كيفية حساب جذر الرقم يدويًا. ورقة بحثية حول موضوع: "استخلاص الجذور التربيعية من أعداد كبيرة بدون آلة حاسبة"

عند حل مشكلات مختلفة من مقرر الرياضيات والفيزياء ، غالبًا ما يواجه التلاميذ والطلاب الحاجة إلى استخراج جذور الدرجة الثانية أو الثالثة أو التاسعة. بالطبع ، في عصر تكنولوجيا المعلومات ، لن يكون من الصعب حل مثل هذه المشكلة باستخدام الآلة الحاسبة. ومع ذلك ، هناك حالات يكون فيها من المستحيل استخدام المساعد الإلكتروني.

على سبيل المثال ، يُمنع إحضار الإلكترونيات إلى العديد من الاختبارات. بالإضافة إلى ذلك ، قد لا تكون الآلة الحاسبة في متناول اليد. في مثل هذه الحالات ، من المفيد معرفة بعض الطرق على الأقل لحساب الجذور يدويًا.

من أبسط الطرق لحساب الجذور باستخدام طاولة خاصة... ما هو وكيف يتم استخدامه بشكل صحيح؟

بمساعدة الجدول ، يمكنك العثور على مربع أي عدد من 10 إلى 99. في هذه الحالة ، تحتوي صفوف الجدول على قيم العشرات ، في الأعمدة - قيم الوحدات. تحتوي الخلية الموجودة عند تقاطع صف وعمود على مربع مكون من رقمين. لحساب المربع 63 ، تحتاج إلى إيجاد صف بقيمة 6 وعمود بقيمة 3. عند التقاطع ، نجد خلية برقم 3969.

نظرًا لأن استخراج الجذر هو عكس التربيع ، لتنفيذ هذا الإجراء ، يجب عليك القيام بالعكس: أولاً ، ابحث عن الخلية التي تحتوي على الرقم الذي تريد حساب جذريته ، ثم حدد الإجابة من خلال قيم العمود والصف. كمثال ، ضع في اعتبارك حساب الجذر التربيعي لـ 169.

نجد خلية بهذا الرقم في الجدول ، نعرّف العشرات أفقياً - 1 ، عمودياً نجد الوحدات - 3. الإجابة: √169 = 13.

وبالمثل ، يمكنك حساب جذور الدرجة التكعيبية والرقمية باستخدام الجداول المناسبة.

ميزة هذه الطريقة هي بساطتها وعدم وجود حسابات إضافية. العيوب واضحة: لا يمكن استخدام الطريقة إلا لمجموعة محدودة من الأرقام (يجب أن يكون الرقم الذي يوجد به الجذر في النطاق من 100 إلى 9801). بالإضافة إلى ذلك ، لن تعمل إذا لم يكن الرقم المحدد موجودًا في الجدول.

التحليل الأولي

إذا لم يكن جدول المربعات في متناول اليد أو اتضح أنه من المستحيل العثور على الجذر بمساعدته ، فيمكنك المحاولة عامل العدد تحت الجذر في العوامل الأولية... العوامل الأولية هي تلك التي يمكن أن تكون قابلة للقسمة بالكامل (بدون باقي) فقط على نفسها أو على شخص واحد. قد تكون الأمثلة 2 ، 3 ، 5 ، 7 ، 11 ، 13 ، إلخ.

لنفكر في حساب الجذر باستخدام مثال √576. دعونا نحللها إلى عوامل أولية. نحصل على النتيجة التالية: √576 = √ (2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ​​∙ 3) = √ (2 ∙ 2 ∙ 2) ² ∙ √3². باستخدام الخاصية الأساسية للجذور √a² = a ، نتخلص من الجذور والمربعات ، وبعد ذلك نحسب الإجابة: 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ​​= 24.

ماذا تفعل إذا لم يكن لأي من العوامل زوجها الخاص؟ على سبيل المثال ، ضع في اعتبارك حساب √54. بعد التحليل ، نحصل على النتيجة بالصيغة التالية: √54 = √ (2 ∙ 3 ​​∙ 3 ∙ 3) = √3² ∙ √ (2 ∙ 3) = 3√6. يمكن ترك الجزء غير القابل للاسترداد تحت الجذر. بالنسبة لمعظم مشاكل الهندسة والجبر ، تعتبر هذه الإجابة نهائية. ولكن إذا كانت هناك حاجة لحساب القيم التقريبية ، فيمكنك استخدام الطرق التي سيتم مناقشتها أدناه.

طريقة هيرون

ماذا تفعل عندما تريد أن تعرف على الأقل ما هو الجذر المستخرج تقريبًا (إذا كان من المستحيل الحصول على قيمة عدد صحيح)؟ يتم توفير نتيجة سريعة ودقيقة إلى حد ما من خلال تطبيق طريقة هيرون... يكمن جوهرها في استخدام صيغة تقريبية:

√R = √a + (R - a) / 2√a ،

حيث R هو الرقم الذي سيتم حساب جذره ، a هو أقرب رقم تعرف قيمته الجذرية.

دعونا نفكر في كيفية عمل الطريقة في الممارسة وتقييم مدى دقتها. لنحسب ما يساوي 111. أقرب رقم إلى 111 ، جذره معروف - 121. وهكذا ، R = 111 ، a = 121. استبدل القيم في الصيغة:

√111 = √121 + (111 - 121) / 2 ∙ √121 = 11 - 10 / 22 ≈ 10,55.

الآن دعنا نتحقق من دقة الطريقة:

10.55² = 111.3025.

كان خطأ الأسلوب حوالي 0.3. إذا كانت دقة الطريقة بحاجة إلى زيادة ، فيمكنك تكرار الخطوات الموضحة سابقًا:

√111 = √111,3025 + (111 - 111,3025) / 2 ∙ √111,3025 = 10,55 - 0,3025 / 21,1 ≈ 10,536.

دعنا نتحقق من دقة الحساب:

10.536² = 111.0073.

بعد إعادة تطبيق الصيغة ، أصبح الخطأ ضئيلاً للغاية.

حساب الجذر بالقسمة المطولة

هذه الطريقة في إيجاد قيمة الجذر التربيعي أصعب قليلاً من الطريقة السابقة. ومع ذلك ، فهي الأكثر دقة من بين طرق الحساب الأخرى بدون آلة حاسبة..

لنفترض أنك تريد إيجاد الجذر التربيعي بأربع منازل عشرية. دعنا نحلل خوارزمية الحساب باستخدام مثال الرقم التعسفي 1308.1912.

1. قسّم الورقة إلى جزأين بخط عمودي ، ثم ارسم خطًا آخر منه إلى اليمين ، أسفل الحافة العلوية قليلاً. دعنا نكتب الرقم الموجود على الجانب الأيسر ، ونقسمه إلى مجموعتين من رقمين ، ونتحرك إلى يمين ويسار الفاصلة. يمكن أن يكون الرقم الأول على اليسار بدون زوج. إذا كانت الإشارة غير كافية في الجانب الأيمن من الرقم ، فعليك إضافة 0. في حالتنا ، نحصل على 12 08.19 13.
2. دعنا نختار أكبر رقم يكون مربعه أقل من أو يساوي المجموعة الأولى من الأرقام. في حالتنا هي 3. لنكتبها في أعلى اليمين ؛ 3 هو الرقم الأول من النتيجة. في أسفل اليمين ، نشير إلى 3 × 3 = 9 ؛ ستكون هناك حاجة إلى هذا للحسابات اللاحقة. اطرح 9 من 13 في عمود ، فسنحصل على الباقي 4.
3. دعنا نضيف زوج الأرقام التالي إلى الباقي من 4 ؛ حصلنا على 408.
4. يتم ضرب الرقم الموجود أعلى اليمين في 2 ويتم كتابته في أسفل اليمين ، مع إضافة _ x _ = إليه. نحصل على 6_ x _ =.
5. بدلًا من الشرط ، تحتاج إلى استبدال نفس الرقم أصغر من أو يساوي 408. نحصل على 66 × 6 = 396. اكتب 6 في أعلى اليمين ، لأن هذا هو الرقم الثاني من النتيجة. اطرح 396 من 408 لتحصل على 12.
6. دعنا نكرر الخطوات من 3 إلى 6. نظرًا لأن الأرقام التي تم تدوينها تقع في الجزء الكسري من الرقم ، فمن الضروري وضع علامة عشرية في أعلى اليمين بعد 6. لنكتب النتيجة المضاعفة بالشرطات: 72_ x _ =. سيكون الرقم المناسب 1: 721 × 1 = 721. دعنا نكتبه ردًا. اطرح 1219-721 = 498.
7. دعنا ننفذ تسلسل الإجراءات الواردة في الفقرة السابقة ثلاث مرات أخرى للحصول على العدد المطلوب من المنازل العشرية. إذا لم تكن هناك علامات كافية لإجراء مزيد من العمليات الحسابية ، فيجب إضافة صفرين إلى الرقم الحالي على اليسار.

نتيجة لذلك ، حصلنا على الإجابة: √1308.1912 ≈ 36.1689. إذا قمت بفحص الإجراء باستخدام آلة حاسبة ، فيمكنك التأكد من تحديد جميع العلامات بشكل صحيح.

حساب البت لقيمة الجذر التربيعي

الطريقة دقيقة للغاية... بالإضافة إلى ذلك ، إنه مفهوم تمامًا ولا يتطلب حفظ الصيغ أو خوارزمية معقدة من الإجراءات ، لأن جوهر الطريقة هو تحديد النتيجة الصحيحة.

لنستخرج جذر الرقم 781. لنفكر بالتفصيل في تسلسل الإجراءات.

1. لنكتشف أي جزء من قيمة الجذر التربيعي سيكون الأكثر أهمية. للقيام بذلك ، سنقوم بتربيع 0 ، 10 ، 100 ، 1000 ، وما إلى ذلك ، ومعرفة أي منهم يقع الرقم الجذري. نحصل على 10²< 781 < 100², т. е. старшим разрядом будут десятки.
2. لنحدد قيمة العشرات. للقيام بذلك ، سنتناوب على رفع القوة 10 ، 20 ، ... ، 90 ، حتى نحصل على رقم يتجاوز 781. في حالتنا ، نحصل على 10² = 100 ، 20² = 400 ، 30² = 900. ستكون قيمة النتيجة n في حدود 20< n <30.
3. على غرار الخطوة السابقة ، يتم تحديد قيمة رقم الآحاد. دعونا نربّع 21.22 ، ... ، 29: 21² = 441 ، 22² = 484 ، 23² = 529 ، 24² = 576 ، 25² = 625 ، 26² = 676 ، 27² = 729 ، 28² = 784. نحصل على 27< n < 28.
4. يتم حساب كل رقم لاحق (أعشار ، مائة ، إلخ) بنفس الطريقة الموضحة أعلاه. يتم إجراء الحسابات حتى يتم تحقيق الدقة المطلوبة.

قبل ظهور الآلات الحاسبة ، كان الطلاب والمعلمون يستخدمون حساب الجذور التربيعية يدويًا. توجد عدة طرق لحساب الجذر التربيعي لرقم ما يدويًا. يقدم بعضها حلاً تقريبيًا فقط ، بينما يقدم البعض الآخر إجابة دقيقة.

خطوات

التحليل الأولي

حلل العدد الجذري إلى عوامل مربعة.اعتمادًا على رقم الجذر ، ستحصل على إجابة تقريبية أو دقيقة. الأعداد التربيعية هي أرقام يمكن استخراج جذر تربيعي كامل منها. العوامل هي الأرقام التي ، عند ضربها ، تعطي الرقم الأصلي. على سبيل المثال ، عوامل 8 هي 2 و 4 ، بما أن 2 × 4 = 8 ، 25 ، 36 ، 49 أرقام مربعة ، بما أن 25 = 5 ، √36 = 6 ، √49 = 7. العوامل التربيعية هي عوامل مربع كامل. أولاً ، حاول تربيع رقم الجذر.

• على سبيل المثال ، احسب الجذر التربيعي لـ 400 (باليد). حاول أولاً أن تربيع 400. 400 هو مضاعف 100 ، أي يقبل القسمة على 25 - هذا رقم مربع. إذا قسمت 400 على 25 ، فستحصل على 16. 16 هو أيضًا رقم مربع. وبالتالي ، يمكن تحليل 400 إلى عوامل مربعة من 25 و 16 ، أي 25 × 16 = 400.
• يمكن كتابتها على النحو التالي: √400 = √ (25 × 16).

1. الجذر التربيعي لمنتج بعض الحدود يساوي حاصل ضرب الجذور التربيعية لكل حد ، أي √ (أ س ب) = √ أ س √ ب. استخدم هذه القاعدة واخذ الجذر التربيعي لكل عامل مربع واضرب النتائج لتجد إجابتك.

   • في مثالنا ، استخرج جذر 25 و 16.
     • √ (25 × 16)
     • √25 × 16
     • 5 × 4 = 20

2. إذا لم يتحلل الرقم الجذري إلى عاملين مربعين (وهذا يحدث في معظم الحالات) ، فلن تتمكن من العثور على الإجابة الدقيقة في شكل عدد صحيح. لكن يمكنك تبسيط المسألة بتحليل العدد الجذر إلى عامل مربع وعامل عادي (رقم لا يمكن استخلاص الجذر التربيعي بالكامل منه). ثم ستأخذ الجذر التربيعي للعامل التربيعي وستأخذ جذر العامل العادي.

   • على سبيل المثال ، احسب الجذر التربيعي للرقم 147. لا يمكن تحليل الرقم 147 إلى عاملين مربعين ، ولكن يمكن تحليله في العوامل التالية: 49 و 3. حل المشكلة على النحو التالي:
     • = √ (49 × 3)
     • = √49 × √3
     • = 7√3

3. إذا لزم الأمر ، قم بتقييم قيمة الجذر.يمكنك الآن تقدير قيمة الجذر (ابحث عن قيمة تقريبية) من خلال مقارنتها بقيم جذور الأعداد المربعة الأقرب (على كلا الجانبين على خط الأعداد) إلى رقم الجذر. ستحصل على القيمة الجذرية في صورة كسر عشري ، والتي يجب ضربها بالرقم الموجود خلف علامة الجذر.

   • دعنا نعود إلى مثالنا. العدد الجذري 3. أقرب عدد مربع له سيكون الرقمين 1 (1 = 1) و 4 (√4 = 2). وبالتالي ، فإن قيمة √3 تقع بين 1 و 2. نظرًا لأن قيمة 3 ربما تكون أقرب إلى 2 من 1 ، فإن تقديرنا هو: √3 = 1.7. نضرب هذه القيمة في الرقم الموجود في علامة الجذر: 7 × 1.7 = 11.9. إذا قمت بإجراء العمليات الحسابية باستخدام الآلة الحاسبة ، فستحصل على 12.13 ، وهي قريبة جدًا من إجابتنا.
     • تعمل هذه الطريقة أيضًا مع أعداد كبيرة. على سبيل المثال ، ضع في اعتبارك √35. العدد الجذر هو 35. أقرب رقم تربيع له سيكون الرقمين 25 (25 = 5) و 36 (36 = 6). لذا فإن 35 تقع بين 5 و 6. نظرًا لأن 35 أقرب كثيرًا إلى 6 من 5 (لأن 35 أقل من 36 بمقدار 1 فقط) ، يمكننا القول أن 35 أقل قليلاً من 6. التحقق من الآلة الحاسبة يعطينا الإجابة 5.92 - كنا على حق.

4. طريقة أخرى هي تحليل العدد الجذري إلى عوامل أولية.العوامل الأولية هي الأرقام التي لا تقبل القسمة إلا على 1 وعلى نفسها. اكتب العوامل الأولية على التوالي وابحث عن أزواج من نفس العوامل. يمكن أخذ هذه العوامل خارج علامة الجذر.

   • على سبيل المثال ، احسب الجذر التربيعي لـ 45. نقسم العدد الجذري إلى عوامل أولية: 45 = 9 × 5 ، و 9 = 3 × 3. وهكذا ، √45 = √ (3 × 3 × 5). يمكن إخراج الرقم 3 خارج علامة الجذر: √45 = 3√5. الآن يمكنك تقدير √5.
   • فكر في مثال آخر: √88.
     • = √ (2 × 44)
     • = √ (2 × 4 × 11)
     • = √ (2 × 2 × 2 × 11). لقد حصلت على ثلاثة مضاعفات للعدد 2 ؛ خذ زوجًا منهم وضعهم خارج علامة الجذر.
     • = 2√ (2 × 11) = 2√2 × √11. يمكنك الآن إيجاد قيمة √2 و 11 وإيجاد إجابة تقريبية.

   حساب الجذر التربيعي يدويًا

   القسمة المطولة

   1. تتضمن هذه الطريقة عملية مشابهة للقسمة المطولة وتعطي الإجابة الدقيقة.أولاً ، ارسم خطًا رأسيًا يقسم الورقة إلى نصفين ، ثم إلى اليمين وأسفل الحافة العلوية للورقة بقليل ، ارسم خطًا أفقيًا على الخط العمودي. الآن قسّم الرقم المتطرف إلى أزواج من الأرقام ، بدءًا من الجزء الكسري بعد الفاصلة العشرية. لذلك ، فإن الرقم 79520789182.47897 مكتوب بالشكل "7 95 20 78 91 82 ، 47 89 70".

      • على سبيل المثال ، لنحسب الجذر التربيعي لـ 780.14. ارسم سطرين (كما هو موضح في الصورة) واكتب في أعلى اليسار الرقم المعطى كـ "7 80، 14". من الطبيعي أن يكون الرقم الأول من اليسار رقمًا غير مزدوج. ستتم كتابة الإجابة (جذر الرقم المحدد) في أعلى اليمين.

   2. بالنسبة إلى أول زوج من الأرقام (أو رقم واحد) على اليسار ، ابحث عن أكبر عدد صحيح n الذي يكون مربعه أقل من أو يساوي زوج الأرقام (أو رقم واحد) المعني. بعبارة أخرى ، أوجد الرقم التربيعي الأقرب إلى الزوج الأول من الأرقام ولكن أقل منه (أو رقم واحد) على اليسار ، واستخرج الجذر التربيعي لذلك الرقم التربيعي ؛ تحصل على الرقم n. اكتب n الموجود في الجزء العلوي الأيمن ، واكتب المربع n في أسفل اليمين.

      • في حالتنا ، سيكون الرقم الأول على اليسار هو الرقم 7. التالي ، 4< 7, то есть 2 2 < 7 и n = 2. Напишите 2 сверху справа - это первая цифра в искомом квадратном корне. Напишите 2×2=4 справа снизу; вам понадобится это число для последующих вычислений.

   3. اطرح مربع الرقم n الذي وجدته للتو من أول زوج من الأرقام على اليسار (أو رقم واحد).اكتب نتيجة الحساب تحت المطروح (مربع الرقم ن).

      • في مثالنا ، اطرح 4 من 7 لتحصل على 3.

   4. اسحب الزوج الثاني من الأرقام واكتبه بالقرب من القيمة التي تم الحصول عليها في الخطوة السابقة.ثم ضاعف الرقم من أعلى اليمين واكتب النتيجة من أسفل اليمين مع الإضافة "_ × _ =".

      • في مثالنا ، زوج الأرقام الثاني هو "80". اكتب "80" بعد 3. ثم ضاعف الرقم في أعلى اليمين يعطي 4. اكتب "4_ × _ =" في أسفل اليمين.

   5. املأ الشرطات الموجودة على اليمين.

      • في حالتنا هذه ، إذا وضعنا الرقم 8 بدلاً من الشرط ، فإن 48 × 8 = 384 ، أي أكثر من 380. لذلك ، 8 هو رقم كبير جدًا ، لكن 7 سيفي بالغرض. اكتب 7 بدلاً من الشرطات واحصل على: 47 × 7 = 329. اكتب 7 من أعلى اليمين - هذا هو الرقم الثاني في الجذر التربيعي المطلوب لـ 780.14.

   6. اطرح الرقم الناتج من الرقم الحالي على اليسار.سجل النتيجة من الخطوة السابقة تحت الرقم الحالي على اليسار ، وابحث عن الفرق واكتبه تحت الرقم المطروح.

      • في مثالنا ، اطرح 329 من 380 ، وهو ما يساوي 51.

   7. كرر الخطوة 4.إذا كان زوج الأرقام المهدم هو الجزء الكسري من الرقم الأصلي ، فضع فاصل (فاصلة) للعدد الصحيح والجزء الكسري في الجذر التربيعي المطلوب من أعلى اليمين. على اليسار ، اسحب زوج الأرقام التالي لأسفل. ضاعف الرقم الموجود في أعلى اليمين واكتب النتيجة في أسفل اليمين مع إضافة "_ × _ =".

      • في مثالنا ، سيكون زوج الأرقام التالي المراد إزالته هو الجزء الكسري من الرقم 780.14 ، لذا ضع فاصل الأعداد الصحيحة والكسور في الجذر التربيعي المطلوب في أعلى اليمين. انزل 14 واكتب في أسفل اليسار. الرقم المضاعف في أعلى اليمين (27) هو 54 ، لذا اكتب "54_ × _ =" في أسفل اليمين.

   8. كرر الخطوتين 5 و 6.ابحث عن أكبر رقم بدلاً من الشرط على اليمين (بدلاً من الشرط ، تحتاج إلى استبدال نفس الرقم) بحيث تكون نتيجة الضرب أقل من أو تساوي الرقم الحالي على اليسار.

      • في مثالنا ، 549 × 9 = 4941 ، وهو أقل من الرقم الحالي على اليسار (5114). اكتب 9 في أعلى اليمين واطرح الضرب من الرقم الحالي على اليسار: 5114 - 4941 = 173.

   9. إذا كنت بحاجة إلى إيجاد المزيد من المنازل العشرية للجذر التربيعي ، فاكتب بضعة أصفار في الرقم الحالي على اليسار وكرر الخطوات 4 و 5 و 6. كرر الخطوات حتى تحصل على الدقة التي تريدها (عدد المنازل العشرية ).

   فهم العملية

   لإتقان هذه الطريقة ، تخيل الرقم الذي تريد إيجاد جذره التربيعي بمساحة المربع S. في هذه الحالة ، سوف تبحث عن طول الضلع L لمثل هذا المربع. نحسب قيمة L حيث L² = S.

   اكتب حرفًا لكل رقم في الإجابة.دعونا نشير بواسطة A إلى الرقم الأول في قيمة L (الجذر التربيعي المطلوب). سيكون B هو الرقم الثاني ، و C الثالث ، وهكذا.

   حدد حرفًا لكل زوج من الأرقام الأولى.دعنا نشير بواسطة S a إلى أول زوج من الأرقام في قيمة S ، بواسطة S b - الزوج الثاني من الأرقام ، وهكذا.

   افهم العلاقة بين هذه الطريقة والقسمة المطولة.كما هو الحال في عملية القسمة ، حيث في كل مرة نهتم برقم تالٍ واحد فقط من الرقم المراد تقسيمه ، عند حساب الجذر التربيعي ، نعمل بالتتابع مع زوج من الأرقام (للحصول على رقم تالٍ واحد في قيمة الجذر التربيعي).

   1. ضع في اعتبارك أول زوج من الأرقام Sa من الرقم S (Sa = 7 في مثالنا) وابحث عن جذره التربيعي.في هذه الحالة ، سيكون الرقم الأول A من قيمة الجذر التربيعي المطلوبة هو الرقم الذي يكون مربعه أقل من أو يساوي S a (أي أننا نبحث عن A بحيث تكون المتباينة A² ≤ Sa< (A+1)²). В нашем примере, S1 = 7, и 2² ≤ 7 < 3²; таким образом A = 2.

      • لنفترض أنك تريد قسمة 88962 على 7 ؛ هنا ستكون الخطوة الأولى متشابهة: نأخذ في الاعتبار الرقم الأول من المقسوم رقم 88962 (8) ونختار أكبر رقم ، عند ضربه في 7 ، يعطي قيمة أقل من أو تساوي 8. أي أننا نبحث عن عدد d الذي تكون فيه المتباينة صحيحة: 7 × d ≤ 8< 7×(d+1). В этом случае d будет равно 1.

   2. تخيل مربعًا تريد حساب مساحته.أنت تبحث عن L ، أي طول ضلع المربع الذي مساحته S. A ، B ، C هي أرقام في الرقم L. يمكنك كتابتها بشكل مختلف: 10A + B = L (بالنسبة إلى اثنين- عدد الخانات) أو 100A + 10B + C = L (لعدد من ثلاثة أرقام) وهكذا.

      • اسمحوا ان (10A + B) ² = L² = S = 100A² + 2 × 10A × B + B²... تذكر أن 10A + B عبارة عن رقم حيث يرمز B إلى الآحاد بينما يرمز A إلى عشرات. على سبيل المثال ، إذا كانت A = 1 و B = 2 ، فإن 10A + B تساوي 12. (10 أ + ب) ²هي مساحة المربع كله ، 100A²- مساحة المربع الداخلي الكبير ، ب²- مساحة المربع الداخلي الصغير ، 10 أ × بهي مساحة كل من المستطيلين. بإضافة مساحات الأشكال الموصوفة ، ستجد مساحة المربع الأصلي.

ما هو الجذر التربيعي؟

انتباه!
هناك المزيد
المواد في القسم الخاص 555.
بالنسبة لأولئك الذين هم "ليسوا جدا ..."
ولأولئك الذين "كثيرًا ...")

هذا المفهوم بسيط للغاية. طبيعي ، أود أن أقول. يحاول علماء الرياضيات إيجاد رد فعل لكل فعل. إذا كان هناك جمع ، فهناك أيضًا طرح. هناك عملية الضرب - هناك أيضًا قسمة. هناك تربيع ... إذن هناك أيضًا استخراج الجذر التربيعي!هذا كل شئ. هذا الفعل ( استخراج الجذر التربيعي) في الرياضيات من خلال هذا الرمز:

تسمى الأيقونة نفسها كلمة جميلة " متطرف".

كيف تستخرج الجذر؟من الأفضل النظر فيه في أمثلة.

ما هو الجذر التربيعي للرقم 9؟ أي عدد تربيع يعطينا 9؟ 3 تربيع يعطينا 9! أولئك:

لكن كم يساوي الجذر التربيعي للصفر؟ لا مشكلة! أي عدد تربيع يعطي صفرًا؟ نعم ، إنها تعطي صفرًا بحد ذاتها! وسائل:

قد اشتعلت ما هو الجذر التربيعي؟ثم ننظر أمثلة:

الإجابات (في حالة فوضى): 6 ؛ 1 ؛ 4 ؛ تسع؛ 5.

مقرر؟ في الواقع ، إنه أسهل بكثير؟!

لكن ... ماذا يفعل الشخص عندما يرى مهمة ذات جذور؟

يبدأ الإنسان بالشوق ... لا يؤمن ببساطة وخفة الجذور. على الرغم من أنه يعلم على ما يبدو ما هو الجذر التربيعي...

وذلك لأن الشخص تجاهل عدة نقاط مهمة عند دراسة الجذور. ثم تنتقم هذه البدع بقسوة من الاختبارات والامتحانات ...

النقطة الأولى. يجب التعرف على الجذور عن طريق البصر!

كم يساوي الجذر التربيعي لـ 49؟ سبعة؟ حق! كيف عرفت ذلك السبعة؟ هل قمت بتربيع 7 وحصلت على 49؟ حق! يرجى ملاحظة ذلك استخراج الجذرمن بين 49 كان علينا إجراء العملية العكسية - إلى المربع 7! وتأكد من أننا لا نفتقد. أو ربما فاتتهم ...

هذه هي الصعوبة استخراج الجذور. ميدانيمكن عمل أي رقم دون الكثير من المتاعب. لضرب الرقم في نفسه في عمود - وهذا كل شيء. لكن ل استخراج الجذرلا توجد مثل هذه التكنولوجيا البسيطة والخالية من المتاعب. لابد ان يلتقطأجب وتحقق من التربيع.

هذه العملية الإبداعية المعقدة - اختيار الإجابة - تكون مبسطة إلى حد كبير إذا كنت تذكرمربعات الأرقام الشعبية. مثل جدول الضرب. إذا كنت تريد ، لنقل ، أن تضرب 4 في 6 - لا تضيف 4 6 مرات ، أليس كذلك؟ تظهر الإجابة على الفور: 24. على الرغم من أن الجميع لم يأتوا بها ، نعم ...

لعمل مجاني وناجح مع الجذور ، يكفي معرفة مربعات الأرقام من 1 إلى 20. علاوة على ذلك هناكو الى الخلف.أولئك. يجب أن تسمي بسهولة ، على سبيل المثال ، 11 تربيعًا والجذر التربيعي لـ 121. هناك طريقتان لتحقيق هذا الحفظ. الأول هو تعلم جدول المربعات. هذا شيء عظيم لحل الأمثلة. والثاني هو حل المزيد من الأمثلة. سيساعدك هذا كثيرًا على تذكر جدول المربعات.

ولا حاسبات! لأغراض التحقق فقط. وإلا فسوف تبطئ الامتحان بلا رحمة ...

وبالتالي، ما هو الجذر التربيعيوكيف استخراج الجذور- أعتقد أنه مفهوم. الآن دعنا نتعرف على ما يمكنك استخراجه.

النقطة الثانية. جذر ، أنا لا أعرفك!

ما هي الأرقام التي يمكنك الحصول عليها من الجذور التربيعية؟ نعم ، تقريبًا أي منها. من الأسهل أن تفهم أين ممنوعاستخرجها.

دعنا نحاول حساب الجذر التالي:

للقيام بذلك ، عليك أن تختار عددًا يعطينا تربيعًا -4. نختار.

ماذا ، لم يتم اختياره؟ 2 2 تعطي +4. (-2) 2 يعطي +4 مرة أخرى! هذا كل شيء ... لا توجد أرقام ، عندما تربيع ، ستعطينا عددًا سالبًا! على الرغم من أنني أعرف هذه الأرقام. لكنني لن أخبرك). اذهب إلى الكلية - ستجد ذلك بنفسك.

ستكون نفس القصة بأي رقم سالب. ومن هنا الاستنتاج:

تعبير برقم سالب تحت علامة الجذر التربيعي - لا معنى له! هذه عملية ممنوعة. كما يحرم القسمة على الصفر. تذكر هذه الحقيقة بسخرية!أو بعبارة أخرى:

لا يمكن استخلاص الجذور التربيعية من الأعداد السالبة!

لكن من بين الآخرين - يمكنك ذلك. على سبيل المثال ، من الممكن جدًا إجراء الحساب

للوهلة الأولى ، هذا صعب للغاية. إلتقط الكسور وقم بتربيعها ... لا تقلق. عندما نتعامل مع خصائص الجذور ، سيتم اختزال هذه الأمثلة إلى نفس جدول المربعات. ستصبح الحياة أسهل!

حسنًا ، حسنًا ، الكسور. لكننا ما زلنا نواجه عبارات مثل:

لا بأس. كل نفس. الجذر التربيعي لاثنين هو العدد الذي ، عند تربيعه ، نحصل على اثنين. فقط الرقم غير متساوٍ تمامًا ... ها هو:

ومن المثير للاهتمام أن هذا الكسر لا ينتهي أبدًا ... وتسمى هذه الأرقام بالأرقام غير المنطقية. في الجذور التربيعية ، هذا هو الشيء الأكثر شيوعًا. بالمناسبة ، هذا هو سبب استدعاء التعبيرات ذات الجذور غير منطقي... من الواضح أنه من غير الملائم كتابة مثل هذا الكسر اللامتناهي طوال الوقت. لذلك ، بدلاً من الكسر اللانهائي ، فإنهم يتركونه على هذا النحو:

إذا ، أثناء حل المثال ، ينتهي بك الأمر بشيء لا يمكن استرداده ، مثل:

ثم نترك الأمر على هذا النحو. سيكون هذا هو الجواب.

عليك أن تفهم ذلك بوضوح تحت الأيقونات

بالطبع ، إذا تم استخراج جذر الرقم ناعم، يجب أن تفعل ذلك. استجابة المهمة في النموذج ، على سبيل المثال

إجابة كاملة.

وبالطبع تحتاج إلى معرفة القيم التقريبية عن ظهر قلب:

تساعد هذه المعرفة كثيرًا في تقييم الموقف في المهام الصعبة.

النقطة الثالثة. الأكثر دهاء.

سبب الارتباك الرئيسي في العمل مع الجذور هو هذه البدعة. هو الذي يعطي عدم الثقة بقدراتهم .. فلنتعامل مع هذه البدعة بالشكل الصحيح!

بادئ ذي بدء ، لنأخذ الجذر التربيعي لأربعة منهم مرة أخرى. ماذا ، هل حصلت بالفعل على هذا الجذر؟) لا شيء ، الآن سيكون ممتعًا!

ما هو الرقم في المربع 4؟ حسنًا ، اثنان ، اثنان - أسمع إجابات ساخطين ...

حق. اثنين. ولكن بعد كل شيء ناقص اثنينسيعطي 4 تربيع ... في غضون ذلك ، الجواب

صحيح والجواب

خطأ فادح. مثله.

إذن ما هو الاتفاق؟

في الواقع ، (-2) 2 = 4. وتحت تعريف الجذر التربيعي لأربعة ناقص اثنينمناسب تمامًا ... هذا أيضًا هو الجذر التربيعي لأربعة.

لكن! في الدورة المدرسية للرياضيات ، من المعتاد اعتبارها جذورًا تربيعية فقط الأرقام غير السالبة!أي صفر وكل شيء إيجابي. حتى مصطلح خاص تم صياغته: من الرقم أ- هذا هو غير سلبيالرقم الذي مربعه أ... النتائج السلبية عند استخراج الجذر التربيعي الحسابي يتم تجاهلها ببساطة. في المدرسة ، جميع الجذور التربيعية علم الحساب... على الرغم من عدم ذكرها على وجه التحديد عن هذا.

حسنًا ، هذا أمر مفهوم. بل من الأفضل ألا تهتم بالنتائج السلبية ... هذا ليس التباسًا بعد.

يبدأ الالتباس عند حل المعادلات التربيعية. على سبيل المثال ، تحتاج إلى حل المعادلة التالية.

المعادلة بسيطة نكتب الجواب (كما تدرس):

هذه الإجابة (بالمناسبة ، صحيحة تمامًا) هي مجرد تدوين مختصر اثنينالإجابات:

قف قف! أعلى قليلاً ، كتبت أن الجذر التربيعي هو رقم دائماغير سلبي! وهنا أحد الإجابات - نفي! اضطراب. هذه هي المشكلة الأولى (ولكن ليست الأخيرة) التي تسبب عدم الثقة في الجذور ... لنحل هذه المشكلة. دعنا نكتب الإجابات (فقط للفهم!) مثل هذا:

الأقواس لا تغير جوهر الإجابة. أنا فقط فصلت بين قوسين علاماتمن عند جذر... الآن يمكنك أن ترى بوضوح أن الجذر نفسه (بين قوسين) لا يزال رقمًا غير سالب! والعلامات نتيجة حل المعادلة... في الواقع ، عند حل أي معادلة ، يجب أن نكتب الكل x ، والتي عند استبدالها في المعادلة الأصلية ، ستعطي النتيجة الصحيحة. تناسب معادلتنا جذر خمسة (موجب!) مع موجب وناقص.

مثله. اذا أنت فقط استخرج الجذر التربيعيمن أي شيء أنت دائمااحصل على واحد غير سلبينتيجة. على سبيل المثال:

لأنه - الجذر التربيعي الحسابي.

ولكن إذا كنت تحل نوعًا من المعادلات التربيعية مثل:

من ثم دائمااتضح اثنينالجواب (مع زائد وناقص):

لأن هذا هو حل المعادلة.

أمل، ما هو الجذر التربيعيمن خلال نقاطك الصغيرة التي توصلت إليها. يبقى الآن معرفة ما يمكن فعله بالجذور ، وما هي خصائصها. وما هي المخادع والقشرة تحت الماء ... آسف يا حجارة!)

كل هذا في الدروس التالية.

إذا أعجبك هذا الموقع ...

بالمناسبة ، لديّ موقعان أكثر تشويقًا لك).

يمكنك التدرب على حل الأمثلة ومعرفة مستواك. اختبار التحقق الفوري. التعلم - باهتمام!)

يمكنك التعرف على الوظائف والمشتقات.

جذر ن- القوة رقم طبيعي أيسمى هذا الرقم ، نالدرجة التي هي أ... تم تعيين الجذر على النحو التالي:. الرمز √ يسمى علامة الجذرأو علامة جذرية، عدد أ - رقم الجذر, ن - الأس الجذر.

يتم استدعاء الإجراء الذي يتم من خلاله العثور على جذر درجة معينة استخراج الجذر.

منذ ذلك الحين وفقًا لتعريف مفهوم الجذر نالدرجة الثالثة

من ثم استخراج الجذر- الفعل العكسي للرفع إلى قوة ، وبمساعدته ، وفقًا لدرجة معينة ووفقًا لأسس معين ، يتم العثور على قاعدة الدرجة.

الجذر التربيعي

الجذر التربيعي لرقم أهو رقم يساوي مربعه أ.

يسمى فعل حساب الجذر التربيعي الجذر التربيعي.

استخراج الجذر التربيعي- الإجراء العكسي للتربيع (أو رفع رقم للقوة الثانية). عند التربيع ، يكون الرقم معروفًا ، تحتاج إلى إيجاد مربعه. عند استخراج الجذر التربيعي ، يكون مربع الرقم معروفًا ، فأنت بحاجة إلى إيجاد الرقم نفسه منه.

لذلك ، للتحقق من صحة الإجراء الذي تم تنفيذه ، يمكن رفع الجذر الموجود إلى القوة الثانية ، وإذا كانت القوة مساوية للرقم الجذري ، فعندئذٍ تم العثور على الجذر بشكل صحيح.

لنلق نظرة على استخراج جذر تربيعي والتحقق منه بمثال. دعنا نحسب أو (عادةً لا يتم كتابة أس الجذر بقيمة 2 ، لأن 2 هو أصغر الأس ويجب أن نتذكر أنه إذا لم يكن هناك أس فوق علامة الجذر ، فإن الأس 2 يعني ضمنيًا) ، لهذا نحتاج إلى إيجاد الرقم ، عند رفعه إلى الثانية ستكون الدرجة 49. من الواضح أن هذا الرقم هو 7 ، حيث

7 7 = 7 2 = 49.

حساب الجذر التربيعي

إذا كان الرقم المحدد 100 أو أقل ، فيمكن حساب الجذر التربيعي له باستخدام جدول الضرب. على سبيل المثال ، الجذر التربيعي لـ 25 هو 5 ، لأن 5 5 = 25.

لنلقِ نظرة الآن على طريقة لإيجاد الجذر التربيعي لأي عدد دون استخدام الآلة الحاسبة. على سبيل المثال ، لنأخذ الرقم 4489 ونبدأ في حسابه خطوة بخطوة.

1. دعونا نحدد البتات التي يجب أن يتكون منها الجذر المطلوب. بما أن 10 2 = 10 10 = 100 ، و 100 2 = 100 100 = 10000 ، يصبح من الواضح أن الجذر المطلوب يجب أن يكون أكبر من 10 وأقل من 100 ، أي تتكون من عشرات والوحدات.
2. نحسب عدد عشرات الجذر. من ضرب العشرات ، نحصل على المئات ، في عددنا 44 ، لذا يجب أن يحتوي الجذر على العديد من العشرات بحيث يعطي مربع العشرات 44 مئات تقريبًا. لذلك ، في الجذر يجب أن يكون هناك 6 عشرات ، لأن 60 2 = 3600 ، و 70 2 = 4900 (هذا كثير جدًا). وهكذا ، وجدنا أن جذرنا يحتوي على 6 عشرات وعدة وحدات ، لأنه يقع في النطاق من 60 إلى 70.
3. سيساعد جدول الضرب في تحديد عدد الوحدات في الجذر. بالنظر إلى الرقم 4489 ، نرى أن الرقم الأخير فيه هو 9. الآن ننظر إلى جدول الضرب ونرى أنه لا يمكن الحصول على 9 وحدات إلا عند تربيع العددين 3 و 7. إذن ، سيكون جذر العدد هو 63 أو 67.
4. نتحقق من العددين 63 و 67 اللذين تلقيناهما من خلال تربيعهما: 63 2 = 3969 ، 67 2 = 4489.

لنفكر في هذه الخوارزمية على سبيل المثال. تجد

الخطوة الأولى. نقسم الرقم الموجود أسفل الجذر إلى رقمين لكل منهما (من اليمين إلى اليسار):

الخطوة الثانية. نستخرج الجذر التربيعي من الوجه الأول ، أي من الرقم 65 نحصل على الرقم 8. تحت الوجه الأول نكتب مربع الرقم 8 ونطرحه. نخصص الوجه الثاني للباقي (59):

(الرقم 159 هو الباقي الأول).

الخطوة الثالثة. نضاعف الجذر الموجود ونكتب النتيجة على اليسار:

الخطوة الرابعة. نفصل في الباقي (159) رقمًا واحدًا على اليمين ، وعلى اليسار نحصل على عدد العشرات (يساوي 15). ثم نقسم 15 على الرقم الأول المضاعف للجذر ، أي على 16 ، نظرًا لأن الرقم 15 لا يقبل القسمة على 16 ، ثم في حاصل القسمة نحصل على صفر ، والذي نكتبه على أنه الرقم الثاني من الجذر. إذن ، في حاصل القسمة حصلنا على الرقم 80 ، الذي نضاعفه مرة أخرى ، ونحطم الوجه التالي

(الرقم 15901 هو الباقي الثاني).

الخطوة الخامسة. افصل في الباقي الثاني رقمًا واحدًا إلى اليمين وقسم الرقم الناتج 1590 على 160. اكتب النتيجة (رقم 9) على أنها الرقم الثالث من الجذر وقم بتعيينها للرقم 160. اضرب الرقم الناتج 1609 في 9 وابحث الباقي التالي (1420):

يتم تنفيذ مزيد من الإجراءات في التسلسل المشار إليه في الخوارزمية (يمكن استخراج الجذر بالدرجة المطلوبة من الدقة).

تعليق. إذا كان التعبير الجذري كسرًا عشريًا ، فسيتم تقسيم الجزء الصحيح منه إلى رقمين من اليمين إلى اليسار ، والجزء الكسري - رقمان من اليسار إلى اليمين ، ويتم استخراج الجذر وفقًا للخوارزمية المحددة.

مادة فكرية

1. استخرج الجذر التربيعي للرقم: أ) 32 ؛ ب) 32.45 ؛ ج) 249.5 ؛ د) 0.9511.