Някои хора третират думата „прогресия“ с повишено внимание, като много сложен терминот раздели висша математика. Междувременно най-простата аритметична прогресия е работата на таксиметъра (където все още съществуват). И разбирането на същността (и в математиката няма нищо по-важно от „разбирането на същността“) на една аритметична последователност не е толкова трудно, след като анализирате няколко елементарни понятия.

Математическа числова последователност

Цифровата последователност обикновено се нарича поредица от числа, всяко от които има свой номер.

a 1 е първият член на последователността;

и 2 е вторият член на последователността;

и 7 е седмият член на редицата;

и n е n-тият член на последователността;

Въпреки това не всеки произволен набор от числа и числа ни интересува. Ще съсредоточим вниманието си върху числова последователност, в която стойността на n-тия член е свързана с неговия пореден номер чрез връзка, която може да бъде ясно формулирана математически. С други думи: числова стойност n-тото число е някаква функция на n.

a е стойността на член на числова редица;

n е неговият сериен номер;

f(n) е функция, където поредният номер в числовата последователност n е аргумент.

Определение

Аритметична прогресия обикновено се нарича числова последователност, в която всеки следващ член е по-голям (по-малък) от предходния със същото число. Формулата за n-тия член на аритметична последователност е следната:

a n - стойността на текущия член на аритметичната прогресия;

a n+1 - формула на следващото число;

d - разлика (определено число).

Лесно е да се определи, че ако разликата е положителна (d>0), тогава всеки следващ член на разглежданата серия ще бъде по-голям от предишния и такава аритметична прогресия ще нараства.

На графиката по-долу е лесно да се види защо числовата последователност се нарича „нарастваща“.

В случаите, когато разликата е отрицателна (d<0), каждый последующий член по понятным причинам будет меньше предыдущего, график прогрессии станет «уходить» вниз, арифметическая прогрессия, соответственно, будет именоваться убывающей.

Посочена стойност на член

Понякога е необходимо да се определи стойността на произволен член a n от аритметична прогресия. Това може да стане чрез последователно изчисляване на стойностите на всички членове на аритметичната прогресия, като се започне от първия до желания. Този път обаче не винаги е приемлив, ако например е необходимо да се намери стойността на петхилядната или осеммилионната дума. Традиционните изчисления ще отнемат много време. Въпреки това, специфична аритметична прогресия може да бъде изследвана с помощта на определени формули. Има и формула за n-тия член: стойността на всеки член на аритметична прогресия може да се определи като сбор от първия член на прогресията с разликата на прогресията, умножена по номера на желания член, намалена с един.

Формулата е универсална за увеличаване и намаляване на прогресията.

Пример за изчисляване на стойността на даден термин

Нека решим следната задача за намиране на стойността на n-тия член на аритметична прогресия.

Условие: има аритметична прогресия с параметри:

Първият член на редицата е 3;

Разликата в числовата серия е 1,2.

Задача: трябва да намерите стойността на 214 члена

Решение: за да определим стойността на даден член, използваме формулата:

a(n) = a1 + d(n-1)

Замествайки данните от формулировката на проблема в израза, имаме:

a(214) = a1 + d(n-1)

а(214) = 3 + 1,2 (214-1) = 258,6

Отговор: 214-ият член на редицата е равен на 258,6.

Предимствата на този метод на изчисление са очевидни - цялото решение отнема не повече от 2 реда.

Сума от даден брой членове

Много често в дадена аритметична серия е необходимо да се определи сумата от стойностите на някои от нейните сегменти. За да направите това, също няма нужда да изчислявате стойностите на всеки член и след това да ги събирате. Този метод е приложим, ако броят на членовете, чиято сума трябва да се намери, е малък. В други случаи е по-удобно да използвате следната формула.

Сумата от членовете на аритметичната прогресия от 1 до n е равна на сумата от първия и n-тия член, умножена по номера на члена n и разделена на две. Ако във формулата стойността на n-тия термин се замени с израза от предходния параграф на статията, получаваме:

Пример за изчисление

Например, нека решим задача със следните условия:

Първият член на редицата е нула;

Разликата е 0,5.

Задачата изисква определяне на сумата от членовете на редицата от 56 до 101.

Решение. Нека използваме формулата за определяне на степента на прогресия:

s(n) = (2∙a1 + d∙(n-1))∙n/2

Първо, ние определяме сумата от стойностите на 101 членове на прогресията, като заместваме дадените условия на нашия проблем във формулата:

s 101 = (2∙0 + 0,5∙(101-1))∙101/2 = 2525

Очевидно, за да се намери сумата от членовете на прогресията от 56-то до 101-во, е необходимо да се извади S 55 от S 101.

s 55 = (2∙0 + 0,5∙(55-1))∙55/2 = 742,5

Така сумата от аритметичната прогресия за този пример е:

s 101 - s 55 = 2525 - 742,5 = 1782,5

Пример за практическо приложение на аритметичната прогресия

В края на статията нека се върнем към примера за аритметична последователност, дадена в първия параграф - таксиметър (таксиметров автомобил). Нека разгледаме този пример.

Качването на такси (което включва 3 км пътуване) струва 50 рубли. Всеки следващ километър се заплаща в размер на 22 рубли/км. Разстоянието за пътуване е 30 км. Изчислете цената на пътуването.

1. Да изхвърлим първите 3 км, чиято цена е включена в цената на кацането.

30 - 3 = 27 км.

2. По-нататъшното изчисление не е нищо повече от анализиране на аритметична числова серия.

Номер на член - броят на изминатите километри (минус първите три).

Стойността на члена е сумата.

Първият член в тази задача ще бъде равен на 1 = 50 рубли.

Разлика в прогресията d = 22 r.

числото, което ни интересува, е стойността на (27+1)-ия член от аритметичната прогресия - показанието на измервателния уред в края на 27-ия километър е 27,999... = 28 км.

a 28 = 50 + 22 ∙ (28 - 1) = 644

Изчисленията на календарните данни за произволно дълъг период се основават на формули, описващи определени числови последователности. В астрономията дължината на орбитата е геометрично зависима от разстоянието на небесното тяло до звездата. В допълнение, различни числови серии се използват успешно в статистиката и други приложни области на математиката.

Друг вид числова последователност е геометричната

Геометричната прогресия се характеризира с по-големи темпове на промяна в сравнение с аритметичната прогресия. Неслучайно в политиката, социологията и медицината, за да покажат високата скорост на разпространение на определено явление, например заболяване по време на епидемия, казват, че процесът се развива в геометрична прогресия.

N-тият член на редицата от геометрични числа се различава от предишния по това, че се умножава по някакво постоянно число - знаменателят, например, първият член е 1, знаменателят съответно е равен на 2, тогава:

n=1: 1 ∙ 2 = 2

n=2: 2 ∙ 2 = 4

n=3: 4 ∙ 2 = 8

n=4: 8 ∙ 2 = 16

n=5: 16 ∙ 2 = 32,

b n - стойността на текущия член на геометричната прогресия;

b n+1 - формула на следващия член на геометричната прогресия;

q е знаменателят на геометричната прогресия (постоянно число).

Ако графиката на аритметичната прогресия е права линия, тогава геометричната прогресия рисува малко по-различна картина:

Както в случая с аритметиката, геометричната прогресия има формула за стойността на произволен член. Всеки n-ти член от геометрична прогресия е равен на произведението от първия член и знаменателя на прогресията на степен n, намален с единица:

Пример. Имаме геометрична прогресия, като първият член е равен на 3 и знаменателят на прогресията е равен на 1,5. Нека намерим 5-ия член на прогресията

b 5 = b 1 ∙ q (5-1) = 3 ∙ 1,5 4 = 15,1875

Сумата от даден брой членове също се изчислява по специална формула. Сумата от първите n члена на геометрична прогресия е равна на разликата между произведението на n-тия член на прогресията и неговия знаменател и първия член на прогресията, разделено на знаменателя, намален с единица:

Ако b n се замени с формулата, обсъдена по-горе, стойността на сумата от първите n членове на разглежданата числова серия ще приеме формата:

Пример. Геометричната прогресия започва с първия член, равен на 1. Знаменателят е настроен на 3. Нека намерим сбора на първите осем члена.

s8 = 1 ∙ (3 8 -1) / (3-1) = 3 280

Първо ниво

Аритметична прогресия. Подробна теорияс примери (2019)

Числова последователност

И така, нека седнем и да започнем да записваме някои числа. Например:
Можете да пишете всякакви числа и може да има колкото искате (в нашия случай ги има). Колкото и числа да пишем, винаги можем да кажем кое е първо, кое второ и така до последното, тоест можем да ги номерираме. Това е пример за числова последователност:

Числова последователност
Например за нашата последователност:

Присвоеният номер е специфичен само за един номер в поредицата. С други думи, в редицата няма три втори числа. Второто число (като числото th) винаги е едно и също.
Числото с число се нарича th член на редицата.

Обикновено наричаме цялата последователност с някаква буква (например,), и всеки член на тази последователност е една и съща буква с индекс, равен на номера на този член: .

В нашия случай:

Да кажем, че имаме редица от числа, в която разликата между съседни числа е еднаква и равна.
Например:

и т.н.
Тази числова последователност се нарича аритметична прогресия.
Терминът "прогресия" е въведен от римския автор Боеций още през 6 век и се разбира в по-широк смисъл като безкрайна числова последователност. Името "аритметика" е прехвърлено от теорията за непрекъснатите пропорции, която е изучавана от древните гърци.

Това е редица от числа, всеки член на която е равен на предишния, добавен към същото число. Това число се нарича разлика на аритметична прогресия и се обозначава.

Опитайте се да определите кои числови последователности са аритметична прогресия и кои не са:

а)
б)
° С)
д)

Схванах го? Нека сравним нашите отговори:
Еаритметична прогресия - b, c.
Не еаритметична прогресия - a, d.

Нека се върнем към дадената прогресия () и се опитаме да намерим стойността на нейния th член. Съществува двеначин да го намерите.

1. Метод

Можем да добавяме числото на прогресията към предишната стойност, докато достигнем тия член на прогресията. Добре е, че няма много за обобщаване - само три стойности:

И така, членът от описаната аритметична прогресия е равен на.

2. Метод

Какво ще стане, ако трябва да намерим стойността на тия член на прогресията? Сумирането би ни отнело повече от час и не е факт, че няма да сгрешим при събирането на числа.
Разбира се, математиците са измислили начин, при който не е необходимо да се добавя разликата на аритметична прогресия към предишната стойност. Разгледайте по-отблизо нарисуваната картинка... Със сигурност вече сте забелязали определен модел, а именно:

Например, нека да видим от какво се състои стойността на тия член на тази аритметична прогресия:

С други думи:

Опитайте сами да намерите стойността на член на дадена аритметична прогресия по този начин.

Изчислихте ли? Сравнете вашите бележки с отговора:

Моля, обърнете внимание, че сте получили точно същото число като в предишния метод, когато последователно добавихме членовете на аритметичната прогресия към предишната стойност.
Нека се опитаме да "обезличим" тази формула - да я представим в общ вид и да получим:

Уравнение на аритметична прогресия.

Аритметичните прогресии могат да бъдат нарастващи или намаляващи.

Повишаване на- прогресии, при които всяка следваща стойност на членовете е по-голяма от предходната.
Например:

Спускане- прогресии, при които всяка следваща стойност на членовете е по-малка от предходната.
Например:

Изведената формула се използва при изчисляването на членове както в нарастващи, така и в намаляващи членове на аритметична прогресия.
Нека проверим това на практика.
Дадена ни е аритметична прогресия, състояща се от следните числа: Нека проверим какво ще бъде числото от тази аритметична прогресия, ако използваме нашата формула, за да я изчислим:

От тогава:

Така сме убедени, че формулата работи както в намаляваща, така и в нарастваща аритметична прогресия.
Опитайте се сами да намерите члена th и th на тази аритметична прогресия.

Нека сравним резултатите:

Свойство на аритметична прогресия

Нека усложним задачата - ще изведем свойството на аритметичната прогресия.
Да кажем, че ни е дадено следното условие:
- аритметична прогресия, намерете стойността.
Лесно, казвате вие и започвате да броите по формулата, която вече знаете:

Нека, а, тогава:

Абсолютно прав. Оказва се, че първо намираме, след това го добавяме към първото число и получаваме това, което търсим. Ако прогресията е представена с малки стойности, тогава няма нищо сложно в това, но какво ще стане, ако в условието ни бъдат дадени числа? Съгласете се, има възможност да направите грешка в изчисленията.
Сега помислете дали е възможно да се реши този проблем в една стъпка, като се използва която и да е формула? Разбира се, да, и това е, което ще се опитаме да изведем сега.

Нека обозначим необходимия член на аритметичната прогресия като, формулата за намирането му е известна - това е същата формула, която изведехме в началото:
, Тогава:

предишният член на прогресията е:
следващият член на прогресията е:

Нека обобщим предишните и следващите условия на прогресията:

Оказва се, че сборът от предишния и последващия член на прогресията е двойната стойност на члена на прогресията, разположен между тях. С други думи, за да намерите стойността на член на прогресия с известни предишни и последователни стойности, трябва да ги съберете и разделите на.

Точно така, имаме едно и също число. Да осигурим материала. Изчислете сами стойността на прогресията, не е никак трудно.

Много добре! Знаете почти всичко за прогресията! Остава да открием само една формула, която според легендата е била лесно изведена от един от най-великите математици на всички времена, „краля на математиците“ - Карл Гаус...

Когато Карл Гаус беше на 9 години, учител, зает да проверява работата на учениците в други класове, зададе следната задача в клас: „Изчислете сумата от всички естествени числаот до (според други източници до) включително.“ Представете си изненадата на учителя, когато един от неговите ученици (това беше Карл Гаус) минута по-късно даде правилния отговор на задачата, докато повечето от съучениците на смелчагата след дълги изчисления получиха грешен резултат ...

Младият Карл Гаус забеляза определен модел, който лесно можете да забележите и вие.
Да кажем, че имаме аритметична прогресия, състояща се от -ти членове: Трябва да намерим сбора на тези членове на аритметичната прогресия. Разбира се, можем ръчно да сумираме всички стойности, но какво ще стане, ако задачата изисква намиране на сумата от нейните членове, както търсеше Гаус?

Нека изобразим напредъка, който ни е даден. Разгледайте по-отблизо маркираните числа и се опитайте да извършите различни математически операции с тях.

Опитвали ли сте го? Какво забелязахте? вярно! Сумите им са равни

А сега ми кажете колко такива двойки има общо в дадената ни прогресия? Разбира се, точно половината от всички числа, т.е.
Въз основа на факта, че сумата от два члена на аритметична прогресия е равна и подобни двойки са равни, получаваме, че общата сума е равна на:
.
По този начин формулата за сумата от първите членове на всяка аритметична прогресия ще бъде:

В някои задачи не знаем тия член, но знаем разликата в прогресията. Опитайте се да замените формулата на тия член във формулата за сумата.
Какво получи?

Много добре! Сега нека се върнем към задачата, зададена на Карл Гаус: изчислете сами на какво е равен сборът от числата, започващи от th, и сборът от числата, започващи от th.

Колко получихте?
Гаус установи, че сумата от членовете е равна, и сумата от членовете. Това ли реши?

Всъщност формулата за сумата от членовете на аритметичната прогресия е доказана от древногръцкия учен Диофант още през 3-ти век и през цялото това време остроумните хора са използвали напълно свойствата на аритметичната прогресия.
Например, представете си Древен Египет и най-големия строителен проект от онова време - изграждането на пирамида... На снимката е показана едната й страна.

Къде е прогресията тук, ще кажете? Погледнете внимателно и намерете модел в броя на пясъчните блокове във всеки ред на стената на пирамидата.

Защо не аритметична прогресия? Изчислете колко блока са необходими за изграждането на една стена, ако в основата са поставени блокови тухли. Надявам се, че няма да броите, докато движите пръста си по монитора, помните ли последната формула и всичко, което казахме за аритметичната прогресия?

В този случай прогресията изглежда така: .
Разлика в аритметична прогресия.
Броят на членовете на аритметичната прогресия.
Нека заместим нашите данни в последните формули (изчислете броя на блоковете по 2 начина).

Метод 1.

Метод 2.

И сега можете да изчислите на монитора: сравнете получените стойности с броя на блоковете, които са в нашата пирамида. Схванах го? Браво, усвоихте сумата от n-тите членове на аритметичната прогресия.
Разбира се, не можете да изградите пирамида от блокове в основата, но от? Опитайте се да изчислите колко пясъчни тухли са необходими за изграждане на стена с това условие.
успяхте ли
Правилният отговор е блокове:

обучение

Задачи:

Маша влиза във форма за лятото. Всеки ден тя увеличава броя на кляканията с. Колко пъти Маша ще прави клякания за една седмица, ако направи клякания на първата тренировка?
Какъв е сборът на всички нечетни числа, съдържащи се в.
Когато съхраняват трупи, дърводобивачите ги подреждат по такъв начин, че всеки горен слой да съдържа един труп по-малко от предишния. Колко трупи има в една зидария, ако основата на зидарията е трупи?

Отговори:

Нека дефинираме параметрите на аритметичната прогресия. В такъв случай
(седмици = дни).
Отговор:След две седмици Маша трябва да прави клякания веднъж на ден.
Първо нечетно число, последно число.
Разлика в аритметична прогресия.
Броят на нечетните числа в е половината, но нека проверим този факт, като използваме формулата за намиране на члена от аритметичната прогресия:
Числата съдържат нечетни числа.
Нека заместим наличните данни във формулата:
Отговор:Сборът на всички нечетни числа, съдържащи се в е равен.
Нека си спомним задачата за пирамидите. За нашия случай a , тъй като всеки горен слой е намален с един дневник, тогава общо има куп слоеве, т.е.
Нека заместим данните във формулата:
Отговор:В зидарията има трупи.

Нека обобщим

- числова редица, в която разликата между съседни числа е еднаква и равна. Тя може да бъде нарастваща или намаляваща.
Намиране на формулаЧленът на една аритметична прогресия се записва с формулата - , където е броят на числата в прогресията.
Свойство на членове на аритметична прогресия- - където е броят на числата в прогресия.
Сумата от членовете на аритметична прогресияможе да се намери по два начина:

, където е броят на стойностите.

АРИТМЕТИЧНА ПРОГРЕСИЯ. СРЕДНО НИВО

Числова последователност

Нека седнем и започнем да пишем някои числа. Например:

Можете да пишете всякакви числа и те могат да бъдат колкото искате. Но винаги можем да кажем кой е първи, кой втори и т.н., тоест можем да ги номерираме. Това е пример за числова последователност.

Числова последователносте набор от числа, на всяко от които може да бъде присвоен уникален номер.

С други думи, всяко число може да бъде свързано с определено естествено число, при това уникално. И ние няма да присвоим този номер на друг номер от този набор.

Числото с номер се нарича th член на редицата.

Много е удобно, ако th член на редицата може да се определи с някаква формула. Например формулата

задава последователността:

А формулата е следната последователност:

Например аритметичната прогресия е последователност (първият член тук е равен, а разликата е). Или (, разлика).

формула за n-ти член

Рекурентна наричаме формула, в която, за да разберете тия член, трябва да знаете предишния или няколко предишни:

За да намерим, например, члена на прогресията, използвайки тази формула, ще трябва да изчислим предходните девет. Например, нека. Тогава:

Е, сега ясно ли е каква е формулата?

Във всеки ред добавяме към, умножено по някакво число. Кое? Много просто: това е номерът на текущия член минус:

Много по-удобно сега, нали? Ние проверяваме:

Решете сами:

В аритметична прогресия намерете формулата за n-тия член и намерете стотния член.

Решение:

Първият член е равен. Каква е разликата? Ето какво:

(Ето защо се нарича разлика, защото е равна на разликата на последователните членове на прогресията).

И така, формулата:

Тогава стотният член е равен на:

Какъв е сборът на всички естествени числа от до?

Според легендата великият математик Карл Гаус, като 9-годишно момче, изчислил тази сума за няколко минути. Той забеляза, че сборът на първото и последното число е равен, сборът на второто и предпоследното е еднакъв, сборът на третото и 3-то от края е еднакъв и т.н. Колко са общо тези двойки? Точно така, точно половината от броя на всички числа, т.е. Така,

Общата формула за сумата от първите членове на всяка аритметична прогресия ще бъде:

Пример:
Намерете сбора на всички двуцифрени кратни.

Решение:

Първото такова число е това. Всяко следващо число се получава чрез добавяне към предходното число. Така числата, които ни интересуват, образуват аритметична прогресия с първия член и разликата.

Формула на тия член за тази прогресия:

Колко члена има в прогресията, ако всички те трябва да са двуцифрени?

Много лесно: .

Последният член на прогресията ще бъде равен. След това сумата:

Отговор: .

Сега решете сами:

Всеки ден спортистът бяга повече метри от предишния ден. Колко общо километра ще пробяга за една седмица, ако в първия ден е пробягал km m?
Велосипедистът изминава повече километри всеки ден от предишния ден. Първия ден измина км. Колко дни трябва да пътува, за да измине един километър? Колко километра ще измине през последния ден от пътуването си?
Цената на хладилника в магазина пада с една и съща сума всяка година. Определете колко е намалявала цената на хладилника всяка година, ако, обявен за продажба за рубли, шест години по-късно е продаден за рубли.

Отговори:

Най-важното тук е да разпознаете аритметичната прогресия и да определите нейните параметри. В този случай (седмици = дни). Трябва да определите сумата от първите членове на тази прогресия:
.
Отговор:
Тук е дадено: , трябва да се намери.
Очевидно е, че трябва да използвате същата формула за сумиране, както в предишния проблем:
.
Заменете стойностите:
Коренът очевидно не пасва, така че отговорът е.
Нека изчислим пътя, изминат през последния ден, като използваме формулата на тия член:
(км).
Отговор:
Дадено: . Намирам: .
Не може да бъде по-просто:
(търкайте).
Отговор:

АРИТМЕТИЧНА ПРОГРЕСИЯ. НАКРАТКО ЗА ГЛАВНОТО

Това е редица от числа, в която разликата между съседни числа е еднаква и равна.

Аритметичната прогресия може да бъде нарастваща () и намаляваща ().

Например:

Формула за намиране на n-тия член на аритметична прогресия

се записва по формулата, където е броят на числата в прогресия.

Свойство на членове на аритметична прогресия

Тя ви позволява лесно да намерите член на прогресия, ако съседните му членове са известни - къде е броят на числата в прогресията.

Сума от членовете на аритметична прогресия

Има два начина да намерите сумата:

Къде е броят на стойностите.

Първо ниво

Аритметична прогресия. Подробна теория с примери (2019)

Числова последователност

Числова последователност
Например за нашата последователност:

В нашия случай:

Да кажем, че имаме редица от числа, в която разликата между съседни числа е еднаква и равна.
Например:

Опитайте се да определите кои числови последователности са аритметична прогресия и кои не са:

а)
б)
° С)
д)

Схванах го? Нека сравним нашите отговори:
Еаритметична прогресия - b, c.
Не еаритметична прогресия - a, d.

1. Метод

И така, членът от описаната аритметична прогресия е равен на.

2. Метод

Например, нека да видим от какво се състои стойността на тия член на тази аритметична прогресия:

С други думи:

Опитайте сами да намерите стойността на член на дадена аритметична прогресия по този начин.

Изчислихте ли? Сравнете вашите бележки с отговора:

Уравнение на аритметична прогресия.

Аритметичните прогресии могат да бъдат нарастващи или намаляващи.

Спускане- прогресии, при които всяка следваща стойност на членовете е по-малка от предходната.
Например:

От тогава:

Нека сравним резултатите:

Свойство на аритметична прогресия

Нека, а, тогава:

предишният член на прогресията е:
следващият член на прогресията е:

Нека обобщим предишните и следващите условия на прогресията:

Когато Карл Гаус беше на 9 години, учител, зает да проверява работата на учениците в други класове, възложи следната задача в клас: „Изчислете сумата на всички естествени числа от до (според други източници до) включително.“ Представете си изненадата на учителя, когато един от неговите ученици (това беше Карл Гаус) минута по-късно даде правилния отговор на задачата, докато повечето от съучениците на смелчагата след дълги изчисления получиха грешен резултат ...

Колко получихте?
Гаус установи, че сумата от членовете е равна, и сумата от членовете. Това ли реши?

Метод 1.

Метод 2.

обучение

Задачи:

Маша влиза във форма за лятото. Всеки ден тя увеличава броя на кляканията с. Колко пъти Маша ще прави клякания за една седмица, ако направи клякания на първата тренировка?
Какъв е сборът на всички нечетни числа, съдържащи се в.
Когато съхраняват трупи, дърводобивачите ги подреждат по такъв начин, че всеки горен слой да съдържа един труп по-малко от предишния. Колко трупи има в една зидария, ако основата на зидарията е трупи?

Отговори:

Нека дефинираме параметрите на аритметичната прогресия. В такъв случай
(седмици = дни).
Отговор:След две седмици Маша трябва да прави клякания веднъж на ден.
Първо нечетно число, последно число.
Разлика в аритметична прогресия.
Броят на нечетните числа в е половината, но нека проверим този факт, като използваме формулата за намиране на члена от аритметичната прогресия:
Числата съдържат нечетни числа.
Нека заместим наличните данни във формулата:
Отговор:Сборът на всички нечетни числа, съдържащи се в е равен.
Нека си спомним задачата за пирамидите. За нашия случай a , тъй като всеки горен слой е намален с един дневник, тогава общо има куп слоеве, т.е.
Нека заместим данните във формулата:
Отговор:В зидарията има трупи.

Нека обобщим

- числова редица, в която разликата между съседни числа е еднаква и равна. Тя може да бъде нарастваща или намаляваща.
Намиране на формулаЧленът на една аритметична прогресия се записва с формулата - , където е броят на числата в прогресията.
Свойство на членове на аритметична прогресия- - където е броят на числата в прогресия.
Сумата от членовете на аритметична прогресияможе да се намери по два начина:

, където е броят на стойностите.

АРИТМЕТИЧНА ПРОГРЕСИЯ. СРЕДНО НИВО

Числова последователност

Нека седнем и започнем да пишем някои числа. Например:

Числова последователносте набор от числа, на всяко от които може да бъде присвоен уникален номер.

Числото с номер се нарича th член на редицата.

Много е удобно, ако th член на редицата може да се определи с някаква формула. Например формулата

задава последователността:

А формулата е следната последователност:

Например аритметичната прогресия е последователност (първият член тук е равен, а разликата е). Или (, разлика).

формула за n-ти член

Е, сега ясно ли е каква е формулата?

Във всеки ред добавяме към, умножено по някакво число. Кое? Много просто: това е номерът на текущия член минус:

Много по-удобно сега, нали? Ние проверяваме:

Решете сами:

В аритметична прогресия намерете формулата за n-тия член и намерете стотния член.

Решение:

Първият член е равен. Каква е разликата? Ето какво:

(Ето защо се нарича разлика, защото е равна на разликата на последователните членове на прогресията).

И така, формулата:

Тогава стотният член е равен на:

Какъв е сборът на всички естествени числа от до?

Общата формула за сумата от първите членове на всяка аритметична прогресия ще бъде:

Пример:
Намерете сбора на всички двуцифрени кратни.

Решение:

Формула на тия член за тази прогресия:

Колко члена има в прогресията, ако всички те трябва да са двуцифрени?

Много лесно: .

Последният член на прогресията ще бъде равен. След това сумата:

Отговор: .

Сега решете сами:

Всеки ден спортистът бяга повече метри от предишния ден. Колко общо километра ще пробяга за една седмица, ако в първия ден е пробягал km m?
Велосипедистът изминава повече километри всеки ден от предишния ден. Първия ден измина км. Колко дни трябва да пътува, за да измине един километър? Колко километра ще измине през последния ден от пътуването си?
Цената на хладилника в магазина пада с една и съща сума всяка година. Определете колко е намалявала цената на хладилника всяка година, ако, обявен за продажба за рубли, шест години по-късно е продаден за рубли.

Отговори:

Най-важното тук е да разпознаете аритметичната прогресия и да определите нейните параметри. В този случай (седмици = дни). Трябва да определите сумата от първите членове на тази прогресия:
.
Отговор:
Тук е дадено: , трябва да се намери.
Очевидно е, че трябва да използвате същата формула за сумиране, както в предишния проблем:
.
Заменете стойностите:
Коренът очевидно не пасва, така че отговорът е.
Нека изчислим пътя, изминат през последния ден, като използваме формулата на тия член:
(км).
Отговор:
Дадено: . Намирам: .
Не може да бъде по-просто:
(търкайте).
Отговор:

АРИТМЕТИЧНА ПРОГРЕСИЯ. НАКРАТКО ЗА ГЛАВНОТО

Това е редица от числа, в която разликата между съседни числа е еднаква и равна.

Аритметичната прогресия може да бъде нарастваща () и намаляваща ().

Например:

Формула за намиране на n-тия член на аритметична прогресия

се записва по формулата, където е броят на числата в прогресия.

Свойство на членове на аритметична прогресия

Сума от членовете на аритметична прогресия

Има два начина да намерите сумата:

Къде е броят на стойностите.

Концепцията за числова последователност предполага, че всяко естествено число съответства на някаква реална стойност. Такава поредица от числа може да бъде произволна или да има определени свойства - прогресия. В последния случай всеки следващ елемент (член) на редицата може да бъде изчислен с помощта на предишния.

Аритметичната прогресия е поредица от числени стойности, в които нейните съседни членове се различават един от друг с едно и също число (всички елементи на серията, започвайки от 2-ри, имат подобно свойство). Това число - разликата между предишния и следващия член - е постоянно и се нарича прогресивна разлика.

Разлика в прогресията: определение

Помислете за последователност, състояща се от j стойности A = a (1), a (2), a (3), a (4) ... a (j), j принадлежи към набора от естествени числа N. Аритметика прогресията, според нейната дефиниция, е последователност, в която a(3) – a(2) = a(4) – a(3) = a(5) – a(4) = … = a(j) – a(j-1) = d. Стойността d е желаната разлика на тази прогресия.

d = a(j) – a(j-1).

Акцент:

Нарастваща прогресия, в който случай d > 0. Пример: 4, 8, 12, 16, 20, ...
Намаляваща прогресия, след това d< 0. Пример: 18, 13, 8, 3, -2, …

Прогресия на разликата и нейните произволни елементи

Ако са известни 2 произволни члена на прогресията (i-ти, k-ти), тогава разликата за дадена последователност може да се определи въз основа на връзката:

a(i) = a(k) + (i – k)*d, което означава d = (a(i) – a(k))/(i-k).

Разлика в прогресията и нейния първи член

Този израз ще помогне да се определи неизвестна стойност само в случаите, когато номерът на елемента на последователността е известен.

Прогресивна разлика и нейната сума

Сумата на една прогресия е сумата от нейните членове. За да изчислите общата стойност на първите j елемента, използвайте подходящата формула:

S(j) =((a(1) + a(j))/2)*j, но тъй като a(j) = a(1) + d(j – 1), тогава S(j) = ((a(1) + a(1) + d(j – 1))/2)*j=(( 2a(1) + d(– 1))/2)*j.

И. В. Яковлев | Материали по математика | MathUs.ru

Аритметична прогресия

Аритметичната прогресия е специален типподпоследователност. Следователно, преди да дефинираме аритметичната (и след това геометричната) прогресия, трябва накратко да обсъдим важната концепция за числовата последователност.

Последователност

Представете си устройство, на екрана на което едно след друго се показват определени числа. Да кажем 2; 7; 13; 1; 6; 0; 3; : : : Този набор от числа е точно пример за последователност.

Определение. Числовата последователност е набор от числа, в който на всяко число може да бъде присвоено уникално число (т.е. свързано с едно естествено число)1. Числото с номер n се нарича n-ти членпоследователности.

И така, в горния пример първото число е 2, това е първият член на редицата, който може да бъде означен с a1; номер пет има номер 6 е петият член на редицата, който може да бъде означен с a5. Изобщо, n-ти членпоследователностите се означават с (или bn, cn и т.н.).

Много удобна ситуация е, когато n-тият член на редицата може да бъде определен с някаква формула. Например формулата an = 2n 3 определя последователността: 1; 1; 3; 5; 7; : : : Формулата an = (1)n определя последователността: 1; 1; 1; 1; : : :

Не всеки набор от числа е последователност. Следователно сегментът не е последователност; съдържа „твърде много“ числа за преномериране. Множеството R на всички реални числа също не е последователност. Тези факти се доказват в хода на математически анализ.

Аритметична прогресия: основни определения

Сега сме готови да дефинираме аритметична прогресия.

Определение. Аритметичната прогресия е последователност, в която всеки член (започвайки от втория) е равен на сумата от предходния член и някакво фиксирано число (наречено разлика на аритметичната прогресия).

Например последователност 2; 5; 8; единадесет; : : : е аритметична прогресия с първи член 2 и разлика 3. Последователност 7; 2; 3; 8; : : : е аритметична прогресия с първи член 7 и разлика 5. Последователност 3; 3; 3; : : : е аритметична прогресия с разлика равна на нула.

Еквивалентна дефиниция: последователността an се нарича аритметична прогресия, ако разликата an+1 an е постоянна стойност (независима от n).

Аритметичната прогресия се нарича нарастваща, ако нейната разлика е положителна, и намаляваща, ако нейната разлика е отрицателна.

1 Но ето едно по-кратко определение: последователност е функция, дефинирана върху множеството от естествени числа. Например, поредица от реални числа е функция f: N ! Р.

По подразбиране последователностите се считат за безкрайни, т.е. съдържащи безкраен брой числа. Но никой не ни притеснява да разглеждаме крайни последователности; всъщност всеки краен набор от числа може да се нарече крайна последователност. Например, крайната последователност е 1; 2; 3; 4; 5 се състои от пет числа.

Формула за n-тия член на аритметична прогресия

Лесно е да се разбере, че една аритметична прогресия се определя изцяло от две числа: първия член и разликата. Следователно възниква въпросът: как, знаейки първия член и разликата, да намерим произволен член на аритметична прогресия?

Не е трудно да се получи необходимата формула за n-тия член на аритметичната прогресия. Нека един

аритметична прогресия с разлика d. Ние имаме:
an+1 = an + d (n = 1; 2; : : :):
По-специално, ние пишем:
a2 = a1 + d;
a3 = a2 + d = (a1 + d) + d = a1 + 2d;
a4 = a3 + d = (a1 + 2d) + d = a1 + 3d;
и сега става ясно, че формулата за е:
an = a1 + (n 1)d:

Задача 1. В аритметична прогресия 2; 5; 8; единадесет; : : : намерете формулата за n-тия член и изчислете стотния член.

Решение. Според формула (1) имаме:

an = 2 + 3(n 1) = 3n 1:

a100 = 3 100 1 = 299:

Свойство и знак на аритметичната прогресия

Свойство на аритметичната прогресия. В аритметична прогресия за всяко

С други думи, всеки член на аритметична прогресия (започвайки от втория) е средноаритметичното на съседните членове.

	Доказателство. Ние имаме:
	a n 1+ a n+1		(an d) + (an + d)

което се изискваше.

По-общо казано, аритметичната прогресия an удовлетворява равенството

a n = a n k+ a n+k

за всяко n > 2 и всяко естествено k< n. Попробуйте самостоятельно доказать эту формулу тем же самым приёмом, что и формулу (2 ).

Оказва се, че формула (2) служи не само като необходимо, но и като достатъчно условие редицата да бъде аритметична прогресия.

Знак за аритметична прогресия. Ако равенството (2) е в сила за всички n > 2, тогава последователността an е аритметична прогресия.

Доказателство. Нека пренапишем формула (2), както следва:

a na n 1= a n+1a n:

От това можем да видим, че разликата an+1 an не зависи от n и това точно означава, че редицата an е аритметична прогресия.

Свойството и знакът на аритметичната прогресия могат да бъдат формулирани под формата на едно твърдение; За удобство ще направим това за три числа (това е ситуацията, която често се среща при проблеми).

Характеризиране на аритметична прогресия. Три числа a, b, c образуват аритметична прогресия тогава и само ако 2b = a + c.

Задача 2. (MSU, Стопански факултет, 2007) Три числа 8x, 3 x2 и 4 в посочения ред образуват намаляваща аритметична прогресия. Намерете x и посочете разликата на тази прогресия.

Решение. По свойството на аритметичната прогресия имаме:

2(3 x2) = 8x 4, 2x2 + 8x 10 = 0, x2 + 4x 5 = 0, x = 1; x = 5:

Ако x = 1, тогава получаваме намаляваща прогресия от 8, 2, 4 с разлика от 6. Ако x = 5, тогава получаваме нарастваща прогресия от 40, 22, 4; този случай не е подходящ.

Отговор: x = 1, разликата е 6.

Сумата от първите n члена на аритметична прогресия

Легендата разказва, че един ден учителят казал на децата да намерят сбора на числата от 1 до 100 и седнал тихо да чете вестника. След няколко минути обаче едно момче каза, че е решило проблема. Това беше 9-годишният Карл Фридрих Гаус, по-късно един от най-великите математици в историята.

Идеята на малкия Гаус беше следната. Позволявам

S = 1 + 2 + 3 + : : : + 98 + 99 + 100:

Нека запишем тази сума в обратен ред:

S = 100 + 99 + 98 + : : : + 3 + 2 + 1;

и добавете тези две формули:

2S = (1 + 100) + (2 + 99) + (3 + 98) + : : : + (98 + 3) + (99 + 2) + (100 + 1):

Всеки член в скоби е равен на 101 и има общо 100 такива члена

2S = 101 100 = 10100;

Използваме тази идея, за да изведем формулата за сумата

S = a1 + a2 + : : : + an + a n n: (3)

Полезна модификация на формула (3) се получава, ако заместим формулата на n-тия член an = a1 + (n 1)d в нея:

		2a1 + (n 1)d

Задача 3. Намерете сбора на всички положителни трицифрени числа, делими на 13.

Решение. Трицифрените числа, кратни на 13, образуват аритметична прогресия, като първият член е 104, а разликата е 13; N-тият член на тази прогресия има формата:

an = 104 + 13(n 1) = 91 + 13n:

Нека разберем колко члена съдържа нашата прогресия. За да направим това, решаваме неравенството:

6 999; 91 + 13n 6 999;

n 6 908 13 = 6911 13 ; n 6 69:

И така, има 69 членове в нашата прогресия. Използвайки формула (4), намираме необходимото количество:

S = 2 104 + 68 13 69 = 37674: 2