Открытый урок логарифмы. Открытый урок по математика на тему "свойства логарифмов". Что есть больше всего

Тема: Свойства логарифмов.

Цели : 1. Обучающие: формирование умения выполнять тождественные преобразования,

используя свойства логарифмов.

2. Развивающие цели: развитие самостоятельности мышления, умения

обосновывать свое решение.

3. Воспитательные цели: способствовать воспитанию познавательной потребности

учащихся путем создания проблемной ситуации.

Основные понятия: логарифм произведения,

логарифм частного, логарифм степени.

Самостоятельная деятельность учащихся: решение задач по теме «Свойства логарифмов»

Основополагающий вопрос : А можно ли без них?

Проблемный вопрос:

Актуализация. (3 минуты.)

Французский писатель Анатоль Франс (1844-1924) заметил: «Что учиться можно только весело. Чтобы переварить знания, надо поглощать их с аппетитом».

Последуем совету писателя: будем активны на уроке, внимательны, будем «поглощать» знания с большим желанием.

Задача стоит такая: научиться решать логарифмические выражения с использованием свойств логарифмов.

1. Обсуждение № 180(3) из дом. Задания

log 0,2 log 2 (2x+3)

log 0,2 log 2 (2x+3)log 0,2 5

log 2 (2x+3)log 2 32

Вычислите:

а) log 1/3 1/3 в) log 1/3 1/9 д) log 1/3 9

б) log 1/3 3 г) log 1/3 1 е)log 1/3

3.Укажите область определения функции:

а)y=log 3 x в) y=log 3 |x|

б) y=log 3 (x-1) г) y=log 3 (-x)

4.Определите характер монотонности функции:

а) y=log 3 x б) y=log 1/3 x в) y= -log 5 x

Изучение нового материала .(10 минут.)

Проблемный вопрос:

Как вывести свойства логарифмов, используя свойства степеней?

а x =b x=log a b

а y =c y=log a c

вc=a x b y = a log а b a log a c = a log a b+ log a c

log a (bc)=log a b+log a c

Аналогично можно получить логарифм частного и степени:

log a b/c= log a b- log a c

log a b р = р log a b

Переход к логарифму с новым основанием.

log a b = x , a x =b (логарифмируем)

log c a x =log c b

x log c a = log c b

x= log c b / log c a

log a p b = 1 /p log a b(вынесение показателя степени основания)

(Формулы занести в таблицу)

Свойства логарифмов	Название и формулировка свойства
	Логарифм произведения равен сумме логарифмов
	Логарифм частного равен разности логарифмов
log a b p = p log a b	Логарифм степени равен произведению показателя степени на логарифм основания этой степени

Учащиеся копируют таблицу в тетрадях.

Логарифмы с одинаковыми

основаниями

Логарифмы с разными

основаниями

log a (bc) = log a b + log a c

log a b / c = log a b – log a c

log a b p =p log a b

log a b= log c b/ log c a

log a p b=1/p log a b

Iii. Применение. (20 минут.)

№ 182 (1-5) (учащиеся анализируют задания на предмет возможности использования

свойств логарифмов)

log 6 2+ log 6 3

log 1/15 25 + log 1/15 9

log 3 12 – log 3 4

log 2 12+ log 0,5 3

log 3 18 + log 1/3 2

Вопросы к данному номеру:

Одинаковы ли основания логарифмов в задании?

С какой частью таблицы будете работать?

Какую формулу из таблицы примените?

Что в результате получите?

Запишите вычисления.

соответствующей формулы, назвать получившиеся выражения и его

значение.

№ 183 (1,2)- фронтально.

Зная, что log 6 2=a выразите через выражение 1) log 6 16

№ 183 (3,4)- самостоятельно.

(Ответы: в 3) 7,5а; в 4) -4а)

№ 183 (5)- фронтально

log 2 6= log 6 6 / log 6 2=1/a

(Ученики должны заметить, что данный логарифм имеет другое основание и используя результат данного задания получить ещё одну формулу log a b= 1/log b a)

Работа по учебнику: пример №1.

log 2 x = 3-4log 2 + 3log 2 3

3- 4 log 2 + 3 log 2 3 = log 2 2 3 – log 2 () 4 + log 2 3 3 = log 2 2 3 3 3 /() 4 =log 2 8* 3 3 /3 2 =

Log 2 (8*3)=log 2 24

log 2 x= log 2 24, x=24

Из рассмотренного примера учащиеся знакомятся с новым термином «потенцирование»- нахождение числа по известному логарифму.

№ 185 (2)- самостоятельно

(Ответ: а=20,25)

IV . Домашнее задание: п. 11(пр.1); (1 минута.)

№ 181(1)- вывод формулы логарифм частного

№ 182 (3,5,7 *)

V . Итог урока: (1 минута)

Вывод: - какую тему рассмотрели?

Какая задача стояла на уроке?

Какие свойства логарифмов вы знаете?

Чему равен логарифм произведения?

Чему равен логарифм частного?

Чему равен логарифм степени?

Выставление оценок с пояснением.

VI . Информационные ресурсы:

Г. К. Муравин, О. В. Муравина

Алгебра и начала анализа.

Г. К. Муравин, О. В. Муравина

Алгебра и начала анализа. Учебник 10кл. М.: Дрофа, 2004г.

А. Я. Симонов и др.

Система тренировочных задач и упражнений по математике. М.: Просвещение, 1998г.

v . Кросснамбер. (в переводе с английского – кресточислица) –один из видов

числовых ребусов.

Урок разработан в рамках мероприятий, посвященных к юбилею ГБОУ СПО "Саровский политехнический техникум". Студенты смогут не только обобщить и систематизировать знания по данной теме, но и познакомиться с исорией создания техникума.

Скачать:

Предварительный просмотр:

Тема: Логарифмы и их свойства

Цели урока (слайд 2)

Образовательные

Обобщение и систематизация знаний по теме «Логарифмы и их свойства»;
Закрепление понятия логарифма и основных его свойств, основного логарифмического тождества;
Формирование умений и навыков применять свойства логарифмов для преобразования логарифмических выражений;
Развитие математического мышления; техники вычисления, умения логически мыслить и рационально работать;
Воспитание познавательной активности, чувства ответственности, уважения друг к другу, любви к своему техникуму, взаимопонимания, уверенности в себе;
Усиление практической направленности данной темы для качественной подготовки к экзамену.

Развивающие

развивать математическое мышление, технику вычисления логарифмов;
умение логически мыслить и рационально работать в группах;
способствовать развитию у обучающихся навыков самоконтроля.

Воспитательные

воспитание познавательной активности, чувства ответственности, уважения друг к другу, любви к своему техникуму, взаимопонимания, уверенности в себе;
воспитание культуры общения.

Тип урока: урок обобщения и систематизация знаний (слайд 3)

Формы проведения учебного занятия :

фронтальная;
индивидуальная;
групповая.

Оборудование: компьютер, презентация "Логарифмы и их свойства", видеоролики про историю техникума, раздаточный материал заданий (по уровням).

Методы обучения: тестовая проверка уровня знаний, самопроверка, самостоятельная работа.

Структура урока:

Организационный момент. (1 мин.)
Сообщение темы, целей урока. (1 мин.)
Проверка домашнего задания. (5 мин.)
Этап обобщения и систематизации знаний и умений:

фронтальная работа (5 мин.)
индивидуальная работа.(12 мин.)
тренировочные упражнения- закрепления. Работа в парах. (20 мин.)

Индивидуальные разноуровневые задания. (30 мин.)
Подведение итога урока. Рефлексия. (4 мин.)
Домашнее задание. (4 мин.)
Просмотр роликов об истории техникума (8 мин.)

ХОД УРОКА

Организационный момент (1 мин)

Взаимное приветствие; проверка готовности обучающихся к уроку, организация внимания.

2. Сообщение темы, целей урока (1 мин)

Тема урока "Логарифмы и их свойства" (слайд 1)

Сегодня на уроке мы повторим определение логарифма, основное логарифмическое тождество, свойства логарифмов, которые значительно упрощают нахождение значений выражений, содержащих логарифмы, а в дальнейшем с их помощью мы будем решать логарифмические уравнения и неравенства. (слайд 2-3)

Логарифмы находят самое широкое применение и при обработке результатов тестирований в психологии и социологии, в составлении прогнозов погоды, в экономике, музыке и т.п. Логарифмы применяются для измерения энергетических (мощность, энергия) или силовых (напряжение, сила тока) величин. Эти величины встречаются практически во всех разделах физики. Используются логарифмы и в расчетах, связанных с изменением атмосферного давления при изменении высоты над уровнем моря. С помощью логарифмов ученые научились определять точный возраст ископаемых пород и животных. Наиболее распространен радиоуглеродный анализ.

3. Проверка домашнего задания.(5мин.) (слайд 4)

Вы дома вычисляли логарифмы и должны были справа записывать ответ.

Теперь сопоставьте свой ответ с буквой и составьте слово.

Итак, получилось "ТЕХНИКУМ" . (слайд 5)

Что мы знаем о Саровском политехническом техникуме, в котором учимся? (слайд 6)

Техникум - не только здание, это большая история, большая судьба, сложенная из маленьких судеб преподавателей, мастеров и обучающихся. В этом году нашему техникуму исполняется 50 лет! И сегодня на уроке мы проследим основные этапы жизни нашего техникума, систематизируя и повторяя изученный материал.

(слайд 7 просмотр видеоролика 1)

У вас на столе лежат различные задания и лист оценивания. (Приложение 1 , Приложение 2 )

Все достигнутые результаты вы будете заносить в таблицу, после чего подсчитаете баллы и оцените себя.

Задания для урока подобраны по уровню сложности и каждый уровень своего цвета:

уровень А - лёгкие задания (жёлтый цвет),
уровень В - средние задания (зелёный цвет),
уровень С - более сложные задания (красный цвет).

4. Этап обобщения и систематизации знаний и умений.

Проверим знание определений и свойств логарифмов.

Устно: (слайд 8)

1. Вставить пропущенные слова:

Логарифмом числа b по:::::::::. а называется:::::.. степени, в которую нужно:::::. основание а, чтобы получить число b.

Задание 1. Вам предлагается карточка, в которой, работая в паре, для каждой формулы вы должны найти ответ, соединив их стрелкой. (слайд 9)

(ответы записываем в оценочный лист

Запишите количество правильных ответов в строке "итог".

Задание 2.

Вычислить устно и рассказать какое свойство логарифма применяется. (слайд 10)

Получаются ответы 1 9 6 3 .

1 9 6 3 – знаменательные цифры для нашего техникума. В 1963 было создано профессионально-техническое училище в городе Арзамас-16 для подготовки рабочих кадров ВНИИЭФ. С этого момента и начинается история современного Саровского политехнического техникума. Оно создавалось для обеспечения нужд ВНИИЭФ и завода «Авангард» квалифицированными рабочими кадрами. Обучение велось на базе восьми классов, без получения полного (общего) среднего образования. (слайд 11 просмотр видеоролика 2).

Тренировочные упражнения-закрепления. Работа в парах.

Задание 3. Итак, мы повторили основные свойства логарифмов, теперь проверим, как вы их умеете их применять при решении заданий. (слайд 12)

Перед вами 9 решенных примеров, среди которых есть правильные, остальные с ошибкой. Определите верное равенство (назовите его номер), в остальных исправьте ошибки.

Решение показывают в тетради, номера правильных ответов записывают в оценочный лист.

1) log 2 32 + log 2 2 =log 2 64 = 6

2) log 3 45 - log 3 15 =log 3 3=1

3) log 7 28 - log 7 4 = log 7 24

4) 2log 5 6 = log 5 12

5) log 7 28 - log 7 4 = log 7 24

6) log 5 5 3 = 2

7) 3log 2 4 = log 2 64=6

8) log 3 15 + log 3 3 = log 3 18

9) 3log 2 3 = log 2 27

Получаем, примеры, с номерами 1 2 9 7

В 1972 году Городское профессиональное училище было преобразовано в Среднее профессиональное училище (СПТУ) с получением помимо профессии еще и полного (общего) среднего образования.(слайд 13 просмотр видеоролика 3).

Задание 4. В каждом из разобранных примеров мы с вами применяли только какое-то одно из свойств логарифмов. Давайте рассмотрим пример, в котором применяется сразу несколько свойств. (На доске выполняет студент, комментируя каждый шаг решения). (слайд 14)

С 1992 года СПТУ преобразовано в Высшее профессиональное училище (Технический лицей) или ПЛ-19. А с 1996 года в ПЛ-19 было введено среднее профессиональное образование с введением специальностей техническая эксплуатация и обслуживание электрического и электромеханического оборудования, технология машиностроения, бухгалтерский учет, и товароведение. В 1999 году учебное заведение получило название Саровский политехнический техникум и прошло аттестацию и аккредитацию в 2003 году.(слайд 15 просмотр видеоролика 4).

Задание 5. (работа в парах).

Вы должны за определенное время выполнить задания теста. Запишите ответы в оценочный лист. Сопоставьте полученные ответы буквам и прочтите зашифрованное слово. (слайд 16)

А -6	Б 8	М 4	Г 49
О 30	Б 11	В 14	Г 1
Е 57	Р 40	У - 3	Ф 3
П 54	Р - 2	Ч 2	Т 33
М - 4	Л -12	П 6	А 0,5
К - 1	Л 1	П 16	Е 5

А -6	О 9	Б 2	В -2
Л -2	А -1	В 2	Г -3
А 2,5	Б 8	В 16	Г -2

Какое слово у вас получилось?

Горчакова Наталья Федоровна - директор ГБОУ СПО «Саровский политехнический техникум» с 2008 г. (слайд 17 просмотр видеоролика 5)

А первым руководителем ГПТУ №19 был Семенов Иван Александрович, занимавший эту должность несколько месяцев. Ему на смену с 1963 года пришел Куманев Виктор Иванович . С 1978 года руководство в ГПТУ №19 возглавил Фадеев Юрий Васильевич, остававшийся в должности директора до 1996 года. С 1996 по 2008 – директором была Жучкова Валентина Григорьевна.

6. Проверка знаний: индивидуальные разноуровневые задания.(20мин.)

Задание 6. (слайд 18)

Вам предложены задания на вычисление логарифмических выражений. Задания 3-х уровневые.

3 уровень. (красный цвет) (слайд 21)

Подведение итогов (слайд 22)

Заполнение оценочного листа, выставление оценок

8. Домашнее задание. (слайд 23)

Задани1. Решить уравнения

1) log4 x = 2

2) logx 16 = 2

3) log2 (x+1) = log2 11

4) log3 (x-4) = log3 9

Задание 2(слайд 24)

Какое из данных чисел является корнем уравнения

1) log2 x =2 а)16 б)4 в)8 г)2

2) log3 x =-2 a)1/16 б)1/81 в)1/9 г)-9

3) logx 25=2 а)25 б)5 в)-5 г)1/5

Вычислите: (слайд25)

(слайд 26)

« СЧИТАЙ НЕСЧАСТНЫМ ТОТ ДЕНЬ ИЛИ ЧАС, В КОТОРЫЙ ТЫ НЕ УСВОИЛ НИЧЕГО НОВОГО И НИЧЕГО НЕ ПРИБАВИЛ К СВОЕМУ ОБРАЗОВАНИЮ.»

Я. А. КОМЕНСКИЙ

Спасибо за урок! (слайд 27)

Тема: «Логарифмы и их свойства»

Тип урока : урок проверки, оценки и коррекции знаний, умений и навыков.

Вид урока: урок совершенствования знаний, умений и навыков.

Методы и приёмы: информационный, частично-поисковый, взаимообучения, словесный, наглядный.

Формы работы: индивидуальная, групповая, коллективная, устная, письменная.

Цели урока :

Образовательные:

Повторить определение логарифма.

Закрепить основные свойства логарифмов.

Способствовать формированию умения применять свойства логарифмов при решении заданий.

Развивающие:

Развивать способности к самостоятельному планированию и организации работы;

Развивать мыслительную деятельность учащихся, способность самооценки и взаимооценки; формировать умения чётко и ясно излагать свои мысли.

Воспитательные:

Воспитывать умение работать с имеющейся информацией.

Воспитывать личностные качества обучающихся (умение слушать), доброжелательность по отношению к окружающим, внимательность, аккуратность, дисциплинированность.

Воспитывать интерес к предмету и потребности в приобретении знаний.

Используемое оборудование: компьютер, мультимедийная установка

Используемые ЦОР:

Мультимедийная презентация учителя "Логарифмы и их свойства", тесты, подготовленные средствами MS PowePoint , карточки для индивидуальной работы.

План урока:

Организация начала урока.

Проверка выполнения домашнего задания.

Актуализация опорных знаний и умений (фронтальная работа, индивидуальная работа; тренировочные упражнения-закрепления.)

Проверка знаний. (Работа у доски).

Контроль и самоконтроль знаний (разноуровневые задания).

Задание на дом.

Подведение итогов урока.

Оценка знаний.

Ход урока:

Организация начала урока. Формулировка темы урока и постановка целей.

Здравствуйте, ребята! Садитесь, пожалуйста. Сегодня у нас с вами необычный урок. Я надеюсь, что этот урок пройдет интересно, с большой пользой для всех. (слайд 1)

Мне бы хотелось взять эпиграфом к нашему уроку высказывание Конфуция (слайд 2)

Эпиграф: Три пути ведут к знанию:
путь размышления – это путь самый благородный,
путь подражания – это путь самый легкий и путь опыта – это путь самый горький.

Значит, на уроке мы будем размышлять, подражать , т.е. делать по образцу и набираться опыта.

Сегодня на уроке мы повторим (цели урока ) определение логарифма, основное логарифмическое тождество, свойства логарифмов, которые значительно упрощают нахождение значений выражений, содержащих логарифмы, а в дальнейшем с их помощью мы будем решать логарифмические уравнения и неравенства. (слайд 3)

- Определите тему урока (слайд 4)

Тема урока «Логарифмы и их свойства »

Открываем тетради и записываем число и тему урока.

2. Проверка домашнего задания. Актуализация опорных знаний и умений.

Проверим ваше домашнее задание. Проверим знание определений и свойств логарифмов.

2.1 Дать определение логарифма .(слайд 5)

Логарифмом числа b по основанию a (b > 0, a > 0, a=1) называют показатель степени, в который нужно возвести число a , чтобы получить число b .

log a b=x означает, что a x =b .

2.2 (слайд 6)

Логарифм произведения равен сумме логарифмов.

Логарифм частного равен сумме логарифмов.

Логарифм степени равен произведению показателя степени на логарифм основания этой степени.

2.3 Подготовит сообщение. Страничка истории. Об истории развития логарифма. (слайд7)

3. Устная работа. Вычислить устно и рассказать какое свойство применяется. (слайд 9)

4. Проверка знаний: тренировочные упражнения-закрепления.

- Мы повторили свойства логарифмов, теперь проверим, как вы их поняли. (работа у доски)

1.Вычислите: ( слайд 9)

log 3 6 + log 3 18 - log 3 4

log 12 4 + log 12 36

2. Найдите число х, если: (слайд 10)

2+ 4 =2 + -

3. Решите уравнение: (слайд 11)

log 2 3 х = log 2 4 + log 2 6 в ) 2 log 8 х = log 8 2,5 + log 8 10

Контроль и самоконтроль знаний.

- Вам предлагается за определённое время решить небольшую самостоятельную работу. (слайд12)

1. Вычислите :

1) log 6 12 + log 6 3

2) log 5 250 – log 5 2

2. Решите уравнение:

log 6 12 + log 6 х = log 6 24

log а х = 2log а 3 + log а 5

После выполнения работы обучающиеся обменивается тетрадями с соседом по парте. Решения с правильными ответами проектируются на экран. (слайд 14,15)

Оценочный лист обучающегося:

Фамилия ___________________________

Имя _______________________________

Количество баллов

(одно задание – 5 баллов)

Оценивал (Ф.И.)

1-1

1-2

1-3

2-1

2-2

Итого

Оценка

Критерии оценки : «5» - 20-25 баллов, «4» - 15-20 баллов, «3» - 10-15 баллов.

Подведение итогов урока: (слайд16)

Продолжите фразы:

Сегодня на уроке я повторил…

Сегодня на уроке я узнал…

Сегодня на уроке я научился…

7.Оценка знаний. (слайд17)

8. Домашнее задание : №747, 752, 762 (слайд18)

9. Заключение. (слайд 19)

Сегодня на уроке вы демонстрировали свои умения в решении задач по теме «Логарифмы и их свойства» - вы размышляли, подражали и набирались опытом.

Закончить урок хочется словами известного математика Мориса Клайна: «Музыка может возвышать или умиротворять душу,

Живопись – радовать глаз,

Поэзия – пробуждать чувства,

Философия – удовлетворять потребности разума,

Инженерное дело – совершенствовать материальную сторону жизни людей,

а математика способна достичь всех этих целей»

(слайд 20)

Литература:

А. Н. Колмогоров и др «Алгебра и начала анализа» 10 – 11 класс.

С.М. Никольский и др. «Алгебра и начала анализа» 11 класс.

М.И. Сканави «Сборник задач по математике».

Н.В. Богомолов «Практические занятия по математике»

Журнал «Математика в школе».

Методическая разработка урока по алгебре 11 класс

«Логарифмы и их свойства»

Цель урока:

Образовательная – ввести понятие логарифма, изучить основные свойства логарифмов и способствовать формированию умения применять свойства логарифмов при решении заданий.

Развивающая - развивать математическое мышление; технику вычисления; умение логически мыслить и рационально работать; способствовать развитию у обучающихся навыков самоконтроля.

Воспитательная – содействовать воспитанию интереса к теме, воспитывать чувство самоконтроля, ответственности.

Задачи урока :

Развить у учащихся умения сравнить, сопоставлять, анализировать, делать самостоятельные выводы.

Ключевые компетенции: способность самостоятельно искать, извлекать, систематизировать, анализировать и отбирать необходимую для решения учебных задач информацию; способность самостоятельно осваивать знания и умения, необходимые для решения поставленной задачи.

Тип урока : Урок изучения и первичного закрепления новых знаний.

Оборудование: компьютер, мультимедийный проектор, презентация "Логарифмы и их свойства", раздаточный материал.

Ключевые слова: логарифм; свойства логарифма.

Программное обеспечение : MS Power Point.

Межпредметные связи : история.

Внутрипредметные связи : «Корень n-ой степени и их свойства».

План урока

Организационный момент.

Повторение пройденного материала.

Объяснение нового материала.

Закрепление.

Самостоятельная работа.

Домашнее задание. Подведение итогов урока.

Ход урока:

Орг момент: проверка готовности учащихся к уроку; рапорт дежурного.

Добрый день, обучающиеся.

Этот урок я хочу начать со слов А.Н. Крылова: «Рано или поздно всякая правильная математическая идея находит применение в том или ином деле».

Повторение пройденного материала.

Учащимся предлагается вспомнить:

1.Что такое степень, основание и показатель.

2. Основные свойства степеней.

3. Сообщение новой темы.

А теперь перейдем к новой теме. Тема сегодняшнего урока - Логарифм и их свойства (откройте тетради и запишите дату и тему).

На этом уроке мы познакомимся с понятием «логарифм», также рассмотрим свойства логарифмов. Тема эта актуальна, т.к. логарифм всегда встречается на итоговой аттестации по математике.

Зададим вопрос:

1) В какую степень нужно возвести 3, чтобы получить 9? Очевидно, во вторую. Показатель степени, в которую нужно возвести число 3, чтобы получить 9, равен 2.

2) В какую степень нужно возвести 2, чтобы получить 8? Очевидно, во вторую. Показатель степени, в которую нужно возвести число 2, чтобы получить 8, равен 3.

Во всех случаях мы искали показатель степени, в которую нужно что-то возвести, чтобы что-то получить. Показатель степени, в которую нужно что-то возвести называется логарифмом и обозначается log.

Число, которое мы возводим в степень, т.е. основание степени, называется основанием логарифма и записывается в нижнем индексе. Затем пишется число, которое мы получает, т.е. число, которое мы ищем: log 3 9=2

Эта запись читается так: «Логарифм числа 9 по основанию 3». Логарифм числа 9 по основанию 3 это показатель степени, в которую нужно возвести 3, чтобы получить 9. этот показатель равен 2.

Аналогично второй пример.

Дадим определение логарифма.

Определение . Логарифмом числа b0 по основанию a0, a ≠ 1 называется показатель степени, в которую надо возвести число a, чтобы получить число b .

Логарифмом числа b по основанию a обозначаетсяlog a b.

История возникновения логарифма:

Логарифмы были введены шотландским математиком Джоном Непером (1550-1617) и математиком Иостом Бюрги (1552-1632).

С точки зрения вычислительной практики, изобретение логарифмов по возможности можно смело поставить рядом с другими, более древним великим изобретением индусов – нашей десятичной системы нумерации.

Через десяток лет после появления логарифмов Непера английский ученый Гунтер изобрел очень популярный прежде счетный прибор – логарифмическую линейку.

Она помогала астрономам и инженерам при вычислениях, она позволяла быстро получать ответ с достаточной точностью в три значащие цифры. Теперь ее вытеснили калькуляторы, но без логарифмической линейки не были бы построены ни первые компьютеры, ни микрокалькуляторы.

Рассмотрим примеры:

log 3 27=3; log 5 25=2; log 25 5=1/2; log 5 1/125=-3; log -2 -8- не существует; log 5 1=0; log 4 4=1

Рассмотрим такие примеры:

1 0 . log a 1=0, а0, a ≠ 1;

2 0 . log a а=1, а0, a ≠ 1.

Эти две формулы являются свойствами логарифма. Запишите свойства и их необходимо запомнить.

В математике принято следующее сокращение:

log 10 а= lg а- десятичный логарифм числа а (буква «о» пропускается, а основание 10 не ставят).

log е а= ln а - натуральный логарифм числа а. «е» - это такое иррациональное число, равное  2,7 (буква «о» пропускается, а основание «е» не ставят).

Рассмотрим примеры:

lg 10=1; lg 1=0

ln e=1 ; ln 1=0 .

Как перейти из логарифмического равенства к показательному: log а b=с, с – это логарифм, показатель степени, в которую нужно возвести а , чтобы получить b . Следовательно, а степени с равен b: а с = b.

Рассмотрим пять логарифмических равенств. Задание: проверить их правильность. Среди этих примеров есть ошибки. Для проверки воспользуемся данной схемой.

lg 1 = 2 (10 2 =100)- это равенство не верное.

log 1/2 4 = 2- это равенство не верное.

log 3 1=1 - это равенство не верное.

log 1/3 9 = -2 - это равенство верное.

log 4 16 = -2- это равенство не верное.

Выведем основное логарифмическое тождество: а log a b = b

Рассмотрим пример.

5 log 5 13 =13

Свойства логарифмов:

3°. log а ху = log а х + log а у.

4°. log а х/у = log а х - log а у.

5°. log а х p = p · log а х, для любого действительного p.

Рассмотрим пример на проверку 3 свойства:

log 2 8 + log 2 32= log 2 8∙32= log 2 256=8

Рассмотрим пример на проверку 5 свойства:

3∙ log 2 8= log 2 8 3 = log 2 512 =9

3∙3 = 9

Формула перехода от одного основания логарифма к другому основанию:

Эта формула потребуется при вычислении логарифма по калькулятору.

Возьмем пример: log 3 7 = lg7 / lg3. В калькуляторе можно вычислить только десятичный и натуральный логарифм. Вводим цифру 7 и нажмем кнопку «лог», также вводим цифру 3 и нажмем кнопку «лог», делим верхнее значение на нижнее и получаем ответ.

Закрепление.

Для закрепления новой темы решим примеры.

Пример 1. Назовите свойство, которое применяется при вычислении следующих логарифмов, и вычислите (устно):

log 6 6

log 0,5 1

log 6 3+ log 6 2

log 3 6- log 3 2

log 4 4 8

Пример 2.
Перед вами 8 решённых примеров, среди которых есть правильные, остальные с ошибкой. Определите верное равенство (назовите его номер), в остальных исправьте ошибки.

log 2 32+ log 2 2= log 2 64=6

log 5 5 3 = 2;

log 3 45 - log 3 5 = log 3 40

3∙log 2 4 = log 2 (4∙3)

log 3 15 + log 3 3 = log 3 45;

2∙log 5 6 = log 5 12

3∙log 2 3 = log 2 27

log 2 16 2 = 8.

Проверка ЗУН – самостоятельная работа по карточкам.

Вариант 1.

Вычислите:

Вариант 2.

Вычислите:

Подведение итогов. Домашнее задание. Выставление оценок.

Урок закончен. До свидания.

Тема урока: Логарифмы и их свойства.

Цель урока:

Образовательная – сформировать понятие логарифма, изучить основные свойства логарифмов и способствовать формированию умения применять свойства логарифмов при решении заданий.
Развивающая – развивать логическое мышление; технику вычисления; умение рационально работать.
Воспитательная – содействовать воспитанию интереса к математике, воспитывать чувство самоконтроля, ответственности.

Тип урока : Урок изучения и первичного закрепления новых знаний.

Оборудование: компьютер, мультимедийный проектор, презентация "Логарифмы и их свойства", раздаточный материал.

Учебник: Алгебра и начала математического анализа,10-11. Ш. А. Алимов, Ю. М. Колягин и др., Просвещение, 2014.

Ход урока:

1. Организационный момент: проверка готовности учащихся к уроку .

2. Повторение пройденного материала.

Вопросы учителя:

1) Дать определение степени. Что называется основанием и показателем? (Корень n-ой степени из числа а называется такое число, n-я степень которого равна а . 3 4 = 81.)

2) Сформулируйте свойства степени.

3. Изучение новой темы.

Тема сегодняшнего урока - Логарифмы и их свойства (откройте тетради и запишите дату и тему).

На этом уроке мы познакомимся с понятием «логарифм», также рассмотрим свойства логарифмов.

Зададим вопрос:

1) В какую степень нужно возвести 5, чтобы получить 25? Очевидно, во вторую. Показатель степени, в которую нужно возвести число 5, чтобы получить 25, равен 2.

2) В какую степень нужно возвести 3, чтобы получить 27? Очевидно, в третью. Показатель степени, в которую нужно возвести число 3, чтобы получить 27, равен 3.

Эта запись читается так: «Логарифм числа 25 по основанию 5». Логарифм числа 25 по основанию 5- это показатель степени, в которую нужно возвести 5, чтобы получить 25. Этот показатель равен 2.

Аналогично разберём второй пример.

Дадим определение логарифма.

Определение . Логарифмом числа b>0 по основанию a>0, a ≠ 1 называется показатель степени, в которую надо возвести число a, чтобы получить число b .

Логарифмом числа b по основанию a обозначается log a b.

История возникновения логарифма:

Логарифмы были введены шотландским математиком Джоном Непером (1550-1617) и математиком Иостом Бюрги (1552-1632).

Бюрги пришел к логарифмам раньше, но опубликовал свои таблицы с опозданием (в 1620г.), а первой в 1614г. появилась работа Непера «Описание удивительной таблицы логарифмов».

С точки зрения вычислительной практики, изобретение логарифмов можно смело поставить рядом с другими, более древним великим изобретением – нашей десятичной системой нумерации.

Через десяток лет после появления логарифмов Непера английский ученый Гунтер изобрел очень популярный прежде счетный прибор – логарифмическую линейку. Она помогала астрономам и инженерам при вычислениях, она позволяла быстро получать ответ с достаточной точностью в три значащие цифры. Теперь ее вытеснили калькуляторы, но без логарифмической линейки не были бы созданы ни первые компьютеры, ни микрокалькуляторы.

Рассмотрим примеры:

log 3 27=3; log 5 25=2; log 25 5=1/2;

Log 5 1/125 =-3; log -2 (-8)- не существует; log 5 1=0; log 4 4=1

Рассмотрим такие примеры:

1 0 . log a 1=0, а>0, a ≠ 1;

2 0 . log a а=1, а>0, a ≠ 1.

Эти две формулы являются свойствами логарифма. Ими можно пользоваться при решении задач.

Как перейти из логарифмического равенства к показательному? log а b=с, с – это логарифм, показатель степени, в которую нужно возвести а , чтобы получить b . Следовательно, а степени с равен b: а с = b.

Выведем основное логарифмическое тождество: а log a b = b. (Доказательство приводит учитель на доске).

Рассмотрим пример.

5 log 5 13 =13

Рассмотрим ещё важные свойства логарифмов.

Свойства логарифмов:

3°. log а ху = log а х + log а у.

4°. log а х/у = log а х - log а у.

5°. log а х p = p · log а х, для любого действительного p.

Рассмотрим пример на проверку 3 свойства:

log 2 8 + log 2 16= log 2 8∙16= log 2 128=7

3 +4 = 7

Рассмотрим пример на проверку 5 свойства:

3 ∙ log 2 8= log 2 8 3 = log 2 512 =9

3∙3 = 9

4.Закрепление.

Задание 1. Назовите свойство, которое применяется при вычислении следующих логарифмов, и вычислите (устно):

log 6 6

log 0,5 1
log 6 3+ log 6 2
log 3 6- log 3 2
log 4 4 8

Задание 2.

Перед вами 8 решённых примеров, среди которых есть правильные, остальные с ошибкой. Определите верное равенство (назовите его номер), в остальных исправьте ошибки.

log 2 32+ log 2 2= log 2 64=6
log 5 5 3 = 2;
log 3 45 - log 3 5 = log 3 40
3∙log 2 4 = log 2 (4∙3)
log 3 15 + log 3 3 = log 3 45;
2∙log 5 6 = log 5 12
3∙log 2 3 = log 2 27
log 2 16 2 = 8.