Призма характеристика. Площа основи призми: від трикутної до багатокутної

Визначення. Призма- це багатогранник, всі вершини якого розташовані в двох паралельних площинах, причому в цих же двох площинах лежать дві грані призми, що є рівними багатокутниками з відповідно паралельними сторонами, а всі ребра, що не лежать у цих площинах, паралельні.

Дві рівні грані називаються підставами призми(ABCDE, A 1 B 1 C 1 D 1 E 1).

Всі інші грані призми називаються бічними гранями(AA 1 B 1 B, BB 1 C 1 C, CC 1 D 1 D, DD 1 E 1 E, EE 1 A 1 A).

Усі бічні грані утворюють бічну поверхню призми .

Усі бічні грані призми є паралелограмами .

Ребра, що не лежать в основах, називаються бічними ребрами призми( AA 1, BB 1, CC 1, DD 1, EE 1).

Діагоналлю призми називається відрізок, кінцями якого служать дві вершини призми, що не лежать на одній її грані (AD 1).

Довжина відрізка, що з'єднує основи призми і перпендикулярна одночасно обом основам,називається висотою призми .

Позначення:ABCDE A 1 B 1 C 1 D 1 E 1. (Спочатку в порядку обходу вказують вершини однієї основи, а потім у тому ж порядку - вершини іншої; кінці кожного бокового ребра позначають однаковими літерами, тільки вершини, що лежать в одній підставі, позначаються літерами без індексу, а в іншій - з індексом)

Назву призми пов'язують з числом кутів у фігурі, що лежить у її підставі, наприклад, на малюнку 1 у підставі лежить п'ятикутник, тому призму називають п'ятикутною призмою. Але т.к. у такої призми 7 граней, то вона семигранник(2 грані - підстави призми, 5 граней - паралелограми, - її бічні грані)

Серед прямих призм виділяється окремий вид: правильні призми.

Пряма призма називається правильною,якщо її підстави - правильні багатокутники.

Паралелепіпед

Прямокутний паралелепіпед- Прямий паралелепіпед, основою якого є прямокутник.

Властивості та теореми:

,

де d – діагональ квадрата;
a – сторона квадрата.

Подання про призм дають:

• різні архітектурні споруди;
• дитячі іграшки;
• пакувальні коробки;
• дизайнерські предмети тощо.

Площа повної та бічної поверхні призми

S повн = S бік + 2S осн,

де S повний- площа повної поверхні, S бік-площа бічної поверхні, S осн- площа основи

Площа бічної поверхні прямої призми дорівнює добутку периметра основи на висоту призми.

S бік= P осн * h,

де S бік-площа бічної поверхні прямої призми,

P осн - периметр основи прямої призми,

h - висота прямої призми, що дорівнює бічному ребру.

Обсяг призми

Обсяг призми дорівнює добутку площі основи висоту.

Дотримання Вашої конфіденційності є важливим для нас. З цієї причини ми розробили Політику конфіденційності, яка описує, як ми використовуємо та зберігаємо Вашу інформацію. Будь ласка, ознайомтеся з нашими правилами дотримання конфіденційності та повідомте нам, якщо у вас виникнуть будь-які питання.

Збір та використання персональної інформації

Під персональної інформацією розуміються дані, які можна використовувати для ідентифікації певного особи чи зв'язку з ним.

Від вас може бути запрошено надання вашої персональної інформації у будь-який момент, коли ви зв'язуєтесь з нами.

Нижче наведено приклади типів персональної інформації, яку ми можемо збирати, і як ми можемо використовувати таку інформацію.

Яку персональну інформацію ми збираємо:

• Коли ви залишаєте заявку на сайті, ми можемо збирати різноманітну інформацію, включаючи ваше ім'я, номер телефону, адресу електронної поштиі т.д.

Як ми використовуємо вашу персональну інформацію:

• Збирається нами Персональна інформаціядозволяє нам зв'язуватися з вами та повідомляти про унікальні пропозиції, акції та інші заходи та найближчі події.
• Час від часу ми можемо використовувати вашу персональну інформацію для надсилання важливих повідомлень та повідомлень.
• Ми також можемо використовувати персональну інформацію для внутрішніх цілей, таких як проведення аудиту, аналізу даних та різних досліджень з метою покращення послуг, що надаються нами, та надання Вам рекомендацій щодо наших послуг.
• Якщо ви берете участь у розіграші призів, конкурсі або подібному стимулювальному заході, ми можемо використовувати інформацію, що надається, для управління такими програмами.

Розкриття інформації третім особам

Ми не розкриваємо отриману від Вас інформацію третім особам.

Винятки:

• Якщо необхідно - відповідно до закону, судовим порядком, у судовому розгляді, та/або на підставі публічних запитів або запитів від державних органівна території РФ – розкрити вашу персональну інформацію. Ми також можемо розкривати інформацію про вас, якщо ми визначимо, що таке розкриття необхідно або доречно з метою безпеки, підтримання правопорядку або інших суспільно важливих випадків.
• У разі реорганізації, злиття або продажу ми можемо передати персональну інформацію, що збирається нами, відповідній третій особі – правонаступнику.

Захист персональної інформації

Ми вживаємо запобіжних заходів - включаючи адміністративні, технічні та фізичні - для захисту вашої персональної інформації від втрати, крадіжки та недобросовісного використання, а також від несанкціонованого доступу, розкриття, зміни та знищення.

Дотримання вашої конфіденційності на рівні компанії

Для того, щоб переконатися, що ваша персональна інформація знаходиться в безпеці, ми доводимо норми дотримання конфіденційності та безпеки до наших співробітників і суворо стежимо за дотриманням заходів дотримання конфіденційності.

Загальні відомості про пряму призму

Бічною поверхнею призми (точніше, площею бічної поверхні) називається сумаплощ бічних граней. Повна поверхня призми дорівнює сумі бічної поверхні та площ основ.

Теорема 19.1. Бічна поверхня прямої призми дорівнює добутку периметра основи висоту призми, т. е. на довжину бічного ребра.

Доведення. Бічні грані прямої призми – прямокутники. Основи цих прямокутників є сторонами багатокутника, що лежить в основі призми, а висоти дорівнюють довжині бічних ребер. Звідси випливає, що бічна поверхня призми дорівнює

S = a 1 l + a 2 l + ... + a n l = pl,

де a 1 а n - довжини ребер основи, р - периметр основи призми, а I - довжина бічних ребер. Теорему доведено.

Практичне завдання

Завдання (22) . У похилій призмі проведено переріз, перпендикулярне бічним ребрам і перетинає всі бічні ребра. Знайдіть бічну поверхню призми, якщо периметр перерізу дорівнює р, а бічні ребра дорівнюють l.

Рішення. Площина проведеного перерізу розбиває призму на частини (рис. 411). Піддамо одну з них паралельному переносу, що поєднує підстави призми. При цьому отримаємо пряму призму, у якої основою є переріз вихідної призми, а бічні ребра дорівнюють l. Ця призма має ту саму бічну поверхню, що й вихідна. Таким чином, бічна поверхня вихідної призми дорівнює рl.

Узагальнення пройденої теми

А тепер давайте спробуємо з вами підбити підсумки пройденої теми про призм і пригадаємо, які властивості має призм.

Властивості призми

По-перше, у призми всі її основи є рівними багатокутниками;
По-друге, у призми усі її бічні грані є паралелограмами;
По-третє, у такої багатогранної фігури, як призма, всі бічні ребра рівні;

Також, слід згадати, що такі багатогранники, як призми, можуть бути прямими і похилими.

Яка призма називається прямою?

Якщо ж у призми бічне ребро розташоване перпендикулярно площині її основи, то така призма називається прямою.

Не зайве нагадати, що бічні грані прямої призми є прямокутниками.

Яку призму називають похилою?

А от якщо ж у призми бічне ребро не розташоване перпендикулярно до площини її основи, то можна сміливо стверджувати, що це похила призма.

Яку призму називають правильною?

Якщо в основі прямої призми лежить правильний багатокутник, то така призма є правильною.

Тепер згадаємо властивості, які має правильна призма.

Властивості правильної призми

По-перше, завжди підставами правильної призми є правильні багатокутники;
По-друге, якщо розглядати у правильної призми бічні грані, всі вони завжди бувають рівними прямокутниками;
По-третє, якщо порівнювати розміри бічних ребер, то правильної призмі вони завжди рівні.
По-четверте, правильна призма завжди пряма;
По-п'яте, якщо ж у правильній призмі бічні грані мають форму квадратів, то таку фігуру зазвичай називають напівправильним багатокутником.

Перетин призми

А тепер давайте розглянемо переріз призми:

Домашнє завдання

А тепер давайте спробуємо закріпити вивчену тему за допомогою розв'язання задач.

Давайте намалюємо похилу трикутну призму, у якої відстань між її ребрами дорівнюватиме: 3 см, 4 см і 5 см, а бічна поверхня цієї призми дорівнюватиме 60 см2. Маючи такі параметри, знайдіть бічне ребро цієї призми.

А ви знаєте, що геометричні фігурипостійно оточують нас не тільки на уроках геометрії, а й у повсякденному життізустрічаються предмети, що нагадують ту чи іншу геометричну фігуру.

У кожного будинку, у школі або на роботі є комп'ютер, системний блок якого має форму прямої призми.

Якщо ви візьмете в руки простий олівець, то ви побачите, що основною частиною олівця є призма.

Ідучи центральною вулицею міста, ми бачимо, що у нас під ногами лежить плитка, яка має форму шестикутної призми.

А. В. Погорєлов, Геометрія для 7-11 класів, Підручник для загальноосвітніх установ

Багатокутники ABCDE та FHKMP , що лежать у паралельних площинах, називаються основами призми, перпендикуляр OO 1 , опущений з будь-якої точки основи на площину іншого, називається висотою призми. Паралелограми ABHF, BCKH і т.д. називаються бічними гранями призми, які сторони СК , DM тощо., що з'єднують відповідні вершини підстав, - бічними ребрами. У призми всі бічні ребра дорівнюють між собою як відрізки паралельних прямих, укладених між паралельними площинами.
Призма називається прямою ( фиг.282,б) або похилою ( фиг.282,в) залежно від того, чи будуть її бічні ребра перпендикулярні або похилі до основ. У прямій призми бічні грані – прямокутники. За висоту такої призми можна прийняти бічне ребро.
Пряма призма називається правильною, якщо її підстави – правильні багатокутники. У такої призми всі бічні грані – рівні прямокутники.
Для зображення на комплексному кресленні призми треба знати та вміти зображати елементи, з яких вона складається (крапку, пряму, плоску фігуру).
та їх зображення на комплексному кресленні (фіг.283, а - і)

а) Комплексне креслення призми. Основа призми розташована на площині проекцій П 1; одна з бічних граней призми паралельна площині проекцій П 2 .
б) Ніока основа призми DEF - плоска фігура - правильний трикутник, розташований у площині П 1; сторона трикутника DE паралельна осі х 12 - Горизонтальна проекція зливається з цією основою і, отже, дорівнює його натуральній величині; фронтальна проекція зливається з віссю х 12 і дорівнює боці підстави призми.
в) Верхня основа призми АВС - плоска фігура - трикутник, розташований у горизонтальній площині. Горизонтальна проекція зливається з проекцією нижньої основи та закриває собою її, оскільки призма пряма; фронтальна проекція - пряма, паралельна осі х 12 на відстані висоти призми.
г) Бічна грань призми ABED - плоска форма - прямокутник, що лежить у передній поверхні. Фронтальна проекція - прямокутник, що дорівнює натуральній величині грані; горизонтальна проекція - пряма, рівна стороні основи призми.
д) та е) Бічні грані призми ACFD та CBEF - плоскі фігури - прямокутники, що лежать у горизонтально - проектуючих площинах, розташованих під кутом 60° до площини проекцій П 2 . Горизонтальні проекції - прямі, розташовані до осі х 12 під кутом 60°, і дорівнюють натуральній величині сторін підстави призми; фронтальні проекції - прямокутники, зображення яких менше натуральної величини: дві сторони кожного прямокутника дорівнюють висоті призми.
ж) Ребро AD призми – пряма, перпендикулярна до площини проекцій П 1 . Горизонтальна проекція – точка; фронтальна - пряма, перпендикулярна до осі х 12 , рівна боковому ребру призми (висоти призми).
з) Сторона АВ верхньої основи - пряма, паралельна площин П 1 і П 2 . Горизонтальна та фронтальна проекції - прямі, паралельні осі х 12 та рівні стороні даної основи призми. Фронтальна проекція відстане від осі х 12 на відстані, що дорівнює висоті призми.
і) Вершини призми. Точка Е - вершина нижньої основи розташована на площині П 1 . Горизонтальна проекція збігається з точкою; фронтальна - лежить на осі x 12. Точка С - вершина верхньої основи - розташована у просторі. Горизонтальна проекція має глибину; фронтальна - висоту, рівну висоті цієї призми.
Звідси випливає: проектуючи всякий багатогранник, треба подумки розчленувати його на складові елементи і визначити порядок їх зображення, що складається з послідовних графічних операцій.На (фіг.284 та фиг.285) наведені приклади послідовних графічних операцій при виконанні комплексного креслення та наочного зображення (аксонометрії) призм.
(Фіг.284).

Дано:
1. Основа розташована на площині проекцій П 1 .
2. Жодна зі сторін основи не паралельна осі х 12 .
I. Комплексне креслення.
I, а. Проектуємо нижню основу - багатокутник, що за умовою лежить у площині П 1 .
I, б. Проектуємо верхню основу - багатокутник, рівний нижній основі з відповідно паралельними нижній основі сторонами, що віддаляється від нижньої основи на висоту H даної призми.
І, ст. Проектуємо бічні ребра призми – відрізки, розташовані паралельно; їх горизонтальні проекції - точки, що зливаються з проекціями вершин основ; фронтальні - відрізки (паралельні), отримані від з'єднання прямими однойменних проекцій вершин основ. Фронтальні проекції ребер, проведені з проекцій вершин В і С нижньої основи, зображуємо штриховими лініями як невидимі.
I, р. Дані: горизонтальна проекція F 1 точки F на верхній основі і фронтальна проекція До 2 точки До на бічній грані. Потрібно визначити місця їхніх других проекцій.
Для точки F. Друга (фронтальна) проекція F 2 точки F збігатиметься з проекцією верхньої основи, як точка, що лежить в площині цієї основи; її місце визначається вертикальною лінією зв'язку.
Для точки К - Друга (горизонтальна) проекція K 1 точки До збігатиметься з горизонтальною проекцією бічної грані, як точка, що лежить у площині грані; її місце визначається вертикальною лінією зв'язку.
ІІ. Розгорнення поверхні призми- Плоска фігура, складена з бокових граней - прямокутників, у яких по дві сторони рівні висоті призми, а інші дві рівні відповідним сторонам основи, і з двох рівних між собою підстав - неправильних багатокутників.
Натуральні розміри основ і сторін граней, необхідних побудови розгортки, виявлено на проекціях; за ними і робимо побудову; на прямий послідовно відкладаємо сторони АВ, ВС, CD, DE і ЕA багатокутника - основи призми, взяті з горизонтальної проекції. На перпендикулярах, проведених з точок А, В, С, D, Е та А, відкладаємо взяту з фронтальної проекції висоту Н цієї призми та через позначки проводимо пряму. В результаті отримуємо розгорнення бічних граней призми.
Якщо до цієї розгортки прилаштувати підстави призми, отримаємо повну поверхню призми. Підстави призми слід прилаштовувати до відповідної бічної грані, користуючись методом тріангуляції.
На верхньому підставі призми з допомогою радіусів R і R 1 визначаємо місце точки F , але в бічній грані з допомогою радіусу R 3 і Н 1 - точку K .
ІІІ. Наочне зображення призми у диметрії.
ІІІ, а. Зображуємо нижню основу призми за координатами точок А, В, З, D і Е (фіг.284 I, a).
ІІІ, б. Зображаємо верхню основу паралельно нижньому, що віддаляється від нього на висоту Н призми.
ІІІ, ст. Зображаємо бічні ребра, навіщо з'єднуємо прямими відповідні вершини основ. Визначаємо видимі та невидимі елементи призми та обводимо їх відповідними лініями,
III, м. Визначаємо на поверхні призми точки F і К - точку F - на верхній підставі визначаємо за допомогою розмірів i і е; точку К - на бічній грані за допомогою i 1 і H" .
Для ізометричного зображення призми та визначення місць точок F та К слід дотримуватись тієї ж послідовності.
фиг.285).

Дано:
1. Основа розташована на площині П 1 .
2. Бічні ребра паралельні площині П 2 .
3. Жодна зі сторін основи не паралельна осі x 12
I. Комплексне креслення.
I, а. Проектуємо по даною умовою: нижня основа - багатокутник, що лежить у площині П 1 , і бічне ребро - відрізок, паралельний площині П 2 і похильний до площини П 1 .
I, б. Проектуємо інші бічні ребра - відрізки, рівні та паралельні першому ребру РЄ.
І, ст. Проектуємо верхню основу призми як багатокутник, рівний і паралельний до нижньої основи, отримуємо комплексне креслення призми.
Виявляємо на проекціях невидимі елементи. Фронтальну проекцію ребра ВМ та горизонтальну проекцію сторони основи CD зображуємо штриховими лініями як невидимі.
I, м. Дана фронтальна проекція Q 2 точки Q на проекції A 2 K 2 F 2 D 2 бічній грані; потрібно знайти її горизонтальну проекцію. Для цього проводимо через точку Q 2 в проекції A 2 K 2 F 2 D 2 грані призми допоміжну пряму, паралельну бічним ребрам цієї грані. Знаходимо горизонтальну проекцію допоміжної прямої і на ній за допомогою вертикальної лінії зв'язку визначаємо місце шуканої горизонтальної проекції Q точки Q 1 .
ІІ. Розгортання поверхні призми.
Маючи на горизонтальній проекції натуральні розміри сторін основи, але в фронтальної - розміри ребер, можна побудувати повну розгортку поверхні цієї призми.
Котимо призму, повертаючи її щоразу навколо бічного ребра, тоді кожна бічна грань призми на площині залишатиме слід (паралелограм), що дорівнює її натуральній величині. Побудову бічної розгортки будемо проводити в такому порядку:
а) з точок А 2 , 2 , D 2 . . . Е 2 (фронтальних проекцій вершин основ) проводимо допоміжні прямі, перпендикулярні до проекцій ребер;
б) радіусом R ( рівним боціпідстави CD) робимо на допоміжній прямій, проведеній з точки D 2 засічку в точці D ; з'єднавши прямий точки З 2 і D і провівши прямі, паралельні E 2 З 2 і C 2 D отримаємо бічну грань CEFD ;
в) потім, аналогічно прилаштувавши наступні бічні грані, отримаємо розгорнення бічних граней призми. Для отримання повної розгортки поверхні даної призми прилаштовуємо до відповідних меж підстави.
ІІІ. Наочні зображення призми в ізометрії.
ІІІ, а. Зображаємо нижню основу призми та ребро РЄ, користуючись координатами згідно (