Квадратът на сбора от два израза
Има редица случаи, в които умножението на полином по полином може да бъде значително опростено. Такъв е например случаят (2 х+ 3г) 2 .
Израз (2 х+ 3г) 2 е умножението на два полинома, всеки от които е равен на (2 х+ 3г)
(2х+ 3г) 2 = (2х+ 3г)(2х+ 3г)
Получаваме умножението на полином по полином. Нека го изпълним:
(2х+ 3г) 2 = (2х+ 3г)(2х+ 3г) = 4х 2 + 6xy + 6xy + 9г 2 = 4х 2 + 12xy+ 9г 2
Тоест, изразът (2 х+ 3г) 2 е равно на 4х 2 + 12xy + 9г 2
(2х+ 3г) 2 = 4х 2 + 12xy+ 9г 2
Нека решим подобен пример, който е по-прост:
(а+б) 2
Израз ( а+б) 2 е умножението на два полинома, всеки от които е равен на ( а+б)
(а+б) 2 = (а+б)(а+б)
Нека направим това умножение:
(а+б) 2 = (а+б)(а+б) = а 2 + аб + аб + б 2 = а 2 + 2аб + б 2
Това е изразът (а+б) 2 е равно на а 2 + 2аб + б 2
(а+б) 2 = а 2 + 2аб + б 2
Оказва се, че случаят ( а+б) 2 може да бъде удължен за всеки аи б. Първият пример, който решихме, а именно (2 х+ 3г) 2 може да се реши с помощта на идентичността (а+б) 2 = а 2 + 2аб + б 2 . За да направите това, трябва да замените вместо променливи аи бсъответни термини от израз (2 х+ 3г) 2 . В този случай променливата амач пишка 2 х, и променливата бмач пишка 3 г
а = 2х
б = 3г
И тогава можем да използваме самоличността (а+б) 2 = а 2 + 2аб + б 2 , но вместо променливи аи бтрябва да замените изрази 2 хи 3 гсъответно:
(2х+ 3г) 2 = (2х) 2 + 2 × 2 х× 3 г + (3г) 2 = 4х 2 + 12xy+ 9г 2
Както миналия път, получихме полином 4х 2 + 12xy+ 9г 2 . Решението обикновено се пише по-кратко, като извършва всички елементарни трансформации в ума:
(2х+ 3г) 2 = 4х 2 + 12xy+ 9г 2
самоличност (а+б) 2 = а 2 + 2аб + б 2 се нарича формула за квадрата на сбора от два израза. Тази формула може да се чете така:
Квадратът на сбора от два израза е равен на квадрата на първия израз плюс двойното произведение на първия израз и втория плюс квадрата на втория израз.
Разгледайте израза (2 + 3) 2 . Може да се изчисли по два начина: да се извърши събиране в скоби и резултатът да бъде квадратен, или да се използва формулата за квадрат на сумата от два израза.
Първи начин:
(2 + 3) 2 = 5 2 = 25
Втори начин:
(2 + 3) 2 = 2 2 + 2 × 2 × 3 + 3 2 = 4 + 12 + 9 = 25
Пример 2. Преобразуване на израза (5 а+ 3) 2 в полином.
Нека използваме формулата за квадрата на сбора от два израза:
(а+б) 2 = а 2 + 2аб + б 2
(5а + 3) 2 = (5а) 2 + 2 × 5 а × 3 + 3 2 = 25а 2 + 30а + 9
означава, (5а + 3) 2 = 25а 2 + 30а + 9.
Нека се опитаме да решим този пример, без да използваме формулата за квадратен сбор. Трябва да получим същия резултат:
(5а + 3) 2 = (5а + 3)(5а + 3) = 25а 2 + 15а + 15а + 9 = 25а 2 + 30а + 9
Формулата за квадрата на сбора от два израза има геометричен смисъл. Спомняме си, че за да изчислите площта на квадрат, трябва да повишите страната му на втора степен.
Например площта на квадрат със страна аще бъде равно на а 2. Ако увеличите страната на квадрата с б, тогава площта ще бъде равна на ( а+б) 2
Помислете за следната фигура:
Представете си, че страната на квадрата, показана на тази фигура, се увеличава с б. Квадратът има всички страни равни. Ако страната му се увеличи с б, тогава другите страни също ще се увеличат с б
Резултатът е нов квадрат, който е по-голям от предишния. За да го видите добре, нека допълним липсващите страни:
За да изчислите площта на този квадрат, можете отделно да изчислите квадратите и правоъгълниците, включени в него, след което да добавите резултатите.
Първо, можете да изчислите квадрат със страна а- неговата площ ще бъде равна на а 2. След това можете да изчислите правоъгълници със страни аи б- ще бъдат равни аб. След това можете да изчислите квадрат със страна б
Резултатът е следната сума от области:
а 2 + ab+ab + б 2
Сборът от площите на еднакви правоъгълници може да бъде заменен с умножаване на 2 аб, което буквално означава "повторете два пъти площта на правоъгълника ab" . Алгебрично, това се получава чрез намаляване на подобни термини аби аб. Резултатът е израз а 2 + 2аб+ б 2 , което е дясната страна на формулата за квадрата на сумата от два израза:
(а+б) 2 = а 2 + 2аб+ б 2
Квадратът на разликата на два израза
Формулата за квадрата на разликата от два израза е както следва:
(a-b) 2 = а 2 − 2аб + б 2
Квадратът на разликата на два израза е равен на квадрата на първия израз минус двойното произведение на първия израз и втория плюс квадрата на втория израз.
Формулата за квадрата на разликата на два израза се извежда по същия начин като формулата за квадрата на сбора от два израза. Израз ( a-b) 2 е произведение на два полинома, всеки от които е равен на ( a-b)
(a-b) 2 = (a-b)(a-b)
Ако извършите това умножение, ще получите полином а 2 − 2аб + б 2
(a-b) 2 = (a-b)(a-b) = а 2 − аб− аб+ б 2 = а 2 − 2аб + б 2
Пример 1. Преобразуване на израза (7 х− 5) 2 в полином.
Нека използваме формулата на квадрата на разликата от два израза:
(a-b) 2 = а 2 − 2аб + б 2
(7х− 5) 2 = (7х) 2 − 2 × 7 x × 5 + 5 2 = 49х 2 − 70х + 25
означава, (7х− 5) 2 = 49х 2 + 70х + 25.
Нека се опитаме да решим този пример, без да използваме формулата на квадрата на разликата. Трябва да получим същия резултат:
(7х− 5) 2 = (7х− 5) (7х− 5) = 49х 2 − 35х − 35х + 25 = 49х 2 − 70х+ 25.
Формулата за квадрата на разликата от два израза също има геометричен смисъл. Ако площта на квадрат със страна ае равно на а 2 , след това площта на квадрата, чиято страна е намалена с б, ще бъде равно на ( a-b) 2
Помислете за следната фигура:
Представете си, че страната на квадрата, показана на тази фигура, е намалена с б. Квадратът има всички страни равни. Ако едната страна се намали с б, тогава другите страни също ще намалеят с б
Резултатът е нов квадрат, който е по-малък от предишния. Той е подчертан в жълто на фигурата. Страната му е а− бот старата страна анамалява с б. За да изчислите площта на този квадрат, можете да използвате оригиналната площ на квадрата а 2 извадете площите на правоъгълниците, които са получени в процеса на намаляване на страните на стария квадрат. Нека покажем тези правоъгълници:
Тогава можем да напишем следния израз: стара област а 2 минус площ абминус площ ( a-b)б
а 2 − аб − (a-b)б
Разгънете скобите в израза ( a-b)б
а 2 − ab - аб + б 2
Ето подобни термини:
а 2 − 2аб + б 2
Резултатът е израз а 2 − 2аб + б 2 , което е дясната страна на формулата за квадрата на разликата на два израза:
(a-b) 2 = а 2 − 2аб + б 2
Формулите за квадрата на сбора и квадрата на разликата обикновено се наричат съкратени формули за умножение. Тези формули ви позволяват значително да опростите и ускорите процеса на умножение на полиноми.
По-рано казахме, че разглеждайки член на полином отделно, той трябва да се разглежда заедно със знака, който се намира пред него.
Но когато се прилагат съкратените формули за умножение, знакът на оригиналния полином не трябва да се разглежда като знак на самия този термин.
Например, като се има предвид изразът (5 х − 2г) 2 и искаме да използваме формулата (a-b) 2 = а 2 − 2аб + б 2 , тогава вместо бтрябва да се заменят 2 г, а не −2 г. Това е особеност на работата с формули, която не бива да се забравя.
(5х − 2г) 2
а = 5х
б = 2г
(5х − 2г) 2 = (5х) 2 − 2 × 5 х×2 г + (2г) 2 = 25х 2 − 20xy + 4г 2
Ако заместим −2 г, тогава това ще означава, че разликата в скобите на оригиналния израз е заменена със сумата:
(5х − 2г) 2 = (5х + (−2г)) 2
и в този случай е необходимо да се приложи не формулата на квадрата на разликата, а формулата на квадрата на сбора:
(5х + (−2г) 2
а = 5х
б = −2г
(5х + (−2г)) 2 = (5х) 2 + 2 × 5 х× (−2 г) + (−2г) 2 = 25х 2 − 20xy + 4г 2
Изключение могат да бъдат изразите на формата (х− (−г)) 2 . В този случай се използва формулата (a-b) 2 = а 2 − 2аб + б 2 вместо бтрябва да бъде заменен (- г)
(х− (−г)) 2 = х 2 − 2 × х× (− г) + (−г) 2 = х 2 + 2xy + г 2
Но квадратни изрази на формата х − (−г), ще бъде по-удобно да замените изваждането със събиране x+y. Тогава оригиналният израз ще приеме формата ( х +г) 2 и ще бъде възможно да се използва формулата на квадрата на сумата, а не на разликата:
(х +г) 2 = х 2 + 2xy + г 2
Куб за сума и куб за разлика
Формулите за куба на сбора от два израза и куба на разликата от два израза са както следва:
(а + б) 3 = а 3 + 3а 2 б + 3аб 2 + б 3
(a-b) 3 = а 3 − 3а 2 б + 3аб 2 − б 3
Формулата за куба на сбора от два израза може да се чете така:
Кубът на сбора от два израза е равен на куба на първия израз плюс три пъти квадрата на първия израз, умножен на втория плюс три пъти произведението на първия израз, умножен на квадрата на втория плюс куба на втория изразяване.
И формулата за куба на разликата от два израза може да се прочете по следния начин:
Кубът на разликата от два израза е равен на куба на първия израз минус три пъти произведението на квадрата на първия израз и втория плюс три пъти на произведението на първия израз и квадрата на втория минус куба на втория израз.
При решаване на задачи е желателно тези формули да се знаят наизуст. Ако не си спомняте, не се притеснявайте! Можете да ги извадите сами. Вече знаем как.
Нека сами да извлечем формулата за куб на сбора:
(а+б) 3
Израз ( а+б) 3 е произведение на три полинома, всеки от които е равен на ( а+ б)
(а+б) 3 = (а+ б)(а+ б)(а+ б)
Но изразът ( а+б) 3 може да се запише и като (а+ б)(а+ б) 2
(а+б) 3 = (а+ б)(а+ б) 2
В този случай факторът ( а+ б) 2 е квадратът на сбора от двата израза. Този квадрат на сбора е равен на израза а 2 + 2аб + б 2 .
Тогава ( а+б) 3 може да се запише като (а+ б)(а 2 + 2аб + б 2) .
(а+б) 3 = (а+ б)(а 2 + 2аб + б 2)
И това е умножението на полином по полином. Нека го изпълним:
(а+б) 3 = (а+ б)(а 2 + 2аб + б 2) = а 3 + 2а 2 б + аб 2 + а 2 б + 2аб 2 + б 3 = а 3 + 3а 2 б + 3аб 2 + б 3
По същия начин можете да извлечете формулата за куба на разликата от два израза:
(a-b) 3 = (а- б)(а 2 − 2аб + б 2) = а 3 − 2а 2 б + аб 2 − а 2 б + 2аб 2 − б 3 = а 3 − 3а 2 б+ 3аб 2 − б 3
Пример 1. Преобразувайте израза ( х+ 1) 3 в полином.
(а + б) 3 = а 3 + 3а 2 б + 3аб 2 + б 3
(х+ 1) 3 = х 3+3× х 2×1 + 3× х× 1 2 + 1 3 = х 3 + 3х 2 + 3х + 1
Нека се опитаме да решим този пример, без да използваме кубичната формула на сбора от два израза
(х+ 1) 3 = (х+ 1)(х+ 1)(х+ 1) = (х+ 1)(х 2 + 2х + 1) = х 3 + 2х 2 + х + х 2 + 2х + 1 = х 3 + 3х 2 + 3х + 1
Пример 2. Преобразуване на израз (6а 2 + 3б 3) 3 в полином.
Нека използваме формулата на куба за сумата от два израза:
(а + б) 3 = а 3 + 3а 2 б + 3аб 2 + б 3
(6а 2 + 3б 3) 3 = (6а 2) 3 + 3 × (6 а 2) 2×3 б 3+3×6 а 2 × (3б 3) 2 + (3б 3) 3 = 216а 6+3×36 а 4×3 б 3+3×6 а 2×9 б 6 + 27б 9
Пример 3. Преобразуване на израз ( н 2 − 3) 3 в полином.
(a-b) = а 3 − 3а 2 б + 3аб 2 − б 3
(н 2 − 3) 3 = (н 2) 3 − 3 × ( н 2) 2×3 + 3× н 2 × 3 2 − 3 3 = н 6 − 9н 4 + 27н 2 − 27
Пример 4. Преобразуване на израз (2х 2 − х 3) 3 в полином.
Нека използваме кубичната формула за разликата на два израза:
(a-b) = а 3 − 3а 2 б + 3аб 2 − б 3
(2х 2 − х 3) 3 = (2х 2) 3 − 3 × (2 х 2) 2× х 3+3×2 х 2×( х 3) 2 − (х 3) 3 =
8х 6 − 3 × 4 х 4× х 3+3×2 х 2× х 6 − х 9 =
8х 6 − 12х 7 + 6х 8 − х 9
Умножаване на разликата на два израза по техния сбор
Има задачи, при които се изисква разликата на два израза да се умножи по техния сбор. Например:
(a-b)(а+б)
В този израз разликата от два израза аи бумножено по сбора на същите два израза. Нека направим това умножение:
(a-b)(а+б) = а 2 + аб − аб − б 2 = а 2 − б 2
Това е изразът (a-b)(а+б) се равнява а 2 − б 2
(a-b)(а+б) = а 2 − б 2
Виждаме, че когато умножим разликата на два израза по тяхната сума, получаваме разликата на квадратите на тези изрази.
Произведението на разликата на два израза и тяхната сума е равно на разликата на квадратите на тези изрази.
Случва се (a-b)(а+б) може да се разшири до всякакви аи б. Просто казано, ако при решаване на задача е необходимо да се умножи разликата на два израза по тяхната сума, тогава това умножение може да бъде заменено с разликата на квадратите на тези изрази.
Пример 1. Извършете умножение (2х − 5)(2х + 5)
В този пример разликата в израза е 2 хи 5, умножено по сбора на същите тези изрази. След това по формулата (a-b)(а+б) = а 2 − б 2 ние имаме:
(2х − 5)(2х + 5) = (2х) 2 − 5 2
Изчисляваме дясната страна, получаваме 4 х 2 − 25
(2х − 5)(2х + 5) = (2х) 2 − 5 2 = 4х 2 − 25
Нека се опитаме да решим този пример, без да използваме формулата (a-b)(а+б) = а 2 − б 2 . Ще получим същия резултат 4 х 2 − 25
(2х − 5)(2х + 5) = 4х 2 − 10х + 10х − 25 = 4х 2 − 25
Пример 2. Извършете умножение (4х − 5г)(4х + 5г)
(a-b)(а+б) = а 2 − б 2
(4х − 5г)(4х + 5г) = (4х) 2 − (5г) 2 = 16х 2 − 25г 2
Пример 3. Извършете умножение (2а+ 3б)(2а− 3б)
Нека използваме формулата за умножаване на разликата на два израза по тяхната сума:
(a-b)(а+б) = а 2 − б 2
(2а + 3б)(2а- 3б) = (2а) 2 − (3б) 2 = 4а 2 − 9б 2
В този пример сборът от членове е 2 аи 3 бразположени по-рано от разликата на тези термини. И във формулата (a-b)(а+б) = а 2 − б 2 разликата се намира по-рано.
Няма значение как са подредени факторите ( a-b) в ( а+б) във формулата. Те могат да бъдат написани като (a-b)(а+б) , и (а+б)(a-b) . Резултатът все пак ще бъде а 2 − б 2, тъй като произведението не се променя от пермутация на факторите.
Така че в този пример факторите (2 а + 3б) и 2 а- 3б) може да се запише като (2а + 3б)(2а- 3б) , и (2а- 3б)(2а + 3б) . Резултатът пак ще бъде 4. а 2 − 9б 2 .
Пример 3. Извършете умножение (7 + 3х)(3х − 7)
Нека използваме формулата за умножаване на разликата на два израза по тяхната сума:
(a-b)(а+б) = а 2 − б 2
(7 + 3х)(3х − 7) = (3х) 2 − 7 2 = 9х 2 − 49
Пример 4. Извършете умножение (х 2 − г 3)(х 2 + г 3)
(a-b)(а+б) = а 2 − б 2
(х 2 − г 3)(х 2 + г 3) = (х 2) 2 − (г 3) 2 = х 4 − г 6
Пример 5. Извършете умножение (−5х− 3г)(5х− 3г)
В израза (−5 х− 3г) изваждаме −1, тогава оригиналният израз ще приеме следната форма:
(−5х− 3г)(5х− 3г) = −1(5х + 3г)(5х − 3г)
Работете (5х + 3г)(5х − 3г) заменете с разликата на квадратите:
(−5х− 3г)(5х− 3г) = −1(5х + 3г)(5х − 3г) = −1((5х) 2 − (3г) 2)
Разликата на квадратите беше затворена в скоби. Ако това не се направи, тогава ще се окаже, че −1 се умножава само по (5 х) 2 . И това ще доведе до грешка и ще промени стойността на оригиналния израз.
(−5х− 3г)(5х− 3г) = −1(5х + 3г)(5х − 3г) = −1((5х) 2 − (3г) 2) = −1(25х 2 − 9х 2)
Сега умножете −1 по израза в скоби и получете крайния резултат:
(−5х− 3г)(5х− 3г) = −1(5х + 3г)(5х − 3г) = −1((5х) 2 − (3г) 2) =
−1(25х 2 − 9г 2) = −25х 2 + 9г 2
Умножаване на разликата на два израза по непълния квадрат на тяхната сума
Има задачи, при които се изисква разликата на два израза да се умножи по непълния квадрат на тяхната сума. Това парче изглежда така:
(a-b)(а 2 + аб + б 2)
Първи полином ( a-b) е разликата на два израза, а вторият полином (а 2 + аб + б 2) е непълният квадрат от сбора на тези два израза.
Непълният квадрат на сбора е полином от вида а 2 + аб + б 2 . Това е подобно на обичайния квадрат на сумата а 2 + 2аб + б 2
Например изразът 4х 2 + 6xy + 9г 2 е непълен квадрат на сбора от изрази 2 хи 3 г .
Всъщност първият член на израза 4х 2 + 6xy + 9г 2 , а именно 4 х 2 е квадратът на израза 2 х, тъй като (2 х) 2 = 4х 2. Третият член на израза 4х 2 + 6xy + 9г 2 , а именно 9 г 2 е квадратът на 3 г, тъй като (3 г) 2 = 9г 2. среден член 6 xy, е продукт на изрази 2 хи 3 г.
Така че нека умножим разликата ( a-b) чрез непълен квадрат на сбора а 2 + аб + б 2
(a-b)(а 2 + аб + б 2) = а(а 2 + ab + b 2) − б(а 2 + аб + б 2) =
а 3 + а 2 б + аб 2 − а 2 б − аб 2 − б 3 = а 3 − б 3
Това е изразът (a-b)(а 2 + аб + б 2) се равнява а 3 − б 3
(a-b)(а 2 + аб + б 2) = а 3 − б 3
Това тъждество се нарича формула за умножаване на разликата на два израза по непълния квадрат на тяхната сума. Тази формула може да се чете така:
Произведението на разликата на два израза и непълния квадрат на тяхната сума е равно на разликата на кубовете на тези изрази.
Пример 1. Извършете умножение (2х − 3г)(4х 2 + 6xy + 9г 2)
Първият полином (2 х − 3г) е разликата на два израза 2 хи 3 г. Втори полином 4х 2 + 6xy + 9г 2 е непълният квадрат на сбора от два израза 2 хи 3 г. Това ни позволява да използваме формулата, без да правим дълги изчисления (a-b)(а 2 + аб + б 2) = а 3 − б 3 . В нашия случай умножението (2х − 3г)(4х 2 + 6xy + 9г 2) може да се замени с разликата на кубчетата 2 хи 3 г
(2х − 3г)(4х 2 + 6xy + 9г 2) = (2х) 3 − (3г) 3 = 8х 3 − 27г 3
(a-b)(а 2 + аб+ б 2) = а 3 − б 3 . Получаваме същия резултат, но решението става по-дълго:
(2х − 3г)(4х 2 + 6xy + 9г 2) = 2х(4х 2 + 6xy + 9г 2) − 3г(4х 2 + 6xy + 9г 2) =
8х 3 + 12х 2 г + 18xy 2 − 12х 2 г − 18xy 2 − 27г 3 = 8х 3 − 27г 3
Пример 2. Извършете умножение (3 − х)(9 + 3х + х 2)
Първият полином (3 − х) е разликата на двата израза, а вторият полином е непълният квадрат от сбора на тези два израза. Това ни позволява да използваме формулата (a-b)(а 2 + аб + б 2) = а 3 − б 3
(3 − х)(9 + 3х + х 2) = 3 3 − х 3 = 27 − х 3
Умножаване на сбора от два израза по непълния квадрат на тяхната разлика
Има задачи, при които се изисква сборът от два израза да се умножи по непълния квадрат на тяхната разлика. Това парче изглежда така:
(а+б)(а 2 − аб + б 2)
Първи полином ( а+б (а 2 − аб + б 2) е непълен квадрат на разликата на тези два израза.
Непълният квадрат на разликата е полином от вида а 2 − аб + б 2 . Това е подобно на обикновената квадратна разлика а 2 − 2аб + б 2 освен че в него произведението на първия и втория израз не се удвоява.
Например изразът 4х 2 − 6xy + 9г 2 е непълен квадрат на разликата от изрази 2 хи 3 y .
(2х) 2 − 2х× 3 г + (3г) 2 = 4х 2 − 6xy + 9г 2
Нека се върнем към оригиналния пример. Нека умножим сумата а+бчрез непълния квадрат на разликата а 2 − аб + б 2
(а+б)(а 2 − аб + б 2) = а(а 2 − ab + b 2) + б(а 2 − аб + б 2) =
а 3 − а 2 б + аб 2 + а 2 б − аб 2 + б 3 = а 3 + б 3
Това е изразът (а+б)(а 2 − аб + б 2) се равнява а 3 + б 3
(а+б)(а 2 − аб + б 2) = а 3 + б 3
Това тъждество се нарича формула за умножаване на сбора от два израза по непълния квадрат на тяхната разлика. Тази формула може да се чете така:
Произведението от сбора на два израза и непълния квадрат на тяхната разлика е равно на сбора от кубовете на тези изрази.
Пример 1. Извършете умножение (2х + 3г)(4х 2 − 6xy + 9г 2)
Първият полином (2 х + 3г) е сборът от два израза 2 хи 3 г, и вторият полином 4х 2 − 6xy + 9г 2 е непълният квадрат на разликата на тези изрази. Това ни позволява да използваме формулата, без да правим дълги изчисления (а+б)(а 2 − аб + б 2) = а 3 + б 3 . В нашия случай умножението (2х + 3г)(4х 2 − 6xy + 9г 2) може да бъде заменен със сумата от кубчета 2 хи 3 г
(2х + 3г)(4х 2 − 6xy + 9г 2) = (2х) 3 + (3г) 3 = 8х 3 + 27г 3
Нека се опитаме да решим същия пример, без да използваме формулата (а+б)(а 2 − аб+ б 2) = а 3 + б 3 . Получаваме същия резултат, но решението става по-дълго:
(2х + 3г)(4х 2 − 6xy + 9г 2) = 2х(4х 2 − 6xy + 9г 2) + 3г(4х 2 − 6xy + 9г 2) =
8х 3 − 12х 2 г + 18xy 2 + 12х 2 г − 18xy 2 + 27г 3 = 8х 3 + 27г 3
Пример 2. Извършете умножение (2х+ г)(4х 2 − 2xy + г 2)
Първият полином (2 х+ г) е сборът от два израза, а вторият полином (4х 2 − 2xy + г 2) е непълен квадрат на разликата на тези изрази. Това ни позволява да използваме формулата (а+б)(а 2 − аб+ б 2) = а 3 + б 3
(2х+ г)(4х 2 − 2xy + г 2) = (2х) 3 + г 3 = 8х 3 + г 3
Нека се опитаме да решим същия пример, без да използваме формулата (а+б)(а 2 − аб+ б 2) = а 3 + б 3 . Получаваме същия резултат, но решението става по-дълго:
(2х+ г)(4х 2 − 2xy + г 2) = 2х(4х 2 − 2xy + г 2) + г(4х 2 − 2xy + г 2) =
8х 3 − 4х 2 г + 2xy 2 + 4х 2 г − 2xy 2 + г 3 = 8х 3 + г 3
Задачи за самостоятелно решаване
Хареса ли ви урока?
Присъединете се към нашата нова група Vkontakte и започнете да получавате известия за нови уроци
В този урок ще се запознаем с формулите за квадрата на сбора и квадрата на разликата и ще ги изведем. Нека докажем геометрично формулата за квадрата на сбора. Освен това ще решим много различни примери, използвайки тези формули.
Помислете за формулата за квадрата на сбора:
И така, изведохме формулата за квадрата на сбора:
Устно тази формула се изразява по следния начин: квадратът на сбора е равен на квадрата на първото число плюс двойното произведение на първото число на второто плюс квадрата на второто число.
Тази формула е лесна за представяне геометрично.
Помислете за квадрат със страна:
Квадратна площ.
От друга страна един и същи квадрат може да се представи по различен начин, като се раздели страната на a и b (фиг. 1).
Ориз. 1. Квадрат
Тогава площта на квадрата може да бъде представена като сбор от площите:
Тъй като квадратите са били еднакви, техните площи са равни, което означава:
И така, доказахме геометрично формулата за квадрата на сбора.
Помислете за примери:
коментар:примерът се решава с помощта на формулата за сума квадрат.
Извеждаме формулата за квадрата на разликата:
И така, изведохме формулата за квадрата на разликата:
Устно тази формула се изразява по следния начин: квадратът на разликата е равен на квадрата на първото число минус двойното произведение на първото число на второто плюс квадрата на второто число.
Помислете за примери:
Формулите за квадрата на сбора и квадрата на разликата могат да работят както отляво надясно, така и от дясно на ляво. Когато се използват отляво надясно, това ще бъдат съкратени формули за умножение, те се използват при изчисляване и преобразуване на примери. А когато се използва от дясно на ляво - формули за разлагане на множители.
Помислете за примери, в които трябва да разложите даден полином на фактори, като използвате формулите за квадрата на сбора и квадрата на разликата. За да направите това, трябва да разгледате много внимателно полинома и да определите как точно да го разширите.
коментар:за да разложите полином на множители, трябва да определите какво е представено в този израз. Така виждаме квадрата и квадрата на единството. Сега трябва да намерим двойния продукт - това е . И така, всички необходими елементи са налице, просто трябва да определите дали това е квадратът на сбора или разликата. Преди удвоеното произведение има знак плюс, което означава, че имаме квадрата на сбора.
Съкратени формули за умножение.
Изучаване на формулите за съкратено умножение: квадрата на сбора и квадрата на разликата на два израза; разлика на квадратите на два израза; кубът на сбора и кубът на разликата от два израза; суми и разлики на кубчета от два израза.
Прилагане на съкратени формули за умножение при решаване на примери.
За опростяване на изразите, разлагане на полиноми и редуциране на полиномите до стандартна форма се използват съкратени формули за умножение. Съкратени формули за умножение, които трябва да знаете наизуст.
Нека a, b R. Тогава:
1. Квадратът на сбора от два израза еквадратът на първия израз плюс два пъти произведението на първия израз и втория плюс квадрата на втория израз.
(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2
2. Квадратът на разликата на два израза еквадратът на първия израз минус двойното произведение на първия израз и втория плюс квадрата на втория израз.
(a - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2
3. Разлика в квадратитедва израза е равно на произведението на разликата на тези изрази и техния сбор.
a 2 - b 2 \u003d (a - b) (a + b)
4. сборен кубот два израза е равно на куба на първия израз плюс три пъти квадрата на първия израз по втория плюс три пъти на произведението на първия израз, умножен на квадрата на втория плюс куба на втория израз.
(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3
5. куб за разликаот два израза е равно на куба на първия израз минус три пъти произведението на квадрата на първия израз и втория плюс три пъти на произведението на първия израз и квадрата на втория минус куба на втория израз.
(a - b) 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3
6. Сума от кубчетадва израза е равно на произведението от сбора на първия и втория израз от непълния квадрат на разликата на тези изрази.
a 3 + b 3 \u003d (a + b) (a 2 - ab + b 2)
7. Разлика на кубчетатана два израза е равно на произведението на разликата на първия и втория израз от непълния квадрат на сбора на тези изрази.
a 3 - b 3 \u003d (a - b) (a 2 + ab + b 2)
Прилагане на съкратени формули за умножение при решаване на примери.
Пример 1
Изчисли
а) Използвайки формулата за квадрата на сбора от два израза, имаме
(40+1) 2 = 40 2 + 2 40 1 + 1 2 = 1600 + 80 + 1 = 1681
b) Използвайки формулата за квадратната разлика на два израза, получаваме
98 2 = (100 - 2) 2 = 100 2 - 2 100 2 + 2 2 = 10 000 - 400 + 4 \u003d 9604
Пример 2
Изчисли
Използвайки формулата за разликата на квадратите на два израза, получаваме
Пример 3
Опростете израза
(x - y) 2 + (x + y) 2
Използваме формулите за квадрата на сбора и квадрата на разликата на два израза
(x - y) 2 + (x + y) 2 = x 2 - 2xy + y 2 + x 2 + 2xy + y 2 \u003d 2x 2 + 2y 2
Съкратени формули за умножение в една таблица:
(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2
(a - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2
a 2 - b 2 = (a - b) (a+b)
(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3
(a - b) 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3
a 3 + b 3 \u003d (a + b) (a 2 - ab + b 2)
a 3 - b 3 \u003d (a - b) (a 2 + ab + b 2)
Ще има и задачи за самостоятелно решение, на които можете да видите отговорите.
Съкратените формули за умножение ви позволяват да извършвате идентични трансформации на изрази - полиноми. С тяхна помощ полиномите могат да бъдат разложени на множители, а като се използват формулите в обратен ред, произведенията на биномите, квадратите и кубовете могат да бъдат представени като полиноми. Нека разгледаме всички общоприети формули за съкратено умножение, тяхното извеждане, общи задачи за идентични трансформации на изрази с помощта на тези формули, както и задачи за домашна работа (отговорите към тях се отварят чрез връзки).
сума квадрат
Формулата за квадрата на сбора е равенството
(квадратът на сбора от две числа е равен на квадрата на първото число плюс двойното произведение на първото число и второто плюс квадрата на второто число).
Вместо аи бвсяко число може да бъде заместено в тази формула.
Формулата на квадрата на сумата често се използва за опростяване на изчисленията. Например,
Използвайки формулата за квадратен сбор, полиномът може да бъде разложен на множители, а именно представен като продукт на два еднакви фактора.
Пример 1
.
Пример 2Запишете като полиномен израз
Решение. По формулата на квадрата на сбора получаваме
Квадратът на разликата
Формулата за квадрата на разликата е равенството
(квадратът на разликата между две числа е равен на квадрата на първото число минус двойното произведение на първото число и второто плюс квадрата на второто число).
Формулата на квадратната разлика често се използва за опростяване на изчисленията. Например,
Използвайки формулата на квадрата на разликата, полиномът може да бъде разложен на множители, а именно представен като продукт на два еднакви фактора.
Формулата следва от правилото за умножение на полином по полином:
Пример 5Запишете като полиномен израз
Решение. По формулата на квадрата на разликата получаваме
.
Приложете сами съкратената формула за умножение и след това вижте решението
Пълен избор на квадрат
Често полином от втора степен съдържа квадрата на сбора или разликата, но се съдържа в скрита форма. За да получите пълния квадрат изрично, трябва да трансформирате полинома. За да направите това, като правило, един от членовете на полинома се представя като двойно произведение и след това същото число се добавя и изважда от полинома.
Пример 7
Решение. Този полином може да се трансформира, както следва:
Тук сме представили 5 хпод формата на двойно произведение от 5/2 от х, добавя се към полинома и се изважда от него същото число, след което се прилага формулата за квадрат на сумата за бинома.
Така че ние доказахме равенството
,
равно на пълен квадрат плюс числото.
Пример 8Помислете за полином от втора степен
Решение. Нека направим следните трансформации върху него:
Тук сме представили 8 хпод формата на двоен продукт хс 4, добавя се към полинома и се изважда от него същото число 4², прилага се квадратната формула на разликата за бинома х − 4 .
Така че ние доказахме равенството
,
което показва, че полином от втора степен
равно на пълен квадрат плюс числото −16.
Приложете сами съкратената формула за умножение и след това вижте решението
сборен куб
Формулата на сборния куб е равенството
(кубът от сбора от две числа е равен на куба на първото число плюс три пъти квадрата на първото число по второто, плюс три пъти произведението на първото число по квадрата на второто, плюс куба от второто число).
Формулата на сборния куб се получава, както следва:
Пример 10Запишете като полиномен израз
Решение. По формулата на сборния куб получаваме
Приложете сами съкратената формула за умножение и след това вижте решението
куб за разлика
Формулата на куба на разликата е равенството
(кубът на разликата от две числа е равен на куба на първото число минус три пъти квадрата на първото число и второто, плюс три пъти произведението на първото число и квадрата на второто минус куба на второто число).
С помощта на формулата на сборния куб полиномът може да се разложи на множители, а именно може да се представи като произведение на три еднакви фактора.
Формулата на куба на разликата се извлича, както следва:
Пример 12.Запишете като полиномен израз
Решение. Използвайки формулата на куба на разликата, получаваме
Приложете сами съкратената формула за умножение и след това вижте решението
Разлика в квадратите
Формулата за разликата на квадратите е равенството
(разликата на квадратите на две числа е равна на произведението от сбора на тези числа и тяхната разлика).
Използвайки формулата за куб на сбора, всеки полином от вида може да бъде разложен на множители.
Доказателството за формулата е получено с помощта на правилото за умножение на полиноми:
Пример 14Запишете произведението като полином
.
Решение. По формулата за разликата на квадратите получаваме
Пример 15Разложете на множители
Решение. Този израз в изрична форма не отговаря на никаква идентичност. Но числото 16 може да бъде представено като степен с основа 4: 16=4². Тогава оригиналният израз ще приеме различна форма:
,
и това е формулата за разликата на квадратите и прилагайки тази формула, получаваме
Зареждане...