المضاعف المشترك الأصغر لرقمين. القواسم والمضاعفات

ضع في اعتبارك ثلاث طرق لإيجاد المضاعف المشترك الأصغر.

إيجاد عن طريق التخصيم

الطريقة الأولى هي إيجاد المضاعف المشترك الأصغر عن طريق تحليل هذه الأعداد إلى عوامل أولية.

لنفترض أننا بحاجة إلى إيجاد المضاعف المشترك الأصغر للأرقام: 99 و 30 و 28. للقيام بذلك ، نحلل كل من هذه الأرقام إلى عوامل أولية:

لكي يكون الرقم المطلوب قابلاً للقسمة على 99 و 30 و 28 ، من الضروري والكافي أن تدخل فيه جميع العوامل الأولية لهذه القواسم. للقيام بذلك ، علينا أن نأخذ كل العوامل الأولية لهذه الأعداد لأقصى قوة ممكنة ونضربها معًا:

2 2 3 2 5 7 11 = 13860

إذن المضاعف المشترك الأصغر (99 ، 30 ، 28) = 13860. لا يوجد رقم آخر أقل من 13860 يقبل القسمة على 99 أو 30 أو 28.

لإيجاد المضاعف المشترك الأصغر لهذه الأعداد ، عليك تحليلها إلى عوامل أولية ، ثم أخذ كل عامل أولي مع الأس الأكبر الذي يلتقي به ، واضرب هذه العوامل معًا.

نظرًا لأن أرقام الجريمة ليس لها عوامل أولية مشتركة ، فإن المضاعف المشترك الأصغر لها يساوي حاصل ضرب هذه الأعداد. على سبيل المثال ، ثلاثة أرقام: 20 و 49 و 33 هي أعداد متبادلة. لهذا السبب

المضاعف المشترك الأصغر (20، 49، 33) = 20 49 33 = 32340.

يجب القيام بالشيء نفسه عند البحث عن المضاعف الأقل شيوعًا للأعداد الأولية المختلفة. على سبيل المثال ، المضاعف المشترك الأصغر (3 ، 7 ، 11) = 3 7 11 = 231.

البحث عن طريق الاختيار

الطريقة الثانية هي إيجاد المضاعف المشترك الأصغر عن طريق الملاءمة.

مثال 1. عندما يتم قسمة أكبر عدد من الأرقام المعطاة بالكامل على الأرقام المعينة الأخرى ، فإن المضاعف المشترك الأصغر لهذه الأرقام يساوي الأكبر منها. على سبيل المثال ، عند إعطاء أربعة أرقام: 60 و 30 و 10 و 6. كل واحد منهم قابل للقسمة على 60 ، لذلك:

المضاعف المشترك الأصغر (60، 30، 10، 6) = 60

بخلاف ذلك ، يتم استخدام الإجراء التالي للعثور على المضاعف المشترك الأصغر:

1. حدد أكبر عدد من الأعداد المعطاة.
2. بعد ذلك ، نجد الأعداد التي تكون مضاعفات العدد الأكبر ، وضربها في الأعداد الطبيعية بترتيب تصاعدي ، والتحقق مما إذا كانت الأرقام المتبقية قابلة للقسمة على المنتج الناتج.

مثال 2. بإعطاء ثلاثة أعداد 24 و 3 و 18. حدد أكبرها - هذا هو الرقم 24. بعد ذلك ، ابحث عن الأعداد التي تكون مضاعفات العدد 24 ، وتحقق مما إذا كان كل منها يقبل القسمة على 18 و 3:

24 1 = 24 - يقبل القسمة على 3 ، لكن لا يقبل القسمة على 18.

24 2 = 48 - يقبل القسمة على 3 ، لكن لا يقبل القسمة على 18.

24 3 = 72 - يقبل القسمة على 3 و 18.

إذن المضاعف المشترك الأصغر (24، 3، 18) = 72.

إيجاد المضاعف المشترك الأصغر بالتسلسل

الطريقة الثالثة هي إيجاد المضاعف المشترك الأصغر عن طريق إيجاد المضاعف المشترك الأصغر بالتتابع.

المضاعف المشترك الأصغر لرقمين معطيين يساوي حاصل ضرب هذين العددين مقسومًا على القاسم المشترك الأكبر بينهما.

مثال 1. لنجد المضاعف المشترك الأصغر لرقمين محددين: 12 و 8. حدد القاسم المشترك الأكبر لهما: GCD (12 ، 8) = 4. اضرب هذه الأرقام:

نقسم العمل إلى GCD الخاصة بهم:

وهكذا ، المضاعف المشترك الأصغر (12 ، 8) = 24.

للعثور على المضاعف المشترك الأصغر لثلاثة أرقام أو أكثر ، استخدم الإجراء التالي:

1. أولًا ، أوجد المضاعف المشترك الأصغر لأي رقمين من الأعداد المعطاة.
2. بعد ذلك ، المضاعف المشترك الأصغر للمضاعف المشترك الأصغر الذي تم العثور عليه والثالث المحدد.
3. ثم المضاعف المشترك الأصغر الناتج عن المضاعف المشترك الأصغر والرقم الرابع ، إلخ.
4. وبالتالي ، يستمر البحث عن المضاعف المشترك الأصغر طالما أن هناك أرقامًا.

مثال 2. لنجد المضاعف المشترك الأصغر للأرقام الثلاثة المعطاة: 12 و 8 و 9. المضاعف المشترك الأصغر للأرقام 12 و 8 التي وجدناها بالفعل في المثال السابق (هذا هو الرقم 24). يبقى إيجاد المضاعف المشترك الأصغر لـ 24 والرقم الثالث المحدد - 9. حدد القاسم المشترك الأكبر: GCD (24 ، 9) = 3. اضرب المضاعف المشترك الأصغر بالرقم 9:

نقسم العمل إلى GCD الخاصة بهم:

إذن المضاعف المشترك الأصغر (12 ، 8 ، 9) = 72.

المضاعف هو رقم يقبل القسمة على رقم معين. المضاعف المشترك الأصغر (LCM) لمجموعة من الأرقام هو أصغر رقم يقبل القسمة بالتساوي على كل رقم في المجموعة. لإيجاد المضاعف المشترك الأصغر ، عليك إيجاد العوامل الأولية للأرقام المحددة. يمكن أيضًا حساب المضاعف المشترك الأصغر باستخدام عدد من الطرق الأخرى التي تنطبق على مجموعات من رقمين أو أكثر.

خطوات

سلسلة من المضاعفات

انظر إلى الأرقام المعطاة.الطريقة الموصوفة هنا هي الأفضل عند إعطاء رقمين ، كل منهما أقل من 10. إذا كانت الأرقام كبيرة ، فاستخدم طريقة مختلفة.

• على سبيل المثال ، ابحث عن المضاعف المشترك الأصغر لـ 5 و 8. فهذه أرقام صغيرة ، لذا يمكنك استخدام هذه الطريقة.

1. المضاعف هو رقم يقبل القسمة على رقم معين. يمكن العثور على أرقام متعددة في جدول الضرب.

   • على سبيل المثال ، الأرقام التي تكون من مضاعفات العدد 5 هي: 5 ، 10 ، 15 ، 20 ، 25 ، 30 ، 35 ، 40.

2. اكتب سلسلة من الأعداد على شكل مضاعفات العدد الأول.افعل ذلك تحت مضاعفات الرقم الأول لمقارنة سلسلتين من الأرقام.

   • على سبيل المثال ، الأرقام التي تكون مضاعفات 8 هي: 8 و 16 و 24 و 32 و 40 و 48 و 56 و 64.

3. ابحث عن أصغر رقم يظهر في كلا صفي المضاعفات.قد تضطر إلى كتابة سلسلة طويلة من المضاعفات لإيجاد المجموع. أصغر رقم يظهر في كلا صفي المضاعفات هو أصغر مضاعف مشترك.

   • على سبيل المثال ، أصغر رقم يظهر في سلسلة من مضاعفات 5 و 8 هو 40. لذلك ، 40 هو المضاعف المشترك الأصغر لـ 5 و 8.

   التحليل الأولي

   1. انظر إلى الأرقام المعطاة.يتم استخدام الطريقة الموصوفة هنا بشكل أفضل عند إعطاء رقمين ، كل منهما أكبر من 10. إذا كانت الأرقام المعطاة أصغر ، فاستخدم طريقة مختلفة.

      • على سبيل المثال ، أوجد المضاعف المشترك الأصغر لـ 20 و 84. كل رقم أكبر من 10 ، لذا يمكنك استخدام هذه الطريقة.

   2. حلل الرقم الأول إلى عوامل.أي أنك تحتاج إلى إيجاد مثل هذه الأعداد الأولية ، عند الضرب تحصل على الرقم المحدد. بمجرد إيجاد العوامل الأولية ، اكتبها على أنها مساواة.

      • على سبيل المثال، 2 × 10 = 20 (\ displaystyle (\ mathbf (2)) \ times 10 = 20)و 2 × 5 = 10 (\ displaystyle (\ mathbf (2)) \ times (\ mathbf (5)) = 10)... وبالتالي ، فإن العوامل الأولية للعدد 20 هي 2 و 2 و 5. اكتبهم كتعبير :.

   3. حلل الرقم الثاني إلى عوامل.افعل ذلك بنفس طريقة تحليل الرقم الأول إلى عوامل ، أي أوجد الأعداد الأولية التي ، عند ضربها ، ستعطي الرقم المحدد.

      • على سبيل المثال، 2 × 42 = 84 (\ displaystyle (\ mathbf (2)) \ times 42 = 84), 7 × 6 = 42 (\ displaystyle (\ mathbf (7)) \ times 6 = 42)و 3 × 2 = 6 (\ displaystyle (\ mathbf (3)) \ times (\ mathbf (2)) = 6)... وبالتالي ، فإن العوامل الأولية للعدد 84 هي 2 و 7 و 3 و 2. اكتبهم كتعبير :.

   4. اكتب العوامل المشتركة لكلا العددين.اكتب هذه العوامل في صورة عملية ضرب. أثناء كتابة كل عامل ، اشطبه في كلا التعبيرين (التعبيرات التي تصف العوامل الأولية).

      • على سبيل المثال ، العامل المشترك لكلا العددين هو 2 ، لذا اكتب 2 × (displaystyle 2 times)وشطب 2 في كلا التعبيرين.
      • المشترك بين كلا العددين هو عامل آخر للعدد 2 ، لذا اكتب 2 × 2 (\ displaystyle 2 \ times 2)واشطب الثاني 2 في كلا التعبيرين.

   5. أضف العوامل المتبقية إلى عملية الضرب.هذه عوامل لم يتم شطبها في كلا التعبيرين ، أي عوامل غير مشتركة لكلا الرقمين.

      • على سبيل المثال ، في التعبير 20 = 2 × 2 × 5 (\ displaystyle 20 = 2 \ times 2 \ times 5)كلا العددين 2 (2) مشطوبان لأنهما عاملين مشتركين. لم يتم شطب العامل 5 ، لذا اكتب عملية الضرب على النحو التالي: 2 × 2 × 5 (\ displaystyle 2 \ times 2 \ times 5)
      • في التعبير 84 = 2 × 7 × 3 × 2 (\ displaystyle 84 = 2 \ times 7 \ times 3 \ times 2)يتم أيضًا شطب كلا العددين 2 (2). لم يتم حذف العاملين 7 و 3 ، لذا اكتب عملية الضرب على النحو التالي: 2 × 2 × 5 × 7 × 3 (\ displaystyle 2 \ times 2 \ times 5 \ times 7 \ times 3).

   6. احسب المضاعف المشترك الأصغر.للقيام بذلك ، اضرب الأرقام في عملية الضرب المسجلة.

      • على سبيل المثال، 2 × 2 × 5 × 7 × 3 = 420 (\ displaystyle 2 \ times 2 \ times 5 \ times 7 \ times 3 = 420)... إذن ، المضاعف المشترك الأصغر للعددين 20 و 84 هو 420.

   إيجاد القواسم المشتركة

   1. ارسم الشبكة كما لو كانت لعبة تيك تاك تو.تتكون هذه الشبكة من خطين متوازيين يتقاطعان (بزوايا قائمة) مع الخطين المتوازيين الآخرين. يؤدي هذا إلى إنشاء ثلاثة صفوف وثلاثة أعمدة (الشبكة تشبه إلى حد بعيد علامة #). اكتب الرقم الأول في السطر الأول والعمود الثاني. اكتب الرقم الثاني في السطر الأول والعمود الثالث.

      • على سبيل المثال ، أوجد المضاعف المشترك الأصغر بين 18 و 30. اكتب 18 في الصف الأول والعمود الثاني ، واكتب 30 في الصف الأول والعمود الثالث.

   2. أوجد القاسم المشترك لكلا العددين.اكتبها في الصف الأول والعمود الأول. من الأفضل البحث عن العوامل الأولية ، لكن هذا ليس شرطا.

      • على سبيل المثال ، 18 و 30 أعداد زوجية ، لذا فإن القاسم المشترك بينهما هو 2. لذا اكتب 2 في الصف الأول والعمود الأول.

   3. قسّم كل رقم على القاسم الأول.اكتب كل حاصل تحت الرقم المقابل. حاصل القسمة هو نتيجة قسمة رقمين.

      • على سبيل المثال، 18 ÷ 2 = 9 (\ displaystyle 18 \ div 2 = 9)لذا اكتب 9 تحت سن 18.
      • 30 ÷ 2 = 15 (\ displaystyle 30 \ div 2 = 15)لذا اكتب 15 تحت 30.

   4. أوجد القاسم المشترك لكلا خارج القسمة.إذا لم يكن هناك قاسم من هذا القبيل ، فتخط الخطوتين التاليتين. وإلا فاكتب المقسوم عليه في الصف الثاني والعمود الأول.

      • على سبيل المثال ، 9 و 15 يقبلان القسمة على 3 ، لذا اكتب 3 في الصف الثاني والعمود الأول.

   5. اقسم كل حاصل على العامل الثاني.اكتب كل نتيجة قسمة تحت حاصل القسمة المقابل.

      • على سبيل المثال، 9 ÷ 3 = 3 (\ displaystyle 9 \ div 3 = 3)لذا اكتب 3 تحت 9.
      • 15 ÷ 3 = 5 (\ displaystyle 15 \ div 3 = 5)لذا اكتب 5 تحت 15.

   6. إذا لزم الأمر ، استكمل الشبكة بخلايا إضافية.كرر الخطوات الموضحة حتى تحصل على قسمة مشتركة.

   7. ضع دائرة حول الأرقام الموجودة في العمود الأول والصف الأخير من الشبكة.ثم اكتب الأرقام المحددة كعملية ضرب.

      • على سبيل المثال ، الرقمان 2 و 3 موجودان في العمود الأول ، والأرقام 3 و 5 في الصف الأخير ، لذلك اكتب عملية الضرب على النحو التالي: 2 × 3 × 3 × 5 (\ displaystyle 2 \ times 3 \ times 3 \ times 5).

   8. أوجد نتيجة ضرب الأعداد.سيحسب هذا المضاعف المشترك الأصغر بين عددين محددين.

      • على سبيل المثال، 2 × 3 × 3 × 5 = 90 (\ displaystyle 2 \ times 3 \ times 3 \ times 5 = 90)... إذن ، المضاعف المشترك الأصغر للعددين 18 و 30 هو 90.

   خوارزمية إقليدس

   1. تذكر المصطلحات المرتبطة بعملية التقسيم.المقسوم هو الرقم الذي يتم تقسيمه. القاسم هو الرقم مقسومًا على. حاصل القسمة هو نتيجة قسمة رقمين. المتبقي هو الرقم المتبقي عند تقسيم رقمين.

      • على سبيل المثال ، في التعبير 15 ÷ 6 = 2 (\ displaystyle 15 \ div 6 = 2) ost. 3:
        15 هو توزيعات الأرباح
        6 هو القاسم
        2 هو حاصل القسمة
        3 هو الباقي.

القاسم المشترك الأكبر

التعريف 2

إذا كان الرقم الطبيعي a قابل للقسمة على رقم طبيعي $ b $ ، فإن $ b $ يسمى مقسوم عليه $ a $ ، و $ a $ يسمى مضاعف $ b $.

لنفترض أن $ a $ و $ b $ هما عددان طبيعيان. الرقم $ c $ يسمى القاسم المشترك لكلا $ a $ و $ b $.

مجموعة القواسم المشتركة لـ $ a $ و $ b $ محدودة ، حيث لا يمكن أن يكون أي من هذه القواسم أكبر من $ a $. هذا يعني أنه من بين هذه القواسم ، يوجد أكبر مقسوم ، وهو يسمى القاسم المشترك الأكبر للأرقام $ a $ و $ b $ ، ويتم استخدام الترميز للدلالة عليه:

$ Gcd \ (a؛ b) \ or \ D \ (a؛ b) $

لإيجاد القاسم المشترك الأكبر لرقمين ، تحتاج إلى:

1. ابحث عن حاصل ضرب الأرقام الموجودة في الخطوة 2. سيكون الرقم الناتج هو العامل المشترك الأكبر المطلوب.

مثال 1

أوجد gcd للأرقام $ 121 و $ 132. $

242 دولارًا = 2 \ cdot 11 \ cdot 11 دولارًا

132 دولار = 2 \ cdot 2 \ cdot 3 \ cdot 11 دولار

اختر الأرقام التي يتم تضمينها في تحليل هذه الأرقام

242 دولارًا = 2 \ cdot 11 \ cdot 11 دولارًا

132 دولار = 2 \ cdot 2 \ cdot 3 \ cdot 11 دولار

ابحث عن حاصل ضرب الأرقام الموجودة في الخطوة 2. سيكون الرقم الناتج هو العامل المشترك الأكبر المطلوب.

دولار Gcd = 2 \ cdot 11 = 22 دولار

مثال 2

أوجد GCD لـ 63 دولارًا و 81 دولارًا أحاديًا.

سنجد وفقًا للخوارزمية المقدمة. من أجل هذا:

حلل الأعداد إلى عوامل أولية

63 دولارًا = 3 \ cdot 3 \ cdot 7 دولار

81 دولارًا = 3 \ cdot 3 \ cdot 3 \ cdot 3 $

نختار الأرقام التي يتم تضمينها في تحليل هذه الأرقام

63 دولارًا = 3 \ cdot 3 \ cdot 7 دولار

81 دولارًا = 3 \ cdot 3 \ cdot 3 \ cdot 3 $

لنجد حاصل ضرب الأرقام الموجودة في الخطوة 2. سيكون الرقم الناتج هو العامل المشترك الأكبر المطلوب.

Gcd = 3 \ cdot 3 = 9 دولارات

يمكنك إيجاد GCD لرقمين بطريقة أخرى ، باستخدام مجموعة قواسم الأعداد.

مثال 3

أوجد GCD للأرقام 48 $ و 60 $.

حل:

أوجد مجموعة قواسم العدد $ 48 $: $ \ left \ ((\ rm 1،2،3.4.6،8،12،16،24،48) \ right \) $

الآن نجد مجموعة المقسومات للعدد 60 $: $ \ left \ ((\ rm 1،2،3،4،5،6،10،12،15،20،30،60) \ right \ ) $

لنجد تقاطع هذه المجموعات: $ \ left \ ((\ rm 1،2،3،4،6،12) \ right \) $ - ستحدد هذه المجموعة مجموعة القواسم المشتركة للأرقام $ 48 و 60 دولارًا. سيكون أكبر عنصر في المجموعة المحددة هو الرقم $ 12. إذن ، فإن القاسم المشترك الأكبر بين 48 و 60 دولارًا هو 12 دولارًا.

تعريف LCM

التعريف 3

المضاعف المشترك للأعداد الطبيعية$ a $ و $ b $ رقم طبيعي من مضاعفات كل من $ a $ و $ b $.

المضاعفات الشائعة هي الأرقام التي تقبل القسمة على الأصل دون الباقي. على سبيل المثال ، بالنسبة للأرقام 25 دولارًا و 50 دولارًا ، ستكون المضاعفات الشائعة هي الأرقام 50،100،150،200 دولارًا ، إلخ.

المضاعف المشترك الأصغر يسمى المضاعف المشترك الأصغر ويُشار إليه بواسطة LCM $ (a؛ b) $ أو K $ (a؛ b). $

للعثور على المضاعف المشترك الأصغر لرقمين ، تحتاج إلى:

1. أرقام العامل
2. اكتب العوامل التي تشكل جزءًا من الرقم الأول وأضف إليها العوامل التي تشكل جزءًا من الثاني ولا تدخل في الأول

مثال 4

أوجد المضاعف المشترك الأصغر للأرقام 99 $ و 77 $.

سنجد وفقًا للخوارزمية المقدمة. من أجل هذا

أرقام العامل

99 دولارًا = 3 \ cdot 3 \ cdot 11 دولارًا

اكتب العوامل المدرجة في الأول

أضف إليهم العوامل التي تشكل جزءًا من الثانية ولا تدخل في الأول

ابحث عن حاصل ضرب الأرقام الموجودة في الخطوة 2. سيكون الرقم الناتج هو المضاعف المشترك الأصغر المطلوب

دولار LCM = 3 \ cdot 3 \ cdot 11 \ cdot 7 = 693 دولار

غالبًا ما يستغرق تجميع قوائم مقسومات الأرقام وقتًا طويلاً. هناك طريقة للعثور على GCD تسمى خوارزمية إقليدس.

العبارات التي تستند إليها خوارزمية إقليدس:

إذا كان $ a $ و $ b $ من الأعداد الطبيعية ، و $ a \ vdots b $ ، فإن $ D (a؛ b) = b $

إذا كان $ a $ و $ b $ من الأعداد الطبيعية مثل $ b

باستخدام $ D (a؛ b) = D (a-b؛ b) $ ، يمكننا خفض الأرقام المدروسة على التوالي حتى نصل إلى مثل هذا الزوج من الأرقام بحيث يمكن قسمة أحدهما على الآخر. إذن ، سيكون أصغر هذه الأرقام هو القاسم المشترك الأكبر المطلوب للأرقام $ a $ و $ b $.

خصائص GCD و LCM

1. أي مضاعف مشترك لـ $ a $ و $ b $ يقبل القسمة على K $ (a؛ b) $
2. إذا كان $ a \ vdots b $ ، فإن K $ (a؛ b) = a $

إذا كان K $ (a؛ b) = k $ و $ m $ عددًا طبيعيًا ، فإن K $ (am؛ bm) = km $

إذا كان $ d $ قاسمًا شائعًا لـ $ a $ و $ b $ ، فإن K ($ \ frac (a) (d)؛ \ frac (b) (d) $) = $ \ \ frac (k) (d ) $

إذا كان $ a \ vdots c $ و $ b \ vdots c $ ، فإن $ \ frac (ab) (c) $ هو مضاعف مشترك لـ $ a $ و $ b $

لأية أرقام طبيعية $ a $ و $ b $ ، فإن المساواة

$ D (a؛ b) \ cdot К (a؛ b) = ab $

أي قاسم مشترك للأرقام $ a $ و $ b $ هو قاسم العدد $ D (a؛ b) $

تتطلب التعبيرات والمسائل الرياضية الكثير من المعرفة الإضافية. تعتبر شهادة عدم الممانعة واحدة من العناصر الرئيسية ، خاصة المستخدمة غالبًا في تتم دراسة الموضوع في المدرسة الثانوية ، في حين أنه ليس من الصعب بشكل خاص فهم المادة ، فإن الشخص الذي لديه دراية بالدرجات وجدول الضرب لن يجد صعوبة في تحديد ما هو ضروري الأرقام والعثور على النتيجة.

تعريف

المضاعف المشترك هو رقم يمكن تقسيمه بالكامل إلى رقمين في نفس الوقت (أ و ب). في أغلب الأحيان ، يتم الحصول على هذا الرقم بضرب الأرقام الأصلية أ وب. يجب أن يكون الرقم قابلاً للقسمة على كلا الرقمين في وقت واحد ، دون انحرافات.

NOC هو اسم قصير تم اعتماده للتسمية ، تم تجميعه من الأحرف الأولى.

طرق الحصول على الرقم

للعثور على المضاعف المشترك الأصغر (LCM) ، فإن طريقة ضرب الأرقام ليست مناسبة دائمًا ؛ فهي مناسبة بشكل أفضل للأرقام البسيطة المكونة من رقم واحد أو رقمين. من المعتاد القسمة على العوامل ، فكلما زاد العدد ، زاد عدد العوامل.

مثال رقم 1

لأبسط مثال ، تستخدم المدارس عادةً أرقامًا بسيطة أو مفردة أو مكونة من رقمين. على سبيل المثال ، تحتاج إلى حل المشكلة التالية ، والعثور على المضاعف المشترك الأصغر للعددين 7 و 3 ، والحل بسيط للغاية ، فقط اضربهما. نتيجة لذلك ، يوجد رقم 21 ، ببساطة ليس هناك رقم أصغر.

مثال رقم 2

البديل الثاني للمهمة أكثر صعوبة. بالنظر إلى العددين 300 و 1260 ، فإن إيجاد المضاعف المشترك الأصغر أمر إلزامي. لحل المهمة ، يتم افتراض الإجراءات التالية:

تحلل العددين الأول والثاني لأبسط العوامل. 300 = 2 2 * 3 * 5 2 ؛ 1260 = 2 2 * 3 2 * 5 * 7. تم الانتهاء من المرحلة الأولى.

تتضمن المرحلة الثانية العمل مع البيانات المستلمة بالفعل. يجب أن يشارك كل من الأرقام التي تم الحصول عليها في حساب النتيجة النهائية. لكل عامل ، يتم أخذ أكبر عدد من التكرارات من الأرقام الأصلية. المضاعف المشترك الأصغر هو العدد الإجمالي ، لذلك يجب تكرار العوامل من الأرقام فيه إلى واحد ، حتى تلك الموجودة في نسخة واحدة. كلا الرقمين الأوليين يحتويان في تكوينهما على الأرقام 2 و 3 و 5 ، بدرجات مختلفة ، لا يوجد سوى 7 في حالة واحدة.

لحساب النتيجة النهائية ، عليك أن تأخذ كل رقم في أكبر الأسس المعروضة في المعادلة. كل ما تبقى هو الضرب والحصول على الإجابة ، مع التعبئة الصحيحة ، تتناسب المهمة مع خطوتين دون شرح:

1) 300 = 2 2 * 3 * 5 2 ; 1260 = 2 2 * 3 2 *5 *7.

2) المضاعف المشترك الأصغر = 6300.

هذه هي المشكلة برمتها ، إذا حاولت حساب العدد المطلوب عن طريق الضرب ، فلن تكون الإجابة بالتأكيد صحيحة ، لأن 300 * 1260 = 378000.

فحص:

6300/300 = 21 - صحيح ؛

6300/1260 = 5 - صحيح.

يتم تحديد صحة النتيجة التي تم الحصول عليها عن طريق التحقق - قسمة المضاعف المشترك الأصغر على كلا الرقمين الأوليين ، إذا كان الرقم عددًا صحيحًا في كلتا الحالتين ، فإن الإجابة صحيحة.

ماذا يعني LCM في الرياضيات

كما تعلم ، لا توجد وظيفة واحدة عديمة الفائدة في الرياضيات ، وهذا ليس استثناءً. الاستخدام الأكثر شيوعًا لهذا الرقم هو تقريب الكسور إلى مقام مشترك. ما يدرس عادة في الصفوف 5-6 من المدرسة الثانوية. وهو أيضًا قاسم مشترك لجميع المضاعفات ، إذا كانت هذه الشروط في المشكلة. يمكن لتعبير مشابه إيجاد مضاعف ليس فقط لرقمين ، ولكن أيضًا لعدد أكبر بكثير - ثلاثة وخمسة وما إلى ذلك. كلما زادت الأرقام - زادت الإجراءات في المهمة ، لكن التعقيد لا يزيد من هذا.

على سبيل المثال ، بالنظر إلى الأرقام 250 و 600 و 1500 ، فأنت بحاجة إلى إيجاد إجمالي المضاعف المشترك الأصغر الخاص بهم:

1) 250 = 25 * 10 = 5 2 * 5 * 2 = 5 3 * 2 - يصف هذا المثال التحليل بالتفصيل دون إلغاء.

2) 600 = 60 * 10 = 3 * 2 3 *5 2 ;

3) 1500 = 15 * 100 = 33 * 5 3 *2 2 ;

من أجل تكوين تعبير ، يجب ذكر جميع العوامل ، في هذه الحالة يتم إعطاء 2 ، 5 ، 3 ، - لكل هذه الأرقام ، يلزم تحديد الدرجة القصوى.

تنبيه: يجب إحضار جميع المضاعفات لاستكمال التبسيط ، إن أمكن ، والتوسع إلى مستوى القيم الفردية.

فحص:

1) 3000/250 = 12 - صحيح ؛

2) 3000/600 = 5 - صحيح ؛

3) 3000/1500 = 2 - صحيح.

لا تتطلب هذه الطريقة أي حيل أو قدرات على مستوى العبقرية ، فكل شيء بسيط ومباشر.

طريق اخر

في الرياضيات ، يرتبط الكثير ، ويمكن حل الكثير بطريقتين أو أكثر ، وينطبق الشيء نفسه على إيجاد المضاعف المشترك الأصغر ، المضاعف المشترك الأصغر. يمكن استخدام الطريقة التالية في حالة الأرقام البسيطة المكونة من رقمين والمكون من رقم واحد. يتم تجميع جدول يتم فيه إدخال المضاعف عموديًا ، والمضاعف أفقيًا ، ويتم الإشارة إلى المنتج في الخلايا المتقاطعة بالعمود. يمكنك عكس الجدول عن طريق خط ، يتم أخذ رقم ونتائج ضرب هذا الرقم بالأعداد الصحيحة ، من 1 إلى ما لا نهاية ، تتم كتابتها في صف ، وأحيانًا تكون 3-5 نقاط كافية ، والأرقام الثانية والأرقام اللاحقة تخضع لنفس العملية الحسابية. كل شيء يحدث حتى يتم العثور على المضاعف المشترك.

بالنظر إلى الأرقام 30 ، 35 ، 42 ، تحتاج إلى إيجاد المضاعف المشترك الأصغر الذي يربط جميع الأرقام:

1) مضاعفات 30: 60 ، 90 ، 120 ، 150 ، 180 ، 210 ، 250 ، إلخ.

2) مضاعفات 35: 70 ، 105 ، 140 ، 175 ، 210 ، 245 ، إلخ.

3) مضاعفات 42:84 ، 126 ، 168 ، 210 ، 252 ، إلخ.

من الملاحظ أن جميع الأرقام مختلفة تمامًا ، والرقم المشترك الوحيد بينهم هو 210 ، لذلك سيكون المضاعف المشترك الأصغر. من بين العمليات المرتبطة بهذا الحساب ، هناك أيضًا القاسم المشترك الأكبر ، والذي يتم حسابه وفقًا لمبادئ مماثلة وغالبًا ما يتم مواجهته في المشكلات المجاورة. الفرق صغير ، لكنه مهم بدرجة كافية ، يفترض المضاعف المشترك الأصغر حساب رقم مقسومًا على جميع القيم الأولية المعطاة ، ويفترض GCD حساب أكبر قيمة يتم بها تقسيم الأرقام الأصلية.

موضوع "المضاعفات" يدرس في الصف الخامس من المدرسة الاساسية. هدفها هو تحسين المهارات الكتابية والشفوية للحسابات الرياضية. في هذا الدرس ، يتم تقديم مفاهيم جديدة - "المضاعفات" و "القواسم" ، تقنية إيجاد القواسم ومضاعفات العدد الطبيعي ، يتم العمل على القدرة على إيجاد المضاعف المشترك الأصغر بطرق مختلفة.

هذا الموضوع مهم جدا. يمكن تطبيق المعرفة عليه عند حل الأمثلة مع الكسور. للقيام بذلك ، تحتاج إلى إيجاد قاسم مشترك بحساب المضاعف المشترك الأصغر (المضاعف المشترك الأصغر).

مضاعف A هو عدد صحيح يقبل القسمة على A بدون باقي.

يحتوي كل رقم طبيعي على عدد لا حصر له من مضاعفاته. تعتبر نفسها الأصغر. لا يمكن أن يكون المضاعف أقل من الرقم نفسه.

علينا إثبات أن 125 هو مضاعف 5. للقيام بذلك ، قسّم الرقم الأول على الثاني. إذا كان 125 يقبل القسمة على 5 بدون باقي ، فالجواب هو نعم.

هذه الطريقة قابلة للتطبيق للأعداد الصغيرة.

هناك حالات خاصة عند حساب المضاعف المشترك الأصغر.

1. إذا كنت بحاجة إلى إيجاد مضاعف مشترك لرقمين (على سبيل المثال ، 80 و 20) ، حيث يتم قسمة أحدهما (80) بدون باقي على الآخر (20) ، فإن هذا الرقم (80) هو الأصغر مضاعفات هذين الرقمين.

المضاعف المشترك الأصغر (80، 20) = 80.

2. إذا لم يكن للاثنين قاسم مشترك ، فيمكننا القول إن المضاعف المشترك الأصغر الخاص بهما هو حاصل ضرب هذين العددين.

المضاعف المشترك الأصغر (6 ، 7) = 42.

دعنا نلقي نظرة على المثال الأخير. 6 و 7 بالنسبة إلى 42 قواسم. يقسمون مضاعفات دون الباقي.

في هذا المثال ، 6 و 7 قواسم مقترنة. حاصل ضربهم يساوي أكبر مضاعف للعدد (42).

يسمى الرقم أوليًا إذا كان لا يقبل القسمة إلا على نفسه أو على 1 (3: 1 = 3 ؛ 3: 3 = 1). ويطلق على الباقي مركب.

في مثال آخر ، تحتاج إلى تحديد ما إذا كان الرقم 9 مقسومًا على 42.

42: 9 = 4 (الباقي 6)

الجواب: 9 ليس قاسماً على 42 ، لأنه يوجد باقٍ في الإجابة.

يختلف المقسوم عليه عن المضاعف في أن القاسم هو الرقم الذي تقسم به الأعداد الطبيعية ، والمضاعف نفسه قابل للقسمة على هذا الرقم.

أكبر قاسم مشترك للأرقام أو بمضروبة في أصغر مضاعف لها ، ستعطي حاصل ضرب الأرقام نفسها أو ب.

وهي: GCD (أ ، ب) × المضاعف المشترك الأصغر (أ ، ب) = أ × ب.

يمكن العثور على المضاعفات الشائعة للأعداد الأكثر تعقيدًا بالطريقة التالية.

على سبيل المثال ، أوجد المضاعف المشترك الأصغر لـ 168، 180، 3024.

نحلل هذه الأعداد إلى عوامل أولية ، ونكتبها في صورة حاصل ضرب درجات:

168 = 2³х3¹х7¹

2⁴х3³х5¹х7¹ = 15120

المضاعف المشترك الأصغر (168 ، 180 ، 3024) = 15120.