид фігур, що містять три кути. До таких видів належать:
- Тупокутний.
- Рівносторонній (правильний).
- Прямокутний трикутник.
- Рівностегновий.
Розглянемо докладніше кожен із існуючих типів трикутників.
Така геометрична фігура вважається найбільш поширеною під час вирішення геометричних завдань. Коли виникає необхідність накреслити будь-який трикутник, на допомогу приходить саме цей варіант.
У гострокутному трикутнику, як відомо за назвою, всі кути гострі й у сумі становлять 180°.
Такий трикутник також дуже поширений, проте зустрічається дещо рідше гострокутного. Наприклад, при вирішенні трикутників (тобто відомо кілька його сторін і кутів і потрібно знайти елементи, що залишилися) іноді потрібно визначити, є кут тупим чи ні. Косинус – це негативне число.
У величина одного з кутів перевищує 90°, тому два кути, що залишилися, можуть приймати маленькі значення (наприклад, 15° або зовсім 3°).
Щоб знайти площу трикутника даного типунеобхідно знати деякі нюанси, про які ми поговоримо далі.
Правильний та рівнобедрений трикутники
Правильним багатокутником називається фігура, що включає n кутів, у якої всі сторони і кути рівні. Таким є правильний трикутник. Оскільки сума всіх кутів трикутника становить 180°, кожен із трьох кутів дорівнює 60°.
Правильний трикутник завдяки його властивості також називають рівносторонньою фігурою.
Варто також відзначити, що в правильний трикутник можна вписати лише одне коло і біля нього можна описати лише одне коло, причому їх центри розташовані в одній точці.
Крім рівностороннього типу, можна також виділити рівнобедрений трикутник, який несильно від нього відрізняється. У такому трикутнику дві сторони та два кути рівні між собою, а третя сторона (до якої прилягають рівні кути) є основою.
На малюнку показано рівнобедрений трикутник DEF, кути D і F якого рівні, а DF є основою.
Прямокутний трикутник
Прямокутний трикутник названий так тому, що один із його кутів прямий, тобто дорівнює 90°. Інші два кути в сумі становлять 90°.
Найбільша сторона такого трикутника, що лежить проти кута в 90° є гіпотенузою, решта двох його сторін - це катети. Для цього типу трикутників застосовна теорема Піфагора:
Сума квадратів довжин катетів дорівнює квадрату довжини гіпотенузи.
На малюнку зображено прямокутний трикутник BAC з гіпотенузою AC та катетами AB та BC.
Щоб знайти площу трикутника з прямим кутом, потрібно знати числові значенняйого катетів.
Перейдемо до формул знаходження площі цієї фігури.
Основні формули знаходження площі
У геометрії можна виділити дві формули, які підходять для знаходження площі більшості видів трикутників, а саме для гострокутного, тупокутного, правильного та рівнобедреного трикутників. Розберемо кожну з них.
Збоку та висоті
Дана формула є універсальною для знаходження площі, яку ми розглядаємо фігури. Для цього достатньо знати довжину сторони та довжину проведеної до неї висоти. Сама формула (половина твору основи на висоту) виглядає так:
де A – сторона даного трикутника, а H – висота трикутника.
Наприклад, щоб знайти площу гострокутного трикутника ACB, потрібно помножити його сторону AB на висоту CD і розділити значення, що вийшло, на два.
Однак не завжди буває легко знайти площу трикутника у такий спосіб. Наприклад, щоб скористатися цією формулою для тупокутного трикутника необхідно продовжити одну з його сторін і тільки після цього провести до неї висоту.
Насправді ця формула застосовується частіше за інших.
По обидва боки і кут
Дана формула, як і попередня, підходить для більшості трикутників і за своїм змістом є наслідком формули знаходження площі по стороні і висоті трикутника. Тобто формулу, що розглядається, можна легко вивести з попередньої. Її формулювання виглядає так:
S = ½*sinO*A*B,
де A і B – це сторони трикутника, а O – кут між сторонами A та B.
Нагадаємо, що синус кута можна подивитися у спеціальній таблиці, названій на честь видатного радянського математика В. М. Брадіса.
А тепер перейдемо до інших формул, які підходять лише для виняткових видів трикутників.
Площа прямокутного трикутника
Крім універсальної формули, що включає необхідність проводити висоту в трикутнику, площа трикутника, що містить прямий кут, можна знайти по його катетах.
Так, площа трикутника, що містить прямий кут, - це половина твору його катетів, або:
де a та b - катети прямокутного трикутника.
Правильний трикутник
Цей видгеометричних фігур відрізняється тим, що його площу можна знайти при зазначеній величині лише однієї його сторони (оскільки всі сторони правильного трикутникарівні). Отже, зустрівшись із завданням «знайти площу трикутника, коли сторони рівні», потрібно скористатися такою формулою:
S = A 2 *√3/4,
де A – це сторона рівностороннього трикутника.
Формула Герону
Останній варіант для знаходження площі трикутника – це формула Герона. Для того, щоб нею скористатися, необхідно знати довжини трьох сторін фігури. Формула Герона виглядає так:
S = √p · (p - a) · (p - b) · (p - c),
де a, b і c – це сторони цього трикутника.
Іноді завдання дано: «площа правильного трикутника - знайти довжину його боку». У даному випадкупотрібно скористатися вже відомою нам формулою знаходження площі правильного трикутника та вивести з неї значення сторони (або її квадрата):
A 2 = 4S/√3.
Екзаменаційні завдання
У завданнях ДПА з математики зустрічається безліч формул. Крім цього, досить часто необхідно знайти площу трикутника на папері.
В даному випадку найзручніше провести висоту до однієї зі сторін фігури, визначити по клітинах її довжину і скористатися універсальною формулоюдля знаходження площі:
Отже, після вивчення наведених у статті формул, у вас не виникнуть проблеми при знаходженні площі трикутника будь-якого виду.
Концепція площі
Поняття площі будь-якої геометричної фігури, зокрема трикутника, пов'язуватимемо з такою фігурою, як квадрат. За одиницю площі будь-якої геометричної фігури прийматимемо площу квадрата, сторона якого дорівнює одиниці. Для повноти згадаємо дві основні властивості для поняття площ геометричних фігур.
Властивість 1:Якщо геометричні фігурирівні, значення їх площ також рівні.
Властивість 2:Будь-яка фігура може бути розбита на кілька фігур. Причому площа первісної фігури дорівнює сумі значень площ усіх складових її постатей.
Розглянемо приклад.
Приклад 1
Очевидно, що одна із сторін трикутника є діагоналлю прямокутника , у якого одна сторона має довжину $5$ (бо $5$ клітин), а друга $6$ (оскільки $6$ клітин). Отже, площа цього трикутника дорівнюватиме половині такого прямокутника. Площа прямокутника дорівнює
Тоді площа трикутника дорівнює
Відповідь: $15$.
Далі розглянемо кілька методів для знаходження площ трикутників, а саме за допомогою висоти та основи, за допомогою формули Герона та площа рівностороннього трикутника.
Як знайти площу трикутника через висоту та основу
Теорема 1
Площу трикутника можна знайти як половину добутку довжини сторони, на висоту, проведену до цієї сторони.
Математично це виглядає так
$S=\frac(1)(2)αh$
де $a$ – довжина сторони, $h$ – висота, проведена до неї.
Доведення.
Розглянемо трикутник $ABC$, де $AC=α$. До цієї сторони проведена висота $BH$, яка дорівнює $h$. Добудуємо його до квадрата $AXYC$ як малюнку 2.
Площа прямокутника $AXBH$ дорівнює $h\cdot AH$, а прямокутника $HBYC$ дорівнює $h\cdot HC$. Тоді
$S_ABH=\frac(1)(2)h\cdot AH$, $S_CBH=\frac(1)(2)h\cdot HC$
Отже, потрібна площа трикутника, за якістю 2, дорівнює
$S=S_ABH+S_CBH=\frac(1)(2)h\cdot AH+\frac(1)(2)h\cdot HC=\frac(1)(2)h\cdot (AH+HC)=\ frac(1)(2)αh$
Теорему доведено.
Приклад 2
Знайти площу трикутника на малюнку нижче, якщо клітина має площу, рівну одиниці
Основа цього трикутника дорівнює $9$ (бо $9$ становить $9$ клітин). Висота також дорівнює $9$. Тоді, за теоремою 1, отримаємо
$S=\frac(1)(2)\cdot 9\cdot 9=40,5$
Відповідь: $ 40,5 $.
Формула Герону
Теорема 2
Якщо нам дано три сторони трикутника $α$, $β$ і $γ$, то його площу можна знайти таким чином
$S=\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$
тут $ρ$ означає півпериметр цього трикутника.
Доведення.
Розглянемо наступний малюнок:
За теоремою Піфагора з трикутника $ABH$ отримаємо
З трикутника $CBH$, за теоремою Піфагора, маємо
$h^2=α^2-(β-x)^2$
$h^2=α^2-β^2+2βx-x^2$
З цих двох співвідношень отримуємо рівність
$γ^2-x^2=α^2-β^2+2βx-x^2$
$x=\frac(γ^2-α^2+β^2)(2β)$
$h^2=γ^2-(\frac(γ^2-α^2+β^2)(2β))^2$
$h^2=\frac((α^2-(γ-β)^2)((γ+β)^2-α^2))(4β^2)$
$h^2=\frac((α-γ+β)(α+γ-β)(γ+β-α)(γ+β+α))(4β^2)$
Оскільки $ρ=\frac(α+β+γ)(2)$, то $α+β+γ=2ρ$, отже
$h^2=\frac(2ρ(2ρ-2γ)(2ρ-2β)(2ρ-2α))(4β^2)$
$h^2=\frac(4ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))(β^2 )$
$h=\sqrt(\frac(4ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))(β^2))$
$h=\frac(2)(β)\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$
По теоремі 1, отримаємо
$S=\frac(1)(2) βh=\frac(β)(2)\cdot \frac(2)(β) \sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ) )=\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$
Трикутник – добре знайома всім постать. І це, незважаючи на багате розмаїття його форм. Прямокутний, рівносторонній, гострокутний, рівнобедрений, тупокутний. Кожен із них чимось відрізняється. Але для будь-якого потрібно впізнавати площу трикутника.
Загальні для всіх трикутників формули, в яких використовуються довжини сторін або висот
Позначення, прийняті в них: сторони - а, в, с; висоти на відповідні сторони н а, н в, н с.
1. Площа трикутника обчислюється, як добуток, сторони і висоти, опущеної на неї. S = ½ * а * н а. Аналогічно слід записати формули для двох інших сторін.
2. Формула Герона, у якій фігурує напівпериметр (його прийнято позначати маленькою літерою р, на відміну повного периметра). Напівпериметр необхідно порахувати так: скласти всі сторони і розділити їх на 2. Формула напівпериметра: р = (а + в + с) / 2. Тоді рівність для площі фігури виглядає так: S = √ (р * (р - а) * ( р - в) * (р - с)).
3. Якщо не хочеться використовувати напівпериметр, то стане в нагоді така формула, в якій присутні тільки довжини сторін: S = ¼ * √ ((а + в + с) * (в + с - а) * (а + с - в) * (а + в – с)). Вона трохи довша за попередню, але виручить, якщо забулося, як знаходити напівпериметр.
Загальні формули, у яких фігурують кути трикутника
Позначення, які потрібні для прочитання формул: α, β, γ – кути. Вони лежать навпроти сторони, в, з, відповідно.
1. По ній половина добутку двох сторін та синуса кута між ними дорівнює площі трикутника. Тобто: S = ½ а * в * sin γ. Подібним чиномслід записати формули двох інших випадків.
2. Площа трикутника можна обчислити по одній стороні та трьох відомих кутах. S = (а 2 * sin β * sin γ) / (2 sin α).
3. Існує ще формула з однією відомою стороною та двома прилеглими до неї кутами. Вона виглядає таким чином: S = з 2/(2 (ctg α + ctg β)).
Дві останні формули є не найпростішими. Запам'ятати їх досить складно.
Загальні формули для ситуації, коли відомі радіуси вписаних чи описаних кіл
Додаткові позначення: r, R – радіуси. Перший використовується для радіусу вписаного кола. Другий – для описаної.
1. Перша формула, за якою обчислюється площа трикутника, пов'язана із напівпериметром. S = р*r. Інакше її можна записати так: S = ½ r * (а + + с).
2. У другому випадку потрібно перемножити всі сторони трикутника і розділити їх на чотиризначний радіус описаного кола. У буквеному виразі це виглядає так: S = (а * в * с) / (4R).
3. Третя ситуація дозволяє обійтися без знання сторін, але знадобляться значення всіх трьох кутів. S = 2 R 2 * sin α * sin β * sin γ.
Частковий випадок: прямокутний трикутник
Це найпростіша ситуація, оскільки потрібне знання лише довжини обох катетів. Вони позначаються латинськими літерамиа та в. Площа прямокутного трикутника дорівнює половині площі добудованого щодо нього прямокутника.
Математично це має такий вигляд: S = ½ а * в. Вона запам'ятовується найпростіше. Тому що виглядає як формула для площі прямокутника, тільки з'являється ще дріб, що означає половину.
Частковий випадок: рівнобедрений трикутник
Оскільки в нього дві сторони рівні, деякі формули для його площі виглядають дещо спрощеними. Наприклад, формула Герона, за якою обчислюється площа рівнобедреного трикутника, набуває такого вигляду:
S = ½ в √((a + ½ в)*(a - ½ в)).
Якщо її перетворити, то вона стане коротшою. У такому разі формула Герона для рівнобедреного трикутника записується так:
S = ¼ в √ (4 * a 2 - b 2).
Дещо простіше, ніж для довільного трикутника, виглядає формула площі, якщо відомі бічні сторони та кут між ними. S = ½ a 2 * sin β.
Окремий випадок: рівносторонній трикутник
Зазвичай у завданнях про нього відома сторона або її можна дізнатися. Тоді формула, за якою знаходиться площа такого трикутника, виглядає так:
S = (а 2 √3)/4.
Завдання на знаходження площі, якщо трикутник зображений на папері.
Найпростішою є ситуація, коли прямокутний трикутник накреслено так, що його катети збігаються з лініями паперу. Тоді потрібно просто порахувати кількість клітин, що укладаються в катети. Потім перемножити їх і поділити на два.
Коли трикутник є гострокутним або тупокутним, його потрібно домалювати до прямокутника. Тоді в фігурі, що вийшла, буде 3 трикутники. Один - той, що дано в задачі. А два інші — допоміжні та прямокутні. Визначити площі двох останніх потрібно за описаним вище способом. Потім порахувати площу прямокутника і відняти від нього ті, що обчислені для допоміжних. Площу трикутника визначено.
Набагато складнішою є ситуація, в якій жодна зі сторін трикутника не збігається з лініями паперу. Тоді його потрібно вписати у прямокутник так, щоб вершини вихідної фігури лежали на його сторонах. В цьому випадку допоміжних прямокутних трикутників буде три.
Приклад завдання на формулу Герона
Умови. У деякого трикутника відомі сторони. Вони дорівнюють 3, 5 і 6 см. Необхідно дізнатися про його площу.
Тепер можна обчислювати площу трикутника за зазначеною вище формулою. Під квадратним коренем виявляється добуток чотирьох чисел: 7, 4, 2 і 1. Тобто площа дорівнює √(4 * 14) = 2 √(14).
Якщо не потрібна велика точність, то можна отримати квадратний коріньіз 14. Він дорівнює 3,74. Тоді площа дорівнюватиме 7,48.
Відповідь. S = 2√14 см 2 або 7,48 см 2 .
Приклад задачі із прямокутним трикутником
Умови. Один катет прямокутного трикутника більший, ніж другий на 31 см. Потрібно дізнатися про їх довжину, якщо площа трикутника дорівнює 180 см 2 .
Рішення. Прийде вирішити систему з двох рівнянь. Перше пов'язане із площею. Друге — із ставленням катетів, яке дано у завданні.
180 = ½ а * в;
а = + 31.
Спочатку значення «а» слід підставити на перше рівняння. Вийде: 180 = ½ (в + 31) * ст. У ньому лише одна невідома величина, тому його легко вирішити. Після розкриття дужок виходить квадратне рівняння: в 2 + 31 в - 360 = 0. Воно дає два значення для "в": 9 і - 40. друге число не підходить як відповідь, так як довжина сторони трикутника не може бути негативною величиною.
Залишилося обчислити другий катет: додати до отриманого числа 31. Виходить 40. Це шукані завдання величини.
Відповідь. Катети трикутника дорівнюють 9 і 40 см.
Завдання на знаходження сторони через площу, бік та кут трикутника
Умови. Площа деякого трикутника 60 см2. Необхідно обчислити одну з сторін, якщо друга сторона дорівнює 15 см, а кут між ними дорівнює 30º.
Рішення. Виходячи з прийнятих позначень, шукана сторона "а", відома "в", заданий кут "γ". Тоді формулу площі можна переписати так:
60 = ½ а * 15 * sin 30 º. Тут синус 30 градусів дорівнює 0,5.
Після перетворень «а» виявляється рівним 60/(0,5*0,5*15). Тобто, 16.
Відповідь. Потрібна сторона дорівнює 16 см.
Завдання про квадрат, вписаний у прямокутний трикутник
Умови. Вершина квадрата зі стороною 24 см збігається із прямим кутом трикутника. Дві інші лежать на катетах. Третя належить гіпотенузі. Довжина одного з катетів дорівнює 42 см. Чому дорівнює площа прямокутного трикутника?
Рішення. Розглянемо два прямокутні трикутники. Перший - заданий у завданні. Другий – спирається на відомий катет вихідного трикутника. Вони подібні, тому що мають загальний кут та утворені паралельними прямими.
Тоді відносини їхніх катетів рівні. Катети меншого трикутника дорівнюють 24 см (сторона квадрата) і 18 см (заданий катет 42 см відняти сторону квадрата 24 см). Відповідні катети великого трикутника — 42 см та х см. Саме цей «х» потрібен для того, щоб обчислити площу трикутника.
18/42 = 24/х, тобто х = 24*42/18 = 56 (см).
Тоді площа дорівнює творам 56 і 42, поділеному на два, тобто 1176 см 2 .
Відповідь. Шукана площа дорівнює 1176 см 2 .
Loading...